Jméno:
Hodnocení: 1.   2.   3.   4.   Teorie Celkem
A. Písemka z lineární algebry I, leden 2005    početní část
Max. počet bodů 12
1. Najděte všechny dvojice parametrů a, b G R, pro které je množina řešení soustavy rovnic
x + y + az x + ay + 2z x + y + 3z
o neznámých i,j/,z£l (a) prázdná, (b) nekonečná
2. Vypočtěte determinant matice A
2 1 1 1 2 1 1   1 2
Vl   1 1
V druhém případě soustavu vyřešte.
tvaru 2005 x 2005.
2/
(3 body) (3 body)
3. V M4 jsou dány podprostory U a V. Najděte bázi U O V a bázi U + V, jestliže
U = [(1,1, 0, -1)T, (0,1,1, -2)T],   V = [(0,1, -1,1), (1,3, 0, -2)].
Výpočet doprovoďte slovním komentářem. (3 body)
4. p : M4 ->• R3 je lineární zobrazení takové, že y>(l,l,0,0)T = (1,-1,1)T, v?(0,1,1,0)T = (1,1,1)T, V?(1,0,0,1)T = (2,4,2)T, if (0,0,1,0)T = (0,3,0)T. Najděte hodnoty zobrazení <y9 na vektorech standardní báze ei, e2, e3, e^. Najděte bázi Ker<y9 a bázi Imtp. Výpočet doprovoďte slovním komentářem.       (3 body)
Teoretická část
Max. počet bodů 10
1. Napište definici součtu U + V dvou podprostorů ve vektorovém prostoru W. (1 bod)
2. Napište jeden axiom vektorového prostoru, který není splněn pro množinu V — M, pole M, součet x ® y — x + y a násobení skalárem a Q x — a~1x. Ukažte, proč není splněn. (1 bod)
3. Napište přesnou formulaci věty, která dává do souvislosti hodnost matice a řešitelnost soustavy Ax — b.
(1 bod)
4. C2 je vektorový prostor nad R. Napište nějakou jeho bázi, která obsahuje vektor (1 + i, í) (1 bod)
5. V prostoru Rs[x] polynomů stupně nejvýše 3 s reálnými koeficienty napište souřadnice polynomu x2 + x+í v bázi a — (x2 + x3, x3 + x, 1, x2 + 1). (1 bod)
6. Podle definice najděte matici přechodu (id)^^ od báze a — (v\, ví, v%) k bázi (3 — (f i +V2,V2,v\ +V2 + V3).
(1 bod)
7. Napište matici lineárního zobrazení ip : M.2[x] —> tp(p) — (x2 + l)p'(x) v bázích a — (l,x,x2) a /3 — (1, x, x2, x3). (p' je derivace polynomu p.) (1 bod)
8. Nechť ip : U —> V je lineární. Jestliže, p(u\), p(v,2), ■ ■ ■, piuj-) jsou lineárně nezávislé ve V, pak u\, 112, ■ ■ ■, Uk jsou lineárně nezávislé v U. Dokažte. (1 bod)
9. Udejte příklad lineárního zobrazení z B^oosH do K1005M, jehož jádro má dimenzi 2000. Napište bázi jádra. (1 bod)
10. Předpisem p(ax2 + bx + c) — ... definujte nějaký lineární izomorfismus z do M3 s vlastností p(x2 +2x + 1) = (1,2,3). (1 bod)