Jméno:
Hodnocení: 1.   2.   3.   4.   Teorie Celkem
B. Písemka z lineární algebry I, leden 2005    početní část
Max. počet bodů 12
1. Je dáno lineární zobrazení p :
t> 10
předpisem
x2 + x3 + x^ + x5
xw
p{{x1,x2,. .. ,xw) )— ( xi + x3 + x4 + x5 -\-----\-xw
X\ + X2 + 2ľ4 + 2ľ5 + • • • + 2ľl0
Najděte bázi Ker p a bázi Im tp. Výpočet doprovoďte slovním komentářem
(
2. Je dána dolní trojúhelníková matice A —
(3 body)
1 0 0 1   1 0
1 1 1
Vi i i
o 1
o
1/
řádek součinu A ■ A.
tvaru 2005 x 2005. Vypočtěte A^1 a 1805.
(3 body)
3. V M5 jsou dány podprostory U a V. Najděte bázi U n V, jestliže U = [(1,0,1,2, -1)T, (2, -1, 2,1, -1)T, (1,0,0,1,—1)T] &V — {(xi, x2,X3,X4, xs)T eť, xi+ 2x2 + x% — 0, xi +X4 + X5 = 0}. Výpočet doprovoďte slovním komentářem. (5 body)
4. V uvažujme bázi e — (1, x, x2) a bázi a = (1 + 2x + x2,1 + x + x2, — 1 — x + 3x2). Vypočtěte matici přechodu (id)at£ od báze e k bázi a a s její pomocí vypočtěte souřadnice polynomu 2 + 3x + 6x2 v bázi a.
(3 body)
Teoretická část
Max. počet bodů 10
1. Napište definici determinantu s vysvětlením použitého označení. (1 bod)
2. Napište jeden axiom vektorového prostoru, který není splněn pro množinu V — (0,oo), pole M, součet x ® y — x ■ y (standardní součin) a násobení skalárem a 0 x — a ■ x. Ukažte, proč není splněn. (1 bod)
3. Napište přesnou formulaci věty o dimenzích jádra a obrazu lineárního zobrazení. (1 bod)
4. C2[x] — prostor polynomů stupně nejvýše 2 s koeficienty v C je vektorový prostor nad M. Napište nějakou jeho bázi, která obsahuje polynom 1 + ix. (1 bod)
5. VProstorureálnýchmatic2x2napištesouřadnicematicef \   ^vbáz/1   ^   (l   ^   (* 1
0 1
1 0
1 1 j       vo 1/' v o   o /'v o o /
{1 bod)
6. Napište jedním předpisem p(x\, x2) — .. . všechna lineární zobrazení z M2 do R. (1 bod)
7. Napište matici lineárního zobrazení p : M,2[x\ —> M2, p(p) — (J^ xp(x)dx, p(0)) v bázích a — (l,x,x2) a /3= ((1,0), (1,1)). (lbod)
8. Z definice lineární nezávislosti dokažte: Jestliže, u\,u2,u3 jsou lineárně nezávislé v U, pak u\ — u2 + u3i ui + u2, u\ + M3 jsou rovněž lineárně nezávislé. (1 bod)
9. Zformulujte přesně větu o dimenzi řešení homogenní soustavy lineárních rovnic. (1 bod)
10. Předpisem tp(a + ib,c + id) — ... definujte nějaký lineární izomorfismus z C2 do M4 jako vektorových prostorů nad R s vlastností p(í, 1) — (2, 0, 0, 5). (1 bod)