1 ÚVOD Cílem mé práce je sestavit sbírku úloh z lineární algebry. Ta je určena především pro posluchače prvního semestru oboru odborná informatika. Látka je rozložena do deseti kapitol, které jsou uspořádány v souladu se skripty [5] doc. RNDr. P. Zlatoše, CSc. a s přednáškami a cvičeními RNDr. M. Čadka, CSc. a Mgr. M. Sekaniny, Ph.D. Jejím základem jsou cvičení ve skriptech [4] prof. J. Slováka, DrSc., která však podstatně rozšiřuje. V každé kapitole připomínám nejdůležitější věty a definice potřebných pojmů, z nichž některé jsou ve stručnosti popsány v seznamu použitého značení. Dále jsou zde obsaženy řešené příklady, které čtenáři poskytují návody na řešení daných problémů, a úlohy k procvičení a důkladnému pochopení látky. Příklady i cvičení jsou řazeny postupně od jednodušších po složitější a s některými typy se student setká také v zápočtových a zkouškových testech. Výsledky cvičení je pak možné zkontrolovat v závěru sbírky. Sbírka dává studentům možnost ověřit si své znalosti samostatným řešením úloh. Takových sbírek sice existuje celá řada (např. [1] nebo [3]), avšak ty jsou buď obtížně dostupné nebo nepokrývají vše, co se v současné době přednáší v prvním semestru lineární algebry na Masarykově univerzitě. 2 SEZNAM POUŽITÉHO ZNAČENÍ Uvedené značení je používáno v celé sbírce a ve většině případů koresponduje se značením v [5]. a, b, c běžné skaláry - prvky pole K , , báze vektorových prostorů C množina všech komplexních čísel dim V dimenze vektorového prostoru V Dir V zaměření vektorového prostoru V E jednotková matice EŘO elemetrární řádkové operace n standardní báze v Rn (f), matice lineárního zobrazení f v bazích , (idV), matice přechodu od báze k bázi Im f obraz zobrazení f K obecné pole skalárů Kn množina všech uspořádaných n-tic prvků z K Kn[x] množina všech polynomů v proměnné x nad K stupně nejvýše n Ker f jádro zobrazení f [M] lineární obal množiny M Matm,n(K) množina všech matic typu m × n nad polem K Matn(K) Matn,n(K) N množina všech přirozených čísel R množina všech reálných čísel R+ množina všech kladných reálných čísel si(A) i-tý sloupec matice A Tr (A) stopa matice A U, V, W vektorové prostory u, v, w vektory x, y, z neznámé, vektory (x) souřadnice vektoru x v bázi Z množina všech celých čísel Zn množina zbytkových tříd modulo n 3 1. OPAKOVÁNÍ, POČÍTÁNÍ S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY Komplexní čísla jsou čísla tvaru z = a + ib, kde a R se nazývá reálná část komplexního čísla z, b R se nazývá imaginární část komplexního čísla z a pro i (tzv. imaginární jednotku) platí i2 = -1. Tento tvar komplexního čísla se nazývá algebraický tvar komplexního čísla z. Pro komplexní čísla u = a+ib, v = c+id definujeme operace sčítání, odčítání a násobení takto: u v = (a c) + i(b d) u v = (ac - bd) + i(ad + bc) Číslo z = a - ib se nazývá komplexně sdružené k číslu z = a + ib, číslo -z = -a - ib je opačné komplexní číslo k číslu z = a + ib. Reálné číslo |z| = a2 + b2 se nazývá absolutní hodnota komplexního čísla z = a + ib. Platí |z|2 = z z. Komplexní číslo, pro které platí |z| = 1, se nazývá komplexní jednotka. Číslo z-1 s vlastností z z-1 = 1 se nazývá převrácené číslo komplexního čísla z. Platí z-1 = z |z|2 . Podíl komplexních čísel u = a + ib a v = c + id = 0 je definován jako součin u v-1 . Komplexní čísla znázorňujeme v kartézské soustavě souřadnic xy (tzv. rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina). Komplexní číslo z = a + ib, z = 0 můžeme rovněž zapsat v goniometrickém tvaru z = r(cos + i sin ), kde r 0, 2) je rovno |z|, cos = a |z| , sin = b |z| . Číslo R se nazývá argument komplexního čísla z. Sčítání komplexních čísel odpovídá sčítání vektorů v rovině. Násobení komplexního čísla z reálným skalárem k odpovídá stejnolehlosti v rovině s koeficientem k se středem v počátku; F(z) = kz. Násobení komplexního čísla z komplexní jednotkou (cos + i sin ) odpovídá otočení v rovině o úhel okolo počátku; F(z) = z(cos + i sin ). Násobení komplexního čísla z pevným komplexním číslem r(cos + i sin ) odpovídá složení stejnolehlosti a otočení; F(z) = zr(cos + i sin ). Číslo z C se nazývá n-tá odmocnina čísla a + ib C právě tehdy, když je kořenem rovnice zn = a + ib. K řešení rovnice zn = a + ib použijeme goniometrický tvar komplexního čísla. Píšeme zn = a + ib = R(cos + i sin ), kde R, jsou známé. Číslo z hledáme ve tvaru z = r(cos + i sin ). 4 Z rovnosti zn = rn (cos + i sin )n = rn (cos n + i sin n) = R(cos + i sin ) vyplývá rn = R, tedy r = n R a n = + 2k, tedy = n + 2k n , k = 0, 1, ..., n - 1. Existuje n řešení rovnice. Příklad: Řešte rovnici z3 = 8i. Řešení: Komplexní číslo 8i převedeme na goniometrický tvar: |8i| = 8, cos = 0, sin = 1, = 2 8i = 8(cos 2 + i sin 2 ). Tedy z3 = r3 (cos 3 + i sin 3) = 8(cos 2 + i sin 2 ) z čehož dostáváme r3 = 8 r = 2 3 = 2 + 2k = 6 + 2k 3 Nyní za k dosadíme čísla 0, 1, 2, určíme jednotlivé úhly a vypočteme všechna řešení rovnice: k = 0 : 0 = 6 = 30 z1 = 2(cos 30 + i sin 30 ) = 3 + i k = 1 : 1 = 6 + 2 3 = 5 6 = 150 z1 = 2(cos 150 + i sin 150 ) = - 3 + i k = 2 : 2 = 6 + 4 3 = 9 6 = 270 z2 = 2(cos 270 + i sin 270 = -2i Cvičení: 1. Jsou dána komplexní čísla a = -6 + 2i, b = 3 + 5i. Vyjádřete v algebraickém tvaru čísla (a) (a - b)3 (b) ab (c) a b 2. Upravte a vyjádřete v algebraickém tvaru čísla: (a) (3i - 7)(8 + i) (b) -i + 2i(3 - 4i) (c) 3-2i 1-i (d) 1+i 3-4i (e) (1+2i)(2+i)(3-2i) (1-i)2 (f) 1+i 1-i 2 - 1-i 1+i 3 5 3. Určete všechna reálná čísla x, y, pro která platí (a) (1 + i)x + (13 + 7i)y = 0, (b) 4(2 + i)x + (1 - 4i)y = (3 + i)x - 4(2i - 1)y - 7 + 9i. 4. Řešte následující rovnice: (a) (1 + i)z = 2i (b) (8 - 3i)z = 1 + i 2 (c) (5 - i)z = 3i 7+6i 5. Napište v goniometrickém tvaru komplexní čísla (a) -1 + i 3 (b) - 2(1 - i) (c) 3 - i 3 6. Řešte následující rovnice: (a) x3 = 8 (b) x4 + 2 = 0 (c) x3 + 1 = 0 (d) x5 - 1 = 0 (e) 7x3 + 24 = 0 6 2. POLE A VEKTOROVÉ PROSTORY Polem rozumíme množinu K se dvěma význačnými prvky ­ nulou a jedničkou a dvěma binárními operacemi na K ­ sčítáním a násobením takovými, že platí následujících deset axiomů: (1) (a, b K)(a + b = b + a) (2) (a, b, c K)(a + (b + c) = (a + b) + c) (3) (a K)(a + 0 = a) (4) (a K)(b K)(a + b = 0) (5) (a, b K)(a b = b a) (6) (a, b, c K)(a (b c) = (a b) c) (7) (a K)(1 a = a) (8) (a K \ {0})(b K)(a b = 1) (9) (a, b, c K)(a (b + c) = a b + a c) (10) 0 = 1 2.1 ZBYTKOVÉ TŘÍDY Pro každé n N značí Zn = {k N, k < n} = {0, 1, ..., n - 1} množinu zbytkových tříd modulo n se dvěma bimárními operacemi ­ sčítáním a násobením takovými, že a, b Zn platí (1) a + b = zbytek po dělení (a + b) : n, (2) a b = zbytek po dělení (a b) : n. Příklad: Najděte opačné a inverzní prvky k prvkům množiny Z5. Řešení: Opačným prvkem k a je podle axiomu (4) takové b, pro které platí a + b = 0. Jak snadno zjistíme z tabulky pro sčítání v Z5, opačným prvkem k 1 je 4, ke 2 je to prvek 3, k 0 je to opět 0. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 Tabulka 1: Tabulka pro sčítání v Z5. Inverzním prvkem k a je podle axiomu (8) takové b, pro které platí a b = 1. V tabulce pro násobení v Z5 vidíme, že inverzním prvkem k 1 je opět 1, ke 2 je to prvek 3, ke 4 opět 4. K 0 inverzní prvek neexistuje. 7 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Tabulka 2: Tabulka pro násobení v Z5. Příklad: Řešte v Z5 rovnici 3x + 4 = 3. První řešení: Rovnici upravíme přičtením opačného prvku ke 4 k oběma stranám rovnice. Tedy 3x + 4 + 1 = 3 + 1 3x = 4. Dále celou rovnici vynásobíme inverzním prvkem ke 3, čímž dostaneme 2 3x = 2 4 1 x = 3. Druhé řešení: Rovnici opět upravíme na tvar 3x = 4. V multiplikativní tabulce pro násobení v Z5 najdeme prvek, který dá v součinu s 3 výsledek 4. Tímto prvkem je 3, což je přímo řešením rovnice. Poznámka: V Zn pro n prvočíslo má rovnice ax + b = c pro a = 0 právě jedno řešení. V Zn pro n složené mohou nastat případy, kdy má rovnice více řešení, právě jedno řešení nebo nemá řešení žádné. Cvičení: 1. V Zp řešte rovnici 2x + 1 = 2 pro p = 3, 5, 7. 2. V Zp řešte rovnici 7x + 9 = 8 pro p = 11, 13. 3. V Zp řešte rovnici 4x + 3 = 0 pro p = 5, 7, 11. 4. V Z8 najděte všechna řešení rovnic (a) 4x + 6 = 5 (b) 4x + 6 = 2 5. V Z9 najděte všechna řešení rovnic (a) 5x + 7 = 4 (b) 8x + 4 = 7 6. V Z6 najděte rovnice, které (a) mají více řešení, (b) mají právě jedno řešení, (c) nemají žádné řešení. 8 7. V Z7 nejděte všechna řešení rovnic (a) x3 = 1 (b) x3 = 6 8. V Z11 najděte všechna řešení rovnic (a) x2 + x = 9 (b) x2 + 2x = 8 9. Najděte všechna řešení rovnice x3 + 2x = 2 (a) v Z5 (b) v Z6 (c) v Z7 2.2 VEKTOROVÉ PROSTORY Nechť K je pole. Vektorovým prostorem nad polem K nazýváme množinu V s význačným prvkem 0 a dvěma binárními operacemi ­ sčítáním + : V × V V a násobením : K × V V takovými, že platí: (1) (u, v V)(u + v = v + u) (2) (u, v, w V)(u + (v + w) = (u + v) + w) (3) (u V)(0 + u = u + 0 = u) (4) (u V)(v V)(u + v = 0) (5) (k, l K)(u V)(k (l u) = (kl) u) (6) (u V)(1 u = u) (7) (k K)(u, v V)(k (u + v) = k u + k v) (8) (k, l K)(u V)((k + l) u = k u + l u) Nejčastějším případem vektorového prostoru nad polem K je pro libovolné n N množina Kn = {(x1, ..., xn); x1, ..., xn K} všech uspořádaných n-tic prvků z K spolu s operacemi x + y = (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn), cx = c(x1, ..., xn) = (cx1, ..., cxn), kde x = (x1, ..., xn) Kn , y = (y1, ..., yn) Kn a c K. Roli nuly v Kn hraje uspořádaná n-tice 0 = (0, ..., 0), opačným prvkem k x = (x1, ..., xn) Kn je prvek -x = -(x1, ..., xn) = (-x1, ..., -xn). Příklad: Zjistěte, zda množina R+ = {x R, x > 0} s operacemi x y = x y, a x = xa pro x , y R+ , a R tvoří vektorový prostor nad polem R. 9 Řešení: Abychom zjistili, zda je daná množina vektorovým prostorem, musíme ověřit všech osm axiomů vektorového prostoru: (1) x y = y x Důkaz: x y = x y = y x = y x (2) (x y) z = x (y z) Důkaz: (x y) z = (x y) z = x (y z) = x (y z) (3) Neutrální prvek pro je 1. Důkaz: x 1 = x 1 = x (4) Inverzní prvek pro k prvku x je 1 x . Důkaz: x 1 x = x 1 x = 1 (5) (a b) x = a (b x) Důkaz: (a b) x = xab = (xb )a = a (b x) (6) 1 x = x Důkaz: 1 x = x1 = x (7) a (x y) = (a x) (a y) Důkaz: a (x y) = (x y)a = xa ya = (a x) (a y) (8) (a + b) x = (a x) (b x) Důkaz: (a + b) x = x(a+b) = xa xb = (a x) (b x) Daná množina splňuje všech osm axiomů, tvoří tedy vektorový prostor. Cvičení: 1. Zjistětě, zda jsou následující množiny vektorové prostory nad R. Pokud ne, určete, které axiomy vektorového prostoru nejsou splněny. (a) V = {(x, y, z)} s operacemi (x, y, z) + (x , y , z ) = (x + x , y + y , z + z ), k(x, y, z) = (kx, y, z) (b) V = {(x, y)} s operacemi (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ), k(x, y) = (2kx, 2ky) (c) V = {(x, y), x 0} se standardními operacemi sčítání vektorů, tj. (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ), a násobení vektoru skalárem, tj. k(x, y) = (kx, ky). (d) V = {(x, y)} s operacemi (x, y) + (x , y ) = (x + x + 1, y + y + 1), k(x, y) = (kx, ky) (e) Množina všech n-tic reálných čísel tvaru (x, x, . . . , x) se standardními operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem. (f) V = {(1, x)} s operacemi (1, x) + (1, x ) = (1, x + x ), k(1, x) = (1, kx) 10 (g) Množina všech matic typu 2 × 2 s reálnými koeficienty se standardními operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem. (h) Množina všech matic typu 2 × 2 tvaru a 1 1 b se standardními operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem. (i) Množina všech matic typu 2 × 2 tvaru a 0 0 b se standardními operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem. 2. Uvažte, zda může vektorový prostor obsahovat dva různé nulové prvky (vektory). Pokud ano, splňují oba axiom (4)? Zdůvodněte. 3. Uvažte, zda mohou k vektoru u ve vektorovém prostoru existovat dva různé opačné vektory (-u)1, (-u)2. Pokud ano, splňují oba axiom (5)? Zdůvodněte. 4. Nechť V = C a K = R. Ukažte, že C je vektorový prostor nad R. 5. Ukažte, že množina polynomů stupmě nejvýše 2 s reálnými koeficienty R2[x] = {a2x2 + a1x + a0, a2, a1, a0 R} tvoří vektorový prostor. 6. Nechť V = C2[x] je množina polynomů stupně nejvýše 2 s komplexními koeficienty. Ukažte, že V tvoří vektorový prostor nad C i nad R. 11 3. MATICE, OPERACE S MATICEMI Definujme nejprve základní operace s maticemi. Sčítání matic: Nechť A = (aij) a B = (bij) jsou matice typu m × n. Pak A + B = (aij) + (bij) je matice typu m × n pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. Násobení matic skalárem: Nechť A = (aij) je matice typu m × n, a R je skalár. Pak a A = (a aij) je matice typu m × n pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. Násobení matic: Nechť A = (aij) je matice typu m × n, B = (bjk) je matice typu n × p. Pak AB = C = (cik) je matice typu m × p a cik = n j=1 aijbjk pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n, k = 1, ..., p. Transponování matic: Nechť A = (aij) je matice typu m × n. Pak AT = (aji) je matice typu n × m pro i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. Stopa matice, ozn. Tr(A), je součet prvků matice na hlavní diagomále. Tr(A) je definována pouze pro čtvercové matice. Příklad: Mějme matice A = 2 1 0 3 1 0 , B = 2 0 1 4 3 1 -1 -1 , C = 3 2 -1 , D = 1 -1 2 1 , E = 1 0 -2 , F = 1 0 0 -7 . Vypočtěte matice 2D - 5F, A + 3C, CT , AT , 2C + 4ET , AB, EC, CE, F2 - 3D. Dále vypočtěte stopy matic A, ..., F. Řešení: 2D - 5F = 2 1 -1 2 1 - 5 1 0 0 -7 = 2 -2 4 2 - 5 0 0 -35 = -3 -2 4 37 Součet A + 3C není definován. CT = 3 2 -1 AT = 2 0 1 1 3 0 2C + 4ET = 2 3 2 -1 + 4 1 0 -2 = 6 4 -2 + 4 0 -8 = 10 4 -10 AB = 2 1 0 3 1 0 2 0 1 4 3 1 -1 -1 = = 2 2 + 1 3 2 0 + 1 1 2 1 + 1 -1 2 4 + 1 -1 0 2 + 3 3 0 0 + 3 1 0 1 + 3 (-1) 0 4 + 3 (-1) 1 2 + 0 3 1 0 + 0 1 1 1 + 0 (-1) 1 4 + 0 (-1) = 7 1 1 7 9 3 -3 -3 2 0 1 4 12 EC = 1 0 -2 3 2 -1 = 1 3 + 0 2 + (-2)(-1) = (5) CE = 3 2 -1 1 0 -2 = 3 1 3 0 3 (-2) 2 1 2 0 2 (-2) (-1) 1 (-1) 0 (-1) (-2) = 3 0 -6 2 0 -4 -1 0 2 F2 - 3D = 1 0 0 -7 1 0 0 -7 - 3 1 -1 2 1 = 1 0 0 49 - 3 -3 6 3 = -2 3 -6 46 Tr(D) = 2, Tr(F) = -6, pro ostatní matice není stopa definována. Cvičení: 1. Uvažme matice nad Z A = 1 0 2 1 -1 2 , B = -1 0 2 , C = 1 0 0 -1 0 2 0 5 , D = 1 1 1 2 , E = 1 -3 0 7 , F = 1 2 0 -2 0 -3 0 3 5 , G = 1 0 0 0 1 -4 1 0 1 , H = 1 0 1 -7 , I = 1 0 -2 4 . () Které matice můžeme násobit s A zleva a zprava? () Spočtěte (pokud je definováno): (a) EI (b) IE (c) D3 + 4DH - H2 (d) G2 - 3F (e) A - F (f) A - GFA (g) BACE - BFBT 2. Uvažme matice A = 3 0 -1 2 1 1 , B = 4 -1 0 2 , C = 1 4 2 3 1 5 , D = 1 5 2 -1 0 1 3 2 4 , E = 6 1 3 -1 1 2 4 1 3 . Spočtěte (je-li definováno): (a) (4B)C + 2B (b) 2AT + C (c) DT - ET (d) (D - E)T 13 (e) DT ET - (ED)T (f) (AB)C (g) A(BC) (h) Tr(D) (i) Tr(D - 3E) (j) 4Tr(7B) (k) Tr(A) (l) Tr(DDT ) (m) CT AT + 2ET 3. Mějme A a B blokové matice: A = A11 | A12 -- | -- A21 | A22 B = B11 | B12 -- | -- B21 | B22 Jejich součin lze vyjádřit: AB = A11B11 + A12B21 | A11B12 + A12B22 - - - - - - -- | - - - - - - -- A21B11 + A22B21 | A21B12 + A22B22 za předpokladu, že bloky matic A a B mají vhodné rozměry. Tato metoda se nazývá blokové násobení. Vynásobte následující matice blokově a výsledek ověřte obyčejným maticovým náso- bením: (a) A = -1 2 | 1 5 0 -3 | 4 2 -- -- | -- -- 1 5 | 6 1 B = 2 1 | 4 -3 5 | 2 -- -- | -- 7 -1 | 5 0 3 | -3 (b) A = -1 2 1 | 5 0 -3 4 | 2 -- -- -- | -- 1 5 6 | 1 B = 2 1 | 4 -3 5 | 2 -- -- | -- 7 -1 | 5 0 3 | -3 (c) A = 3 -1 0 | -3 2 1 4 | 5 B = 2 -4 1 3 0 2 1 -3 5 -- -- -- 2 1 4 14 4. Ukažte, že má-li A nulový řádek a B je matice taková, že AB je definován, pak AB obsahuje také nulový řádek. Taktéž ukažte, že má-li B nulový sloupec a AB je definován, pak i AB má nulový sloupec. 5. Nechť E = (eij) je matice typu n × n splňující eij = 1 pro i = j 0 pro i = j Ukažte, že AE = EA = A pro libovolnou matici A typu n × n. E se nazývá jednotková matice. 6. Najdětě matici A = (aij) typu 4 × 4 splňující následující podmínky: (a) aij = i + j (b) aij = ij-1 (c) aij = 1 pro |i - j| > 1 -1 pro |i - j| 1 7. Maticí A tvaru n × n takovou, že (a) A22 = a, Aii = 1 pro všechna i = 2 a Aij = 0 pro i = j, (b) A13 = A22 = A31 = Aii = 1 pro i 4 a Aij = 0 pro všechny ostatní dvojice ij, (c) A13 = a, Aii = 1 pro všechna i a Aij = 0 pro všechny ostatní dvojice ij vynásobte obecnou matici B = (Bij) tvaru n × m zleva a obecnou matici C = (Cij) tvaru m × n zprava. Jak se výsledky násobení liší od matice B, resp. C? 8. Najděte matici A typu 2 × 2 takovou, že zobrazení x y A x y , R2 R2 , je stejnolehlost se středem v 0 0 a koeficientem 3. 9. Najděte matici A typu 2 × 2 tak, aby A x y = 3x - 2y -x + y . 10. Kolik existuje matic A typu 3 × 3 takových, že platí: (a) A x y z = x + y x - y 0 (b) A x y z = xy 0 0 15 11. Matice B se nazývá odmocninou matice A, jestliže platí BB = A. (a) Najděte odmocninu matice A = 2 2 2 2 . (b) Kolik existuje různých odmocnin matice A = 5 0 0 9 . (c) Mají všechny matice typu 2 × 2 odmocninu? Vysvětlete. 12. Nechť O je nulová matice typu 2 × 2. (a) Existují matice A typu 2 × 2 takové, že A = O a AA = O? Dokažte. (b) Existují matice A typu 2 × 2 takové, že A = O a AA = A? Dokažte. 13. Ukažte, že násobení sloupcového vektoru v R2 maticí A = cos - sin sin cos reprezentuje otočení v rovině o úhel . Spočtěte A2 , A3 (obecně Ak ). 14. Nechť A = 1 1 1 2 . Dokažte, že An = a2n-1 a2n a2n a2n+1 , kde {an} je Fibonacciho posloupnost a a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2. 15. Orientovaný graf G je tvořen množinou vrcholů V = {1, 2, ..., n} a množinou hran H = {(i, j) : i, j V }. Matice grafu G je definována takto: aij = 1 právě, když (i, j) H, aij = 0 právě, když (i, j) H. Cesta délky k je tvořena posloupností čísel i1, i2, ..., ik, ik+1 takových, že (i1, i2), (i2, i3), ..., (ik, ik+1) H. Určete, jaký je vztah mezi A2 , A3 , ..., Ak a cestami délky 2, 3, ..., k. 16 4. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad: Řešte systém rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. 2x1 + 3x2 - x4 = 1 3x1 + 2x2 + 4x3 - 2x4 = 0 x1 - x2 + 4x3 - x4 = 2 Řešení: Rozšířená matice soustavy je 2 3 0 -1 | 1 3 2 4 -2 | 0 1 -1 4 -1 | 2 Pomocí EŘO (elementárních řádkových operací) upravujeme na schodovitý tvar. Poslední řádek matice dáme na první místo, potom jeho (-2)-násobek přičteme k původnímu prvnímu řádku, který posuneme na druhé místo, a jeho (-3)-násobek přičteme k původnímu druhému řádku, který posuneme na třetí místo. Tak dostaneme matici 1 -1 4 -1 | 2 0 5 -8 1 | -3 0 5 -8 1 | -6 Přičtením (-1)-násobku druhého řádku k třetímu dostaneme matici 1 -1 4 -1 | 2 0 5 -8 1 | -3 0 0 0 0 | -3 Už z tohoto tvaru vidíme, že soustava odpovídající poslední matici nemá řešení, jelikož obsahuje rovnici 0 = -3. Tedy ani původní soustava (přestože obsahuje více neznámých než rovnic) nemá řešení. Příklad: Uvažujme soustavu 4x1 + 3x2 + 6x3 = 1 3x1 + 5x2 + 4x3 = 10 x1 - 2x2 + 2x3 = -9 tří rovnic o třech neznámých nad polem R. 17 Řešení: Rozšířená matice soustavy je 4 3 6 | 1 3 5 4 | 10 1 -2 2 | -9 . Pomocí EŘO upravujeme na redukovaný schodovitý tvar. Třetí řádek dáme na první místo. Jeho (-1)-násobek přičteme k původnímu prvnímu řádku, který dáme na druhé místo, a jeho (-3)-násobek přičteme k původnímu druhému rádku, který nýní dáme na třetí místo. 1 -2 2 | -9 0 11 -2 | 37 0 11 -2 | 37 . (-2)-násobek druhého řádku přičteme k (11)-násobku prvního řádku a jeho (-1)-násobek přičteme ke třetímu řádku. Výsledná matice už je v redukovaném schodovitém tvaru. 11 0 18 | -25 0 11 -2 | 37 0 0 0 | 0 . Matice odpovídá soustavě rovnic 11x1 + 18x3 = -25 11x2 - 2x3 = 37, která je ekvivalentní s původní soustavou. Proměnnou x3 si zvolíme za parametr t R. Z první rovnice určíme x1: 11x1 + 18t = -25 11x1 = -25 - 18t x1 = -25 - 18t 11 . Z druhé rovnice určíme x2: 11x2 - 2t = 37 11x2 = 37 + 2t x2 = 37 + 2t 11 . Vidíme, že původní soustava (přestože počet rovnic je stejný jako počet neznámých) má nekočně mnoho řešení. Příklad: Uvažujme soustavu x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0 2x1 + 4x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 0 3x3 + 4x4 = 0 18 čtyř rovnic o čtyřech neznámých nad polem Z5. Řešení: Protože se jedná o homogenní soustamu, stačí upravovat její (nerozšířenou) matici 1 1 2 3 2 0 4 0 1 2 1 3 0 0 3 4 . (-2)-násobek, tj. 3-násobek prvního řádku přičteme k druhému řádku a jeho (-1)-násobek, tj. 4-násobek přičteme k třetímu řádku. Dostaneme matici 1 1 2 3 0 3 0 4 0 1 4 0 0 0 3 4 . (-1)-násobek, tj. 4-násobek třetího řádku přičteme k prvnímu řádku a jeho (-3)-násobek, tj. 2-násobek přičteme k druhému řádku. Konečně výměnou druhého a třetího řádku dostaneme matici 1 0 3 3 0 1 4 0 0 0 3 4 0 0 3 4 . Třetí řádek odečteme od prvního a od čtvrtého řádku. Dále jej vynásobíme skalárem 3-1 = 2. Potom jeho (-4)-násobek, tj. přímo tento nový třetí řádek přičteme k druhému řádku. Výsledná matice už je v redukovaném schodovitém tvaru. 1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 Proměnnou x4 si zvolíme za parametr. Všechna řešení soustavy pak mají tvar x1 = t, x2 = 2t, x3 = 2t, x4 = t, kde t Z5. Vidíme, že původní soustava (přestože počet rovnic je stejný jako počet neznámych) má více než jedno řešení; není jich však nekonečně mnoho, ale pouze 5. Právě tolik je totiž možných voleb parametru t, tj. prvků pole Z5. Příklad: Uvažujme soustavu lineárních rovnic v neznámých x, y, z: x + cy - cz = -3 x + (c - 1)y - (c + 3)z = -5 x + (c + 1)y + 2z = d - 1 19 Najděte všechny hodnoty parametrů c, d, pro které má soustava (a) jediné řešení, (b) nekonečně mnoho řešení, (c) žádné řešení. V případech (a), (b) najděte tato řešení v závislosti na parametrech c, d. Řešení: Matici soustavy 1 c -c | -3 1 c - 1 -c - 3 | -5 1 c + 1 2 | d - 1 převedeme pomocí Gaussovy eliminace na schodovitý tvar. První řádek opíšeme, k (-1)násobku druhého řádku přičteme první řádek, ke třetímu řádku pričteme (-1)-násobek prvního řádku. 1 c -c | -3 0 1 3 | 2 0 1 2 + c | d + 2 Nyní první a druhý řádek opíšeme a ke třetímu řádku přičteme (-1)-násobek druhého řádku. Získáme matici 1 c -c | -3 0 1 3 | 2 0 0 c - 1 | d , ze které určíme, že (a) soustava má jediné řešení pro c = 1, a to: x = 4cd - c - 2c2 + 3 c - 1 , y = 2c - 2 - 3d c - 1 , z = d c - 1 ; (b) pro c = 1, d = 0 doplníme hodnoty parametrů do upravené matice soustavy, z níž již lehce určíme, že soustava má nekonečně mnoho řešení, která jsou tvaru x = -5 + 4p, y = 2 - 3p, z = p, kde p R je parametr; (c) pro c = 1, d = 0 soustava obsahuje rovnici 0 = d, v tomto případě tedy nemá řešení. Cvičení: 1. Řešte soustavu rovnic v R a Z5 užitím Gaussovy eliminace. x1 + x2 - 3x3 = -1 2x1 - x2 - 3x4 = 5 x1 + x2 + x3 = 3 x1 + 2x2 - 3x3 = 1 20 2. Řešte soustavu rovnic v R, Z5 a Z7 užitím Gaussovy eliminace. 2x1 - x2 + x3 - x4 = 1 2x1 - x2 - 3x4 = 2 3x1 - x3 + x4 = -3 2x1 + 2x2 - 2x3 + 5x4 = -6 3. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. 2x1 - 3x2 + 17x3 - 29x4 - 36x5 = 22 2x1 - 3x2 + 18x3 - 27x4 + 33x5 = 21 12x1 - 18x2 + 102x3 - 174x4 - 216x5 = 132 2x1 - 3x2 + 21x3 - 24x4 - 30x5 = 20 2x1 - 3x2 + 24x3 - 21x4 - 27x5 = 19 Soustavu řešte také jako homogenní. 4. Řešte soustavu rovnic v C užitím Gaussovy eliminace. (a) x + 2iy = 5 + 4i (3 - i)y + (6 - 2i)z = 10 2x - z = 5 + 3i x + y + z = 5 + 2i (b) (1 + i)x + 3iy = -i (1 + 2i)x + (1 - i)y = 6 + i (c) (1 + i)x + (1 - i)y = 6 + 4i ix + (1 + 2i)y = -3 + 5i 5. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. x1 + 3x2 - 2x3 + 2x5 = 0 2x1 + 6x2 - 5x3 - 2x4 + 4x5 - 3x6 = -1 5x3 + 10x4 + 15x6 = 5 2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6 21 6. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. 2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0 -x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0 7. Řešte soustavu rovnic v R užitím Gaussovy eliminace. 3x1 - 2x2 = -1 4x1 + 5x2 = 3 7x1 + 3x2 = 2 8. Řešte následující systém rovnic, kde a, b, c jsou konstanty. x1 + x2 + x3 = a 2x1 + 2x3 = b 3x2 + 3x3 = c 9. Řešte následující systém rovnic. 2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 = 9 x1 - 2x3 + 7x4 = 11 3x1 - 3x2 + x3 + 5x4 = 8 2x1 + x2 + 4x3 + 4x4 = 10 10. Řešte následující systém rovnic. 7x1 + 3x2 - 2x3 = 1 -x1 + 6x2 - 3x3 = 2 -10x1 + 15x2 - 11x3 = 4 Soustavu řešte také jako homogenní. 11. Zjistěte, pro které hodnoty parametrů a a b má soustava v R (i) právě jedno řešení, (ii) více než jedno řešení, (iii) žádné řešení. (a) ax + y - 2z = 1 x - y + z = 0 (1 + a)y - z = b 22 (b) x - ay - 2z = b x + (1 - a)y = b - 3 x + (1 - a)y + az = 2b - 1 12. Zjistěte, pro které hodnoty parametrů a a b má soustava v Z5 (i) právě jedno řešení, (ii) více než jedno řešení, (iii) žádné řešení. 2x + 3y = 1 3x + 4y + az = 2 3x + 4az = b 13. V Z5 řešte soustavu rovnic x + y = 1 2x + 3z = 0 4x + y + 2z = 1 Napište výčtem všechny prvky množiny řešení. 14. V Z5 řešte následující systém rovnic v závislosti na parametrech a a b. ax + y = b ay + z = 2b x + az = 4 15. Určete parametry a, b, c tak, aby následující systém měl právě jedno řešení. ax + by = c cx + az = b bz + cy = a 16. Řešte soustavu rovnic v závislosti na parametrech a, b. ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1 23 5. INVERZNÍ MATICE Řekneme, že matice A Matn(K) má inverzní matici, jetliže existuje matice B Matn(K) taková, že AB = BA = E. Ke každé matici existuje nejvýše jedna inverzní matice. Značíme ji A-1 . Matici, která má matici inverzní, nazýváme regulární maticí. Metoda výpočtu inverzní matice spočívá v použití EŘO. Nechť A je matice typu n×n. Vytvoříme blokovou matici B tak, že zapíšeme A a jednotkovou matici E vedle sebe ­ A nalevo, E napravo: B = a11 a1n | 1 0 ... ... ... | ... ... ... an1 ann | 0 1 Matici B upravujeme nejdříve na schodovitý tvar. Pokud je ve schodovitém tvaru v levém bloku řádek ze samých nul, inverzní matice k A neexistuje. Pokud tento případ nenastane, pokračujeme v řádkových úpravách tak, abychom v levém bloku dostali jednotkovou matici. (Tento postup se nazývá zpětmá Gaussova eliminace.) V pravém bloku je potom A-1 . Příklad: Najděte inverzní matici k matici A = 1 1 1 2 3 3 -1 -3 -2 . Řešení: Vytvoříme blokovou matici tak, že A napíšeme nalevo, E napravo a upravujeme pomocí EŘO na schodovitý tvar (přímou Gaussovou eliminací). 1 1 1 | 1 0 0 2 3 3 | 0 1 0 -1 -3 -2 | 0 0 1 1 1 1 | 1 0 0 0 1 1 | -2 1 0 0 -2 -1 | 1 0 1 1 1 1 | 1 0 0 0 1 1 | -2 1 0 0 0 1 | -3 2 1 Ze schodovitého tvaru vidíme, že A-1 existuje. Matici tedy dále upravujeme na redukovaný schodovitý tvar (zpětnou Gaussovou eliminací). 1 1 0 | 4 -2 -1 0 1 0 | 1 -1 -1 0 0 1 | -3 2 1 1 0 0 | 3 -1 0 0 1 0 | 1 -1 -1 0 0 1 | -3 2 1 Tedy A-1 = 3 -1 0 1 -1 -1 -3 2 1 Správnost výpočtu ověříme vynásobením A s A-1 . 24 Příklad: Najděte inverzní matici k matici C = i -2 1 i . Řešení: Napíšeme blokovou matici nalevo s maticí C, napravo s jednotkovou maticí a upravujeme na redukovaný schodovitý tvar: i -2 | 1 0 1 i | 0 1 První řádek vynásobíme -i, od druhého řádku odečteme nový první řádek. 1 2i | -i 0 0 -i | i 1 K prvnímu řádku přičteme dvojnásobek druhého řádku, druhý řádek vynásobíme i. 1 0 | i 2 0 1 | -1 i Tedy C-1 = i 2 -1 i Cvičení: 1. Vypočtěte inverzní matice k daným maticím. A = 8 5 11 7 , B = 1 3 1 4 , C = 1 2 3 0 1 2 0 0 1 , D = 1 -4 -3 1 -5 -3 -1 6 4 , E = 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 , F = 3 3 -4 -3 0 6 1 1 5 4 2 1 2 3 3 2 , G = 1 4 -2 3 2 9 3 -2 -1 -6 -11 4 0 -1 -6 0 . 2. Mějme matice A = 3 1 5 2 , B = 2 -3 4 4 , C = 6 4 -2 -1 . (a) Najděte jejich inverze. (b) Ukažte, že i. (A-1 )-1 = A ii. (BT )-1 = (B-1 )T iii. (AB)-1 = B-1 A-1 iv. (ABC)-1 = C-1 B-1 A-1 25 3. Najděte inverzní matice k daným maticím. K = , L = cos - sin sin cos , M = 2 - n 1 1 1 1 2 - n ... 1 1 ... ... ... ... ... 1 ... 2 - n 1 1 1 2 - n , N = 1 1 0 0 0 1 1 0 ... ... ... ... ... 0 0 1 1 0 0 1 . 4. Najděte inverzní matice k následujícím maticím v C. A = 1 + i 1 - i 2 i , B = 2 i 1 0 , C = 1 1 - i 2 - 3i 4 , D = 1 i -i 3 , E = -i 2 0 1 . 26 6. VEKTOROVÉ PODPROSTORY, LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, LINEÁRNÍ OBALY 6.1 VEKTOROVÉ PODPROSTORY Množima S V se nazývá lineární podprostor vektorového prostoru V, jestliže S = a pro všechny skaláry a K a vektory x, y S platí (1) x + y S (2) ax S Tzn. neprázdná množina S V je lineární podprostor právě tehdy, když je uzavřená vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem. Příklad: Určete, zda množina M = {(x, y) R; x 0, y 0} tvoří vektorový podprostor v R2 . Řešení: Pokud M tvoří vektorový podprostor, musí splňovat výše uvedené podmínky. Ověříme nejprve uzavřenost množiny M vzhledem k operaci sčítání vektorů. Jestliže vektor x = (x1, x2) 0 (zápis (x1, x2) 0 znamená x1 0 a x2 0) a vektor y = (y1, y2) 0, pak i jejich součet x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 0. Nyní ověříme uzavřenost množiny M vzhledem k operaci násobení skalárem. Nechť a R. Pak a(x, y) = (ax, ay). Pro a 0 je podmínka splněna, ale pro a záporné je (ax, ay) < 0. Tedy M netvoří vektorový podprostor. Cvičení: 1. Zjistěte, zda daná množina tvoří vektorový podprostor v R2 . (a) M = {(x, y) R2 ; x y 0} (b) M = {(x, y) R2 ; x = y + 1} 2. Určete, které z následujících množin tvoří vektorové podprostory v R3 . (a) N = {(a, 1, 1) R3 } (b) N = {(a, b, c) R3 ; b = a + c} 3. Určete, které z následujících množin tvoří vektorové podprostory v Matn(K). (a) M = { a b c d Mat2(K); a + b + c + d = 0} (b) M = {A Matn(K); Tr(A) = 0} 4. Určete, které z následujících množin jsou vektorové podprostory v R3[x]. (a) P = {a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ; a0 = 0, a1, a2, a3 R} (b) P = {a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ; a0, a1, a2, a3 Z} 27 6.2 LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, LINEÁRNÍ OBALY Nechť u1, ..., un V, a1, ..., an K. Vektor u = a1u1 + ... + anun se nazývá lineární kombinací vektorů u1, ..., un s koeficienty a1, ..., an. Řekneme, že vektory u1, ..., un jsou ­ lineárně nezávislé, jestliže pro libovolné koeficienty a1, ..., an K platí a1u1 + ... + anun = 0 a1 = a2 = ... = an = 0, ­ lineárně závislé, jestliže nejsou lineárně nezávislé. Tzn. existuje-li jejich lineární kombinace s alespoň jedním nenulovým koeficientem rovnající se nulovému vektoru. Nechť M = {u1, ..., uk} = je konečná podmnožina V. Množina {a1u1 + ... + akuk; a1, ..., ak K} všech konečných lineárních kombinací vektorů u1, ..., uk se nazývá lineární obal množiny M, ozn. [M]. Jestliže M = , potom [] = {0}. Příklad: Zjistěte, zda jsou vektory v1 = (1, -1, 0, 2)T , v2 = (2, 2, -1, 3)T , v3 = (0, 1, 1, 0)T , v4 = (3, 2, 0, 5)T lineárně závislé v R4 nad R. Určete jejich lineární obal. Řešení: Vektory v1, v2, v3, v4 jsou lineárně nezávislé, právě když rovnice v neznámých a1, a2, a3, a4 a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0 má právě jedno řešení, a to a1 = a2 = a3 = a4 = 0. Porovnáním souřadnic můžeme tuto rovnici psát jako soustavu rovnic a1 + 2a2 + 3a4 = 0 -a1 + 2a2 + a3 + 2a4 = 0 -a2 + a3 = 0 2a1 + 3a2 + 5a4 = 0 Nyní napíšeme matici soustavy a soustavu řešíme Gaussovou eliminací. 1 2 0 3 -1 2 1 2 0 -1 1 0 2 3 0 5 1 2 0 3 0 4 1 5 0 -1 1 0 0 -1 0 -1 1 2 0 3 0 4 1 5 0 0 5 5 0 0 1 1 1 2 0 3 0 4 1 5 0 0 1 1 0 0 0 0 Soustava má více řešení, tzn. že vektory jsou lineárně závislé. Vedoucí prvky řádků výsledné matice jsou v prvním, druhém a třetím sloupci, tedy tyto tři vektory (sloupce) jsou lineárně nezávislé. Protože výsledná a původní matice jsou řádkově ekvivalentní, pořadí vektorů ve výsledné matici odpovídá pořadí vektorů v matici původní. Hledané lineárně nezávislé vektory jsou tedy první, druhý a třetí sloupec původní matice, tzn. vektory v1, v2, v3. 28 Nyní se ptáme, zda je vektor v4 lineární kombinací vektorů v1, v2, v3, neboli zda v4 patří do lineárního obalu tvořeného vektory v1, v2, v3. Pokud ano, existují koeficienty c1, c2, c3 splňující rovnici c1v1 + c2v2 + c3v3 = v4. Matici této soustavy opět převedeme na schodovitý tvar. 1 2 0 | 3 -1 2 1 | 2 0 -1 1 | 0 2 3 0 | 5 1 2 0 | 3 0 4 1 | 5 0 0 1 | 1 0 0 0 | 0 Soustava má řešení, tj. vektor v4 je lineární kombinací vektorů v1, v2, v3, tedy v4 [v1, v2, v3]. Všimněte si, že poslední řádkové úpravy jsou stejné jako úpravy, při nichž jsme zjišťovali, zda jsou v1, v2, v3, v4 lineárně závislé. Příklad: Zjistěte, zda jsou polynomy 1 + x, 1 - x, 2 + x - x2 lineárně závislé v R2[x]. Řešení: Pokud jsou dané polynomy lineárně nezávislé, musí být rovnice a1(1+x)+a2(1x) + a3(2 + x - x2 ) = 0 splněna pouze pro koeficienty a1 = a2 = a3 = 0. Předpokládejme tedy jejich nezávislost. Pak platí a1(1 + x) + a2(1 - x) + a3(2 + x - x2 ) = 0 Roznásobením závorek dostaneme rovnici a1 + a1x + a2 - a2x + 2a3 + a3x - a3x2 = 0 a následným sečtením koeficientů u stejných mocnin x získáme rovnici (a1 + a2 + 2a3) + (a1 - a2 + a3)x + (-a3)x2 = 0 Z poslední rovnice plyne, že koeficienty u mocnin x0 = 1, x1 = x, x2 musí být rovny nule: a1 + a2 + 2a3 = 0 a1 - a2 + a3 = 0 -a3 = 0 Řešíme danou soustavu 1 1 2 | 0 1 -1 1 | 0 0 0 -1 | 0 1 1 2 | 0 0 2 1 | 0 0 0 1 | 0 Soustava má jediné řešení. Tedy polynomy 1 + x, 1 - x, 2 + x - x2 jsou lineárně nezávislé. 29 Příklad: Nechť v1, v2, v3 jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru V. Potom v1 - v2, v2 - v3, v2 + v3 jsou rovněž lineárně nezávislé. Dokažte. Řešení: Nechť a1(v1 - v2) + a2(v2 - v3) + a3(v2 + v3) = 0 Úpravou dostáváme a1v1 - a1v2 + a2v2 - a2v3 + a3v3 + a3v2 = 0 a dále a1v1 + (-a1 + a2 + a3)v2 + (-a2 + a3)v3 = 0 Z nezávislosti vektorů v1, v2, v3 plyne a1 = 0 -a1 + a2 + a3 = 0 -a2 + a3 = 0 Řešíme danou soustavu 1 0 0 | 0 -1 1 1 | 0 0 -1 1 | 0 1 0 0 | 0 0 1 1 | 0 0 0 1 | 0 Řešením soustavy dostáváme a1 = a2 = a3 = 0. Tedy vektory v1 - v2, v2 - v3, v2 + v3 jsou lineárně nezávislé. Cvičení: 1. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé následující vektory v Rn . Určete jejich lineární obal. (a) u1 = (1, 0, 2), u2 = (2, 0, 1), u3 = (1, 2, 0) (b) u1 = (-3, 0, 4), u2 = (3, 2, 5), u3 = (6, -1, 1) (c) u1 = (1, - 2, -1), u2 = (1 - 2, 2, 1 + 2), u3 = ( 2, -2 - 2, -2 - 2) (d) u1 = (-1, -1, 1, 1), u2 = (1, -1, 1, -1), u3 = (-1, 1, 1, -1), u4 = (1, 1, 1, 1) (e) u1 = (3, 8, 7, -3), u2 = (1, 5, 3, -1), u3 = (2, -1, 2, 6), u4 = (1, 4, 0, 3) (f) u1 = (1, 0, -2, 3), u2 = (-1, 3, 0, 0), u3 = (2, 0, 1, 1), u4 = (1, 6, -1, 4) 2. Z následujících vektorů vyberte maximální podmnožinu lineárně nezávislých vektorů (a) v1 = (1, 0, 1), v2 = (2, 5, 4), v3 = (3, 6, 1), v4 = (1, -1, 0), v5 = (1, 1, 5) (b) v1 = (1, 0, 2, 4), v2 = (2, 3, -1, 0), v3 = (3, 3, 1, 4), v4 = (1, 1, 1, 1), v5 = (2, 2, 0, 3), v6 = (1, 0, 0, 0) 30 3. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé následující polynomy v Rn[x]. (a) 1 - x, x - x2 , x2 - x3 , x3 - 1 (b) 1 + x, x + x2 , x2 + x3 , x3 + 1 (c) 2 - x + 4x2 , 3 + 6x + 2x2 , 2 + 10x - 4x2 (d) 1 + 3x + 3x2 , x + 4x2 , 5 + 6x + 3x2 , 7 + 2x - x2 4. Zjistěte, zda vektor x = (7, 2, -2) patří do lineárního obalu množiny vektorů (a) {(1, 0, -1), (2, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 1, 1), (5, 2, -1)} (b) {(2, 1, -1), (-2, 1, -1), (1, 0, 0), (4, 7, -7)} 5. Je dána množina M = {1 + 2x - x2 , 2 - x + x2 , 5 + x2 } polynomů v R2[x]. Zjistěte, zda polynom (a) -6 - 2x (b) 1 + x + x2 patří do lineárního obalu množiny M. 6. Nechť u, v, w, z jsou lineárně nezávislé vektory vektorového prostoru V. Zjistěte, zda jsou lineárně závislé nebo nezávislé vektory (a) u + v, u - v, u + v + w (b) u - v, v - w, w - u (c) u + v + w, v + w + z, w + z + u, z + u + v 31 7. BÁZE A DIMENZE VEKTOROVÉHO PROSTORU, SOUŘADNICE, SOUČTY A PRŮNIKY PODPROSTORŮ Vektorový prostor V je konečněrozměrný, jestliže v něm existuje konečná podmnožina {u1, ..., un} taková, že každý vektor u V je lineární kombinací vektorů u1, ..., un. Báze konečnědimenzionálního prostoru V je množina {u1, ..., un} taková, že (1) každý vektor u V je lineární kombinací {u1, ..., un}, (2) vektory u1, ..., un jsou lineárně nezávislé. Tyto dvě vlastnosti jsou ekvivalentní s tím, že každý vektor u V lze psát ve tvaru u = n i=1 xiui (1) právě jedním způsobem. Je-li V konečněrozměrný, mají všechny jeho báze stejný počet prvků. Dimenze konečněrozměrného vektorového prostoru V je číslo dim V udávající počet prvků nějaké jeho báze. Nechť = {u1, ..., un} je báze prostoru V a u V. Potom u lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru (1). Sloupcový vektor (u) = x1 x2 ... xn nazýváme sloupcem souřadnic a skaláry x1, ..., xn souřadnicemi vektoru u v uspořádané bázi . Označme ei Kn vektor skládající se ze samých nul, kromě i-té složky, která je 1. Potom = (e1, ..., en) je báze vektorového prostoru Kn . Nazýváme ji standardní nebo také kanonickou bazí tohoto prostoru. Pro libovolný vektor x = (x1, ..., xn)T Kn platí x = x1e1 + + xnen, proto (x) = x, tj. každý vektor x V splývá se svými vlastními souřadnicemi ve standardní bázi. Nechť S, T jsou podprostory vektorového prostoru V. Množina S + T = {x + y; x S, y T} je opět podprostor vektorového prostoru V, nazývá se součet podprostorů S a T. Jestliže S T = , součet S + T se nazývá přímý. 32 Nechť V je konečněrozměrný vektorový prostor. Potom platí dim S + dim T = dim(S + T) + dim(S T) Příklad: Najděte nějakou bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M ve vektorovém prostoru V. (a) V = R4 , M = {(1, 2, 3, 4), (-2, -3, -4, -5), (3, 4, 5, 6), (-4, -5, -6, -7), (5, 6, 7, 8)}, (b) V = R3[x], M = {1 + x + x3 , 1 - x, 2x - x2 , 2 - x2 , 2x + x2 + x3 }. Řešení: (a) Souřadnice vektorů množiny M ve standardní bázi R4 zapíšeme do sloupců matice, kterou upravíme řádkovými úpravami na schodovitý tvar, z něhož určíme lineárně nezávislé vektory. 1 -2 3 -4 5 2 -3 4 -5 6 3 -4 5 -6 7 4 -5 6 -7 8 1 -2 3 -4 5 0 1 -2 3 -4 0 2 -4 6 -8 0 3 -6 9 -12 1 -2 3 -4 5 0 1 -2 3 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Třetí, čtvrtý a pátý vektor jsou lineární kombinací prvních dvou vektorů, které jsou lineárně nezávislé a tvoří tedy bázi množiny M. Tzn. M = {(1, 2, 3, 4), (-2, -3, -4, -5)}, dim[M] = 2. (b) Souřadnice polynomů množiny M ve standardní bázi prostoru R3[x], tj. v bázi (1, x, x2 , x3 ), zapíšeme do sloupců matice a provádíme řádkové úpravy. 1 1 0 2 0 1 -1 2 0 2 0 0 -1 -1 1 1 0 0 0 2 1 1 0 2 0 0 -1 1 -1 1 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 V tomto případě jsou lineárně nezávislé první tři vektory, tedy M = {{1 + x + x3 , 1 x, 2x - x2 }, dim[M] = 3. Příklad: Doplňte množinu M = {(-1, 1, 0, 0), (0, -1, 1, 0), (0, 0, -1, 1)} na bázi R4 . Řešení: Jsou-li vektory množiny M lineárně nezávislé, lze ji doplnit na bázi celého R4 a to výběrem z nějaké generující množiny v R4 . K daným vektorům tedy doplníme další vektory (nejlépe vektory tvořící standardní bázi R4 ) a pomocí Gaussovy eliminace vybereme bázi R4 : -1 0 0 | 1 0 0 0 1 -1 0 | 0 1 0 0 0 1 -1 | 0 0 1 0 0 0 1 | 0 0 0 1 -1 0 0 | 1 0 0 0 0 -1 0 | 1 1 0 0 0 0 -1 | 1 1 1 0 0 0 0 | 1 1 1 1 33 Vidíme, že vektory množiny M jsou lineárně nezávislé a že doplněním kteréhokoliv z přidaných vektorů k M získáme bázi R4 . Příklad: Najděte souřadnice vektoru v v bázi vektorového prostoru V: (a) V = R3 , v = (1, 2, 3), = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)), (b) V = Mat2(R), v = 1 2 3 4 , = 1 0 0 0 , 1 1 0 0 , 1 1 1 0 , 1 1 1 1 . Řešení: Vektor v vyjádříme jako lineární kombinaci prvků báze . Výpočet souřadnic pak převedeme na řešení systému lineárních rovnic, který má vždy jediné řešení, neboť je báze V. (a) Nechť (1, 2, 3) = a(1, 1, 0) + b(1, 0, 1) + c(0, 1, 1) Potom (1, 2, 3) = (a + b, a + c, b + c) Porovnáním získáme systém a + b = 1 a + c = 2 b + c = 3 Rozšířenou matici systému upravíme na redukovaný schodovitý tvar: 1 1 0 | 1 1 0 1 | 2 0 1 1 | 3 1 0 0 | 0 0 1 0 | 1 0 0 1 | 2 Řešením systému je a = 0, b = 1, c = 2, tedy (v) = (0, 1, 2)T (b) Postupujeme analogicky jako v (a): 1 2 3 4 = a 1 0 0 0 + b 1 1 0 0 + c 1 1 1 0 + d 1 1 1 1 Úpravou dostáváme systém a + b + c + d = 1 b + c + d = 2 c + d = 3 d = 4 34 jehož řešením je a = -1, b = -1, c = -1, d = 4. Potom (v) = (-1, -1, -1, 4)T Příklad: Nechť P1 = [M1], P2 = [M2] v R4 , kde M1 = {u1 = (4, 0, -2, 6), u2 = (2, 1, -2, 3), u3 = (3, 1, -2, 4)} M2 = {v1 = (1, -1, 0, 2), v2 = (2, 2, -1, 3), v3 = (0, 1, 1, 0)} Najděte P1 + P2, P1 P2, jejich báze a dimenze. Řešení: Protože P1 + P2 = {x + y; x P1, y P2}, platí P1 + P2 = [M1 M2]. Pomocí EŘO určíme bázi [M1 M2]: 4 2 3 1 2 0 0 1 1 -1 2 1 -2 -2 -2 0 -1 1 6 3 4 2 3 0 4 2 3 1 2 0 0 1 1 -1 2 1 0 -2 -1 1 0 2 0 -3 -2 2 0 3 4 2 3 1 2 0 0 1 1 -1 2 1 0 0 1 -1 4 4 0 0 1 -1 6 6 4 2 3 1 2 0 0 1 1 -1 2 1 0 0 1 -1 4 4 0 0 0 0 2 2 Vidíme, že vektory u1, u2, u3, v2 jsou lineárně nezávislé, tedy P1 + P2 = [u1, u2, u3, v2] = R4 , dim(P1 + P2) = 4. Nyní nechť x P1 P2. Potom platí: x = a1u1 + a2u2 + a3u3 P1 x = b1v1 + b2v2 + b3v3 P2 Tedy a1u1 + a2u2 + a3u3 = b1v1 + b2v2 + b3v3 a1u1 + a2u2 + a3u3 - b1v1 - b2v2 - b3v3 = 0 Soustavu přepíšeme do matice soustavy, pomocí EŘO upravíme na schodovitý tvat a určíme koeficienty a1, ..., b3: 4 2 3 -1 -2 0 0 1 1 1 -2 -1 -2 -2 -2 0 1 -1 6 3 4 -2 -3 0 4 2 3 -1 -2 0 0 1 1 1 -2 -1 0 0 1 1 -4 -4 0 0 0 0 -2 -2 Tedy a1 = r, a2 = -p, a3 = -r, b1 = r, b2 = -p, b3 = p, kde p, r R jsou parametry. Podle předchozího to znamená: 35 P1 P2 = {x = ru1 - pu2 - ru3; p, r R} = {x = r(u1 - u3) - pu2; p, r R} = {x = r(1, -1, 0, 2) + p(-2, -1, 2, -3); p, r R} = [(1, -1, 0, 2), (-2, -1, 2, -3)] Tentýž výsledek dostaneme s použitím vektorů v1, v2, v3 : P1 P2 = {x = rv1 - pv2 + pv3; p, r R} = {x = rv1 + p(v3 - v2); p, r R} = {x = r(1, -1, 0, 2) + p(-2, -1, 2, -3); p, r R} = [(1, -1, 0, 2), (-2, -1, 2, -3)] dim(P1 P2) = 2 Cvičení: 1. Doplňte množinu M na bázi vektorového prostoru V: (a) M = {(1, -2, 0, 0), (2, 1, 1, 3), (0, 1, 0, 1)}, V = R4 (b) M = {1 - x, 1 + x + x2 , x2 - x3 }, V = R3[x] (c) M = 1 1 1 1 , 1 2 1 0 , 1 1 2 0 , V = Mat2R 2. Který z vektorů u1, u2, u3, u4 doplňuje množinu na bázi prostoru R4 ? (a) = ((1, -2, 1, -1), (1, 0, -1, -1), (1, 1, -2, 0)), u1 = (-1, 2, -1, 1), u2 = (3, -1, -2, -1), u3 = (2, 1, 0, -2), u4 = (2, 1, -3, -2) (b) = ((1, 3, 0, -1), (1, 0, 0, -1), (0, 2, 1, 0)), u1 = (-1, 1, -1, 1), u2 = (3, -1, 0, -3), u3 = (2, 1, 0, -2), u4 = (1, -2, 0, -1) 3. Najděte bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny M: (a) M = {(1, 2, 3), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} (b) M = {2x - 1, x3 + x + 1, x2 + x, 2x2 + 1, x3 + 3x2 + 2x + 2} (c) M = 1 1 1 1 , 1 -1 -1 1 , 1 2 2 1 , 2 0 0 2 , 0 1 1 1 4. Najděte nějakou bázi vektorového prostoru M = {(x1, ..., xn) Rn ; x1+ +xn = 0}, doplňte ji na bázi celého Rn a určete dim M. 5. Určete dimenzi podprostoru P vektorového prostoru Rn[x]: (a) P = {f Rn[x]; f(0) = 0} (b) P = {f Rn[x]; f(0) = f(1) = 0} 6. Nechť P1 = {f R5[x]; f(x) = f(-x)} P2 = {f R5[x]; f(x) = -f(-x)} P3 = {f R5[x]; f(1) = f(2) = 0} jsou podprostory v R5[x]. (a) najděte jejich báze, 36 (b) určete P1 P3, (c) určete P2 + P3, (d) ukažte, že součet P1 + P2 je přímý. 7. Uvažujme vektorový prostor Mat2(R) reálných matic typu 2 × 2 a jeho podmnožimu P všech matic A = (aij) takových, že a11 + a22 = 0. (a) Dokažte, že P je vektorový podprostor. (b) Napište nějakou bázi podprostoru P. (c) Doplňte tuto bázi na bázi prostoru Mat2(R) a v této bázi napište souřadnice jednotkové matice. 8. Nechť vektory v1, v2, v3 tvoří bázi vektorového prostoru V. Ukažte, že vektory u1 = v1, u2 = v1 + v2, u3 = v1 + v2 + v3 také tvoří bázi V. 9. Najděte souřadnice vektoru v v bázi vektorového prostoru V. (a) v = (2, 1, 1), = ((2, 7, 3), (3, 9, 4), (1, 5, 3)), V = R3 (b) v = (2, 1, 1), = ((1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)), V = R3 (c) v = (0, 0, 2, 7), = ((4, 2, -1, -6), (3, 1, 1, -2), (1, 2, 1, 1), (2, 3, 1, 0)), V = R4 (d) v = (1, 1, 1, 1), = ((0, 0, 0, -5), (1, 2, 3, 1), (1, 0, -1, 0), (0, 1, 1, 0)), V = R4 (e) v = 4 - 4x - 2x3 , = (1 - x2 , 1 + x, 1 - x), V = R2[x] (f) v = x3 + x2 + x + 1, = (1 + x3 , x + x3 , x2 + x3 , x3 ), V = R3[x] (g) v = 6 2 1 3 , = 1 0 1 0 , 0 1 0 0 , 1 1 0 0 , 1 0 0 1 , V = Mat2(R). (h) v = 1 0 -1 2 1 4 , = 1 0 0 0 0 0 , 1 1 0 0 0 0 , 1 1 1 0 0 0 , 0 0 0 -1 0 0 , 0 0 0 -1 -1 0 , 0 0 0 -1 -1 -1 , V = Mat2,3(R). 10. Souřadnice vektoru u v bázi = (u1, u2, u3, u4) jsou (a1, a2, a3, a4)T . Jaké jsou jeho souřadnice v bázi = (u1 + u4, u2 + u3, u3, u4)? Zdůvodněte. 11. Nechť P1 = [M1], P2 = [M2] ve vektorovém prostoru R3 , resp. R4 . Najděte nějakou bázi a určete dimenzi podprostorů P1 + P2, P1 P2. (a) M1 = {(1, 2, -1), (-1, 0, 2), (2, -1, 0), (1, 1, 1)} M2 = {(0, 2, 1), (1, 4, 0)} (b) M1 = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (-1, 0, 1)} M2 = {(2, 0, 3), (3, 1, 5), (1, 3, 3)} (c) M1 = {(1, -1, 0, 1), (1, 2, 0, 3), (3, 0, 0, 5)} M2 = {(0, -1, 1, 4), (0, 2, 3, 2), (0, 0, 1, 2)} 37 (d) M1 = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, -1, -1), (1, -1, 1, -1)} M2 = {(1, -1, -1, 1), (1, -1, 0, 0), (3, -1, 1, 1)} 12. Ve vektorovém prostoru R4 najděte průnik podprostorů V1 a V2, kde V1 = [(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)], V2 = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0)]. Spočtěte průnik součtu V1+V2 s podprostorem generovaným vektorem v = (1, -2, 3, -4). 13. V prostoru polynomů R6[x] uvažte podprostory V1 = [x2 + 2x3 , -x3 + x6 ], V2 = [2 + x2 , -1 + x6 , x2 + x3 + 2x4 ], V3 = [x2 + x6 , 1 + 3x3 + x5 , x3 ]. Spočtěte jejich součet a průnik. 14. Nechť V je reálný vektorový prostor, v1, ..., vn V . Označme S = {(c1, ..., cn) Rn ; c1v1 + + cnvn = 0}. Dokažte následující tvrzení: (a) S je lineární podprostor vektorového prostoru Rn . (b) Vektory v1, ..., vn jsou lineárně nezávislé, právě když dim S = 0. 38 8. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tímtéž polem K. Zobrazení f : U V se nazývá lineární, jestliže f zachovává operace vektorového součtu a skalárního násobku, tj. (1) x, y U : f(x + y) = f(x) + f(y) (2) a K, x U : f(a x) = a f(x) Jestliže U=V, lineární zobrazení f : U U se nazývá endomorfismus vektorového prostoru U. Nechť U, V jsou vektorové prostory, {u1, ..., un} je báze U a v1, ..., vn jsou vektory ve V. Potom existuje jediné lineární zobrazení f : U V takové, že f(ui) = vi, i = 1, 2, ..., n. Zobrazení f je dané předpisem f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un) = a1v1 + a2v2 + ... + anvn Nechť f : U V je lineární zobrazení. Podmnožina Kerf = {x U; f(x) = 0} vektorového prostoru U se nazývá jádro, podmnožina Imf = {y V; y = f(x), x U} se nazývá obraz lineárního zobrazení f. Množina Kerf je podprostor vektorového prostoru U, množina Imf je podprostor vektorového prostoru V. Lineární zobrazení f : U V je isomorfismus právě tehdy, když Kerf = {0}, Imf = V. Příklad: Zjistěte, zda je zobrazení f : R3 R2 lineární. Jestliže je, najděte Kerf, Imf. (a) f(x) = (1 + x1, x2), (b) f(x) = (x1 + x2, x1 - x3), (c) f(x) = (1, 2), (d) f(x) = (x1 2 , -2x2). Řešení: V případech (a) a (c) není obrazem nulového vektoru nulový vektor, zobrazení f tedy není lineární. Ukážeme, že f není lineární ani v případě (d). Nechť a = -1, x = (1, 0, 0). Potom f(ax) = f(-1, 0, 0) = (1, 0) = (-1, 0) = (-1)f(1, 0, 0) = af(x) a první z podmínek lineárního zobrazení není splněna. Zobrazení f je v případě (b) lineární, protože pro libovolné x, y R3 a pro libovolné a, b R platí: f(ax + by) = f(ax1 + by1, ax2 + by2, ax3 + by3) = = (ax1 + by1 + ax2 + by2, ax1 + by1 - (ax3 + by3)) = = (ax1 + ax2, ax1 - ax3) + (by1 + by2, by1 - by3) = = af(x) + bf(y) 39 Určíme Kerf: Nechť f(x) = 0. Potom x1 + x2 = 0, x1 - x3 = 0, úpravou dostáváme x2 = -x1, x3 = x1. Zvolíme-li x1 = t, pak Kerf = {(t, -t, t); t R} Určíme Imf: Obrazy vektorů standardní báze 3 ve zobrazení f jsou vektory (1, 1), (1, 0), (0, -1). Podprostor Imf je lineárním obalem těchto vektorů, tj. Imf = [(1, 1), (1, 0), (0, -1)] = [(1, 0), (0, 1)] = R2 . Příklad: Ukažte, že násobení maticí A Matm,n(K) je lineární zobrazení. Řešení: Nechť f(x) = Ax. Aby f bylo lineární, musí splňovat oba axiomy uvedené na začátku této kapitoly. Protože (1) x, y Kn : f(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = f(x) + f(y), (2) a K, x Kn : f(ax) = A(ax) = aAx = af(x), oba axiomy jsou splněny a tedy zobrazení f je lineární. Znamená to, že pro libovolnou matici A Matm,n(K) je přiřazením x Ax definováno lineární zobrazení mezi vektorovými prostory Kn Km . Příklad: Je dáno lineární zobrazení f : R4 R4 , f(x) = (x1 + x2 + x3 + x4, -x1 x2 -x3 -x4, x1 -x2 +x3 -x4, -2x1 +2x2 -2x3 +2x4). Určete Kerf, Imf a najděte nějakou bázi Kerf a Imf. První řešení: Lineární zobrazení f zapíšeme jako násobení maticí: f(x) = Ax = 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -2 2 -2 2 x1 x2 x3 x4 Určíme jádro: Protože Kerf = {u R4 : f(u) = Au = 0}, řešíme vlastně homogenní soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých: 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -2 2 -2 2 1 1 1 1 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Ze schodovitého tvaru dostáváme: x1 = s, x2 = t, x3 = -s, x4 = -t, s, t R. Tedy Kerf = {s(1, 0, -1, 0) + t(0, 1, 0, -1), s, t R}, Kerf = {(1, 0, -1, 0), (0, 1, 0, -1)}. Nyní určíme obraz: Protože Im f = {f(u) : u R4 }, tvoří Im f obrazy vektorů standardní báze, přesněji jejich lineárně nezávislá podmnožina. Tzn. Imf = {f(a1e1 + a2e2 + a3e3 + a4e4), ai R} = {a1f(e1) + a2f(e2) + a3f(e3) + a4f(e4), ai R} = 40 [f(e1), f(e2), f(e3), f(e4)] = [s1(A), s2(A), s3(A), s4(A)], kde si(A) značí i-tý sloupec matice A. Tedy bázi obrazu tvoří lineárně nezávislé sloupce matice A. Imf = {a1f(e1) + a2f(e2), a1, a2 R} = {a1(1, -1, 1, -2) + a2(1, -1, -1, 2), a1, a2 R}, Imf = {(1, -1, 1, -2), (1, -1, -1, 2)} Druhé řešení: Při řešení využijeme EŘO. Vytvoříme blokovou matici typu 4 × 8 tak, že do levého bloku zapíšeme souřadnice vektorů standardní báze 4 v R4 , do pravého bloku zapíšeme souřadnice jejich obrazů ve zobrazení f. Protože f je lineární zobrazení, tato vlastnost zůstane zachována i po vykonání libovolné EŘO. Jestliže matici upravíme pomocí EŘO tak, aby byl pravý blok ve schodovitém tvaru, pak nenulové řádky pravého bloku budou souřadnice vektorů nějaké báze podprostoru Imf R4 , řádky levého bloku, které odpovídají nulovým řádkům pravého bloku, budou souřadnice vektorů nějaké báze podprostoru Kerf R4 . Tedy 1 0 0 0 | 1 -1 1 -2 0 1 0 0 | 1 -1 -1 2 0 0 1 0 | 1 -1 1 -2 0 0 0 1 | 1 -1 -1 2 1 0 0 0 | 1 -1 1 -2 -1 1 0 0 | 0 0 -2 4 -1 0 1 0 | 0 0 0 0 0 -1 0 1 | 0 0 0 0 a z upravené matice dostáváme: Kerf = {(-1, 0, 1, 0), (0, -1, 0, 1)} Imf = {(1, -1, 1, -2), (0, 0, -2, 4)} Kerf = {a(-1, 0, 1, 0) + b(0, -1, 0, 1); a, b R} Imf = {a(1, -1, 1, -2) + b(0, 0, -2, 4); a, b R} Příklad: Najděte předpis nějakého lineárního zobrazení f : R3 R3 tak, aby Kerf = 1 0 0 , 1 1 1 , Im f = 1 0 1 . Řešení: Doplníme bázi Kerf = 1 0 0 , 1 1 1 vektorem 0 1 0 na bázi prostoru R3 . Definujme f-obrazy vektorů báze tak, aby byly splněny podmínky úlohy: f 1 0 0 = 0 0 0 , f 1 1 1 = 0 0 0 , f 0 1 0 = 1 0 1 Tímto je zobrazení f jednoznačně určeno. Zobrazení f zapíšeme pomocí násobení maticí, tj. ve tvaru f(x) = Ax. Protože Ax = f(x1, x2, x3) = x1f 1 0 0 + x2f 0 1 0 + x3f 0 0 1 , 41 potřebujeme pro nalezení matice A ještě určit f 0 0 1 . Platí: f 0 0 1 = f 1 1 1 - 1 0 0 - 0 1 0 = f 1 1 1 - f 1 0 0 - f 0 1 0 = -1 0 -1 Proto A = 0 1 -1 0 0 0 0 1 -1 Vzhledem k tomu, že 0 1 -1 0 0 0 0 1 -1 x1 x2 x3 = x2 - x3 0 x2 - x3 platí f(x) = (x2 - x3, 0, x2 - x3) Cvičení: 1. Nechť V je vektorový prostor, v V je pevně zvolený vektor. Zjistěte, zda zobrazení f : V V je lineární, jestliže (a) f(x) = x + v, (b) f(x) = v. 2. Zjistěte, zda je zobrazení f : Rn Rn lineární. Pokud ano, najděte Kerf, Imf a zapište jej pomocí násobení maticí. Zjistěte, zda je f isomorfismus. (a) f(x, y) = (x, y2 ) (b) f(x, y) = (2x + 3y, x - y) (c) f(x, y) = (x, 1 - y) (d) f(x, y, z) = ((x + y)2 , x - y, x + y + z) (e) f(x, y, z) = (x - 2y + z, 2x - y + z, 3y - z) 3. Zjistěte, zda je zobrazení A : Rm[x] Rn[x] lineární. Pokud ano, určete Kerf, Imf. (a) m = n = 2, (Af)(x) = f(-x), (b) m = n = 2, (Af)(x) = xf (x), (c) m = 4, n = 2, (Af)(x) = f (x) - 2f (x), 42 (d) m = 4, n = 2, (Af)(x) = f (x) + x2 . 4. Následující zobrazení napište pomocí násobení maticí, tj. ve tvaru f(x) = Ax. (a) identické zobrazení id : R3 R3 , (b) kolmá projekce do osy generované vektorem (1, 0, 0) v prostoru R3 , (c) kolmá projekce do roviny generované vektory (0, 1, 0), (0, 0, 1) v prostoru R3 , (d) násobení pevně zvoleným skalárem a R v prostoru R3 , (e) překlopení podle roviny xz v prostoru R3 ; najděte obraz vektoru (2, -5, 3) v zobrazení f, (f) otočení o úhel -60 v prostoru R3 ; najděte obraz vektoru (3, -4) v zobrazení f, (g) otočení o úhel 30 kolem osy x; najděte obraz vektoru (-2, 1, 2) v zobrazení f. 5. Nechť násobení vektoru x maticí A reprezentuje otočení v rovině xy o úhel . Jaký bude výsledek násobení vektoru x maticí AT ? 6. Zjistěte, zda je lineární zobrazení f : R3 R3 , f(x) = (x1 + x2, x2 + x3, x1 + x3) isomorfismus. Pokud ano, najděte předpis pro inverzní isomorfismus. 7. Určete dimenzi obrazu a jádra zobrazení, které je definováno jako násobení maticí A = 1 1 4 4 v Mat2(R) (a) zprava, (b) zleva. 8. Nechť f : Mat2(R) Mat2(R) je lineární zobrazení definované předpisem f(X) = 1 1 0 0 X + X 0 0 1 1 Zjistěte dim Kerf a dim Imf. 9. Nechť = (v1, v2), kde v1 = (-2, 1), v2 = (1, 3), je báze R2 a f : R2 R3 je lineární zobrazení takové, že f(v1) = (-1, 2, 0), f(v2) = (0, -3, 5). Najděte předpis pro f(x1, x2) a určete f(2, -3). 10. Lineární zobrazení f : R3 R3 zobrazuje vektor ui na vektor vi, i = 1, 2, 3. Najděte matici tohoto zobrazení ve standardních bázích a určete jeho předpis, jestliže u1 = (-2, 3, -5), u2 = (0, 1, 3), u3 = (2, 0, 0), v1 = (-1, 1, 1), v2 = (1, 1, -1), v3 = (-2, 1, 2). 11. Lineární zobrazení f : Mat2(R) R zobrazuje matici Ai na číslo ci, i = 1, 2, 3, 4. Určete Kerf, Imf a najděte předpis zobrazení f, jestliže A1 = 1 1 0 0 , A2 = 1 -1 0 0 , A3 = 1 1 1 0 , A4 = 1 1 0 1 , c1 = 1, c2 = 0, c3 = 3, c4 = 0. 43 12. Jsou dány vektory u = (1, 2, -3), v = (2, 1, -2), w = (1, -4, 5) z R3 . Zjistěte, zda existuje lineární zobrazení f : R3 R2 takové, že (a) f(u) = (1, 2), f(v) = (2, 3), f(w) = (1, 3), (b) f(u) = (-2, 1), f(v) = (1, 1), f(w) = (8, -1). 13. Určete jádro a obraz lineárního zobrazení f : R4 R4 , f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4, 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4, x1 - 2x2 + 3x3 - x4, x1 + x2 + x3 + x4). Najděte nějakou bázi Kerf a Imf. 14. Určete předpis lineárního zobrazení f : R3 R4 , pro které platí f(1, 0, 1) = (1, 0, 1, 0), f(1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0), f(0, 1, 1) = (0, 1, 0, 1). 15. Najděte dimenzi a bázi obrazu průniku podprostorů V1 a V2 R4 při zobrazení f : R4 R5 . Přitom f(x, y, z, w) = (x + 2y + 3z + w, 2x - 3y - z - 12w, -x + y + 5w, -y - z - 2w, 2x - 3y - z - 12w), V1 = [(2, -1, -1, 1), (-2, 3, 1, -1)], V2 = [(0, 2, 0, 0), (1, 1, 1, 1)]. Dále zjistěte dimenzi vzoru podprostoru W R5 generovaného vektorem (1, 1, 1, 1, 1). 16. Nechť = (v1, v2), kde v1 = (1, 3), v2 = (-1, 4), je báze R2 a A = 1 3 -2 5 je matice lineárního zobrazení f : R2 R2 v bázi . (a) Najděte (f(v1)), (f(v2)), (b) najděte f(v1), f(v2), (c) určete předpis pro f(x1, x2), (d) vypočtěte f(1, 1). 44 9. MATICE LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ, MATICE PŘECHODU Nechť f : U V je lineární zobrazení, = (u1, ..., un), = (v1, ..., vk) jsou uspořádané báze vektorových prostorů U, V. Nechť f(uj) = k i=1 aijvi (2) j = 1, ..., n. Matice A = a11 a12 a1n a21 a22 a2n ... ... ... ... ak1 ak2 akn se nazývá matice lineárního zobrazení f : U V v bázích , a značí se (f),. Všimněte si, že j-tý sloupec matice (f), je (f(uj)), tj. sloupec souřadnic vektoru f(uj) v bázi . Definiční vztah (2) můžeme přepsat ekvivalentně takto: (f(u1), f(u2), ..., f(un)) = (v1, v2, ..., vk)(f), (3) Jestliže x U, potom (f(x)) = (f),(x) tj. souřadnice vektoru f(x) v bázi dostáváme vynásobením matice (f), zprava sloupcem souřadnic vektoru x v bázi . Nechť = (u1, ..., un), = (v1, ..., vn) jsou dvě báze vektorového prostoru V nad polem K. Potom existuje matice A = (aij) taková, že uj = n i=1 aijvi (4) kde j = 1, ..., n. Matice A se nazýva matice přechodu od báze k bázi , nebo také matice záměny báze bazí . Protože A je matice identického zobrazení id : V V v bazích , , značí se (idV),. Definiční rovnost (4) můžeme přepsat takto: (u1, ..., un) = (v1, ..., vn)(idV), (5) Tento vztah hraje důležitou roli při výpočtu matice přechodu. Matice (idV),, (idV), jsou navzájem inverzní, tj. platí (idV),(idV), = (idV),(idV), = E Souřadnice libovolného vektoru x V v bazích , jsou dány vztahy (x) = (idV),(x), (x) = (idV),(x) 45 Nechť f : V1 V2 je lineární zobrazení, 1, 1 jsou dvě báze V1, 2, 2 jsou dvě báze V2. Potom mezi maticemi (f)2,1 a (f)2,1 je vztah (f)2,1 = (idV2 )2,2 (f)2,1 (idV1 )1,1 (f)2,1 = (idV2 )2,2 (f)2,1 (idV1 )1,1 Pokud V1 = V2 = V, dostáváme (f), = (idV),(f),((idV),)-1 (f), = (idV),(f),((idV),)-1 Nechť f : U V, g : V W jsou lineární zobrazení, , , jsou postupně báze prostorů U, V, W. Potom složení zobrazení f a g je opět lineární zobrazení a platí (g f), = (g),(f), . Příklad: Určete matici lineárního zobrazení f : R3 R2 , f(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 - 3x3, 2x1) v bázích , , jestliže (a) = 3, = 2, (b) = ((1, 2, 0), (-2, 10), (3, 1, -1)), = ((2, 1), (0, 2)). Najděte obraz vektoru x v lineárním zobrazení f, jestliže (x) = (0, -4, 1)T . Řešení: (a) Určíme obrazy vektorů báze ve zobrazení f: f(1, 0, 0) = (1, 2), f(0, 1, 0) = (2, 0), f(0, 0, 1) = (-3, 0) Vzhledem k tomu, že = 2, platí (f), = 1 2 -3 2 0 0 Protože = 3, přímo z předpisu f dostáváme f(x) = (-11, 0). (b) Postupujeme analogicky jako v (a). f(1, 2, 0) = (5, 2), f(-2, 1, 0) = (0, -4), f(3, 1, -1) = (8, 6) Nyní vyjádříme vypočítané vektory jako lineární kombinaci prvků báze : (5, 2) = a(2, 1) + b(0, 2) = (2a, a + 2b) 46 Řešením systému 2a = 5 a + 2b = 2 dostáváme a = 5 2 , b = -1 4 . Analogicky (0, -4) = 0(2, 1) - 2(0, 2) (8, 6) = 4(2, 1) + 1(0, 2) Zapsáním koeficientů lineárních kombinací do matice dostáváme (f), = 5 2 0 4 -1 4 -2 1 Potom (f(x)) = 5 2 0 4 -1 4 -2 1 0 -4 1 = 4 9 což znamená, že f(x) = 4(2, 1) + 9(0, 2) = (8, 22). Příklad: V R3 jsou dány báze = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)), = ((-1, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)). Určete matici (idR3),, tj. matici přechodu od báze k bázi , a matici (idR3 ),, tj. matici přechodu od báze k bázi . Pomocí těchto matic vypočtěte (x), (y), jestliže (x) = (-1, 3, 0)T , (y) = (2, 4, 7)T . Řešení: Nejprve určíme (idR3 ),. Vyjádříme vektory báze jako lineární kombinaci vektorů báze . (1, 0, 0) = a(-1, 1, 0) + b(1, 1, 0) + c(0, 0, 1) = (-a + b, a + b, c) Porovnámím dostáváme -a + b = 0, a + b = 0, c = 0 Řešením systému je a = -1 2 , b = 1 2 , c = 0. Analogicky se vypočte, že (1, 1, 0) = 0(-1, 1, 0) + 0(1, 1, 0) + 0(0, 0, 1) (1, 1, 1) = 0(-1, 1, 0) + 1(1, 1, 0) + 1(0, 0, 1) Zapsáním koeficientů lineárních kombinací do matice dostáváme (idR3 ), = -1 2 0 0 1 2 1 1 0 0 1 K výpočtu můžeme rovněž použít vztah (5) a vyřešit soustavu A = B(idR3 ), 47 kde sloupce matic A a B jsou tvořeny vektory bazí a . Po úpravě dostáváme (idR3 ), = B-1 A Matici (idR3), určíme jako inverzní matici k (idR3 ),. -1 2 0 0 | 1 0 0 1 2 1 1 | 0 1 0 0 0 1 | 0 0 1 -1 2 0 0 | 1 0 0 0 1 1 | 1 1 0 0 0 1 | 0 0 1 1 0 0 | -2 0 0 0 1 0 | 1 1 -1 0 0 1 | 0 0 1 a proto (idR3), = -2 0 0 1 1 -1 0 0 1 Dále (x) = -1 2 0 0 1 2 1 1 0 0 1 -1 3 0 = 1 2 5 2 0 (y) = -2 0 0 1 1 -1 0 0 1 2 4 7 = -4 -1 7 tedy (x) = (1 2 , 5 2 , 0)T , (y) = (-4, -1, 7)T . Příklad: Nechť báze , prostoru R3 jsou stejné jako v předchozím příkladě. (a) Nechť f : R3 R3 je endomorfismus, jehož matice v bázi je (f), = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 Určete jeho matici v bázi . Určete obrazy vektorů x, y, z v endomorfismu f, jestiže x = (1, 2, 3), (y) = (1, 2, 3), (z) = (1, 2, 3). (b) Určete matici endomorfismu f ve standardní bázi prostoru R3 a najděte jeho předpis. Řešení: (a) Protože (f), = (idR3 ),(f),(idR3 ),, (f), = -1 2 0 0 1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 -2 0 0 1 1 -1 0 0 1 = 1 0 -1 2 -1 2 -1 2 1 1 0 Abychom mohli určit f(x), potřebujeme najít souřadnice vektoru x v bázi (nebo ). Nechť (1, 2, 3) = a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (a + b + c, b + c, c) 48 Porovnáním dostáváme a = -1, b = -1, c = 3. Potom (f(x)) = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 -1 -1 3 = 2 -2 2 tedy f(x) = 2(1, 0, 0) - 2(1, 1, 0) + 2(1, 1, 1) = (2, 0, 2) Analogicky (f(y)) = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 2 3 = 4 3 5 (f(z)) = 1 0 -1 2 -1 2 -1 2 1 1 0 1 2 3 = -1 2 3 2 3 f(y) = 4(1, 0, 0) + 3(1, 1, 0) + 5(1, 1, 1) = (12, 8, 5) f(z) = - 1 2 (-1, 1, 0) + 3 2 (1, 1, 0) + 3(0, 0, 1) = (2, 1, 3) (b) Určíme matice přechodu (idR3)3,, (idR3),3 . Přímo dostáváme (idR3 )3, = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Matici (idR3 ),3 = ((idR3)3,)-1 určíme pomocí EŘO: 1 1 1 | 1 0 0 0 1 1 | 0 1 0 0 0 1 | 0 0 1 1 1 0 | 1 0 -1 0 1 0 | 0 1 -1 0 0 1 | 0 0 1 1 0 0 | 1 -1 0 0 1 0 | 0 1 -1 0 0 1 | 0 0 1 tj. (idR3),3 = 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 Nyní vypočteme (f)3,3 = (idR3)3,(f),(idR3),3 . (f)3,3 = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 = 2 0 0 1 1 -1 0 1 0 Protože 2 0 0 1 1 -1 0 1 0 x1 x2 x3 = 2x1 x1 + x2 - x3 x2 49 platí f(x) = (2x1, x1 + x2 - x3, x2) Příklad: Nechť = ((1, 0, -1, 2, 3), (-2, 1, 4, -3, 1)), = ((0, 1, 2, 1, 7), (-1, 2, 5, 0, 11)) jsou dvě báze podprostoru P vektorového prostoru R5 . Určete matici přechodu (a) od báze k bázi , (b) od báze k bázi . Řešení: Označme = (u1, u2), = (v1, v2). (a) Vyjádříme vektory u1, u2 jako lineární kombinaci vektorů v1, v2: (1, 0, -1, 2, 3) = a(0, 1, 2, 1, 7) + b(-1, 2, 5, 0, 11) = (-b, a + 2b, 2a + 5b, a, 7a + 11b) (-2, 1, 4, -3, 1) = c(0, 1, 2, 1, 7) + d(-1, 2, 5, 0, 11) = (-d, c + 2d, 2c + 5d, c, 7c + 11d) Porovnáním dostáváme a = 2, b = -1, c = -3, d = 2, tj. (idP ), = 2 -3 -1 2 (b) Matici (idP ), určíme jako inverzní matici k (idP ),: (idP ), = 2 -3 -1 2 -1 = 2 3 1 2 Příklad: V R3 je dána báze = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)). Zkonstruujte bázi tak, aby matice M = 1 1 2 1 0 0 1 2 1 byla maticí přechodu (a) od báze k bázi , (b) od báze k bázi . Řešení: Označme A a B matice, jejichž sloupce tvoří vektory bazí a . (a) Nechť M je maticí přechodu od báze k bázi . Pak podle (5) platí B = AM, tedy B = 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 1 0 0 1 2 1 = 2 1 2 2 3 3 2 2 1 Takže = ((2, 2, 2), (1, 3, 2), (2, 3, 1)). 50 (b) Nechť nyní je M maticí přechodu od báze k bázi . Pak podle (5) platí BM = A, tj. B = AM-1 . M-1 určíme pomocí EŘO a B = 1 3 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 -1 -1 2 2 -1 -1 = 1 3 -1 2 2 2 2 -1 1 -2 1 Tedy = (1 3 (-1, 2, 1), 1 3 (2, 2, -2), 1 3 (2, -1, 1)). Cvičení: 1. Matice lineárního zobrazení f : R3 R3 v bázi = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)) je (f), = -1 0 -1 0 -1 1 -1 1 0 Najděte předpis zobrazení f. Zjistěte, zda je f isomorfismus. 2. Nechť f : R1[x] R1[x] je lineární zobrazení definované předpisem f(a + bx) = a + b(x + 1) a = (6 + 3x, 10 + 2x), = (2, 3 + 2x) jsou báze prostoru R1[x]. Najděte matici zobrazení f (a) v bázi , (b) v bázi . 3. Určete matici endomorfismu A : R3[x] R3[x], A(f) = 3f + 4f + f, v bázi (a) = (1, x, x2 , x3 ), (b) = (1 + x, 1 - x, x2 + x3 , x2 - x3 ). Zjistěte, zda je A isomorfismus. 4. Vektor x R3 má v bázi = (u1, u2, u3) souřadnice (x) = (1, -3, 2)T . Určete jeho souřadnice v bázi = (v1, v2, v3), jestliže víme, že (a) u1 = 3v1 + 2v2 + v3, u2 = v2 - 2v3, u3 = v1 - v3, (b) v1 = u1 + u2 + u3, v2 = u2 + u3, v3 = u3. 5. Lineární zobrazení A : R3[x] R3[x] je ve standardní bázi prostoru R3[x] dáno maticí (A), = 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 Najděte všechny polynomy f R3[x] s vlastností A(f) = 1 - x. 6. Určete matici lineárního zobrazení f : Mat2(R) Mat2(R), f(X) = AX v bázi , jestliže = 1 0 0 0 , 1 1 0 0 , 1 1 1 0 , 1 1 1 1 , A = 1 2 1 0 . 51 7. Najděte matici lineárního zobrazení : R3 R4 daného pomocí nějaké matice A typu 4×3 předpisem ((x, y, z)T ) = A(x, y, z)T vzhledem k bázi = ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (4, 5, 3)) v R3 a = ((2, 0, 2, 5), (1, 0, 0, 0), (2, -4, -6, 7), (0, 1, 0, 0)) v R4 . 8. Uvažujme zobrazení f : R2[x] R2[x], f(ax2 +bx+c) = (a-b)x2 +(a-c)x+(b-c). (a) Dokažte, že f je lineární zobrazení. (b) Najděte všechny polynomy, které leží v jeho jádře. (c) Napište matici zobrazení f ve standardní bázi = (1, x, x2 ). 9. Najděte předpis lineárního zobrazení f : R2 R3 , které má v bazích = ((1, -1), (1, 1)), = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) vektorových prostorů R2 a R3 matici (f), = 1 0 -1 2 3 -1 10. Ve vektorovém prostoru R3[x] jsou dány báze = (1, x, x2 , x3 ), = (1+x, 1-x, x2 + x3 , x2 - x3 ). Najděte matici přechodu (a) od báze k bázi , (b) od báze k bázi . 11. Nechť a jsou báze v R3 . Najděte matici přechodu od báze k bázi . Pomocí této matice určete souřadnice vektoru w = (-5, 8, -5) v bázi , jestliže (a) = ((-3, 0, -3), (-3, 2, -1), (1, 6, -1)), = ((-6, -6, 0), (-2, -6, 4), (-2, -3, 7)), (b) = ((2, 1, 1), (2, -1, 1), (1, 2, 1)), = ((3, 1, -5), (1, 1, -3), (-1, 0, 2)). 12. Nechť f : R2 R3 je lineární zobrazení v bazích = ((1, 3), (-2, 4)) a = ((1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)) definované předpisem f x1 x2 = x1 + 2x2 -x1 0 Najděte matici přechodu od báze k bázi . 13. Najděte lineární zobrazení f : R3 R2 , které má v bazích , matici (f), = 1 0 2 -1 1 0 jestliže (a) , jsou standardní báze prostorů R3 a R2 , (b) = ((1, 1, 0), (1, -2, 0), (0, 0, 1), = ((2, -1), (0, 1)). 14. Matice lineárního zobrazení f : R3 R2 v bazích = ((1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)), = ((-1, 2), (1, 1)) je (f), = 1 2 3 4 5 6 Určete obrazy vektorů x = (1, -2, 3), y = (-1, 0, 4) v endomorfismu f. 52 15. Ve standardních bazích na R3 a R5 je dáno zobrazení f maticí A a zobrazení g maticí B. A = 1 2 -1 1 0 1 3 2 0 -1 1 0 -2 0 1 , B = -2 1 0 1 2 1 3 0 7 1 1 0 0 0 1 Odkud kam tato zobrazení jdou? Najděte matice jejich kompozic. Zjistěte, zda jde o isomorfismy. 53 10. AFINNÍ GEOMETRIE Afinní podprostor prostoru Kn je množina M = P + [u1, ..., uk], kde P Kn , ui Kn . Každý prvek x M můžeme jednoznačne napsat ve tvaru x = P + k i=1 tiui kde t1, ...tk K jsou parametry. Toto vyjádření se nazývá parametrické vyjádření nebo parametrická rovnice podprostoru M. Afinní podprostor lze popsat soustavou lineárních rovnic Ax = b kde A Matm,n(K), b Km . Množina řešení této soustavy {x; Ax = b} je buď nebo afinní podprostor. Toto vyjáření se nazývá obecná rovnice afinního podprostoru. Zaměřením afinního podprostoru M K nazýváme vektorový podprostor Dir M = [u1, ..., uk] Dimenzí afinního podprostoru M Kn , ozn. dim M, nazýváme dimenzi jeho zaměření, tedy dim M = dim Dir M Nechť S, T jsou dva podprostory afinního prostoru V. Řekneme, že podprostory S a T jsou rovnoběžné, jestliže buďto Dir S Dir T nebo Dir T Dir S (rovnoběžné podprostory tedy mohou i splývat). Dále řekneme, že tyto proprostory jsou různoběžné, mají-li alespoň jeden společný bod a přitom nejsou rovnoběžné. Konečně řekneme, že tyto podprostory jsou mimoběžné, jestliže nejsou rovnoběžné a nemají žádný společný bod. Příklad: Určete parametrické rovnice podprostoru M zadaného rovnicemi M : x1 + x2 - x3 + x4 = 9 x1 - x2 + x3 - x4 = -3 Řešení: Soustavu přepíšeme do matice, kterou nejprve pomocí EŘO upravíme na schodovitý tvar: 1 -1 -1 1 | 9 1 -1 1 -1 | -3 1 0 0 0 | 3 0 1 -1 1 | 6 54 Z upravené matice získáme parametrický popis následujícím způsobem: Vedoucí členy řádků se nacházejí v prvním a druhém sloupci, proto si neznámé x3 a x4 zvolíme za parametry a neznámé x1 a x2 pomocí nich vyjádříme. Zvolíme-li x4 = t, x3 = s, potom x2 = 6 - s + t, x1 = 3. Parametrická rovnice pak má tvar M : x1 = 3 x2 = 6 - s + t x3 = s x4 = t Příklad: Najděte obecné rovnice afinního podprostoru M vektorového prostoru R4 , kde M : (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 2, 2) + t1(1, -1, 0, 0) + t2(1, 2, 0, -1). Řešení: Parametrické rovnice x = P + t přepíšeme do tvaru Ex = t + P, kde P = (1, 0, 2, 2) je bod a = ((1, -1, 0, 0), (1, 2, 0, -1)) vektory, které tvoří afinní podprostor M, a x = (x1, x2, x3, x4)T je vektor neznámých a t = (t1, t2) vektor parametrů. Soustavu rovnic Ex = t + P přepíseme do matice tvaru (E||P): 1 0 0 0 | 1 1 | 1 0 1 0 0 | -1 2 | 0 0 0 1 0 | 0 0 | 2 0 0 0 1 | 0 -1 | 2 Matici budeme upravovat pomocí EŘO tak, aby prostřední blok ve výsledné matici byl ve schodovitém tvaru. 1 0 0 0 | 1 1 | 1 1 1 0 0 | 0 3 | 1 0 0 1 0 | 0 0 | 2 1 1 0 3 | 0 0 | 7 Obecné rovnice podprostoru M určují koeficienty levého a pravého bloku, a to v řádcích, ve kterých jsou v prostředním bloku samé nuly. Tedy x3 = 2 x1 + x2 + 3x4 = 7 Dosazením se přesvědčíme, že bod P této soustavě skutečně vyhovuje. Příklad: V prostoru R4 zjistěte vzájemnou polohu podprostorů (a) : 3x1 + x2 + 2x3 = 5, 5x1 - x2 + 2x4 = 3, : x1 + 5x2 - 4x3 = -3, 2x2 - x3 + x4 = -2, (b) : x1 + 2x2 - x3 = 1, x1 + x3 + 2x4 = 3, p : (3, -1, 0, 0) + t(-3, 2, 1, 1), 55 (c) : (3, -1, 0, 0) + s(-1, 1, 1, 0) + t(2, 1, 0, 1), p : (3, 1, 0, 0) + r(-1, 2, 1, 1). Řešení: (a) Hledáme společný bod podprostorů a , tj. bod R = (x1, x2, x3, x4), jehož souřadnice splňují rovnice podprostoru i . Řešíme tedy systém rovnic 3x1 + x2 + 2x3 = 5 5x1 - x2 + 2x4 = 3 x1 + 5x2 - 4x3 = -3 2x2 - x3 + x4 = -2 Pomocí EŘO upravíme jeho rozšířenou matici na schodovitý tvar 3 1 2 0 | 5 5 -1 0 2 | 3 1 5 -4 0 | -3 0 2 -1 1 | -2 1 5 -4 0 | -3 0 1 -1 0 | -1 0 0 3 -1 | 4 0 0 0 1 | -1 ze kterého dostáváme x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = -1, což je jediné řešení daného systému. Podprostory , jsou tedy různoběžné a jejich průsečíkem je bod R = (1, 0, 1, -1). (b) Bod Q leží na přímce p, pokud Q = (3 - 3t, -1 + 2t, t, t), t R. Aby bod Q ležel i v rovině , musí jeho souřadnice splňovat rovnici roviny , tedy musí platit 3 - 3t + 2(-1 + 2t) + -t = 1 3 - 3t + t + 2t = 3 Ekvivalentní úpravou dostaneme rovnici 0 t = 0 která je splněna pro každé t R. To znamená, že každý bod přímky p je zároveň bodem roviny , tedy přímka p leží v rovině . (c) Bod Q leží v rovině , pokud Q = (3 - s + 2t, -1 + s + t, s, t), a leží na přímce p, pokud Q = (3 - r, 1 + 2r, r, r). Řešíme tedy nehomogenní soustavu rovnic -s + 2t + r = 3 - 3 s + t + 2r = 1 + 1 s - r = 0 t - r = 0 Její rozšířenou matici upravíme pomocí EŘO na schodovitý tvar: -1 2 1 | 0 1 1 -2 | 2 1 0 -1 | 0 0 1 -1 | 0 1 2 1 | 0 0 3 -1 | 2 0 0 1 | -2 0 0 0 | 1 56 Soustava nemá řešení, tzn. že p = . Vyřešíme-li tuto soustavu jako homogenní, zjistíme, že vektory určující zaměření roviny a přímky p jsou lineárně nezávislé, tedy rovina a přímka jsou mimoběžné. Příklad: V prostoru R3 najděte příčku mimoběžek p : (1, 2, -1) + s(1, -1, 1), q : (0, 9, -2) + t(1, 0, 0) rovnoběžnou s vektorem (1, 2, 0). Řešení: Protože vektory (1, -1, 1), (1, 0, 0), (1, 2, 0) jsou lineárně nezávislé, taková přímka existuje. Stačí nalézt průsečík přímky q s rovinou : (1, 2, -1) + s(1, -1, 1) + r(1, 2, 0). Abychom tento průsečík nalezli, musíne řešit rovnici (0, 9, -2) + t(1, 0, 0) = (1, 2, -1) + s(1, -1, 1) + r(1, 2, 0) přičemž nám stačí znát hodnotu parametru t. Rozepsáním do složek dostaneme nehomogenní soustavu tří rovnic o třech neznámých t - s - r = 1 s - 2r = -7 -s = 1 Odtud spočítáme t = 3 (s = -1, r = 3) a bod (3, 9, -2) je průsečíkem přímky q s rovinou . Hledaná příčka je pak (3, 9, -2) + r(1, 2, 0). Příklad: V prostoru R3 najděte příčku mimoběžek p : P + su = (3, 3, 3) + s(2, 2, 1) a q : Q + tv = (0, 5, -1) + t(1, 1, 1), která prochází bodem A = (4, 5, 3). Řešení: Snadno zjistíme, že jak vektory (1, 2, 0), (2, 2, 1), (1, 1, 1) (kde (1, 2, 0) = A-P), tak vektory (4, 0, 4), (2, 2, 1), (1, 1, 1) (kde (4, 0, 4) = A - Q) jsou lineárně nezávislé, takže příčka existuje. Potřebujeme najít průsečík přímky q s rovinou : (4, 5, 3) + r(1, 2, 0) + s(2, 2, 1). Pro hledaný průsečík tak dostáváme soustavu t - r - 2s = 4 t - 2r - 2s = 0 t - s = 4 odkud t = 0. Průsečík přímky q s rovinou je R = (0, 5, -1) a hledaná příčka je (0, 5, -1) + a(4, 0, 4) = (0, 5, -1) + a(1, 0, 1). Příklad: V prostoru R4 uvažujme roviny : x1 + x2 = 3, x3 + x4 = 4 a : x1 + x3 = 1, x2 - x4 = 3 a bod M = (2, -2, 3, -3). Najděte přímku q, která prochází bodem M, protíná rovinu a je rovnoběžná s rovinou . Řešení: Nechť je rovina procházející bodem M a je rovnoběžná s rovinou . Pak souřadnice bodu M splňují její rovnici, kterou získáme dosazením souřadnic bodu M do rovnice 57 roviny a dopočítáním příslušných koeficientů. x1 + x2 = c x3 + x4 = d dosazením souřadnic bodu M dostáváme 2 - 2 = 0 3 - 3 = 0 tedy c = d = 0 a : x1 + x2 = 0 x3 + x4 = 0 Bod P tvořící druhý bod přímky q je průsečíkem rovin a . Řešíme systém rovnic x1 + x3 = 1 x2 - x4 = 3 x1 + x2 = 0 x3 + x4 = 0 jehož matici převedeme pomocí EŘO na schodovitý tvar 1 0 1 0 | 1 0 1 0 -1 | 3 1 1 0 0 | 0 0 0 1 1 | 0 1 0 1 0 | 1 0 1 0 -1 | 3 0 0 -1 1 | -4 0 0 0 2 | -4 ze kterého dostáváme x1 = -1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = -2. Tedy P = (-1, 1, 2, -2) a přímka q má rovnici q : M + t(P - M) = (2, -2, 3, -3) + t(-3, 3, -1, 1) Příklad: Najděte průnik afinních podprostorů Q1 : (3, 0, -3, 3)+a(1, 0, -1, 0)+b(0, 2, 0, 1), Q2 : (4, -2, -4, 2) + s(0, 0, 1, -1) + t(1, 2, 0, 0). Řešení: Nechť X Q1 Q2. Pak platí X = A + au1 + bu2 = B + sv1 + tv2 tedy au1 + bu2 - sv1 - tv2 = B - A 58 Soustavu přepíšeme do matice a upravíme na schodovitý tvar 1 0 0 -1 | 1 0 2 0 -2 | -2 -1 0 -1 0 | -1 0 1 1 0 | -1 1 0 0 -1 | 1 0 1 0 -1 | -1 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0 | 0 odkud a = p, b = p, s = p, t = -p. Tedy X = B - pv1 + pv2 = B + p(v2 - v1) = 4 -2 -4 2 + p 1 2 -1 1 . Podobně pomocí vektorů u1, u2 dostaneme X = A + pu1 + pu2 = A + p(u1 + u2) = 3 0 -3 3 + p 1 2 -1 1 . Cvičení: 1. Napište paramerické rovnice roviny, jestliže jsou zadány její (a) tři body A = (-1, 1, 0), B = (2, 1, 6), C = (3, 0, 4), (b) dva body = (1, 2, -3), B = (0, 2, 1) a směrový vektor u = (2, 1, -1), (c) bod A = (3, 1, -2) a dva lineárně nezávislé směrové vektory u = (-1, 2, 1), v = (3, -4, 2). 2. Najděte obecnou rovnici roviny určené (a) třemi body A = (1, -1, 1), B = (2, 1, -3), C = (1, 4, 2), (b) dvěma body A = (4, 1, 2), B = (2, -2, 3) a směrovým vektorem u = (3, -2, 1), (c) bodem A = (3, 3, 3) a směrovými vektory u = (1, -1, 1), v = (-1, 1, 1). 3. Zjistěte, které z bodů A = (1, 2, -1), B = (1, 2, 2), C = (3, 1, 2), D = (-4, 2, 0) leží v rovině (a) (x, y, z) = (6, 2, -2) + t(5, 0, -1) + s(1, 1, 0), (b) x = 1 + 2t, x = 3 - 2t + s, z = 4 - 2t + 2s, (c) x + 17y + 5z - 30 = 0. 4. Najděte parametrické vyjádření přímky v R3 zadané p : 2x - y + z - 9 = 0 x + y - z = 0 . Jak vypadají rovnice všech rovin procházejících danou přímkou p (tzv. svazek rovin)? 59 5. Najděte parametrické vyjádření podprostoru v R4 zadaného obecnými rovnicemi. (a) x1 + x2 - 2x4 = 6, x1 + 2x2 + x3 - x4 = 11, x1 + x2 - x4 = 8, (b) x1 + 2x2 - x3 = 4, x2 + x3 + x4 = 5, 2x1 + 4x2 - x3 = 11. 6. Určete vzájemnou polohu přímek v prostoru R2 , resp. R3 ; v případě, že jsou různoběžné, najděte jejich průsečík. (a) p : 3x + 4y - 20 = 0, q : x = 4 - 8t, y = 2 + 6t, (b) p : (x, y) = (2, -9) + t(1, -1), q : (x, y) = (1, -1) + t(5, 2), (c) p : x = 3 - 6t, y = -1 + 4t, z = t, q : x = -2 + 3t, y = 4, z = 3 - t, (d) p : x + z - 1 = 0 3x + y - z + 13 = 0 , q : x - 2y + 3 = 0 y + 2z - 8 = 0 , 7. Určete vzájemnou polohu rovin v R3 ; v případě, že jsou různoběžné, napište paramerické rovnice jejich průsečíku. (a) : x + y + 2z - 3 = 0, : x - y + z - 1 = 0, (b) : (x, y, z) = (-1, 3, -2) + t(0, 1, 1) + s(1, -1, -2), : x - y + z + 6 = 0. 8. V prostoru R3 , resp R4 , zjistěte vzájemnou polohu přímky a roviny; v přídadě různoběžnosti určete jejich průsečík. (a) p : x = 2 + 4t, y = -1 + t, z = 2 - t, : 4x + y - z + 13 = 0, (b) p : 2x - y + 3z + 4 = 0 x - 2y - 2z + 2 = 0 , : 4x - 5y - z + 8 = 0, (c) p : x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0, x3 + x4 = 0, : (0, 3, 0, 1) + s(1, 0, -1, 0) + t(1, 2, -2, 0), (d) p : x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0, x3 + x4 = 3, : (1, -1, 1, 2) + s(-1, 1, 0, 0) + t(0, 0, -2, 2), (e) p : (4, -2, 3, -1) + t(1, -1, 1, -1), : x1 + x3 + x4 = 4, x1 + x2 + x3 = 3. 9. V prostoru R4 zjistěte vzájemnou polohu (a) roviny (1, 0, 2, 2) + r(1, -1, 0, 0) + s(1, 2, 0, -1) a přímky (0, 0, -6, 5) + t(1, 2, -3, 0), (b) nadroviny (2, 1, 1, 1) + r(1, 1, 1, 1) + s(1, 1, 1, -1) + t(1, 1, -1, -1) a přímky (3, 2, 0, -2) + u(1, 1, -1, 1), (c) rovin (2, 3, 1, 3) + s(-1, 1, 0, 2) + (0, 2, -3, 2), (-1, 0, 2, 1) + u(2, 4, -9, 2) + v(1, 1, 1, 1) 60 10. V prostoru R4 (a) určete parametry a, b tak, aby přímka (1, 2, 1, 2) + r(1, a, 0, 2) ležela v rovině (1, 1, 2, b) + s(1, 2, 1, 2) + t(1, 1, 2, 2), (b) v závislosti na parametru a určete vzájemnou polohu rovin (3, -1, -1, 6) + s(-2, 1, -2, 1) + t(4, -1, -1, 0), (4, 1, 3, a) + u(0, -2, 0, 1) + v(2, 2, -1, -1). 11. V prostoru R5 určete vzájemnou polohu podprostorů: (a) (1, 1, 1, 1, 1) + r(2, -8, 3, -5, -9), (1, 1, 2, -1, 3) + s(1, -1, 0, 2, 3) + t(0, 2, -1, 3, 5), (b) (-2, 10, -1, 2, -1) + r(2, -8, 3, -5, 1), (1, 1, 2, -1, 3) + s(1, -1, 0, 2, 3) + t(0, 2, -1, 3, 5). 12. V prostoru R3 najděte příčku mimoběžek (a) (x, y, z) = (1, -1, 2) + t(1, -1, 3), (x, y, z) = (3, -1, 1) + t(2, 1, 4), která prochází bodem M = (3, -2, 13). (b) x-2 1 = y-1 3 = z-1 -2 , (x, y, z) = (2, 0, 1) + t(1, -1, 1) rovnoběžnou s přímkou x - y + z + 11 = 0, x - 3y - z - 6 = 0. (c) x - 2 = y+3 2 = -z-1 2 , x - 3 = y = z+58 3 , která je rovnoběžná s průsečnicí rovin 2x - z - 15 = 0, x - y + 324 = 0. (d) (1, 3, 4)+t(1, 0, 2) a 2x-z+2 = 0, y-3 = 0, která prochází bodem (13, 17, 29). 13. V prostoru R3 napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem A = (3, -2, -4) rovnoběžně s rovinou : 3x - 2y - 3z - 7 = 0 a protíná přímku p : 2x + 3y + 8 = 0, y + z + 3 = 0. 14. V prostoru R3 určete přímku q, která prochází bodem M = (3, 2, 1), protíná přímku p : x1 - x2 = 1, x1 + x3 = 6 a je rovnoběžná s rovinou : 2x1 + x2 + x3 = 5. 15. V prostoru R4 určete přímku q, která (a) prochází bodem M = (8, 9, -11, -15) a protíná přímky p : (1, 0, -2, 1) + s(1, 2, -1, -5), r : (0, 1, 1, -1) + t(2, 3, -2, -4), (b) prochází bodem M = (1, 2, -1, -2), protíná rovinu : x1 + x2 = 1, x3 - x4 = 3 a je rovnoběžná s rovinou : x1 + x3 = -5, x2 + x4 = 3, (c) prochází bodem M = (1, 0, 3, 1), protíná přímku p : (7, 0, 0, 0) + t(0, 1, 0, 1) a je rovnoběžná s nadrovinou : x1 + x2 + x3 + x4 = 0. 16. V prostoru R5 určete přímku q, která prochází bodem M = (5, 3, 4, 6, 2) a protíná roviny : (3, 1, 0, 4, 0) + a(0, 1, 0, 0, 0) + b(0, 0, 1, 0, 1) a : (0, 1, -2, 1, 0) + c(1, 0, 0, 0, 0) + d(0, 0, 0, 1, 0). 17. Najděte příčku mimoběžek p : (1, 5, 2, -1) + t(1, 2, 1, 0), q : (0, -1, 1, 1) + t(3, 1, 0, 1) procházející bodem M = (0, 1, -5, -3). 61 18. Najděte parametrickou a implicitní rovnici nadroviny v R4 určenou body B1 = (-1, 0, -1, 0), B2 = (0, 2, 0, 1), B3 = (0, -2, 2, 0), B4 = (1, 0, 0, -1). Určete její zamě- ření. 19. V R4 najděte obecné rovnice afinního podprostoru (a) M : (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 0, 0) + s(1, -1, 1, 0) + t(3, -2, 0, 1), (b) M : (x1, x2, x3, x4) = (0, 3, 1, 3) + s(1, 1, -2, -2) + t(1, 5, -4, 0). 20. Najděte průnik afinních podprostorů (a) P1 : (2, 3, 1, 3) + a(-1, 1, 0, 2) + b(0, 2, -3, 2), P2 : (-1, 0, 2, 1) + s(2, 4, -9, 2) + t(1, 1, 1, 1), (b) P1 : (-9, 2, 1, -5) + a(5, -1, 0, 2) + b(3, 1, 2, 0), P2 : (1, 2, 3, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0, 1, 0, 0) + t(0, 0, 1, 0). 21. V R2 je dán trojúhelník ABC. Označme po řadě A , B , C středy jeho stran BC, AC, AB. Dokažte, že platí (A - A) + (B - B) + (C - C) = 0. 62 ŘEŠENÍ KE CVIČENÍM: 1. OPAKOVÁNÍ, POČÍTÁNÍ S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY 1. (a) -486 - 702i; (b) -28 + 24i; (c) - 4 17 + 18 17 i. 2. (a) -59 + 17i; (b) 8 + 5i; (c) 5 2 + 1 2 i; (d) - 1 25 + 7 25 i; (e) -15 2 + 5i; (f) -1 - i. 3. (a) x = 0, y = 0; (b) x = - 1 29 , y = 66 29 . 4. (a) 1+i; (b) 8-3 2 73 + 3+8 2 73 i; (c) 69 2210 + 123 2210 i. 5. (a) 2(cos 2 3 +i sin 2 3 ); (b) 2(cos 3 4 +i sin 3 4 ); (c) 2 3(cos 11 6 + i sin 11 6 ). 6. (a) x0 = 2, x1 = -1 + i 3, x2 = -1 - i 3; (b) x0 = 4 8 2 (1 + i), x1 = 4 8 2 (-1 + i), x2 = - 4 8 2 (1 + i), x3 = 4 8 2 (1 - i); (c) x0 = 1 2 (1 + i 3), x1 = -1, x2 = 1 2 (1-i 3); (d) x0 = 1, x1 = cos 2 5 +i sin 2 5 , x2 = cos 4 5 +i sin 4 5 , x3 = cos 6 5 + i sin 6 5 , x4 = cos 8 5 + i sin 8 5 ; (e) x0 = 3 3 7 (1 + i 3), x1 = -2 3 3 7 , x2 = 3 3 7 (1 - i 3). 2. POLE A VEKTOROVÉ PROSTORY 2.1 zbytkové třídy. 1. p = 3 : x = 2, p = 5 : x = 3, p = 7 : x = 4. 2. p = 11 : x = 3, p = 13 : x = 11. 3. p = 5 : x = 3, p = 7 : x = 1, p = 11 : x = 2. 4. (a) nemá řešení; b) x = 1, 3, 5, 7. 5. (a) x = 3; b) x = 6. 6. (a) např. 2x = 0, 2x = 2, 2x = 4, 3x = 0, 3x = 3; (b) 5x = c, c = 0, 1, 2, 3, 4, 5; (c) např. 2x = 1, 2x = 3, 3x = 4, 3x = 5, 4x = 3. 7. (a) x = 1, 2, 4; (b) x = 3, 5, 6. 8. (a) x = 4, 6; (b) x = 2, 7. 9. (a) x = 2, 4; (b) nemá řešení; (c) x = 4, 5. 2.2 vektorové prostory 1. (a) ne, není splněn axiom (8); (b) ne, není splněn axiom (5) a (6); (c) ne, není splněn axiom (4); (d) ne, není splněn axiom (7) a (8); (e) ano; (f) ano; (g) ano; (h) ne, není splněn axiom (3) a (4); (i) ano. 2. ne, o1 = o1 + o2 = o2. 3. ne, (-u)1 = (-u)1 + [u + (-u)2] = [(-u)1 + u] + (-u)2 = (-u)2. 3. MATICE A OPERACE S MATICEMI 1. () zleva B, F, G, zprava C, D, H; () (a) 1 0 -2 4 -3 0 6 -12 0 0 0 0 7 0 -14 28 ; (b) (29); (c) 12 -20 26 -92 ; (d) -2 -6 0 2 1 1 2 -9 -14 ; (e) není definováno; (f) -4 -2 5 59 -7 -13 ; (g) (113). 2. (a) není definováno; (b) 7 2 4 3 5 7 ; (c) -5 0 -1 4 -1 1 -1 -1 1 ; (d) viz (c); (e) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; (f) 3 45 9 11 -11 17 7 17 13 ; 63 (g) viz (f); (h) 5; (i) -25; (j) 168; (k) není definována; (l) 61; (m) 15 3 12 14 0 7 12 12 13 . 3. (a) -1 23 -10 37 -13 8 29 23 41 ; (b) A11B11 nelze vynásobit; (c) -3 -15 -11 21 -15 44 . 6. (a) 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 ; (b) 1 1 1 1 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 ; (c) -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 . 7. pro n = 4 (a) A = 1 0 0 0 0 a 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 v B vynásobí a-krát druhý sloupec, v C vynásobí a-krát druhý řádek; (b) A = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 v B přehodí první a třetí sloupec, v C přehodí první a třetí řádek; (c) A = 1 0 a 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 v B přičte k prvnímu sloupci a-násobek třetího sloupce, v C přičte k prvnímu řádku a-násobek třetího řádku. 8. A = 3 0 0 3 . 9. A = 3 -2 -1 1 . 10. (a) jedna: A = 1 1 0 1 -1 0 0 0 0 ; (b) žádná. 11. (a) 1 1 1 1 ; (b) 4 : 5 0 0 3 ; (c) ne, např. -1 0 0 1 . 12. (a) ano, např. 1 0 0 0 ; (b) ano, např. 0 1 0 0 . 15. Ak = (aij k ), aij k = počet cest z i do j délky k. 4. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. v R: nemá řešení; v Z5 : x1 = 0, x2 = 2, x3 = 1. 2. v R : x1 = 0, x2 = 2, x3 = 5 3 , x4 = -4 3 ; v Z5 : x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 2; v Z7 : x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 1. 3. x1 = 3t-3 2 , x2 = t, x3 = 1 3 , x4 = -2 3 , x5 = 0, t R; homogenní soustava: x1 = 3s - 39t, x2 = 2s, x3 = 2t, x4 = -4t, x5 = 2t, s, t R. 4. (a) x = 3 + 2i, y = 1 - i, z = 1 + i; (b) x = 1 - 2i, y = i; (c) x = 3 - i, y = 2i. 5. x1 = -3r - 4s - 2t, x2 = r, x3 = -2s, x4 = s, x5 = t, x6 = 1 3 , r, s, t, R. 6. x1 = -s - t, x2 = s, x3 = -t, x4 = 0, x5 = t, s, t R. 7. nemá řešení. 8. x1 = a - 1 3 c, x2 = a - 1 2 b, x3 = -a + 1 2 b + 1 3 c. 9. x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2. 10. nemá řešení; homogenní soustava: x1 = 3t, x2 = 23t, x3 = 45. 11. (a) (i) a = -1 : x = a+b (1+a)2 , y = b 1+a + b-1 (1+a)2 , z = b-1 1+a ; (ii) a = -1, b = 1 : x = 64 t - 1, y = t, z = -1, t R; (iii) a = -1, b = 1; (b) (i) a = 0 : x = -3a2-ab-4a+2b+4 a , y = -2b+3a+4 a , z = b+2 a ; (ii) a = 0, b = -2 : x = -2 + 2p, y = -3 - 2p, z = p, p R; (iii) a = 0, b = -2. 12. (i) nikdy; (ii) b = 1, a lib.: x = 2 + 2ap, y = 4 + 2ap, z = p, p Z5; (iii) b = 1, a lib. 13. [1, 0, 1], [2, 4, 2], [3, 3, 3], [4, 2, 4], [0, 1, 0]. 14. právě jedno řešení pro a = 4 : x = 4+a2b-2ab a3+1 , y = 2a2b-4a+b a3+1 , z = 4a2-ab+2b a3+1 ; více řešení pro a = 4, b = 2 : [4, 1, 0], [0, 2, 1], [1, 3, 2], [2, 4, 3], [3, 0, 4]; žádné řešení pro a = 4, b = 2. 15. a = c, b = 0. 16. právě jedno řešení pro a = 1, a = -2, b = 0 : x = a-b (a-1)(a+2) , y = ab+b-2 b(a-1)(a+2) , z = a-b (a-1)(a+2) ; více řešení pro a = 1, b = a : x = t, y = 1 - 2t, z = t, t R nebo pro a = -2, b = a : x = t, y = -1+t 2 , z = t, t R; žádné řešení pro a = 1, b = a nebo a = -2, b = a. 5. INVERZNÍ MATICE 1. A-1 = 7 -5 -11 8 , B-1 = 4 -3 -1 1 , C-1 = 1 -2 1 0 1 -2 0 0 1 , D-1 = 2 2 3 1 -1 0 -1 2 1 , E-1 = 1 4 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 , F-1 = -7 5 12 -19 3 -2 -5 8 41 -30 -69 111 -59 43 99 -159 , G-1 = 154 -179 -205 235 -36 42 48 -55 6 -7 -8 9 1 -1 -1 1 . 2. (a) A-1 = 2 -1 -5 3 , B-1 = 1 5 3 20 -1 5 1 10 , C-1 = -1 2 -2 1 3 . 3. K-1 = 1 - - , L-1 = cos sin - sin cos , M-1 = 1 n-1 0 1 1 1 1 0 1 1 ... ... 1 1 1 0 , N-1 = 1 -1 1 -1 (-1)n-1 0 1 -1 1 (-1)n-2 0 0 1 -1 (-1)n-3 ... ... 0 0 0 0 0 1 . 4. A-1 = 1-i 6 1 3 1+i 3 - i 3 , B-1 = 0 1 -i 2i , C-1 = 1 1+9i 4 -1 + i -2 + 3i 1 , D-1 = 1 2 3 -i i 1 , E-1 = 1 -i 1 -2 0 -i . 6. VEKTOROVÉ PODPROSTORY, LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, LINEÁRNÍ OBALY 6.1 vektorové podprostory 1. (a) ne, neplatí (1); (b) ne, neplatí (1),(2). 2. (a) ne, neplatí (1), (2); (b) ano. 3. (a) ano; (b) ano. 4. (a) ano; (b) ne, neplatí (2). 65 6.2 lineární závislost a nezávislost, lineární obaly 1. (a) LNZ; (b) LNZ; (c) LZ, [u1, u2, u3] = [u1, u2]; (d) LNZ; (e) LNZ; (f) LZ, [u1, u2, u3, u4] = [u1, u2, u3]. 2. (a) v1, v2, v3; (b) v1, v2, v4, v6. 3. (a) LZ; (b) LZ; (c) LNZ; (d) LZ. 4. (a) ne; (b) ano. 5. (a) ano; (b) ne. 6. (a) LNZ; (b) LZ; (c) LZ. 7. BÁZE A DIMENZE VEKTOROVÉHO PROSTORU, SOUŘADNICE, SOUČTY A PRŮNIKY PODPROSTORŮ 1. Stačí přidat např. (a) (0, 0, 0, 1); (b) x; (c) 0 0 0 1 . 2. (a) u3; (b) žádný. 3. (a) (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3), dim M = 3; (b) 2x-1, x3 +x+1, x2 +x, dim M = 3; (c) 1 1 1 1 , 1 -1 -1 1 , 0 1 1 1 , dim M = 3. 4. např. M = [(-1, 1, 0, ..., 0), (-1, 0, 1, ..., 0), ..., (-1, 0, 0, ..., 1)], dim M = n-1, Rn = M (1, 0, ..., 0). 5. (a) dim P = n-1; (b) dim P = n-2. 6. (a) P1 = [x4 , x2 , 1], P2 = [x5 , x3 , x], P3 = [(x-1)(x-2)x3 , (x-1)(x-2)x2 , (x-1)(x-2)x, (x-1)(x- 2)]; (b) [x4 -5x2 +4]; (c) [P1][P3]. 7. (b) např. [P] = 0 1 1 0 , 0 1 2 0 , 1 1 1 -1 ; (c) = [P] 1 0 0 0 , (E) = (1, 0, -1, 2). 9. (a) (-5, 4, 0)T ; (b) (0, 1, 1)T ; (c) (11, -3, 67, -51)T ; (d) (- 1 10 , 1 2 , 1 2 , 0); (e) (2, -1, 3)T ; (f) (1, 1, 1, -2)T ; (g) (1, 0, 2, 3)T ; (h) (1, 1, -1, -1, 3, -4)T . 10. (u) = (a1, a2, a3 - a2, a4 - a1)T . 11. ozn. ­ báze P1 + P2, ­ báze P1 P2. (a) např. = 3, dim(P1 + P2) = 3, = [(0, 2, 1), (1, 4, 0)]; (b) např. = 3, dim(P1 + P2) = 3, = [(3, 5, 7)]; (c) např. = 4, dim(P1 + P2) = 4, = ; (d) např. = 4, dim(P1 + P2) = 4, = [(1, -1, 1, -1), (1, 0, 1, 0)]. 12. V1 V2 = [(1, 2, 1, 2)], (V1 + V2) v = [(1, -2, 3, -4)]. 13. V1 + V2 + V3 = [x2 + 2x3 , -x3 + x6 , 2 + x2 , x2 + x3 + 2x4 , x2 + x6 , 1 + 3x3 + x5 ], V1 V2 = [x2 + x6 ], V1 V3 = [x2 + x3 + x6 ], V2 V3 = V1 V2 V3 = . 8. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 1. (a), (b) ano pro v = 0, ne pro v = 0. 2. (a), (c), (d) ne; (b) ano, Kerf = {}, Imf = [(2, 1), (3, -1)], A = 2 3 1 -1 ; (e) ano, Kerf = [(1, -1, -3)], Imf = [(1, 2, 0), (-2, -1, 3)], A = 1 -2 1 2 -1 1 0 3 -1 . 3. (a) ano, KerA = {}, ImA = R2[x]; (b) ano, KerA = R0[x], ImA = {a1x + a2x2 , a1, a2 R}; (c) ano, Kerf = {a + bx; a, b R} = R1[x]; (d) ne. 4. (a) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; (b) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ; (c) 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ; (d) a 0 0 0 a 0 0 0 a ; (e) 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 , f(2, -5, 3) = 66 (2, 5, 3); (f) 1 2 3 2 - 3 2 1 2 , f(3, -4) = (3-4 3 2 , -3 3+4 2 ); (g) 1 0 0 0 3 2 -1 2 0 1 2 3 2 , f(-2, 1, 2) = (-2, 3-2 2 , 1+2 3 2 ). 5. otočení o úhel -. 6. f je isomorfismus, f-1 (x) = 1 2 (x1 -x2 +x3, x1 + x2 -x3, -x1 +x2 +x3). 7. (a), (b) dim Kerf = 2, dim Imf = 2. 8. dim Kerf = 1, dim Imf = 3. 9. f(x1, x2) = 1 7 (3x1 - x2, -9x1 - 4x2, 5x1 + 10x2), f(2, -3) = 1 7 (9, -6, -20). 10. (f)3,3 = -1 -2 7 3 7 1 2 11 14 1 14 1 2 7 -3 7 , f(x) = (-x1 - 2 7 x2 + 3 7 x3, 1 2 x1 + 11 14 x2 + 1 14 x3, x1 + 2 7 x2 - 3 7 x3). 11. f a1 a2 a3 a4 = 1 2 a1+1 2 a2+2a3-a4. 12. (a) neexistuje; (b) existuje, f(x) = 1 3 ((4+a)x1+(-5+ 4a)x2 + 3ax3, (1 + b)x1 + (1 + 4b)x2 + 3bx3), a, b R. 13. Kerf = {(9, -10, -7, 8)}, Imf = {(5, 0, 0, 1), (0, 5, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}. 14. f(x) = 1 2 (x1-x2+x3, -x1+x2+x3, x1-x2+x3, -x1+ x2 + x3). 15. dim Im(V1 V2) = 1, Im(V1V2) = {(2, -3, 1, -1, -3)}, dim(f-1 (W)) = 0. 16. (a) (f(v1)) = (1, -2)T , (f(v2)) = (3, 5)T ; (b) f(v1) = (5, -5)T , f(v2) = (-2, 29)T ; (c) f(x1, x2) = 1 7 (18x1 + x2, -107x1 + 24x2); (d) 1 7 (19, -83). 9. MATICE LINEÁRNÍHO ZOBRAZENÍ, MATICE PŘECHODU 1. f(x) = (-2x1 + x2, x2 - x3, -x3), f je isomorfismus. 2. (f), = 2 3 -2 9 1 2 4 3 , (f), = 1 1 0 1 . 3. (a) (A), = 1 4 6 0 0 1 8 18 0 0 1 12 0 0 0 1 ; (b) (A), = 3 -2 16 -2 2 -1 -10 8 0 0 7 -6 0 0 6 5 , A je isomorfismus. 4. (a) (x) = (5, -1, 5)T ; (b) (x) = (1, -4, 5)T . 5. f {-s+ 1 2 +(-t+ 1 2 )x+sx2 + tx3 ; s, t R}. 6. (f), = 1 0 2 0 -1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 1 . 7. (), = D-1 AC, kde sloupce matic C a D jsou tvořeny vektory bazí a . 8. (b) Kerf = {x2 + x + 1}; (c) (f), = 1 -1 0 1 0 -1 0 1 -1 . 9. f(x1, x2) = 1 2 (4x1 - 2x2, 2x1 + 2x2, x1 - x2). 10. (a) (f), = 1 2 1 2 0 0 1 2 -1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 ; (b) (f), = 1 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 -1 . 11. (a) (f), = 3 4 3 4 1 12 -3 4 -17 12 -17 12 0 2 3 2 3 , (w) = (19 12 , -43 12 , 4 3 )T ; (b) 67 3 2 5 2 -2 -3 -1 2 5 1 6 , (w) = (-7 2 , 23 2 , 6)T . 12. 0 0 -1 2 1 8 3 4 3 . 13. (a) f(x) = (x1 +2x3, -x1 +x2); (b) f(x) = (4x1 + 2x2 + 12x3, -3x1 - 3x2 - 6x3). 14. f(x) = (3, -12), f(y) = (-3, -21). 15. f : R3 R5 , g : R5 R3 ; zobrazení f g : R5 R5 je dáno maticí AB, nejedná se o isomorfismus, zobrazení g f : R3 R3 je dáno maticí BA, jedná se o isomorfismus. 10. AFINNÍ GEOMETRIE 1. (a) (x, y, z) = (-1, 1, 0) + t(1, 0, 2) + s(4, -1, 4); (b) (x, y, z) = (1, 2, -3) + t(-1, 0, 4) + s(2, 1, -1); (c) (x, y, z) = (3, 1, -2) + t(-1, 2, 1) + s(3, -4, 2). 2. (a) 22x - y + 5z - 28 = 0; (b) x - 5y - a3z + 27 = 0; (c) x + y - 6 = 0. 3. (a) A, D; (b) B, C; (c) A, C, D. 4. p : (x, y, z) = (3, -3, 0) + t(0, 1, 1), svazek rovin: a(2x - y + z - 9) + b(x + y - z) = 0, (a, b) = (0, 0). 5. (a) (7, 3, 0, 2) + t(1, -1, 1, 0); (b) (3, 2, 3, 0) + t(-2, -1, 0, 1). 6. (a) totožné; (b) různoběžné, R = (-4, -3); (c) mimoběžné; (d) různoběžné, R = (-3, 0, 4). 7. (a) x = 2 + 3t, y = 1 + t, z = -2t; (b) totožné. 8. (a) (-2, -2, 3); (b) přímka leží v rovině; (c) mimoběžné; (d) přímka leží v rovině; (e) různoběžné, P = (2, 0, 1, 1). 9. (a) protínají se v bodě (-8 3 , -16 3 , 2, 5); (b) přímka leží v nadrovině; (c) protínají se v přímce (1, 2, 3, 4) + t(2, 4, -9, 2). 10. (a) a = 3, b = 2; (b) pro a = 11 4 se protínají v přímce (4, -21 10 , 3, 43 10 ) + t(10, -2, -5, 1), pro a = 11 4 mimoběžné. 11. (a) rovnoběžné; (b) protínají se v bodě (0, 2, 2, -3, 0). 12. (a) x = 3 + t, y = -2, z = 13 + 8t; (b) x = 1 + 2t, y = -2 + t, z = 3 - t; (c) x - 4 = y - 1 = z+5 2 ; (d) příčka neexistuje, přímky jsou totožné. 13. x = 3 + 5t, y = -2 + 10t, z = -4 + 9t. 14. q : (3, 2, 1) + t(-1, -1, 3). 15. (a) (8, 9, -11, -15) + t(6, 7, -8, -11); (b) q : (1, 2, -1, -2) + t(-2, 0, 2, 0); (c) q : (1, 0, 3, 1) + s(6, -1, -3, -2). 16. q : (5, 3, 4, 6, 2)+ t(2, 1, 3, 2, 1). 17. příčka neexistuje. 18. (x1, x2, x3, x4) = (-1, 0, -1, 0) + r(1, 2, 1, 1) + s(1, -2, 3, 0) + t(2, 0, 1, -1), -10x1 + 7x2 + 8x3 - 12x4 = 2. 19. (a) 2x1 + 3x2 + x3 = 2, -x1 - x2 + x4 = -1; (b) 3x1 + x2 + 2x3 = 5, 4x1+x3+x4 = 4. 20. (a) X = (-1, 0, 2, 1)T +p(2, 4, -9, 2)T = (2, 3, 1, 3)T +p(2, 4, -9, 2)T ; (b) X = (-9, 2, 1, -5)T + p(3, 1, 2, 0)T = (1, 2, 3, 4)T + p(3, 1, 2, 0)T . 68 LITERATURA [1] H. Anton, C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 8th Edition, Applications Version, Willey, 2000. [2] L. Bican: Lineární algebra, Matematický seminář SNTL, Praha, 1979. [3] P. Kaprálik, J. Tvarožek: Zbierka riešených príkladov z lineárnej algebry a analytickej geometrie, Alfa, Bratislava, 1987. [4] J. Slovák: Lineární algebra, elektronický učební text, http://www.math.muni.cz/~slovak, Brno, 1995. [5] P. Zlatoš: Lineárna algebra a geometria, skripta MFF UK v Bratislavě, 1999.