Výsledky cvičení 69 Výsledky cvičení 1. VÝPOČET DETERMINANTU 1. (a) 19, (b) 36 2. (a) suda, (b) licha, (c) lichá, (d) licha 3. (a) x = 8, y = 3, (b) x = 2, y = 7 . n(n—1) , . , . n(n—1) , . , . n(n+1) . n(3n— 1) , . 4. (a) (-l)-HH, (b) (-l)-HH, (c) (-1)^, (d) (-1)^, (e) (-1)™ 5. (a) ano, (b) ne 6. +cti2 Q34 021043, —Q34 041 7. det A = —11, det B = 90, det C = —4, det D = —100, det E = 5, det F = —2 + 2i 8. det A = —195, det B = 18, det C = —28, det D = 30, det E = 39, det F = 6, det G = -|, det H = -2, deti = 301, det J = -153, det K = 1932, det L = -336, det M = —7497, det N = 10, det O = 60, det P = —21, det Q = 78, det R = 800 9. det A = —105, det B = —18 10. det A = [a + (n — 1)x](a — x)™-1, nejprve k prvnímu sloupci přicteme všechny ostatní, a pak od všech řádků odecteme první det B = xn + (—1)n+1yn, udelame rozvoj podle prvního sloupce det C = ai(i2 ■ ■ ■ an(ao — ^- — ^ — • • • — k prvnímu řádku přičteme — krát druhý řádek, — — krát třetí řádek, atd. det D = a0xn + a1 xn-1 + • • • + an, udelame rozvoj podle prvního sloupce det E = 00x1 x2... x„ + 01 ... x„ + 02y1y2... x„ + • • • + a„y!y2... y„, udelame rozvoj podle prvnáího raádku 11. det A = — (02 + 03 + • • • + 0n), od prvního rádku odecteme vsechny ostatní det B = 0!, ke vsem rádkum pricteme první det C = (2n+ 1)(—l)^™-1), nejprve od všech řádků odečteme poslední řádek, a pak k prvnáímu sloupci p ri cteme v sechny ostatnáí sloupce det D = 0, k prvnáímu raádku p ri cteme v sechny ráadky det E = (—n!, od vsech radku odecteme poslední rádek det F = x1 (x2 — 012) (x3 — 023) ... (xn — 0n_1>n), zacneme od posledního radku a od kaz deho r ádku ode cteme p r edchozí det G = (—1) 2 b\b2 ■ ■ - bn, od všech sloupců odečteme poslední sloupec 70 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie det H = (-1)n(n-1) 2n, začneme od posledního sloupce a od vsech sloupců odečteme předchozí det I = b1... bn, od vsech řádků odecteme přvní 12. det A = 2 det An_i, pro n > 2, uděláme rozvoj podle posledního sloupce det B = 3 det An-1 — 2 det An — 2, pro n > 3, udeláme rozvoj podle prvního rádku, pák u druhe matice podle prvního sloupce det C = 3 det An-1 — 2 det An — 2, pro n > 3, udeláme rozvoj podle posledního rádku, pák u druháe mátice podle poslednáího sloupce det D = 5 det An-1 — 6 det An-2, pro n > 3, udeláme rozvoj podle posledního rádku, pák u druháe mátice podle poslednáího sloupce det E = 7 det An-1 — 10 det An-2, pro n > 3, udeláme rozvoj podle prvního rádku, pák u druháe mátice podle prvnáího sloupce det F = (x + 1) det An-1 — x det An-2, pro n > 3, udeláme rozvoj podle prvního rádku, pák u druhe mátice podle prvního sloupce det G = (x2 — y2) det A2(n-1), pro n > 2, udeláme rozvoj podle prvního rádku, pák u prvnáí mátice podle poslednáího sloupce á u druháe mátice podle prvnáího sloupce det H = det An-1 — det An-2, pro n > 3, udeláme rozvoj podle prvního rádku, pák u druháe mátice podle prvnáího sloupce 13. (a) 1, (b) f(l + 2fc), f(2 + 6fc), f(4 + 6fc) 14. det A = —144, po vytknutí ze druheho rádku mátice dostáváme determinát V(—1,1, 2, —2) det B = 2880, transponováním mátice dostáváme determinánt V(2,1, —2, 3, —1) det C = Yí 1x\ — \x\ 72 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 16. (a) ani pozitivně ani negativně definitní pro libovolné a (b) negativné definitní pro a < —1 17. elipsa, S = (—2, |) 18. (a) parabola (b) dve různobezky (c) hyperbola, S = (|, —|) (d) elipsa, S = (—1, —1) (e) parabola (f) rovnobežky (g) elipsa, S = (7, 5) (h) hyperbola, S = (1, — |) (i) parabola (j) rovnobežky 1 Q TP í t\ - ľ2 _ ry2 __|_ /vi2 _ __|_ 2 _ ,yi2 ij. j. ^xy — jji -X/2 .c3 .c4 .cg .c 7 222222 21. f (aA, B) = tr(aA • M • B) = atr(A • M • B), analogicky f (A, aB) = af (A, B) f (Ai + A2,B) = tr((Ai + A2) • M • B) = tr(Ai • M • B + A2 • M • B) = tr(Ai • M • B) + tr(A2 • M • B) = f (Ai,B) + f (A2,B), analogicky f (A, Bi + B2) = f (A,Bi) + f (A, B2) Vektorový prostor ma dimenzi 4, matice bilineární formy je proto matice radů 4, jejíž prvky jsoů dany vztahy = f (ej, ej), kde ej, ej jsoů bázove vektory, napr. ai2 =tr( 1 0) { 1 2) { o 0=tr( 1 0) { o 0=tf( 0 0)=° Matice formy pak je: 1020 0102 3 0 4 ° \ ° 3 ° 4 j 3. SKALÁRNÍ SOUČIN 1. (a) ne, (b) ne, (c) ano 2. (a) ano, (b) ne, (c) ne, (d) ano, (e) ano Výsledky cvičení 73 3. (a) ano, (b) ne 4. (a) ne, (b) ne, (c) ne, (d) ano 5. (a) (u, v) = 13uivi + 5u2v2 — 8uiv2 — 8u2vi (b) nelze, vektory u a v jsou linearne zívisle 6. vektory jsou lineírne nezívisle a jejich lineírní obal je R4, a tedy napr. a = [(1, 0, 0, 0)T, (0,1, 0, 0)T, (0, 0,1, 0)T, (0, 0, 0,1)T] 7. a = [(1, 0, 4, —1)T, (1, —4, 0,1)T, (—32, —7, 9, 4)T], bíze W± je /? = [(4, 9, 7, 32)T] 8. a =[(1,1, —1, —1)T, (3, —1,1,1)T, (0,1,1, 0)T] 9. (a) a = [(1, 2, 2, —1)T, (2, 3, —3, 2)T, (2, —1, —1, —2)T] (b) a =[(1, 0,1, 0)T, (0,1, 0, —7)T] (c) a = [(1, 2, 0,1, 2)T, (1, 0, 6, —1, 0)T] (d) a = [(1, —1, 0,1,1)T, (3, —3, 4, —1, —5)T, (3, —18, —31, —11, —10)T] 10. (a) (1, 0, —1,1)T, (—1, 0, 0,1)T (b) (24, —2, 2, 9)T, (0,1,1, 0)T (c) (—7, 0,1, 0)T, (0, —1, 0, 7)T 11. Pe,« / 1 0 -| 0 \ 0 1 0 -| 0 0 1 0 0 0 0 1 12. (a) a = [(1, 0, —1,1, 0)T, (1, 3, 2,1, — 3)T] (b) a = [(—1, 5, 3, 0, 0)T, (0,1, 0,1, 0)T, (1, —8, 0, 0, 3)T] 13. a= [(0,^,-^,0)T 14. (a) -1, -f (b) -1 + ^, -1 - ^ (c) žádné 15. P-L = [(4, 2, 7, 0)T] 16. (a) W = [(1,1,1,1)T, (—5, 3, —3, 5)T] (b) a = —17, b =13 17. (l,|,ff 18. (a) L± = [(1,1, —1, —Pz = (2, 2, —2, —2)T 74 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie (b) L± = [(4, 2,1,Pz =(4, 2,1, 19. (a) Pu = (-1,1, -2, 3)T (b) Pu = (0, 0, 0, 0)T (c) Pu = (0, 3, 0, 3)T (d) Pu = (1,-1,-1, 5)T 20. Budeme poCítat druhou mocninu velikosti vektoru u - v: ||u - v||2 = (u - v, u - v) = (u, u) - 2(u, v) + (v, v) = ||u||2 - 2(u, v) + ||v^2 . Z Cauchy-Schwartzovy nerovnosti víme, ze |(u, v)| < ||u|| ||v^. Protože v nasi rovnici (u, v) odcítame, bude platit ||u - vy2 > ||uy2 - 2 ||u|| ||v|| + ||v||2 a tedy ||u - v||2 > (||u|| - ||v^)2, tj. | 11u^ - 11v^ | < ||u - v|| 21. Stací zvolit vektorový prostor V = Rn se standardním skalírním soucinem a vektory x = (xi, x2,..., xn) G Rn a y = (1, 1,..., 1) G Rn. Pro tyto dva vektory musí platit Cauchy-Schwartzova nerovnost |(x,y)| < ||xy ||yy z toho plyne 1 x\ + 1X2 + • • • + 1 xn < \jx\ + x\ + ... x2n \fň, , xi + x2 + * * * + /xi + + • • • + xn a tedy - < \ —---- n V n 22. Zvolíme za vektoroví prostor množinu všech spojitích funkcí na intervalu (a, b), znacíme C [a, b], se skalírním soucinem definovaním pro /,g G C[a,b] (/,g) = / /(x) g(x) dx. J a zvolíme dve funkce / = / (x) a g = 1, pro které musí platit Cauchy-Schwartzova nerovnost |(/,g)|< ||/1| MgM z toho plyne j f (x) dx < ^ j f2 (x) dx 1 dx , j f (x) dx< ]J J f2(x)dx -b a tedy / f(x)dx< \ j I f2(x) dx \Jb — a a 1 ľh . . I 1 ľb Výsledky cvičení 75 23. Vezmeme-li dva vektory (2,4), (x, y) G R2, platí pro ne Cauchyova-Schwarzova nerovnost (2x + 4y)2 < (22 + 42) (x2 + y2). Odtud pak uz pro 2x + 4y = 1 dostavame požadovanou nerovnost. 24. Vezmeme-li dva vektory (-^, -^), G R3, dostaneme z Cauchy-Schwarzovy nerovnosti / 1 x 1 y 1 z \2 íl 1 1\ /x2 y2 z2\ Wš Vi+ VŠ VŠ+ Vi Vi/ " U + š + ej U + T + ¥; ' což je požadovana nerovnost. 25. Vezmeme vektory -^=,..., -^j, (jä^>, Jäš,Jä^, Jä~[) G Rn, pro které platí Cauchy-Schwarzova nerovnost / \2/22 2 \ —— JÔ2 + —= V^ +----h -f= V^ľ < — + — +----h— (ai+a2+- • ■+an), \va2 Vai J \a2 «3 «i / což je požadovaný výsledek. 26. Vezmeme vektory (J=, ..., ^= ), (^/ÔT, ..., ^) G Cauchy-Schwaržova nerovnost (^Ť' • • •' 7^)' (V^í' V^2' • • •' V^) G Pro které Platí nerovnost n2 < (— + — +----h — J (ai + a2 +----h O • 27. F = Fi + F2 + F3 + F4, potom |F|2 = (F, F) = |Fi|2 + |F2|2 + |F3|2 + |F4|2 + 2(Fi,F2) + 2(Fi,F3) + 2(Fi,F4) + 2(F2,F3) + +2(F2,F4) + (F3,F4) (a) \F\2 = 100(6 + 3^) (b) \F\2 = 100(4 + 2^) 28. 25 = ((Fi+F2+F3), (F+F2+F3)) = |Fi|2+|F2|2+|F^|2+2 ((Fi, F2) + (Fi, F3) + (F2, F3)) = 4 + 9 + 16 + 2(6 + 8 + 12) cos a, pak a = arccos (-^). 4. EUKLIDOVSKÁ ANALYTICKÁ GEOMETRIE - VZDÁLENOST A ÚHEL 1. (a) p(A, P) = 5, (b) p(A, P) = 6, (c) p(A, P) = 7, (d) p(A, P) = (^)i (e) p(R, B) = VŠ, (f) p(R, B) = 2 VŠÔ, (g) p(R, B) = 5, (h) p(R, B) = Vlí 2. (a) q) = 7 (b) q) = 13 (c) q) = 5, (d) q) = 6, (e) q) = 10 76 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 3. (a) p(p,r) = 5, (b) p(p, r) = 5, (c) p(p, r) = 3 4. (a) p(r, a) = 7, (b) p(r, a) = 10, (c) p(r, a) = 5, (d) p(r, a) = 0, (e) p(r, a) = 7, 5. p(r, P) = 6 6. (a) a = f (b) a = f, (c) a = f, (d) a = f, (e) a = f, (f) a = f, (g) a = f, (h) a = f, (i) a = f, (j) a = f 7. (a) a = |, (b) cos a = | 8. (a) a = f, (b) a = f, (c) a = f, 9. Q = (3, 2,1, 2) 10. Q = (2, 5, -3) 11. C = (1, 0,1, 0,1) + t(19,11, -4, 5,1) + s(7, 2, 0,1, 0) 12. C : 7xi = 2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 15, 4x2 — 2x3 + x4 — x5 = —5 13. q = (2, 1, —3) + t(—8, —9, 6) 14. 2 řešení: p1 : 3x — 6y — 2z — 7 = 0, resp. p2 : 3x — 6y — 2z + 35 = 0 15. p1 : 2x — 2y — z — 22 = 0, resp. p2 : 2x — 2y — z + 8 = 0 16. nekoneCne mnoho bodů ležících na přímce q : (6, —1, 0) + t(2, 2, 0) 17. x — y + z — a 18. Qi = (2, —3, —3)T, Q2 = (—2, 5, 9)T 19. Qi = (15, 0, —12)T, Q2 = (15, 2, —10)T 20. 15x +10y — 10z — 8 = 0 21. Lže odvodit p(A N) = \aiVl -----^anyn + ao\ y/a\-\-----Va2n 5. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY, ORTOGONÁLNÍ MATICE 1. (a) Ai = —1, ai = [(1,1, —1)T] (b) Ai = 2, ai = [(1, 2, 0)T, (0, 0, (c) Ai = 1, ai = [(1,1,1)T], A2 = 0, a2 = [(1, 2, 3)T] Výsledky cvičení 77 (d) Ai = 1, ai = [(2,1, 0)T, (1, 0, -1)T], A2 = -1, «2 = [(3, 5, 6)T] (e) Ai = 1, ai = [(1, 2,1)T], A2 = 2 + 3i, «2 = [(3 - 3i, 5 - 3i, 4)T], A3 = 2 - 3i, «3 = [(3 +3i, 5 +3i, 4)T] (f) Ai = 2, ai = [(1,1, 0,1)T, (0, 0,1, (g) Ai = 1, ai = [(1,1,A2 = 2, «2 = [(1,1, 0)T, (1, 0, -3)T] (h) Ai = 1, ai = [(1,1, 2)T], A2 = 2 + 3i, a2 = [(-12 + 3i, -10-6i, 17)T], A3 = 2-3i, a3 = [(-12 - 3i,-10 +6i, 17)T] (i) Ai = 1, ai = [(1,1, 2)T], A2 = 2 + 3i, a2 = [(3 - 3i, 4, 5 - 3i)T], A3 = 2 - 3i, a3 = [(3 +3i, 4, 5 + 3i)T] (j) Ai =2, ai = [(1,1, 0, 0)T, (1, 0,1, 0)T, (1, 0, 0,1)T], A2 = -2, ai = [(1, -1, -1, -1)T] 2. (a) R3, (b) a = [(1, 0, 0)T, (0, 0,(c) a = [(1, 0, 0)T] 3. (a) Ai = 3, A2 = 2, A3 = 1, je diagonálni na Q, R, C (b) Ai = 1, A2 = 2 + 3i, A3 = 2 - 3i, je diagonalni na C (c) Ai =0, A2 = 1, neni diagonálni 4. (a) Ai = 1, ai = [(-1, 0,1)T, (1,1, 0)T] A2 = 3, a2 = [(-1,1, 0)T] (b) Ai =0, ai = [(-2,1, 0, 0)T, (-3, 0, 0,1)T] A2 = 2, a2 = [(0, 0,1, 0)T, (1, -1, 0,1)T] 5. (a) Ai = -1,ai = [(1,1,1)T],algebraická nasobnost je 1, geometrická nasobnost je 1 A2 = 2, a2 = [(1, 0,1)T], algebraicka nasobnost je 2, geometricka násobnost je 1 (b) Ai = 2, ai = [(1, 0, 2)T], algebraicka nasobnost je 1, geometricka násobnost je 1 A2 = 3, a2 = [(1,1,1)T], algebraicka nasobnost je 2, geometricka násobnost je 1 (c) Ai = 0, ai = [(1, 2, 3)T], algebraická nasobnost je 2, geometrická násobnost je 1 A2 = 1, a2 = [(1,1,1)T], algebraická násobnost je 1, geometrická násobnost je 1 (d) Ai = -1, ai = [(2, 0, 0,1)T, (0,1, 0, 0)T], algebraicka nasobnost je 4, geometrická náasobnost je 2 (e) Ai =2, ai = [(2, 0, 0,1)T, (0,1, 0, 0)T], algebraicka nasobnost je 4, geometrická náasobnost je 2 6. (a) vlastni cisla nezavisi na parametrech: Ai =5, A2 = 2, A3 = -2 vlastní vektory závisí na parametrech: a\ = [(1, 1, |(a + b))T], a2 = [(0, 0, 1)T], «3 = [(i, |, f - f )T] (b) vlastni cisla zavisi na parametrech: Ai = 5, A2 = 2 + a, A3 = -2 7. Matice A = ( b j je ortogonalni, jestize plati A-AT = E, z toho plyne a2+b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + = 0. Matice A je pak tvaru cos a sin a nebo sin a cos a cos a sin a sin a cos a 78 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie První matice reprezentuje otocení o áhel a, druhá složení preklopení podle osy x s oto c ením o áhel a. 8. A0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a= >(l,l,l)r,^(l,0,-l)r,^(l,-2,ir B0 100 001 0-10 a= ^(1,1, 0f, (0,0, lf,^(l,-l,0)T C0 10 o \ o f 0 a ^(i,i,iF,^(2,-i,-if,^(i,-i,oF D0 E0 F0 G0 10 o i o f 1 v 0 4 ^7+4^2 4 a o \ ^7+4^2 4 2V2-1 4 ~^(l,l,0f,^(l,-l,0f, (0,0, lf 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 —1 1 0 0 0 0 —1 0 0 0 0 0 1 0 0 —1 0 a= [i(i,i,i,-if,i(i,i,-i,if,Ki,-i,i,ir, k-i,i,i,i)t] a =[^(1,1,0,0^,^(0,0,1,-1)^ ^(l,-l,0,0f,^(0,0,l,lf] Ho 1 0 0 o I vi w 2 2 0 ± u 2 2 a= ;^d, i,ir, 3.(2,-1,-if, ^d,-i, oř 1 0 0 0 0 —1 0 1 0 a [|(-l,2,2r,|(2,2,-lf,|(-2,l,-2f] Jo 1 0 0 0 ^ w 7 _3_ 2 75 7 u 7 7 a >(l,l,l)T,^(l,-l,0f,^(3,5,-8r 3 2 3 2 0 0 Výsledky cvičení 79 Lo 1 0 0 1 0 0 12(-2+7 1 V2) 12^42+28^2 1 o o \ o 0 VI 2 (1 1 2 2 12^42+28^2 12(-2+772) / a= [^(1,1, 0)r, ^(1,-1, 0)T, (0,0,-l)r" 9. Ao 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 a = ^(o,i,-if,^(o,i,if,(i,o,or otočení o úhel | v rovině kolmé ke směru (0, 1, — 1)T ( 1 ° 0 \ r i Bo= 0 0 -1 a= ^(l,l,0)r,^(-l,l,0)r,(0,0,l)r otočení o úhel | v rovině kolmé ke směru (1, 1, 0)T 1 0 0 Co 0 I 0 a= 5 5 otočení o úhel arccos | v rovině kolmé ke směru (0, 1, 0)T [(0,1, 0)T, (1, 0, 0)T, (0, 0,1)T] 10. Ao Co 11. 0 1 1 1 ( 1 + iVŽ V3 1 01 0 1 - 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 B0 = [ 0 i 0 0 0 -i iv^ ) 1 12. I 13. 14 i 1 -1 1 s/2 \/2 -\/2 0 0 1 0 ^ 2 w 2 0 1 0 # 0 11 1 1 v/2 -\/2 V2 /2 0 i 80 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 0 0 ... 0\ 1 0 ... 0 0 1 . . . 0 15. ^ 0 0 0 ... 0 y 16. Označme matici zobrazení G, matici prvního skalárního součinu A a druhého B, přičemž '111 G = | -110 0 0 1 Ma-li byt zobrazení ortogonainí, musí zachovavat skalární součin, musí tedy pro všechna u, v G R3 platit (u, v) = ((u),