Domácí úkoly ke cvičení č. 1
1. Vypočtěte následující determinant z matice řádu n G N nad Z :
1		3		5	7 ...	2n —	5	2n —	3	2n —	1
3		5		7	9 ...	2n —	3	2n —	1	1	
5		7		9	11 . . .	2n —	1	1		3	
7		9		11	13 . . .	1		3		5	
—	5	2n —	3	2n — 1	1 ...	2n —	11	2n —	9	2n —	7
—	3	2n —	1	1	3 ...	2n —	9	2n —	7	2n —	5
—	1	1		3	5 ...	2n —	7	2n —	5	2n —	3
2. V závislosti na hodnotách parametru x G R a yi, y2,..., yn G R vypočtete následující determinant z matice řádu n + 1 nad R:
x	yi	yi	yi  . . .	yi	yi	yi
yi	x	y2	y2  . . .	y2	y2	y2
y2	y2	x	y3  . . .	y3	y3	y3
y3	y3	y3	x ...	y4	y4	y4
'n—2	yn 2	yn 2	yn 2 . . .	x	yn i	yn
n i	yn i	yn i	yn i . . .	yn i	x	yn
yn	yn	yn	yn  . . .	yn	yn	x
3. V zavislosti na hodnote parametru x G R vypoctete nasledující determinant z matice radu n > 1 nad R:
0	x	x	—x ...	x	x	—x
x	0	x	—x ...	x	x	—x
x	x	0	—x ...	x	x	—x
x	x	x	0 ...	x	x	—x
x	x	x	x ...	0	x	—x
x	x	x	x ...	x	0	—x
x	x	x	x ...	x	x	0
1
4. V závislosti na hodnotách parametrů a, b G M řešte soustavu lineárních rovnic nad M:
x — y + az = b, x + ay — az = b2, ax — ay + az = b2.
Proved'te kompletná diskusi řešená v zavislosti na hodnotach parametrů a, b G M.
5. V závislosti na hodnotach parametrů a, b G M reste soustavu lineárních rovnic nad M:
x + ay + az = 1, ax + ay + z = b, ax + y + z = b3.
Proved'te kompletní diskusi resení v zavislosti na hodnotach parametru a, b G M.
6. Ve vektorovem prostoru M4[x] vsech polynomu s reálními koeficienty stupne nejvyse 4 najdete souřadnice polynomu x4 — 3x3 + 11 x2 + x + 5 vzhledem k bazi
a = (x4 + x3 + x2 + x + 1, x4 + x3 + x2 + x — 1,
4 3 2 4 3 2
ry*       I     ry*       I     rp _ rp _ \       rp       I     rp _ rp _ rp _ \
— — — — —
432 rp _ rp _ rp _ rp _ \ \
iAJ ,AJ ,AJ ,AJ _L í
vektorováeho prostoru M4[ x].
7. Ve vektorovem prostoru M5 jsou dany vektorove podprostory U a V nasledovne. Vektorový podprostor U je zadan jako linearní obal vektoru U = [ui, u2, u3], kde
Ui = (1, 1, 1, 1, 1), U2 = (1, 1, —1, —1, 1), U3 = (1, 1, —1, —1, —1),
2
a vektorový podprostor V je zadán jako množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic s reálnými koeficienty
£ — £2 + £3 — £4 + £5 = 0, £1 — £2 — £3 + £4 + £5 = 0.
Zjistete průnik vektorových podprostoru U n V. Najdete nejakou bazi vektoroveho podprostoru U n V.
8. Mejme linearní zobrazení ^ : R3[£ —> R4[£ vektoroveho prostoru polynomu R3[£ do vektoroveho prostoru polynomu R4[£], ktere je pro libovolný polynom q(£) s realnými koeficienty stupne nejvýse 3 dano predpisem
^(q(£)) = (£3 — £2 + £ — 1)-q"(£) + (£2 — £ + 1)V(£),
kde #'(£) a q"(£) jsou prvný a druhý derivace polynomu q(£). Najdete matici lineárního zobrazený ^ v býzých a = (1, £, £2, £3) vektoroveho prostoru R3[£ a /3 = (1, £, £2, £3, £4) vektoroveho prostoru R4[£].
9. Necht; zobrazený n : R5 -> R4 je lineýarným zobrazeným vek-toroveho prostoru R5 do vektoroveho prostoru R4, ktere je na vektorech baze ô = (h1, h2, h3, h4, h5) vektoroveho prostoru R5, kde
hi = (1, 1, 1, 1, 1), h2 =(1, 1, 1, 1, 0), h3 = (1, 1, 1, 0, 0),
h4 = (1,1,0,0,0), h5 = (1,0,0,0, 0), zadýno obrazy techto vektoru
n (hi) = (1,1,—1,—1), n(h2) = (1,1,1,—3), n(h3) = (1,1,—3,1), n(h4) = (1,—3,1,1), n(h5) = (—3,1,1,1).
Zjistete jadro Ker n a obraz Im n linearmho zobrazený n. Najdete nejake baze vektorových podprostoru Ker n a Im n.
3