Domácí úkoly ke cvičení č. 10
1. Níže jsou dány lineární operátory (/?,^,x, k : R3 — R3. Každý z techto operátoru je dán svou maticí ve standardní báži vektorového prostoru R3. Overte, že každý z operatoru (/?,^,x, k je ortogonalní operator na euklidovskem prostoru E3. Analýžou vlastních Čísel a vlastních vektoru matic jednotlivích operatoru žjistete, jakou geometrickou transformaci euklidovskeho prostoru E3 každí že zádáných operatoru reprežentuje. Najdete v teto souvislosti pro každí ž operátoru ^p,^),x, k odpovídající matici ve vhodníe ortonormaílní bíaži euklidovskíeho prostoru E3.
(a)  Operítor (/? : R3 — R3 je dán maticí
F
(b)  Operátor ip : R3 — R3 je dán maticí
G
(c)  Operaítor x : R3 — R3 je dían maticí
H
(d)  Operátor k : R3 — R3 je dán maticí
K
1
2. Níže jsou dány lineární operátory (,1],$ : M3 — M3. Každý z techto operátoru je ortogonální transformací euklidovského prostoru E3 á je chárákterizován geometrickým popisem jáko otoCení kolem zádáne prímky splňující dálsí dodátecne požádáv-ky. Nápiste mátici káždeho z techto lineírních operátoru (,i],ů ve stándárdní bázi vektoroveho prostoru M3.
(á)  Operítor ( : M3 — M3 je rotácí kolem prímky p zádáne implicitnňe homogenní soustávou lineíárních rovnic
p : x1 — x2 = 0, x3 = 0
prevídející bod [0, 0, 2] ná bod [\/2, — a/2, 0].
(b) Operátor i] : M3 — M3 je rotácí kolem prímky q zádáne implicitnňe homogenní soustávou lineíárních rovnic
q : x2 — x3 = 0, x1 = 0
prevádející bod [2, 0,0] ná bod [0, \/2, —\[2 ].
(c) Operítor ů : M3 — M3 je rotácí kolem prímky r zádáne implicitnňe homogenní soustávou lineíárních rovnic
r : x1 — x3 = 0, x2 = 0
prevídející bod [0, 2,0] ná bod [—\/2,0, \[2 ].
3. Necht' lineírní operítory a,t : M3 — M3 jsou ortogonálními tránsformácemi euklidovskíeho prostoru E3 chárákterizoványími geometrickím popisem jáko rotáce o íhel | kolem prímky i zádáníe implicitnňe homogenní soustávou lineíárních rovnic
i : x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0.
Ponevádz není stánoveno, v jákem smyslu se recená rotáce kolem prímky i deje, existují skutecne dve ortogonílní tránsfor-máce a, t euklidovskeho prostoru E3 vyhovující uvedene chá-rákterizáci. Nájdete mátice obou lineírních operátoru a,t ve stándárdní bíázi vektorovíeho prostoru M3. Pňresvňedňcte se, ňze tyto dvá lineírní operítory a, t splňují podmínku a ◦ t = idM3.
2