Domácí úkoly ke cvičení č. 11
1. Necht' lineární operátor ip : R3 — R3 je ortogonální transformací euklidovského prostoru E3, která je osovou symetrií podle osy procházející poCátkem a kolme k rovine zadane implicitne jako množina všech resení homogenní lineírní rovnice
2x1 + 3x2 + 6x3 = 0.
Najdete matici linearního operatoru ip ve standardní bazi vekto-roveho prostoru R3. Rozhodnete, zda tento linearní operítor ip je soucasne take sámoádjungovánám operítorem na euklidovskem prostoru E3 ci nikoliv.
2. Ve vektorovem prostoru R3 bud' dána rovina g procházející po-cátkem a zadaná implicitne jako mnozina vsech resení homogenní lineírní rovnice
g : 3x1 + 4x2 + 5x3 = 0.
Overte, ze zobrazení pe : R3 — R3 prirazující kazdemu vektoru ú G R3 jeho ortogonílní projekci pQ(ú) do roviny g v eukli-dovskíem prostoru E3 je lineaírníím operaítorem na vektorovíem prostoru R3. Najdete matici tohoto lineírního operátoru pg ve standardní bázi vektoroveho prostoru R3. Rozhodnete, zda lineární operátor pg je sámoádjungovánám operítorem na euklidovskem prostoru E3 ci nikoliv.
3. Necht' kvadraticke formy U, V, W na euklidovskem prostoru E3 mají ve standardních souradnicích vyjadrení tvaru
U (x) = x1 + x2 + x3 + 4x1 x2 + 4x1x3 + 4x2x3, V (x) = 2x: + 5x2 + 5x3 + 4x1x2 — 4x1x3 — 8x2x3, W (x) =      +      + 3x3 — 4x1x2 — 8x1x3 — 4x2x3.
Ortogonální transformací souradnic preved'te kazdou z techto kvadratickích forem na diagonílní kanonickí tvar. Ke kazde
1
z uvedených tří kvadratických forem udejte její příslušnou ortonormální polární bázi. Tzn. najdete ortonormální bázi euklidov-skeho prostoru E3, v jejíchž souřadnicích nábývá daní kvadratickí forma zmíneneho kanonickeho tvaru.
4. Necht' kvadraticke formy G, H na euklidovskem prostoru E4 mají ve standardních souradnicích vyjádrení tvaru
G(x) =      +      +      + 2xJ + 2xix2 - 2#ix3 + 2xix4
+ 2x2x3 — 2x2x4 + 2x3x4,
H (x) = 4x1 +      — 4x1x3 — 2x1x4 — 2x2x3 + 4x2x4.
Ortogonílní transformací souradnic preveďte kazdou z techto kvadratickích forem na diagonílní kanonickí tvar. Ke kazde z uvedeních dvou kvadratických forem udejte její príslusnou ortonormální polární bázi. Tzn. najdete ortonormální bázi eu-klidovskeho prostoru E4, v jejíchz souradnicích nábývá daní kvadratickí forma zmíneneho kanonickeho tvaru.
2