Domácí úkoly ke cvičení č. 2
1. Necht' M je nejmenší afinní podprostor v prostoru R5 obsahující body
A = [1, 2, -1,0, -2],   B = [2,-1,0, -2,1], C =[-1,0, -2,1, 2],   D = [-2,3, -3,3,-1].
Jinak reCeno, necht' M je afinní obal množiny zadaných bodu {A, B, C, D} v prostoru R5. Najdete nejprve parametrický popiš tohoto afinního podprostoru M. Odtud odvod'te implicitní popis afinního podprostoru M pomocí soustavy linear-ních rovnic, tj. najdete soustavu lineírních rovnic nad R, jejíž množinou vsech resení je príve afinní podprostor M. Navíc zjistete dimenzi tohoto afinního podprostoru M.
2. Necht' P je afinní podprostor v prostoru R5 zadaní implicitne jako mnozina vsech resení soustavy lineírních rovnic
#i + x2 - x3 + 2x4 + 3x5 = 5, #i + 3x2 - 2x3 + 6x4 + 2x5 = 9, 2x1 + 2x2 - x3 + 2x4 + x5 = 12.
Necht' Q je afinní podprostor v prostoru R5 zadany implicitne jako mnozina vsech resení soustavy lineírních rovnic
x1 + 2x2 - x3 + x4 - 2x5 = 3, 2x1 - x2 + 3x3 + 2x4 + x5 =11, 2x1 + x2 + 2x3 + 4x4 - 2x5 = 7.
Zjistete vzajemnou polohu afinních podprostoru P a Q v R5. Zejmena urcete dimenze podprostoru P a Q a zjistete, zda jejich prunik P n Q je ci není prázdní. Necht' P U Q znací nejmensí afinní podprostor v prostoru R5 obsahující sjednocení uvedeních podprostoru P U Q. Najdete implicitní popis tohoto afinního podprostoru P U Q pomocí linearních rovnic
1
nad M. Určete dimenzi tohoto afinního podprostoru V U Q. (Doporučený postup k nalezení implicitního popisu afinního podprostoru V U Q: Najdete nejprve parametričke popisy obou podprostoru V a Q, odtud zjistete parametrický popis podprostoru V U Q a z tohoto popisu odvod'te implicitní popis podprostoru V U Q.)
3. Nečht' V je afinní podprostor v prostoru M5 zadaní tím, Ze obsahuje bod S = [4, —4,3,1, —1] a ze jeho zamerení Z (V) je generovíno vektory
ui = (1, —1,1,0, —1), U2 = (1, —5, —1,4,1), U3 = (2, —3,0,3, —2).
Nečht' Q je afinní podprostor v prostoru M5 zadaní tím, ze obsahuje bod T = [5, —2, 4,1, —2] a ze jeho zamerení Z(Q) je generovíano vektory
vi = (1,3,3, —3, —1), V2 = (1, —5, —1, 5,3), V3 = (3, —1,1,3, —3).
Určete dimenze afinníčh podprostoru V a Q a zjistete, zda jejičh pränik V H Q je neprázdní. Je-li tomu tak, pak najdete parametričkí popis afinního podprostoru V H Q. Najdete tedy alespoň jeden bod lezíčí v pruniku V H Q, zjistete, zda zamerení Z (V H Q) tohoto afinního podprostoru je nenulove, a je-li nenulove, najdete nejakou jeho bízi. Pomočí tečhto ídaju pak uzitím parametru vyjadrete vsečhny body afinního podprosto-ru V H Q. Urňčete dimenzi ainního podprostoru V H Q a stanovte vzajemnou polohu afinníčh podprostoru V a Q v M5. (Doporučení k vípočtu pruniku VH Q: Najdete nejprve impli-čitní popisy obou podprostoru V a Q pomočí soustav linear-níčh rovnič nad M. Spojením tečhto dvou soustav obdrzíte soustavu, ktería, mía-li ňreňsení, je impličitním popisem podpro-
storu V H Q.)
2
4. V prostoru M4 nechť je prostřednictvím parametrického popisu zadána prímka
h : X = [1, 2, -1, 2]+       1,-1, 2),
a dále necht' je implicitné pomocí soustavy linearních rovnic zadíana rovina
ů : x1 + x2 + x3 + x4 = 7, #i + 7x2 + 3x3 + 6x4 = 2.
Najdete v prostoru M4 prímku i prochazející bodem
C = [4, -1, 2, 2]
a protínající soucasne prímku h i rovinu ů. Najdete take pru-secíky teto prímky i s prímkou h i s rovinou ů.
5. V prostoru M4 necht' jsou prostrednictvím parametrickeho popisu zadany prímky
p : X =[1, 2,1, 2]+ -1,-1,1), q : X =[2,1, 2,1] +       1,-1,-1),
a díle necht' je implicitne pomocí soustavy linearních rovnic zadíana rovina
n : x1 - x2 - x3 + x4 = 2, x1 + x2 + x3 - 2x4 = 1.
Najdete v prostoru M4 prímku r rovnobežnou s prímkou p a protínající soucasne prímku q i rovinu 77. Najdete take pru-secíky teto prímky r s prímkou q i s rovinou 7.
3