Domácí úkoly ke cvičení č. 3
1. V každém z následujících případů určete vzájemnou polohu afinních podprostoru P a Q v prostoru R5. Každá z podprostoru P a Q je pokažde zadan bud'to parametrickým popisem, anebo implicitne pomocí soustavy lineárních rovnic nad R. V kazdem z uvedeních prípadu dale urcete dimenzi spojení P U Q podprostoru P a Q, a nejsou-li týto podprostorý navzajem disjunktní, urcete tez dimenzi jejich pruniku P H Q.
(a)   P : X = [0, -7,0, -4,9]
-1,1,1, 3)+       -2, -1, -2, 2),
Q : X = [0,1,0, 0,9]
1, -3, -3,1) +       2, -1, 0, 2).
(b)   P : X =[0, -1,0,4,1]
2,4, 0, -2)+ í-(4, -1, -4, 0, 7),
Q : X = [2, -3,1,4, 0]
+u-(2,3, -1,0,4) +       -5, 2,0, -3).
(c)	P:	X = [2, -6, 5, -8,1]+ r-(2,	-8, 3, -5, 1
	Q	:   xi + X2 + 2x3	= 6,
		x1 - x2 - 4x3 - 4x4 + 2x5	= 2,
		5x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 - 2x5	= 4.
(d)	P:	X = [1,1,1,1,1]+ r-(1, 2, -	1,3,1),
	Q	xi + 4x2 + 2x3 - x4 - 4x5	= 8,
		xi + 4x2 + 4x3 - x4 - 2x5	= 8,
		3xi + 2x2 + 2x3 - x4 - 2x5	= 6.
(e)	P:	xi - x2 - 2x3 - 3x4	= - 5,
		xi + x2 + 3x3 + 6x4 - 3x5	= 7,
		x3 + x4 - x5	= 0,
1
Q :   X\ — 3x2 — x3 + 2x4 + 2x5 = 6, 3x\ — 3x2 — x3 + 2x4 = 4,
4x2 + 2x3 — x4 — 2x5 = 5.
2. V prostoru R4 necht' jsou implicitne pomocí soustav lineárních rovnic zadány roviny
p :   #i — 6x2 — 9x3 + x4 = 7, 3#i + 2x2 + 5x3 — x4 = 1,
n :   x1 + x2 — x3 — x4 =4, 3x1 — 2x2 + 5x3 + 4x4 = 24.
Najdete v prostoru R4 prímku p procházející bodem
G =[2, —1,6, 5],
rovnobežnou s rovinou p a protínající rovinu n Najdete take prasecík teto prímky p s rovinou n.
3. V prostoru R4 necht' jsou prostrednictvím parametrickeho popisu zadíny prímky
q : X = [3, 2,3, 8]+ 2, —1, —2), r : X = [1,1,9, 5]+ v-(2,1, —2, —1),
a dale necht' je implicitne pomocí soustavy linearních rovnic zadíana rovina
ů :   x1 + x2 — x3 — x4 = 1, 2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 9.
Najdete v prostoru R4 prímku h rovnobežnou s rovinou ů a protínající obe prímky q i r. Najdete take prusecíky teto prímky h s obema prímkami q i r.
2
4. Ve vektorovém prostoru M5 je dána báze
7 =  (gl, g2, g3, g4, &>) ,
kde
gl = (4,1, 2,3,1), g2 = (1,4,1, 2,3), g3 = (3,1,4,1, 2), g4 = (2,3,1,4,1), g5 = (1, 2,3,1,4).
Najdete k ní duální bázi 7* v duálním vektorovém prostoru L(M5, M) pozůstávajícím ze vsech lineárních forem na vektorovem prostru M5. KáZdou lineírní formu duální báze 7* pritom žádejte predpisem, podle nehoZ je moZno stánovit hodnotu teto lineární formy ná libovolnem vektoru
(xi,X2,X3,X4,X5) G M5.
5. Ve vektorovem prostoru L(M5, M) duálním k vektorovemu prostoru M5, ktery pozustáví ze vsech lineírních forem ná vektorovíem prostoru M5, je díáná bíáze
A = (hi, h2, h3, h4, /15),
kde lineární formy h1, h2, h3, h4, h5 : M5 —> M jsou zádíny následujícími predpisy. Hodnoty lineárních forem h1, h2, h3, h4,h5 ná libovolnem vektoru x2, x3, x4, x5) G M5 jsou díány formulemi:
hl((xi, X2, £3, £4, £5)) = Xi   + X2  + £3    +   £4    + £5,
h2((xi, £2, £3, £4, £5)) = £1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 + 5X5,
h3((xi, £2, £3, £4, £5)) = 2£2 + 6£3 + 12£4 + 20£5,
h4((£1, £2, £3, £4, £5)) = 6£3 + 24£4 + 60£5,
h5((£i, £2, £3, £4, £5)) = 24£4 + 120£5.
Nájdete vektory h1, h2, h3, h4, h5 G M5 tákove, áby
ô = (hi, h2, h3, h4,
bylá bíze vektoroveho prostoru M5 s vlástností, ze dáná bíze A duálního vektoroveho prostoru L(M5, M) je bází k ní duíální, tedy tákováí, áby plátilo A = ô*.
3