Domácí úkoly ke cvičení č. 6
1. V euklidovském vektorovém prostoru E5, to jest ve vektorovém prostoru R5 se standardním skalárním součinem najdete ke každemu z níže uvedeních vektorových podprostora S, T, U, V, W C R5 nejakou jeho ortonormainí bazi. Každý z techto podprostoru je zadan jako linearní obal uvedeneho souboru vektoru:
S =	[(1, 2	-1, 3,1), (5, 2,-1, 7,1),	(2,-1, 2, -4, -	2)],
T =	[(2, -	3 3 -2 2), (2, 5, -5, -2,	-4), (3,6, -11	, 4, -4)]
U=	[(1,2,	2,6, 6), (5, 5, -3,11,1), (	1, 2, 2,4,8)],	
V=	[(1,1,	3,3, 4), (1,3, -5, -7, -1	), (1, -1, 5, 7, -	3)],
W=	[(3, -	1, 2, 3, -2), (5, -4,-1,4,	1), (4,1,-11,-	-7,11)].
Výuzijte techniku Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu s nísledním normovíním vektoru.
2. Ve vektorovem prostoru R4[x] vsech polynomu jedne promenne x stupne nejvíse 4 nad telesem R je pro kazde dva polynomy f, g G R4 [x] definovíno realne císlo
<f,g > = /1 f (t)g(t) dt.
Overte, ze zobrazení R4[x] x R4[x] —> R prirazující kazde dvojici polynomu f, g G R4[x] takto definovane realne císlo <f, g> je skalírní soucin na vektorovem prostoru R4[x]. Díle overte, ze mnozina polynomu
K = {f G R4[x] : f (-1) = 0 = f (1)}
tvorí vektoroví podprostor ve vektorovem prostoru R4[x], a urcete jeho dimenzi. Najdete v euklidovskem vektorovem prostoru R4[x] s víse definovaním skalírním soucinem nejakou ortonormíalní bíazi tohoto vektorovíeho podprostoru K.
1
3. V euklidovském vektorovém prostoru E5 jsou dány vektorové podprostory P, Q zádáné jáko lineární obály níže uvedených souborU vektorU:
P = [(1, 2, -1, -3,3), (1, -2,3,1, -1)],
Q = [(1,3, -1, -2, 2), (1, -3, 5,4, -4), (1, 5,3, -10,10)].
Nájdete ortogonální doplňky techto vektorových podprostora P, Q v euklidovskem vektorovem prostoru E5.
4. Necht' kvádrátická formá L : R5 — R ná vektorovem prostoru R5 má ve stándárdních sourádnicích prostoru R5 vy-jíádňrení tváru
L(x) = (xi + X2)2+(X2 + X3)2+(X3 + X4)2+(x4 + X5)2+(xi + X5)2.
Bez použití diágonálizáce kvádráticke formy L overte, že kvádrátická formá L je pozitivne definitní (tedy nikoliv pouze pozitivne semidefinitní). Necht' díle i : R5 x R5 — R je sy-metrickíá bilineíární formá ná vektorovíem prostoru R5 urňcující kvádrátickou formu L v tom smyslu, ňze pro káňzdyí vektor x G R5 plátí
L(x) = i(x, x).
Vyjíádňrete tuto symetrickou bilineáírní formu i opňet ve stán-dárdních sourádnicích prostoru R5. Pák ovsem i je skálární soucin ná vektorovem prostoru R5. Necht' Y, Z C R5 jsou vektorovíe podprostory prostoru R5 zádáníe jáko lineíární obály níze uvedeních souboru vektoru:
Y =[(1,1,1, -1,-1), (1,-1,-1,1,1)],
Z = [(1,1,-1,-1, -1), (1,1,-1,-1,1), (1, -1, -1, -1,1)].
V euklidovskem vektorovem prostoru R5 s vyse definoványm skálíárním souňcinem i nájdňete ortogoníální doplnňky obou uvedeních vektorovích podprostora Y, Z.
2