Domácí úkoly ke cvičení č. 7
1. V euklidovském vektorovém prostoru E5 najdete ortogonální projekce vektoru ú = (1, 2,3,4, 5) do vektorových podpro-storu V a W zadaných jako lineární obaly níže uvedených souboru vektoru:
V = [(3,3, 2,1,3), (5,1,4,-1,1)],
W = [(1, -3,4, -2, 2), (1, 5, -8, -2,4), (1, -9,16,4, -4)].
(Doporucení: Ve druhem prípade najdete nejprve ortogonalní projekci vektoru ú do ortogonalního doplňku zadaneho vektoroveho podprostoru W v euklidovskem prostoru E5.)
2. V obou nasledujících prípadech jsou v euklidovskem vekto-rovem prostoru E4 díny prímka p a rovina p. Prímka p je v obou pňrípadech zadíana prostňrednictvím parametrickíeho popisu, zatímco rovina p je v prvním prípade zadana rovnež prostrednictvím parametrickeho popisu, kdezto v druhem prípade je zadína implicitne pomocí níze uvedene soustavy lineíarních rovnic:
(a) p : X = [3, 5, 7,4]+ r-(4, -2, -2,1),
p : X = [4, 3,9,10] + s-(4,1, -1, -1) + í-(4, -1,1, -1).
(b) p : X = [1,6, 2,4]+ r-(2,-1, 2, -2),
p :  x1 + x2 - x3 + x4 = 11, x1 + x2 + 3x3 + 3x4 = 57.
V obou prípadech overte, ze prímka p a rovina p jsou navzajem mimobezne, a tedy jsou íplne mimobezne. Dale v obou prípadech zjistete vzdalenost prímky p od roviny p v euklidovskem prostoru E4. Nakonec najdete prícku techto navzíjem íplne
1
mimoběžných podprostorů, tedy přímky p a roviny p, na ní^ se realizuje vzdálenost přímky p od roviny p. To žnamena, najděte ty jednožnaCne ůrCene body C G p a D G p s vlastností, že delka ýseCky CD je rovna vždaienosti prímky p od roviny p.
3. V eůklidovskem vektorovem prostorů E4 jsoů prostrednictvím parametrickeho popisů žadíny dve roviny
p : X = [2,0, -1, 3] + s-(1, -2, 0,1) + í-(2, -3, -2,3), n : X = [2,-1, -2,9] + w-(3,6,6, -10) + v(4, 5, 4, -8).
Overte, že roviny p a n jsoů navžajem CísteCne mimobežne. Zjistete vždalenost roviny p od roviny n v prostorů E4. (DoporůCení: VypoCtete nejprve prímo ortogonalní projekCi vektorů spojůjíCího rovinů p s rovinoů n do ortogonalního doplňků soůCtů žamerení (Z(p) + Z(n))^ rovin p a n.)
4. V eůklidovskem vektorovem prostorů E4 jsoů implititne pomoCí soůstav lineaírníCh rovniC žadíany dvňe roviny
p :  xi + x2 + x3 + x4 = 9, xi - x2 - x3 - 2x4 = 37,
n :  x1 + 3x2 + 3x3 + 4x4 = 40, xi - 3x2 - 3x3 - 5x4 = 1.
Ovňeňrte, ňže roviny p a n jsoů navžíajem rovnobňeňžníe, ale nikoliv totoňžníe. Zjistňete vždíalenost roviny p od roviny n v eůkli-dovskíem prostorů E4.
2