Domácí úkoly ke cvičení č. 8
1. V euklidovském vektorovém prostoru E5 zjistěte v obou následujících případech odchylku vektoru ú od vektoroveho podpro-storu V zadaneho pokaZde jako lineární obal uvedeneho souboru vektoru:
(a) ú = (1,1, 3, 5, 6),
V =[(1, 7,-1,-1, -6), (1, -5, 5, 5,6)],
(b) ú = (4,4, 4,1,1),
V = [(1,1,3, -4,4), (1, -3, -3,4, -4), (1, 3, 5, -5, 9)].
(Doporucení: Vypoctete nejprve ortogonalní projekci vektoru ú do toho z vektorových podprostorä V, euklidovskeho prostoru E5, který má niZsí dimenzi.)
2. V euklidovskem vektorovem prostoru E5 zjistete v obou nasle-dujících prípadech odchylku vektoru ú od vektoroveho podpro-storu V zadaneho pokazde implicitne jako mnozina vsech resení uvedene homogenní soustavy lineírních rovnic nad R:
(a) ú = (2, 2, 2, 2, 3),
V :  3xi + 2x2 + 4x3 + 13x4 + 2x5 = 0,
3xi + 4x2 + 2x3 + 13x4 + 2x5 = 0,
(b) ú = (1, 2, 3,3, 3),
V :    x1 - x2 + x3 - x5 = 0,
3x1 + 4x2 - 7x3 - 7x4 + 7x5 = 0, 5x1 - 5x2 - 7x3 - 7x4 = 0.
(Doporucení: Totez jako v predchozí íloze. Ortogonílní dopl-nek vektoroveho podprostoru V euklidovskeho prostoru E5 zadaneho implicitne jako mnozina vsech resení dane homogenní soustavy lineírních rovnic nad R je lineírním obalem vektoru tvorících rídky matice dotycne homogenní soustavy linearních rovnic nad R.)
1
3. V euklidovském vektorovém prostoru E5 zjistěte v obou následujících případech odchylku vektorového podprostoru V žádaného pokáZdé jako lineární obal uvedeneho souboru vektoru od nadroviny N zadané vždy implicitné jako množina vsech resení jedné homogenní lineární rovnice nad R:
(a) V =[(1, -1,1,1,3), (1, -3, -3, -3, -9)], N :  #i + 2x2 - x3 + 3x4 + x5 = 0.
(b) V = [(1, 2, -1, -3, -1), (1, 2, -1,1,3), (5, -2,1,1,1)], N :  x1 + 2x2 - x3 - 3x4 + 3x5 = 0.
(Nívod: Ortogonílním doplňkem nadroviny N v euklidovském prostoru E5 je jednorozmerní vektoroví podprostor tohoto euklidovského prostoru, takže = [u] pro néjakí vektor u G R5, u = o. Pak v prípade, Ze {o} = V = R5, mezi hledanou odchylkou /(V, N) a odchylkou /(u, V) vektoru u od vektorového podprostoru V platí vztah /(V, N) = | - /(u, V).)
4. V euklidovském vektorovém prostoru E5 zjistéte v obou nasle-dujících pňrípadech odchylku vektorovíeho podprostoru V zada-níeho pokaňzdíe implicitnňe jako mnoňzina vňsech ňreňsení uvedeníe homogenní soustavy lineaírních rovnic nad R od nadroviny N za-daníe rovnňeňz vňzdy implicitnňe jako mnoňzina vňsech ňreňsení jedníe homogenní lineaírní rovnice nad R:
(a) V :  2x1 + x2 - x3 - 6x4 + 4x5 = 0,
4x1 + 2x2 - 2x3 - 3x4 + 5x5 = 0,
N : x2 + x3 + x4 + x5 = 0.
(b) V :  2x1 - x2 + 3x3 - x4 - x5 = 0,
2x1 + x2 + x3 - 3x4 + x5 = 0, 2x1 + x2 + x3 + x4 - 3x5 = 0,
N :  2x1 - x2 + x3 + x4 - x5 = 0.
(Nívod: Tentíz jako v predchozí íloze. Opét ortogonalním doplňkem nadroviny N v euklidovském prostoru E5 je jedno-rozmňernyí vektorovyí podprostor tohoto euklidovskíeho prostoru.
2
Zde je možné využít též faktu, že pokud {o} = V = M5, pak mezi hledanou odchylkou /(V, N) žmínéných vektorových pod-prostorU a odchylkou /(V--, N--) jejich ortogonálních doplňku v euklidovskem prostoru E5 platí vžtah /(V, N) = /(V--, N--). Je vhodne žde pripomenout tež doporucení k ýlože 2.)
5. V euklidovskem vektorovem prostoru E5 žjistete ve vsech nísle-dujících prípadech odchylku vektorovích podprostoru V a W. Každí ž vektorovích podprostoru V a W je v prvním prípade žadan jako lineírní obal uvedeneho souboru vektoru, žatímco ve žbívajících dvou prípadech je každí ž techto vektorových podprostoru žadín implicitne jako množina vsech resení uvedene homogenní soustavy linearních rovnic nad M:
(a) V = [(1,1, -2,1, -1), (1, -3, 2,1, 3)],
W = [(1,1, 2,1, -1), (1, -3, -2,1,3), (1, -1, -3, -1,1)].
(b) V :   3xi - x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 0,
3xi + x2 + 3x3 + 3x4 + 2x5 = 0,
W : x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 - x5 = 0, 2x1 - x2 + x3 - 2x4 - x5 = 0, 3x1 + x2 + 3x3 - x4 - 2x5 = 0.
(c) V :   2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 + 2x5 = 0,
2x1 - x2 + 3x3 - 2x4 - 4x5 = 0,
W :  6x1 - x2 + 3x3 + 4x4 + 2x5 = 0, 6x1 - x2 + 3x3 - 2x4 - 4x5 = 0.
(Nívod: Splňují-li vektorove podprostory V a W euklidovskeho prostoru E5 podmínky V n W = {o}, V ^ W, W ^ V, pak jejich odchylka /(V, W) v euklidovskíem prostoru E5 je rovna odchylce /(V, W) vektorovích podprostoru V = V n (V n W)--a W = W n (V n W)--. Tímto žpusobem lže ve vsech víse uvedenyích pňrípadech pňrevíest daníy problíem na problíem obdobnyí problemum ž íloh 1 a 2.)
3