Domácí úkoly ke cvičení č. 9
1. V každém z následujících případů této úlohy nejprve ověřte, že zobrazení (p : ffi^i^] —> ^[x] definované uvedeným předpisem je skutečně korektně definovaným lineárním operátorem na vektorovém prostoru všech polynomů jedné proměnné x s reálnými koeficienty stupně nejvýše 2. Poté najděte matici A = {(f)(£ tohoto lineárního operátoru <p ve standardní bázi ( = (1,íc,íc2) vektorového prostoru l^M- Najděte všechna vlastní čísla matice A, a to i když ji uvažujete jako matici nad tělesem všech komplexních čísel. Přesvědčte se, že ve všech případech v této úloze všechna vlastní čísla matice A, to jest všechna vlastní čísla lineárního operátoru <p jsou reálná. Konečně najděte invariantní podprostory vlastních vektorů lineárního operátoru (f příslušné všem vlastním číslům matice A. Porovnejte algebraické a geometrické násobnosti těchto vlastních čísel v jednotlivých případech této úlohy.
(a) Zobrazení <p : R2M ~^ ^[x] je pro všechny polynomy f(x) E definováno předpisem
if(f(x)) = (1 + 2x + 2x2)-f(x) + (1 - 2x3)-f'(x)
-(x3-x4)-f"(x).
(b) Zobrazení (p : ~^ ^[x] je pro všechny polynomy f(x) E M2N definováno předpisem
ip{f{x)) = 4-(l + x + 2x2)-f{x) + (1 - 8x3)-f'{x)
- (1 + 3x + bx2 + 2x3 - 4x4)-f"(x).
(c) Zobrazení <p : R2M ~^ ^[x] je pro všechny polynomy f(x) E M2N definováno předpisem
if(f(x)) = 2-(l + x - x2)-f(x) + 2-(l + x3)-/(x)
- (x3 + x4)-///(x).
1
2. V obou následujících případech této úlohy nejprve ověřte, že zobrazení (p : ffi^i^] —> IR-2 [íc] definované uvedeným předpisem je skutečně korektně definovaným lineárním operátorem na vektorovém prostoru všech polynomů jedné proměnné x s reálnými koeficienty stupně nejvýše 2. Poté najděte matici A = {(f)(,( tohoto lineárního operátoru <p ve standardní bázi ( = (1,íc,íc2) vektorového prostoru l^M- Najděte všechna vlastní čísla matice A, a to i když ji uvažujete jako matici nad tělesem všech komplexních čísel. Přesvědčte se, že v obou případech v této úloze mezi vlastními čísly matice A, to jest mezi vlastními čísly lineárního operátoru <p vystupuje jedno reálné číslo a dále jedna dvojice navzájem komplexně sdružených čísel. Nakonec najděte jednorozměrný invariantní podprostor vlastních vektorů lineárního operátoru <p příslušný ke zmíněnému reálnému vlastnímu číslu matice A a také dvourozměrný invariantní podprostor lineárního operátoru (f ve vektorovém prostoru M2N odpovídající zmíněné dvojici vzájemně komplexně sdružených vlastních čísel matice A.
(a)  Zobrazení <p : R2M ~^ ^[x] je pro všechny polynomy f(x) E definováno předpisem
(b)  Zobrazení (p : ~^ ^[x] je pro všechny polynomy
f(x) E M2N definováno předpisem
<p(f(x)) = (1 + 2x - 2x2)-f(x) + (1 + 2x3)-f'(x)
+ (2-x3 -x4)-f(x).
<p(f(x)) = (1 + 2x2)-f(x) + (1 + x - 2x3)-f'(x)
2