Seminář z matematiky II – jaro 2014 – opravná písemka
Všechna svoje tvrzení dokažte.
1. Nechť V je vektorový prostor nad R a W1, . . . , Wn jeho vektorové podprostory.
Dokažte, že potom
{ w1 + · · · + wn | w1 ∈ W1, . . . , wn ∈ Wn }
je nejmenší vektorový podprostor V obsahující všechny podprostory W1, . . . , Wn.
2. Pro libovolná čísla c ∈ C a n ∈ N definujme zobrazení f : C → C předpisem
f(a + b · i) = c · b + n · a · i .
Rozhodněte, pro která c a n je toto zobrazení lineární, chápeme-li C jako vektorový
prostor nad R (respektive nad C) s obvyklými operacemi.
3. Z definice limity dokažte, že lim
x→0
1
x
− ⌊1
x
⌋ neexistuje. (Notace ⌊1
x
⌋ značí celou část
čísla 1
x
.)
4. Nechť funkce f : R → R je spojitá na intervalu 0, 1 a splňuje f(0) = f(1) = 0 a
f′
(0) = f′
(1) > 0. Z definice limity a derivace dokažte, že potom existuje x ∈ (0, 1)
takové, že f(x) = 0.
5. Pro každý z následujících předpisů rozhodněte, zda korektně definuje uspořádání
ρ na množině Q:
(a) a
b
ρ c
d
⇐⇒ a · d = b · c,
(b) a
b
ρ c
d
⇐⇒ a + d = b + c ∧ a ≤ c,
pro a, c ∈ Z a b, d ∈ N.
6. Nechť ρ je tranzitivní binární relace na množině A. Dokažte, že potom ρ\ρ−1
∪idA
je uspořádání na A.