Numerické metody
12. přednáška, 7. května 2014
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka Numerické metody 12. přednáška, 7. května 2014 1 / 8
Řešení systémů lin. rovnic – přímé metody
Opakování
Gaussova eliminační metoda
LR rozklad
Výběr hlavního prvku (pivota)
Věta
Nechť matice A je ryze řádkově diagonálně dominantní.
Pak GEM lze provést bez výměny řádků a sloupců.
Nechť matice A je pozitivně definitní. Pak GEM lze
provést bez výměny řádků a sloupců.
Jiří Zelinka Numerické metody 12. přednáška, 7. května 2014 2 / 8
Věta
Nechť všechny hlavní minory matice A ∈ Mn jsou různé od
nuly, tj.
a11 = 0,
a11 a12
a21 a22
= 0, . . . , det A = 0.
Pak matici A lze rozložit na součin dolní a horní trojúhelníkové
matice.
Poznámka
Rozklad je jednoznačný, pokud v jedné matici předepíšeme
diagonální prvky, zpravidla jedničky.
Konec opakování
Jiří Zelinka Numerické metody 12. přednáška, 7. května 2014 3 / 8
Choleského rozklad
Věta
Nechť matice A je symetrická a její všechny hlavní minory
matice A ∈ Mn jsou různé od nuly, tj.
a11 = 0,
a11 a12
a21 a22
= 0, . . . , det A = 0.
Pak existuje taková horní trojúhelníková matice T ∈ Mn, že
A = TT
T.
Jiří Zelinka Numerické metody 12. přednáška, 7. května 2014 4 / 8
Výpočet Choleského rozkladu
Nechť T je matice uvedená v předchozí větě. Prvky této
matice jsou určeny vztahy:
t11 =
√
a11
t1j =
a1j
t11
, j = 2, . . . , n
tii = aii −
i−1
l=1
t2
li , i = 2, . . . , n
tij =
1
tii
aij −
i−1
l=1
tli tlj pro j > i
tij = 0 pro i > j.
Jiří Zelinka Numerické metody 12. přednáška, 7. května 2014 5 / 8
Croutova metoda
Rozklad třídiagonální matice
A =







a11 a12 0 · · · 0
a21 a22 a23 0
0
... ... ...
...
...
... ... an−1,n
0 · · · 0 an,n−1 ann







Jiří Zelinka Numerické metody 12. přednáška, 7. května 2014 6 / 8
A = LU
L =









l11 0 · · · 0
l21 l22 0 · · · 0
0 l32 l33
...
...
...
... 0
0 · · · 0 ln,n−1 lnn









, U =









1 u12 0 · · · 0
0 1 u23 0
...
...
...
...
... 1 un−1,n
0 · · · · · · 0 1









a11 = l11
ai,i−1 = li,i−1, i = 2, 3, . . . , n
aii = li,i−1ui−1,i + lii , i = 2, 3, . . . , n
ai,i+1 = lii ui,i+1, i = 1, 2, . . . , n − 1.
Jiří Zelinka Numerické metody 12. přednáška, 7. května 2014 7 / 8
Věta
Nechť A ∈ Mn je třídiagonální matice s vlastnostmi:
ai,i−1ai,i+1 = 0, i = 2, 3, . . . , n − 1,
|a11| > |a12|,
|aii | ≥ |ai,i−1| + |ai,i+1|,
|ann| > |an,n−1|.
i = 2, . . . , n − 1, A řádkově diag
dominantní
Pak matice A je regulární a hodnoty lii , i = 1, . . . , n,
vypočtené ze uvedených vztahů jsou různé od nuly.
Důsledek
Jsou-li splněny předpoklady věty, lze matici A rozložit na
součin dolní a horní trojúhelníkové matice v uvedeném tvaru.
Jiří Zelinka Numerické metody 12. přednáška, 7. května 2014 8 / 8
Věta
Nechť A ∈ Mn je třídiagonální matice s vlastnostmi:
ai,i−1ai,i+1 = 0, i = 2, 3, . . . , n − 1,
|a11| > |a12|,
|aii | ≥ |ai,i−1| + |ai,i+1|,
|ann| > |an,n−1|.
i = 2, . . . , n − 1, A řádkově diag
dominantní
Pak matice A je regulární a hodnoty lii , i = 1, . . . , n,
vypočtené ze uvedených vztahů jsou různé od nuly.
Důsledek
Jsou-li splněny předpoklady věty, lze matici A rozložit na
součin dolní a horní trojúhelníkové matice v uvedeném tvaru.
Jiří Zelinka Numerické metody 12. přednáška, 7. května 2014 8 / 8