Globální vlastnosti rovinných křivek: rotační index
Definice. Množina C C E2 se nazývá vložená křivka třídy Cr, r > 1, jestliže existuje regulární pohyb / : / —► E2 třídy Cr takový, že C = f(I) pro nějaký otevřený interval /Cl.
Vložená křivka C C E2 se nazývá uzavřená vložená křivka třídy Cr, jestliže existuje parametrizace / : [a, b] —► E2, a,b E R taková, že f ([a, b]) = C, f (a) = f (b) a dále f\(a,b) —► E2 je regulárni pohyb třídy Cr a platí f+\a) = f_\b), i < r.
Jestliže jsou navíc zobrazbení f\[a,b) a f\(a,b] injektivní, C se nazývá jednoduchá uzavřená vložená křivka.
Pro jednoduchost budeme v této mluvit jen o uzavřených a jednoduchých uzavřených křivkách (které budeme implicitně uvažovat jako vložené). V tomto kontextu budeme používat novou definici křivosti, pro kterou budeme uvažovat E2 jako orientovaný Euklidovský prostor:
Definice. V každém bodě křivky f{t) definujeme orientovaný Frenetův repér (/(£); ei(í), ě2(í)) tak, že ei(í) = j^J^ a (ei(í),ě2(í)) je kladná ortonormální báze. Je-li f(s) parametrizace obloukem, číslo R(s) G IR splňující e[(s) = R(s)ě2(s) budeme nazývat orientovaná křivost v bodě f(s).
Frenetovy vzorce jsou podobné jako v neorientované verzi: e[(s) = R(s)ě2(s) a e'2(s) = — R(s)ě1(s). Uvědomte si ale, že křivost může být i záporná. Rozmyslete si konkrétní příklady!
Tvrzení. Nechť / : [a, b] —► E2 je uzavřená křivka C třídy C'. Pak existuje funkce 9 : [a, b] ->■ R třídy Cr taková, že ei(í) = (cos0(t),sin0(t)), a platí 6'{t) = R(t)\\f (í)||. Navíc rozdíl 6(b) — 9(a) nezávisí na volbě funkce 9.
Důkaz. Existence funkce 9 je evidentní: zvolíme 9(a) tak, že ei(a) = (cos 9(a), sin 9{a)) a pak rozšíříme 9 spojitě na interval [a, b]. Při parametrizaci obloukem dostaneme cos#(s) = (e1(s),£1) a sin6l(s) = —(e2(s),£i), kde e\ je první bázový vektor standardní báze. Tedy 9{s) je třídy C'. (Potřebujeme k tomu oba předchozí vztahy? Rozmyslete si detaily!) Derivací pak dostaneme, že 9'{s) = R(s). Reparametrizací s = s (t), ^ > 0 pak odvodíme 9'(t) =
m\\f'(t)\\-
Abychom ukázali nezávislost rozdílu 9{b) — 9(a) na volbě funkce 9, předpokládjme, že ip{t) je jiná funkce splňující Tvrzení. Pak 9{t) — ip{t) = 2k(t)n pro nějakou spojitou funkci k(t) E 7L. Ze spojitosti plyne, že k(t) je konstanta. □
Tedy rozdíl 9{b) — 9(a) je určen volbou parametrizace vložené / : [a, b] —► E2 uzavřené křivky (ale pak už nezávisí na reparametrizací). Rozmyslete si různé parametrizace kružnice
(cosi, siní), kde buď t G [0, 2tt] nebo t G [0,4%].
Definice. Číslo nc := ^[9(b) — 9{a)\ se nazývá rotační index uzavřené křivky C z předchozího Tvrzení.
Příklad. Křivka f(t) = (cos2nt,sin2nt) pro t G [0,m], m G N má rotační index m. Jedná se samozřejmě o kružnici. Rozmyslete si příklady uzavřených křivek, jejichž rotační index je < 0!
1
Věta. Platine = ± fa R(t)\\f(t)\\dt.
Navíc nc nezávisí na reparametrizaci zachovávající orientaci. Reparametrizace měnící orientaci převrací znaménko nc.
Důkaz. První část plyne ze vztahu 9'(t) = R(t)\\f'(t)\\. Závislost na reparametrizaci t = t(r) se plyne z tvaru integrálu na pravé straně po substituci t = t(r). □
Připomeňme, že konvexní podmnožina T C IR2 splňuje, že je-li x±,x2 G T pak také x\x2 C. T, kde x\x2 označuje úsečku s krajními body xx a x2.
Lemma. Nechť T C IR je konvexní podmnožina a e : T —► S1 funkce třídy C'. Pak existuje funkce 9 : T —► IR třídy Cr splňující e(x) = (cos9(x), sind(x)) pro x G T. Navíc, jsou-li 9{x) a <p{x) dvě takové funkce, pak se liší o 2kn pro nějaké kel*.
Symbolem S1 označujeme kružnici. Uvědomte si, že toto technické Lemma je dvourozměrná verze předchozího Tvrzení! (Důkaz jsme si neuváděli.)
Následující Věta je hlavním výsledkem této kapitoly:
Věta (Hopfs Umlaufsatz). Je-li f : [a, b] —► E2 jednoduchá křivka C, pak nc = ±1.
Opačná implikace neplatí. Rozmyslete si příklady!
Důkaz. Můžeme předpokládat a = 0 a že / je parametrizována obloukem. Položme A = {(s, ť) | 0 < s < b} C IR2 a definujeme funkci h : A —► S1 předpisem
Íei(s) s = t
-ei(0)       (s,t) = (0,b) I !/(*)-/(«) II J
Množina A je konvezní a funkce h(s,t) je spojitá. Dále můžeme předpokládat, že /(O) = (0, 0) a že toto je "nejnižší" bod na křivce, tj. že tento bod má nejmenší y-novou souřadnici. Pak ei(0) je až na znamňko první bázový vektor standardní báze, tj. ei(0) = ±£i a dále budeme předpokládat ei(0) = e\ (tím se může změnit orientace!).
Podle Lemmatu platí h(s,ť) = (cos 9(s, t), s'm9(s, t)) pro spojitou funkci 9 : A —► IR. Je-li 9(s) funkce z Tvrzení, pak podle předchoí Věty platí
i ŕ ,,.   i      „, ^ i
nc=2^J   R{s)dS = 2^ (6{b) ~ 6i0^ = 2^       h) ~ m 0)) = = ^ 1(^(0, b) - 9(0, 0)) + (9(b, b) - 9(0, b))].
Zde Ni := 9(0, b) — 6^(0,0) je úhel, o který se mění vektor průvodiče. Tedy Ni = n, neboť křivka je v horní polorovině. Podobně N2 = 9(b, b) — 9(0, b) je úhel, o který se mění vektor opačný k průvodiči, tj N2 = n. Tedy nc = 1. □
2