Písemka z Diferenciální geometrie křivek a ploch Termín A, 23.5.2011
Jméno a příjmení: UČO:
1. (a) [lb] Určete délku jednoho oblouku modifikované šroubovice
g{t) = (cosi,siní, -ŕ3/2),   t > 0.
(b) [3b] Určete křivost, torzi a inflexní body křivky
f(t) = (cosi, siní, é
), ÍGR.
2. Je dána parametrizace
f(u, v) = (v2 + v,u + v2,uv),   u,v G BL
Obraz / v E3 označíme jako M = /(M2). V E3 zvolíme počátek, tj. máme identifikaci E3 = IR3.
(a) [lb] Načrtněte průnik množiny M s rovinou z = 0.
(b) [2b] Rozhodněte, zda / parametrizuje plochu v E3 na dostatečně malých okolích bodů
(c) [2b] Ukažte, že / parametrizuje plochu v E3 na dostatečně malém okolí bodu C =
3. Označme plochu s parametrizací / na okolí D CM2 bodu (1,1) G D jako S.
(a) [2b] Určete asymptotické směry v bodě /(l, 1) a normálovou křivost ve směru (du, dv) =
(b) [2b] Určete hlavní směry a hlavní křivosti v bodě /(l, 1).
(c) [lb] Spočítejte střední a Gaussovu křivost v bodě /(l, 1) a typ tohoto bodu (eliptický, hyperbolický nebo parabolický).
(d) [3b] Uvažme křivku na ploše S procházející bodem /(l, 1), která je v oblasti parametrů daná parametrizací (u(t),v(t)) = (1 + t, 1). Její tečné pole označíme U{t). Spočtěte kovari-antní derivaci v^ podél této křivky v bodě t = 0.
(e) [lb] Najděte nějakou izometrii plochy S pro oblast parametrů D = (1 — e, 1 + e) x (1 — e, 1 + e) ^ IR2 pro dostatečně malé e > 0.
4. [3b] Nechť g (s) parametrizace obloukem křivky bez inflexních bodů s křivostí k a torzí r taková, že r 7^ 0 ve všech bodech. Dokažte, že jestliže tato křivka leží na sféře se středem v počátku, pak platí
(Návod: Uvažte g(s) ve tvaru g(s) = A(s)ei(s) + /i(s)e2(s) + z/(s)e3(s) pro vhodné funkce A(s), fi(s) a u(s), diferencujte a využijte vlastností Frenetovy báze ei,e2,e3.)
A = /(0,0) GMa B = /(i, i) GM.
f (1,1) e M.
(1,0).
i