GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ
Josef Janyška
19. února 2014
Obsah
1 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ NA VEKTOROVÝCH PROSTORECH 1
1.1 Lineární zobrazení vektorových prostorů . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Invariantní podprostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Rozklad reálného vektorového prostoru na invariantní podprostory 17
1.4 Ortogonální zobrazení a transformace . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 AFINNÍ ZOBRAZENÍ 31
2.1 Afinní zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Analytické vyjádření afinního zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Modul afinního zobrazení, grupa afinit . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Samodružné prvky afinního zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Posunutí, stejnolehlost, homotetie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6 Základní afinní zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7 Klasifikace afinit v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ 81
3.1 Shodná zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Shodnosti, grupa shodností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Souměrnosti podle podprostorů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Klasifikace shodností v rovině a prostoru . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5 Podobná zobrazení, grupa podobností . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 KRUHOVÁ ZOBRAZENÍ 106
4.1 Kružnice a její vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2 Kruhové křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 Kruhová inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 Analytické vyjádření kruhové inverze . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5 Kruhová zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Použitá literatura 121
ii
Kapitola 1
LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ NA
VEKTOROVÝCH PROSTORECH
V této kapitole si připomeneme pojem lineárního zobrazení mezi vektorovými
prostory v rozsahu skript [Ho07]. Zvláštní pozornost budeme věnovat invariantním
podprostorům a těm pojmům, které budeme později potřebovat při zobrazení
bodových prostorů.
1.1 Lineární zobrazení vektorových prostorů
V této části předpokládáme všechny vektorové prostory nad tělesem T. Pokud
budeme potřebovat zdůraznit dimenzi vektorového prostoru, označíme ji jako
jeho index, t.j. Vn označuje n-rozměrný vektorový prostor.
Definice 1.1.1. Buďte V a W vektorové prostory nad T. Zobrazení ϕ : V → W
nazveme lineárním zobrazením vektorového prostoru V do vektorového prostoru
W (nebo homomorfismem vektorových prostorů) právě tehdy, když pro libovolné
u, v ∈ V a libovolné λ ∈ T platí
1) ϕ(u +
V
v) = ϕ(u) +
W
ϕ(v) ,
2) ϕ(λ ·
V
u) = λ ·
W
ϕ(u) .
Je-li ϕ bijekce, nazývá se izomorfismus vektorových prostorů V a W.
Poznámka 1.1.1. 1. Uvědomme si, že operace + a · na levé straně rovností 1)
a 2) jsou na prostoru V a stejné operace na pravých stranách patří k prostoru
W. Pokud nemůže dojít k záměně, nebudeme vyznačovat, ke kterému prostoru
operace patří a operaci násobení · nebudeme značit vůbec.
2. ϕ zachovává obě operace + a ·. Proto se se někdy nazývá homomorfismem
vektorových prostorů.
1
1.1. Lineární zobrazení vektorových prostorů 2
3. Platí ϕ(oV ) = oW . Opravdu, z ϕ(−u) = −ϕ(u), dostaneme ϕ(oV ) =
ϕ(u − u) = ϕ(u) + ϕ(−u) = ϕ(u) − ϕ(u) = oW .
4. Podmínky 1) a 2) v Definici 1.1.1 jsou ekvivalentní s rovností
ϕ(
k
i=1
(λi vi) =
k
i=1
λi ϕ(vi) , k ≥ 2 , (1.1.1)
kde vi ∈ V a λi ∈ T. Můžeme tedy v Definici 1.1.1 nahradit podmínky 1) a 2)
jedinou podmínkou (1.1.1).
5. Je-li ϕ : V → W lineární zobrazení a U ⊆ V vektorový podprostor, potom
zúžení ϕ|U : U → W je lineární zobrazení. ♦
Poznámka 1.1.2. Uvědomme si, že těleso T je samo vektorovým prostorem nad
T. Potom lineární zobrazení ϕ : V → T se nazývá lineární forma na V . ♦
Věta 1.1.1. Buďte V , W a U tři vektorové prostory a ϕ : V → W a ψ : W → U
lineární zobrazení. Potom ψ ◦ ϕ : V → U je lineární zobrazení.
Důkaz. Důkaz je zřejmý.
Připomeňme, [Ho07], že úplný obraz ϕ(V ) = Im(ϕ) = {w ∈ W|∃ v ∈ V :
ϕ(v) = w} je vektorový podprostor v W a podobně jádro Ker(ϕ) = {v ∈
V |ϕ(v) = oW } je vektorový podprostor ve V . Přitom
dim(Im(ϕ)) + dim(Ker(ϕ)) = dim(V ) .
Definice 1.1.2. Hodností lineárního zobrazení rozumíme dimenzi vektorového
podprostoru Im(ϕ). Značíme ji h(ϕ).
Poznámka 1.1.3. Je-li lineární zobrazení ϕ injektivní, je h(ϕ) = dim(V ) =
dim(Im(ϕ)) a je-li surjektivní je h(ϕ) = dim(W) = dim(Im(ϕ)). Je-li ϕ izomorfismus
je dim(V ) = h(ϕ) = dim(W). ♦
Jsou-li ϕ, ψ : V → W dvě lineární zobrazení a λ ∈ T, můžeme definovat součet
ϕ + ψ a násobek λ ϕ předpisem
(ϕ + ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v) , (λ ϕ)(v) = λ ϕ(v) . (1.1.2)
Množinu všech lineárních zobrazení z V do W označujeme Hom(V, W) a vzhledem
k operacím sčítání a násobení prvky z T, definované v (1.1.2), jde o vektorový
prostor nad T dimenze dim(V ) · dim(W). Nulovým prvkem v tomto prostoru je
nulové zobrazení, ϕ(v) = oW , ∀v ∈ V , a opačným prvkem k prvku ϕ je (−1) ϕ.
Věta 1.1.2. Lineární zobrazení ϕ : Vn → W je určeno, známe-li obrazy ϕ(vi)
vektorů V = v1, . . . , vn , které tvoří bázi V .
1.1. Lineární zobrazení vektorových prostorů 3
Důkaz. Nechť V = v1, . . . , vn je libovolná báze Vn. Potom každý vektor x ∈ V
můžeme psát jako x = n
i=1 xi vi. Potom z Poznámky 1.1.1 4) dostaneme
ϕ(x) =
n
i=1
xi ϕ(vi)
a tento vektor je jednoznačně určen, známe-li obrazy ϕ(vi).
Věta 1.1.3. Nechť V = v1, . . . , vn je báze vektorového prostoru Vn a W =
w1, . . . , wm je báze vektorového prostoru Wm.
1) Nechť ϕ : Vn → Wm je lineární zobrazení. Potom existuje jednoznačně
určená matice Aϕ = (aji) typu m/n nad T taková, že vektor x = (x1; . . . ; xn) ∈ Vn
se zobrazí na vektor
y = ϕ(x) = (
n
i=1
a1i xi; . . . ;
n
i=1
ami xi) ∈ Wm .
2) Nechť A = (aji) je matice typu m/n nad T. Potom zobrazení ϕA, které
vektor x = (x1; . . . ; xn) ∈ Vn zobrazí na vektor
y = ϕA(x) = (
n
i=1
a1i xi; . . . ;
n
i=1
ami xi) ∈ Wm ,
je lineární.
Důkaz. 1) Vyjádřeme nejdříve vektor y = ϕ(x) ∈ Wm jako lineární kombinaci
vektorů báze W = w1, . . . , wm , t.j.
y =
m
j=1
yj wj . (1.1.3)
Na druhou stranu je, podle Věty 1.1.2, vektor y = ϕ(x) dán jako lineární kombinace
y = n
i=1 xi ϕ(vi). Každý vektor ϕ(vi) ∈ Wm ale můžeme vyjádřit jako
kombinaci ϕ(vi) = m
j=1 aji wj. Dosazením tak dostaneme
y =
n
i=1
xi
m
j=1
aji wj (1.1.4)
a porovnáním (1.1.3) s (1.1.4) tak dostaneme
yj =
n
i=1
aji xi , j = 1, . . . , m . (1.1.5)
1.1. Lineární zobrazení vektorových prostorů 4
2) Na druhou stranu předpokládejme, že je dána matice A = (aji) typu m/n
nad T. Snadno se vidí, že zobrazení, které zobrazí vektor x = (x1; . . . ; xn) ∈ Vn
na vektor
y = (
n
i=1
a1i xi; . . . ;
n
j=1
ami xi) ∈ Wm
je lineární zobrazení ϕA : Vn → Wm.
Rovnici (1.1.5) budeme častěji psát maticově



y1
...
ym


 =



a11 · · · a1n
...
...
am1 · · · amn






x1
...
xn


 , (1.1.6)
nebo symbolicky
(y) = Aϕ (x) , (1.1.7)
kde (x) =



x1
...
xn


 označuje sloupcovou matici souřadnic vektoru x vzhledem k bázi
V ve Vn a (y) =



y1
...
ym


 označuje sloupcovou matici souřadnic vektoru y = ϕ(x)
vzhledem k bázi W v Wm.
Definice 1.1.3. Rovnice (1.1.5) – (1.1.7) nazýváme souřadnicovým vyjádřením
(rovnicemi) lineárního zobrazení ϕ vzhledem k bázím V ve Vn a W v Wm.
Matici Aϕ = (aij) nazýváme maticí lineárního zobrazení ϕ (vzhledem k bázím
V ve Vn a W v Wm).
Poznámka 1.1.4. Při pevně zvolených bázích V ve Vn a W v Wm je vztah mezi
lineárními zobrazeními ϕ : Vn → Wm a maticemi Aϕ typu m/n nad T vzájemně
jednoznačný, což plyne z Věty 1.1.3. Tedy zobrazení F : Hom(V, W) → Matmn(T)
definované : F(ϕ) = Aϕ je bijekce. Dále platí
Aϕ+ψ = Aϕ + Aψ , resp. Aλ ϕ = λ Aϕ . ♦
Důsledek 1.1.1. 1. (Hom(V, W), +) a (Matmn, +) jsou izomorfní grupy.
2. Hom(V, W) a Matmn jsou izomorfní vektorové prostory.
Poznámka 1.1.5. Z důkazu Věty 1.1.3 vyplývá, jaký je geometrický význam
matice lineárního zobrazení ϕ. Ve sloupcích matice Aϕ jsou souřadnice obrazů
ϕ(vi) vektorů vi báze V, v daném pořadí, vyjádřené vzhledem k bázi W. ♦
1.1. Lineární zobrazení vektorových prostorů 5
Poznámka 1.1.6. Je-li ϕ : V → W izomorfismus, je také inverzní zobrazení ϕ−1
:
W → V izomorfismus a Aϕ je regulární čtvercová matice řádu dim(V ) = dim(W).
Proto se někdy říká, že lineární izomorfismus je regulární zobrazení. Navíc platí
Aϕ−1 = A−1
ϕ . ♦
Poznámka 1.1.7. Bázi V vektorového prostoru Vn můžeme chápat jako lineární
izomorfismus V : Vn → Tn
(zde Tn
chápeme jako n-dimenzionální vektorový
prostor nad T), který je dán tak, že obrazem vektoru vi báze V je uspořádaná
n-tice (0, . . . , 1, . . . 0), ve které je 1 na i-tém místě. Potom souřadnicové vyjádření
lineárního zobrazení ϕ je lineární zobrazení f : Tn
→ Tm
takové, že komutuje
diagram
Vn
'
V−1
Tn
Wm
ϕ
c W E Tm
f
c
♦
Věta 1.1.4. Nechť ϕ : Vn → Wm je lineární zobrazení, potom existují báze V ve
Vn a báze W v Wm takové, že ϕ má souřadnicové vyjádření
yi = xi , i = 1, . . . , h(ϕ) ,
yj = 0 , j = h(ϕ) + 1, · · · , m .
Důkaz. Stačí zvolit libovolnou bázi V = v1, . . . , vn ve V takovou, aby Im(ϕ) =
L(ϕ(v1), . . . , ϕ(vh(ϕ))), a bázi W = w1, . . . , wm v Wm takovou, že prvních h(ϕ)
vektorů wi = ϕ(vi).
Poznámka 1.1.8. Mějme lineární zobrazení ϕ : Vn → Wm a ψ : Wm → Uk a
báze V ve Vn, W v Wm a U v Uk. Potom
Aψ◦ϕ = Aψ Aϕ . ♦
Věta 1.1.5. Nechť jsou dány dvě báze V a V ve Vn a dvě báze W a W v Wm.
Nechť Aϕ je matice lineárního zobrazení ϕ : Vn → Wm vzhledem k bázím V a W
a Bϕ je matice téhož zobrazení vzhledem k bázím V a W . Potom
Bϕ = K−1
Aϕ L , (1.1.8)
kde K je matice přechodu od báze W k bázi W ve Wm a L je matice přechodu od
báze V k bázi V ve Vn.
1.2. Invariantní podprostory 6
Důkaz. Pro x ∈ Vn označme (x) sloupcovou matici souřadnic vzhledem k bázi V
a (x ) sloupcovou matici souřadnic vzhledem k bázi V . Potom přechod od báze V
k bázi V ve Vn je dán maticí L, t.j. (x) = L (x ). Podobně, nechť (y) je sloupcová
matice souřadnic vektoru y ∈ Wm vzhledem k bázi W a (y ) sloupcová matice
souřadnic vzhledem k bázi W . Potom přechod od báze W k bázi W v Wm je
dán maticí K, t.j. (y) = K (y ).
Podle (1.1.7) je vzhledem k bázím V a W lineární zobrazení ϕ dáno rovnicí
(y) = Aϕ (x) a podobně, vzhledem k bázím V a W , je ϕ dáno rovnicí (y ) =
Bϕ (x ). Dosazením transformačních rovnic přechodu od bází V a W k bázím V
a W dostaneme
K (y ) = Aϕ L (x ) ,
t.j.
(y ) = K−1
Aϕ L (x ) ,
a porovnáním s rovnicí ϕ v bázích V a W dostaneme Bϕ = K−1
Aϕ L.
Důsledek 1.1.2. Jsou-li matice Aϕ, respektive Bϕ, dvě matice téhož lineárního
zobrazeni ϕ : Vn → Wm vyjádřené v různých bázích V, respektive V ve Vn a W,
respektive W ve Wm, potom existuje taková regulární matice K typu m/m a
regulární matice L typu n/n, že Bϕ = K−1
Aϕ L. Přitom K je matice přechodu
od báze W k bázi W v Wm a L je matice přechodu od báze V k bázi V ve Vn.
Důsledek 1.1.3. Hodnost lineárního zobrazení je rovna hodnosti jeho matice
vzhledem k libovolným bázím. Opravdu, z Poznámky 1.1.5 vyplývá, že h(ϕ) je
rovna hodnosti matice Aϕ vyjádřené v libovolných bázích. Při přechodu k novým
bázím se hodnost nemění, protože matice Bϕ = K−1
Aϕ L má stejnou hodnost
jako matice Aϕ.
1.2 Invariantní podprostory
V této části budeme studovat lineární zobrazení vektorového prostoru V na sebe.
Definice 1.2.1. Lineární zobrazení ϕ : V → V nazýváme lineární transformace
(endomorfismus) vektorového prostoru V . Je-li navíc ϕ izomorfismus, nazývá
se automorfizmus vektorového prostoru V .
Poznámka 1.2.1. Automorfizmus vektorového prostoru Vn je bijekcí, jeho matice
je čtvercová matice řádu n, t.j. regulární matice. Říkáme někdy proto, že
automorfismus na Vn je regulární zobrazení na Vn. ♦
1.2. Invariantní podprostory 7
Poznámka 1.2.2. Podle úvah v předchozí části 1.1 můžeme lineární transformace
vektorového prostoru V sečítat, násobit prvky z tělesa T, ale také skládat, viz
Věta 1.1.1. Opravdu, složením dvou lineárních transformací na V je opět lineární
transformace na V . Navíc, množina všech automorfismů vektorového prostoru V
je grupou vzhledem k operaci skládání zobrazení. Tuto grupu budeme nazývat
obecná lineární grupa vektorového prostoru V . ♦
Poznámka 1.2.3. Podle Věty 1.1.4 bylo možné zvolit báze vektorových prostorů
tak, že matice lineárního zobrazení ϕ měla koeficienty aii = 1, i = 0, . . . , h(ϕ), a
zbývající koeficienty byly nulové. V případě lineární transformace na vektorovém
prostoru V vyjadřujeme vzory i obrazy vzhledem k jedné bázi V = v1, . . . , vn
vektorového prostoru Vn. Matice Aϕ je potom čtvercová matice řádu n a obecně
nemůžeme volit bázi V tak, aby byla tvořena pouze jedničkami (na diagonále) a
nulami. V následujících úvahách si ukážeme, jak zvolit bázi vektorového prostoru
V tak, aby v ní měla daná lineární transformace co nejjednodušší rovnice. K tomu
budou sloužit invariantní podprostory vzhledem k lineární transformaci. ♦
Poznámka 1.2.4. Uvažujme nyní ve V dvě báze V a V . Je-li Aϕ matice lineární
transformace ϕ v bázi V a Bϕ matice ϕ v bázi V , je podle Věty 1.1.5,
Bϕ = S−1
Aϕ S, kde regulární matice S je matice přechodu od báze V k bázi V .
Znamená to, že matice Aϕ a Bϕ jsou si podobné. ♦
Definice 1.2.2. Nechť ϕ je lineární transformace vektorového prostoru V . Vektorový
podprostor U ⊆ V se nazývá invariantní podprostor vzhledem k lineární
transformaci ϕ, je-li ϕ(U) ⊆ U, t.j. pro libovolný vektor u ∈ U je ϕ(u) ∈ U.
Poznámka 1.2.5. Definice invariantního podprostoru závisí v podstatné míře na
dané lineární transformaci. Jediné podprostory, které jsou invariantní vzhledem
ke všem lineárním transformacím, jsou celý prostor V a nulový podprostor {o}.
♦
Příklad 1.2.1. Nechť V = T2
a U = {(x1; 0)|x1 ∈ T}. Potom U je invariantní
vzhledem k lineární transformaci ϕ((x1; x2)) = (x1 + x2; 0) ale není invariantní
vzhledem k lineární transformaci ψ((x1; x2)) = (x2; x1). ♥
Věta 1.2.1. Nechť ϕ je lineární transformace V . Pak Im(ϕ) a Ker(ϕ) jsou invariantní
podprostory.
Důkaz. Máme
ϕ(Ker(ϕ)) = {o} ⊆ Ker(ϕ)
a
Im(ϕ) ⊆ V ⇒ ϕ(Im(ϕ)) ⊆ ϕ(V ) = Im(ϕ) .
1.2. Invariantní podprostory 8
Věta 1.2.2. Nechť ϕ je lineární transformace V a U1, . . . , Uk jsou invariantní
podprostory. Pak U1 ∩ · · · ∩ Uk a U1 + · · · + Uk jsou invariantní podprostory.
Důkaz. a) Nechť u ∈ U1 ∩ · · · ∩ Uk, t.j. u ∈ Ui, i = 1, . . . , k. Pak ϕ(u) ∈ Ui, ∀i, a
tedy ϕ(u) ∈ U1 ∩ · · · ∩ Uk.
b) Nechť u ∈ U1 +· · ·+Uk, t.j. u = u1 +· · ·+uk, ui ∈ Ui. Protože ϕ(ui) ∈ Ui,
∀i, máme ϕ(u) = ϕ(u1 + · · · + uk) = ϕ(u1) + · · · + ϕ(uk) ∈ U1 + · · · + Uk.
Připomeňme, že čtvercovou matici řádu (k + m), k, m ≥ 1, nad T tvaru
A =









a11 · · · a1k c11 · · · c1m
...
...
...
...
ak1 · · · akk ck1 · · · ckm
0 · · · 0 b11 · · · b1m
...
...
...
...
0 · · · 0 bm1 · · · bmm









(1.2.1)
nazýváme polorozpadlou maticí nebo maticí v polorozpadlém tvaru, zatímco matici
A =









a11 · · · a1k 0 · · · 0
...
...
...
...
ak1 · · · akk 0 · · · 0
0 · · · 0 b11 · · · b1m
...
...
...
...
0 · · · 0 bm1 · · · bmm









(1.2.2)
nazýváme rozpadlou maticí nebo maticí v rozpadlém tvaru. Říkáme také, že rozpadlá
matice je v blokově diagonálním tvaru. Submatice
A+
=



a11 · · · a1k
...
...
ak1 · · · akk


 , B+
=



b11 · · · b1m
...
bm1 · · · bmm


 (1.2.3)
nazýváme bloky matice A a říkáme, že matice A se rozpadá na dva (diagonální)
bloky A+
a B+
.
Věta 1.2.3. Nechť ϕ je lineární transformace vektorového prostoru V .
1) Ve V existuje netriviální podprostor dimenze k invariantní vzhledem k
transformaci ϕ právě tehdy, když existuje taková báze V prostoru V , že v ní má
ϕ matici v polorozpadlém tvaru (1.2.1).
2) Nechť dim(V ) = n ≥ 2. Potom V je přímý součet dvou netriviálních podprostorů
dimenzí k a m, k+m = n, invariantních vzhledem k ϕ právě tehdy, když
existuje taková báze V prostoru V , že v ní má ϕ matici v rozpadlém tvaru s bloky
řádů k a m.
1.2. Invariantní podprostory 9
Důkaz. 1) Nechť Uk je k-dimenzionální podprostor Vn, který je invariantní vzhledem
k lineární transformaci ϕ. Zvolme bázi V = v1, . . . , vn prostoru Vn tak, aby
Uk = L(v1, . . . , vk). Snadno se vidí, že v takové bázi je matice Aϕ v polorozpadlém
tvaru (1.2.1). Naopak, nechť je matice Aϕ v nějaké bázi V = v1, . . . , vn prostoru
Vn v polorozpadlém tvaru (1.2.1). Protože ve sloupcích matice Aϕ jsou souřadnice
obrazů vektorů ϕ(vi), i = 1, . . . , n, je ϕ(vi) ∈ L(v1, . . . , vk), i = 1, . . . , k, a tedy
podprostor Uk = L(v1, . . . , vk) je invariantní vzhledem k ϕ.
2) Nechť Vn = Wk ⊕ Um a Wk a Um jsou invariantní podprostory vzhledem
k ϕ. Potom zvolíme bázi V = v1, . . . , vn tak, že Wk = L(v1, . . . , vk) a
Um = L(vk+1, . . . , vn). Snadno se vidí, že v takové bázi je matice Aϕ v rozpadlém
tvaru (1.2.2) s bloky řádů k a m. Naopak, nechť je matice Aϕ v nějaké bázi
V = v1, . . . , vn prostoru Vn v rozpadlém tvaru s bloky řádů k a m. Protože
ve sloupcích matice Aϕ jsou souřadnice obrazů vektorů ϕ(vi), i = 1, . . . , n, je
ϕ(vi) in L(v1, . . . , vk), i = 1, . . . , k, a ϕ(vj) in L(vk+1, . . . , vn), j = k + 1, . . . , n,
tedy podprostory Wk = L(v1, . . . , vk) a Um = L(vk+1, . . . , vn) jsou invariantní
vzhledem k ϕ.
Důsledek 1.2.1. Je-li Vn přímý součet n jednodimenzionálních podprostorů,
které jsou invariantní vzhledem k ϕ, potom existuje taková báze Vn, že vzhledem
k ní je matice Aϕ diagonální.
Na základě Důsledku 1.2.1 hrají jednodimenzionální vektorové podprostory,
které jsou invariantní vzhledem k lineární transformaci ϕ, významnou roli. Budeme
se tedy zabývat takovými podprostory L(u), u = o, že ϕ(L(u)) ⊆ L(u), musí
se tedy vektor u = o zobrazit do L(u), t.j. pro nějaké λ ∈ T je ϕ(u) = λ u.
Definice 1.2.3. Charakteristický (vlastní) vektor lineární transformace ϕ vektorového
prostoru V je takový nenulový vektor u, pro který platí
ϕ(u) = λ u , λ ∈ T . (1.2.4)
Číslo λ nazýváme charakteristickým (vlastním) číslem (hodnotou) lineární
transformace ϕ příslušným vlastnímu vektoru u.
Charakteristickým (vlastním) vektorem a charakteristickým (vlastním) číslem
(hodnotou) čtvercové matice A řádu n rozumíme charakteristický (vlastní)
vektor a charakteristické (vlastní) číslo (hodnotu) lineární transformace ϕA.
Poznámka 1.2.6. Nechť u je vlastní vektor lineární transformace ϕ příslušný
vlastnímu číslu λ, potom jeho libovolný nenulový násobek je také vlastní vektor
příslušný vlastnímu číslu λ. Opravdu, je-li v = α u, 0 = α ∈ T, je ϕ(v) =
ϕ(α u) = α ϕ(u) = α λ u = λ α u = λ v . Jsou tedy všechny nenulové vektory
jednodimenzionálního podprostoru (směru) L(u) vlastní vektory lineární transformace
ϕ příslušné vlastnímu číslu λ a hovoříme o vlastním směru lineární transformace
ϕ příslušném vlastnímu číslu λ. ♦
1.2. Invariantní podprostory 10
Věta 1.2.4. λ ∈ T je vlastní hodnotou lineární transformace ϕ na Vn právě tehdy,
když splňuje rovnici
|Aϕ − λ En| = 0 , (1.2.5)
kde Aϕ je matice ϕ v libovolné bázi ve Vn a En je jednotková matice řádu n.
Důkaz. Předpokládejme, že λ je vlastní hodnotou která přísluší vlastnímu vektoru
u lineární transformace ϕ. Potom ϕ(u) = λ u a v souřadnicích Aϕ (u) = λ (u),
což upravíme na
(Aϕ − λ En) (u) = (o) . (1.2.6)
Rovnice (1.2.6) je maticovým zápisem soustavy homogenních lineárních rovnic
a z předpokladu, že u je nenulový vektor, vyplývá, že tato soustava musí být
závislá, t.j. determimant |Aϕ − λ En| matice této soustavy musí být nulový.
Ve Větě 1.2.4 jsme předpokládali souřadnicové vyjádření lineární transformace
ϕ vzhledem k nějaké zvolené bázi. V následující větě si ukážeme, že řešení rovnice
|Aϕ − λ En| = 0, a tím i vlastní hodnoty lineární transformace ϕ, jsou na zvolené
bázi nezávislé.
Věta 1.2.5. Nechť A a B jsou dvě podobné čtvercové matice řádu n. Pak
|A − λ En| = |B − λ En| . (1.2.7)
Důkaz. A a B jsou podobné matice, t.j existuje regulární matice S řádu n taková,
že B = S−1
A S. Pak
|B − λ En| = |S−1
A S − λ S−1
En S| = |S−1
(A − λ En) S|
= |S−1
| |A − λ En| |S| = |A − λ En| .
Poznámka 1.2.7. Rovnice (1.2.5) se nazývá charakteristická rovnice lineární
transformace ϕ (případně matice Aϕ). Snadno se vidí, že charakteristická rovnice
je polynomiální, proto hovoříme o charakteristickém polynomu lineární transformace
ϕ (případně matice Aϕ). Opravdu
|Aϕ − λ En| = (−λ)n
+ J1 (−λ)n−1
+ J2 (−λ)n−2
(1.2.8)
+ · · · + Jn−1 (−λ) + Jn ,
kde Ji jsou součty hlavních minorů řádu i matice Aϕ, speciálně tedy J1 je součet
prvků na diagonále matice Aϕ, takzvaná stopa matice Aϕ, a Jn je determinat
matice Aϕ. ♦
Důsledek 1.2.2. Protože lineární transformace na Vn má v různých bázích matice,
které jsou si navzájem podobné, je charakteristická rovnice lineární transformace
jednoznačně určená lineární transformaci nezávisle na jejím souřadnicovém
vyjádření.
1.2. Invariantní podprostory 11
Podobně i kořeny charakteristické rovnice, t.j. vlastní hodnoty lineární transformace,
jsou jednoznačně určeny lineární transformaci nezávisle na jejím souřadnicovém
vyjádření.
Věta 1.2.6. Nechť ϕ je lineární transformace vektorového prostoru Vn a λ ∈ T
je vlastní hodnota ϕ. Pak vlastní vektor u příslušný λ vyjádřený v souřadnicích
vzhledem k nějaké bázi V je řešením homogenní soustavy rovnic
(a11 − λ) u1 + a12 u2 + . . . + a1n un = 0 ,
a21 u1 + (a22 − λ) u2 + . . . + a2n un = 0 ,
...
...
...
...
an1 u1 + an2 u2 + . . . + (ann − λ) un = 0 ,
(1.2.9)
kde Aϕ = (aij) je matice ϕ vzhledek k bázi V .
Důkaz. Vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě λ musí být řešením rovnice
(1.2.6), což je právě maticový zápis homogenní soustavy rovnic (1.2.9).
Poznámka 1.2.8. Ve Větě 1.2.5 jsme ukázali, že charakteristická rovnice, a tím
i její kořeny, lineární transformace ϕ jsou nezávislé na bázi, ve které vyjádříme
lineární transformaci pomocí souřadnic. Souřadnice vlastního vektoru jsou ovšem
na použitých souřadnicích závislé. Opravdu, jsou-li matice Aϕ a Bϕ matice ϕ v
různých bázích V a V a S je matice přechodu od první báze k druhé, transformuje
se homogenní soustava rovnic
(Bϕ − λEn)(u ) = (o) (1.2.10)
do soustavy
S−1
(Aϕ − λEn)S(u ) = (o)
t.j., po vynásobení maticí S,
(Aϕ − λEn)(S(u )) = (o). (1.2.11)
Je-li tedy vektor u řešením homogenní soustavy (1.2.10) je vlastním vektorem
lineární transformace ϕ příslušným vlastní hodnotě λ a vyjádřeným v souřadnicích
vyhledem k bázi V . Řešení homogenní soustavy (1.2.11) je ale potom vektor
o souřadnicích S(u ), což je tentýž vlastní vektor jen vyjádřený v souřadnicích
vzhledem k bázi V. ♦
Poznámka 1.2.9. Uvědomme si, že jednotková matice En je maticí identické
lineární transformace na Vn vyjádřené v libovolné bázi. Je tedy matice (Aϕ −
λ En) maticí lineární transformace (ϕ − λ idVn ) a vlastní vektor ϕ patří do jádra
Ker(ϕ − λ idVn ). ♦
1.2. Invariantní podprostory 12
Poznámka 1.2.10. Posloupnost vlastních hodnot lineární transformace ϕ se nazývá
spektrum lineární transformace ϕ. ♦
Příklad 1.2.2. Jestliže hodnost lineární transformace ϕ na Vn je menší než n,
potom Ker(ϕ) je netriviální vektorový podprostor (dimenze n − h(ϕ)) a každý
nenulový vektor u ∈ Ker(ϕ) je vlastní vektor ϕ pro vlastní hodnotu λ = 0,
opravdu ϕ(u) = 0 · u = o. ♥
Úloha 1.2.1. Lineární transformace na R2
je dána maticí
8 −5
−1 4
. Určete
její vlastní čísla a vlastní vektory.
Řešení : Charakteristický polynom je λ2
− 12 λ + 27 = 0 a jeho kořeny jsou
λ1 = 9 a λ2 = 3. Potom vlastní hodnotě λ1 = 9 odpovídají vlastní vektory, které
jsou řešením homogenní soustavy rovnic
−u1 − 5 u2 = 0 ,
−u1 − 5 u2 = 0 ,
a podobně vlastní hodnotě λ2 = 3 odpovídají vlastní vektory, které jsou řešením
homogenní soustavy rovnic
5 u1 − 5 u2 = 0 ,
−u1 + u2 = 0 .
Jsou tedy příslušné vlastní vektory u1 = k (−5; 1) a u2 = l (1; 1), kde k, l jsou
libovolná nenulová reálná čísla.
Věta 1.2.7. Nechť ϕ je lineární transformace na V . Pak vlastní vektory ϕ příslušné
navzájem různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé.
Důkaz. Nechť λ1, . . . , λr jsou navzájem různé vlastní hodnoty a u1, . . . , ur příslušné
vlastní vektory lineární transformace ϕ. Nechť u1, . . . , uk, 1 ≤ k ≤ r, je
maximální posloupnost lineárně nezávislých vlastních vektorů.
Dále budeme postupovat sporem. Předpokládejme k < r, pak
uk+1 =
k
i=1
ci ui .
Aplikujeme na tuto rovnost lineární transformaci ϕ a dostaneme z linearity ϕ
ϕ(uk+1) =
k
i=1
ci ϕ(ui) .
1.2. Invariantní podprostory 13
Protože jsou vektory ui vlastní vektory pro λi, i = 1, . . . , r, dostaneme
λk+1 uk+1 =
k
i=1
λi ci ui
a současně musí být
λk+1 uk+1 =
k
i=1
λk+1 ci ui.
Porovnáním koeficientů u ui, i = 1, . . . , k, dostaneme
λi ci = λk+1 ci.
Tato rovnost je splněna buďto pro λi = λk+1, což je spor s předpokladem, že
vlastní hodnoty byly různé, nebo pro ci = 0, ∀i = 1, . . . , k, ale potom uk+1 = o,
což je spor s definicí vlastního vektoru. Musí tedy být k = r a všechny vlastní
vektory u1, . . . , ur jsou lineárně nezávislé.
Důsledek 1.2.3. Nechť ϕ je lineární transformace vektorového prostoru Vn, která
má n navzájem různých vlastních hodnot v T. Pak Vn je přímým součtem n jednodimenzionálních
podprostorů, které jsou invariantní vzhledem k ϕ a ve vhodné
bázi prostoru Vn je matice Aϕ diagonální. Rozklad Vn na přímý součet invariantních
podprostorů je jednoznačný, až na jejich pořadí.
Důkaz. Jestliže má charakteristická rovnice ϕ celkem n navzájem různých kořenů
λ1, . . . , λn, potom podle Věty 1.2.7 má n odpovídajících lineárně nezávislých
vlastních vektorů u1, . . . , un, které tvoří bázi Vn. Matice Aϕ má v této bázi diagonální
tvar, kde na diagonále budou vlastní hodnoty λ1, . . . , λn v tom pořadí, v
jakém použijeme vektory v bázi u1, . . . , un.
Věta 1.2.7 hovoří o vlastních vektorech lineární transformace, které přísluší
různým kořenům charakteristického polynomu. Jaká situace ale nastane pro stejné
kořeny, t.j. kořeny s násobností vyšší než jedna? Předpokládejme, že charakteristická
rovnice má k-násobný kořen λ, kde k > 1. V tomto případě homogenní
soustava rovnic (1.2.9) pro výpočet vlastních vektorů může mít jako řešení podprostor
dimenze 1 až k. Že mohou nastat všechny možnosti si budeme demonstrovat
v následující úloze.
Úloha 1.2.2. Lineární transformace na R3
jsou dány maticemi:
a) A1 =


1 1 1
0 1 1
0 0 1

 , b) A2 =


1 0 1
0 1 1
0 0 1

 , c) A3 =


3 0 0
0 3 0
0 0 3

 .
Určete vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace ϕAi
, i = 1, 2, 3 .
1.2. Invariantní podprostory 14
Řešení : a) Charakteristický polynom je |A1 − λ E3| = (1 − λ)3
, t.j. λ1,2,3 = 1.
Matice pro výpočet vlastních vektorů je potom


0 1 1
0 0 1
0 0 0

 a odtud je každý
vlastní vektor nenulovým násobkem vektoru (1; 0; 0), t.j. dimenze prostoru obecného
řešení homogenní soustavy rovnic pro výpočet vlastních vektorů je jedna.
b) Charakteristický polynom je |A2−λ E3| = (1−λ)3
, t.j. λ1,2,3 = 1. Matice pro
výpočet vlastních vektorů je potom


0 0 1
0 0 1
0 0 0

 a odtud je každý vlastní vektor
lineární kombinací vektorů (1; 0; 0) a (0; 1; 0), t.j. dimenze prostoru obecného
řešení homogenní soustavy rovnic pro výpočet vlastních vektorů je dvě.
c) Charakteristický polynom je |A3 − λ E3| = (3 − λ)3
, t.j. λ1,2,3 = 3. Matice
pro výpočet vlastních vektorů je nulová, t.j. dimenze prostoru obecného řešení
homogenní soustavy rovnic pro výpočet vlastních vektorů je tři.
Poznámka 1.2.11. Zvláštní roli mezi vícenásobnými kořeny charakteristického
polynomu hraje nulový kořen. Z Příkladu 1.2.2 víme, že řešení homogenní soustavy
rovnic pro výpočet vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě λ = 0
je jádro lineární transformace ϕ. Má-li jádro dimenzi k, k ≥ 1, je 0 nejméně
k-násobným kořenem charakteristického polynomu. Opravdu, protože v tomto
případě je hodnost h(ϕ) = h(Aϕ) = (n − k), jsou všechny hlavní minory řádu
většího než (n − k) matice Aϕ nulové a z Poznámky 1.2.7 vyplývá, že 0 je
nejméně k-násobným kořenem charakteristického polynomu. Naopak, je-li 0 právě
k-násobným kořenem charakteristického polynomu, je jádro lineárního zobrazení
netriviální podprostor, a jeho dimenze je menší nebo rovna k. To, že dimenze
Jádra může být ostře menší než k si ukážeme na následujícím příkladu. Nechť má
lineární zobrazení v nějaké bázi matici Aϕ =


4 −5 2
5 −7 3
6 −9 4

 . Kořeny charakteristické
rovnice jsou λ1 = 1 a λ2,3 = 0. Nula je tedy dvojnásobným vlastním číslem a
zobrazení má netriviální jádro. Protože ale hodnost h(Aϕ) = 2, je dimenze jádra
1 < 2. ♦
Obecně, pro k-násobný kořen charakteristického polynomu lineární transformace
platí věta, jejiž důkaz přesahuje rámec tohoto textu a uvedeme si ji proto
bez důkazu. Důkaz viz např. [Sl].
Věta 1.2.8. Nechť λ je právě k-násobným kořenem charakteristického polynomu
lineární transformace ϕ na Vn, n ≥ k ≥ 1. Potom existuje k-dimenzionální vektorový
podprostor Uk prostoru Vn, který je invariantní vzhledem k ϕ. Navíc existuje
taková báze Vn, že maticový diagonální blok příslušný podprostoru Uk je horní
trojúhelníková matice, která má na diagonále hodnotu λ.
1.2. Invariantní podprostory 15
Poznámka 1.2.12. Je-li k = 1, je trojúhelníková matice tvořena jediným prvkem.
Pro k > 1 je horní trojúhelníková matice v předchozí Větě 1.2.8 matice, která
má všechny prvky pod diagonálou nulové. Všechny tři případy v Úloze 1.2.2 byly
tohoto typu, přitom v případě c) je příslušný 3-rozměrný invariantní podprostor
přímým součtem jednodimenzionálních invariantních podprostorů. To platí i
obecně, t.j. k-dimenzionální vektorový podprostor Uk, který přísluší k-násobnému
kořeni λ charakteristického polynomu, k ≥ 2, může být přímým součtem invariantních
podprostorů nižších dimenzí. Tento rozklad už ale není jednoznačný.
♦
Popišme nyní (bez důkazu), jak lze nalézt invariantní podprostor Uk příslušný
k-násobnému kořeni λ charakteristického polynomu lineární transformace ϕ na
Vn. Máme Uk = Ker(ϕ − λ idVn )k
, kde (ϕ − λ idVn )k
je lineární transformace,
která vznikne složením transformace (ϕ − λ idVn ) samé se sebou k-krát. Důkaz
toho, že pro k-násobný kořen charakteristického polynomu ϕ je dimenze jádra
Ker(ϕ − λ idVn )k
právě k a že Uk je invariantní podprostor lineární transformace
ϕ lze nalézt např. v textu [Sl]. Snadno se vidí, že všechny vlastní vektory příslušné
vlastnímu číslu λ patří do Uk. Opravdu, je-li u vlastním vektorem příslušným λ,
je
(ϕ − λ idVn )(u) = o
a tedy i u ∈ Ker(ϕ−λ idVn )k
= Uk. Máme tedy L(u1, . . . , uj) ⊆ Uk, kde u1, . . . , uj
jsou lineárně nezávislé vlastní vektory, které přísluší λ. Pro j = k je ϕ|Uk lineární
transformace, která má v bázi u1, . . . , uk diagonální (t.j. horní trojúhelníkovou)
matici s hodnotou λ na diagonále.
Je-li j < k, hledáme další vektor uj+1 ∈ L(u1, . . . , uj) takový, že
(ϕ − λ idVn )(uj+1) = w1, o = w1 ∈ L(u1, . . . , uj) , (1.2.12)
t.j. takový, že
ϕ(uj+1) = λ (uj+1) + w1 ∈ L(u1, . . . , uj, uj+1) . (1.2.13)
Takový vektor patří do Uk, protože pro w1 = j
i=1 ai ui je
(ϕ − λ idVn )(w1) =
j
i=1
ai ϕ(ui) − λ
j
i=1
ai ui = o ,
a tedy
(ϕ − λ idVn )2
(uj+1) = o
Přidáme vektor uj+1 do posloupnosti nezávislých vektorů u1, . . . , uj, uj+1 a v
dalším kroku hledáme vektor uj+2 ∈ L(u1, . . . , uj+1), takový, že
(ϕ − λ idVn )(uj+2) = w2, o = w2 ∈ L(u1, . . . , uj+1) . (1.2.14)
1.2. Invariantní podprostory 16
Takový vektor patří do Uk, protože (ϕ − λ idVn )2
(w2) = o, a tedy
(ϕ − λ idVn )3
(uj+2) = o .
Přidáme ho do posloupnosti nezávislých vektorů u1, . . . , uj, uj+1, uj+2. Takto
pokračujeme, až po (k − j) krocích proces ukončíme. Potom se snadno vidí, že
ϕ|Uk má v bázi u1, . . . , uk horní trojúhelníkovou matici, kde na diagonále je λ a
nad diagonálou jsou 0 pro vlastní vektory příslušné λ a hodnoty, které odpovídají
zvoleným vektorům wi pro vektory uj+i, i = 1, . . . , k − j.
Úloha 1.2.3. Lineární transformace na R3
je dána maticí A =


2 2 0
0 2 0
2 2 2

 .
Ukažte, že charakteristický polynom má trojnásobný kořen a najděte takovou
bázi, že v ní má ϕA horní trojúhelníkovou matici.
Řešení : Charakteristický polynom je |A − λ E3| = −λ3
+ 6λ2
− 12λ + 8 =
(2−λ)3
, t.j. λ1,2,3 = 2. Matice pro výpočet vlastních vektorů je potom


0 2 0
0 0 0
2 2 0


a odtud je každý vlastní vektor nenulovým násobkem vektoru u1 = (0; 0; 1).
Dále řešíme soustavu rovnic (ϕA − 2 id)(x) = a u1, a = 0, t.j. řešíme soustavu
nehomogeních rovnic
2 x2 = 0
0 = 0
2 x1 +2 x2 = a .
Řešením je např., pro a = 2, vektor u2 = (1; 0; 1). V dalším kroku hledám vektor
(ϕA −2 id)(x) = a u1 +b u2, a2
+b2
= 0, t.j. řešíme soustavu nehomogeních rovnic
2 x2 = b
0 = 0
2 x1 +2 x2 = a + b .
Řešení je např., pro a = 2, b = 2, vektor u3 = (1; 1; 1). Protože je ϕA(u1) =
(0; 0; 2) = 2 u1, ϕA(u2) = (2; 0; 4) = 2 u1 + 2 u2 a konečně ϕA(u3) = (4; 2; 6) =
2 u1+2 u2+2 u3, je matice transformace v bázi u1, u2, u3 matice B =


2 2 2
0 2 2
0 0 2

.
Poznamenéjme ještě, že tato matice není určena jednoznačně, protože jsme provedli
celou řadu voleb při výběru vektorů báze u1, u2, u3 a tyto volby ovlivní
podobu matice B nad diagonálou.
Úloha 1.2.4. Nechť má lineární transformace ϕ vlastní vektor u, který přísluší
vlastní hodnotě λ. Dokažte, že ϕk
(u) = λk
u pro každé přirozené k a ϕk
je lineární
transformace, která vznikne složením ϕ samého se sebou k-krát.
1.3. Rozklad reálného vektorového prostoru 17
1.3 Rozklad reálného vektorového prostoru na invariantní
podprostory
Ve "sředoškolské"geometrii se zabýváme pouze reálnými bodovými (afinními, euklidovskými)
prostory. Proto úvahy o invariantních prostorech z části 1.2 budeme
specifikovat pro těleso reálných čísel R. Předpokládejme tedy, že Vn je vektorový
prostor nad tělesem reálných čísel. Potom v libovolné bázi je matice lineární transformace
ϕ na Vn reálná čtvercová matice a charakteristický polynom |Aϕ − λ En|
je polynom stupně n s reálnými koeficienty.
Z algebry, [Ho93, Ho94, Ro], víme, že charakteristický polynom nad R nemusí
být obecně řešitelný v R. Při hledání kořenů charakteristického polynomu a
příslušných vlastních vektorů tak mohou nastat následující situace.
A) Charakteristický polynom má pouze reálné kořeny.
B) Charakteristický polynom má nejméně jednu dvojici komplexně sdružených
kořenů.
Rozeberme si nyní jednotlivé možnosti.
A) Má-li charakteristická rovnice lineární transformace ϕ na Vn celkem n
různých reálných kořenů, je podle Důsledku 1.2.3 Vn přímým součtem n jednodimenzionálních
vlastních směrů a v bázi, která je tvořena vlastními vektory, má
matice Aϕ diagonální tvar, kde na diagonále jsou vlastní hodnoty ϕ.
Úloha 1.3.1. Lineární transformace ϕ na R3
je dána maticí
A =


3 2 0
−2 5 −4
0 −7 3

. Určete vlastní čísla a vlastní vektory ϕ.
Řešení : Charakteristický polynom ϕ je |A−λ E3| = λ3
−11λ2
+15λ+27, jeho
kořeny jsou λ1 = −1, λ2 = 3 a λ3 = 9. Matice homogenní soustavy rovnic (1.2.9)
pro λ1 je


4 2 0
−2 6 −4
0 −7 4

 a obecné řešení této soustavy je generováno vektorem
u1 = (−2; 4; 7). Dále matice pro λ2 je


0 2 0
−2 2 −4
0 −7 0

 a obecné řešení je generováno
vektorem u2 = (−2; 0; 1). Konečně matice pro λ3 je


−6 2 0
−2 −4 −4
0 −7 −6

 a
obecné řešení je generováno vektorem u3 = (2; −6; 7). Snadno se vidí, že u1, u2, u3
jsou lineárně nezávislé. Potom v bázi u1, u2, u3 má matice lineární transformace
ϕ tvar


−1 0 0
0 3 0
0 0 9

.
1.3. Rozklad reálného vektorového prostoru 18
Má-li charakteristický polynom reálný kořen s násobností k > 1, potom mu
odpovídá k dimenzionální invariantní podprostor Uk. V závěru části 1.2 a Úloze
1.2.3 jsme ukázali, že v tomto případě můžeme nalézt bázi Uk takovou, že odpovídající
matice je horní trojúhelníková matice řádu k.
B) Nechť má nyní charakteristický polynom lineární transformace ϕ dvojici
komplexně sdružených kořenů λ = α + i β a ¯λ = α − i β. V tomto případě
předpokládáme, že λ a ¯λ jsou vlastní hodnoty lineární transformace na komplexním
vektorovém prostoru, která má stejnou reálnou matici, jako ϕ. To můžeme
udělat např. konstrukcí komplexního rozšíření reálného vektorového prostoru a
konstrukcí komplexního rozšíření lineární transformace, které jsou popsány ve
skriptu [JaSe].
Podobným způsobem, jako se v teorii čísel sestrojí komplexní rozšíření tělesa
reálných čísel v těleso komplexních čísel, sestrojíme i komplexní rozšíření reálného
vektorového prostoru V .
Uvažujme množinu V × V a definujme na ní operaci sčítání a násobení komplexním
číslem následujícím způsobem
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) , (1.3.1)
(α + iβ)(a, b) = (αa − βb, αb + βa) . (1.3.2)
Snadno se ověří, že V ×V spolu s operacemi sčítání a násobení komplexními čísly
definovanými (1.3.1) a (1.3.2) je vektorovým prostorem nad tělesem komplexních
čísel C.
Definice 1.3.1. Množinu V × V s operacemi sčítání a násobení komplexními
čísly definovanými vztahy (1.3.1) a (1.3.2) budeme nazývat komplexní rozšíření
reálného vektorového prostoru V a označovat V C
.
Uvažujme podmnožinu M = {(u, o) ∈ V × V } ⊂ V C
. Snadno ověříme, že M
je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení reálnými čísly. Uvažujme zobrazení V
na M, které přiřadí vektoru u ∈ V vektor (u, o) ∈ M. Toto zobrazení je izomorfizmem
vektorového prostoru V na M. Při ztotožnění V a M tedy dostáváme, že
V ⊂ V C
.
Poznámka 1.3.1. V je podmnožina ve V C
, ale ne vektorový podprostor, protože
V je definováno nad R a V C
nad C. ♦
Nyní můžeme každý vektor (u, v) ∈ V C
psát následujícím způsobem
(u, v) = (u, o) + (o, v) = (u, o) + i(v, o) = u + iv .
Můžeme tedy formálně psát V C
= V ⊕ i V .
Vektor u ∈ V budeme nazývat reálnou složkou (částí) a vektor v ∈ V
imaginární složkou (částí) vektoru w = u + iv ∈ V C
a označovat u = Re(w),
v = Im(w). Nulovým vektorem V C
je (o, o) = o + io = o.
1.3. Rozklad reálného vektorového prostoru 19
Věta 1.3.1. Vektory u1, . . . , uk ∈ V jsou lineárně nezávislé v prostoru V tehdy
a jen tehdy, jsou-li lineárně nezávislé v prostoru V C
.
Důkaz. Je zřejmé, že jsou-li u1, . . . , uk ∈ V lineárně závislé ve V , jsou i lineárně
závislé ve V C
. Nechť jsou u1, . . . , uk lineárně závislé ve V C
. Potom existují
komplexní čísla αj + iβj, j = 1, . . . , k, taková, že alespoň jedno z nich je nenulové
a platí
k
j=1
(αj + iβj)uj = o ,
tj.
k
j=1
αjuj + i
k
j=1
βjuj = o .
Musí tedy platit k
j=1 αjuj = o a současně k
j=1 βjuj = o, přičemž alespoň
jedno αj ∈ R nebo βj ∈ R je nenulové, což znamená, že vektory u1, . . . , uk jsou
lineárně závislé ve V . Dokázali jsme tedy, že u1, . . . , uk jsou lineárně závislé ve
V tehdy a jen tehdy, jsou-li lineárně závislé ve V C
, což je tvrzení ekvivalentní
tvrzení Věty 1.3.1.
Důsledek 1.3.1. Každá báze prostoru Vn je i bází prostoru V C
n .
Důkaz. Opravdu, je-li V = u1, . . . , un je báze vektorového prostoru Vn. Potom
vektory báze V jsou lineárně nezávislé ve V C
a musíme dokázat, že V je systém
generátorů V C
. Buď x + i y ∈ V C
libovolný vektor. Potom existují reálná čísla
x1; . . . ; xn; y1; . . . ; yn tak, že x = n
j=1 xjuj, y = n
j=1 yjuj. Odtud
x + i y =
n
j=1
xjuj + i
n
j=1
yjuj =
n
j=1
(xj + i yj)uj,
což dokazuje náš Důsledek 1.3.1.
Definice 1.3.2. Každá báze prostoru V C
, která je současně i bází V , se nazývá
reálná báze.
Věta 1.3.2. Buď U podprostor vektorového prostoru V . Potom UC
je podprostorem
vektorového prostoru V C
.
Důkaz. Věta 1.3.2 je přímým důsledkem definice komplexního rozšíření vektorového
prostoru.
Definice 1.3.3. Podprostor W vektorového prostoru V C
, který je komplexním
rozšířením podprostoru U ⊆ V , se nazývá reálný podprostor a označujeme ho
UC
.
1.3. Rozklad reálného vektorového prostoru 20
Ne každý podprostor ve V C
je reálný, ale každý podprostor ve V C
obsahuje
nějaký reálný podprostor, minimálně triviální podprostor {o}.
Vektory u + i v a u − i v se nazývají vektory komplexně sdružené. Je-li w ∈
V C
, budeme komplexně sdružený vektor označovat w. Je-li W ⊆ V C
vektorový
podprostor, je W = {w|w ∈ W} vektorový podprostor nazývaný komplexně
sdružený podprostor k podprostoru W.
Pro komplexně sdružené vektory ve V C
platí vztahy obdobné vztahům pro
komplexně sdružená čísla. Pro w, w ∈ V C
, k ∈ C, platí
w + w = w + w ,
kw = k w .
kde k je komplexně sdružené číslo k číslu k. Dále platí Re(w) = 1
2
(w + w),
Im(w) = i
2
(w − w).
Věta 1.3.3. Nechť V a U jsou reálné vektorové prostory a ϕ : V → U je lineární
zobrazení. Potom existuje právě jedno lineární zobrazení ϕC
: V C
→ UC
takové,
že pro každý vektor x ∈ V je ϕC
(x) = ϕ(x). Je-li lineární zobrazení ϕ prosté, je
i lineární zobrazení ϕC
prosté a je-li ϕ surjektivní, je i ϕC
surjektivní.
Důkaz. Nechť ϕ : V → U je lineární zobrazení. Definujme zobrazení ϕC
z V C
do
UC
vztahem
ϕC
(x + i y) = ϕ(x) + i ϕ(y) (1.3.3)
pro každé x + i y ∈ V C
. Je zřejmé, že ϕC
(x) = ϕ(x) pro každý vektor x ∈ V .
Ověříme, že ϕC
je lineární zobrazení. Nechť xj +i yj ∈ V C
, αj +i βj ∈ C, j = 1, 2.
Potom
ϕC
((α1 + i β1)(x1 + i y1) + (α2 + i β2)(x2 + i y2)) =
= ϕC
((α1x1 − β1y1 + α2x2 − β2y2) + i (α1y1 + β1x1 + α2y2 + β2x2)) =
= ϕ(α1x1 − β1y1 + α2x2 − β2y2) + i ϕ(α1y1 + β1x1 + α2y2 + β2x2) =
= α1ϕ(x1) − β1ϕ(y1) + α2ϕ(x2) − β2ϕ(y2)+
+i (α1ϕ(y1) + β1ϕ(x1) + α2ϕ(y2) + β2ϕ(x2)) =
= (α1 + i β1)(ϕ(x1) + i ϕ(y1)) + (α2 + i β2)(ϕ(x2) + i ϕ(y2)) =
= (α1 + i β1)ϕC
(x1 + i y1) + (α2 + i β2)ϕC
(x2 + i y2).
Předpokládejme, že ψC
je lineární zobrazení z V C
do UC
takové, že ψC
(x) =
ϕ(x) pro každý vektor x ∈ V . Potom z linearity dostáváme, že musí platit vztah
(1.3.3), a tedy ϕC
≡ ψC
.
Nechť je lineární zobrazení ϕ prosté a ϕC
(x1 + i y1) = ϕC
(x2 + i y2). Potom
z (1.3.3) je ϕ(x1) = ϕ(x2) a ϕ(y1) = ϕ(y2), a tedy musí být x1 = x2 a y1 = y2,
což znamená, že i ϕC
je prosté zobrazení.
1.3. Rozklad reálného vektorového prostoru 21
Nechť lineární zobrazení ϕ je surjektivní zobrazení. Nechť x + i y ∈ UC
je
libovolný vektor. Protože ϕ je surjektivní zobrazení, existují vektory x, y ∈ V
takové, že ϕ(x) = x a ϕ(y) = y . Potom ϕC
(x + i y) = x + i y , a tedy i ϕC
je
surjektivní.
Definice 1.3.4. Zobrazení ϕC
definované ve Větě 1.3.3 se nazývá komplexní
rozšíření lineárního zobrazení ϕ.
Nechť V = v1, . . . , vn , respektive U = u1, . . . , um , je báze vektorového
prostoru Vn, respektive Um. Nechť vzhledem k těmto bázím má lineární zobrazení
ϕ z Vn do Um matici Aϕ. Protože každá báze prostoru Vn je i bází prostoru
V C
n a podobně, každá báze prostoru Um je i bází prostoru UC
m, můžeme vyjádřit
i matici AϕC vzhledem k bázím V a U.
Věta 1.3.4. Pro libovolné lineární zobrazení ϕ z Vn do Um jsou matice Aϕ a AϕC
vzhledem k reálným bázím ve V C
n a UC
m totožné.
Důkaz. Nechť v bázích V = v1, . . . , vn ve Vn a U = u1, . . . , um v Um je
Aϕ matice lineárního zobrazení ϕ z Vn do Um. Podle (1.3.3) je (ϕC
(x + iy)) =
(ϕ(x)) + i(ϕ(y)) = Aϕ (x) + i Aϕ (y) = Aϕ (x + i y).
Poznámka 1.3.2. Je třeba si uvědomit, jaký je rozdíl mezi souřadnicovým vyjádřením
libovolného lineárního zobrazení z V C
do UC
a komplexním rozšířením
lineárního zobrazení z V do U. Zatímco matice komplexního rozšíření reálného
lineárního zobrazení vzhledem k reálným bázím je definována nad R, je obecně
matice libovolného lineárního zobrazení z V C
do UC
definována nad C. ♦
Nyní uvažujme lineární transformaci ϕ na reálném vektorovém prostoru Vn
a uvažujme lineární transformaci ϕC
na komplexním rozšíření V C
n , která vznikne
komplexním rozšířením ϕ. Potom (reálné) vlastní vektory, které přísluší reálným
kořenům charakteristického polynomu ϕ jsou i vlastní (reálné) vektory lineární
transformace ϕC
. Má-li ale charakteristický polynom dvojici komplexně sdružených
kořenů λ = α +i β, ¯λ = α −i β, 0 = β ∈ R, potom lineární transformace ϕC
má dvojici vlastních vektorů, které jsou navzájem komlexně sdružené. Opravdu,
je-li w ∈ V C
n vlastní vektor ϕC
příslušný λ, t.j.
ϕC
(w) = λ w ,
potom
ϕC
( ¯w) = ¯λ ¯w .
To vyplývá z toho, že pro ϕC
platí ϕC(w) = ϕC
( ¯w), což je vidět přímo z (1.3.3).
Potom vlastní vektor příslušný ¯λ je vektor komplexně sdružený s w. Přitom
w = v1 + i v2 je vektor takový, že reálné vektory v1, v2 jsou lineárně nezávislé.
1.3. Rozklad reálného vektorového prostoru 22
Opravdu, protože λ a ¯λ jsou různé kořeny charakteristického polynomu, musí jim
odpovídat podle Věty 1.2.7 lineárně nezávislé vlastní vektory ve V C
n . Ale w a ¯w
jsou lineárně nezávisle ve V C
n právě tehdy, když v1, v2 jsou lineárně nezávislé ve
Vn.
Nechť w = v1 + i v2, v1, v2 ∈ Vn, je vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě
λ = α + i β. Potom
ϕC
(w) = ϕC
(v1 + i v2) = ϕ(v1) + i ϕ(v2)
a současně
ϕC
(w) = λ w = (α + i β) (v1 + i v2) = α v1 − β v2 + i (β v1 + α v2) .
Porovnáním reálných a imaginárních složek dostaneme
ϕ(v1) = α v1 − β v2 , ϕ(v2) = β v1 + α v2 ,
t.j. dvoudimenzionální podprostor L(v1, v2) ⊆ Vn je invariantní vzhledem k ϕ a
příslušný blok řádu dva v matici Aϕ vzhledem bázi, kde použijeme vektory v1, v2,
je matice
α β
−β α
.
Poznámka 1.3.3. V předchozích úvahách jsme uvažovali pouze jednonásobné
komplexní kořeny charakteristického polynomu. Pro vícenásobné komplexní kořeny
bychom mohli aplikovat Větu 1.2.8 pro těleso komplexních čísel. Vzhledem k
tomu, že dále se budeme zabývat především prostory dimenze dvě a tři, nemůže
tato situace nastat a proto se ji dále nebudeme zabývat. ♦
Poznámka 1.3.4. Komplexně sdružené kořeny charakteristického polynomu lineární
transformace ϕ na reálném vektorovém prostoru Vn jsou vlastní hodnoty
lineární transformace ϕC
, ale nejsou to vlastní hodnoty pro ϕ protože nepatří do
tělesa R. ♦
Předešlé úvahy nyní můžeme shrnout. Nechť má charakteristický polynom lineární
transformace ϕ na reálném vektorovém prostoru Vn celkem m ≥ 0 reálných
různých kořenů s násobností ki ≥ 1, i = 0, . . . , m, a celkem l ≥ 0 dvojic různých
komplexně sdružených jednonásobných kořenů, t.j. n = 2 l + m
i=0 ki. Potom Vn
je přímý součet invariantních podprostorů
Vn = U1 ⊕ · · · ⊕ Um ⊕ W1 ⊕ · · · ⊕ Wl
kde Ui je ki-dimenzionální invariantní podprostor, který odpovídá ki-násobnému
i-tému reálnému kořeni charakteristického polynomu a Wj, j = 0, . . . , l, je
dvoudimenzionální invariantní podprostor, který odpovídá j-tému komplexnímu
1.3. Rozklad reálného vektorového prostoru 23
kořeni charakteristického polynomu. Tento rozklad je až na pořadí jednoznačný.
Navíc, existuje taková báze Vn, že matice Aϕ je blokově diagonální s (m + l)
diagonálními bloky Aki
a Bj, kde Aki
je horní trojúhelníková matice řádu ki příslušná
i-tému reálnému kořeni charakteristického polynomu a Bj =
αj βj
−βj αj
,
βj = 0, jsou matice řádu 2 příslušné j-tému komplexnímu kořeni λj = αj + i βj
charakteristického polynomu.
Úloha 1.3.2. Lineární transformace ϕ na R3
je dána maticí
A =


3 −1 0
6 −3 2
8 −6 5

. Rozložte R3
na invariantní podprostory vzhledem k lineární
transformaci ϕ a najděte takovou bázi, ve které se matice ϕ rozpadá na diagonální
bloky.
Řešení : Charakteristický polynom ϕ je |A − λ E3| = −λ3
+ 5λ2
− 9λ + 5,
jeho kořeny jsou λ1 = 1, λ2,3 = 2 ± i. Matice homogenní soustavy rovnic (1.2.9)
pro λ1 = 1 je


2 −1 0
6 −4 2
8 −6 4

 a obecné řešení této soustavy je generováno vektorem
u1 = (1; 2; 1). Dále pro komplexní kořen λ2 = 2+i uvažujeme homogenní soustavu
rovnic (1.2.9) nad komplexními čísly s maticí


1 − i −1 0
6 −5 − i 2
8 −6 3 − i

. Obecné
řešení je generováno vektorem w = (1; 1 − i; −2i) = (1; 1; 0) + i (0; −1; −2) =
v1 + i v2. Potom R3
= U1 ⊕ W2, kde U1 = L(u1) je vlastní směr příslušný vlastní
hodnotě λ1 = 1 a W2 = L(v1, v2) je dvoudimenzionální invariantní podprostor
příslušný kořenům λ2,3 = 2 ± i. Snadno se vidí, že v bázi u1, v1, v2 má ϕ matici

1 0 0
0 2 1
0 −1 2

. Opravdu ϕ(u1) = (1; 2; 1) = 1 u1, ϕ(v1) = (2; 3; 2) = 2 v1 − v2 a
ϕ(v2) = (1; −1; −4) = v1 + 2 v2.
Poznámka: V komplexní bázi u1, w, ¯w má totéž zobrazení diagonální matici

1 0 0
0 2 + i 0
0 0 2 − i

, která je ale komplexní.
Úloha 1.3.3. Lineární transformace ϕ na R2
je dána maticí A =
1 1
−2 −1
.
Ukažte, že kořeny charakteristického polynomu jsou komplexne sdružené a nalezněte
takovou bázi, ve které má matice ϕ tvar
α β
−β α
. Ukažte, že v (R2
)
C
můžeme nalézt komplexní bázi takovou, že vzhledem k ní má ϕC
diagonální tvar.
1.4. Ortogonální zobrazení a transformace 24
Řešení : Charakteristický polynom ϕ je |A − λ E2| = λ2
+ 1, t.j. jeho kořeny
jsou λ1,2 = ±i. Potom matice homogenní soustavy rovnic (1.2.9) nad komplexními
čísly je
1 − i 1
−2 −1 − i
. Obecné řešení je generováno vektorem w = (1; −1+i) =
(1; −1) + i (0; 1) = v1 + i v2. Potom ϕ(v1) = (0; −1) = −v2 a ϕ(v2) = (1; −1) =
v1, t.j. v bázi v1, v2 prostoru R2
, má ϕ matici
0 1
−1 0
.
Uvažujme nyní lineární transformaci ϕC
v (R2
)
C
a vyjádřeme její matici vzhledem
k bázi w = v1 + i v2, ¯w = v1 − i v2. Matice přechodu od reálné báze v1, v2
ke komplexní bázi w, ¯w je komplexní matice S =
1 1
i −i
. Její inverzní matice
je S−1
= − 1
2i
−i −1
−i 1
. Potom matice ϕC
vzhledem k bázi w, ¯w musí být
−
1
2i
−i −1
−i 1
0 1
−1 0
1 1
i −i
=
i 0
0 −i
.
1.4 Ortogonální zobrazení a transformace
Naše úvahy uzavřeme ortogonálními lineárními zobrazeními a transformacemi
euklidovských vektorových prostorů.
Připomeňme, že euklidovský vektorový prostor je reálný vektorový prostor
V se skalárním součinem, který zanačíme v · u, u, v ∈ V . Všechny báze E =
e1, . . . , en euklidovského vektorového prostoru Vn uvažujeme ortonormální, t.j.
ei · ej = 0 pro i = j a ei · ei = 1, i, j = 1, . . . , n. V libovolné ortonormální bázi
má potom skalární součin vyjádření
v · u = u1v1 + · · · + unvn = u1 . . . un



v1
...
vn


 = (u)T
(v) = (u)T
En(v) ,
kde (u)T
je řádková matice souřadnic vektoru u, která vznikne transponováním
sloupcové matice (u).
1.4. Ortogonální zobrazení a transformace 25
Definice 1.4.1. Lineární zobrazení ϕ z euklidovského vektorového prostoru V
do euklidovského vektorového prostoru W se nazývá ortogonální zobrazení z V
do W, jestliže platí
ϕ(u) · ϕ(v) = u · v (1.4.1)
pro libovolné vektory u, v ∈ V .
Je-li navíc ϕ bijektivní, nazývá se izomorfismus euklidovského vektorového
prostoru V na W. Euklidovské prostory V a W se potom nazývají izomorfní.
Je-li ϕ ortogolální zobrazení V na sebe, nazývá se ortogonální transformace
euklidovského vektorového prostoru V .
Ortogonální lineární zobrazení tedy zachovává skalární součin. Jako důsledek
tak dostáváme, [Ho07].
Důsledek 1.4.1. Nechť ϕ je ortogonální zobrazení z V do W. Pak
1) ϕ(u) = u pro každé u ∈ V .
2) Ortogonální transformace zachovává odchylku vektorů, t.j. pro dva nenulové
vektory u, v je <) (ϕ(u), ϕ(v)) = <) (u, v) .
3) Ortonormální posloupnost e1, . . . , ek ve V se zobrazí na ortonormální posloupnost
ϕ(e1), . . . , ϕ(ek) v W.
4) ϕ je injektivní zobrazení, t.j. dimV ≤ dimW.
Věta 1.4.1. Nechť ϕ je ortogonální zobrazení z V do W. Pak vzhledem k libovolným
ortonormálním bázím ve V a W splňuje matice Aϕ podmínku
AT
ϕ Aϕ = En . (1.4.2)
Důkaz. Nechť E = e1, . . . , en a F = f1, . . . , fm jsou ortonormální báze ve Vn
a Wm. Nechť Aϕ je matice ortogonálního zobrazení ϕ z Vn do Wm vzhledem k
těmto bázím, t.j. ϕ(u) = Aϕ (u). Potom platí
(u)T
En(v) = u · v = ϕ(u) · ϕ(v) = (ϕ(u))T
Em (ϕ(v))
= (Aϕ (u))T
Em (Aϕ (v)) = (u)T
AT
ϕ Aϕ (v)).
Porovnáním prvního a posledního výrazu dostaneme AT
ϕAϕ = En.
Nechť nyní je ϕ ortogonální transformace na euklidovském vektorovém prostoru
Vn. Podmínka (1.4.2) znamená, že matice ortogonální transformace vzhledem
k libovolné ortonormální bázi je ortonormální čtvercová matice. Připomeňme,
že v tomto případě je AT
ϕ = A−1
ϕ , |Aϕ| = ±1.
Věta 1.4.2. Nechť ϕ je ortogonální transformace na Vn. Je-li Uk ⊆ Vn, 0 < k <
n, invariantní podprostor transformace ϕ, je i (n − k)-dimenzionální podprostor
U⊥
k invariantní podprostor transformace ϕ.
1.4. Ortogonální zobrazení a transformace 26
Důkaz. Nechť Uk ⊆ Vn je invariantní podprostor ortogonální transformace ϕ.
Potom pro každý u ∈ Uk je i ϕ(u) ∈ Uk. Protože ϕ|Uk je ortogonální transformace
na Uk je i ϕ−1
(u) ∈ Uk. Potom pro každý v ∈ U⊥
k máme
ϕ(v) · u = ϕ(v) · ϕ(ϕ−1
(u)) = v · ϕ−1
(u) = 0 ,
a tedy ϕ(v) ⊥ u, ∀u ∈ Uk, a ϕ(v) ∈ U⊥
k .
Jako důsledek Věty 1.4.2 tak dostáváme, že má-li ortogonální transformace
ϕ na Vn netriviální invariantní podprostory, je Vn přímým součtem navzájem
ortogonálních podprostorů a existuje taková ortonormální báze Vn, že se v ní
matice ϕ rozpadá na ortonormální diagonální bloky.
Platí ϕ(u) = u a odtud vyplývá, že reálné vlastní hodnoty ortogonální
transformace mohou být pouze 1 a (−1). Opravdu, protože pro vlastní vektor u
příslušný vlastní hodnotě λ máme ϕ(u) = λ u, dostaneme
ϕ(u) = |λ|· u = u
t.j. |λ| = 1. Podobně komplexní kořeny charakteristické rovnice jsou tvaru λ =
cos α ± i sin α, sin α = 0, t.j. dvourozměrný blok odpovídající komplexnímu λ je
ortonormální matice
cos α sin α
− sin α cos α
.
Navíc platí, že vlastní vektory, které patří různým vlastním hodnotám charakteristického
polynomu jsou kolmé. Opravdu, je-li u vlastní vektor příslušný
vlastnímu číslu 1 a v je vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu (−1), máme
u · v = ϕ(u) · ϕ(v) = u · (−v)
a odtud u·v = 0, a tedy u a v jsou kolmé. Vždy je můžeme brát jako jednotkové.
Podobně vlastní vektor, který patří nějaké vlastní hodnotě charakteristického
polynomu, je kolmý na dvoudimenzionální invariantní podprostor, který je přiřazen
komplexnímu kořeni charakteristické rovnice. Je-li totiž w = v1 + i v2
komplexní vektor příslušný komplexnímu koření λ = cos α + i sin α, sin α = 0,
charakteristické rovnice, dostaneme
u · v1 = ϕ(u) · ϕ(v1) = u · (cos α v1 − sin α v2) ,
u · v2 = ϕ(u) · ϕ(v2) = u · (sin α v1 + cos α v2) .
Odtud
(cos α − 1) (u · v1) − sin α (u · v2) = 0 ,
sin α (u · v1) + (cos α − 1) (u · v2) = 0 ,
1.4. Ortogonální zobrazení a transformace 27
což nastává pouze pro u · v1 = 0 a u · v2 = 0, t.j. vektor u je kolmý na podprostor
L(v1, v2). Pro vektor v příslušný vlastnímu číslu (−1) dostáváme analogicky
stejný výsledek.
Konečně, pro komplexní kořen λ = cos α + i sin α, sin α = 0, charakteristické
rovnice jsou příslušné reálné vektory v1, v2 kolmé, a vždy je můžeme brát
jednotkové. Opravdu
v1 · v1 = ϕ(v1) · ϕ(v1) = (cos α v1 − sin α v2) · (cos α v1 − sin α v2)
= cos2
α (v1 · v1) − 2 sin α cos α (v1 · v2) + sin2
α (v2 · v2) ,
což upravíme na
− sin2
α (v1 · v1) − 2 sin α cos α (v1 · v2) + sin2
α (v2 · v2) = 0 . (1.4.3)
Pro v2 · v2 dostaneme stejnou podmínku (1.4.3). Konečně
v1 · v2 = ϕ(v1) · ϕ(v2) = (cos α v1 − sin α v2) · (sin α v1 + cos α v2)
= cos α sin α (v1 · v1) + (cos2
α − sin2
α) (v1 · v2)
− cos α sin α (v2 · v2) ,
t.j.
cos α sin α (v1 · v1) − 2 sin2
α (v1 · v2) − cos α sin α (v2 · v2) = 0 . (1.4.4)
Vynásobením (1.4.3) cos α a (1.4.4) sin α a sečtením dostaneme
−2 sin α (cos2
α + sin2
α) (v1 · v2) = 0 ,
což je splněno právě tehdy, když v1 · v2 = 0, t.j. v1 a v2 jsou kolmé. Potom ale z
(1.4.3) dostaneme
sin2
α (v1 · v1 − v2 · v2) = 0 ,
což je splněno právě tehdy, když v1 · v1 = v2 · v2, t.j. v1 = v2 a vždy můžeme
volit v1 = v2 = 1. Pro komplexní kořen λ = cos α + i sin α, sin α = 0, tak vždy
máme otonormální bázi ve 2-dimenzionálním invariantním podprostoru, který
odpovídá λ.
Zbývá nám už pouze prodiskutovat případ vícenásobných kořenů charakteristického
polynomu ortogonálná transformace ϕ na Vn. Nechť je nejdříve nějaká
vlastní hodnota λ0 (1 nebo (−1)) k-násobným kořenem charakteristického polynomu
ortogonálná transformace. V tomto případě uvažujme libovolný jednotkový
vlastní vektor u1 příslušný k-násobnému kořeni λ0. Označme U1 = L(u1). Potom
je Vn = U1 ⊕U⊥
1 a v libovolné ortonormální bázi ve Vn, ve které použijeme vektor
u1 jako první bázový vektor, má matice transformace tvar Aϕ =
λ0 0
0 An−1
,
1.4. Ortogonální zobrazení a transformace 28
kde An−1 je ortonormální matice řádu (n − 1). Potom |Aϕ − λ En| = (λ0 −
λ)|An−1 − λ En−1| a tedy zúžení ϕ|U⊥
1 je ortogonální transformace na U⊥
1 , jejíž
charakteristický polynom dělí charakteristický polynom ϕ a λ0 je jeho (k − 1)násobným
kořenem. Uvažujme libovolný jednotkový vlastní vektor u2 ∈ U⊥
1
příslušný (k − 1)-násobnému kořeni λ0 charakteristického polynomu ortogonální
transformace ϕ|U⊥
1 a označme U2 = L(u2). Potom U⊥
1 = U2 ⊕ (U1 ⊕ U2)⊥
, t.j.
Vn = U1 ⊕ U2 ⊕ (U1 ⊕ U2)⊥
a v libovolné ortonormální bázi ve Vn, ve které použijeme
vektory u1, u2 jako první bázové vektory, má matice transformace tvar
A =


λ0 0 0
0 λ0 0
0 0 An−2

, kde An−2 je ortonormální matice řádu (n−2). Analogicky
jako v předchozím kroku postupujeme pro ortogonální transformaci ϕ|(U1⊕U2)⊥
a
dále, až nalezneme celkem k ortonormálních vlastních vektorů příslušných vlastní
hodnotě λ0. Je tedy k-dimenzionální podprostor příslušný k-násobné vlastní hodnotě
přímým součtem k ortogonálních jednodimenzionálních vlastních podpro-
storů.
Podobně pro l-násobný, l > 1, komplexní kořen charakteristického polynomu
λ1 = cos α1 + i sin α1, sin α1 = 0, uvažujme invariantní 2-dimenzionální podprostor
W11 = L(v11, v21). Potom Vn = W11 ⊕ W⊥
11 a zúžení ϕ|W⊥
11 na invariantní
(n − 2)-dimenzionální podprostor má charakteristický polynom, pro který je λ1
(l − 1)-násobným kořenem. Pro tento kořen existuje dvoudimenzionální podprostor
W12 = L(v12, v22) ⊆ W⊥
11 invariantní vzhledem k ϕ|W⊥
11, t.j. i vzhledem k ϕ.
Potom Vn = W11 ⊕ W12 ⊕ (W11 ⊕ W12)⊥
. Takto postupujeme dále až po l krocích
dostaneme l vzájemně ortogonálních 2-dimenzionálních podprostorů takových, že
Vn = W11 ⊕ · · · ⊕ W1l ⊕ (W11 ⊕ · · · ⊕ W1l)⊥
.
Dostáváme tak, že l -násobnému komplexnímu kořeni charakteristického polynomu
odpovídá 2 l -dimenzionální invariantní podprostor, který je přímým součtem
l 2-dimenzionálních navzájem ortogonálních podprostorů. V prostoru Vn potom
existuje taková ortonormální báze, že v ní má ϕ matici v blokově diagonálním
tvaru A =





B1 . . . 0 0
...
...
...
0 . . . B1 0
0 . . . 0 An−2 l





, kde blok B1 =
cos α1 sin α1
− sin α1 cos α1
a An−2 l
je ortonormální matice řádu (n−2 l). 0 zde značí nulovou matici příslušného řádu.
Poznámka 1.4.1. Z podoby matice B1 pro komplexní kořen charakteristického
polynomu λ1 = cos α1 + i sin α1, sin α1 = 0, vyplývá , že zúžení ϕ|W1j, j =
1, . . . , l, na 2-dimenzionální podprostor, který odpovídá λ1 je "otočení"prostoru
W1j o úhel α1. Opravdu v1j · ϕ(v1j) = v1j · (cos α1 v1j − sin α1 v2j) = cos α1 a
1.4. Ortogonální zobrazení a transformace 29
podobně v2j · ϕ(v2j) = v2j · (sin α1 v1j + cos α1 v2j) = cos α1. Je tedy odchylka
<) (v1j, ϕ(v1j)) = α1 = <) (v2j, ϕ(v2j)). ♦
Předchozí úvahy můžeme shrnout do následující Věty.
Věta 1.4.3. Nechť k1, k2, j jsou celá nezáporná čísla a nechť ϕ je ortogonální
transformace na Vn, která má 1 jako k1-násobnou vlastní hodnotu, (−1) jako
k2-násobnou vlastní hodnotu a dále má j dvojic komplexně sdružených kořenů s
násobností li, i = 1, . . . , j, t.j. n = k1 + k2 + 2 j
i=0 li. Potom Vn je přímým
součtem
Vn = U1 ⊕ · · · ⊕ Uk1+k2 ⊕ W11 ⊕ · · · ⊕ Wjlj
kde Ui, i = 0, . . . , k1, jsou jednodimenzionální invariantní podprostory příslušné
vlastní hodnotě 1 , Uk1+i, i = 0, . . . , k2, jsou jednodimenzionální invariantní podprostory
příslušné vlastní hodnotě (−1) a Wili
je 2-dimenzionální li-tý invariantní
podprostor daný komplexním kořenem λi, i = 0, . . . , j. Navíc ve Vn existuje ortonormální
báze taková, že v ní má matice transformace ϕ matici v blokově diagonálním
tvaru, kde na diagonále je nejdříve k1 hodnot 1, potom k2 hodnot (−1) a
li bloků Bi =
cos αi sin αi
− sin αi cos αi
řádu 2, i = 0, . . . , j.
Důkaz. Věta vyplývá z předchozích úvah.
Úloha 1.4.1. Ortogonální transformace ϕ na R3
je dána maticí
A =



1
2
√
6
3
−
√
3
6
0 −1
3
−2
√
2
3
−
√
3
2
√
2
3
−1
6


. Rozložte R3
na invariantní podprostory vzhledem k
lineární transformaci ϕ a najděte takovou bázi, ve které se matice ϕ rozpadá na
diagonální bloky.
Řešení : Charakteristický polynom ϕ je |A − λ E3| = −λ3
+ 1, jeho kořeny
jsou λ1 = 1, λ2,3 = −1
2
± i
√
3
2
. Matice homogenní soustavy rovnic (1.2.9) pro
λ1 = 1 je



−1
2
√
6
3
−
√
3
6
0 −4
3
−2
√
2
3
−
√
3
2
√
2
3
−7
6


 a obecné řešení této soustavy je generováno jednotkovým
vektorem u1 = (
√
6
3
; 1
3
; −
√
2
3
). Dále pro komplexní kořen λ2 = −1
2
+
i
√
3
2
uvažujeme homogenní soustavu rovnic (1.2.9) nad komplexními čísly s ma-
ticí



1 − i
√
3
2
√
6
3
−
√
3
6
0 1
6
− i
√
3
2
−2
√
2
3
−
√
3
2
√
2
3
1
3
− i
√
3
2


. Obecné řešení je generováno vektorem s jednotkovými
reálými a imaginárními částmi w = (−
√
3
6
− i1
2
; 2
√
2
3
; 1
6
− i
√
3
2
) =
1.4. Ortogonální zobrazení a transformace 30
(−
√
3
6
; 2
√
2
3
; −1
6
)+i (−1
2
; 0; −
√
3
2
) = v1 +i v2. Potom R3
= U1 ⊕W2, kde U1 = L(u1)
je vlastní směr příslušný vlastní hodnotě λ1 = 1 a W2 = L(v1, v2) je dvoudimenzionální
invariantní podprostor příslušný kořenům λ2,3 = −1
2
± i
√
3
2
. Snadno se
vidí, že báze u1, v1, v2 je ortonormální a že v ní má ϕ matici


1 0 0
0 −1
2
√
3
2
0 −
√
3
2
−1
2

.
Kapitola 2
AFINNÍ ZOBRAZENÍ
V této kapitole budeme studovat zobrazení afinních prostorů, která zobecňují
dobře známá zobrazení euklidovských prostorů. Poprvé tato zobrazení studoval
Leonard Euler v roce 1738 v práci Introductio in analysis infinitorum. Název
afinní zobrazení je odvozen od latinského slova affinis, tj. příbuzný, a vyjadřuje
vztah mezi křivkami, které se v těchto zobrazeních na sebe zobrazují. Příkladem
takovýchto příbuzných křivek je elipsa, která je afinním obrazem kružnice.
Všude v této kapitole předpokládáme, že afinní prostory (značíme A, B, . . . )
jsou reálné a konečnědimenzionální. Pokud bude nutno zvýraznit dimenzi, budeme
pro afinní prostor A dimenze n používat označení An.
2.1 Afinní zobrazení
V této části skript definujeme afinní zobrazení a popíšeme některé vlastnosti afinních
zobrazení. Základním pojmem, který je nutný pro definici afinního zobrazení,
je dělící poměr tří kolineárních (ležících na jedné přímce) bodů, [HoJa]. Připomeňme,
že pro tři kolineární různé body A, B, C ∈ A, definujeme dělící poměr
bodu C vzhledem k bodům A, B (v tomto pořadí), jako reálné číslo λ = (C; A, B)
takové, že
−→
AC = λ
−−→
BC ,
kde 0 = λ = 1.
Definice 2.1.1. Zobrazení f afinního prostoru A do afinního prostoru A se
nazývá afinní zobrazení, jestliže má následující vlastnost: leží-li navzájem různé
body A, B, C ∈ A na přímce, pak buď jejich obrazy f(A), f(B), f(C) splývají,
nebo jsou navzájem různé, leží na jedné přímce a
(f(C); f(A), f(B)) = (C; A, B) .
31
2.1. Afinní zobrazení 32
Poznámka 2.1.1. Afinní zobrazení tedy můžeme charakterizovat jako lineární
zobrazení (zobrazuje přímky na přímky) afinních prostorů, které navíc zachovává
dělící poměr tří bodů. Existují lineární zobrazení, která nezachovávají dělící poměr
tří bodů, např. středové projekce. ♦
Příklad 2.1.1. Všechna shodná a podobná zobrazení, se kterými jsme se setkali
na střední škole, jsou afinní zobrazení. Podobně také rovnoběžné promítání prostoru
(dimenze 3) do roviny, které se používá v konstrukční geometrii, je afinní
zobrazení. Středové promítání prostoru do roviny není afinní zobrazení. ♥
Věta 2.1.1. Zobrazení f : A → A je afinní právě tehdy, když
−→
AC = λ
−−→
BC ⇒
−−−−−−→
f(A)f(C) = λ
−−−−−−→
f(B)f(C) , (2.1.1)
kde A, B, C ∈ A.
Důkaz. Nejdříve ukážeme, že pro afinní zobrazení je splněna implikace (2.1.1).
Jsou-li A, B, C ∈ A tři různé kolineární body, splňuje λ = (C; A, B), 0 = λ =
1, předpoklad implikace (2.1.1). Podle Definice 2.1.1 jsou buď f(A) = f(B) =
f(C), a tedy
−−−−−−→
f(A)f(C) = o = λ
−−−−−−→
f(B)f(C), nebo f(A), f(B), f(C) jsou tři různé
kolineární body takové, že λ = (f(C); f(A), f(B)), tj. z definice dělícího poměru
−−−−−−→
f(A)f(C) = λ
−−−−−−→
f(B)f(C). Implikace (2.1.1) je tedy splněna.
Nechť naopak platí implikace (2.1.1) pro libovolnou trojici bodů A, B, C ∈ A
splňující předpoklad. Pokud jsou body A, B, C různé, musí být z předpokladu
implikace kolineární a λ = (C; A, B), 0 = λ = 1. Pokud f(A) = f(C), dostaneme
o = λ
−−−−−−→
f(B)f(C), tj. f(B) = f(C). Podobně, pro f(B) = f(C), dostaneme o =
−−−−−−→
f(A)f(C), tj. f(A) = f(C). Konečně, pro f(A) = f(B), dostaneme
−−−−−−→
f(A)f(C) =
λ
−−−−−−→
f(A)f(C). To je možné buď pro λ = 1, což je ale ve sporu s předpokladem,
nebo f(A) = f(C). Dohromady tak dostáváme, že podkud splývají dva z bodů
f(A), f(B), f(C), musí s nimi splývat i třetí. Nechť jsou konečně všechny body
f(A), f(B), f(C) ∈ A různé, potom
−−−−−−→
f(A)f(C) = λ
−−−−−−→
f(B)f(C) je ekvivalentní s
tím, že jsou tyto body kolineární a λ = (f(C); f(A), f(B)). Je tedy f splňující
implikaci (2.1.1) afinní zobrazení.
Věta 2.1.2. Nechť f : A → A je afinní zobrazení. Potom pravidlo
ϕf (
−→
AB) =
−−−−−−→
f(A)f(B)
určuje lineární zobrazení ϕf ze Z(A) do Z(A ).
Důkaz. Nejdříve se musí ukázat, že ϕf je korektně definované zobrazení, tj. že
nezávisí na umístění vektoru u =
−→
AB. Nechť
−−→
CD je jiné umístění vektoru u. Z
2.1. Afinní zobrazení 33
Obrázek 2.1.1: K důkazu Věty 2.1.2
ekvipolence to nastává právě tehdy, když středy úseček AD a BC splývají (viz
Obrázek 2.1.1).
Protože afinní zobrazení zachovává dělicí poměr, zobrazí střed úsečky opět
do středu úsečky (střed úsečky je bod s dělícím poměrem minus jedna vzhledem
ke krajním bodům). Odtud je bod f(S) společným středem úseček f(A)f(D) a
f(B)f(C), a tedy vektory
−−−−−−→
f(A)f(B) a
−−−−−−→
f(C)f(D) jsou umístěním téhož vektoru
ϕf (u). Je tedy ϕf korektně definované zobrazení.
Nechť u =
−→
AB a v =
−−→
BC jsou dva vektory. Podle druhého axiomu afinního
prostoru je u + v =
−→
AB +
−−→
BC =
−→
AC. Potom ϕf (u) + ϕf (v) =
−−−−−−→
f(A)f(B) +
−−−−−−→
f(B)f(C) =
−−−−−−→
f(A)f(C) = ϕf (u+v) a je tedy splněna první podmínka pro lineární
zobrazení.
Nechť u =
−→
AB a v =
−→
AC jsou dva vektory takové, že v = ku, tj.
−→
AC =
k
−→
AB. Odtud je podle Věty 2.1.1
−−−−−−→
f(A)f(C) = k
−−−−−−→
f(A)f(B), což znamená, že ϕf (v)
= kϕf (u), a tedy ϕf je lineární zobrazení.
Definice 2.1.2. Lineární zobrazení ϕf : Z(A) → Z(A ) definované v předchozí
Větě 2.1.2 se nazývá asociované lineární zobrazení afinního zobrazení f : A →
A .
Poznámka 2.1.2. Asociované lineární zobrazení daného afinního zobrazení f je
tedy jediné lineární zobrazení takové, že komutuje následující diagram
A × A
f × fE A × A
Z(A)
→
c ϕf
E Z(A )
→
c
♦
Ve Větě 2.1.2 jsme jednoznačně danému afinnímu zobrazení f : A → A
2.1. Afinní zobrazení 34
přiřadili asociované lineární zobrazení ϕf : Z(A) → Z(A ). Opačně ale dané
lineární zobrazení ještě neurčuje afinní zobrazení.
Věta 2.1.3. Nechť ϕ : Z(A) → Z(A ) je lineární zobrazení a nechť B ∈ A a
B ∈ A jsou libovolné body. Pak existuje jediné afinní zobrazení f : A → A
takové, že f(B) = B a ϕ ≡ ϕf .
Důkaz. Existence: Nechť libovolný bod X ∈ A má vyjádření X = B + u =
B +
−−→
BX. Definujme zobrazení f : A → A předpisem
f(X) = B + ϕ(u) . (2.1.2)
Ukážeme, že f je afinní zobrazení. Stačí dokázat platnost (2.1.1). Nechť tedy
X, Y, Z ∈ A jsou tři různé body takové, že
−−→
XZ = λ
−→
Y Z. Potom
−−−−−−−→
f(X)f(Z) = f(Z) − f(X) = B + ϕ(
−→
BZ) − B − ϕ(
−−→
BX)
= ϕ(
−→
BZ −
−−→
BX) = −ϕ(
−−→
ZX) = ϕ(
−−→
XZ)
= ϕ(λ
−→
Y Z) = λϕ(
−→
Y Z) = λϕ(
−−→
Y B +
−→
BZ)
= λ(ϕ(
−→
BZ) − ϕ(
−−→
BY )) = λ((f(Z) − B ) − (f(Y ) − B ))
= λ(f(Z) − f(Y )) = λ
−−−−−−→
f(Y )f(Z) .
Snadno se nahlédne, že f(B) = B a ϕf ≡ ϕ.
Jednoznačnost: Nechť g : A → A je afinní zobrazení takové, že g(B) = B a
ϕg ≡ ϕ. Potom g(X) = g(B +u) = g(B)+ϕg(u) = B +ϕ(u) a odtud g ≡ f.
Označme jako f(A) úplný obraz afinního prostoru A, tj.
f(A) = {X ∈ A |∃X ∈ A : f(X) = X } .
Věta 2.1.4. f(A) je afinní podprostor v A .
Důkaz. Zvolme libovolný bod B ∈ A. Potom každý bod X ∈ A je tvaru X =
B + u, u ∈ Z(A), a
f(A) = {f(X) = f(B) + ϕf (u)|∀u ∈ Z(A)} = {f(B); Im(ϕf )} ,
tj. f(A) je afinní podprostor v A určený bodem f(B) a zaměřením Im(ϕf ).
Poznámka 2.1.3. Protože f(A) je afinní podprostor v A , je dim(f(A)) ≤
dim A a podobně je dim(f(A)) ≤ dim A (to plyne z toho, že pro lineární zobrazení
ϕf je dim(Im(ϕf )) ≤ dim Z(A)). Přitom dim(f(A)) = dim A právě tehdy,
když f je prosté, a dim(f(A)) = dim A právě tehdy, když f je surjektivní. ♦
2.1. Afinní zobrazení 35
Věta 2.1.5. Afinní zobrazení f je prosté právě tehdy, když jeho asociované zobrazené
ϕf je prosté. Afinní zobrazení f je surjektivní právě tehdy, když jeho asociované
zobrazené ϕf je surjektivní.
Důkaz. Pro každé dva body X, Y ∈ A platí
−−−−−−−→
f(X)f(Y ) = ϕf (
−−→
XY ). Není-li f
prosté, existují dva různé body X, Y takové, že f(X) = f(Y ) a tedy existuje
nenulový vektor u =
−−→
XY takový, že ϕf (u) = o, tj. ϕf není prosté. Není-li naopak
ϕf prosté, existuje nenulový vektor u takový, že ϕf (u) = o a f(X +u) = f(X)+
ϕf (u) = f(X). Protože X = X +u není ani f prosté. Dohromady tak dostáváme,
že f je prosté právě tehdy, když ϕf je prosté.
Nechť f je surjektivní zobrazení a v ∈ Z(A ) je libovolný vektor. Nechť K ,
L ∈ A jsou takové body, že v =
−−→
K L . Pak existují body K, L ∈ A takové,
že f(K) = K , f(L) = L a odtud ϕf (v) = v , kde v =
−−→
KL. Tedy také ϕf je
surjektivní. Nechť obráceně ϕf je surjektivní zobrazení a Z ∈ A je libovolný bod.
Zvolme libovolný bod B ∈ A a položme v =
−−−−→
f(B)Z. Podle předpokladu existuje
vektor v ∈ Z(A) takový, že ϕf (v) = v . To ale znamená, že Z = f(B) + ϕf (v) =
f(B + v), a tedy f je surjektivní.
Definice 2.1.3. Hodností afinního zobrazení f : A → A rozumíme dimenzi
podprostoru f(A). Hodnost afinního zobrazení f budeme označovat h(f).
Poznámka 2.1.4. Protože hodnost afinního zobrazení je dána dimenzí f(A),
která je dána dimenzí Imϕf , je h(f) = h(ϕf ). ♦
Důsledek 2.1.1. Nechť f : An → Am je afinní zobrazení. Pak:
1. f je prosté ⇔ h(f) = n ≤ m;
2. f je surjektivní ⇔ n ≥ h(f) = m;
3. f je bijekce ⇔ h(f) = n = m.
Důkaz. Využijeme Větu 2.1.4 a Poznámku 2.1.3.
1. f je prosté ⇔ n = dim A = dim f(A) ≤ dim A = m.
2. f je surjektivní ⇔ f(A) ≡ A ⇔ m = dim A = dim f(A) ≤ dim A = n.
3. Toto tvrzení je přímým důsledkem 1. a 2. tvrzení věty.
Věta 2.1.6. Afinní zobrazení f : A → A zobrazuje podprostor v A na podprostor
v A a zachovává rovnoběžnost podprostorů.
Důkaz. Nechť B ⊂ A je podprostor určený bodem B a zaměřením W, tj. B =
{B; W}. Potom X ∈ B je ekvivalentní X = B + w, kde w ∈ W. Odtud
f(B) = {f(B) + ϕf (w)|w ∈ W}
2.1. Afinní zobrazení 36
a protože Im(ϕf |W) = ϕf (W) je vektorový podprostor v Z(A ), je f(B) =
{f(B); ϕf (W)} afinní podprostor v A .
Nechť B = {B; W} a C = {C; U} jsou dva rovnoběžné podprostory v A.
Připomeňme, že B C ⇔ W ⊆ U ∨ U ⊆ W. Odtud ϕf (W) ⊆ ϕf (U) ∨ ϕf (U) ⊆
ϕf (W), což je ekvivalentní f(B) f(C).
Poznámka 2.1.5. Afinní zobrazení nezachovává obecně dimenzi prostoru, proto
se např. dvě rovnoběžné přímky zobrazí buď do rovnoběžných přímek nebo na
dva body, které ale chápeme také jako rovnoběžné afinní podprostory. ♦
Věta 2.1.7. Je-li f : A → A afinní zobrazení a B ⊆ A afinní podprostor, je
f|B : B → A afinní zobrazení a jeho asociované lineární zobrazení je ϕf |Z(B).
Důkaz. Toto tvrzení je přímým důsledkem Definice 2.1.1 a Věty 2.1.1. Opravdu,
pokud platí (2.1.1) pro libovolné body A, B, C ∈ A, platí to i pro A, B, C ∈ B ⊆
A.
Věta 2.1.8. Nechť f : A → A a g : A → A jsou dvě afinní zobrazení. Potom
g ◦ f : A → A je opět afinní zobrazení takové, že ϕg◦f = ϕg ◦ ϕf .
Důkaz. Platí-li pro tři body A, B, C ∈ A rovnost
−→
AC = λ
−−→
BC, platí také rovnost
−−−−−−→
f(A)f(C) = λ
−−−−−−→
f(B)f(C) protože f je afinní zobrazení. Potom ale také
−−−−−−−−−−−→
g(f(A))g(f(C)) = λ
−−−−−−−−−−−→
g(f(B))g(f(C))
protože i g je afinní zobrazení. Podle Věty 2.1.1 je tedy g ◦ f afinní zobrazení.
Pro asociované lineární zobrazení dostaneme ϕg◦f (
−→
AB) =
−−−−−−−−−−−→
g(f(A))g(f(B)) =
ϕg(
−−−−−−→
f(A)f(B)) = ϕg(ϕf (
−→
AB) = (ϕg ◦ ϕf )(
−→
AB).
Věta 2.1.9. (O určenosti afinního zobrazení) Nechť A0, . . . , An ∈ An jsou
libovolné body v obecné poloze a nechť A0, . . . , An ∈ Am jsou libovolné body.
Pak existuje právě jedno afinní zobrazení f : An → Am takové, že f(Ai) = Ai,
i = 1, . . . , n.
Důkaz. Předpoklad, že body A0, . . . , An ∈ An jsou v obecné poloze je ekvivalentní
s tím, že vektory
−−−→
A0A1, . . . ,
−−−→
A0An tvoří bázi Z(An). Definujme zobrazení ϕ :
Z(An) → Z(Am) předpisem ϕ(
−−−→
A0Ai) =
−−−→
A0Ai, i = 1, . . . , n. Podle Věty 1.1.2
je hodnotami na bázi určeno jediné lineární zobrazení ϕ a podle Věty 2.1.3 je
předpisem
f(X) = A0 + ϕ(
−−→
A0X)
určeno jediné afinní zobrazení, které má zřejmě požadované vlastnosti, protože
f(Ai) = A0 + ϕ(
−−−→
A0Ai) = A0 +
−−−→
A0Ai = Ai ,
jak plyne z předpokladu.
2.1. Afinní zobrazení 37
Poznámka 2.1.6. Afinní zobrazení z afinní roviny A2 je tedy určeno obrazy tří
bodů v obecné poloze (vrcholů trojúhelníka) a afinní zobrazení z afinního prostoru
A3 je určeno obrazy čtyř bodů v obecné poloze (vrcholů čtyřstěnu). Specielně tak
např. dostáváme, že libovolné dva trojúhelníky ABC a A B C v A2 jsou
afinní ve smyslu, že existuje jediné afinní zobrazení A2 na sebe, které zobrazí
ABC na A B C . ♦
Úloha 2.1.1. Nechť je dána afinní rovina A2, v ní přímka p a směr L(s) nerovnoběžný
s p. Dokažte, že zobrazení, které každému bodu X ∈ A2 přiřadí bod
X = p ∩ {X; L(s)} je afinní zobrazení A2 na p.
Řešení : Nechť X, Y, Z ∈ A2 jsou tři různé body ležící na jedné přímce q. Potom
buď q s, a tedy X = Y = Z , nebo q není rovnoběžná s s a X , Y , Z
jsou tři různé kolineární body (leží na přímce p). Musíme ještě ukázat, že např.
(Z; X, Y ) = (Z ; X , Y ) (viz Obrázek 2.1.2). To je ovšem důsledkem Věty 8.4
Obrázek 2.1.2: K Úloze 2.1.1
skript [HoJa]. Tato věta říká, že jsou-li s1, s2, s3 tři různé navzájem rovnoběžné
přímky, potom je libovolná s nimi různoběžná přímka r protíná v trojici bodů
Si = si ∩ r a dělící poměr (S3; S1, S2) je konstantní, nezávislý na volbě přímky r.
Aplikací této věty na s1 = {X; L(s)} s2 = {Y ; L(s)} s3 = {Z; L(s)} a přímky
p, q dostaneme požadovaný výsledek.
Úloha 2.1.2. V A2 je dán ABC a libovolné tři body A , B , C . Určete obraz
libovolného bodu X v afinním zobrazení A2 do A2, které zobrazí A → A , B →
B , C → C .
Řešení : Úlohu vyřešíme konstrukčně nejdříve pro obecný případ, kdy jsou body
A , B , C v obecné poloze (viz Obrázek 2.1.3). Je-li bod X1 totožný s některým
bodem A, B, C, je i jeho obraz X1 totožný s příslušným bodem A , B , C (na
Obrázku 2.1.3 je to bod B). Leží-li bod X2 na některé z přímek určené body
A, B, C, např. na přímce AC, leží jeho obraz na obrazu této přímky tak, že se
zachová dělící poměr vzhledem k příslušným vrcholům. Tedy na přímce A C
existuje jediný bod X2 takový, že (X2; A, C) = (X2; A , C ). Konečně, neleží-li
2.2. Analytické vyjádření afinního zobrazení 38
Obrázek 2.1.3: K Úloze 2.1.2
bod X3 na žádné z přímek určené body A, B, C, spojíme ho s libovolným z těchto
bodů, např. s bodem C, a označíme Y průsečík této spojnice s přímkou určenou
zbývajícími body, tj. body A, B. Podle předchozího kroku existuje jediný bod Y
na na přímce A B , takový, že (Y ; A, B) = (Y ; A , B ) . Potom je bod X3 jediný
bod na přímce C Y takový, že (X3; Y, C) = (X3; Y , C ).
Situace, kdy jsou body A , B , C kolineární různé se vyřeší naprosto stejně.
Splývají-li některé dva z bodů A , B , C , např. A = B , pak každý bod přímky
AB se zobrazí do bodu A . Jinak je postup zachován.
Pokud splynou všechny body A , B , C , je obraz libovolného bodu X roven
A .
2.2 Analytické vyjádření afinního zobrazení
Nechť R = P; e1, . . . , en je afinní repér v afinním prostoru An a nechť dále R =
Q; d1, . . . , dm je afinní repér v afinním prostoru Am. Uvažujme afinní zobrazení
f : An → Am a jeho asociované zobrazení ϕf : Z(An) → Z(Am). Označme jako
[b1; . . . ; bm] afinní souřadnice bodu f(P) ∈ Am v repéru R , tj.
f(P) = Q +
m
j=1
bjdj .
Označme (a1i; . . . ; ami) souřadnice vektoru ϕf (ei) v bázi d1, . . . , dm , tj.
ϕf (ei) =
m
j=1
ajidj , i = 1, . . . , n .
Nechť X ∈ An je libovolný bod, který má v repéru R afinní souřadnice [x1; . . . ; xn],
tj.
X = P +
n
i=1
xiei .
2.2. Analytické vyjádření afinního zobrazení 39
Souřadnice bodu f(X) ∈ Am v repéru R označme [x 1; . . . ; x m], tj.
f(X) = Q +
m
j=1
xjdj . (2.2.1)
Na druhé straně
f(X) = f(P +
n
i=1
xiei) = f(P) + ϕf (
n
i=1
xiei)
= f(P) +
n
i=1
xiϕf (ei) (2.2.2)
= Q +
m
j=1
bjdj +
n
i=1
xi
m
j=1
ajidj .
Protože je souřadnicové vyjádření bodu dáno jednoznačně, dostaneme porovnáním
souřadnicových vyjádření (2.2.1) a (2.2.2) vztah pro souřadnice bodů X a
f(X) ve tvaru
xj =
n
i=1
ajixi + bj , j = 1, . . . , m , (2.2.3)
který budeme častěji psát maticově



x1
...
xm


 =



a11 · · · a1n
...
...
am1 · · · amn






x1
...
xn


 +



b1
...
bm


 , (2.2.4)
nebo symbolicky
(f(X)) = A(X) + B , (2.2.5)
kde (X) =



x1
...
xn


 označuje sloupcovou matici souřadnic bodu X vzhledem k afinnímu
repéru R a (f(X)) = (X ) =



x1
...
xm


 označuje sloupcovou matici souřadnic
bodu f(X) vzhledem k afinnímu repéru R .
Naopak uvažujme reálnou matici A = (aij) typu m/n, reálnou matici B = (bi)
typu m/1 a zobrazení, které každému bodu X = [x1; . . . ; xn] ∈ An přiřadí bod
f(X) = X = [x 1; . . . ; x m] ∈ Am takový, že
xj =
n
i=1
ajixi + bj , j = 1, . . . , m . (2.2.6)
2.2. Analytické vyjádření afinního zobrazení 40
Ukážeme, že f je afinní zobrazení. Uvažujme tři body X, Y, Z ∈ An takové, že
−−→
XZ = λ
−→
Y Z. V souřadnicích to znamená, že (zi − xi) = λ(zi − yi), ∀i = 1, . . . , n.
Pro souřadnice [x 1; . . . ; x m], [y 1; . . . ; y m], [z 1; . . . ; z m] obrazů X , Y , Z bodů
X, Y, Z pak dostaneme
zj − xj =
n
i=1
ajizi + bj − (
n
i=1
ajixi + bj) =
n
i=1
aji(zi − xi)
= λ
n
i=1
aji(zi − yi) ,
zj − yj =
n
i=1
ajizi + bj − (
n
i=1
ajiyi + bj) =
n
i=1
aji(zi − yi) ,
tj.
−−→
X Z = λ
−−→
Y Z a podle Věty 2.1.1 je f afinní zobrazení.
Předchozí úvahy tak můžeme shrnout do následující věty.
Věta 2.2.1. Nechť jsou dány afinní repéry R = P; e1, . . . , en v An a R =
Q; d1, . . . , dm v Am. Je-li f : An → Am afinní zobrazení, pak existuje reálná
matice A = (aij) typu m/n a reálná matice B = (bi) typu m/1 takové, že pro
souřadnice bodu X = [x1; . . . ; xn] a f(X) = [x 1; . . . ; x m] platí vztah (2.2.4).
Naopak, je-li A = (aij) reálná matice typu m/n a B = (bi) reálná matice
typu m/1, je zobrazení, které každému bodu X = [x1; . . . ; xn] ∈ An přiřadí bod
f(X) = X = [x 1; . . . ; x m] ∈ Am takový, že
xj =
n
i=1
ajixi + bj , j = 1, . . . , m (2.2.7)
afinní zobrazení.
Definice 2.2.1. Vztahy (2.2.3) – (2.2.5) se nazývají souřadnicovým vyjádřením
nebo souřadnicovými rovnicemi afinního zobrazení f vzhledem k daným afinním
repérům R a R .
Poznámka 2.2.1. Při pevně zvolených afinních repérech v An a Am je tedy
vztah mezi afinními zobrazeními a maticemi A, B vzájemně jednoznačný. Z výše
popsaného popisu souřadnicového vyjádření afinního zobrazení vyplývá, jaký je
geometrický význam matic A, B. Matice A je typu m/n a její sloupce jsou souřadnice
vektorů ϕf (ei) ∈ Z(Am) vzhledem k bázi d1, . . . , dm . Sloupcová matice
B typu m/1 je tvořena souřadnicemi bodu f(P) ∈ Am vzhledem k repéru R , tj.
B = (f(P)). ♦
2.2. Analytické vyjádření afinního zobrazení 41
Poznámka 2.2.2. Afinní repér R v An (respektive R v Am) je možno chápat
jako bijekci R : An → Rn
(respektive R : Am → Rm
), [HoJa]. Souřadnicové
vyjádření afinního zobrazení f : An → Am je potom zobrazení z Rn
do Rm
, které
je dáno složením zobrazení R ◦ f ◦ R−1
podle následujícího diagramu
An
'
R−1
Rn
Am
f
c R E Rm
c
♦
Definice 2.2.2. Matice A v (2.2.5) se nazývá matice afinního zobrazení f vzhledem
k daným afinním repérům R a R .
Poznámka 2.2.3. Z definice hodnosti afinního zobrazení je zřejmé, že h(f) =
h(A), kde A je matice zobrazení vzhledem k libovolným repérům. ♦
Příklad 2.2.1. Množinu reálných čísel R můžeme chápat jako jednorozměrný
afinní prostor. Potom lineární funkce f(x) = ax + b je vlastně afinní zobrazení
f : R → R. ♥
Uvažujme vektor u =
−−→
XY = (u1; . . . ; un) ∈ Z(An). Z definice asociovaného
lineárního zobrazení je v souřadnicích
(ϕf (u)) = A(Y ) + B − (A(X) + B) = A((Y ) − (X)) = A(u) ,
tj. souřadnicové vyjádření asociovaného lineárního zobrazení ϕf je tvaru



u1
...
um


 =



a11 · · · a1n
...
...
am1 · · · amn






u1
...
un


 , (2.2.8)
nebo maticově
(u ) = A(u) , (2.2.9)
kde (ϕf (u)) = (u ) =



u1
...
um


 označuje sloupcovou matici souřadnic vektoru ϕf (u)
vzhledem k afinnímu repéru R . Matice A je tedy současně i maticí ϕf v bázích
e1, . . . , en na Z(An) a d1, . . . , dm na Z(Am).
Matice A, B přiřazené afinnímu zobrazení závisí na zvolených afinních repérech.
V následující větě si ukážeme, jaký je vztah mezi maticemi téhož afinního
zobrazení v různých afinních repérech.
2.2. Analytické vyjádření afinního zobrazení 42
Věta 2.2.2. Nechť R, ¯R jsou dva afinní repéry na An a R , ¯R jsou dva afinní
repéry na Am. Označme transformační rovnice přechodu od repéru R k repéru ¯R
maticově (X) = K( ¯X)+L a transformační rovnice přechodu od repéru R k repéru
¯R maticově (X ) = M( ¯X ) + N. Nechť f : An → Am je afinní zobrazení, které
má souřadnicové vyjádřejí vzhledem k repérům R a R dáno maticově (X ) =
A(X) + B a souřadnicové vyjádřejí vzhledem k repérům ¯R a ¯R je dáno maticově
( ¯X ) = C( ¯X) + D. Pak
C = M−1
AK, D = M−1
(AL + B − N) . (2.2.10)
Důkaz. Do maticové rovnice f vzhledem k repérům R a R dosadíme na levou
stranu transformační rovnice přechodu od repéru R k repéru ¯R a na pravou
stranu transformační rovnice přechodu od repéru R k repéru ¯R. Dostaneme
M( ¯X ) + N = A(K( ¯X) + L) + B .
Protože je matice M regulární, dostaneme odtud úpravou
( ¯X ) = M−1
AK( ¯X) + M−1
(AL + B − N) ,
což je maticový zápis souřadnicového vyjádření f vzhledem k repérům ¯R a ¯R .
Porovnáním s původním zápisem potom dostaneme tvrzení věty.
Protože souřadnicové vyjádření afinního zobrazení je závislé na zvolených afinních
repérech, zajímá nás, zda není možné zvolit afinní repéry tak, aby mělo afinní
zobrazení nejjednodušší možné rovnice. Dostáváme větu.
Věta 2.2.3. Nechť f : An → Am je afinní zobrazení hodnosti h. Potom existují
takové afinní repéry R = P; e1, . . . , en v An a R = Q; d1, . . . , dm v Am, že
vzhledem k těmto repérům má f souřadnicové vyjádření
x1 = x1 , xh+1 = 0 ,
...
... (2.2.11)
xh = xh , xm = 0 .
Důkaz. Afinní repér R = P; e1, . . . , en v An zvolíme libovolně tak, aby vektory
ej, j = h + 1, . . . , n, ležely v Ker(ϕf ). To znamená že vektory ϕf (ei),
i = 1, . . . , h, jsou lineárně nezávislé a tvoří bázi v Imϕf ⊆ Z(Am). Afinní repér
R = Q; d1, . . . , dm v Am volíme následujícím způsobem. Q = f(P),
di = ϕf (ei), i = 1, . . . , h, dj, j = h + 1, . . . , m, volíme libovolně tak aby
d1, . . . , dm byla báze Z(Am). V takto zvolených repérech má f uvedené rovnice
(4.1.1).
2.2. Analytické vyjádření afinního zobrazení 43
Poznámka 2.2.4. Afinní repéry ztotožňují afinní prostor An s Rn
a afinní prostor
Am s Rm
. Potom z předchozí Věty 2.2.3 a Poznámky 2.2.2 vyplývá, že souřadnicové
vyjádření injektivního afinního zobrazení f : An → Am, h(f) = n ≤ m,
je ve vhodně zvolených souřadnicích vlastně kanonické vložení Rn
do Rm
, kdy
uspořádanou n-tici [x1; . . . ; xn] doplníme na m-tici reálných čísel nulami, tj.
[x1; . . . ; xn] → [x1; . . . ; xn; 0; . . . ; 0].
Podobně pro surjektivní afinní zobrazení, kdy h(f) = m ≤ n, je ve vhodných
souřadnicích toto zobrazení vyjádřeno jako kanonická projekce Rn
na Rm
,
kdy z uspořádané n-tice [x1; . . . ; xn] vezmeme pouze prvních m členů a ostatní
vynecháme, tj. [x1; . . . ; xm; xm+1; . . . ; xn] → [x1; . . . ; xm]. ♦
Věta 2.2.4. Nechť na afinním prostoru An je dán repér R, na afinním prostoru
Am je dán repér R a na afinním prostoru A p je dán repér R . Nechť f : An →
Am je afinní zobrazení, které má vzhledem k repérům R a R maticové vyjádření
(X ) = A(X) + B. Nechť g : Am → A p je afinní zobrazení, které má vzhledem
k repérům R a R maticové vyjádření (X ) = C(X ) + D. Pak afinní zobrazení
g ◦ f : An → A p má vzhledem k repérům R a R maticové vyjádření
(X ) = CA(X) + CB + D . (2.2.12)
Důkaz. Stačí dosadit z maticového vyjádření f do maticového vyjádření g.
Poznámka 2.2.5. Matice složeného zobrazení g ◦ f je tedy součin matic původních
zobrazení v příslušném pořadí. Protože B je matice tvořená souřadnicemi
obrazu počátku repéru R v zobrazení f, je matice CB + D obrazem počátku
repéru R v zobrazení g ◦ f, a to je v souladu s geometrickým významem těchto
koeficientů popsaným v Poznámce 2.2.1. ♦
Úloha 2.2.1. Afinní zobrazení f : A2 → A3 je dáno obrazy tří bodů A1, A2, A3
v obecné poloze. Určete rovnice tohoto zobrazení jestliže vzhledem k nějakým
afinním repérův R v A2 a R v A3 je A1 = [1; 1] → A1 = [4; 4; 0] , A2 =
[−1; 1] → A2 = [2; 8; 0] , A3 = [−1; −1] → A3 = [−2; 2; −2] .
Řešení : Označme jako obvykle afinní souřadnice na A2 jako [x; y] a na A3 jako
[x ; y ; z ]. Potom rovnice afinního zobrazení f : A2 → A3 jsou dány maticově


x
y
z

 =


a11 a12
a21 a22
a31 a32

 x
y
+


b1
b2
b3

 .
Dosazením souřadnic bodů Ai na pravou stranu a souřadnic bodů Ai na levou
stranu souřadnicových rovnic dostaneme soustavu devíti nehomogenních lineárních
rovnic pro devět koeficientů aij, bi, i = 1, 2, 3, j = 1, 2. Tato soustava se
rozpadne na tři soustavy pro koeficienty jednotlivých řádků a tyto soustavy mají
2.2. Analytické vyjádření afinního zobrazení 44
stejnou matici zhomogenizované soustavy. Dají se tedy řešit současně úpravami
matic. Dostaneme


1 1 1 4 4 0
−1 1 1 2 8 0
−1 −1 1 −2 2 −2

 ∼


1 0 0 1 −2 0
0 1 0 2 3 1
0 0 1 1 3 −1

 .
Sloupce za čarou odpovídají neznámým příslušného řádku matic A a B a souřadnicové
rovnice zobrazení f je tvaru


x
y
z

 =


1 2
−2 3
0 1

 x
y
+


1
3
−1

 .
Praktická poznámka : Při úpravě matice soustavy na schodovitý tvar je výhodné
převést matici před čarou až na jednotkovou matici. Potom za čarou dostaneme
přímo výsledek. Ve sloupcích za čarou jsou koeficienty příslušných řádků
matic A a B.
Úloha 2.2.2. Určete maticovou rovnici afinního zobrazení f : A3 → A3, jestliže
jsou v souřadnicích vzhledem k pevnému afinnímu repéru R = P; e1, e2, e3 dány
obrazy ϕf (v1), ϕf (v2), ϕf (v3) vektorů v1, v2, v3 v homomorfismu ϕf asociovaném
s f a obraz f(R) = R bodu R : v1 = (1; 1; 0) → ϕf (v1) = (1; 2; 0), v2 =
(−1; 0; 2) → ϕf (v2) = (1; 1; −4), v3 = (2; 1; −1) → ϕf (v3) = (1; 1; 3), R =
[0; −1; 3] → R = [2; −3; −1] .
Řešení : I. metoda : Jestliže je (X ) = A(X) + B maticová rovnice afinního
zobrazení f : A3 → A3, kde (X) a (X) jsou sloupcové matice souřadnic bodů
X a f(X) = X vzhledem k afinnímu repéru R, pak (u ) = A(u) je maticová
rovnice lineárního zobrazení ϕf : Z(A3) → Z(A3) asociovaného s f. Určíme
nejdříve matici A. Dosazením souřadnic vektorů vi, i = 1, 2, 3, do pravé strany a
souřadnic vektorů ϕf (vi) do levé strany souřadnicového vyjádření ϕf dostaneme
soustavu devíti nehomogenních lineárních rovnic pro devět neznámých koeficientů
matice A. Tato soustava je regulární (plyne z nezávislosti vektorů v1, v2, v3) a
rozpadne se na tři soustavy po třech neznámých koeficientech jednotlivých řádků.
Protože jsou matice zhomogenizovaných soustav stejné, dají se tyto tři soustavy
řešit současně úpravami matic. Dostaneme


1 1 0 1 2 0
−1 0 2 1 1 −4
2 1 −1 1 1 3

 ∼


1 0 0 1 −1 2
0 1 0 0 3 −2
0 0 1 1 0 −1

 .
Sloupce za čarou odpovídají neznámým příslušného řádku matice A, tj.
A =


1 0 1
−1 3 0
2 −2 −1

 .
2.2. Analytické vyjádření afinního zobrazení 45
Matici B nyní dostaneme dosazením souřadnic R a R do obecné rovnice
afinního zobrazení, tj. B = (R ) − A(R), což v našem případě dává
B =


2
−3
−1

 −


1 0 1
−1 3 0
2 −2 −1




0
−1
3

 =


−1
0
0

 .
Maticová rovnice afinního zobrazení je tedy


x
y
z

 =


1 0 1
−1 3 0
2 −2 −1




x
y
y

 +


−1
0
0

 .
II. metoda : Víme, že ve sloupcích matice A jsou souřadnice vektorů ϕf (ei).
Zadání obrazů vektorů vi se dá interpretovat také vektorovými rovnicemi
ϕf (e1) + ϕf (e2) = e1 + 2e2 ,
−ϕf (e1) + ϕf (e3) = e1 + e2 − 4e3 ,
2ϕf (e1) + ϕf (e2) − ϕf (e3) = e1 + e2 + 3e3 ,
odkud úpravami dostaneme
ϕf (e1) = e1 − e2 + 2e3 ,
ϕf (e2) = 3e2 − 2e3 ,
ϕf (e3) = e1 − e3 ,
a tedy matice A je stejná jako při I. metodě. Matice B se určí naprosto stejným
způsobem jako v I. metodě.
III. metoda : Protože jsou vektory vi, i = 1, 2, 3, lineárně nezávislé, jsou body
R, R+v1, R+v2, R+v3 v obecné poloze. Protože známe jejich souřadnicová vyjádření
i souřadnicová vyjádření jejich obrazů, můžeme použít metodu popsanou
v řešení Úlohy 2.2.1. Výsledné rovnice budou totožné jako v I. medodě.
Úloha 2.2.3. Ztransformujte rovnice afinního zobrazení f z Cvičení 2.2.1 do
nových repérů ¯R = P; e1, e2 v A2 a ¯R = Q; d1, d2, d3 v A3, kde ve starých
souřadnicích je P = [1; 1], e1 = (1; 2), e2 = (−1; 1), Q = [1; 0; 1], d1 = (2; 1; 2),
d2 = (0; 1; 1), d3 = (1; 2; 0).
Řešení : Transformační rovnice pro souřadnice při přechodu od afinního repéru
R k repéru ¯R v A2 (respektive od afinního repéru R k repéru ¯R v A3) jsou tvaru
x
y
=
1 −1
2 1
¯x
¯y
+
1
1
, respektive


x
y
z

 =


2 0 1
1 1 2
2 1 0




¯x
¯y
¯z

 +


1
0
1

 .
2.3. Modul afinního zobrazení, grupa afinit 46
Dosazením transformačních rovnic v A3 do levé strany a transformačních rovnic
v A2 do pravé strany v rovnicích f dostaneme


2 0 1
1 1 2
2 1 0




¯x
¯y
¯z

 +


1
0
1

 =


1 2
−2 3
0 1

 1 −1
2 1
¯x
¯y
+
1
1
+


1
3
−1

 ,
odkud určíme (X ) tím, že vynásobíme obě strany maticové rovnice maticí
1
5


2 −1 1
−4 2 3
1 2 −2

, která je invezní maticí k matici


2 0 1
1 1 2
2 1 0

. Po roznásobení
a úpravě dostaneme maticovou rovnici f v nových repérech ve tvaru


¯x
¯y
¯z

 =
1
5


8 −2
−2 9
9 9

 ¯x
¯y
+
1
2


3
−6
4

 .
2.3 Modul afinního zobrazení, grupa afinit
V této a následujících částech skript se budeme zabývat afinními zobrazeními nrozměrného
afinního prostoru na sebe. V souřadnicích potom vyjadřujeme afinní
zobrazení pouze vzhledem k jednomu afinnímu repéru a matice zobrazení je čtvercová
matice řádu n.
Věta 2.3.1. Nechť má afinní zobrazení v nějakém afinním repéru souřadnicové
vyjádření f(X) = A(X) + B. Potom číslo |A| je nezávislé na zvoleném repéru.
Důkaz. Mějme na An dva repéry R a R . Nechť Q je matice přechodu od prvního
repéru k druhému, a nechť (f(X)) = A(X)+B je souřadnicové vyjádření afinního
zobrazení f vzhledem k repéru R a (f(X)) = C(X)+D je souřadnicové vyjádření
f vzhledem k repéru R . Potom podle Věty 2.2.2 je C = Q−1
AQ a odtud
|C| = |Q−1
AQ| = |Q−1
| · |A| · |Q| =
1
|Q|
· |A| · |Q| = |A| .
Definice 2.3.1. Číslo |A|, které je jednoznačně přiřazeno afinnímu zobrazení
f, se nazývá modul afinního zobrazení a značíme ho m(f).
Věta 2.3.2. Nechť f, g jsou dvě afinní zobrazení na An. Potom
m(f ◦ g) = m(g ◦ f) = m(f) · m(g) .
2.3. Modul afinního zobrazení, grupa afinit 47
Důkaz. Mějme v nějakém repéru zobrazení f a g dána maticovými rovnicemi
(f(X)) = A(X)+B, (g(X)) = C(X)+D. Potom ((f ◦g)(X)) = A(C(X)+D)+
B = AC(X) + AD + B a m(f ◦ g) = |AC| = |A| · |C| = m(f) · m(g). Podobně
((g ◦ f)(X)) = C(A(X) + B) + D = CA(X) + CB + D a m(g ◦ f) = |CA| =
|C| · |A| = |A| · |C| = m(f) · m(g).
Mezi afinními zobrazeními An na sebe hrají významnou roli ta zobrazení,
jejichž modul je nenulový, tj. jejichž matice v libovolném repéru je regulární.
Tyto afinní zobrazení se nazývají regulární afinní zobrazení.
Definice 2.3.2. Vzájemně jednoznačné afinní zobrazení n-rozměrného afinního
prostoru An na sebe se nazývá afinní transformace nebo afinita prostoru An.
Poznámka 2.3.1. Afinita prostoru An je regulární zobrazení, protože jeho matice
je regulární. To vyplývá z toho, že je-li afinní zobrazení f bijekce na An, je jeho
hodnost rovna n a odtud vzhledem k libovolnému repéru je n = h(f) = h(A) ⇔
|A| = 0. ♦
Věta 2.3.3. Všechny afinity afinního prostoru An tvoří grupu vzhledem k operaci
skládání zobrazení.
Důkaz. Složením dvou afinit je opět afinita (to je důsledek toho, že složením dvou
bijekcí je bijekce a složením dvou afinních zobrazení je afinní zobrazení - Věta
2.1.8) a identita je afinita. Stačí tedy ukázat, že pro libovolnou afinitu je i f−1
afinita. Uvažujme libovolné tři různé kolineární body X , Y , Z ∈ An takové, že
λ = (Z ; X , Y ). Označme X vzor bodu X v zobrazení f (protože f je bijekce, je
X určen jednoznačně) a Y vzor bodu Y . Označme Z bod na přímce XY takový,
že λ = (Z; X, Y ). Potom také λ = (f(Z); f(X), f(Y )) = (f(Z); X , Y ), a tedy
f(Z) = Z a odtud je f−1
afinita.
Poznámka 2.3.2. Při označení z důkazu předchozí věty je pro afinitu f asociované
lineární zobrazení určeno ϕf (
−−→
XY ) =
−−−→
X Y a ϕf−1 (
−−−→
X Y ) =
−−→
XY . Protože ϕf
je bijekce, je ϕf
−1
≡ ϕf−1 . ♦
Definice 2.3.3. Grupu všech afinních transformací n-rozměrného afinního prostoru
An nazýváme afinní grupou nebo grupou afinit prostoru An a značíme
(An, ◦).
Věta 2.3.4. Nechť afinita f : An → An má vzhledem k afinnímu repéru R v An
souřadnicové vyjádření
f : (X ) = A(X) + B ,
pak f−1
má souřadnicové vyjádření
f−1
: (X ) = A−1
(X) − A−1
B .
2.3. Modul afinního zobrazení, grupa afinit 48
Důkaz. Protože f je bijekce, je matice A regulární a z rovnic f vynásobením A−1
dostaneme tvrzení věty.
Věta 2.3.5. Zobrazení m, které přiřadí afinitě f její modul, je grupový homomorfismus
z (An, ◦) do (R − {0}, ·).
Důkaz. Tato věta je důsledkem Věty 2.3.2.
Využitím toho, že úplným vzorem libovolné podgrupy v (R − {0}, ·) je podgrupa
v (An, ◦), můžeme definovat některé významné podgrupy grupy afinit. Uvažujme
v (R − {0}, ·) podgrupu kladných reálných čísel (R+
, ·). Odpovídající podgrupa
v grupě afinit je podgrupa všech afinit (značíme (An
+
, ◦)), jejichž modul
je kladný, tj. m(f) > 0. Takovéto afinity budeme nazývat přímé afinity. Naopak
afinity, jejichž modul je záporný, budeme nazývat nepřímé afinity. Snadno
se vidí, že složením dvou nepřímých afinit je přímá afinita a tedy nepřímé afinity
grupu netvoří. Geometrický význam přímé a nepřímé afinity je následující. Uvažujme
afinní repér R = P; e1, . . . , en v An. Potom f(P); ϕf (e1), · · · , ϕf (en)
je také afinní repér v An a matice A afinního zobrazení f vzhledem k repéru
P; e1, . . . , en je maticí přechodu od prvního repéru k druhému. Pokud je |A| > 0,
tj. f je přímá afinita, jsou oba repéry souhlasně orientované, a tedy přímá afinita
zachovává orientaci prostoru. Pokud je naopak |A| < 0, tj. f je nepřímá
afinita, jsou oba repéry opačně orientované, a tedy nepřímá afinita mění orientaci
prostoru.
Uvažujme v (R − {0}, ·) konečnou podgrupu ({1; −1}, ·). Odpovídající podgrupa
v grupě afinit je podgrupa všech afinit (značíme (En, ◦)), jejichž modul je
roven 1 nebo (−1), tj. m(f) = ±1. Takovéto afinity budeme nazývat ekviafinní
zobrazení An. Geometrický význam ekviafinních zobrazení si ukážeme později v
Části 3.2.
Úloha 2.3.1. Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v obecné poloze v A3. Afinita
f : A3 → A3 je dána obrazy A → C , B → D , C → B , D → A . Určete
rovnice f vzhledem afinnímu repéru R = A;
−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD . Zjistěte, zda je f
přímá nebo nepřímá afinita. Určete rovnice f−1
.
Řešení : V daném afinním repéru je A = [0; 0; 0] , B = [1; 0; 0] , C = [0; 1; 0] ,
D = [0; 0; 1]. Souřadnicové rovnice f můžeme určit některou z metod použitých
v Úloze 2.2.1 nebo 2.2.2. Použijeme II. metodu Úlohy 2.2.2. Máme
−→
AB →
−−→
CD =
(0; −1; 1),
−→
AC →
−−→
CB = (1; −1; 0),
−−→
AD →
−→
CA = (0; −1; 0). Odtud dostáváme
přímo rovnice f ve tvaru


x
y
z

 =


0 1 0
−1 −1 −1
1 0 0




x
y
z

 +


0
1
0

 .
2.4. Samodružné prvky afinního zobrazení 49
Protože je |A| = −1, je modul afinity záporné číslo a f je nepřímá afinita,
která je navíc ekviafinním zobrazením.
Inverzní afinitu můžeme určit dvojím způsobem.
a) Ze zadání je jasné, že f−1
je určeno obrazy A → D , B → C , C →
A , D → B . Potom postupujeme stejně, jako při určování rovnic f, tj.
−→
AB →
−−→
DC = (0; 1; −1),
−→
AC →
−→
CA = (0; 0; −1),
−−→
AD →
−−→
DB = (1; 0; −1), a dostaneme
souřadnicové vyjádření f−1
ve tvaru


x
y
z

 =


0 0 1
1 0 0
−1 −1 −1




x
y
z

 +


0
0
1

 .
b) Souřadnicové vyjádření f−1
můžeme také dostat z rovnic f vynásobením
maticí inverzní k matici A.
2.4 Samodružné prvky afinního zobrazení
V této části skript budeme studovat samodružné útvary afinního zobrazení f :
A → A. Definujme nejdříve samodružné útvary pro libovolné zobrazení.
Definice 2.4.1. Nechť M je neprázdná množina a f : M → M je zobrazení.
Prvek X ∈ M nazýváme samodružným prvkem (pevným prvkem) zobrazení f,
jestliže f(X) = X.
Neprázdná podmnožina U ⊆ M se nazývá silně samodružná podmnožina
zobrazení f, je-li f(X) = X pro všechna X ∈ U.
Neprázdná podmnožina U ⊆ M se nazývá slabě samodružná podmnožina
zobrazení f, je-li f(U) ⊆ U a U není silně samodružná. Jinými slovy f(X) ∈ U
pro všechna X ∈ U a existuje Y ∈ U takový, že f(Y ) = Y .
Poznámka 2.4.1. Silně samodružná podmnožina nějakého zobrazení je tedy samodružná
prvek po prvku, kdežto slabě samodružná podmnožina je samodružná
jen jako celek, její jednotlivé prvky nemusí být samodružné. ♦
Aplikujme nyní předchozí Definici 2.4.1 na afinní zobrazení f : An → An. V
tomto případě hovoříme o samodružných (pevných) bodech afinního zobrazení f.
Věta 2.4.1. Pokud má afinní zobrazení samodružné body, je množina samodružných
bodů afinním podprostorem v An.
Důkaz. Nechť má f alespoň jeden samodružný bod, např. A. Pokud nemá f již
další samodružné body, je množina samodružných bodů 0-dimenzionální podprostor
tvořený jediným bodem A.
2.4. Samodružné prvky afinního zobrazení 50
Nechť má f další samodružný bod B = A. Potom každý bod přímky p(AB) je
samodružný. Opravdu, pro X ∈ p(AB), A = X = B, je z
−−→
AX = λ
−−→
BX pro nějaké
0 = λ = 1 podle Věty 2.1.1
−−−−−−→
f(A)f(X) = λ
−−−−−−−→
f(B)f(X) ⇔
−−−−→
Af(X) = λ
−−−−→
Bf(X).
Odtud je f(X) ∈ p(AB) a (f(X); A, B) = (X; A, B), což je možné pouze pro
f(X) = X. Pokud již neexistuje samodružný bod neležící na přímce p(AB), je
množina samodružných bodů právě přímka p(AB), tj. podprostor dimenze jedna.
Pokud existuje samodružný bod C, který neleží na přímce p(AB), je podle
předchozí kostrukce libovolný bod přímek určených bodem C a libovolným bodem
přímky p(AB) také samodružný. Tyto body tvoří rovinu ρ(ABC) samodružných
bodů. Pokud již neexistuje samodružný bod neležící v rovině ρ(ABC), je množina
samodružných bodů právě rovina ρ(ABC), tj. podprostor dimenze dva.
Výše popsaným způsobem tak dojdeme po konečném počtu kroků, že množina
samodružných bodů afinního zobrazení f je podprostor dimenze k ≤ n.
Popišme nyní výpočet samodružných bodů v souřadnicovém vyjádření afinního
zobrazení vzhledem k libovolnému repéru R v An. Předpokládejme, že má
f souřadnicové vyjádření (X ) = A(X) + B. Potom pro samodružný bod X je
(X ) = (X) a dostaneme
(A − En)(X) + B = (0) , (2.4.1)
kde En je jednotková matice řádu n a (0) je sloupcová matice tvořena nulami. Po
rozepsání dostaneme tuto soustavu ve tvaru
(a11 − 1)x1 + a12x2 + · · · + a1nxn + b1 = 0 ,
a21x1 + (a22 − 1)x2 + · · · + a2nxn + b2 = 0 ,
...
an1x1 + an2x2 + · · · + (ann − 1)xn + bn = 0 .
(2.4.2)
Je zřejmé, že množina řešení soustavy (2.4.2), pokud je to neprázdná množina,
je opravdu podprostor v An, což je v souladu s Větou 2.4.1.
Věta 2.4.2. Pokud má afinní zobrazení f alespoň jeden samodružný bod, pak existuje
takový afinní repér R v An, že f má vzhledem k tomuto repéru souřadnicové
vyjádření
(f(X)) = A(X) . (2.4.3)
Důkaz. Je-li R = P; e1, . . . , en afinní repér a počátek je samodružný bod f, tj.
f(P) = P, pak tvrzení plyne z P = [0; . . . ; 0].
Definice 2.4.2. Nechť f je afinní zobrazení prostoru An do sebe a ϕf je jeho
asociované lineární zobrazení. Vlastním směrem, respektive vlastním vektorem,
respektive vlastním číslem, afinního zobrazení f rozumíme vlastní směr, respektive
vlastní vektor, respektive vlastní číslo, asociovaného lineárního zobrazení
ϕf .
2.4. Samodružné prvky afinního zobrazení 51
Připomeňme, jak je definován vlastní směr, vlastní vektor a vlastní číslo lineárního
zobrazení ϕf : Z(An) → Z(An). Vlastní směr lineárního zobrazení ϕf
je jednodimenzionální podprostor L(u), který je invariantní vzhledem k ϕf , tj.
ϕf (L(u)) ⊂ L(u). Nenulový vektor u, který generuje vlastní směr, se nazývá
vlastní vektor lineárního zobrazení ϕf a musí pro něj platit ϕf (u) = λu. Reálné
číslo λ z předchozího vyjádření se nazývá vlastní číslo lineárního zobrazení ϕf
příslušné vlastnímu vektoru u.
Poznámka 2.4.2. Z geometrického významu vlastního směru vyplývá, že přímka,
jejíž zaměření je vlastním směrem, se zobrazí buď do bodu (pro nulové vlastní
číslo) nebo se zobrazí na přímku rovnoběžnou. ♦
Vyjádřeme nyní podmínky pro vlastní směry v libovoných souřadnicích. Nechť
vzhledem k libovolnému repéru v An má ϕf souřadnicové vyjádření (u ) = A(u).
Podmínka ϕf (u) = λu pro vlastní vektor je nyní tvaru A(u) = λ(u), což upravíme
na tvar
(A − λEn)(u) = (o) , (2.4.4)
kde En je jednotková matice řádu n a o je nulový vektor. (2.4.4) jsou maticovým
zápisem soustavy homogenních lineárních rovnic
(a11 − λ)u1 + a12u2 + · · · + a1nun = 0 ,
a21u1 + (a22 − λ)u2 + · · · + a2nun = 0 ,
...
an1u1 + an2u2 + · · · + (ann − λ)un = 0 .
(2.4.5)
Protože podle předpokladu musí být vlastní vektor nenulový, musí mít soustava
(2.4.5) nenulové řešení a tedy determinant matice soustavu (A−λEn) musí
být nulový.
Věta 2.4.3. Hodnota determinantu |A − λEn| je nezávislá na zvoleném afinním
repéru v An.
Důkaz. Je-li R jiný repér v An a Q je matice přechodu od repéru R k repéru
R , je podle Věty 2.2.2 matice ϕf vzhledem k repéru R tvaru Q−1
AQ. Potom
|Q−1
AQ − λEn| = |Q−1
AQ − Q−1
λEnQ| = |Q−1
(A − λEn)Q| = |Q−1
| · |(A −
λEn)| · |Q| = 1
|Q|
· |(A − λEn)| · |Q| = |(A − λEn)|.
Definice 2.4.3. Nechť f je afinní zobrazení prostoru An do sebe a ϕf je jeho
asociované lineární zobrazení. Nechť má f vzhledem k nějakém afinnímu repéru
souřadnicové rovnice (X ) = A(X) + B. Rovnice
|A − λEn| = 0 (2.4.6)
se nazývá charakteristická rovnice afinního zobrazení f.
2.4. Samodružné prvky afinního zobrazení 52
Poznámka 2.4.3. Charakteristická rovnice (2.4.6) afinního zobrazení je tedy
totožná s charakteristickou rovnicí asociovaného lineárního zobrazení ϕf . Z Věty
2.4.3 vyplývá, že charakteristická rovnice je nezávislá na použitých souřadnicích
a je to tedy opravdu rovnice přiřazená jednoznačně danému afinnímu zobrazení.
♦
Poznámka 2.4.4. Rozepišme charakteristickou rovnici (2.4.6) afinního zobrazení
podrobněji. Dostaneme
(a11 − λ) a12 · · · a1n
a21 (a22 − λ) · · · a2n
...
...
an1 an2 · · · (ann − λ)
= 0 (2.4.7)
a odtud je okamžitě vidět, že charakteristická rovnice je polynomiální rovnice
stupně n. Vlastní čísla afinního zobrazení jsou potom reálné kořeny charakteristické
rovnice. Z nezávislosti charakteristické rovnice na afinním repéru, vzhledem
ke kterému vyjadřujeme rovnice afinního zobrazení, vyplývá, že také vlastní čísla
jsou na zvoleném repéru nezávislá.
Poznamenéjme ještě, ža má-li charakteristická rovnice afinního zobrazení f
dvojici komplexně sdružených kořenů, odpovídá jim dvoudimenzionální podprostor
invariantní vzhledem k ϕf , a tedy roviny, které mají tento podprostor jako
zaměření se zobrazí na rovnoběžné roviny. ♦
Pro libovolný nenulový kořen charakteristické rovnice (2.4.7) dostaneme, že
homogenní soustava (2.4.5) má nenulové řešení a každý nenulový vektor, který je
řešením soustavy (2.4.5), je vlastním vektorem příslušným k tomuto kořenu.
Poznámka 2.4.5. Pro nulový kořen charakteristické rovnice (2.4.6) afinního zobrazení
platí, že mu odpovídající vektory se zobrazí na nulový vektor. Je tedy
obecné řešení soustavy (2.4.5) pro λ = 0 jádrem ϕf . Protože prosté lineární zobrazení
má triviální jádro, dostáváme tak, že f je prosté (je to afinita) právě tehdy,
když nula není vlastním číslem f. ♦
Později, při klasifikacích afinit, budeme potřebovat následující větu.
Věta 2.4.4. Jestliže jednička není vlastním číslem f : An → An, pak má f právě
jeden samodružný bod.
Důkaz. Provedeme v libovolném repéru. Jestliže jednička není kořenem charakteristické
rovnice, je matice (A − En) regulární a nehomogenní soustava (2.4.2)
má právě jedno řešení.
Věta 2.4.5. Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou lineárně nezá-
vislé.
2.4. Samodružné prvky afinního zobrazení 53
Důkaz. Nechť λ1, . . . λk jsou navzájem různá vlastní čísla lineárního zobrazení ϕf
a u1, . . . , uk jsou jim odpovídající vlastní vektory. Z posloupnosti u1, . . . , uk
vybereme libovolnou maximální posloupnost nezávislých vektorů, nechť je to
například prvních r vektorů u1, . . . , ur , 1 ≤ r ≤ k. Nyní pokračujeme sporem.
Předpoládejme, že r < k. Potom
ur+1 =
r
i=1
ci · ui , ci ∈ R ,
a tedy λr+1 · ur+1 = r
i=1 λr+1 · ci · ui. Na druhé straně
λr+1 · ur+1 = ϕf (ur+1) = ϕf (
r
i=1
ci · ui) =
r
i=1
ci · ϕf (ui) =
r
i=1
ci · λi · ui .
Porovnáním dostaneme
r
i=1
λr+1 · ci · ui =
r
i=1
ci · λi · ui
tj.
r
i=1
ci · (λr+1 − λi) · ui = o .
Z lineární nezávislosti u1, . . . , ur plyne ci · (λr+1 − λi) = 0, i = 1, · · · , r, a
podle předpokladu (λr+1 − λi) = 0 musí být ci = 0 pro všechna i = 1, · · · , r.
Potom ale ur+1 = o a to je ve sporu s definicí vlastního vektoru, který musí být
nenulový. Tedy r = k a vektory u1, . . . , uk jsou lineárně nezávislé.
Věta 2.4.6. Nechť má afinní zobrazení f : An → An n různých (reálných)
vlastních čísel λ1, . . . , λn. Potom vzhledem k afinnímu repéru, kde za základní
souřadné vektory vezmeme vlastní vektory f, má f souřadnicové rovnice
x1 = λ1x1 + b1 ,
. . .
xn = λnxn + bn ,
tj. matice afinního zobrazení je diagonální. Má-li navíc f alespoň jeden samodružný
bod, volbou počátku afinního repéru do samodružného bodu dostaneme bi =
0, i = 1, . . . , n.
Důkaz. Je-li v afinním repéru R = P; e1, . . . , en vektor ei vlastní vektor f
příslušný vlastnímu číslu λi, jsou v i-tém sloupci matice zobrazení souřadnice
vektoru ϕf (ei) = (0; · · · ; 0; λi; 0; · · · ; 0), kde λi je na i-tém místě.
2.5. Posunutí, stejnolehlost, homotetie 54
Úloha 2.4.1. Určete všechny samodružné body a vlastní směry afinního zobrazení
na A3, které je dáno vzhledem k nějakému repéru rovnicemi


x
y
z

 =


3 −2 6
1 0 3
−1 1 −2




x
y
z

 +


−2
−1
1

 .
Řešení : Zobrazení má rovinu samodružných bodů ρ : x − y + 3z + 1 = 0.
Charakteristická rovnice je −λ3
+ λ2
+ λ − 1 = 0. Kořeny jsou λ1,2 = 1 a
λ3 = −1. Kořeni λ1,2 = 1 odpovídá dvoudimenzionální prostor vlastních vektorů
k (−3; 0; 1) + l (1; 1; 0) a kořeni λ3 = −1 odpovídá jednodimenzionální prostor
vlastních vektorů m (−2; −1; 1).
2.5 Posunutí, stejnolehlost, homotetie
Na střední škole jsme studovali posunutí a stejnolehlost v euklidovských prostorech.
Tato zobrazení se ale dají definovat již v afinních prostorech libovolné
dimenze. Začneme s posunutím.
Definice 2.5.1. Nechť u ∈ Z(An) je vektor. Zobrazení, které přiřadí každému
bodu X ∈ An bod X ∈ An takový, že
X = X + u (2.5.1)
se nazývá posunutí (translace) afinního prostoru An o vektor u a značíme ho
tu.
Věta 2.5.1. Posunutí o nulový vektor je identita, posunutí o nenulový vektor je
afinita An, která nemá žádný samodružný bod a všechny směry jsou vlastní směry.
Důkaz. Nechť u = o. Potom to(X) = X + o = X, a tedy to ≡ idAn .
Nechť u = o. Protože tu(X) = X + u, je podle axiomů afinního prostoru
([HoJa]) tu bijekce An. Nechť X, Y, Z ∈ An jsou tři body takové, že
−−→
XZ = λ
−→
Y Z,
λ ∈ R. Potom
−−−−−−−→
tu(X)tu(Z) = (Z + u) − (X + u) =
−−→
XZ = λ
−→
Y Z
= λ(Z − Y ) = λ((Z + u) − (Y + u))
= λ
−−−−−−−→
tu(Y )tu(Z) ,
a podle Věty 2.1.1 je tu afinní zobrazení.
Dále, pro samodružný bod platí X = X + u, a z vlastností afinních prostorů
to je možné pouze pro u = o, kdy je každý bod samodružný. Pro u = o nemůže
být žádný bod samodružný.
2.5. Posunutí, stejnolehlost, homotetie 55
Pro asociované lineární zobrazení ϕtu platí
ϕtu (
−−→
XY ) =
−−−−−−−−→
tu(X)tu(Y )
= (Y + u) − (X + u) =
−−→
XY ,
tj. ϕtu ≡ idZ(An), která má všechny směry samodružné.
Vyjádřeme nyní posunutí o vektor u v libovolném afinním repéru. Nechť u =
(u1; . . . ; un) je souřadnicové vyjádření vektoru u. X = [x1; . . . ; xn] je libovolný
bod a X = X + u. Potom v souřadnicích tomu odpovídá maticový zápis
(X ) = En(X) + (u) , (2.5.2)
kde En je jednotková matice řádu n. Rozepsáním jednotlivých souřadnic dosta-
neme
tu : x1 = x1 + u1 ,
. . .
xn = xn + un .
(2.5.3)
Posunutí je tedy afinita s jednotkovou maticí jako maticí zobrazení v libovolném
souřadnicovém vyjádření.
Definice 2.5.2. Nechť S ∈ An je bod a 0 = κ ∈ R. Zobrazení, které přiřadí
každému bodu X ∈ An bod X ∈ An takový, že
−−→
SX = κ
−→
SX (2.5.4)
se nazývá stejnolehlost afinního prostoru An a značíme ho s(S, κ). Bod S se
nazývá střed stejnolehlosti a číslo κ koeficient stejnolehlosti. Pro κ = 1 hovoříme
o vlastní stejnolehlosti.
Poznámka 2.5.1. Na střední škole byla stejnolehlost definována jako zobrazení
v euklidovské rovině, které bylo dáno bodem S (středem stejnolehlosti) a reálným
číslem κ = 0 (koeficientem stejnolehlosti). Každý bod X = S se zobrazil do bodu
X takového, že platí:
1. polopřímky SX a SX jsou totožné pro κ > 0 a opačné pro κ < 0 ;
2. |SX | = |κ| · |SX|, tj. |κ| = |SX |
|SX|
.
Snadno se vidí, že tato definice se dá rozšířit na euklidovský prostor libovolné
dimenze a že určuje totéž zobrazení jako Definice 2.5.2. ♦
Věta 2.5.2. Stejnolehlost s koeficientem κ = 1 je identita, stejnolehlost s koeficientem
κ = 1 je afinita An, která má jediný samodružný bod S a všechny směry
jsou vlastní směry.
2.5. Posunutí, stejnolehlost, homotetie 56
Důkaz. Nechť κ = 1, potom s(S, 1)(X) = X, a tedy s(S, 1) ≡ idAn .
Nechť κ = 1, označujme v tomto důkaze krátce s(S, κ) = s.
s je bijekce. Opravdu máme s(X) = s(Y ) ⇔ κX+(1−κ)S = κY +(1−κ)S ⇔
κX = κY ⇔ κ
−−→
XY = o ⇔ X = Y , tj. s je injektivní. Podobně, je-li X ∈ An, pak
existuje právě jeden bod X ∈ An takový, že s(X) = X a to bod X = 1
κ
X − 1−κ
κ
S,
což znamená, že s je surjektivní.
Nechť X, Y, Z ∈ An jsou tři body takové, že
−−→
XZ = λ
−→
Y Z. Potom
−−−−−−→
s(X)s(Z) = (κZ + (1 − κ)S) − (κX + (1 − κ)S) = κ
−−→
XZ
= κλ
−→
Y Z = λ((κZ + (1 − κ)S) − (κY + (1 − κ)S)
= λ
−−−−−−→
s(Y )s(Z) ,
a podle Věty 2.1.1 je s afinní zobrazení.
Pro samodružné body platí X = κX + (1 − κ)S ⇔ (1 − κ)X = (1 − κ)S ⇔
(1 − κ)
−→
XS = o ⇔ κ = 1 ∨ X = S. Tedy pro κ = 1 je každý bod samodružný
(stejnolehlost je identita) a pro κ = 1 je samodružný jediný bod S.
Pro libovolný vektor
−−→
XY je ϕs(
−−→
XY ) =
−−−−−−→
s(X)s(Y ) = κ
−−→
XY , tj. u =
−−→
XY je
vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu κ. Protože u byl libovolný vektor, jsou
všechny směry vlastní směry s příslušné vlastnímu číslu κ.
Vyjádření (2.5.4) se dá psát jako X = κX + (1 − κ)S a v souřadnicích v
libovolném afinním repéru tomu odpovídá maticový zápis
(X ) = κEn(X) + (1 − κ)(S) , (2.5.5)
což pro S = [s1; . . . ; sn] rozepíšeme
s(S, κ) : x1 = κx1 + (1 − κ)s1 ,
. . .
xn = κxn + (1 − κ)sn ,
(2.5.6)
a tedy stejnolehlost s koeficientem κ je afinita s maticí κEn v libovolném souřadnicovém
vyjádření.
Poznámka 2.5.2. Protože vzhledem k libovolnému afinnímu repéru je matice
stejnolehlosti, respektive posunutí, rovna κEn, respektive En, je modul stejnolehlosti
roven κn
, respektive je modul posunutí roven 1.
Posunutí je tedy vždy přímá afinita. Je-li dimenze afinního prostoru sudá,
je κn
> 0 a každá vlastní stejnolehlost je přímá afinita. Je-li dimenze prostoru
lichá, jsou stejnolehlosti s kladným koeficieltem přímé afinity a stejnolehlosti se
záporným koeficientem nepřímé afinity. ♦
2.5. Posunutí, stejnolehlost, homotetie 57
Poznámka 2.5.3. Je-li koeficient stejnolehlosti roven −1, je X = −X + 2 S,
t.j.
−−→
SX = −
−→
SX a dostáváme symetrii podle bodu (středovou symetrii) S jako
speciální případ vlastní stejnolehlosti. Bod S se nazývá středem symetrie. ♦
Z Vět 2.5.1 a 2.5.2 vyplývá, že stejnolehlosti a posunutí mají společnou vlastnost
– všechny směry prostoru An jsou vlastní směry těchto zobrazení. Studujme
obecně všechna afinní zobrazení na An, která mají tuto vlastnost.
Definice 2.5.3. Afinita afinního prostoru An, pro kterou je libovolný směr
vlastním směrem, se nazývá homotetie afinního prostoru An.
Věta 2.5.3. Je-li f homotetie afinního prostoru An, pak je f buď posunutí, nebo
stejnolehlost.
Důkaz. Nechť f je afinní zobrazení na An, které má všechny směry vlastní, tj.
pro každý vektor u ∈ Z(An) existuje λ(u) takové, že platí ϕf (u) = λ(u)u, kde
λ je funkce u. Nechť e1, . . . , en je libovolná báze Z(An). Potom ϕf (ei) = λiei,
i = 1 . . . , n, a odtud
ϕf (e1 + · · · + en) = λ1e1 + · · · + λnen
a současně
ϕf (e1 + · · · + en) = k(e1 + · · · + en) .
Tedy k = λ1 = · · · = λn. Odtud ϕf (u) = ku pro všechna u ∈ Z(An) a všechny
směry jsou vlastní směry f příslušné jedinému vlastnímu číslu k.
a) Nechť nyní k = 0. Potom ϕf (u) = o je nulové zobrazení. Uvažujme libovolný
bod B ∈ An, potom f(B + u) = f(B), tj. celý prostor se zobrazuje do
jediného bodu f(B). Toto zobrazení ovšem není homotetií, protože není afinitou.
b) Nechť k = 0. Potom ϕf (u) = ku a každý směr je vlastním směrem příslušným
vlastní hodnotě k, tj. f je homotetie. Potom f(B + u) = f(B) + k
−−→
BX, kde
X = B + u. Pro k = 1 je toto zobrazení posunutím o vektor
−−−−→
Bf(B) a pro k = 1
jde o vlastní stejnolehlost s koeficientem k a středem S = B + 1
1−k
(f(B)−B).
Věta 2.5.4. Homotetie afinního prostoru An tvoří podgrupu v grupě afinit.
Důkaz. Z Definice 2.5.3 je zřejmé, že složením dvou homotetií je opět homotetie
a že identita je homotetie. Musíme pouze ukázat, že je-li f homotetie, je i f−1
homotetie. V důkaze Věty 2.5.3 jsme dokázali, že pro homotetii f existuje nenulové
číslo k takové, že ϕf (u) = ku, ∀u ∈ Z(An). Protože je ϕf izomosfizmus,
je u = (ϕf )−1
(ϕf (u)) = (ϕf )−1
(ku) = k(ϕf )−1
(u), a tedy (ϕf )−1
(u) = 1
k
u a z
identity (ϕf )−1
≡ ϕf−1 dostaneme, že každý směr je vlastním směrem f−1
pro
vlastní hodnotu 1
k
, a tedy f−1
je homotetie.
2.5. Posunutí, stejnolehlost, homotetie 58
Definice 2.5.4. Podgrupa v grupě afinit prostoru An, kterou jsme definovali v
předchozí Větě 2.5.4 se nazývá grupa homotetií afinního prostoru An a označujeme
ji (Hn, ◦).
Podle Věty 2.5.4 je složením dvou homotetií opět homotetie. Probereme si
jednotlivé možnosti, které mohou nastat.
Nechť jsou obě homotetie posunutím, tj. tu a tv. Potom
(tv ◦ tu)(X) = tv(X + u) = (X + u) + v = X + (u + v) = t(u+v)(X) ,
a tedy složením dvou posunutí o vektory u, respektive v, je posunutí o vektor u+
v. Operace skládání posunutí je tedy vnitřní operací na množině všech posunutí,
a protože identita je také posunutí a t−u je opačné posunutí k tu, je množina
všech posunutí grupa, která je navíc komutativní (to vyplývá z toho, že tv ◦ tu =
t(u+v) = t(v+u) = tu ◦ tv). Grupu všech posunutí značíme (Tn, ◦) a tato grupa je
izomorfní s grupou (Z(An), +). V některých přístupech ke středoškolské látce byl
izomorfizmus těchto grup využíván k definici pojmu volného vektoru, který byl
definován jako příslušné posunutí.
Nechť je nyní jedna homotetie posunutí tu, u = o, a druhá vlastní stejnolehlost
s(S, κ). Potom
(tu ◦ s(S, κ))(X) = tu(κX + (1 − κ)S) = (κX + (1 − κ)S) + u ,
což je vlastní stejnolehlost s koeficientem κ a středem S + 1
1−κ
u (poznamenejme,
že střed se určí jako samodružný bod). Protože (κX +(1−κ)S)+u = κ(X +u)+
(1−κ)(S +u) = s(S +u, κ)◦tu(X) je tu ◦s(S, κ) = s(S +u, κ)◦tu takže skládání
posunutí a vlastní stejnolehlosti nekomutuje, protože s(S, κ) ≡ s(S + u, κ).
Podobně dostaneme, že s(S, κ) ◦ tu je vlastní stejnolehlost s koeficientem κ a
středem S + κ
1−κ
u.
Konečně mějme dvě stejnolehlosti s(S, κ) a s(R, λ). Potom
(s(R, λ) ◦ s(S, κ))(X) = s(R, λ)(κX + (1 − κ)S)
= λ(κX + (1 − κ)S) + (1 − λ)R
= λκX + λ(1 − κ)S + (1 − λ)R
= λκX + λ(S − R) − λκS + R .
Odtud okamžitě vyplývá, že pro λκ = 1 je složené zobrazení posunutím o vektor
(1 − λ)
−→
SR. Je-li navíc S ≡ R, je složené zobrazení identita, a tedy (s(S, κ))−1
≡
s(S, 1
κ
). Pro λκ = 1 je složené zobrazení opět stejnolehlost s koeficientem λκ a
středem 1
1−λκ
λ(S−R)−λκS+R . Pokud bychom složili stejnolehlosti v opačném
pořadí, dostaneme
(s(S, κ) ◦ s(R, λ))(X) = λκX + κ(R − S) − λκR + S
2.5. Posunutí, stejnolehlost, homotetie 59
tj. skládání stejnolehlostí není komutativní. Složením dvou stejnolehlostí tedy
není obecně stejnolehlost ale homotetie, a samotné stejnolehlosti tedy netvoří
grupu.
Důsledek 2.5.1. Složení dvou středových symetrií s různými středy je posunutí.
Důkaz. Podle předchozích úvah máme
(s(R, −1) ◦ s(S, −1))(X) = X + 2
−→
SR
a
(s(S, −1) ◦ s(R, −1))(X) = X + 2
−→
RS ,
tj. složením dvou středových symetrií je posunutí o vektor, který je dvojnásobkem
vektoru určeného středy symetrií. Orientace závisí na pořadí, v jakém symetrie
skládáme.
Věta 2.5.5. Nechť t je posunutí a h je homotetie, pak h−1
◦ t ◦ h je posunutí.
Důkaz. Na základě Vět 2.5.1 a 2.5.3 je posunutí taková homotetie, která nemá
samodružný bod. Důkaz nyní provedeme sporem. Nechť homotetie h−1
◦ t ◦ h má
samodružný bod P, tj. (h−1
◦ t ◦ h)(P) = P. Potom h(P) = (t ◦ h)(P), a tedy
t má samodružný bod h(P) a to je ve sporu s předpokladem, že t je posunutí.
Tedy h−1
◦ t ◦ h nemá samodružné body a jedná se o posunutí.
Důsledek 2.5.2. Množina všech posunutí a symetrií podle všech možných středů
tvoří podgrupu v grupě homotetií. Je-li t posunutí a s středová symetrie, je s−1
◦
t ◦ s posunutí.
Důkaz. Středová symetrie je stejnolehlost s koeficientem −1. Podle předchozích
úvah je složením středové symetrie s posunutím opět středová symetrie a složením
dvou středových symetrií se stejnými středy je identita a složením dvou
středových symetrií s různými středy je posunutí.
Poznámka 2.5.4. Připoměňme, že podgrupa T grupy H se nazývá normální
podgrupa, je-li pro každé t ∈ T a každé h ∈ H prvek h−1
◦ t ◦ h ∈ T. Je tedy
grupa posunutí normální podgrupou v grupě homotetií i v podgrupě posunutí a
středových symetrií. ♦
Poznámka 2.5.5. Shrneme-li výsledky Části 3 a Vět 2.5.4 a 2.5.5 dostáváme
následující graf podgrup grupy všech afinit prostoru An, kde šipka znázorňuje
inkluzi. Situaci musíme navíc rozlišit pro lichou a sudou dimenzi.
Sudá dimenze n = 2k:
2.5. Posunutí, stejnolehlost, homotetie 60
(An, ◦)
¨¨
¨¨¨%
rr
rrrj
(An
+
, ◦)
c
€€€€€€€€q
(En, ◦)
c
(Hn, ◦)
r
rrrj
(E+
n , ◦)
¨
¨¨¨%
(Tn + S.s., ◦)
c
(Tn, ◦)
c
(Id, ◦)
Lichá dimenze n = 2k + 1:
(An, ◦)
¨¨¨
¨¨% c
rrr
rrj
(An
+
, ◦)
c
€€€€€€q
(En, ◦)
c
€€€€€€q
(Hn, ◦)
c
$$$$$$$$$$$$$W
(H+
n , ◦)
r
rrrrj
(E+
n , ◦)
c
(Tn + S.s., ◦)
¨
¨¨¨¨%
(Tn, ◦)
c
(Id, ◦)
Připomeňme si kritéria, jak ze souřadnicového vyjádření afinity f poznat, do
které podgrupy patří daná afinita. Především pro matici A afinity platí |A| = 0.
Potom f ∈ An
+
právě tehdy, když |A| > 0, f ∈ En právě tehdy, když |A| = ±1
a f ∈ Hn právě tehdy, když A = κEn, κ = 0. Potom f ∈ E+
n = En ∩ An
+
právě
tehdy, když |A| = 1, f ∈ Tn = Hn ∩ E+
n právě tehdy, když A = En, je-li navíc
matice B nulová, jedná se o identitu. ♦
Úloha 2.5.1. Nechť je dána stejnolehlost s se středem S = [1; 2; 1] a koeficientem
κ = −2 a posunutí t o vektor u = (−1; 1; 1). Ukažte:
a) že zobrazení s−1
je stejnolehlost, nalezněte její střed a koeficient ;
b) že zobrazení s ◦ t je stejnolehlost, nalezněte její střed a koeficient ;
c) že zobrazení t ◦ s je stejnolehlost, nalezněte její střed a koeficient ;
2.6. Základní afinní zobrazení 61
d) že zobrazení s−1
◦ t ◦ s je posunutí, nalezněte vektor příslušný tomuto
posunutí .
Řešení : Úlohu vyřešíme v souřadnicích. Určíme nejdříve souřadnicová vyjádření
s a t. Podle (2.5.3) a (2.5.6) je
s : x = −2x + 3 , t : x = x − 1 ,
y = −2y + 6 , y = y + 1 ,
z = −2z + 3 , z = z + 1 .
a) Z rovnic s určíme snadno rovnice inverzního zobrazení
s−1
: x = −1
2
x + 3
2
,
y = −1
2
y + 3 ,
z = −1
2
z + 3
2
,
tj. s−1
je stejnolehlost s koeficientem λ = −1
2
a středem S = [1; 2; 1].
b) Dosazením z rovnic t do rovnic s dostaneme
s ◦ t : x = −2x + 5 ,
y = −2y + 4 ,
y = −2z + 1 ,
tj. s ◦ t je stejnolehlost s koeficientem λ = −2 a středem S = [5
3
; 4
3
; 1
3
].
c) Dosazením z rovnic s do rovnic t dostaneme
t ◦ s : x = −2x + 2 ,
y = −2y + 7 ,
y = −2z + 4 ,
tj. t ◦ s je stejnolehlost s koeficientem λ = −2 a středem S = [2
3
; 7
3
; 4
3
].
d) Dosazením z rovnic t ◦ s do rovnic s−1
dostaneme
s−1
◦ t ◦ s : x = x + 1
2
,
y = y − 1
2
,
y = z − 1
2
,
tj. s−1
◦ t ◦ s je posunutí o vektor u = (1
2
; −1
2
; −1
2
).
2.6 Základní afinní zobrazení
V této části se budeme zabývat těmi afinními zobrazeními prostoru An na sebe,
které budou mít za množinu samodružných bodů nejméně nadrovinu. Tato afinní
2.6. Základní afinní zobrazení 62
zobrazení hrají velice významnou roli, protože "generují"všechna afinní zobrazení
na An.
Definice 2.6.1. Afinní zobrazení afinního prostoru An do sebe, které má za
množinu samodružných bodů nejméně nadrovinu, se nazývá základní afinní
zobrazení v prostoru An. Afinita afinního prostoru An, která má za množinu
samodružných bodů právě nadrovinu, se nazývá základní afinita prostoru An.
Je-li n = 2, nazývá se základní afinita osovou afinitou a přímka samodružných
bodů se nazývá osou afinity.
Věta 2.6.1. Základní afinní zobrazení je určeno nadrovinou samodružných bodů
a obrazem jednoho bodu, který v této nadrovině neleží.
Důkaz. Podle Věty 2.1.9 je afinní zobrazení určeno obrazem (n+1) bodů v obecné
poloze. Zvolíme-li prvních n bodů v nadrovině samodružných bodů, tj. jsou samodružné,
stačí pro určení afinního zobrazení znát obraz jediného bodu, který v
této nadrovině neleží.
Příklady základních afinních zobrazení známe z konstrukční geometrie v 3rozměrném
prostoru, kde se používá rovnoběžná projekce prostoru do roviny.
Projekce se dají zobecnit na libovolnou dimenzi.
Definice 2.6.2. Nechť ρ je nadrovina v An a o = s ∈ Z(An) je libovolný
vektor, který nepatří do zaměření ρ. Zobrazení, které každému bodu X ∈ An
přiřadí bod ρ∩{X; L(s)} se nazývá rovnoběžnou projekcí prostoru An ve směru
L(s) do nadroviny ρ, značíme r(s, ρ). Směr L(s) se nazývá směrem projekce.
Věta 2.6.2. Rovnoběžná projekce prostoru do nadroviny ρ je afinní zobrazení
hodnosti (n − 1), které má za množinu samodružných bodů nadrovinu ρ.
Důkaz. Uvažujme rovnoběžnou projekci r(s, ρ). Nechť jsou dány tři kolineární
různé body A, B, C ležící na přímce p. Pokud p s, je {A; L(s)} ≡ {B; L(s)} ≡
{C; L(s)} a obrazem všech tří bodů je jediný bod. Pokud p s, jsou přímky
{A; L(s)}, {B; L(s)}, {C; L(s)} navzájem různé a rovnoběžné. Potom obrazy
bodů A, B, C jsou tři různé kolineární body v ρ ležící na přímce q, kterou dostaneme
jako průnik ρ s rovinou {A; Z(p) + L(s)} (opravdu, podle Věty 6.5 skript
[HoJa], je tento průnik přímka). Zachování dělícího poměru vyplyvá z Věty 8.4
skript [HoJa] (viz také Úloha 2.1.1), a tedy r(s, ρ) je afinní zobrazení.
Z definice je zřejmé, že pro X ∈ ρ je r(s, ρ)(X) = X a r(s, ρ)(An) = ρ, tj.
h(r(s, ρ)) = n − 1.
Věta 2.6.3. Nechť ρ je nadrovina v An. Afinní zobrazení, pro které je ρ silně samodružná,
je buď identita, nebo rovnoběžná projekce do nadroviny ρ nebo základní
afinita.
2.6. Základní afinní zobrazení 63
Důkaz. Nechť je nadrovina ρ silně samodružná v afinním zobrazení f. Podle Věty
2.6.1 je afinní zobrazení určeno nadrovinou ρ a obrazem jediného bodu B ∈ ρ.
Mohou nastat následující možnosti:
1. f(B) = B, potom f ≡ id.
2. f(B) ∈ ρ. Ukážeme, že v tomto případě je f rovnoběžnou projekcí An na
ρ ve směru vektoru
−−−−→
Bf(B), tj. musíme ukázat, že pro každé X = B, X ∈ ρ, je
f(X) ∈ ρ a Xf(X) Bf(B). Situaci rozdělíme na dva případy.
Obrázek 2.6.1: K důkazu Věty 2.6.3
a) Není-li přímka BX rovnoběžná s ρ, označme Y průsečík přímky BX s
nadrovinou ρ (viz Obrázek 2.6.1 a)). Bod Y je potom samodružný bod zobrazení
f, a tedy f(Y ) = Y . Potom obraz bodu X leží na přímce f(B)Y a
(f(X); f(B), f(Y )) = (X; B, Y ). Tedy f(X) ∈ ρ a přímky Xf(X), Bf(B) jsou
rovnoběžné.
b) Je-li přímka BX rovnoběžná s nadrovinou ρ (viz Obrázek 2.6.1 b)), můžeme
zvolit v nadrovině ρ bod Z tak, aby Bf(B)ZX byl rovnoběžník, tedy X − B =
Z − f(B). Pak, protože Z a f(B) jsou samodružné body f, je f(X) − f(B) =
Z − f(B), tj. f(X) = Z. Potom f(X) ∈ ρ a f(X) − f(B) = X − B, tj. opět
přímky Xf(X), Bf(B) jsou rovnoběžné.
V obou případech je tedy f(X) rovnoběžnou projekcí bodu X do nadroviny
ρ ve směru
−−−−→
Bf(B).
3. Pokud f(B) ∈ ρ a f(B) = B, je f základní afinita.
Všimněme si nyní blíže základních afinit. Předpokládejme, že základní afinita
má nadrovinu samodružných bodů ρ a zobrazí bod B /∈ ρ na f(B) /∈ ρ,
B = f(B). Nechť nejdříve přímka Bf(B) není rovnoběžná s ρ, tj. přímka Bf(B)
má s nadrovinou ρ společný bod B0, který je samodružným bodem afinity f.
Uvažujme bod X = B a sestrojme jeho obraz. Situaci rozdělíme na dvě možnosti.
Nechť nejdříve přímka BX není rovnoběžná s ρ (viz Obrázek 2.6.2 a)), pak průsečík
Y přímky BX s ρ je samodružným bodem zobrazení f. Protože X je bodem
přímky BY , je f(X) bodem přímky f(B)Y a platí (X; B, Y ) = (f(X); f(B), Y ).
2.6. Základní afinní zobrazení 64
Odtud Xf(X) Bf(B). Dostaneme tedy obraz f(X) bodu X jako průsečík přímky
f(B)Y a rovnoběžky s přímkou Bf(B) vedenou bodem X. Je-li přímka BX rovnoběžná
s ρ, je f(X) ten bod, kterým se doplní body X, B, f(B) na rovnoběžník
(viz Obrázek 2.6.1 b)).
Obrázek 2.6.2: K důkazu Věty 2.6.3
Obrázek 2.6.3: K důkazu Věty 2.6.3
V případě, že je přímka Bf(B) rovnoběžná s nadrovinou ρ, postupujeme při
konstrukci obrazů bodů X naprosto stejným způsobem, jako v předchozím případě
(na Obrázku 2.6.3 je tato situace zobrazena jen pro bod X takový, ža přímka
BX není rovnoběžná s ρ).
Definice 2.6.3. Základní afinita f s nadrovinou samodružných bodů ρ taková,
že
−−−−→
Bf(B) ∈ Z(ρ), B ∈ ρ, se nazývá elace.
Poznámka 2.6.1. Z definice elace je zřejmé, že zúžení elace na nadrovinu, která
je rovnoběžná s nadrovinou samodružných bodů, je posunutí v této nadrovině. ♦
Věta 2.6.4. Nechť f je základní afinita, která není elace a je dána nadrovinou
samodružných bodů ρ a obrazem bodu B /∈ ρ. Pro každý bod X /∈ ρ označme
X0 průsečík přímky Xf(X) s nadrovinou ρ. Pak dělící poměr (X0; X, f(X)) je
konstantní, nezávislý na volbě X.
2.6. Základní afinní zobrazení 65
Důkaz. Pro základní afinitu, která není elací, jsou body B, f(B) a B0 tři různé
kolineární body. V případě, že X = B je takový bod, že přímka BX není rovnoběžná
z ρ (viz Obr. 2.6.2 a)), je přímka Xf(X) obrazem přímky Bf(B) ve
stejnolehlosti se středem v bodě Y , který je průsečíkem přímky BX a nadroviny
ρ. V této stejnolehlosti se zobrazí bod B na X, f(B) na f(X) a B0 na X0. Protože
stejnolehlost je afinita, je (X0; X, f(X)) = (B0; B, f(B)). Je-li přímka BX
rovnoběžná s ρ, dostaneme BX f(B)f(X) B0X0 a podle Věty 8.4 skript [HoJa]
je libovolná přímka protíná v trojici bodů, jejichž dělící poměr je konstantní.
Aplikujeme-li tuto větu na přímky Bf(B) a Xf(X), dostaneme opět rovnost
dělících poměrů (X0; X, f(X)) = (B0; B, f(B)).
Definice 2.6.4. Nechť je f základní afinita, která není elací a je určena nadrovinou
samodružných bodů ρ a obrazem bodu B /∈ ρ. Číslo (B0; B, f(B)) se
nazýva chakteristika základní afinity.
Směr určený nenulovým vektorem
−−−−→
Bf(B) se nazývá směrem základní afinity.
Elace potom nazýváme základní afinity bez charakteristiky.
Poznámka 2.6.2. Základní afinita, která není elací, je určena směrem a charakteristikou.
♦
Poznámka 2.6.3. Z vlastností dělícího poměru tří bodů vyplývá, že pro základní
afinitu se zápornou charakteristikou jsou body X a f(X), X /∈ ρ, oddělovány
nadrovinou ρ, tj. leží v různých poloprostorech určených nadrovinou ρ.
Pro základní afinity s kladnou charakteristikou leží body X a f(X) ve stejném
poloprostoru. ♦
Definice 2.6.5. Zobrazení f prostoru na sebe, které není identitou a složeno
samo se sebou dává identitu, se nazývá involutorní zobrazení nebo involuce.
Dvojice bodů, které si v involuci vymění místo, se nazývá involutorní dvojice
bodů.
Poznámka 2.6.4. Příkladem afinity, která je involutorní, je středová symetrie.
♦
Věta 2.6.5. Základní afinita je involutorní zobrazení právě tehdy, když její charakteristika
je rovna mínus jedné.
Důkaz. Elace nemůže být involutorní, protože v nadrovinách rovnoběžných s
nadrovinou samodružných bodů se jedná o posunutí (viz Poznámka 2.6.1). Předpokládejme,
že involuce f je základní afinita s charakteristikou k a X, X je involutorní
dvojice f. Potom k = (X0; X, X ) a k = (X0; X , X). Z vlastností dělícího
poměru (viz [HoJa]) je k = 1/k, a tedy k = −1 (připomeňme, že dělící poměr tří
bodů je číslo různé od 0 a 1).
2.6. Základní afinní zobrazení 66
Obrázek 2.6.4: K Poznámce 2.6.5
Poznámka 2.6.5. Pro libovolnou involutorní dvojici bodů X, X involutorní základní
afinity f s nadrovinou samodružných bodů ρ platí, že X0 je středem úsečky
XX (viz Obrázek 2.6.5). Takovéto základní afinity se proto nazývají symetrie
prostoru An podle nadroviny ρ ve směru základní afinity. Pokud je prostor, ve
kterém je symetrie definována, euklidovský, používá se název šikmá nebo kosá
symetrie podle nadroviny. ♦
Věta 2.6.6. Ke každému afinnímu zobrazení f afinního prostoru An do sebe existuje
nejvýše (n+1) základních afinních zobrazení takových, že f je jejich složením.
Mezi těmito základními afinními zobrazeními je nejvýše (h(f)+1) základních afinit
a právě (n − h(f)) rovnoběžných projekcí do nadrovin.
Důkaz. Nechť h(f) ≤ n je hodnost afinního zobrazení f : An → An. Zvolme v
An (n + 1) bodů P0, P1, . . . , Pn v obecné poloze tak, že prvních (h(f) + 1) bodů
f(P0), f(P1), . . . , f(Ph(f)) je v obecné poloze.
Pokud P0 = f(P0), zvolme libovolnou nadrovinu ρ1 takovou, že P0 /∈ ρ1,
f(P0) /∈ ρ1. Pak existuje podle Věty 2.6.3 jediná základní afinita f1, která má ρ1
za nadrovinu samodružných bodů a zobrazuje P0 na f(P0). Označme f1(Pi) =
P1i, i = 1, 2, . . . , n. Pokud P0 = f(P0) tento krok vynecháme (jako f1 bereme
identitu).
Pokud P11 = f(P1), zvolme libovolnou nadrovinu ρ2 takovou, že f(P0) ∈ ρ2,
P11 /∈ ρ2, f(P1) /∈ ρ2. Pak existuje podle Věty 2.6.3 jediná základní afinita f2,
která má ρ2 za nadrovinu samodružných bodů a zobrazuje P11 na f(P1). Označme
f2(Pi) = P2i, i = 2, 3, . . . , n. Pokud P11 = f(P1) tento krok vynecháme (jako f2
bereme identitu).
Dále pokračujeme analogicky až do (h(f) + 1)-ního kroku, tj. pro pokud jsou
body Ph(f),h(f), f(Ph(f)) různé, zvolíme libovolnou nadrovinu ρh(f)+1 takovou, že
f(Pj) ∈ ρh(f)+1, j = 0, 1, . . . , h(f) − 1, Ph(f),h(f) /∈ ρh(f)+1, f(Ph(f) /∈ ρh(f)+1.
Pak existuje podle Věty 2.6.3 jediná základní afinita fh(f)+1, která má ρh(f)+1
za nadrovinu samodružných bodů a zobrazuje Ph(f),h(f) na f(Ph(f)). Označme
fh(f)+1(Pi) = Ph(f)+1,i, i = h(f) + 1, . . . , n. Pokud Ph(f),h(f) = f(Ph(f)) tento krok
vynecháme (jako fh(f)+1 bereme identitu).
2.6. Základní afinní zobrazení 67
Tímto způsobem jsme dostali nejvýše (h(f) + 1) základních afinit, jejichž složením
je afinita, která zobrazuje body P0, P1, . . . , Ph(f) postupně na body f(P0),
f(P1), . . . , f(Ph(f)) a zbývající body Ph(f)+1, . . . , Pn zobrazí postupně na body
Ph(f)+1,h(f)+1, . . . , Ph(f)+1,n. Pro další úvahu je podstatné, že body f(P0), f(P1),
. . . , f(Ph(f)), Ph(f)+1,h(f)+1, . . . , Ph(f)+1,n jsou v obecné poloze, tj. žádný z bodů
Ph(f)+1,h(f)+1, . . . , Ph(f)+1,n neleží v h(f)-dimenzionálním podprostoru určeném
body f(P0), f(P1), . . . , f(Ph(f)). Naopak, v tomto podprostoru leží všechny body
f(Ph(f)+1), . . . , f(Pn) (to vyplývá z hodnosti zobrazení).
Uvažujme nyní libovolnou nadrovinu ρh(f)+2, která obsahuje body f(P0), . . . ,
f(Ph(f)) a neobsahuje bod Ph(f)+1,h(f)+1. Protože f(Ph(f)+1) ∈ ρh(f)+2, existuje
podle Věty 2.6.3 jediná projekce fh(f)+2 prostoru An do nadroviny ρh(f)+2 taková,
že fh(f)+2(Ph(f)+1,h(f)+1) = f(Ph(f)+1). Označme fh(f)+2(Pi) = Ph(f)+2,i, i = h(f)+
2, . . . , n. Přitom body Ph(f)+2,i, i = h(f) + 2, . . . , n nemohou ležet v podprostoru
určeném body f(P0), f(P1), . . . , f(Ph(f)) (to by bylo ve sporu s tím, že projekce
do nadroviny má hodnost n − 1).
Dále uvažujme nadrovinu ρh(f)+3, která neobsahuje bod Ph(f)+2,h(f)+2. Protože
f(Ph(f)+2) ∈ ρh(f)+3, existuje podle Věty 2.6.3 jediná projekce fh(f)+3 prostoru
An do nadroviny ρh(f)+3 taková, že fh(f)+3(Ph(f)+2,h(f)+2) = f(Ph(f)+2). Označme
fh(f)+3(Pi) = Ph(f)+3,i, i = h(f)+3, . . . , n. Přitom opět ze stejných důvodů jako v
předchozím kroku nemohou body Ph(f)+3,i, i = h(f)+3, . . . , n ležet v podprostoru
určeném body f(P0), f(P1), . . . , f(Ph(f)).
Postupně tak dostaneme právě (n − h(f)) projekcí do nadrovin, které spolu s
předtím sestrojenými základními afinitami vyhovují tvrzení naší věty.
Důsledek 2.6.1. Nechť f je afinita na An, pak existuje nejvýše (n+1) základních
afinit takových, že f je jejich složením.
Důkaz. Tvrzení je přímým důsledkem předchozí Věty 2.6.6.
Poznámka 2.6.6. Postup popsaný ve Větě 2.6.6 je dobré zachytit do přehledné
tabulky, kde jako Pi značíme f(Pi).
f1 f2 f3 fn fn+1
P0 −→ P0 −→ P0 −→ · · · −→ P0 −→ P0;
P1 −→ P11 −→ P1 −→ · · · −→ P1 −→ P1;
...
...
...
...
...
Pn−1 −→ Pn−1,1 −→ Pn−1,2 −→ · · · −→ Pn−1 −→ Pn−1;
Pn −→ Pn,1 −→ Pn,2 −→ · · · −→ Pn,n −→ Pn.
Všimněme si, že rozklad afinních zobrazení na základní afinní zobrazení není
jednoznačný. V podstatné míře závisí na zvolených bodech, a také v jednotlivých
krocích je možno volit různé nadroviny základních afinit. Dokonce i počet základních
afinit v rozkladu není jednoznačný. Pro praktický výpočet je dobré si
uvědomit, že například volbou samodružných bodů zobrazení mezi vybrané body,
2.6. Základní afinní zobrazení 68
si můžeme ušetřit tolik kroků v rozkladu, kolik samodružných bodů v obecné poloze
můžeme zvolit. ♦
Uvažujme nyní na An afinní repér R = P; e1, . . . , en a vyjádřeme rovnice
základních afinních zobrazení vzhledem k tomuto repéru.
Věta 2.6.7. Nechť je dána nadrovina ρ ≡ a1x1 + · · · + anxn + a = 0 a nenulový
vektor s = (s1; . . . ; sn), s /∈ Z(ρ). Pak rovnoběžná projekce prostoru An na
nadrovinu ρ ve směru určeném vektorem s má souřadnicové vyjádření
xi = xi −
si
n
j=1 ajsj
(a1x1 + · · · + anxn + a), i = 1, . . . , n . (2.6.1)
Důkaz. Rovnoběžná projekce r(s, ρ) zobrazí bod X = [x1; . . . ; xn] na bod f(X)
= [x1; . . . ; xn] takový, že f(X) ∈ ρ a
−−−−→
Xf(X) = λs. Je tedy
xi − xi = λsi, i = 1, . . . , n, (2.6.2)
a
a1x1 + · · · + anxn + a = 0 . (2.6.3)
Dosazením (2.6.2) do (2.6.3) dostaneme
−(a1x1 + · · · + anxn + a) = λ(a1s1 + · · · + ansn) .
Protože s /∈ Z(ρ), je n
j=1 ajsj = 0 a máme
λ = −
a1x1 + · · · + anxn + a
n
j=1 ajsj
(2.6.4)
odkud, dosazením do (2.6.2), dostaneme (2.6.1).
Věta 2.6.8. Nechť je dána nadrovina ρ ≡ a1x1 + · · · + anxn + a = 0 a body
B = [b1; . . . ; bn], B = [b1; . . . ; bn] takové, že B, B /∈ ρ, B = B . Pak základní
afinní zobrazení pro které je ρ silně samodružná a zobrazuje bod B na bod B , má
souřadnicové vyjádření
xi = xi + λi(a1x1 + · · · + anxn + a), i = 1, . . . , n , (2.6.5)
kde
λi =
bi − bi
n
j=1 ajbj + a
. (2.6.6)
2.6. Základní afinní zobrazení 69
Důkaz. Předpokládejme, že pro zobrazení f se souřadnicovými rovnicemi
xi =
n
j=1
aijxj + bi, i = 1, . . . , n , (2.6.7)
je nadrovina ρ silně samodružná. Potom musí existovat čísla λi, i = 1 . . . , n,
taková, že
ai1x1 + · · · + (aii − 1)xi + · · · + ainxn + bi = λi(
n
j=1
ajxj + a) . (2.6.8)
Pomocí (2.6.7) upravíme (2.6.8) na
xi − xi = λi(
n
j=1
ajxj + a) .
Protože B /∈ ρ, je ( n
j=1 ajbj + a) = 0 a dosazením souřadnic bodů B za xi a
bodu B za xi máme
λi =
bi − bi
n
j=1 ajbj + a
,
což dokazuje tvrzení věty.
Předchozí úvahy shrňme do následující věty.
Věta 2.6.9. Nechť je dána nadrovina ρ ≡ a1x1 +· · ·+anxn +a = 0. Pak základní
afinní zobrazení, pro které je ρ silně samodružná, má souřadnicové vyjádření
xi = xi + λi(a1x1 + · · · + anxn + a), i = 1, . . . , n . (2.6.9)
Přitom:
1. Je-li λ1 = · · · = λn = 0, jedná se i identitu na An.
2. Je-li n
i=1 aiλi = −1, jedná se o rovnoběžnou projekci An do nadroviny ρ
ve směru vektoru s = (λ1; . . . ; λn).
3. Je-li alespoň jeden koeficient λi nenulový a n
i=1 aiλi = −1, jedná se o
základní afinitu, která je
(a) elací pro n
i=1 aiλi = 0,
(b) základní afinitou s charakteristikou
k =
1
n
i=1 aiλi + 1
pro n
i=1 aiλi = 0. Navíc, pro n
i=1 aiλi = −2 se jedná o symetrii An
podle nadroviny ρ ve směru určeném vektorem s = (λ1; . . . ; λn).
2.6. Základní afinní zobrazení 70
Důkaz. Podle Věty 2.6.9 má základní afinní zobrazení f, pro které je ρ silně
samodružná, souřadnicové vyjádření (2.6.9).
1. f je identitou právě tehdy, když xi = xi, tj. právě tehdy, když λi = 0,
i = 1, . . . , n, v rovnicích (2.6.9).
2. Je-li f rovnoběžnou projekcí An do nadroviny ρ ve směru L(s), má podle
Věty 2.6.7 f souřadnicové vyjádření (2.6.9), kde
λi = −
si
n
j=1 ajsj
, i = 1 . . . , n .
Odtud dostaneme okamžitě n
i=1 aiλi = −1.
Naopak, je-li n
i=1 aiλi = −1 ve vyjádření (2.6.9), dostaneme
a1x1 + · · · + anxn + a = (a1x1 + · · · + anxn + a)(1 +
n
i=1
aiλi)
= 0 ,
tj. f(X) ∈ ρ pro každé X ∈ An. Podle Věty 2.6.3 se jedná o rovnoběžnou projekci
An do ρ. Porovnání (2.6.1) a (2.6.9) dostaneme, že směr projekce je určen právě
vektorem s = (λ1; . . . ; λn).
3. Podle Věty 2.6.3 základní afinní zobrazení, které vyhovuje podmínkám naší
věty a není ani identita, ani projekce do nadroviny, je základní afinita. Je-li tedy
alespoň jeden koeficien λi nenulový a n
i=1 aiλi = −1, je zobrazení (2.6.9) základní
afinita. Potom z Věty 2.6.8 pro nějaký bod B = [b1; . . . ; bn] /∈ ρ platí
λi =
bi − bi
n
i=1 aibi + a
.
a) Zobrazení je elací právě tehdy, když vektor
−−−−→
Bf(B) = (b1 − b1; . . . ; bn − bn)
leží v zaměření nadroviny ρ, tj. právě tehdy, když n
i=1 ai(bi − bi) = 0, což je
ekvivalentní n
i=1 aiλi = 0.
b) Není-li f elací, je
−−−−→
Bf(B) /∈ Z(ρ) a musí existovat bod B0, který je průnikem
ρ a přímky Bf(B). Máme tedy B0 = B +t
−−−−→
Bf(B), což vyjádříme vo souřadnicích
jako b0i = bi + t(bi − bi) = bi + t.λi( n
j=1 ajbj + a), a z podmínky B0 ∈ ρ, t.j.
n
i=1 aib0i + a = 0, je t = −
1
n
i=1 aiλi
. Potom
−−→
BB0 = −
1
n
i=1 aiλi
−−−−→
Bf(B), to jest
(B; B0, f(B)) = −
1
n
i=1 aiλi
, a odtud
−−→
BB0 =
1
n
i=1 aiλi + 1
−−−−−→
f(B)B0 ,
2.6. Základní afinní zobrazení 71
což znamená, že charakteristika f je
k = (B0; B, f(B)) =
1
n
i=1 aiλi + 1
.
Podle Věty 2.6.5 je f involutorní právě tehdy, je-li k = −1, tj. právě tehdy, je-li
n
i=1 aiλi = −2.
Úloha 2.6.1. Určete rovnici rovnoběžné projekce afinního prostoru A3 do roviny
ρ ≡ 2x + y − z + 2 = 0 ve směru určeném vektorem s = (0; 1; 0).
Řešení : I. metoda : Využijeme souřadnicového vyjádření z Věty 2.6.7. Pak
dostaneme přímo rovnice projekce ve tvaru
x = x
y = −2x +z −2
z = z
.
II. metoda : V rovině ρ vybereme tři body v obecné poloze, například A =
[1; 0; 4], B = [0; 1, ; ], C = [0; 0; 2]. Určíme projekci počátku afinního repéru do
roviny ρ, tj. průnik ρ a přímky X = P + ts. Dostaneme f(P) = [0; −2; 0]. Potom
některou z metod popsaných v Úloze 2.2.1 nebo 2.2.2 určíme rovnice projekce.
Úloha 2.6.2. Určete rovnice základní afinity f v A3, pro kterou je rovina ρ ≡
x + y − z = 0 rovinou samodružných bodů a bod B = [1; 0; 2] se zobrazuje na
B = [2; 0; 1] . Je afinita f elací ?
Řešení : Vektor
−−→
BB = (1; 0; −1) nepatří do zaměření roviny ρ, a tedy afinita
f není elace.
Rovnice afinity: I. metoda : Podle Věty 2.6.8 má základní afinita rovnice
x = x + λ1(x + y − z)
y = y + λ2(x + y − z)
z = z + λ3(x + y − z)
Dosazením souřadnic bodů B a B určíme λ1 = −1, λ2 = 0, λ3 = 1, a tedy
dostaneme rovnice základní afinity ve tvaru
x = −y +z ;
y = y ;
z = x +y .
II. metoda : Zvolíme v ρ tři body v obecné poloze, např. A = [0; 0; 0] , C =
[1; 0; 1] , D = [0; 1; 1] . Jsou to body samodružné, tedy f(A) = A, f(C) = C,
f(D) = D. Čtvrtým bodem pro určení afinity je bod B. Potom některou z metod
popsaných v Úloze 2.2.1 nebo 2.2.2 určíme rovnice základní afinity.
2.6. Základní afinní zobrazení 72
Úloha 2.6.3. V afinní rovině A2 s repérem P; e1, e2 je dána afinita f rovnicemi
x = 2x − y + 1;
y = x + y + 3.
Rozložte f na osové afinity.
Řešení : Zvolme v A2 tři body v obecné poloze, a to např. A = [0; 0], B =
[1; 0], C = [0; 1]; jejich obrazy v afinitě f jsou body A = [1; 3], B = [3; 4],
C = [0; 4]. Při hledání základních afinit budeme postupovat obdobně jako v
důkazu Věty 2.6.6. Při praktickém hledání osových afinit můžeme postupovat
dvojím způsobem.
1. způsob : Jednotlivé osové afinity volíme tak, aby jejich osy měly jednoduché
rovnice. Osovou afinitu f1 zvolíme tak, aby bod A zobrazila do bodu A . Osu o1
můžeme volit libovolně, jen nesmí procházet body A a A . Zvolme tedy za osu
přímku o rovnici o1 ≡ y = 1. Užitím Věty 2.6.8 snadno určíme rovnice f1 ve tvaru
x = x − y + 1 ;
y = −2y + 3 .
Obrazy bodů B a C v afinitě f1 jsou B1 = [2; 3], C1 = C = [0; 1].
Osovou afinitu f2 budeme volit tak, aby f2(A ) = A a f2(B1) = B . Tedy
osa o2 musí procházet bodem A a nesmí procházet body B1 a B . Zvolme za o2
přímku o rovnici o2 ≡ x = 1. Opět užitím Věty 2.6.8 snadno určíme rovnice f2
ve tvaru
x = 2x − 1 ;
y = x + y − 1 .
Z těchto rovnic vypočteme f2(C) = C2 = [−1, 0].
Pro afinitu f3 musí platit f3(A ) = A , f3(B ) = B , f3(C2) = C . Přímka A B
je přímkou samodružných bodů f3, tedy osou o3, jejíž rovnice je o3 ≡ x−2y+5 =
0. Rovnice f3 jsou potom
x =
5
4
x −
1
2
y +
5
4
;
y = x − y + 5 .
Výsledný rozklad můžeme shrnout do tabulky
f1 f2 f3
[0; 0] −→ [1; 3] −→ [1; 3] −→ [1; 3];
[1; 0] −→ [2; 3] −→ [3; 4] −→ [3; 4];
[0; 1] −→ [0; 1] −→ [−1; 0] −→ [0; 4],
2.7. Klasifikace afinit v rovině 73
odkud je vidět, že složením f3 ◦ f2 ◦ f1 dostaneme původní afinitu f.
2. způsob : Osy jednotlivých základních afinit volíme tak, abychom nemuseli
určovat obrazy B1, C1, C2 bodů B a C. Osa o1 = BC ≡ x + y − 1 = 0. Potom
určíme rovnice f1 zobrazující A na A ve tvaru
x = −y + 1 ;
y = −x + 1 .
Základní afinitu f2 volíme s osou o2 = A C ≡ 2x−y+1 = 0 tak, aby zobrazila
B na B . Dostaneme
x =
3
5
x −
2
3
y +
2
3
;
y =
8
3
x −
1
3
y +
4
3
.
Konečně afinitu f3 volíme s osou o3 = A B ≡ x−2y+5 = 0 tak, aby zobrazila
C na C . Dostaneme
x = x ;
y = −
1
2
y +
9
2
.
Výsledný rozklad můžeme opět shrnout do tabulky
f1 f2 f3
[0; 0] −→ [1; 3] −→ [1; 3] −→ [1; 3] ;
[1; 0] −→ [1; 0] −→ [3; 4] −→ [3; 4] ;
[0; 1] −→ [0; 1] −→ [0; 1] −→ [0; 4] .
2.7 Klasifikace afinit v rovině
Na závěr této kapitoly budeme klasifikovat (třídit) všechny afinity v rovině podle
počtu samodružných bodů a vlastních směrů. Připomeňme, že je-li afinní zobrazení
zadáno v souřadnicích maticemi A a B jsou samodružné body řešením
nehomogenní soustavy rovnic
(a11 − 1) x + a12 y + b1 = 0 ,
a21 x + (a22 − 1) y + b2 = 0 ,
t.j. zobrazení buďto nemá žádný samodružný bod, nebo má právě jeden samodružný
bod, přímku samodružných bodů a konečně může být každý bod roviny
samodružný. V případě, že má zobrazení alespoň jeden samodružný bod, můžeme
2.7. Klasifikace afinit v rovině 74
ho zvolit jako počátek afinního repéru a (b1; b2) = (0; 0). V tabulce všech afinit v
rovině tedy máme čtyři řádky podle počtu samodružných bodů.
Dále je charakteristická rovnice afinity v rovině kvadratická rovnice s reálnými
koeficienty. Nemá-li charakteristická rovnice reálný kořen, nemá afinita žádný
vlastní směr. Má-li charakteristické rovnice dva reálné různé kořeny, má afinita
podle Věty 2.4.5 dva lineárně nezávislé vlastní směry. Má-li charakteristická rovnice
dvojnásobný reálný kořen, mohou nastat dva případy - prostor vlastních
vektorů má dimenzi jedna nebo dva (každý směr je vlastní). Máme tedy v tabulce
4 sloupce s možnými počty vlastních směrů.
Připomeňme ještě Větu 2.4.4, která říká, že není-li kořenem charakteristické
rovnice 1, má zobrazení právě jeden samodružný bod. Negací tohoto výroku tak
dostaneme, že pokud je 1 vlastní hodnotou zobrazení, nemá buďto zobrazení
žádný samodružný bod nebo má nejméně přímku samodružných bodů.
Nyní si může zachytit jednotlivé možnosti. Je zřejmé, že jsou-li všechny body
samodružné, musí se jednat o identitu, která má i všechny směry vlastní a v
posledním řádku tabulky je jediná možnost.
Jestliže nemá charakteristická rovnice žádný reálný kořen, má podle Věty 2.4.4
právě jeden samodružný bod a matice zobrazení je dána reálnou a imaginární
složkou komplexního kořene, viz Část 1.3. Je tedy v 1. sloupci tabulky jediná
možnost.
Pokud má charakteristická rovnice dva reálné různé kořeny, dělíme situaci
ještě na případ, kdy je jeden z nich roven jedné nebo jsou oba různé od jedné.
Ve druhém případě máme právě jeden samodružný bod a rovnice zobrazení ve
2. řádku 3. sloupci je dána Větou 2.4.6. V prvním případě máme buďto přímku
samodružných bodů (osová afinita - jeden vlastní směr je směr osy odpovídající
jedničce jako vlastní hodnotě a druhý vlastní směr je směr osové afinity) nebo
není žádný bod samodružný (osová afinita složená s posunutím ve směru osy). V
obou případech dostáváme rovnice zobrazení z Věty 2.4.6.
Konečně nechť má charakteristická rovnice dvojnásobný kořen. Je-li navíc
tento kořen různý od jedné, má afinita právě jeden samodružný bod a doplňujeme
tabulku ve druhém řádku. Vlastní směry potom tvoří buďto podprostor
dimenze jedna (druhý sloupec) nebo dva (poslední sloupec). V prvním případě
má matice zobrazení horní trojúhelníkový tvar s vlastní hodnotou na diagonále
a s nenulovým koeficientem nad diagonálou (viz Část 1.3), ve druhém případě je
matice diagonální s vlastní hodnotou na diagonále a jedná se o stejnolehlost.
Konečně poslední možnost je, že jednička je dvojnásobným kořenem charakteristické
rovnice. Opět, pokud má prostor vlastních vektorů dimenzi jedna, může
mít zobrazení přímku samodružných bodů (jedná se o elaci, směr osy je jediný
vlastní směr) nebo nemá žádný samodružný směr (elace složená s posunutím o
nenulový vektor ve směru osy). Matice zobrazení je opět horní trojúhelníková
matice s jedničkou na diagonále a nenulovým koeficientem nad diagonálou. Po-
2.7. Klasifikace afinit v rovině 75
kud má prostor vlastních vektorů dimenzi dva, může nastat pouze situace, kdy
zobrazení má buďto každý bod jako samodružný, nebo nemá žádný samodružný
bod. Jedná se tedy o posunutí buďto o nulový vektor (identita) nebo o nenulový
vektor.
Výsledná tabulka tedy vypadá takto:
Žadný vlastní Jeden vlastní Dva nezávislé Každý směr
směr směr směry vlastní
Žádný x = x + a y x = x + b x = x + b1
samod- — y = y + b y = λ2 y y = y + b2
ružný a = 0, b = 0 0 = λ2 = 1 (b1; b2) = (0; 0)
bod Posunutá elace b = 0 Posunutí
Posunutá o. a. o vektor (b1; b2)
Jeden x = α x + β y x = λ1 x + b y x = λ1 x x = λ1 x
samod- y = −β x + α y y = λ1 y y = λ2 y y = λ1 y
ružný β = 0 0 = λ1 = 1 0 = λ1 = 1 0 = λ1 = 1
bod b = 0 0 = λ2 = 1 Stejnolehlost
λ1 = λ2 s keoficientem λ1
Přímka x = x + ay x = x
samod- — y = y y = λ2 y —
ružných a = 0 0 = λ2 = 1
bodů Elace Osová afinita
Všechny x = x
body — — — y = y
samod- Identita
ružné
Kapitola 3
SHODNÁ A PODOBNÁ
ZOBRAZENÍ
V této kapitole budeme studovat zobrazení na euklidovských bodových prostorech.
Připomeňme, že euklidovský bodový prostor je afinní prostor, na jehož zaměření
je dán skalární součin.
3.1 Shodná zobrazení
V této části skript definujeme shodné zobrazení mezi euklidovskými prostory a
ukážeme, že je to afinních zobrazení. Základním pojmem, který je nutný pro
definici shodného zobrazení, je vzdálenost bodů, která je dána
|XY | =
−−→
XY = (
−−→
XY ,
−−→
XY ) .
Definice 3.1.1. Zobrazení f euklidovského prostoru En do euklidovského prostoru
Em se nazývá shodné zobrazení (izometrické zobrazení), jestliže zachovává
vzdálenosti bodů, t.j. pro každé dva body body X, Y ∈ En platí
|f(X)f(Y )| = |XY | .
Poznámka 3.1.1. Je třeba si uvědomit, že vzdálenosti v En a Em jsou obecně
definovány různým způsobem. ♦
Příklad 3.1.1. Ze střední školy známe celou řadu shodných zobrazení v euklidovské
rovině či prostoru, např. posunutí, otáčení (kolem středu či přímky),
středovou symetrii, osovou symetrii a symetrii podle roviny (zrcadlení). ♥
Věta 3.1.1. Každé shodné zobrazení je prosté.
81
3.1. Shodná zobrazení 82
Důkaz. Pro libovolné dva body B, C ∈ En takové, že B = C je |BC| = 0, potom
ale |BC| = |f(B)f(C)| = 0, a tedy f(B) = f(C).
Poznámka 3.1.2. Z definice je zřejmé, že zúžení shodného zobrazení na podprostor
euklidovského prostoru je opět shodné zobrazení. Dále, jsou-li f : En → Em
a g : Em → Ek shodná zobrazení, je i jejich složení g ◦ f shodné zobrazení. ♦
Věta 3.1.2. Každé shodné zobrazení je afinní zobrazení, t.j. tři různé kolineární
body zobrazí na tři různé kolineární body a zachová jejich dělící poměr.
Důkaz. Nechť jsou dány libovolné tři různé kolineární body body B, C, D ∈ En
takové, že 0 > λ = (D; B, C), t.j. D leží mezi body B, C. Potom
−−→
BD = λ
−−→
CD a
tedy |BD| = |λ| |CD|. Protože D leží mezi body B, C je |BD| + |DC| = |BC|
a pro shodné zobrazení f dostaneme |f(B)f(D)| + |f(D)f(C)| = |f(B)f(C)|,
to ale znamená, že body f(B), f(C), f(D) jsou kolineární a f(D) leží mezi body
f(B), f(C), tedy také dělící poměr λ = (f(D); f(B), f(C)) je záporné číslo. Po-
tom
−−−−−−−→
f(B)f(D) = λ
−−−−−−→
f(C)f(D), a tedy |f(B)f(D)| = |λ | |f(C)f(D)|. Z rovností
|f(B)f(D)| = |BD| a |f(C)f(D)| = |CD| tak dostaneme |λ| = |λ | a protože
jsou obě hodnoty záporné je λ = λ .
Shodná zobrazení tedy mají všechny vlastnosti afinních zobrazení. Např. zobrazují
podprostory na podprostory a přitom zachovávají rovnoběžnost podprostorů.
Protože je shodné zobrazení prosté, je n ≤ m. Dále ke shodnému zobrazení
můžeme definovat asociované lineární zobrazení předpisem ϕf (
−−→
XY ) =
−−−−−−−→
f(X)f(Y ).
Pomocná věta 3.1.3. Asociované lineární zobrazení shodného zobrazení zachovává
velikost vektorů, t.j. pro každý vektor u ∈ Z(En) platí
ϕf (u) = u .
Důkaz. Nechť u =
−−→
BC, potom máme
ϕf (u) =
−−−−−−→
f(B)f(C) = |f(B)f(C)| = |BC| = u .
Věta 3.1.4. Asociované lineární zobrazení shodného zobrazení zachovává skalární
součin vektorů, t.j. pro všechny vektory u, v ∈ Z(En) platí
(ϕf (u), ϕf (v)) = (u, v) ,
t.j. ϕf je ortogonální lineární zobrazení z Z(En) do Z(Em).
Důkaz. Z vlastností skalárního součinu dostáváme
(u + v, u + v) = (u, u) + 2 (u, v) + (v, v) ,
3.1. Shodná zobrazení 83
t.j.
2 (u, v) = u + v 2
− u 2
− v 2
.
Aplikací této rovnosti na vektory ϕf (u) a ϕf (v) a z Pomocné věty 3.1.3 dostaneme
2 (ϕf (u), ϕf (v)) = ϕf (u) + ϕf (v) 2
− ϕf (u) 2
− ϕf (v) 2
= ϕf (u + v) 2
− ϕf (u) 2
− ϕf (v) 2
= u + v 2
− u 2
− v 2
= 2 (u, v) .
Asociované ortogonální lineární zobrazení je jednoznačně určeno shodným
zobrazením. Naopak platí
Věta 3.1.5. Nechť je dáno ortogonální lineární zobrazení ϕ : Z(En) → Z(Em) a
body B ∈ En, B ∈ Em. Pak existuje jediné shodné zobrazení f : En → Em takové,
že f(B) = B a ϕf = ϕ.
Důkaz. Podle Věty 2.1.3 existuje jediné afinní zobrazení daných vlastností určené
f(X) = B + ϕ(
−−→
BX) . (3.1.1)
Ukážeme, že (3.1.1) je shodné zobrazení. Máme
|f(X)f(Y )| =
−−−−−−−→
f(X)f(Y ) = ϕ(
−−→
XY ) =
−−→
XY = |XY | .
Věta 3.1.6. Nechť je dáno (n + 1) bodů v obecné poloze P0, P1, . . . , Pn ∈ En a
body P0, P1, . . . , Pn ∈ Em takové, že
|PiPj| = |Pi Pj| , i, j = 0, . . . , n . (3.1.2)
Pak existuje jediné shodné zobrazení f : En → Em takové, že f(Pi) = Pi pro
všechna i = 0, . . . , n.
Důkaz. Protože jsou body P0, P1, . . . , Pn ∈ En v obecné poloze, jsou vektory
−−→
P0P1, . . . ,
−−−→
P0Pn ∈ Z(En) lineárně nezávislé. Podmínka (3.1.2) znamená, že i body
P0, P1, . . . , Pn ∈ Em jsou v obecné poloze, a tedy i vektory
−−→
P0P1, . . . ,
−−−→
P0Pn ∈
Z(Em) jsou lineárně nezávislé. Podle Věty 1.1.2 existuje jediné lineární zobrazení
ϕ : Z(En) → Z(Em) takové, že ϕ(
−−→
P0Pi) =
−−→
P0Pi . Navíc platí ϕ(
−−→
P0Pi) =
−−→
P0Pi ,
a tedy ϕ je ortogonální zobrazení. Podle Věty 3.1.5 je zobrazení
f(X) = P0 + ϕ(
−−→
P0X)
shodné zobrazení a snadno se vidí, že f(Pi) = Pi .
3.1. Shodná zobrazení 84
Důsledek 3.1.1. Shodné zobrazení z euklidovské roviny je určeno obrazy vrcholů
libovolného trojúhelníka na vrcholy s ním shodného trojúhelníka.
Vyjádření shodného zobrazení v souřadnicích je stejné, jako u afinních zobrazení.
Musíme si jen uvědomit, že v euklidovských bodových prostorech používáme
kartézské repéry a souřadnice. Mějme tedy kartézský repér R = P; e1, . . . , en v
En a kartézský repér R = Q; d1, . . . , dm v Em a nechť f : En → Em je shodné
zobrazení. Zvolíme-li Q = f(P), di = ϕf (ei), i = 1, . . . , n, potom stejně jako ve
Větě 2.2.3 dostaneme souřadnicové vyjádření f ve tvaru
x1 = x1 , xn+1 = 0 ,
...
... (3.1.3)
xn = xn , xm = 0 .
V souřadnicích je to tedy kanonické vložení Rn
do Rm
, kde Rk
chápeme jako
euklidovský bodový prostor.
Pokud je repér R = Q; d1, . . . , dm v Em obecný, nezávislý na repéru R =
P; e1, . . . , en v En, dostaneme vyjádření f ve tvaru
xj =
n
i=1
ajixi + bj , j = 1, . . . , m , (3.1.4)
který budeme častěji psát maticově



x1
...
xm


 =



a11 · · · a1n
...
...
am1 · · · amn






x1
...
xn


 +



b1
...
bm


 , (3.1.5)
nebo symbolicky
(f(X)) = A(X) + B . (3.1.6)
Matice A je ovšem matice asociovaného ortogonálního lineárního zobrazení a tedy
podle Části 1.4 splňuje podmínku AT
A = En.
Nechť je naopak dána matice A typu m/n taková, že AT
A = En, t.j. taková,
že platí m
j=1 aji ajk = δik, δik = 1, i = k, δik = 0, i = k, a nechť B je libovolná
matice typu m/1. Ukážeme, že zobrazení
xj =
n
i=1
ajixi + bj , j = 1, . . . , m (3.1.7)
3.1. Shodná zobrazení 85
je shodné. Máme
|X Y |2
=
m
j=1
(yj − xj)2
=
m
j=1
n
i=1
aji (yi − xi)
2
=
m
j=1
n
i,k=1
aji (yi − xi) ajk (yk − xk)
=
n
i,k=1
(yi − xi) (yk − xk)
m
j=1
aji ajk
=
n
i=1
(yi − xi)2
= |XY |2
.
Je tedy zobrazení (3.1.7) shodné.
Můžeme tedy předchozí úvahy shrnout do následující věty.
Věta 3.1.7. Nechť f : En → Em je afinní zobrazení, které má v kartézských
souřadnicích na En a Em vyjádření (f(X)) = A(X) + B. Potom f je shodné
zobrazení právě tehdy, když matice A splňuje podmínku AT
A = En.
Úloha 3.1.1. Zobrazení f : E2 → E3 je dáno obrazy bodů P, A, B. Určete rovnice
zobrazení a zjistěte, zda se jedná o shodné zobrazení. Co je Im(f)?
P = [0, 0], A = [1, 0], B = [0, 1]
P = [1, 3, −2],
A = 1, 3
√
2+1√
2
, −2
√
2+1√
2
, B =
√
3+1√
3
, 3
√
3+1√
3
, −2
√
3−1√
3
.
Řešení: Označme
X = [x, y] ∈ E2, f(X) = X = [x , y , z ] ∈ E3 ,
A − P = 0, 1√
2
, 1√
2
, B − P = 1√
3
, 1√
3
, − 1√
3
.
Rovnice zobrazení je (X ) = A(X) + P , tedy


x
y
z

 =



0 1√
3
1√
2
1√
3
1√
2
− 1√
3



x
y
+


1
3
−2

 .
Zobrazení je shodné pro AT
A = E, tedy
0 1√
2
1√
2
1√
3
1√
3
− 1√
3



0 1√
3
1√
2
1√
3
1√
2
− 1√
3


 =
1 0
0 1
.
3.2. Shodnosti, grupa shodností 86
Rovnice obrazu E2 má v E3 parametrické vyjádření
x = 1 + 1√
3
s ,
y = 3 + 1√
2
t + 1√
3
s ,
z = −2 + 1√
2
t − 1√
3
s .
Z první rovnice vyjádříme s a dosadíme do zbývajících dvou rovnic, dostaneme
s =
√
3(x − 1) a
y = 3 + 1√
2
t + (x − 1) , z = −2 + 1√
2
t − (x − 1) .
Vyloučením parametru t dostaneme y−3−x+1 = z+2+x−1. Obecné vyjádření
Im(f) je tedy
ρ ≡ 2x − y + z + 3 = 0 .
3.2 Shodnosti, grupa shodností
V této části budeme uvažovat shodná zobrazení na euklidovském prostoru. Protože
je shodné zobrazení prosté, je shodné zobrazení euklidovského prostoru na
sebe bijekcí. Protože je každé shodné zobrazení afinní, je shodnost afinita na
euklidovském prostoru. Na euklidovském prostoru múžeme uvažovat libovonou
afinitu. Objasněme nejdříve, jaký je geometrický význam ekviafinních zobrazení.
Připomeňme, že ekviafinní zobrazení jsou afinity s modulem ±1.
Věta 3.2.1. Ekviafinní zobrazení euklidovského prostoru En zachovává objemy.
Důkaz. Uvažujme v En n-rozměrný rovnoběžnostěn R(A; u1, . . . , un). Jeho objem
je dán absolutní hodnotou vnějšího součinu [u1, . . . , un]. Afinita f zobrazí rovnoběžnostěn
na rovnoběžnostěn R (f(A); ϕf (u1), . . . , ϕf (un)). Jeho objem je potom
absolutní hodnota vnějšího součinu [ϕf (u1), . . . , ϕf (un)]. V kartézských souřadnicích
je vnější součin určen determinantem matice, v jejichž sloupcích jsou souřadnice
daných vektorů. Je-li potom f určeno v souřadnicích (X ) = A(X)+B, je
[ϕf (u1), . . . , ϕf (un)] = [A(u1), . . . , A(un)] = |A|·[u1, . . . , un], a tedy rovnoběžnostěny
R a R mají stejný objem právě tehdy, je-li absolutní hodnota determinantu
|A| rovna jedné, t.j. m(f) = ±1 a f je ekviafinní zobrazení.
Definice 3.2.1. Shodné zobrazení f euklidovského prostoru En na sebe se nazývá
shodnost (izometrie) En.
Věta 3.2.2. Shodná zobrazení euklidovského prostoru En tvoří grupu, tzv. grupu
shodností Sn.
3.2. Shodnosti, grupa shodností 87
Důkaz. Důkaz je zřejmý. Složením dvou shodností je shodnost. Z definice shodného
zobrazení se snadno vidí, že inverzní zobrazení ke shodnosti je opět shod-
nost.
Poznámka 3.2.1. Grupa shodností na En je podgrupou grupy ekviafinních zobrazení
na En. T.j. Sn ⊂ En ⊂ An. ♦
Poznámka 3.2.2. Lineární zobrazení asociované ke shodnosti je ortogonální
transformace na zaměření Z(En). V libovolných kartézských souřadnicích je tedy
matice shodnosti ortonormální matice, t.j. modul shodnosti je ±1. Je-li m(f) = 1
hovoříme o přímé shodnosti, je-li m(f) = −1 hovoříme o nepřímé shodnosti.
Z Části 1.4 vyplývá, že vlastní hodnoty shodnosti jsou pouze čísla ±1, prostor
vlastních směrů, který odpovídá vícenásobné vlastní hodnotě má dimenzi rovnu
násobnosti vlastní hodnoty a vlastní směry, které odpovídají různým vlastním
číslům jsou na sebe kolmé. ♦
Poznámka 3.2.3. Ortogonální transformace na Z(En) asociovaná se shodností
zobrazuje ortonormální bázi Z(En) na jinou ortonormální bázi. Rovnice



x1
...
xn


 =



a11 · · · a1n
...
...
an1 · · · ann






x1
...
xn


 +



b1
...
bn


 , AT
A = En ,
tedy můžeme chápat dvojím způsobem. Buď jako vyjádření souřadnic obrazu X
bodu X (obojí souřadnice vzhledem k témuž kartézskému repéru R = P; e1, . . . , en
v En) nebo jako vyjádření transformace souřadnic téhož bodu X při přechodu od
repéru R k repéru R = f(P); ϕf (e1), . . . , ϕ(en) . ♦
Úloha 3.2.1. Určete rovnice shodnosti h : E2 → E2, která zobrazuje bod A =
[0, 1] do bodu A = [1
5
, 13
5
] a bod B=[3,1] do bodu B = [2, 5].
Řešení: Jde skutečně o shodnost v E2, neboť
−→
AB = (3, 0), |AB| =
−→
AB = 3 .
−−→
A B = (9
5
, 12
5
), |A B | =
−−→
A B = 81
25
+ 144
25
= 225
25
=
√
9 = 3 .
Uvažujme rovnice h ve tvaru
x = ax + by + p , y = cx + dy + q .
3.2. Shodnosti, grupa shodností 88
Aby h bylo shodností pro všechny body E2, musí být matice A =
a b
c d
ortogonální. To znamená, že musí platit AT
A = E. Tedy
a c
b d
a b
c d
=
1 0
0 1
.
To je ekvivalentní soustavě rovnic
a2
+ c2
= 1 , b2
+ d2
= 1 , ab + cd = 0 .
Současně ϕh(
−→
AB =
−−→
A B , t.j. 3a = 9
5
, 3c = 12
5
, takže a = 3
5
, c = 4
5
. Dosazením do
předchozích rovnic dostaneme dvě možnosti
b1 = −
4
5
, d1 =
3
5
; b2 =
4
5
, d2 = −
3
5
.
Ověříme, zda v obou případech je matice ortogonální. Opravdu
A1 =
3
5
−4
5
4
5
3
5
, AT
1 A1 = E2 , |A1| = 1 ,
A2 =
3
5
4
5
4
5
−3
5
, AT
2 A2 = E2 , |A2| = −1.
Pro matici A1 dostaneme
x = 3
5
x − 4
5
y + p , y = 4
5
x + 3
5
y + q .
Po dosazení bodu B a jeho obrazu B dostaneme p = 1 a q = 2. Rovnice shodnosti
pro matici A1 tedy jsou
x = 3
5
x − 4
5
y + 1 , y = 4
5
x + 3
5
y + 2 .
Pro matici A2 dostaneme
x = 3
5
x + 4
5
y + p , y = 4
5
x − 3
5
y + q .
Po dosazení bodu B a jeho obrazu B dostaneme p = −3
5
a q = 16
5
. Rovnice
shodnosti pro matici A1 tedy jsou
x = 3
5
x − 4
5
y − 3
5
, y = 4
5
x + 3
5
y + 16
5
.
3.3. Souměrnosti podle podprostorů 89
3.3 Souměrnosti podle podprostorů
Uvažujme nyní v En podprostor , 0 ≤ dim = k < n. Podle skript [JaHo] lze
z libovolného bodu X prostoru spustit na právě jednu kolmici, která protne
v bodě X0 (pata kolmice). Uvažujme zobrazení, které zobrazí bod X na bod X
takový, že X0 je středem úsečky XX . Je zřejmé, že toto zobrazení je (involutorní)
bijekce na En a body v jsou samodružné. Ukážeme, že toto zobrazení je shodnost.
Stačí tedy ověřit |XY | = |X Y | pro libovolné body X, Y . Rovnost stačí ověřit
v libovolně vhodně zvolených kartézských souřadnicích. Zvolme kartézský repér
tak, aby měl podprostor obecné vyjádření
: xk+1 = 0 , . . . , xn = 0 .
Potom pro libovolný bod X = [x1; . . . ; xn] je pata komice spuštěná z X na bod
X0 = [x1; . . . ; xk; 0; . . . ; 0] a bod X = [x1; . . . ; xk; −xk+1; . . . ; −xn]. Je tedy dané
zobrazení dáno rovnicemi
x1 = x1 , xk+1 = −xk+1 ,
...
... (3.3.1)
xk = xk , xn = −xn ,
t.j. je to afinní zobrazení. Snadno se vidí, že pro libovolné dva body X = [x1; . . . ; xn]
a Y = [y1; . . . ; yn] a jejich obrazy X = [x1; . . . ; xk; −xk+1; . . . ; −xn] a Y =
[y1; . . . ; yk; −yk+1; . . . ; −yn] platí |X Y | = (y1 − x1)2 + · · · + (yn − xn)2 = |XY |
a jde o shodnost.
Definice 3.3.1. Nechť , 0 ≤ dim = k < n je podprostor euklidovského
prostoru En. Shodnost, která zobrazí každý bod X z En na bod X z En takový,
že střed úsečky XX je pata kolmice spuštěné z X na , se nazývá symetrie
(souměrnost) En podle podprostoru .
Je-li dim = 0 (jde o bod R) hovoříme o středové symetrii (souměrnosti).
Bod R se nazývá střed symetrie (souměrnosti).
Je-li dim = 1, respektive dim = 2, respektive dim = n−1, hovoříme o symetrii
(souměrnosti) podle přímky (také osová symetrie (souměrnost)), respektive
roviny, respektive nadroviny. V případě osové symetrie se přímka nazývá
osa symetrie (souměrnosti).
Poznámka 3.3.1. Souměrnosti podle nadrovin mají jako množinu samodružných
bodů nadrovinu. Jedná se tedy o základní afinity, které hrají významnou roli,
protože podle Věty 2.6.6 je každá afinita složením nejvýše (n + 1) základních
afinit. Podobnou roli budou hrát i souměrnosti podle nadrovin. ♦
3.3. Souměrnosti podle podprostorů 90
Věta 3.3.1. Nechť v nějakém kartézském repéru R na euklidovském prostoru En
je dána nadrovina : a1x1 + · · · + anxn + a = 0, (a1; . . . ; an) = (0; . . . ; 0). Potom
rovnice souměrnosti podle nadroviny jsou tvaru
xi = xi −
2 ai
n
j=1 a2
j
(a1x1 + · · · + anxn + a) . (3.3.2)
Důkaz. Souměrnost podle nadroviny je základní afinita, a tedy podle Věty 2.6.8
má rovnice tvaru
xi = xi + λi(a1x1 + · · · + anxn + a) .
Podmínka, že střed usečky XX leží v je tvaru
n
i=1
ai
xi + xi
2
+ a = 0 , (3.3.3)
t.j.
n
i=1
aiλi(a1x1 + · · · + anxn + a) + 2 (a1x1 + · · · + anxn + a) = 0 . (3.3.4)
Podobně podmínka, že
−−→
XX ⊥ je tvaru
xi − xi = k ai , (3.3.5)
t.j.
λi(a1x1 + · · · + anxn + a) = k ai , (3.3.6)
Dosazením (3.3.6) do (3.3.4) dostaneme
k
n
i=1
a2
i + 2 (a1x1 + · · · + anxn + a) = 0 , (3.3.7)
t.j.
k = −
2
n
i=1 a2
i
(a1x1 + · · · + anxn + a) . (3.3.8)
Z (3.3.8) a (3.3.5) potom plyne (3.3.2).
Souměrnost podle nadroviny je dána nadrovinou souměrnosti. Pro její určení
již nepotřebujeme obraz žádného bodu (koeficienty λi jsou dány jen koeficienty z
rovnice nadroviny symetrie). Naopak, zadáme-li dva různé body B a B , potom
existuje jediná souměrnost podle nadroviny (t.j. jediná nadrovina), která zobrazí
B na B . Opravdu, nadrovina souměrnosti bodů B a B je jediná nadrovina, která
je kolmá na vektor
−−→
BB a prochází středem úsečky BB .
3.3. Souměrnosti podle podprostorů 91
Věta 3.3.2. Ke každé shodnosti f na euklidovském prostoru En existuje nejvýše
(n + 1) souměrností podle nadrovin takových, že f je jejich složením.
Důkaz. Nechť f : En → En je shodnost. Zvolme v (n + 1) bodů P0, P1, . . . , Pn v
obecné poloze, potom i body Pi = f(Pi) jsou v obecné poloze.
Pokud P0 = P0, určíme nadrovinu symetrie ρ1 bodů P0 a P0. Označme jako
f1 symetrii podle nadroviny ρ1 a f1(Pi) = P1,i, i = 1, 2, . . . , n. Pokud P0 = P0
tento krok vynecháme (jako f1 bereme identitu).
Pokud P1,1 = P1, určíme nadrovinu symetrie 2 bodů P1,1 a P1. Ukážeme,
že bod P0 ∈ 2, t.j. že platí |P0P1,1| = |P0P1|. Ale |P0P1,1| = |P0P1| protože
jsou to obrazy v symetrii f1. Podobně |P0P1| = |P0P1| protože jsou to obrazy ve
shodnosti f. V symetrii f2 podle 2 je tedy P0 samodružný, P1,1 se zobrazí na
P1 a P1,i se zobrazí na P2,i, i = 2, . . . , n. Pokud P1,1 = P1 tento krok vynecháme
(jako f2 bereme identitu).
Pokud P2,2 = P2, určíme nadrovinu symetrie 3 bodů P2,2 a P2. Ukážeme,
že body P0, P1 ∈ 3, t.j. že platí |P0P2,2| = |P0P2| a |P1P2,2| = |P1P2|. Ale
|P0P2,2| = |P0P2| protože jsou to obrazy ve složení symetrií f2 ◦ f1. Podobně
|P0P2| = |P0P2| protože jsou to obrazy ve shodnosti f. Totéž platí i pro bod P1.
V symetrii f3 podle 3 jsou tedy body P0, P1 samodružné, P2,2 se zobrazí na P2 a
P2,i se zobrazí na P3,i, i = 3, . . . , n. Pokud P2,2 = P2 tento krok vynecháme (jako
f3 bereme identitu).
Dále pokračujeme analogicky až do (n + 1)-ního kroku. Výsledek shrneme v
tabulce
f1 f2 f3 fn fn+1
P0 −→ P0 −→ P0 −→ · · · −→ P0 −→ P0;
P1 −→ P1,1 −→ P1 −→ · · · −→ P1 −→ P1;
...
...
...
...
...
Pn−1 −→ Pn−1,1 −→ Pn−1,2 −→ · · · −→ Pn−1 −→ Pn−1;
Pn −→ Pn,1 −→ Pn,2 −→ · · · −→ Pn,n −→ Pn.
Každé zobrazení fi je symetrie podle nadroviny nebo identita. Složením fn+1 ◦
· · · ◦ f1 dostaneme původní shodnost f.
Poznámka 3.3.2. Narozdíl od rozkladu afinity na základní afinity nemáme při
výběru souměrnosti podle nadrovin volbu. Jediná volba je volba bodů P0, P1, . . . , Pn
v obecné poloze a jejich pořadí. Je výhodné mezi body Pi zařadit maximální počet
samodružných bodů. ♦
Poznámka 3.3.3. Souměrnost podle nadroviny je nepřímá shodnost. Složení
dvou souměrností podle různých nadrovin je tak přímá shodnost. Máme dvě mož-
nosti.
3.3. Souměrnosti podle podprostorů 92
Jsou-li obě nadroviny symetrie rovnoběžné, dostaneme shodnost, která nemá
žádný samodružný bod. Je to posunutí ve směru kolmém na obě nadroviny o vektor
velikosti dvojnásobku vzdáleností nadrovin. Jeho orientace závisí na pořadí, v
jakém souměrnosti skládáme. Tato situace se snadno konstrukčně vidí v rovině. V
prostoru obecné dimenze odvodíme toto tvrzení v souřadnicích. Opravdu, jsou-li
ρ a σ dvě různé rovnoběžné nadroviny, máme ρ : a1x1 + · · · + anxn + a = 0 a
σ : a1x1 + · · · + anxn + b = 0, kde n
j=1 a2
j = 0, a = b. Potom rovnice souměrností
podle ρ a σ, v tomto pořadí, jsou
xi = xi −
2 ai
n
j=1 a2
j
(a1x1 + · · · + anxn + a) ,
xi = xi −
2 ai
n
j=1 a2
j
(a1x1 + · · · + anxn + b) .
Dosazením dostaneme rovnice složeného zobrazení
xi = xi −
2 ai
n
j=1 a2
j
(
n
k=1
akxk + a)
−
2 ai
n
j=1 a2
j
n
k=1
ak xk −
2 ak
n
j=1 a2
j
(
n
l=1
alxl + a) + b
= xi −
2 ai
n
j=1 a2
j
2
n
k=1
akxk + a −
2 n
k=1 a2
k
n
j=1 a2
j
(
n
l=1
alxl + a) + b
= xi −
2 ai
n
j=1 a2
j
2
n
k=1
akxk + a − 2
n
l=1
alxl − 2 a + b
= xi −
2 ai
n
j=1 a2
j
b − a ,
které je posunutím o vektor u = −2 b−a
n
j=1 a2
j
(a1; . . . ; an), který je násobkem společného
normálového vektoru obou rovin. Navíc jeho velikost je
u = 2
|b − a|
| n
j=1 a2
j |
n
j=1
a2
j = 2
|b − a|
n
j=1 a2
j
.
Určeme vzdálenost rovin ρ a σ. Uvažujme B ∈ σ, t.j. n
j=1 ajbj = −b. Potom
vydálenost rovin je dána vzdáleností
v(B, ρ) =
| n
j=1 ajbj + a|
n
j=1 a2
j
=
| − b + a|
n
j=1 a2
j
,
3.3. Souměrnosti podle podprostorů 93
což je polovina velikosti vektoru u.
Jsou-li obě nadroviny symetrie různoběžné, dostaneme shodnost, která má
jako podprostor samodružných bodů průnik nadrovin symetrie, t.j. podprostor
dimenze (n−2). Toto zobrazení je otočení prostoru kolem průniku nadrovin symetrie
o úhel, jehož velikost je dvojnásobná než je odchylka podprostorů. Speciálně
složením dvou symetrií podle kolmých nadrovin dostáváme symetrii podle jejich
průniku. Tato situace je možná v prostoru minimalní dimenze 2. V rovině tak
dostáváme, že složením dvou osových symetrií s různoběžnými osami je známé
otočení roviny kolem středu. Podobně v prostoru dimenze 3 je složením symetrií
podle rovin s různoběžnými rovinami symetrie otočení prostoru kolem přímky.
Jak si ale představit otočení prostoru dimenze n o úhel α kolem podprostoru
dimenze (n − 2)? Mějme pevně zadaný podprostor ρ dimenze (n − 2). Potom
každým bodem prostoru, prochází právě jeden podprostor dimenze 2 (rovina) totálně
kolmý k ρ, který má s daným podprostorem ρ společný právě jeden bod.
Otočení prostoru kolem ρ o úhel α je potom zobrazení, které je v každé totálně
kolmé rovině otočením kolem společného bodu o úhel α. Ukažme si situaci v
souřadnicích. Předpokládejme, že je zadán kartézský repér tak, že ρ je podprostor
určený počátkem a prvními (n − 2) směrovými vektory. Uvažujme libovolné
dvě různé nadroviny, které obsahují ρ, t.j. : axn−1 + bxn = 0, a2
+ b2
= 0,
σ : cxn−1 + dxn = 0, c2
+ d2
= 0. Jejich odchylka je dána cos α = |ac+bd|
√
a2+b2
√
c2+d2 , a
tedy sin α = |ad−bc|
√
a2+b2
√
c2+d2 . Potom souměrnosti podle a σ, v tomto pořadí, jsou
x1 = x1 , . . . , xn−2 = xn−2 ,
xn−1 = xn−1 −
2a
a2 + b2
(axn−1 + bxn) ,
xn = xn −
2b
a2 + b2
(axn−1 + bxn) ,
a
x1 = x1 , . . . , xn−2 = xn−2 ,
xn−1 = xn−1 −
2c
c2 + d2
(cxn−1 + dxn) ,
xn = xn −
2d
c2 + d2
(cxn−1 + dxn) .
Složením dostaneme
x1 = x1 , . . . , xn−2 = xn−2 ,
xn−1 =
(a2
− b2
)(c2
− d2
) + 4abcd
(a2 + b2)(c2 + d2)
xn−1 +
2ab(c2
− d2
) − 2cd(a2
− b2
)
(a2 + b2)(c2 + d2)
xn ,
xn−1 = −
2ab(c2
− d2
) − 2cd(a2
− b2
)
(a2 + b2)(c2 + d2)
xn−1 +
(a2
− b2
)(c2
− d2
) + 4abcd
(a2 + b2)(c2 + d2)
xn .
3.4. Klasifikace shodností v rovině a prostoru 94
Pokud má být toto zobrazení otočením kolem ∩σ u úhel 2α, musí být cos(2α) =
(a2−b2)(c2−d2)+4abcd
(a2+b2)(c2+d2)
a sin(2α) = 2ab(c2−d2)−2cd(a2−b2)
(a2+b2)(c2+d2)
. To ale opravdu dostaneme ze
vztahů cos(2α) = cos2
α − sin2
α a sin(2α) = 2 cos α sin α.
Uvědomme si ještě, že jak v případě posunutí, tak v případě otočení, vůbec
nezáleží na konkrétní volbě nadrovin symetrie. Podstatná je jen jejich vzdálenost,
v případě rovnoběžných nadrovin, nebo odchylka, v případě různoběžných
nadrovin. ♦
Úloha 3.3.1. Ověřte konstrukčně, že složením dvou osových symetrií v rovině je
buď posunutí (v případě rovnoběžných os symetrie), nebo otočení kolem bodu o
úhel, který má dvojnásobnou velikost než je odchylka os.
3.4 Klasifikace shodností v rovině a prostoru
Podobně, jako jsme klasifikovali v afinní rovině afinity podle počtu samodružných
bodů a vlastních směrů, budeme nyní klasifikovat i shodnosti v euklidovské rovině
a třírozměrném euklidovském prostoru. Uvědomme si při tom, že vlastní hodnoty
shodnosti mohou být pouze 1 a −1, že různým vlastním hodnotám odpovídají
na sebe kolmé vlastní směry a vicenásobnému kořeni charakteristické rovnice
odpovídá podprostor vlastních směrů, jehož dimenze je rovna násobnosti kořene.
V rovině potom dostáváme tabulku, kde v řádcích jsou shodnosti, které nemají
žádný samodružný bod, právě jeden samodružný bod, přímku samodružných
bodů a konečně mohou být všechny body samodružné.
Charakteristická rovnice je polynomiální stupně dva. Ta nemusí mít žádná
reálný kořen, t.j. zobrazení nemá žádný vlastní směr, nebo má dva reálné různé
kořeny (1 a −1), t.j. zobrazení má dva na sebe kolmé vlastní směry, nebo konečně
má charakteristická rovnice dvojnásobný kořen 1 nebo −1, t.j. každý směr je
vlastní.
Dostávame tak následující tabulku shodností v euklidovské rovině, kde počátek
kartézského repéru volíme jako samodružný bod, pokud existuje, a směry
souřadných os jsou vlastní směry, pokud existují.
3.4. Klasifikace shodností v rovině a prostoru 95
Žadný vlastní Dva kolmé Každý směr
směr vlastní směry vlastní
Žádný x = x + b x = x + b1
samod- — y = − y y = y + b2
ružný b = 0 (b1; b2) = (0; 0)
bod Posunutá o. s. Posunutí
Jeden x = x cos α + y sin α x = −x
samod- y = −x sin α + y cos α — y = −y
ružný sin α = 0
bod Otočení o úhel α Středová symetrie
Přímka x = x
samod- — y = −y —
ružných
bodů Osová symetrie
Všechny x = x
body — — y = y
samod- Identita
ružné
Důsledek 3.4.1. Protože je každá shodnost v rovině složením nejvýše tří osových
symetrií, je každé zobrazení ve výše uvedené tabulce složena z nejvýše tří
osových symetrií. Ukážeme si to u všech zobrazení. Samotná osová symetrie je
dána jedinou osovou symetrií.
Přímé shodnosti jsou posunutí a otočení kolem bodu, přitom středovou symetrii
a identitu bereme jako zvláštní případ otočení o úhel π nebo 0. Tyto shodnosti
musí být složeny ze dvou osových symetrií a podle Poznámky 3.3.3 je posunutí
složením dvou osových symetrií s rovnoběžnými osami a otočení je složením dvou
osových symetrií s různoběžnými osami.
Poslední zobrazení v tabulce je posunutá osová symetrie. Ta je složením osové
symetrie a posunutí ve směru osy o nenulový vektor. Je tedy posunutá osová
symetrie složením tří osových symetrii, přitom jsou dvě osy symetrie rovnoběžné,
kolmé na třetí osu.
Důsledek 3.4.2. Protože je složením dvou přímých shodností opět přímá shodnost,
dostáváme tak, že skládání posunutí a otočení je opět posunutí nebo otočení.
To, že složením dvou posunutí je opět posunutí je zřejmé. Podobně se snadno nahlédne,
že složením posunutí a otočení je opět otočení o stejný úhel kolem jiného
středu. Nový střed otočení je ovšem závislý na tom, v jakém pořadí tato dvě
zobrazení složíme.
3.4. Klasifikace shodností v rovině a prostoru 96
Hůře se vidí, že složením dvou otočení (obecně podle různých středů i úhlů) je
buďto posunutí, nebo otočení. Snadno se to vidí analyticky. Mějme dvě otočení
o1(S, α) a o2(R, β) o rovnicích
x
y
=
cos(α) sin(α)
− sin(α) cos(α)
x
y
+
a1
a2
a
x
y
=
cos(β) sin(β)
− sin(β) cos(β)
x
y
+
b1
b2
.
Pozor, souřadnice středů otočení dostaneme z výše uvedených rovnic jako souřadnice
samodružných bodů. Potom z
cos(α) sin(α)
− sin(α) cos(α)
.
cos(β) sin(β)
− sin(β) cos(β)
=
cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) cos(α) sin(β) + sin(α) cos(β)
− cos(α) sin(β) − sin(α) cos(β) cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
=
cos(α + β) sin(α + β)
− sin(α + β) cos(α + β)
dostameme, že o1 ◦ o2 i o2 ◦ o1 jsou buďto otočení o úhel α + β, α + β = 2π,
kolem bodů, které dostaneme jako samodružný bod složeného zobrazení a pro
různé pořadí skládání jsou to různé body pro S = R. Specielně, pro α + β = π
jde o středovou symetrii.
Pro (α+β) = 2 π dostaneme jednotkovou matici a zobrazení je buďto identita
(pro stejné středy otáčení) nebo posunutí (pro různé středy otáčení), pro různé
pořadí skládání jsou to různá posunutí.
Úloha 3.4.1. Ověřte, že složením otočení a osové symetrie je buďto osová symetrie
nebo posunutá osová symetrie.
Úloha 3.4.2. Jaké zobrazení vznikne složením tří osových symetrií podle tří os,
které tvoří strany trojúhelníka?
Úloha 3.4.3. V rovině popište grupu shodností rovnostranného trojúhelníka a
čtverce.
Podobně jako v rovině, můžeme klasifikovat shodnosti i v prostoru. Charakteristická
rovnice shodnosti v prostoru je polynomiální stupně 3. Máme následující
tři možnosti:
1. Jeden kořen charakteristické rovnice je reálný (1 nebo −1) a zbývající
dva kořeny jsou komplexně sdružené. V tomto případě má shodnost právě jeden
vlastní směr. Je-li reálným kořenem −1, má podle Věty 2.4.4 shodnost právě
3.4. Klasifikace shodností v rovině a prostoru 97
jeden samodružný bod a dostáváme tak zobrazení, které vzniká složením otočení
kolem osy a rovinné symetrie podle roviny kolmé na osu otáčení. V tabulce jde o
otočení kolem osy x a rovinné symetrie podle roviny yz. Je-li reálným kořenem 1,
má shodnost buďto přímku samodružných bodů (otočení kolem osy) nebo nemá
žádný samodružný bod (otočení kolem osy složené s posunutím ve směru osy).
2. Pokud má charakteristická rovnice dva reálné různé kořeny 1 a −1, musí být
jeden z nich dvojnásobný. V tomto případě dostaneme jeden vlastní směr odpovídající
jednonásobnému kořeni a dvojdimenzionální prostor vlastních směrů, které
odpovídají dvojnásobnému kořeni. Přitom jsou tyto prostory na sebe kolmé. Takové
zobrazení nemůže mít právě jeden samodružný bod. Má tedy buďto přímku
samodružných bodů (symetrie podle přímky, v tabulce osy x), nebo rovinu samodružných
bodů (symetrie podle roviny, v tabulce osy xy), nebo nemá žádný
samodružný bod. Tato situace může nastat dvojím způsobem, buďto posunutím
osové symetrie ve směru osy nebo posunutím rovinné symetrie ve směru roviny
symetrie.
3. Konečně pro trojnásobný reálný kořen charakteristické rovnice je každý
směr vlastním směrem. Je-li trojnásobným kořenem −1, má shodnost právě jeden
samodružný bod a dostáváme středovou symetrii. Je-li trojnásobným kořenem 1,
dostáváme buďto posunutí nebo identitu.
3.4. Klasifikace shodností v rovině a prostoru 98
Jeden vlastní Prostor v.s. dim. Každý směr
směr 2 a kolmý v.s. vlastní
x = x + b1 x = x + b1 x = x + b1
Žádný y = y cos α + z sin α y = −y y = y + b2
samod- z = −y sin α + z cos α z = −z z = z + b3
ružný sin α = 0, b1 = 0 b1 = 0 (b1; b2; b3) = o
bod Otočení kolem př. x Sym. podle př. x Posunutí
o úhel α plus posunutí plus posunutí
ve směru př. x ve směru př. x
x = x + b1
y = y + b2
z = −z
(b1; b2) = (0; 0)
Sym. podle rov.
xy plus posunutí
ve směru rov. xy
x = −x x = −x
Jeden y = y cos α + z sin α y = −y
samod- z = −y sin α + z cos α — z = −z
ružný sin α = 0
bod Otočení kolem př. x Středová sym.
o úhel α plus
sym. podle roviny yz
x = x x = x
Přímka y = y cos α + z sin α y = −y
samod- z = −y sin α + z cos α z = −z —
ružných sin α = 0
bodů Otočení kolem př. x Sym. podle př. x
o úhel α
Rovina x = x
samod- — y = y —
ružných z = −z
bodů Sym. podle
bodů rov. xy
Všechny x = x
body — — y = y
samod- z = z
ružné Identita
3.5. Podobná zobrazení 99
Úloha 3.4.4. Jaké zobrazení vznikne složením dvou otočení kolem os, které jsou
a) rovnoběžné,
b) různoběžné,
c) mimoběžné?
Úloha 3.4.5. Jaké zobrazení vznikne složením dvou osových symetrií kolem os,
které jsou
a) rovnoběžné,
b) různoběžné,
c) mimoběžné?
Úloha 3.4.6. Jaké zobrazení vznikne složením čtyř rovinných symetrií podle čtyř
rovin, které tvoří stěny 4-stěnu?
Úloha 3.4.7. Popište grupy symetrií pravidelných těles. Jaké jsou jejich netriviální
podgrupy?
3.5 Podobná zobrazení, grupa podobností
Definice 3.5.1. Zobrazení f euklidovského prostoru En do euklidovského prostoru
Em se nazývá podobné zobrazení, jestliže existuje k ∈ R+
takové, že pro
každé dva body body X, Y ∈ En platí
|f(X)f(Y )| = k |XY | .
Číslo k se nazývá koeficient podobného zobrazení.
Poznámka 3.5.1. Pro k = 1 v Definici 3.5.1 podobného zobrazení dostáváme
shodné zobrazení. Jsou tedy shodná zobrazení speciálním případem podobných
zobrazení a podobná zobrazení mají celou řadu stejných vlastností, jako shodná
zobrazení. ♦
Příklad 3.5.1. Příkladem podobného zobrazení na euklidovském prostoru je
stejnolehlost, kterou jsme probírali v Části 2.5. Opravdu, je-li f stejnolehlost s
koeficientem κ ∈ R, κ = 0, a středem S, t.j. f(X) = κX + (1 − κ)S, potom
|f(X)f(Y )| = κ(Y − X) = |κ| |XY |, a tedy stejnolehlost s koeficientem κ je
podobné zobrazení s koeficientem |κ|. ♥
Věta 3.5.1. Nechť f : En → Em je podobné zobrazení s koeficientem k1 a g : Em →
Ek je podobné zobrazení s koeficientem k2. Potom složené zobrazení g◦f : En → Ek
je podobné zobrazení s koeficientem k1.k2.
3.5. Podobná zobrazení 100
Důkaz. Důkaz plyne přímo z Definice 3.5.1 podobného zobrazení. Opravdu pro
libovolné dva body X, Y ∈ En máme
|(g ◦ f)(X)(g ◦ f)(Y )| = k2 |f(X)f(Y )| = k2.k1|XY | .
Věta 3.5.2. Nechť f : En → Em je podobné zobrazení s koeficientem k. Pak
1) Existuje stejnolehlost h1 : En → En s koeficientem k a shodné zobrazení
g1 : En → Em takové, že f = g1 ◦ h1.
2) Existuje shodné zobrazení g2 : En → Em a stejnolehlost h2 : Em → Em s
koeficientem k takové, že f = h2 ◦ g2.
Důkaz. 1) Na En uvažujme stejnolehlost h−1
1 s koeficientem 1/k a libovolným
středem. Protože stejnolehlost je podobné zobrazení a podle Věty 3.5.1 je složení
dvou podobných zobrazení opět podobné zobrazení, je složené zobrazení
g1 = f ◦ h−1
1 : En → Em podobné zobrazení s koeficientem k.1/k = 1, t.j. je to
shodné zobrazení. Protože je h−1
1 bijekce, je k ní inverzní zobrazení stejnolehlost
s koeficientem k a f = g1 ◦ h1.
1) Na Em uvažujme stejnolehlost h−1
2 s koeficientem 1/k a libovolným středem.
Protože stejnolehlost je podobné zobrazení a podle Věty 3.5.1 je složení dvou
podobných zobrazení opět podobné zobrazení, je složené zobrazení g2 = h−1
2 ◦ f :
En → Em podobné zobrazení s koeficientem k.1/k = 1, t.j. je to shodné zobrazení.
Protože je h−1
2 bijekce, je k ní inverzní zobrazení stejnolehlost s koeficientem k a
f = h2 ◦ g2.
Věta 3.5.3. 1) Podobné zobrazení je afinní zobrazení.
2) Podobné zobrazení je prosté, t.j. n ≤ m.
3) Podobné zobrazení zobrazuje libovolné tři kolineární body opět na tři kolineární
body a zachovává dělící poměr.
Důkaz. 1. Shodná zobrazení a stejnolehlosti jsou afinní zobrazení. Protože je podle
Věty 3.5.2 podobné zobrazení složením shodného zobrazení a stejnolehlosti, je
podle Věty 1.1.8 podobné zobrazení afinní.
2. Protože je stejnolehlost bijekce a shodné zobrazení je prosté, je jejich složení
prosté zobrazení.
3. Plyne přím z předchozích dvou vlastností.
Věta 3.5.4. Nechť f : En → Em je podobné zobrazení s koeficientem k. Pak pro
asociované lineární zobrazení ϕf : Z(En) → Z(Em) platí:
1) ϕf (u) = k u pro každý vektor u ∈ Z(En).
2) (ϕf (u), ϕf (v)) = k2
(u, v) pro každé dva vektory u, v ∈ Z(En).
Důkaz. 1. Nechť u =
−→
AB, potom ϕf (u) =
−−−−−−→
f(A)f(B) = |f(A)f(B)| =
k |AB| = k u .
3.5. Podobná zobrazení 101
2. Máme
2 (ϕf (u), ϕf (v)) = ϕf (u) + ϕf (v) 2
− ϕf (u) 2
− ϕf (v) 2
= ϕf (u + v) 2
− ϕf (u) 2
− ϕf (v) 2
= k2
u + v 2
− u 2
− v 2
= 2 k2
(u, v) .
Důsledek 3.5.1. Podobné zobrazení zachovává odchylky vektorů.
Důkaz. Máme
cos <) ϕf (u), ϕf (v) =
ϕf (u),ϕf (v)
ϕf (u) ϕf (v)
=
k2 u),v
k u k v
= cos <) u, v .
Pomocná věta 3.5.5. Nechť ϕ : Z(En) → Z(Em) je lineární zobrazení takové,
že pro nějakou bázi u1, . . . , un prostoru Z(En) platí ϕ(u) = k u pro všechny
u ∈ Z(En). Pak ϕ(u), ϕ(v) = k2
(u, v) pro všechny u, v ∈ Z(En).
Důkaz. Máme
(u − v, u − v) = (u, u) + (v, v) − 2 (u, v) ,
t.j.
2 (u, v) = − u − v 2
+ u 2
+ v 2
.
Potom
2 (ϕ(u), ϕ(v)) = − ϕ(u) − ϕ(v) 2
+ ϕ(u) 2
+ ϕ(v) 2
= − ϕ(u − v) 2
+ ϕ(u) 2
+ ϕ(v) 2
= k2
− u − v 2
+ u 2
+ v 2
= 2 k2
(u, v) .
Věta 3.5.6. Nechť je dáno (n + 1) bodů v obecné poloze P0, P1, . . . , Pn ∈ En a
body P0, P1, . . . , Pn ∈ Em takové, že
|PiPj| = k|Pi Pj| , i, j = 0, . . . , n , k ∈ R+
. (3.5.1)
Pak existuje jediné podobné zobrazení f : En → Em takové, že f(Pi) = Pi pro
všechna i = 0, . . . , n.
Důkaz. Protože jsou body P0, P1, . . . , Pn ∈ En v obecné poloze, jsou vektory
u1 =
−−→
P0P1, . . . , un =
−−−→
P0Pn ∈ Z(En) lineárně nezávislé. Podmínka (3.5.1) znamená,
že i body P0, P1, . . . , Pn ∈ Em jsou v obecné poloze, a tedy i vektory u1 =
−−→
P0P1, . . . , un =
−−−→
P0Pn ∈ Z(Em) jsou lineárně nezávislé. Podle Věty 1.1.2 existuje
jediné lineární zobrazení ϕ : Z(En) → Z(Em) takové, že ϕ(ui) = ui. Navíc platí
3.5. Podobná zobrazení 102
ϕ(ui) = k ui a ϕ(ui − uj) = ϕ(
−−→
PjPi) = |PjPi | = k |PjPi| = k (ui − uj .
Potom ale
2 (ϕ(ui), ϕ(uj)) = − ϕ(ui) − ϕ(uj) 2
+ ϕ(ui) 2
+ ϕ(uj) 2
= − ϕ(ui − uj) 2
+ ϕ(ui) 2
+ ϕ(uj) 2
= k2
− ui − uj
2
+ ui
2
+ uj
2
= 2 k2
(ui, uj) .
(ϕ(u), ϕ(v)) = k2
(u, v) a ϕ(u) = k u pro každý vektor u, v ∈ Z(En).
Opravdu jsou-li u = n
i=1 xi ui a v = n
j=1 yj uj. Potom
(ϕ(u), ϕ(v)) =
n
i=1
xi ϕ(ui),
n
j=1
yj ϕ(uj)
=
n
i,j=1
xi yj (ϕ(ui), ϕ(uj)) = k2
n
i,j=1
xi yj (ui, uj)
= k2
(
n
i=1
xi ui,
n
j=1
yj uj) = k2
(u, v) .
Odtud okamžitě vyplývá ϕ(u) = k u .
Podle Věty 3.1.5 je zobrazení
f(X) = P0 + ϕ(
−−→
P0X)
afinní zobrazení a snadno se vidí, že f(Pi) = Pi . Potom
|f(X)f(Y )| = ϕ(
−−→
P0Y ) − ϕ(
−−→
P0X) = ϕ(
−−→
XY ) = k
−−→
XY = k |XY | ,
a tedy je to podobné zobrazení.
Důsledek 3.5.2. Podobné zobrazení v rovině je určeno vrcholy podobných troj-
úhelníků.
Uvažujme kartézské repéry R = P; e1, . . . , en v prostoru En a R = Q; d1, . . . , dm
v prostoru Em. Potom dostaneme vyjádření f ve tvaru
xj =
n
i=1
ajixi + bj , j = 1, . . . , m , (3.5.2)
a z podmínky, že f je podobné zobrazení tvaru (ϕf (u), ϕf (v)) = k2
(u, v) dosta-
neme
(ϕf (u), ϕf (v)) = (A(u))T
(A(v)) = (u)T
AT
A(v) = k2
(u)T
En(v) ,
3.5. Podobná zobrazení 103
t.j. AT
A = k2
En. Dostáváme tedy, že matice A je maticí podobného zobrazení
právě tehdy, splňuje-li podmínku
AT
A = k2
En . (3.5.3)
Dále uvažujme podobná zobrazení na euklidovském prostoru.
Definice 3.5.2. Podobné zobrazení f s koeficientem k euklidovského prostoru
En na sebe se nazývá podobnost En.
Je-li k = 1, nazývá se f vlastní podobnost.
Věta 3.5.7. Podobnosti na euklidovského prostoru En tvoří grupu, tzv. grupu
podobností Pon.
Důkaz. Důkaz je zřejmý. Složením dvou podobností je podobnost. Z definice podobného
zobrazení se snadno vidí, že inverzní zobrazení k podobnosti s koeficientem
k je opět podobnost s koeficientem 1/k.
Věta 3.5.8. Vlastní hodnoty příslušné podobnosti s koeficientem k mohou být
pouze ±k.
Důkaz. Je-li u vlastní vektor příslusný vlastní hodnotě λ, je z podmínky ϕf (u) =
k u pro asociované lineární zobrazení podobnosti |λ| = k, a tedy λ = ±k.
Věta 3.5.9. Modul podobnosti s koeficientem k je ±kn
.
Důkaz. Podobnost má jako svou matici čtvercovou matici takovou, že AT
A =
k2
En. Potom |AT
A| = k2n
, a tedy |A|2
= k2n
a po odmocnění |A| = ±kn
.
Věta 3.5.10. Každá vlastní podobnost euklidovského prostoru En má právě jeden
samodružný bod.
Důkaz. Kořeny charakteristické rovnice pro podobnost mohou být pouze hodnoty
±k. Pro vlastní podobnost jednička není kořenem charakteristické rovnice a podle
Věty 2.4.4 má podobnost právě jeden samodružný bod.
Věta 3.5.11. Každá vlastní podobnost na En s koeficientem k je složením shodnosti
na En a stejnolehlosti s koeficientem k a středem, který je samodružným
bodem dané podobnosti.
Důkaz. Je-li S samodružný bod vlastní podobnosti f, existuje jediná stejnolehlost
h−1
s koeficientem 1/k a středem S. Potom g1 = f ◦ h−1
a g2 = h−1
◦ f jsou
shodnosti na En a f = g1 ◦ h = h ◦ g2.
Poznámka 3.5.2. Grupa podobností na En je podgrupou grupy afinit na En, t.j.
Pon ⊂ An. ♦
3.5. Podobná zobrazení 104
Následující graf nám ukazuje hlavní podgrupy v grupě afinit na En.
Liché n:
(Afn, ◦)
¨¨¨
¨¨% c
rr
rrrj
(Afn
+
, ◦)
c


s
(Pon, ◦)
d
d‚
 
 ©
€€€€€€q
(Ekn, ◦)$$$$$$$$$$$$$W


C
(Ekn
+
, ◦)
c
(Pon
+
, ◦)
 
 ©
d
d‚
(Shn, ◦)
A
d
d‚
(Hon, ◦)
 
 ©
A
(Sh+
n , ◦)
r
rrrrj
(Ho+
n , ◦)
c
(Tn + S.s., ◦)
¨
¨¨¨¨%
(Tn, ◦)
c
(Id, ◦)
3.5 105
Sudé n:
(Afn, ◦)
¨¨
¨¨¨% c
rr
rrrj
(Afn
+
, ◦)
c
rr
rrj
(Pon, ◦)
c
rr
rrrj
(Ekn, ◦)$$$$$$$$$$$$$W
c
(Ekn
+
, ◦)
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆz
(Pon
+
, ◦)
 
 ©
d
d‚
(Shn, ◦)
 
 ©
(Sh+
n , ◦)
 
 ©
(Hon, ◦)
d
d‚
(Tn + S.s., ◦)
c
(Tn, ◦)
c
(Id, ◦)
Kapitola 4
KRUHOVÁ ZOBRAZENÍ
4.1 Kružnice a její vlastnosti
V tomto paragrafu si připomeneme některé základní vlastnosti a pojmy, které
jsou spojeny s kružnicí v euklidovské rovině.
Definice 4.1.1. Nechť S je bod v E2 a r > 0 je reálné číslo. Množina bodů
X = S ∈ E2 takových, že
|SX| = r
se nazývá kružnice se středem S a poloměrem r. Značíme k(S; r).
Uvažujme v E2 kartézský repér a nechť vzhledem k němu je S = [m; n] a
X = [x; y]. Z Definice 4.1.1 plyne, že X ∈ k právě tehdy, když
(x − m)2 + (y − n)2 = r ,
což upravíme na tvar
k : x2
+ y2
− 2mx − 2ny + c = 0 , (4.1.1)
kde jsme položili
c = m2
+ n2
− r2
. (4.1.2)
Úmluva 4.1.1 Z důvodu jednoduchosti zápisu budeme levou stranu rovnice
(4.1.1) značit K(X) = x2
+ y2
− 2mx − 2ny + c, a tedy k : K(X) = 0.
Poznámka 4.1.1. Uvažujeme-li naopak množinu bodů v rovině, jejichž souřadnice
splňují rovnici (4.1.1), pak z (4.1.2) je zřejmé, že se jedná o kružnici pouze
za předpokladu, že m2
+ n2
− c > 0. ♦
106
4.1. Kruhové křivky 107
Definice 4.1.2. Nechť k : K(X) = 0 je kružnice a P = [x0; y0] ∈ E2 je bod.
Číslo K(P) = x2
0 + y2
0 − 2mx0 − 2ny0 + c se nazývá mocnost bodu P ke kružnici
k.
Body se zápornou mocností se budou nazývat vnitřní body kružnice k a body
s kladnou mocností se budou nazývat vnější body kružnice k.
Připomeňme nejdříve, že reálná přímka kružnici buď reálně neprotíná nebo
ji protíná ve dvou reálných bodech, které mohou i splynout (tečna kružnice).
Následující věta nám ukáže, jaký je geometrický význam mocnosti bodů.
Věta 4.1.1. Nechť P je bod, k je kružnice a p je libovolná přímka procházející
bodem P, která protíná kružnici k. Potom součin orientovaných velikostí úseků,
které jsou na přímce p vyť aty bodem P a průsečíky přímky p s kružnicí k, je
nezávislý na volbě přímky p a je roven mocnosti bodu P vzhledem ke kružnici k.
Důkaz. Přímku p určeme parametricky bodem P = [x0; y0] a jednotkovým vektorem
(cos α; sin α), tj. p ≡ X = [x0; y0] + t(cos α; sin α). V tomto případě, je-li
X dán parametrem t, je |PX| = |t|. Dosadíme do rovnice kružnice a po úpravě
dostaneme kvadratickou rovnici pro t ve tvaru
t2
+ 2t[(x0 − m) cos α + (y0 − n) sin α] + K(P) = 0 .
Jsou-li t1, t2 kořeny této kvadratické rovnice, je z kořenových vztahů pro kvadratickou
rovnici t1t2 = K(P) a tvrzení nyní plyne z toho, že parametr t určuje
vzdálenost příslušného bodu od bodu P. Je-li při tom K(P) < 0, mají kořeny t1 a
t2 různá znaménka, což znamená, že průsečíky přímky p a kružnice k leží na různých
polopřímkách určených na přímce p bodem P (Obr. 4.1.1 a)). Pro K(P) > 0
mají kořeny t1 a t2 shodná znaménka, což znamená, že průsečíky přímky p a kružnice
k leží na téže polopřímce určené na přímce p bodem P (Obr. 4.1.1 b)). Tato
situace je vyjádřena formulací "orientovaný součin vzdáleností".
Obrázek 4.1.1: K mocnosti bodu ke kružnici
4.1. Kruhové křivky 108
Důsledek 4.1.1. Pro vnější bod P kružnice k je mocnost rovna druhé mocnině
délky úsečky, která je určena na tečně bodem P a bodem dotyku (Obr. 4.1.1 b)).
Poznámka 4.1.2. Z Věty 4.1.1 vyplývá, že pojem vnitřního a vnějšího bodu
kružnice definovaný v Definici 4.1.2 splývá s intuitivní přestavou, kdy vnější body
jsou ty, ze kterých lze ke kružnici sestrojit tečny. Body ležící na kružnici mají
podle definice nulovou mocnost. ♦
Nechť jsou dány dvě kružnice k1(S1; r1), k2(S2; r2) svými rovnicemi
k1 : K1(X) = x2
+ y2
− 2m1x − 2n1y + c1 = 0 , (4.1.3)
m2
1 + n2
1 − c1 > 0 ,
k2 : K2(X) = x2
+ y2
− 2m2x − 2n2y + c2 = 0 , (4.1.4)
m2
2 + n2
2 − c2 > 0 .
Uvažujme body, které leží na obou kružnicích, tj. splňují rovnice (4.1.3) i
(4.1.4). Potom tyto body musí splňovat i rovnici
K1(X) − K2(X) = (m2 − m1)x + (n2 − n2)y + c1 − c2 = 0 . (4.1.5)
Pro m1 = m2, n1 = n2, c1 = c2, tj. k1 ≡ k2, je rovnice splněna identicky.
Pro m1 = m2, n1 = n2, c1 = c2, tj. k1 a k2 mají společný střed, ale různé
poloměry, není rovnice splněna nikdy, což znamená, že dvě soustředné kružnice
nemají společné (reálné) body.
Pro (m1; n1) = (m2; n2) je rovnice (4.1.5) rovnicí přímky. Společné body
dvou nesoustředných kružnic tedy musí ležet na přímce (4.1.5). Protože průnikem
přímky a kružnice jsou buď dva různé body, nebo jeden dvojnásobný bod,
nebo žádný (reálný) bod, nastává totéž i pro počet (reálných) společných bodů
dvou nesoustředných kružnic, které se mohou protínat ve dvou různých bodech,
nebo se dotýkají v jednom bodě, nebo se (reálně) neprotínají.
Definice 4.1.3. Nechť k1, k2 jsou dvě nesoustředné kružnice o rovnicích (4.1.3)
a (4.1.4). Pak přímka (4.1.5) se se nazývá chordála kružnic k1 a k2.
Věta 4.1.2. Chordála dvou nesoustředných kružnic je geometrické místo bodů,
které mají vzhledem k oběma kružnicím touž mocnost.
Důkaz. Důkaz je přímým důsledkem definice chordály jako přímky, tvořené takovými
body X, že K1(X) = K2(X).
Definice 4.1.4. Odchylkou dvou nesoustředných kružnic se společnými reálnými
body rozumíme odchylku tečen v libovolném společném bodě.
Odchylkou přímky a kružnice, která má s přímkou společné reálné body, rozumíme
odchylku dané přímky a tečny kružnice v libovolném společném bodě.
4.1. Kruhové křivky 109
Poznámka 4.1.3. Protože každé dvě nesoustředné kružnice jsou symetrické podle
spojnice středů, je definice odchylky opravdu nezávislá na zvoleném společném
bodu kružnic.
Podobně kružnice a přímka jsou symetrické podle kolmice spuštěné ze středu
kružnice na přímku. ♦
Poznámka 4.1.4. Odchylku dvou kružnic tedy nedefinujeme pro dvě soustředné
kružnice nebo pro dvě nesoustředné kružnice takové, že vzdálenost jejich středů
je větší než součet poloměrů, těchto kružnic.
Podobně odchylku přímky a kružnice nedefinujeme, je-li vzdálenost přímky
od středu kružnice větší než poloměr kružnice. ♦
Věta 4.1.3. Nechť jsou dány dvě nesoustředné kružnice k1(S1; r1) a k2(S2; r2)
takové, že |S1S2| ≤ r1 + r2 (kružnice mají společné reálné body). Nechť k1 a k2
mají rovnice (4.1.3) a (4.1.4). Pak odchylka <) (k1, k2) = ϕ je dána vztahem
cos ϕ =
|2m1m2 + 2n1n2 − c1 − c2|
2 m2
1 + n2
1 − c1 m2
2 + n2
2 − c2
.
Důkaz. Označme P společný bod kružnic k1 a k2. Odchylka tečen v bodě P je
shodná jako odchylka přímek PS1 a PS2 (viz Obr. 4.1.2).
Obrázek 4.1.2: Odchylka nenulových kruhových křivek
Z kosinové věty pro trojúhelník S1PS2 dostaneme
|S1S2|2
= r2
1 + r2
2 − r1r2 cos S1PS2
cos S1PS2 =
r2
1 + r2
2 − |S1S2|2
2r1r2
.
Hledaná odchylka ϕ je míra menšího z úhlů S1PS2, π − S1PS2, a tedy
cos ϕ =
|r2
1 + r2
2 − |S1S2|2
|
2r1r2
.
4.2. Kruhové křivky 110
Dosazením z analytického vyjádření (4.1.3) a (4.1.4) pak snadno dostaneme požadované
tvrzení.
Poznámka 4.1.5. Snadno se přesvědčíme, že je-li |S1S2| > r1 + r2, je
|r2
1 + r2
2 − |S1S2|2
|
2r1r2
> 1
a ϕ splňující podmínku předchozí věty neexistuje. ♦
Věta 4.1.4. Nechť je dána přímka p a kružnice k(S; r) takové, že v(S, p) ≤ r
(tj. přímka a kružnice mají společné reálné body). Nechť p : ax + by + d = 0 a
k : x2
+ y2
− 2mx − 2ny + c = 0. Pak odchylka <) (p, k) = ϕ je dána vztahem
cos ϕ =
|am + bn + d|
√
a2 + b2
√
m2 + n2 − c
.
Důkaz. Odchylka přímky p a kružnice k je dána odchylkou normálového vektoru
(a; b) přímky p a normálového vektoru tečny kružnice ve společném bodě [x0; y0]
přímky a kružnice. Tento normálový vektor má souřadnicové vyjádření (m −
x0; n − y0). Tedy
cos ϕ =
|a(m − x0) + b(n − y0)|
√
a2 + b2 (m − x0)2 + (n − y0)2
.
Protože bod [x0; y0] leží na přímce p i kružnici k, vyhovuje jejich rovnicím a
dosazením (−ax0 − by0) = d do čitatele a x2
0 + y2
0 − 2mx0 − 2ny0 = −c do
jmenovatele dostaneme tvrzení věty.
4.2 Kruhové křivky
V tomto paragrafu rozšíříme pojem kružnice na pojem kruhové křivky nebo zobecněné
kružnice.
Vynásobme rovnici (4.1.1) nenulovým číslem A ∈ R a označme M = Am,
N = An, C = Ac. Potom má kružnice rovnici
A(x2
+ y2
) − 2Mx − 2Ny + C = 0 , (4.2.1)
kde M2
+ N2
− AC > 0.
Uvažujme nyní naopak množinu bodů X v rovině, jejichž souřadnice [x; y]
splňují rovnici (4.2.1), kde alespoň jeden s koeficientů A, M, N je nenulový. Vyšetřeme,
o jakou množinu se jedná. Mohou nastat následující možnosti:
1. A = 0, M2
+ N2
= 0. Potom se jedná o rovnici přímky.
4.3. Kruhová inverze 111
2. A = 0. Rovnici upravíme na tvar
x2
+ y2
− 2
M
A
x − 2
N
A
y +
C
A
= 0
(x −
M
A
)2
+ (y −
N
A
)2
+
C
A
−
M2
A2
−
N2
A2
= 0 .
Potom pro CA−M2
−N2
> 0 se jedná o prázdnou množinu, pro CA−M2
−N2
= 0
se jedná o bod [M
A
; N
A
] a pro CA−M2
−N2
< 0 se jedná o kružnici o poloměru r =√
M2+N2−AC
|A|
a středu [M
A
; N
A
]. Předchozí úvahy tedy můžeme shrnout do definice.
Definice 4.2.1. Nechť je dána rovnice (4.2.1) taková, že alespoň jeden z koeficientů
A, M, N je nenulový a M2
+N2
−AC ≥ 0. Množina bodů X ∈ E2, jejichž
souřadnice [x; y] vyhovují rovnici (4.2.1), se nazývá kruhová křivka (zobecněná
kružnice)
Je-li A = 0 hovoříme o středové kruhové křivce se středem S = [M
A
; N
A
], je-li
A = 0 hovoříme o nestředové kruhové křivce.
Je-li A = 0, M2
+ N2
− AC = 0, hovoříme o nulové kruhové křivce.
Poznámka 4.2.1. Z předchozích úvah tedy vyplývá, že kruhová křivka je buď to
kružnice, přímka (nestředová kruhová křivka) nebo bod (nulová kruhová křivka).
Případ, kdy M2
+ N2
− AC < 0 reprezentuje v reálném oboru prázdnou množinu.
Pokud bychom uvažovali komplexní rozšíření roviny (viz [JaSe96]), dostali
bychom takzvanou imaginární kružnici. ♦
Věta 4.2.1. Nechť jsou dány dvě nenulové kruhové křivky c1, c2, které mají společné
reálné body. Pak odchylka <) (c1, c2) = ϕ je dána vztahem
cos ϕ =
|2M1M2 + 2N1N2 − A1C2 − A2C1|
M2
1 + N2
1 − A1C1 M2
2 + N2
2 − A2C2
.
Důkaz. ???
4.3 Kruhová inverze
V euklidovské rovině jsme se zabývali zobrazením "stejnolehlost", které bylo dáno
bodem S (středem stejnolehlosti) a reálným číslem κ = 0 (koeficientem stejnolehlosti).
Každý bod X = S se zobrazil do bodu X takového, že platí
1. polopřímky SX a SX jsou totožné pro κ > 0 a opačné pro κ < 0 ,
2. |SX | = |κ| · |SX|, tj. |κ| = |SX |
|SX|
.
Studujme nyní zobrazení, které je definováno podobně a liší se jen ve 2. vlastnosti,
kde podíl nahradíme součinem vzdáleností.
4.3. Kruhová inverze 112
Definice 4.3.1. Nechť S je bod v E2 a κ = 0 je reálné číslo. Potom zobrazení,
které bodu X = S ∈ E2 přiřadí bod X takový, že
1. polopřímky SX a SX jsou totožné pro κ > 0 a opačné pro κ < 0
2. |SX| · |SX | = |κ|,
nazýváme kruhovou inverzí s kladnou mocností (pro κ > 0) nebo kruhovou
inverzí se zápornou mocností (pro κ < 0). Bod S se nazývá středem kruhové
inverze a κ jejím koeficientem (mocností).
Poznámka 4.3.1. Je zřejmé, že kruhová inverze se zápornou mocností κ je složením
kruhové inverze s kladnou mocností |κ| a středové symetrie podle S. Dále se
tedy budeme zabývat především vlastnostmi kruhové inverze s kladnou mocností.
Vlastnosti kruhové inverze se zápornou mocností se potom snadno odvodí. ♦
Poznámka 4.3.2. Kruhová inverze je bijekcí E2−{S} na sebe. Abychom nemuseli
vylučovat bod S, zavádí se rozšíření euklidovské roviny o jeden bod. ♦
Definice 4.3.2. Möbiovou rovinou M2 rozumíme euklidovskou rovinu E2 rozšířenou
o jeden nevlastní bod ∞, tj. M2 = E2 ∪ {∞}.
Definici kruhové inverze nyní rozšíříme o předpis S → ∞ a ∞ → S. Kruhová
inverze je potom bijekcí na Möbiově rovině.
Věta 4.3.1. Kruhová inverze je involutorní zobrazení na M2.
Důkaz. Je zřejmé, že S → ∞ → S. Nechť X = S. Pak X → X → X . Musíme
dokázat, že X = X . Z 1. podmínky Definice 4.3.1 kruhové inverze vyplývá, že
polopřímky SX a SX jsou totožné pro každé κ. Potom z 2. podmínky máme
|SX| · |SX | = |κ| a |SX | · |SX | = |κ| a odtud |SX| = |SX |, což dohromady
dává X = X .
Věta 4.3.2. Kružnice k ≡ (S, |κ|) je silně samodružná v kruhové inverzi s kladnou
mocností a slabě samodružná v kruhové inverzi se zápornou mocností.
Důkaz. Nechť X ∈ k, tj. |SX| = |κ|. Potom
|SX| · |SX | = |κ| ⇒ |SX | =
|κ|
|κ|
= |κ| ⇒ X ∈ k .
Je-li κ < 0 je X diametrální bod k X, je-li κ > 0 je X = X.
Definice 4.3.3. Kružnice k ≡ (S, |κ|) se nazývá základní kružnice inverze
nebo jen kružnice inverze.
4.3. Kruhová inverze 113
Věta 4.3.3. V kruhové inverzi se vnitřní body kružnice inverze zobrazují na vnější
body a naopak vnější body se zobrazí ve vnitřní body.
Důkaz. Je-li X vnitřním bodem k ≡ (S, |κ|) je |SX| < |κ| a tedy |κ| =
|SX|·|SX | < |κ|·|SX |. Odtud |SX | > |κ| a X je vnějším bodem kružnice
k. Naprosto stejně pro vnější bod X dostaneme, že X je vnitřním bodem.
Konstrukce obrazů bodů v kruhové inverzi. Předpokládejme, že k ≡
(S, r) je kružnice inverze a uvažujme její vnější bod X, viz Obr. 4.3.3. Sestrojme
přímku SX. Z bodu X sestrojme tečny ke kružnici k a body dotyku označme T1
a T2. Průsečík přímky T1T2 a přímky SX označme X . Protože T1T2 je kolmice
na SX, dostaneme pro pravoúhlý trojúhelník ST1X na základě euklidovy věty
o odvěsně |SX| · |SX | = r2
a tedy X je obrazem bodu X v kruhové inverzi
s kladnou mocností r2
a středem S. Označíme-li X obraz bodu X ve středové
symetrii podle středu S, je X obrazem X v kruhové inverzi se zápornou mocností
−r2
a středem S.
Obrázek 4.3.3: Obraz bodu v kruhove inverzi
Obraz vnitřního bodu kružnice k se sestrojuje opačnou konstrukcí.
Věta 4.3.4. Přímka procházející středem inverze se zobrazí sama na sebe (je
slabě samodružná).
Důkaz. Tato věta vyplývá přímo z Definice 4.3.1 a je zřejmá z Obr. 4.3.1.
Věta 4.3.5. Přímka neprocházející středem inverze se zobrazí na kružnici, která
prochází středem inverze. Navíc, tečna sestrojená k obrazu ve středu inverze je
rovnoběžná s danou přímkou.
4.3. Kruhová inverze 114
Důkaz. Nechť k ≡ (S, |κ|) je kružnice inverze a p je přímka neprocházející
bodem S, viz Obr. 4.3.2.
Obr. 4.3.2
Označme P patu kolmice spuštěné z S na p a P obraz bodu P. Nechť X je
libovolný bod z p a X jeho obraz. Platí |SP| · |SP | = |SX| · |SX | = |κ| a odtud
|SP|
|SX|
= |SX |
|SP |
. Dále úhel PSX se rovná úhlu P SX a tedy trojúhelníky SPX
a SP X jsou podobné. Odtud úhel P X S je totožný s pravým úhlem SPX
a tedy X leží na Thaletově kružnici opsané nad úsečkou SP . Protože tečna t
sestrojená ke kružnici p je kolmá na průměr SP , je t rovnoběžná s p.
Věta 4.3.6. Kružnice procházející středem inverze se zobrazí na přímku, která
neprochází středem inverze. Navíc je obraz rovnoběžný s tečnou sestrojenou k dané
kružnici ve středu inverze.
Důkaz. Důkaz této věty se dělá konstrukcí opačnou ke konstrukci z předchozí
Věty 4.3.5. Označme P diametrálně položený bod k bodu S na dané kružnici l,
viz Obr. 4.3.3.
Obr. 4.3.3
4.3. Kruhová inverze 115
Nechť P je jeho obraz v kruhové inverzi. Nechť X je libovolný bod dané kružnice
a X jeho obraz. Stejně jako v předchozím důkazu se dokáže, že trojúhelníky
SPX a SP X jsou podobné pravoúhlé. Odtud dostaneme, že úhel SP X je
pravý a tedy X leží na kolmici k přímce P S, která prochází bodem P . Protože
l i tečna t sestrojená ke kružnici l v bodě S jsou kolmé na přímku SP, je l
rovnoběžná s t.
Věta 4.3.7. Kružnice neprocházející středem inverze se zobrazí na kružnici, která
neprochází středem inverze.
Důkaz. Nechť k ≡ (S, |κ|) je kružnice inverze a l ≡ (O, r) je kružnice neprocházející
bodem S. Označme P, Q průsečíky přímky SO s kružnicí l a P , Q necht´
jsou jejich obrazy (na Obr. 4.3.4 nejsou tyto body označeny).
Obr. 4.3.4
Nechť X je libovolný bod dané kružnice l a X je jeho obraz. Úhly SXP a SP X
jsou totožné protože trojúhelníky SXP a SX P jsou podobné na základě věty
sus. Stejně tak úhly SXQ a SQ X jsou totožné, protože jsou podobné trojúhelníky
SXQ a SQ X . Platí PXQ = SXQ − SXP a P X Q = SQ X − SP X
a odtud P X Q = PXQ = π
2
. Tedy X leží na Thaletově kružnici opsané nad
úsečkou P Q .
Poznámka 4.3.3. Předchozí 4 věty nám nejen říkají, jak se zobrazí nenulové
kruhové křivky, ale dávají také návod, jak příslušné obrazy sestrojit. ♦
Věta 4.3.8. Kruhová inverze je konformní zobrazení, tj. zachovává odchylky kři-
vek.
Důkaz. Odchylka křivek je dána odchylkou tečen ve společných bodech. Stačí
tedy ukázat, že se zachovává odchylka obrazů dvou přímek. Pokud přímky p a q
prochází středem inverze, jsou samodružné a tedy odchylka p a q je totožná s
odchylkou p a q.
4.3. Kruhová inverze 116
Obr. 4.3.5
Nechť nyní p, q jsou přímky neprocházející středem inverze. Jejich obrazy p
a q jsou kružnice, které prochází středem inverze a jejich odchylka je dána odchylkou
tečen ve společném bodě S. Tečna t ke kružnici p v bodě S je rovnoběžná
s p a podobně i tečna u ke kružnici q v bodě S je rovnoběžná s q. Odchylka t a
u je tedy stejná, jako odchylka p a q.
Důsledek 4.3.1. Kruhová inverze zachovává dotyk kruhových křivek.
Věta 4.3.9. Kružnice, která neprochází středem inverze, a její obraz v kruhové
inverzi jsou stejnolehlé se středem stejnolehlosti ve středu inverze.
Důkaz. Věta je důsledkem toho, že kruhová inverze zachovává dotyk. Je-li totiž t
tečna vedená ke kružnici l ze středu kruhové inverze, je t tečna l , ale t ≡ t a tedy
l a l mají společné tečny procházející středem inverze (viz Obr. 4.3.4).
Poznámka 4.3.4. Tato věta nám umožňuje snadněji kreslit obrazy kružnic v kruhové
inverzi. Pozor ale na to, že tyto kružnice nejsou stejnolehlé bod po bodu.
♦
Důsledek 4.3.2. V kruhové inverzi s kladnou mocností jsou slabě samodružné
všechny kružnice kolmé na kružnici inverze. Je-li totiž l a l dvojice kružnic, které
se na sebe zobrazují v kruhové inverzi, a t je jejich společná tečna sestrojená
ze středu inverze, musí být, z podmínky l ≡ l , bod dotyku l a t samodružným
bodem inverze. To ovšem znamená, že l kolmo protíná kružnici inverze.
Věta 4.3.10. Pro každé dva body X, Y různé od S a jejich obrazy X , Y v kruhové
inverzi se středem v bodě S a koeficientem κ platí
|X Y | =
|κ| · |XY |
|SX| · |SY |
.
Důkaz. Nechť X, Y jsou dva body různé od středu inverze S a X , Y jsou jejich
obrazy. Označme γ = XSY = X SY , viz Obr 1.6.
4.3. Kruhová inverze 117
Obr. 4.3.6
Využitím kosinové věty dostaneme
|X Y |2
= |SX |2
+ |SY |2
− 2|SX | · |SY | cos γ
= κ2 1
|SX|2
+
1
|SY |2
− 2
1
|SX| · |SY |
cos γ
=
κ2
|SX|2|SY |2
|SY |2
+ |SX|2
− 2|SX| · |SY | cos γ
=
κ2
|XY |2
|SX|2|SY |2
.
Odmocněním dostaneme naše tvrzení.
Poznámka 4.3.5. Kruhová inverze nezachovává vzdálenosti a tedy střed kružnice
se nezobrazuje do středu kružnice. ♦
Věta 4.3.11. (Ptolemaiova) Nechť A, B, C, D jsou čtyři nekolineární různé body.
Pak platí
|AB| · |CD| + |BC| · |DA| ≥ |AC| · |BD|
a rovnost nastává právě tehdy, lze-li bodům A, B, C, D (v tomto pořadí) opsat
kružnici.
Důkaz. Nechť zvolené body jsou takové, že A, B, D nejsou kolineární. To lze předpokládat
vždy, jinak bychom přeznačili body. Potom v kruhové inverzi se středem
v A a mocností jedna zobrazíme body B, C, D a jejich obrazy označíme B , C , D .
Pro tyto body platí trojúhelníková nerovnost
|B C | + |C D | ≥ |B D |.
Využitím vzorce pro vzdálenost z Věty 4.3.10 dostaneme
|BC|
|AB| · |AC|
+
|CD|
|AC| · |AD|
≥
|BD|
|AB| · |AD|
2. Analytické vyjádření kruhové inverze 118
a odtud plyne naše tvrzení. Rovnost v trojúhelníkové nerovnosti nastává právě
tehdy, jsou-li body B , C , D kolineární. To ovšem nastává právě v případě, že
body B, C, D (v tomto pořadí) leží na kružnici, která prochází středem inverze bodem
A.
4.4 Analytické vyjádření kruhové inverze
Nechť S = [s1, s2], X = [x, y], X = [x , y ] jsou souřadnice v nějakém kartézském
repéru. Nechť je dána kruhová inverze se středem S a mocností κ zobrazující
X = S na X . Potom S, X, X jsou kolineární, a tedy
−−→
SX = k ·
−→
SX,
kde k má stejné znaménko jako κ. Z definice kruhové inverze je k = κ
|SX|2 . Tedy
X − S =
κ
|SX|2
(X − S),
což můžeme v souřadnicích přepsat
x = s1 +
κ
(x − s1)2 + (y − s2)2
(x − s1),
y = s2 +
κ
(x − s1)2 + (y − s2)2
(y − s2).
Tyto rovnice jsou souřadnicovým vyjádřením kruhové inverze se středem v bodě S
a mocností κ. Pro většinu úvah nehraje žádnou roli umístění středu inverze vzhledem
k počátku souřadného repéru. V praxi se proto převážně používá inverze,
jejíž střed splývá s počátkem souřadné soustavy. Taková inverze má jednodušší
rovnice
x =
κx
x2 + y2
, y =
κy
x2 + y2
. (4.4.1)
S použitím analytického vyjádření se snadno dokáží věty, které jsme si dříve
dokázali synteticky. Ukážeme si to na určení obrazů kruhových křivek. Nechť
m : A(x2
+ y2
) + 2Mx + 2Ny + C = 0
je kruhová křivka. Určeme rovnice jejího obrazu m v kruhové inverzi se středem
v počátku souřadného repéru a koeficientem κ. Dosazením (4.4.1) do rovnic m
dostaneme
A
κ2
x 2
+ κ2
y 2
(x 2 + y 2)2
+ 2M
κx
x 2 + y 2
+ 2N
κy
x 2 + y 2
+ C = 0 .
2. Analytické vyjádření kruhové inverze 119
a odtud
m : C(x 2
+ y 2
) + 2Mκx + 2Nκy + κ2
A = 0. (4.4.2)
Z podmínky M2
+ N2
− AC ≥ 0 pro kruhovou křivku dostaneme M 2
+ N 2
−
A C = κ2
(M2
+ N2
− AC) ≥ 0 a tedy m je kruhová křivka. Rozlišujeme následujících
pět možnosti:
1. m je nulová kruhová křivka, tj. M2
+ N2
− AC = 0. Potom i M 2
+ N 2
−
A C = 0 a m je nulová kruhová křivka.
2. m prochází středem inverze a je to přímka. Potom A = 0, C = 0, tj.
m : 2Mx + 2Ny = 0,
m : 2Mκx + 2Nκy = 0,
a odtud m ≡ m .
3. m prochází středem inverze a je to kružnice, tj. A = 0, C = 0. Potom
m : A(x2
+ y2
)Mx + 2Ny = 0,
m : 2Mκx + 2Nκy + κ2
A = 0,
a tedy m je přímka a neprochází středem inverze.
4. m neprochází středem inverze a je to přímka, tj. A = 0, C = 0. Potom
m : 2Mx + 2Ny + C = 0,
m : C(x 2
+ y 2
) + 2Mκx + 2Nκy = 0,
a m je kružnice procházející středem inverze.
5. m neprochází středem inverze a je to kružnice, tj. A = 0, C = 0. Potom
m : A(x2
+ y2
) + 2Mx + 2Ny + C = 0,
m : C(x 2
+ y 2
) + 2Mκx + 2Nκy + κ2
A = 0,
a m je kružnice, která neprochází středem inverze.
Dokázali jsme tedy najednou všechny čtyři věty o obrazech kruhových křivek
v kruhové inverzi.
Poznámka 4.4.1. Z (4.4.2) se snadno odvodí také souřadnicový důkaz Věty
4.3.8. Opravdu, ze souřadnicovém vyjádření pro odchylku dvou kruhových křivek
z Věty 4.2.1, dostaneme
cos ϕ =
|2M1M2 + 2N1N2 − A1C2 − A2C1|
M1
2 + N1
2 − A1C1 M2
2 + N2
2 − A2C2
=
|2κ2
M1M2 + 2κ2
N1N2 − κ2
A1C2 − κ2
A2C1|
κ2M2
1 + κ2N2
1 − κ2A1C1 κ2M2
2 + κ2N2
2 − κ2A2C2
=
|2M1M2 + 2N1N2 − A1C2 − A2C1|
M2
1 + N2
1 − A1C1 M2
2 + N2
2 − A2C2
= cos ϕ . ♦
4.5. Kruhová zobrazení 120
4.5 Kruhová zobrazení
Definice 4.5.1. Jako osové souměrnosti (osové inverze) v Möbiově rovině definujeme
symetrie podle přímek a kruhové inverze.
Kruhové zobrazení v Möbiově rovině definujeme jako zobrazení složené z konečného
počtu osových inverzí.
Důsledek 4.5.1. Kruhové zobrazení zobrazuje nenulovou kruhovou křivku na
nenulovou kruhovou křivku. Může ale zobrazit středovou kruhovou křivku na
nestředovou a naopak.
Důsledek 4.5.2. Je zřejmé, že kruhová zobrazení tvoří grupu, takzvanou grupu
kruhových zobrazení. V této grupě je grupa podobností a grupa shodností podgrupou.
Opravdu každá shodnost je složena z nejvýše tří symetrií podle přímek
a je tedy kruhovým zobrazením. Podobně každá podobnost je složením stejnolehlosti
a shodnosti, ale stejnolehlost je složením dvou kruhových inverzí. Je tedy
podobnost složením dvou kruhových inverzí a nejvýše tří symetrií podle přímky.
Poznámka 4.5.1. Dá se dokázat, že každé zobrazení v Möbiově rovině, které
zobrazuje kruhové křivky opět na kruhové křivky je kruhové zobrazení, t.j. je
složeno z konečného počtu osových inverzí. Důkaz ale přesahuje rozsah tohoto
kurzu. ♦
Použitá literatura 121
Použitá literatura
Baz V. T. Bazylev, Sbornik zadaq po geometrii, Moskva 1980.
Ber M. Berger, Géométrie 1–5, Paris 1977.
Bic L. Bican, Lineární algebra, SNTL, Praha 1979.
Bud B. Budinský, Analytická a diferenciální geometrie, SNTL, Praha 1983.
Byd B. Bydžovský, Úvod do analytické geometrie, Praha 1956.
Cub O. N. Cuberbiller, Zadaqi i upra neni po analitiqesko geometrii,
Moskva 1957.
Čech E. Čech, Základy analytické geometrie, Praha 1951.
Jef N. V. Efimov, Kratki kurs po analitiqesko geometrii, Moskva 1975.
Ho94 P. Horák, Algebra a teoretická aritmetika I, skripta MU, Brno 1994.
Ho93 P. Horák, Algebra a teoretická aritmetika II, skripta MU, Brno 1993.
Ho07 P. Horák, Lineární algebra a geometrie 1, skripta MU, Brno 2007.
HoJa P. Horák, J. Janyška Analytická geometrie, skripta MU, 2. vydání, Brno
2002.
JaSe J. Janyška, A. Sekaninová, Analytická teorie kuželoseček a kvadrik,
skripta MU, 2. vydání, Brno 2001.
Kle A. V. Kletenik, Sbornik zadaq po analitiqesko geometrii, Moskva
1986.
Kra E. Kraemer, Analytická geometrie lineárních útvarů, Praha 1956.
Mod P. S. Modenov, Zadaqi po geometrii, Moskva 1979.
MoSw M. Moszyńska, J. Świecicka, Geometria z algebra liniova, Warszawa 1987.
Pog A. V. Pogorelov, Analitiqeska geometri , Moskva 1978.
Ro J. Rosický, Algebra, skripta MU, Brno 2002.
Se86 M. Sekanina a kol., Geometrie I, Praha 1986.
Použitá literatura 122
Se88 M. Sekanina a kol., Geometrie II, Praha 1988.
Sl J. Slovák, Lineární algebra, učební text MU, Brno 1997-98,
http://www.math.muni.cz/ slovak/Vyuka/la.pdf.
Rejstřík
šikmá symetrie, 66
charakteristickým číslem matice, 9
afinita, 47
afinní grupa, 47
afinní transformace, 47
afinní zobrazení, 31
asociované lineární zobrazení, 33
automorfizmus, 6
blokově diagonální tvar matice, 8
bloky matice, 8
charakteristická rovnice afinního zobrazení,
51
charakteristická rovnice lineární transformace,
10
charakteristická rovnice matice, 10
charakteristické číslo, 9
charakteristický polynom lineární transformace,
10
charakteristický polynom matice, 10
charakteristický vektor, 9
charakteristický vektor matice, 9
charakteristika základní afinity, 65
chordála kružnic, 108
ekviafinní zobrazení, 48
elace, 64
endomorfismus, 6
grupa afinit, 47
grupa homotetií afinního prostoru, 58
grupa kruhových zobrazení, 120
grupa podobností, 103
grupa shodností, 86
hodnost afinního zobrazení, 35
hodnost lineárního zobrazení, 2
homomorfismus vektorových prostorů, 1
homotetie afinního prostoru, 57
imaginární část vektoru, 18
imaginární kružnice, 111
invariantní podprostor, 7
Invariantní podprostory, 6
involuce, 65
involutorní dvojice bodů, 65
involutorní zobrazení, 65
izometrické zobrazení, 81
izometrie, 86
izomorfismus vetrorových prostorů, 1
izomorfní prostory, 25
koeficient podobného zobrazení, 99
koeficient stejnolehlost, 55
komplexní rozšíření lineárního zobrazení,
21
komplexně sdružený vektor, komplexně
sdružený vektorový podprostor,
20
kosá symetrie, 66
kružnice, 106
kruhová křivka, 111
kruhové zobrazení, 120
lineární forma, 2
lineární transformace, 6
lineární zobrazení, 1
123
Použitá literatura 124
Lineární zobrazení vektorových prostorů,
1
maticí lineárního zobrazení, 4
matice afinního zobrazení, 41
mocnost bodu ke kružnici, 107
modul afinního zobrazení, 46
nepřímé afinity, 48
nestředová kruhová křivka, 111
normální podgrupa, 59
nulová kruhová křivka, 111
nulové zobrazení, 2
obecná lineární grupa, 7
odchylka kružnic, 108
odchylka přímky a kružnice, 108
ortogonální transformace, 24, 25
ortogonální zobrazení, 24, 25
osa afinity, 62
osa souměrnosti, 89
osa symetrie, 89
osová afinita, 62
osová inverze, 120
osová souměrnost, 89, 120
osová symetrie, 89
přímé afinity, 48
pevný prvek zobrazení, 49
podobné zobrazení, 99
podobnost, 103
poloměr kružnice, 106
polorozpadla matice, 8
posunutí afinního prostoru, 54
reálná část vektoru, 18
reálná báze, 19
reálný podprostor, 19
regulární zobrazení, 5, 6
rovnicelineárního zobrazení, 4
rovnoběžná projekce prostoru do nadroviny,
62
Rozklad reálného vektorového prostoru
na invariantní podprostory, 17
rozpadla matice, 8
samodružný prvek zobrazení, 49
shodné zobrazení, 81
shodnost, 86
silně samodružná podmnožina, 49
slabě samodružná podmnožina, 49
směr rovnoběžné projekce, 62
směr základní afinity, 65
souřadnicové rovnice afinního zobrazení,
40
souřadnicové vyjádření afinního zobrazení,
40
souřadnicovým vyjádřením lineárního zobrazení,
4
souměrnost podle nadroviny, 89
souměrnost podle přímky, 89
souměrnost podle podprostoru, 89
souměrnost podle roviny, 89
spektrum lineární transformace, 12
střed kružnice, 106
střed souměrnosti, 89
střed stejnolehlost, 55
střed symetrie, 89
středová kruhová křivka, 111
stejnolehlost afinního prostoru, 55
stopa matice, 10
symetrie podle nadroviny, 89
symetrie podle přímky, 89
symetrie podle podprostoru, 89
symetrie podle roviny, 89
symetrie prostoru An podle nadrovivy,
66
translace afinního prostoru, 54
vlastní číslo afinního zobrazení, 50
vlastní číslo lineárního zobrazení, 51
vlastní hodnota, 9
vlastní hodnotou matice, 9
Použitá literatura 125
vlastní podobnost, 103
vlastní směr afinního zobrazení, 50
vlastní směr lineární transformace, 9
vlastní směr lineárního zobrazení, 51
vlastní stejnolehlost, 55
vlastní vektor, 9
vlastní vektor afinního zobrazení, 50
vlastní vektor lineárního zobrazení, 51
vlastní vektor matice, 9
vnější body kružnice k, 107
vnitřní body kružnice k, 107
základní afinita, 62
základní afinita bez charakteristiky, 65
základní afinní zobrazení, 62
zobecněné kružnice, 111