Cvičení 11: Jednoduchá korelační analýza
Úkol 1.: Testování nezávislosti ordinálních veličin
12 různých softwarových firem nabízí speciální programové vybavení pro vedení účetnictví.
Jednotlivé programy byly posouzeny odbornou komisí složenou z počítačových odborníků a
komisí složenou z profesionálních účetních. Úkolem bylo doporučit vhodný program na
základě stanovení pořadí jednotlivých programů. Výsledky posouzení:
Produkt firmy číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pořadí dle odborníků 6 7 1 8 4 2,5 9 12 10 2,5 5 11
Pořadí dle účetních 4 5 2 10 6 1 7 11 8 3 12 9
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že hodnocení obou komisí jsou nezávislá.
Návod:
Testujeme vlastně nulovou hypotézu, že koeficient pořadové korelace je roven nule proti
oboustranné alternativě.
Načteme datový soubor vedeni_ucetnictvi.sta o dvou proměnných X (hodnocení 1. komise),
Y (hodnocení 2. komise) a 12 případech.
Statistiky – Neparametrické statistiky – Korelace – OK – vybereme Vytvořit detailní report Proměnné
X, Y – OK – Spearmanův koef. R. Dostaneme tabulku
Spearmanovy korelace (vedeni_ucetnictvi.sta)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
plat.
Spearman
R
t(N-2) p-hodn.
X & Y 12 0,714537 3,229806 0,009024
Spearmanův koeficient pořadové korelace nabývá hodnoty 0,7145, testová statistika se
realizuje hodnotou 3,2298, odpovídající p-hodnota je 0,009024, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o pořadové nezávislosti hodnocení dvou komisí ve
prospěch oboustranné alternativy.
Upozornění: Systém STATISTICA používá při testování hypotézy o pořadové nezávislosti
veličin X, Y asymptotickou variantu testu bez ohledu na rozsah náhodného výběru. Pokud
rozsah výběru nepřesáhne 20, měli bychom systém STATISTCA použít jen k výpočtu rS a
testování bychom měli provést pomocí tabelované kritické hodnoty. V našem případě pro n =
12 a α = 0,05 je kritická hodnota 0,5804. Vidíme, že nulovou hypotézu zamítáme na hladině
významnosti 0,05, protože 0,7145 ≥ 0,5804.
Úkol 2.: Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin – oboustranná
alternativa
Zjišťovalo se, kolik mg kyseliny mléčné je ve 100 ml krve matek prvorodiček (veličina X) a u
jejich novorozenců (veličina Y) těsně po porodu. Byly získány tyto výsledky:
Číslo matky 1 2 3 4 5 6
xi 40 64 34 15 57 45
yi 33 46 23 12 56 40
Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram, vypočtěte výběrový korelační koeficient, sestrojte
95% interval spolehlivosti pro korelační koeficient a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu o nezávislosti výsledků obou měření.
Návod: Načteme datový soubor kyselina_mlecna.sta o dvou proměnných X a Y a šesti
případech. Obvyklým způsobem zobrazíme dvourozměrný tečkový diagram, s jehož pomocí
posoudíme dvourozměrnou normalitu dat. Tedy:
Grafy – Bodové grafy – vypneme lineární proložení - Proměnné X, Y – OK – Detaily - Elipsa
normální – OK. Ve vzniklém grafu upravíme měřítka na vodorovné a svislé ose:
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120
X
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
Y
Testování hypotézy o nezávislosti: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice
– OK – 2 seznamy proměn. – X, Y – OK – na záložce Možnosti vybereme Zobrazit detailní
tabulku výsledků – Výpočet.
Korelace (kyselina_mlecna.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
X
Y
42,50000 17,39828
35,00000 15,89969 0,934832 0,873912 5,265339 0,006232 6 -1,30823 0,854311 6,696994 1,022943
Ve výstupní tabulce je mj. hodnotu výběrového korelačního koeficientu R12 (r=0,9348), tzn.
že mezi X a Y existuje silná přímá lineární závislost), hodnota testové statistiky (t = 5,2653) a
p-hodnotu pro test hypotézy o nezávislosti (p=0,006232), H0 tedy zamítáme na hladině
významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme tedy prokázali, že mezi oběma
koncentracemi existuje závislost.
Pro testování pomocí intervalu spolehlivosti zopakujme nejprve teorii:
Nechť dvourozměrný náhodný výběr rozsahu n pochází z dvourozměrného normálního
rozložení s koeficientem korelace ρ. Meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti
pro ρ jsou:






−
−= α−
3n
u
Ztghd 2/1
, 





−
+= α−
3n
u
Ztghh 2/1
přičemž xx
xx
ee
ee
xtgh −
−
+
−
= ,
12
12
R1
R1
ln
2
1
Z
−
+
= .
Výpočet mezí intervalu spolehlivosti: vytvoříme nový datový soubor s proměnnými DM a
HM. Do Dlouhého jména proměnné DM zapíšeme příkaz
= TanH(0,5*log((1+0,9348)/(1-0,9348))-VNormal(0,975;0;1)/sqrt(6-3))
a do Dlouhého jména proměnné HM zapíšeme příkaz
= TanH(0,5*log((1+0,9348)/(1-0,9348))+VNormal(0,975;0;1)/sqrt(6-3))
1
DM
2
HM
1 0,510617 0,993014
95% interval spolehlivosti pro ρ má tedy meze 0,5106 a 0,9930, nepokrývá hodnotu 0
a tudíž hypotézu o nezávislosti veličin X, Y zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Využití modulu Analýza síly testu
Statistiky – Analýza síly testu – Odhad intervalu - Jedna korelace, t-test – OK – Pozorované
R: 0,9348, N: 6, Spolehlivost: 0,95 – Výpočetní algoritmus: zaškrtneme Fisherovo Z
(původní) – Vypočítat.
Zjistíme, že Dolní mez = 0,5106, Horní mez = 0,993.
Poznámka: Pokud známe výběrový koeficient korelace a rozsah výběru, můžeme test
nezávislosti veličin X, Y provést pomocí Pravděpodobnostního kalkulátoru.
Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Korelace – zadáme n a r, zaškrtneme Výpočet p
z r – Výpočet.
Úkol 3.: Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin – jednostranná
alternativa
Při průzkumu příčin dopravních nehod bylo provedeno měření diastolického tlaku 10 skupin
řidičů autobusů při různých teplotách vnějšího ovzduší. Data znázorněte graficky, posuďte
jejich dvourozměrnou normalitu, vypočtěte realizaci výběrového koeficientu korelace a na
hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že teplota ovzduší neovlivňuje krevní tlak řidičů
proti alternativě, že mezi teplotou a tlakem existuje kladná korelace.
Teplota ovzduší (ve ° C): -10,5 -5,4 0,2 6,4 10,2 15,6 18,5 25, 5 28,9 31,5 35,8
průměrný tlak (v mm Hg): 76 78 81 81 74 72 76 81 82 83 84
Návod:
Načteme datový soubor ridici_autobusu.sta. Proměnná X obsahuje teploty, proměnná Y tlaky.
Vytvoříme dvourozměrný tečkový diagram s 95% elipsou konstantní hustoty
pravděpodobnosti:
-60 -40 -20 0 20 40 60 80
X
60
65
70
75
80
85
90
95
100Y
Komentář: Vzhled diagramu svědčí o dvourozměrné normalitě dat.
Číselná realizace výběrového koeficientu korelace: r12 = 0,3823 svědčí o existenci poměrně
slabé přímé lineární závislosti mezi vnější teplotou a diastolickým krevním tlakem řidičů
autobusů – s rostoucí teplotou poněkud roste krevní tlak.
Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu 0:H0 =ρ proti pravostranné alternativě
0:H1 >ρ . Pomocí Pravděpodobnostního kalkulátoru zjistíme p-hodnotu pro tuto
jednostrannou alternativu: p = 0,1378. Na hladině významnosti 0,05 tedy nezamítáme
hypotézu, že vztah mezi teplotou a tlakem je pouze náhodný.
Úkol 4.: Porovnání dvou korelačních koeficientů
V psychologickém výzkumu bylo vyšetřeno 426 hochů a 430 dívek. Ve skupině hochů činil
výběrový koeficient korelace mezi verbální a performační složkou IQ 0,6033, ve skupině
dívek činil 0,5833. Za předpokladu dvourozměrné normality dat testujte na hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že korelační koeficienty se neliší.
Návod: Nejprve zopakujeme teorii:
Nechť jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n a n*
z dvourozměrných
normálních rozložení s korelačními koeficienty ρ a ρ*
. Testujeme H0: ρ = ρ*
proti H1: ρ ≠ ρ*
.
Označme R12 výběrový korelační koeficient 1. výběru a R12
*
výběrový korelační koeficient
2. výběru. Položme
12
12
R1
R1
ln
2
1
Z
−
+
= a *
12
*
12*
R1
R1
ln
2
1
Z
−
+
= . Platí-li H0, pak testová statistika
3n
1
3n
1
*
*
ZZ
U
−−
+
−
= má asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor pro test H0 proti
oboustranné alternativě tedy je ( )∞∪−∞−= α−α− ,uu,W 2/12/1 . H0 zamítáme na
asymptotické hladině významnosti α, když WU ∈ .
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma korelačními koeficienty. Do políčka r1 napíšeme 0,6033, do políčka N1
napíšeme 426, do políčka r2 napíšeme 0,5833, do políčka N2 napíšeme 430 - Výpočet.
Dostaneme p-hodnotu 0,6528, tedy nezamítáme nulovou hypotézu o shodě dvou koeficientů
korelace na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Úkoly k samostatnému řešení
Příklad 1.: Bylo sledováno 10 žáků. Na základě psychologického vyšetření byli tito žáci
seřazeni podle nervové lability (čím byl žák labilnější, tím dostal vyšší pořadí Ri). Kromě toho
sledování žáci dostali pořadí Qi na základě svých výsledků v matematice (nejlepší žák
v matematice dostal pořadí 1). Výsledky jsou uvedeny v tabulce:
Pořadí Ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pořadí Qi 9 3 8 5 4 2 10 1 7 6
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že nervová labilita a výsledky v matematice jsou nezávislé.
Výsledek: rS = -0,127, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Příklad 2.: V náhodném výběru 10 dvoučlenných domácností byl zjišťován měsíční příjem
(veličina X, v tisících Kč) a vydání za potraviny (veličina Y, v tisících Kč).
xi 15 21 34 35 39 42 58 64 75 90
yi 3 4,5 6,5 6 7 8 9 8 9,5 10,5
Vypočtěte výběrový koeficient korelace. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o
nezávislosti veličin X, Y. Sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti pro ρ
Výsledek: r12 = 0,9405, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05, s pravděpodobností aspoň
0,95 platí: 0,7623 < ρ < 0,9862
Příklad 3.: U určitého výrobku hodnotil expert dvě vlastnosti na desetibodové stupnici tak,
že nula je nejhorší a desítka nejlepší hodnocení. Máte k dispozici výsledky hodnocení 11
náhodně vybraných výrobků:
1. vlastnost 3,1 2,8 4,4 5,8 5,1 4,3 4,7 2,9 5,3 5,4 5,9
2. vlastnost 7,2 6,5 6,9 8,4 76 4,4 3,8 7,1 4,3 4,7 8,9
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že hodnocení obou vlastností jsou pořadově nezávislá.
Výsledek: rS = 0,282, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Příklad 4.: V následující tabulce jsou uvedeny číselné realizace a absolutní četnosti
náhodného výběru (X1, Y1), (X1, Y2), ..., (X62, Y62) z dvourozměrného rozložení:
yx
1 3 5 7 9 11 13
15 0 0 0 0 1 2 1
25 0 0 0 5 4 2 0
35 0 0 5 8 2 0 0
45 0 5 6 4 0 0 0
55 3 5 3 0 0 0 0
65 4 2 0 0 0 0 0
Podle vzhledu dvourozměrného tečkového diagramu orientačně posuďte dvourozměrnou
normalitu dat. Vypočtěte výběrový koeficient korelace a interpretujte ho. Na hladině
významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti veličin X a Y.
Výsledek:
Protože tečky v dvourozměrném tečkovém diagramu vytvářejí elipsovitý obrazec, lze připustit
dvourozměrnou normalitu. Výběrový koeficient korelace nabývá hodnoty –0,8699, což
znamená, že mezi veličinami X a Y existuje dosti silná nepřímá lineární závislost. Testová
statistika se realizuje hodnotou -13,6613, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0, nulovou
hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,05.