Cvičení 4.: Testy normality, parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení Úkol 1.: U 45 studentek VŠE v Praze byla zjišťována výška a obor studia (1 – národní hospodářství, 2 – informatika). Hodnoty jsou uloženy v souboru vyska.sta. Pomocí Lilieforsovy modifikace K-S testu, pomocí S-W testu a pomocí A-D testu testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že data pocházejí z normálního rozložení. Pomocí N-P grafu posuďte vizuálně předpoklad normality. Návod: 1. způsob provedení Lilieforsova a S-W testu: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK – Proměnné X – OK – Normalita – zaškrtneme Lilieforsův test a S-W test – Testy normality. Testy normality (vyska.sta) Proměnná N max D Lilliefors p W p X: vyska 48 0,155621 p < ,01 0,965996 0,176031 Výstupní tabulka obsahuje počet pozorování, hodnotu testové statistiky Lilieforsovy modifikace K-S testu (max D = 0,155621), p-hodnotu (p < 0,01), testovou statistiku S-W testu (W = 0,965996) a odpovídající p-hodnotu (p = 0,176031). Vidíme, že Lilieforsův test zamítá hypotézu o normalitě na hladině významnosti 0,05, zatímco S-W test nikoli. 2. způsob provedení Lilieforsova a S-W testu: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Normalita – zaškrtneme K-S test & Lilieforsův test a S-W test – Tabulky četností (nebo Histogram). Tabulka četností:X: vyska (vyska.sta) K-S d=,15562, p<,20 ; Lilliefors p<,01 Shapiro-WilksW=,96600, p<,17603 Kategorie Četnost Kumulativní četnost Rel.četn. (platných) Kumul. % (platných) Rel.četn. všech Kumul. % všech 150,0000 80), přičemž výběrový průměr M má normální rozložení se střední hodnotou E(M) = µ = 72 a rozptylem D(M) = 10 81 n 2 = σ = 8,1 (viz skripta Základní statistické metody, věta 6.1.1.1., bod 2). Tedy P(M > 80) = 1 - P(M ≤ 80) = 1 – Φ(80), kde Φ(80) je hodnota distribuční funkce rozložení N(72; 8,1) v bodě 80. Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme =1 – INormal(80;72;sqrt(8,1)). Zjistíme, že 1 - Φ(80) = 0,00247005. Funkce INormal(x;µ;σ) počítá hodnotu distribuční funkce rozložení N(µ,σ2 ) v bodě x. 1 Prom1 1 0,00247 Úkol 3.: Intervaly spolehlivosti pro parametry µ, σ2 normálního rozložení Z populace stejně starých selat téhož plemene bylo vylosováno šest selat a po dobu půl roku jim byla podávána táž výkrmná dieta. Byly zaznamenávány průměrné denní přírůstky hmotnosti v Dg. Z dřívějších pokusů je známo , že v populaci mívají takové přírůstky normální rozložení, avšak střední hodnota i rozptyl se měnívají. Přírůstky v Dg: 62, 54, 55, 60, 53, 58. a) Najděte 95% empirický levostranný interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu µ při neznámé směrodatné odchylce σ. b) Najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku σ. Návod: Vytvoříme nový datový soubor o jedné proměnné X a 6 případech. Do proměnné X napíšeme dané hodnoty. Ad a) Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní výsledky – zaškrtneme Meze spolehl. prům. (ostatní volby zrušíme) – pro jednostranný interval změníme hodnotu na 90,00 - Výpočet. (Hodnotu změníme na 90, protože dolní mez levostranného 95% intervalu spolehlivosti pro µ je stejná jako dolní mez oboustranného 90% intervalu spolehlivosti pro µ.) Popisné statistiky (Tabulka1) Proměnná Int. spolehl. -90,000% Int. spolehl. 90,000 X 54,05683 59,94317 Vidíme, že µ > 54,06 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95. Ad b) Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní výsledky – zaškrtneme Meze sp. směr. odch., ponecháme implicitní hodnotu 95,00 – Výpočet. Popisné statistiky (Tabulka1) Proměnná Spolehlivost Sm.Odch. -95,000% Spolehlivost Sm.Odch. +95,000% X 2,233234 8,774739 Dostáváme výsledek: 2,23 g < σ < 8,77 g s pravděpodobností aspoň 0,95. Úkol 4.: Testování hypotézy o parametru µ normálního rozložení Systematická chyba měřicího přístroje se eliminuje nastavením přístroje a měřením etalonu, jehož správná hodnota je µ = 10,00. Nezávislými měřeními za stejných podmínek byly získány hodnoty: 10,24 10,12 9,91 10,19 9,78 10,14 9,86 10,17 10,05, které považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozložení N(µ, σ2 ). Je možné při riziku 0,05 vysvětlit odchylky od hodnoty 10,00 působením náhodných vlivů? Návod: Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: µ = 10 proti oboustranné alternativě H1: µ ≠ 10. Jde o úlohu na jednovýběrový t-test. Ten je ve STATISTICE implementován. Otevřeme datový soubor mereni_etalonu.sta. V Základních statistikách/tabulkách vybereme ttest, samostatný vzorek. Do Referenčních hodnot zapíšeme 10. Ve výstupu se podíváme na hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu. Pokud p-hodnota bude menší nebo rovna 0,05, zamítneme hypotézu H0: µ = 10 ve prospěch oboustranné alternativní hypotézy H1: µ ≠ 10 na hladině významnosti 0,05. V opačném případě H0 nezamítáme. V našem případě je Test průměrů vůči referenční konstantě (hodnotě) Proměnná Průměr Sm.odch. N Sm.chyba Referenční konstanta t SV p Prom1 10,05111 0,162669 9 0,054223 10,00000 0,942611 8 0,373470 Protože p-hodnota 0,373470 > 0,05 nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Odchylky od hodnoty 10 můžeme vysvětlit působením náhodných vlivů. Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: 0t = 0,942611. Kritický obor ( )( ( ) ) ( )( ( ) ) ( )∞∪−∞−= =∞∪−∞−=∞−∪−−∞−= α−α− ,306,2306,2, ,8t8t,,1nt1nt,W 975,0975,02/12/1 Protože Wt0 ∉ , nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu 0H . Úkol 5.: Interval spolehlivosti pro rozdíl parametrů µ1 - µ2 dvourozměrného rozložení Bylo vylosováno 6 vrhů selat a z nich vždy dva sourozenci. Jeden z nich vždy dostal náhodně dietu č. 1 a druhý dietu č. 2. Přírůstky v Dg jsou následující: (62,52), (54,56), (55,49), (60,50), (53,51), (58,50). Za předpokladu, že rozdíly uvedených dvojic tvoří náhodný výběr z normálního rozložení se střední hodnotou µ1 - µ2, sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot. Návod: Vytvoříme datový soubor o třech proměnných a šesti případech. Do proměnných v1 a v2 zapíšeme naměřené přírůstky, do proměnné v3 uložíme rozdíly v1 - v2. Ve STATISTICE je implementován výpočet oboustranného intervalu spolehlivosti pro µ, když 2 σ neznáme. Pomocí Popisných statistik zjistíme meze 95% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu proměnné v3 tak, že zaškrtneme Meze spoleh. prům. Popisné statistiky Proměnná Int. spolehl. -95,000% Int. spolehl. +95,000% Prom3 0,626461 10,70687 Dostaneme výsledek: 0,63 Dg < µ < 10,71 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95. Úkol 6.: Testování hypotézy o rozdílu parametrů µ1 - µ2 dvourozměrného rozložení Pro data z úkolu 5. testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě výkrmné diety mají stejný vliv. Návod: Označme µ = µ1 - µ2. Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: µ = 0 proti oboustranné alternativě H1: µ ≠ 0. Jde o úlohu na párový t-test. Ten je ve STATISTICE implementován.Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných a šesti případech. Do proměnných v1 a v2 zapíšeme naměřené přírůstky. V menu Základní statistiky/tabulky vybereme t-test, závislé vzorky. Zadáme názvy obou proměnných a ve výstupu se podíváme na hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu. t-test pro závislé vzorky Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000 Proměnná Průměr Sm.odch. N Rozdíl Sm.odch. rozdílu t sv p Prom1 Prom2 57,00000 3,577709 51,33333 2,503331 6 5,666667 4,802777 2,890087 5 0,034183 Protože p-hodnota 0,034183 < 0,05, zamítáme hypotézu H0: µ = 0 ve prospěch alternativní hypotézy H1: µ ≠ 0 na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že jsme s rizikem omylu nejvýše 5% prokázali rozdíl v účinnosti obou výkrmných diet. Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: 0t = 2,890087. Kritický obor ( )( ( ) ) ( )( ( ) ) ( )∞∪−∞−= =∞∪−∞−=∞−∪−−∞−= α−α− ,5706,25706,2, ,5t5t,,1nt1nt,W 975,0975,02/12/1 Protože Wt0 ∈ , zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu 0H . Příklady k samostatnému řešení Příklad 1.: Měřením délky deseti válečků byly získány hodnoty (v mm): 5,38 5,36 5,35 5,40 5,41 5,34 5,29 5,43 5,42 5,32. Těchto deset hodnot považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 10 z normálního rozložení N(µ, σ2 ). Jsou uloženy v souboru valecky.sta. a) Sestrojte 99% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu µ b) Sestrojte 99% interval spolehlivosti pro neznámou směrodatnou odchylku σ. c) Na hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu, že střední hodnota délky válečků je 5,3 mm proti oboustranné alternativě. Výsledky: ad a) 5,3228 mm < µ < 5,4172 mm s pravděpodobností aspoň 0,99 ad b) 0,0284 mm < σ < 0,1046 mm s pravděpodobností aspoň 0,99. ad c) Testujeme H0: µ = 5,3 proti H1: µ ≠ 5,3 na hladině významnosti 0,01. Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,01 a přijímáme alternativní hypotézu. Příklad 2.: Bylo náhodně vybráno 15 desetiletých chlapců a byla zjištěna jejich výška (v cm). Výsledky měření 130, 140, 136, 141, 139, 133, 149, 151, 139, 136, 138, 142, 127, 139, 147 považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 15 z rozložení N(µ,σ2 ). Jsou uloženy v souboru vysky_chlapcu.sta. Podle názoru odborníků by střední hodnoty výšky desetiletých chlapců měla být 136,1 cm. Testujte tuto hypotézu na hladině významnosti 0,05. Pomocí N-P plotu a S-W testu ověřte normalitu dat. Výsledky: S-W test poskytl p-hodnotu 0,7998, tedy hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Dále testujeme H0: µ = 136,1 proti H1: µ ≠ 136,1 na hladině významnosti 0,05. Protože p = 0,0947 > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Příklad 3.: Pět mužů se rozhodlo, že budou hubnout. Zjistili svou hmotnost před zahájením diety a po ukončení diety. Číslo osoby 1 2 3 4 5 Hmotnost před dietou 84 77,5 91,5 84,5 97,5 Hmotnost po dietě 78,5 73,5 88,5 80 97 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že dieta neměla vliv na hmotnost. Výsledky: Testujeme H0: µ1 - µ2 = 0 proti H1: µ1 - µ2 ≠ 0. Testová statistika nabývá hodnoty 4,1105, odpovídající p-hodnota je 0,0147, tedy nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme tedy prokázali, že dieta má vliv na střední hodnotu hmotnosti.