Cvičení 7.: Parametrické úlohy
o jednom výběru a dvou nezávislých výběrech z alternativního rozložení
Úkol 1.: Vlastnosti výběrového průměru z alternativního rozložení
Mezi americkými voliči 60% osob volí republikány a 40% demokraty. Jaká je
pravděpodobnost, že v náhodném výběru 100 amerických voličů budou voliči republikánů
v menšině? Výpočet proveďte jak přesně, tak pomocí aproximace normálním rozložením.
Návod:
X1, ..., X100 je náhodný výběr z A(0,6), Xi = 1, když i-tá osoba volí republikány,
Xi = 0 jinak, i = 1, ..., 100. Zavedeme statistiku Y100 = X1 + ... + X100, Y100 ~ Bi(100; 0,6) (viz
skripta Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika, sbírka příkladů, příklad 8.10.),
E(Y100) = ϑn = 100.0,6 = 60 , ( ) ( ) 244,0.6,0.1001nYD 100 ==ϑ−ϑ= Označme Φ100(y)
distribuční funkci náhodné veličiny Y100, t100t
y
0t
100 4,06,0
t
100
)y( −
=
∑ 





=Φ .
Přesný výpočet: P(Y100 < 50) = P(Y100 ≤ 49) = Φ100(49) = 0,016761686.
Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého jména této
proměnné napíšeme =IBinom(49;0,6;100). Funkce IBinom(x;p;n) počítá hodnotu distribuční
funkce rozložení Bi(n,p) v bodě x.
Přibližný výpočet: užijeme důsledek Moivreovy - Laplaceovy integrální věty (viz skripta
Základní statistické metody, věta 6.3.1.1.). Nejdříve ověříme splnění podmínky dobré
aproximace nϑ (1- ϑ) = 100.0,6.0,4 = 24 > 9. Podmínka je splněna.
P(Y100 < 50) = P(Y100≤49) ≈Φ(49), kde Φ(49) je hodnota distribuční funkce rozložení
N(60; 24) v bodě 49.
Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého jména této
proměnné napíšeme =INormal(49;60;sqrt(24)).
Zjistíme, že Φ(49) = 0,012372.
Přesný výpočet
1
Prom1
1 0,016762
Aproximativní výpočet
1
Prom1
1 0,012372
Úkol 2.: Asymptotický interval spolehlivosti pro parametr ϑ alternativního rozložení
Může politická strana, pro niž se v předvolebním průzkumu vyslovilo 60 z 1000 dotázaných
osob, očekávat se spolehlivostí aspoň 0,95, že by v této době ve volbách překročila 5%
hranici pro vstup do parlamentu?
Návod:
Zavedeme náhodné veličiny X1, ..., X1000, přičemž Xi = 1, když i-tá osoba se vysloví pro
danou politickou stranu a Xi = 0 jinak, i = 1, ..., 1000. Tyto náhodné veličiny tvoří náhodný
výběr z rozložení A(ϑ ). V tomto případě n = 1000, m = 60/1000 = 0,06, α = 0,05, u1-α = u0,95
= 1,645.
Ověření podmínky n ϑ (1- ϑ ) > 9: parametr ϑ neznáme, musíme ho nahradit výběrovým
průměrem. Pak 1000.0,06.0,94 = 56,4 > 9.
95% levostranný interval spolehlivosti pro ϑ je
( ) ( )








∞
−
−=







∞
−
− α− ;u
1000
06,0106,0
06,0;u
n
m1m
m 95,01 (viz skripta Základní statistické
metody, důsledek 6.3.2.2.)
Postup ve STATISTICE:
1. možnost: Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého
jména této proměnné napíšeme =0,06-sqrt(0,06*0,94/1000)*VNormal(0,95;0;1). Vyjde
0,047647.
2. možnost: Statistiky – Analýza síly testu – Odhad intervalu – Jeden podíl, Z, Chí-kvadrát
test – OK – Pozorovaný podíl p: 0,06, Velik. Vzorku (N): 1000, Spolehlivost: 0,9 –
Vypočítat. Dostaneme 0,0476.
S pravděpodobností přibližně 0,95 tedy ϑ > 0,047647. Protože tento interval zahrnuje i
hodnoty nižší než 0,05, nelze vyloučit, že strana získá méně než 5% hlasů.
Úkol 3: Testování hypotézy o parametru ϑ alternativního rozložení
Určitá cestovní kancelář organizuje zahraniční zájezdy podle individuálních přání zákazníků.
Z několika minulých let ví, že 30% všech takto organizovaných zájezdů má za cíl zemi X. Po
zhoršení politických podmínek v této zemi se cestovní kancelář obává, že se zájem o tuto
zemi mezi zákazníky sníží. Ze 150 náhodně vybraných zákazníků v tomto roce má 38 za cíl
právě zemi X. Potvrzují nejnovější data pokles zájmu o tuto zemi? Volte hladinu významnosti
0,05.
Návod:
Máme náhodný výběr X1, ..., X150 z rozložení A(0,3). Testujeme H0: ϑ = 0,3 proti
levostranné alternativě H1: ϑ < 0,3. V tomto případě je testovým kritériem statistika
n
)c1(c
cM
T0
−
−
= , která v případě platnosti nulové hypotézy má asymptoticky rozložení N(0,1)
(viz skripta Základní statistické metody, věta 6.3.3.1.). Musíme ověřit splnění podmínky n ϑ
(1- ϑ ) > 9: 150.0,3.0,7 = 31,5 > 9. Vypočteme realizaci testového kritéria:
24722,1
150
)3,01(3,0
3,0
n
)c1(c
cm 150
38
−=
−
−
=
−
−
. Kritický obor: ( α−−∞−= 1u,W = ( 645,1,−∞− .
Protože testové kritérium nepatří do kritického oboru, H0 nezamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% tedy naše data neprokázala pokles
zájmu zákazníků cestovní kanceláře o zemi X.
Postup ve STATISTICE:
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných (nazveme je t0 a kvantil) a jednom případu.
Vypočteme realizaci testového kritéria tak, že do Dlouhého jména proměnné t0 napíšeme
=(38/150-0,3)/sqrt(0,3*0,7/150)
Do Dlouhého jména proměnné kvantil napíšeme
=VNormal(0,95;0;1)
Tím získáme kvantil u0,95.
1
t0
2
kvantil
1 -1,24721913 1,644854
Jelikož realizace testového kritéria t0 = -1,24721913 nepatří do kritického oboru
( 644854,1,W −∞−= , H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Úkol 4.: Asymptotický interval spolehlivosti pro parametrickou funkci 21 ϑ−ϑ
Při výstupní kontrole bylo náhodně vybráno 150 výrobků vyrobených na ranní směně a
rovněž 150 výrobků vyrobených na odpolední směně. U ranní směny bylo zjištěno 16 zmetků
a u odpolední 12 zmetků. Sestrojte 95% asymptotického interval spolehlivosti pro rozdíl
pravděpodobností vyrobení zmetku v obou směnách.
Návod: Zavedeme náhodnou veličinu X1i, která bude nabývat hodnoty 1, když i-tý výrobek
z ranní směny je zmetek, 0 jinak, i = 1, …, 150. Náhodné veličiny X1,1, …, X1,150 tvoří
náhodný výběr z rozložení ( )1A ϑ . Dále zavedeme náhodnou veličinu X2i, která bude nabývat
hodnoty 1, když i-tý výrobek z odpolední směny je zmetek, 0 jinak, i = 1, …, 150.. Náhodné
veličiny X2,1, …, X2,150 tvoří náhodný výběr z rozložení ( )2A ϑ .
n1 = 150, n2 = 150, m1 = 16/150 = 0,1067, m2 = 12/150 = 0,08.
Ověření podmínek n1 1ϑ (1- 1ϑ ) > 9 a n2 2ϑ (1- 2ϑ ) > 9: Parametry 1ϑ a 2ϑ neznáme,
nahradíme je odhady m1 a m2: 16.(1-16/150) = 14,29 > 9, 12.(1-12/150) = 11,04 > 9.
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametrickou
funkci 21 ϑ−ϑ jsou:
092,096,1
150
)1(
150
)1(
150
12
150
16
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmh
039,096,1
150
)1(
150
)1(
150
12
150
16
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmd
150
12
150
12
150
16
150
16
2/1
2
22
1
11
21
150
12
150
12
150
16
150
16
2/1
2
22
1
11
21
=
−
+
−
+−=
=
−
+
−
+−=
−=
−
+
−
−−=
=
−
+
−
−−=
α−
α−
Zjistili jsme tedy, že s pravděpodobností přibližně 0,95: –0,039 < 21 ϑ−ϑ < 0,092.
Postup ve STATISTICE:
Otevřeme nový datový soubor se dvěma proměnnými d a h a o jednom případu. Do Dlouhého
jména proměnné d napíšeme:
=16/150-12/150-sqrt((16/150)*(134/150)/150+(12/150)*(138/150)/150)*VNormal(0,975;0;1)
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme:
=16/150-
12/150+sqrt((16/150)*(134/150)/150+(12/150)*(138/150)/150)*VNormal(0,975;0;1)
Dostaneme tabulku
1
d
2
h
1 -0,0391 0,092433
S pravděpodobností přibližně 0,95 se rozdíl pravděpodobností vyrobení zmetku na ranní a
odpolední směně nachází v intervalu (-0,039; 0,092).
Úkol 5.: Testování hypotézy o parametrické funkci 21 ϑ−ϑ
Pro údaje z úkolu 4 testujte na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že
pravděpodobnost vyrobení zmetků v obou směnách je táž.
Postup ve STATISTICE:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma poměry – do políčka P 1 napíšeme 0,1067, do políčka N1 napíšeme 150,
do políčka P 2 napíšeme 0,08, do políčka N2 napíšeme 150 –Výpočet. Dostaneme p-hodnotu
0,4274, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.
Úkol k samostatnému řešení: Přírůstky cen akcií na burze (v %) u 10 náhodně vybraných
společností dosáhly těchto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4. Sestrojte 95% asymptotický
empirický interval spolehlivosti pro pravděpodobnost, že přírůstek ceny akcie překročí 8,5%.
Výsledek: 0,096 < ϑ < 0,704 s pravděpodobností aspoň 0,95.
Znamená to, že pravděpodobnost, že přírůstek ceny akcie překročí 8,5%, je aspoň 9,6% a
nanejvýš 70,4% (při spolehlivosti 95%.)
Úkol k samostatnému řešení: Z 28 studentek oboru národní hospodářství mělo z matematiky
trojku 17 studentek, zatímco z 20 studentek oboru informatika mělo z matematiky trojku jen 6
studentek. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pravděpodobnost
získání trojky z matematiky je obě skupiny studentek stejná.
Výsledek: Testová statistika se realizuje hodnotou 0t = 2,100009, kritický obor je
( )∞∪−∞−= ;96,196,1;W . Protože Wt0 ∈ , zamítáme nulovou hypotézu na asymptotické
hladině významnosti 0,05.
Použijeme-li v systému STATISTICA aplikaci Testy rozdílů, dostaneme p-hodnotu 0,0358,
tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme nulovou hypotézu.