Cvičení 8: Neparametrické úlohy o mediánech
Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test
Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky:
Vzorek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 0,275 0,312 0,284 0,3 0,365 0,298 0,312 0,315 0,242 0,321 0,335 0,307
B 0,28 0,312 0,288 0,298 0,361 0,307 0,319 0,315 0,242 0,323 0,341 0,315
Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí párového znaménkového testu a poté pomocí
párového Wilcoxonova testu hypotézu, že metody A a B dávají stejné výsledky.
Návod:
Načteme datový soubor kvalita_pudy.sta. Proměnná A obsahuje výsledky metody A, proměnná
B výsledky metody B.
Nejprve budeme testovat nulovou hypotézu pomocí párového znaménkového testu (viz skripta
Základní statistické metody, věta 9.3.1.3. a 9.3.1.1.).
Statistiky –Neparametrická statistika – Porovnání dvou závislých vzorků (proměnné) – OK –
1. seznam proměnných A, 2. seznam proměnných B – OK – Znaménkový test.
Znaménkový test (kvalita_pudy.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
A & B 9 77,77778 1,333333 0,182422
Komentář: Vidíme, že nenulových hodnot n = 9. Z nich záporných je 7,77 %, tj.7. Kladných
je tedy 9 – 7 = 2, což je hodnota testové statistiky SZ
+
. Asymptotická testová statistika U0 (zde
označená jako Z) se realizuje hodnotou 3,1 . Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,18422,
tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že obě metody dávají
stejné výsledky.
Upozornění: V tomto případě není splněna podmínka pro využití asymptotické normality statistiky
SZ
+
, tj. n > 20. Je tedy vhodnější najít v tabulkách kritické hodnoty pro znaménkový
test (viz skripta Základní statistické metody, tabulka na straně 156). Pro n = 9 a α = 0,05 jsou
kritické hodnoty k1 = 1, k2 = 8. Protože kritický obor 9,81,0W ∪= neobsahuje hodnotu
2, nezamítáme H0 na hladině významnosti 0,05. Dostáváme stejný výsledek při použití asymptotického
testu
Nyní graficky znázorníme výsledky obou metod: Návrat do Porovnání 2 proměnných - Krabicový
graf všech proměnných – OK – A, B – OK.
Krabicový graf
Medián
25%-75%
Min-Max
A B
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
Komentář: Z krabicových diagramů je vidět, že obě metody se poněkud liší v úrovni, ale
neliší se ve variabilitě.
Dále provedeme Wilcoxonův párový test (viz skripta Základní statistické metody, věta
9.3.2.1): Návrat do Porovnání 2 proměnných – Wilcoxonův párový test.
Wilcoxonův párový test (kvalita_pudy)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z p-hodn.
A & B 9 5,000000 2,073221 0,038153
Komentář: Výstupní tabulka poskytne hodnotu testové statistiky SW
+
(zde označena T), hodnotu
asymptotické testové statistiky U0 a p-hodnotu pro U0. V tomto případě je p-hodnota
0,038153, tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Upozornění: V tomto případě není splněna podmínka pro využití asymptotické normality statistiky
SW
+
, tj. n ≥ 30. Je tedy vhodnější najít v tabulkách kritickou hodnotu pro Wilcoxonův
párový test (viz skripta Základní statistické metody, tabulka na straně 157). Pro n = 9 a α =
0,05 je kritická hodnota rovna 5. Protože kritický obor 5,0W = obsahuje hodnotu 5, zamítáme
H0 na hladině významnosti 0,05. To souhlasí s výsledkem asymptotického testu.
Úkol 2.: Znaménkový test a jednovýběrový Wilcoxonův test
Vyráběné ocelové tyče mají kolísavou délku s předpokládanou hodnotou mediánu 10 m. Náhodný
výběr 10 tyčí poskytl tyto výsledky:
9,83 10,10 9,72 9,91 10,04 9,95 9,82 9,73 9,81 9,90
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že předpoklad o mediánu délky tyčí je opráv-
něný.
Návod:
Načteme datový soubor ocelove_tyce.sta. Proměnná X obsahuje naměřené hodnoty a proměnná
Y obsahuje konstantu 10. Provedení znaménkového a Wilcoxonova testu je nyní stejné
jako v předešlém případě.
Znaménkový test (ocelove_tyce.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
X & Y 10 80,00000 1,581139 0,113846
Wilcoxonův párový test (ocelove_tyce)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
X & Y 10 5,500000 2,242448 0,024933
Komentář: Znaménkový test poskytl asymptotickou p-hodnotu 0,113846, tedy nulová hypotéza
se nezamítá na hladině významnosti 0,05. Wilcoxonův test dává asymptotickou phodnotu
0,024933, tedy nulová hypotéza se zamítá na asymptotické hladině významnosti
0,05. Podobně jak v úkolu 1 by bylo vhodnější najít kritické hodnoty v tabulkách. V případě
znaménkového testu jsou kritické hodnoty pro n = 10 a α = 0,05 rovny 1 a 9, testová statistika
SZ
+
= 2. Protože SZ
+
nepatří do kritického oboru 10,91,0W ∪= , nelze nulovou hypotézu
zamítnout na hladině významnosti 0,05, což je v souladu s výsledkem asymptotického testu.
V případě Wilcoxonova testu je kritická hodnota pro n = 10 α = 0,05 rovna 8. Protože kritický
obor 8,0W = obsahuje hodnotu 5,5, zamítáme H0 na hladině významnosti 0,05. I zde tedy
existuje soulad mezi výsledkem přesného a asymptotického testu.
Podobně jako v úkolu 1. znázorníme výsledky měření pomocí krabicového diagramu:
X
9,70
9,75
9,80
9,85
9,90
9,95
10,00
10,05
10,10
10,15
Úkol 3.: Dvouvýběrový Wilcoxonův test, dvouvýběrový Kolmogorovův - Smirnovův test
Bylo vybráno 10 polí stejné kvality. Na čtyřech z nich se zkoušel nový způsob hnojení, zbylých
šest bylo ošetřeno starým způsobem. Pole byla oseta pšenicí a sledoval se její hektarový
výnos. Je třeba testovat na hladině významnosti 0,05, zda nový způsob hnojení má týž vliv na
průměrné hektarové výnosy pšenice jako starý způsob hnojení.
hektarové výnosy při novém způsobu: 51 52 49 55
hektarové výnosy při starém způsobu: 45 54 48 44 53 50
Návod:
Načteme datový soubor hnojeni_poli.sta. Proměnná X udává výnosy pšenice při obou způsobech
hnojení a proměnná ID nabývá hodnoty 1 pro starý způsob hnojení, hodnoty 2 pro nový
způsob hnojení.
Dvouvýběrový Wilcoxonův test (viz skripta Základní statistické metody, věta 9.4.1.1): Statistiky
– Neparametrická statistika – Porovnání dvou nezávislých vzorků (skupiny) – OK - Seznam
závislých proměnných X, Grupovací proměnná ID - OK - Mann – Whitneyův U test.
Mann-Whitneyův U test (hnojeni_poli)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
st. zp.
Sčt poř.
n. zp.
U Z p-hodn. Z
uprav.
p-hodn. N platn.
st. zp.
N platn.
n. zp.
2*1str.
přesné p
X 27,00000 28,00000 7,000000 0,959403 0,337356 0,959403 0,337356 4 6 0,352381
Komentář: Ve výstupní tabulce jsou součty pořadí T1, T2, hodnota testové statistiky
min(U1, U2) označená U, hodnota asymptotické testové statistiky U0 (označená Z), asymptotická
p-hodnota pro U0 a přesná p-hodnota (ozn. 2*1 str. přesné p – ta se používá pro rozsahy
výběrů pod 30). V našem případě přesná p-hodnota = 0,352381, tedy H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem.
Krabicový graf dle skupin
Proměnná: X
Medián
25%-75%
Min-Max
novy zpusob stary zpusob
ID
42
44
46
48
50
52
54
56
X
Komentář: Je zřejmé, že výnosy při novém způsobu hnojení jsou vesměs vyšší než při starém
způsobu a také vykazují mnohem menší variabilitu.
Dvouvýběrový Kolmogorovův – Smirnovův test (viz skripta Základní statistické metody, věta
9.4.3.1.) poskytne tabulku:
Kolmogorov-Smirnovův test (hnojeni_poli.sta)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Max záp
rozdíl
Max klad
rozdíl
p-hodn. Průměr
stary zpusob
Průměr
novy zpusob
Sm.odch.
stary zpusob
Sm.odch.
novy zpusob
N platn.
stary zpusob
X -0,083333 0,500000 p > .10 51,75000 49,00000 2,500000 4,098780 4
Komentář: Dostaneme maximální záporný a maximální kladný rozdíl mezi hodnotami obou
výběrových distribučních funkcí, dolní omezení pro p-hodnotu (p > 0,1), průměry, směrodatné
odchylky a rozsahy obou výběrů.
Protože p > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Úkol 4.: Kruskalův – Wallisův test a mediánový test
Voda po holení jisté značky se prodává ve čtyřech různých lahvičkách stejného obsahu. Údaje
o počtu prodaných lahviček za týden v různých obchodech:
1. typ: 50 35 43 30 62 52 43 57 33 70 64 58 53 65 39
2. typ: 31 37 59 67 44 49 54 62 34 42 40
3. typ: 27 19 32 20 18 23
4. typ: 35 39 37 38 28 33.
Posuďte na 5% hladině významnosti, zda typ lahvičky ovlivňuje úroveň prodeje.
Návod:
Načteme datový soubor voda_po_holeni.sta. Proměnná X udává počet prodaných lahviček a
proměnná TYP udává typ lahvičky. Úloha vede na Kruskalův – Wallisův test nebo mediánový
test (viz skripta Základní statistické metody, věta 9.5.1.1. resp. věta 9.5.3.1.): Statistiky –
Neparametrická statistika – Porovnání více nezávislých vzorků (skupiny) – OK – Proměnné –
Seznam závislých proměnných X, Grupovací proměnná TYP – OK – Shrnutí: Kruskal-Wallis
ANOVA & Mediánový test. Ve dvou výstupních tabulkách se objeví výsledky K-W testu a
mediánového testu.
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.; X (voda_po_holeni.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná :TYP
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 38) =18,80199 p =,0003
Závislá:
X
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
1
2
3
4
1 15 379,0000
2 11 257,0000
3 6 24,0000
4 6 81,0000
Mediánový test, celk. medián = 39,5000; X (voda_po_holeni.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná :TYP
Chi-Kvadr. = 17,53939 sv = 3 p = ,0005Závislá:
X 1 2 3 4 Celkem
<= Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
> Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
Celkem: oček.
4,00000 3,00000 6,00000 6,00000 19,00000
7,50000 5,50000 3,00000 3,00000
-3,50000 -2,50000 3,00000 3,00000
11,00000 8,00000 0,00000 0,00000 19,00000
7,50000 5,50000 3,00000 3,00000
3,50000 2,50000 -3,00000 -3,00000
15,00000 11,00000 6,00000 6,00000 38,00000
Komentář: Oba testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných čtyřech skupinách. Testová
statistika K-W testu je 18,802, počet stupňů volnosti 3, odpovídající asymptotická phodnota
0,0003. Testová statistika mediánového testu je 17,539, počet stupňů volnosti 3, odpovídající
asymptotická p-hodnota 0,0005. K-W test je poněkud silnější (p-hodnota = 0,0003,
zatímco p-hodnota pro mediánový test je 0,0005).
Grafické znázornění výsledků: návrat do Shrnutí: Kruskal-Wallis ANOVA & Mediánový test
– Krabicový graf – Vyberte proměnnou: X – OK – Typ krabicového grafu: Medián/Kvartily/Rozpětí
– OK.
Medián
25%-75%
Min-Max
1 2 3 4
TYP
10
20
30
40
50
60
70
80X
Komentář: Je vidět, že úroveň prodeje pro 1. typ je nevyšší, zatímco pro 3. typ nejnižší. Pro
1. a 2. typ je variabilita prodeje značná, pro 3. a 4. typ naopak malá.
Vzhledem k tomu, že jsme zamítli nulovou hypotézu o shodě mediánů na asymptotické hladině
významnosti 0,05, provedeme metoda mnohonásobného porovnávání:Vícenás. porovnání
průměrného pořadí pro vš. sk.
Vícenásobné porovnání p hodnot (oboustr.);X (voda_po_holeni.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná :TYP
Kruskal-Wallisův test: H ( 3, N= 38) =18,80199 p =,0003
Závislá:
X
1
R:25,267
2
R:23,364
3
R:4,0000
4
R:13,500
1
2
3
4
1,000000 0,000447 0,170297
1,000000 0,003579 0,481908
0,000447 0,003579 0,832208
0,170297 0,481908 0,832208
Komentář: Tabulka obsahuje p-hodnoty pro test hypotézy, že l-tý a k-tý výběr pocházejí
z téhož rozložení. Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 zamítáme nulovou hypotézu pro 1.
a 3. typ lahvičky a pro 2. a 3. typ lahvičky.
Příklady k samostatnému řešení
Příklad 1.: U osmi osob byl změřen systolický krevní tlak před pokusem a po něm.
č. osoby 1 2 3 4 5 6 7 8
tlak před 130 185 162 136 147 181 128 139
tlak po 139 190 175 135 155 175 158 149
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pokus neovlivní systolický krevní tlak.
Řešení:
Stejně jako v úkolu 1 provedeme párový znaménkový a párový Wilcoxonův test. Načteme
soubor tlak.sta. Proměnná X obsahuje hodnoty tlaku před pokusem, proměnná Y po pokusu.
Výstupní tabulka:
Znaménkový test (tlak.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
X & Y 8 75,00000 1,060660 0,288844
Komentář: Jelikož p-hodnota = 0,288844 > 0,05, nelze nulovou hypotézu zamítnout na hladině
významnosti 0,05. Vzhledem k malému rozsahu výběru je však vhodnější najít
v tabulkách kritické hodnoty pro znaménkový test (viz skripta Základní statistické metody,
tabulka na straně 156). Pro n = 8 a α = 0,05 jsou kritické hodnoty k1 = 0, k2 = 8. Hodnotu
testové statistiky SZ
+
získáme takto: 75% z 8 je 6, SZ
+
= 8 - 6 =2. Protože kritický obor neobsahuje
hodnotu 2, nezamítáme H0 na hladině významnosti 0,05. Dostáváme stejný výsledek
při použití asymptotického testu
Grafické znázornění výsledků pomocí krabicového diagramu:
Medián
25%-75%
Min-Max
X Y
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Komentář: Úroveň tlaku před pokusem byla poněkud nižší než po pokusu, variabilita je jen
nepatrně odlišná.
Výstupní tabulka Wilcoxonova testu:
Wilcoxonův párový test (tlak.sta)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
X & Y 8 4,000000 1,960392 0,049951
Vidíme, že asymptotická p-hodnota = 0,049951, nulová hypotéza se tedy zamítá na asymptotické
hladině významnosti 0,05. Rozsah souboru je pouze 8, není splněna podmínka dobré
aproximace standardizovaným normálním rozložením (n > 30). Proto zjistíme ve skriptech
Základní statistické metody v tabulce na str. 157 kritickou hodnotu pro n = 8 a α = 0,05. Kritická
hodnota je rovna 3, hodnota testové statistiky (ve výstupní tabulce označena T) je 4 > 3,
tedy nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05, což je v souladu
s výsledkem znaménkového testu.
Příklad 2.: Majitel obchodu chtěl zjistit, zda velikost nákupů (v dolarech) placených kreditními
kartami Master/EuroCard a Visa jsou přibližně stejné. Náhodně vybral 7 nákupů placených
Master/EuroCard: 42 77 46 73 78 33 37 a 9 placených Visou: 39 10 119 68 76
126 53 79 102. Lze na hladině významnosti 0,05 tvrdit, že nákupů placených těmito dvěma
typy karet se shodují?
Řešení:
Stejně jako úkolu 3 použijeme dvouvýběrový Wilcoxonův test a Kolmogorovův - Smirnovův
test.
Načteme datový soubor kreditni_karty.sta. Proměnná X obsahuje hodnoty nákupů, proměnná
ID má hodnotu 1 pro kartu Master/EuroCard a hodnotu 2 pro kartu Visa.
Výstupní tabulka pro dvouvýběrový Wilcoxonův test:
Mann-Whitneyův U test (kreditni_karty.sta)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
M/E Card
Sčt poř.
Visa
U Z Úroveň p Z
upravené
Úroveň p N platn.
M/E Card
N platn.
Visa
2*1str.
přesné p
X 48,00000 88,00000 20,00000 -1,21729 0,223495 -1,21729 0,223495 7 9 0,252273
Komentář: Zajímá nás především přesná p-hodnota (ozn. 2*1 sided exact p). V našem případě
přesná p-hodnota = 0,252273, tedy H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výstupní tabulka pro Kolmogorovův – Smirnovův test:
Kolmogorov-Smirnovův test (kreditni_karty.sta)
Dle proměn. ID
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Max záp
rozdíl
Max klad
rozdíl
Úroveň p Průměr
M/E Card
Průměr
Visa
Sm.odch.
M/E Card
Sm.odch.
Visa
N platn.
M/E Card
N platn.
Visa
X -0,444444 0,111111 p > .10 55,14286 74,66667 19,97856 37,64306 7 9
Komentář: Dostaneme maximální záporný a maximální kladný rozdíl mezi hodnotami obou
výběrových distribučních funkcí, dolní omezení pro p-hodnotu (p > 0,1), průměry, směrodatné
odchylky a rozsahy obou výběrů. Protože p > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Výpočet je vhodné doplnit krabicovým diagramem typu Medián/Kvartily/Rozpětí.
Krabicový graf dle skupin
Proměnná: X
Medián
25%-75%
Min-MaxM/E Card Visa
ID
0
20
40
60
80
100
120
140
X
Komentář: Vidíme, že platby za nákupy kartou Master/EuroCard mají nižší úroveň, ale přibližně
stejnou variabilitu jako platby kartou Visa.
Příklad 3.: Z produkce tří podniků vyrábějících televizory bylo vylosováno 10, 8 a 12 kusů.
Byly získány následující výsledky zjišťování citlivosti těchto televizorů v mikrovoltech:
1. podnik: 420 560 600 490 550 570 340 480 510 460
2. podnik: 400 420 580 470 470 500 520 530
3. podnik: 450 700 630 590 420 590 610 540 740 690 540 670
Testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě úrovně citlivosti televizorů v jednotlivých
podnicích.
Řešení:
Stejně jako v úkolu 4 provedeme Kruskalův-Wallisův test a mediánový test. Načteme datový
soubor televizory.sta. Proměnná X obsahuje hodnoty citlivosti televizorů, proměnná ID udává
číslo podniku.
Ve dvou výstupních tabulkách máme výsledky mediánového testu a K-W testu.
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.; X (televizory.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Kruskal-Wallisův test: H ( 2, N= 30) =8,204318 p =,0165
Závislá:
X
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
1. podnik
2. podnik
3. podnik
1 10 127,0000
2 9 101,5000
3 11 236,5000
Mediánový test, celk. medián = 535,000; X (televizory.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Chi-Kvadr. = 7,632323 sv = 2 p = ,0220Závislá:
X 1. podnik 2. podnik 3. podnik Celkem
<= Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
> Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
Celkem: oček.
6,00000 7,00000 2,00000 15,00000
5,00000 4,50000 5,50000
1,00000 2,50000 -3,50000
4,00000 2,00000 9,00000 15,00000
5,00000 4,50000 5,50000
-1,00000 -2,50000 3,50000
10,00000 9,00000 11,00000 30,00000
Komentář: Protože zjištěné p-hodnoty jsou menší než zvolená hladina významnosti 0,05, oba
testy zamítají hypotézu o shodě mediánů v daných třech skupinách.
Výsledky metody mnohonásobného porovnávání:
Vícenásobné porovnání p hodnot (oboustr.); X (televizory.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Kruskal-Wallisův test: H ( 2, N= 30) =8,204318 p =,0165
Závislá:
X
1. podnik
R:12,700
2. podnik
R:11,278
3. podnik
R:21,500
1. podnik
2. podnik
3. podnik
1,000000 0,066447
1,000000 0,029347
0,066447 0,029347
Komentář: Na hladině významnosti 0,05 se liší citlivost televizorů vyráběných ve 2. a 3.
podniku.
Grafické znázornění výsledků:
Medián
25%-75%
Min-Max
1. podnik 2. podnik 3. podnik
ID
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
800X
Komentář: Je vidět, že citlivost televizorů ze 3. podniku je nevyšší, zatímco ze 2.podniku
nejnižší. Citlivost výrobků 3. podniku však vykazuje největší variabilitu.