FA, 4. 4. 2013
1. V prostoru E2
je na podprostoru
L = {x = [x1, x2] ∈ E2
: 2x1 − x2 = 0}
zadán lineární funkcionál f předpisem f(x) = x1. Sestrojte rozšíření F : E2
→
R s vlastností ||f||L = ||F||E2 . Jak se změní situace, uvažujeme-li místo E2
nekonečně dimenzionální prostor l2
?
2. Uvažujme předchozí příklad, pouze místo E2
a l2
vezměme R2
s normou
x = |x1| + |x2|
a prostor l1
.
3. Nechť L je uzavřený podprostor v normovaném lineárním prostoru X s vlastností
L = X a L není obsažen v žádném vlastním uzavřeném podprostoru
prostoru X. Dokažte, ze existuje f ∈ X′
takový, že Ker f = L.
4. Nechť A : C[0, 1] → C[0, 1] s definičním oborem
D(A) = {x ∈ C2
[0, 1], x(0) = x′
(0) = 0}
je dán předpisem Ax(t) = x′′
(t) + x(t). Dokažte, že A je neohraničný uzavřeně
operátor. Určete explicitně A−1
a rozhodněte, zda je spojitý.