Cvičení 2 s návodem
Úkol 1.: Použijte funkci clv.m pro generování 200 čísel z rozložení N(0,1). Pomocí funkce
kstest.m otestujte na hladině významnosti 0,05, že vygenerovaná data se skutečně řídí
rozložením N(0,1).
Návod:
Vygenerujeme n = 200 realizací z N(0,1):
n=200;
realizace=clv(0,1,n);
Vypočteme hodnoty distribuční funkce rozložení N(0,1) v bodech vygenerovaných realizací:
Fi=normcdf(realizace,0,1);
Zavoláme funkci kstest:
[h,p,ksstat,cv]=kstest(realizace,[realizace,Fi])
Vstupní parametry:
realizace … sloupcový vektor realizací
[realizace,Fi] … matice nx2 obsahující vektor realizací a vektor hodnot distribuční
funkce rozložení N(0,1)
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
ksstat … hodnota testové statistiky
cv … kritická hodnota
Nepovinný úkol: Místo z rozložení N(0,1) generujte data z rozložení N(2,4) a pro ověření
normality opět použijte funkci kstest.m.
Návod:
realizace=clv(2,2,n);
Pro výpočet hodnot distribuční funkce rozložení N(2,4) použijeme příkaz
Fi=normcdf(realizace,2,2);
Úkol 2.: Pro stejný úkol jako v bodě 1 použijte funkce clv_polynom.m, BM_transformace.m
a funkci normrnd.m (je součástí statistického toolboxu).
Nepovinný úkol: Místo funkce kstest.m použijte k testování normality funkci chi2gof.m.
Návod:
Funkce chi2gof.m implicitně třídí data do 10 intervalů.
[h,p] = chi2gof(realizace,'cdf',@normcdf)
Vstupní parametry:
realizace … sloupcový vektor realizací
'cdf' … parametr, který dává funkci na vědomí, že bude použita distribuční funkce
nějakého rozložení
@normcdf … označení distribuční funkce standardizovaného normálního rozložení
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
Úkol 3.: Pomocí funkce unifrnd.m vygenerujte 1000 čísel z rozložení Rs(0,1). Na hladině
významnosti 0,05:
a) proveďte testy náhodnosti, a to test založený na bodech zvratu, test znamének diferencí a
test založený na Spearmanově koeficientu;
b) proveďte testy nezávislosti, a to test založený na koeficientu autokorelace 1. až 10. řádu a
Cochranův test.
Návod:
Vygenerujeme n = 1000 realizací z Rs(0,1):
n=1000;
realizace=unifrnd(0,1,n,1);
Zvolíme hladinu významnosti:
alfa=0,05;
Ad a)
Provedení testu založeného na bodech zvratu
Zavoláme funkci body_zvratu:
[h,p,u]=body_zvratu(realizace,alfa)
Vstupní parametry:
realizace … sloupcový vektor realizací
alfa ... hladina významnosti
Výstupní parametry:
h … nabývá hodnoty 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05 a
hodnoty 1, když zamítáme na hladině významnosti 0,05
p … p-hodnota
u … hodnota testové statistiky
Provedení testu založeného na znaménkách 1. diferencí
Zavoláme funkci znamenka_diferenci:
[h,p,u]=znamenka_diferenci(realizace,alfa)
Vstupní a výstupní parametry jsou stejné jako u funkce body_zvratu.
Provedení testu založeného na Spearmanově koeficientu
Utvoříme vektor y=[1:n]’;
Pomocí funkce tiedrank zjistíme vektor pořadí:
R=tiedrank(realizace);
Pomocí funkce corrcoef spočteme koeficient korelace a odpovídající p-hodnotu:
[rs,p]=corrcoef(y,R)
Rozhodnutí o nulové hypotéze učiníme na základě porovnání p-hodnoty se zvolenou hladinou
významnosti alfa.
Je-li p ≤ alfa, hypotézu o pořadové nezávislosti realizací zamítáme na hladině významnosti
alfa, v opačném případě nikoliv.
Ad b)
Provedení testu založeného na koeficientech autokorelace 1. až 10. řádu a Cochranova testu:
Vypočteme koeficient autokorelace 1. řádu a odpovídající p-hodnotu:
[r,p]=corrcoef(realizace(1:n-1),realizace(2:n))
Rozhodnutí o nulové hypotéze učiníme na základě porovnání p-hodnoty se zvolenou hladinou
významnosti alfa.
Je-li p ≤ alfa, hypotézu o neexistenci autokorelace 1. řádu zamítáme na hladině významnosti
alfa, v opačném případě nikoliv.
Do proměnné Q uložíme kvadrát autokorelačního koeficientu 1. řádu:
Q=r(1,2)^2
Vypočteme koeficient autokorelace 2. řádu a odpovídající p-hodnotu:
[r,p]=corrcoef(realizace(1:n-2),realizace(3:n))
Do proměnné Q uložíme součet kvadrátů autokorelačních koeficientů 1. a 2. řádu:
Q=Q+r(1,2)^2
Analogicky postupujeme až do 10. řádu:
Vypočteme koeficient autokorelace 10. řádu a odpovídající p-hodnotu:
[r,p]=corrcoef(realizace(1:n-10),realizace(11:n))
Do proměnné Q uložíme součet kvadrátů autokorelačních koeficientů 1. až 10. řádu:
Q=Q+r(1,2)^2
Proměnnou Q vynásobíme n a tak získáme testovou statistiku Ochranova testu:
Q=n*Q
Vypočteme kritickou hodnotu, tj. kvantil χ2
1-α(9):
chi2inv(1-alfa,9)
Pokud Q ≥ χ2
1-α(9), na asymptotické hladině významnosti alfa zamítáme hypotézu, že všech
10 koeficientů autokorelace je nulových.