Cvičení 3
Příklady na využití exponenciálního rozložení
Příklad 1.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava
bude ukončena do dvou dnů? [0,4866]
Příklad 2.: Životnost žárovky má exponenciální rozložení se střední hodnotou 600 h. Jaká je
pravděpodobnost, že žárovka bude svítit dalších aspoň 200 h, jestliže již svítila aspoň 800 h?
[0,7165]
Příklad 3.: Náhodné doby života dvou součástek jsou stochasticky nezávislé náhodné
veličiny, přičemž Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Střední hodnota doby života první součástky je 2 roky,
druhé součástky 3 roky. Jaká je pravděpodobnost, že druhá součástka přežije první? [0,6]
Příklad 4.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté
nemocnici, se řídí exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 h. Jaká je
pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h bez naléhavého příjmu? [0,082]
Příklad 5.: Zkoumá se funkce dvou nezávisle na sobě pracujících přístrojů. Doba
bezporuchové funkce i-tého přístroje je náhodná veličina Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Jaká je
pravděpodobnost, že za dobu t0 > 0 a) ani jeden přístroj neselže, b) selže aspoň jeden přístroj?
Řešení:
[ad a) ( )210t
e λ+λ−
, ad b) ( )210t
e1 λ+λ−
− ]
Příklad 6.: Najděte 5. percentil náhodné veličiny X ~ Ex(0,1). [0,5129]
Příklad 7.: Jistý přístroj má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Doba čekání na
poruchu se řídí exponenciálním rozložením. Stanovte dobu t tak, aby pravděpodobnost, že
přístroj bude pracovat po dobu delší než t, byla 0,99. [20,1 h]