Cvičení 3 s návodem
Příklady na využití exponenciálního rozložení
Příklad 1.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava
bude ukončena do dvou dnů?
Řešení: X ~ Ex(1/3),
( ) 4866,0e1edxe
3
1
2XP 3
22
0
3
x2
0
3
x
=−=





−==≤
−−−
∫
V MATLABu: p = expcdf(2,3)
Příklad 2.: Životnost žárovky má exponenciální rozložení se střední hodnotou 600 h. Jaká je
pravděpodobnost, že žárovka bude svítit dalších aspoň 200 h, jestliže již svítila aspoň 800 h?
Řešení: X ~ Ex(1/600), podle věty 3.2 dostáváme
( ) ( ) ( ) ( )
7165,0eee1dxe
600
1
1
200XP200XP1200XP800X/200800XP
3
1
600
200200
0
600
x200
0
600
x
===





−−=−=
=+≤−=≥=≥+≥
−−−−
∫
V MATLABu: p = 1- expcdf(200,600)
Příklad 3.: Náhodné doby života dvou součástek jsou stochasticky nezávislé náhodné
veličiny, přičemž Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Střední hodnota doby života první součástky je 2 roky,
druhé součástky 3 roky. Jaká je pravděpodobnost, že druhá součástka přežije první?
Řešení:
Podle věty 3.13 dostáváme:
( ) 6,0XXP
6
5
2
1
3
1
2
1
2
1
21
1
12 ==
+
=
λ+λ
λ
=>
Příklad 4.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté
nemocnici, se řídí exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 h. Jaká je
pravděpodobnost, že uplyne více než 5 h bez naléhavého příjmu?
Řešení: X ~ Ex(1/2),
( ) ( ) 082,0ee1dxe
2
1
15XP15XP 5,2
5
0
2
x5
0
2
x
==





−−=−=≤−=> −
−−
∫
V MATLABu: p = 1- expcdf(5,2)
Příklad 5.: Zkoumá se funkce dvou nezávisle na sobě pracujících přístrojů. Doba
bezporuchové funkce i-tého přístroje je náhodná veličina Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Jaká je
pravděpodobnost, že za dobu t0 > 0 a) ani jeden přístroj neselže, b) selže aspoň jeden přístroj?
Řešení:
ad a)
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ] ( )2100201 ttt
0201
020102010201
eeet1t1
tXP1tXP1tXPtXPtXtXP
λ+λ−λ−λ−
==Φ−Φ−=
=≤−≤−=>>=>∧>
ad b)
( ) ( )210t
0201 e1tXtXP λ+λ−
−=≤∨≤
Příklad 6.: Najděte 5. percentil náhodné veličiny X ~ Ex(0,1).
Řešení:
( )( ) ( )( ) ( )
5129,095,0ln10
XKXK1,0exp1XK05,0 05,005,005,0
=−=
=⇒−−=Φ=
V MATLABu: K = expinv(0.05,10)
Příklad 7.: Jistý přístroj má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin. Doba čekání na
poruchu se řídí exponenciálním rozložením. Stanovte dobu t tak, aby pravděpodobnost, že
přístroj bude pracovat po dobu delší než t, byla 0,99.
Řešení: X … doba čekání na poruchu, X ~ Ex(1/2000)
( ) ( ) ( )
h1,2099,0ln2000t
et1tXP1tXP99,0 2000
t
=⋅−=
⇒=Φ−=≤−=>=
−
V MATLABu: t=expinv(0.01,2000)