Cvičení 5
Příklady na testování exponenciálního a Poissonova rozložení
Teoretická část
I. Test dobré shody
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z rozložení s distribuční
funkcí Φ(x).
Testová statistika
( )
∑=
−
=
r
1j j
2
jj
np
npn
K se za platnosti nulové hypotézy asymptoticky řídí
rozložením χ2
(r-p-1), kde p je počet odhadovaných parametrů daného rozložení.
Přitom
nj je absolutní četnost j-tého třídicího intervalu pro veličinu X resp. j-té varianty veličiny X,
npj je teoretická četnost j-tého třídicího intervalu pro veličinu X resp. j-té varianty veličiny X.
Platí-li nulová hypotéza, pak pj = Φ(uj+1) - Φ(uj) resp. [ ]( ) ( )
[ ]
[ ]( )j
xx
jj xXPxlimxp
j
==Φ−Φ=
−→
.
Kritický obor: ( ) )∞−−χ= α− ,1prW 1
2
.
Jestliže WK ∈ , H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
Aproximace se považuje za vyhovující, když npj ≥ 5, j = 1, ..., r.
Při nesplnění podmínky npj ≥ 5, j = 1, ..., r je třeba některé intervaly resp. varianty slučovat.
II. Jednoduchý test exponenciálního rozložení (Darlingův test)
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z exponenciálního
rozložení.
Testová statistika
( )
2
2
M
S1n
K
−
= , která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí rozložením
χ2
(n-1).
Přitom M je výběrový průměr a S2
je výběrový rozptyl daného náhodného výběru.
Kritický obor: ( ) ( ) )∞−χ∪−χ= α−α ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
.
Jestliže WK ∈ , H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
III. Jednoduchý test Poissonova rozložení
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z Poissonova rozložení.
Testová statistika
( )
M
S1n
K
2
−
= , která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí rozložením
χ2
(n-1).
Přitom M je výběrový průměr a S2
je výběrový rozptyl daného náhodného výběru.
Kritický obor: ( ) ( ) )∞−χ∪−χ= α−α ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
.
Jestliže WK ∈ , H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
Příklad 1.: V systému hromadné obsluhy byla sledována doba obsluhy 70 zákazníků (v min).
Výsledky jsou uvedeny v tabulce rozložení četností:
Doba obsluhy Počet zákazníků
(0, 3] 14
(3,6] 16
(6,9] 10
(9,12] 9
(12,15] 8
(15,18] 5
(18,21] 3
(21,24] 5
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že daný náhodný výběr pochází
z exponenciálního rozložení. Použijte:
a) test dobré shody,
b) Darlingův test exponenciálního rozložení
Výsledek:
Ad a)
Testová statistika K = 6,6178, kritický obor )∞= ,4877,9W , na asymptotické hladině
významnosti 0,05 nelze zamítnout H0.
Ad b)
Testová statistika K = 35,7265, kritický obor )∞∪= ,8565,939242,47;0W .
H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Příklad 2.: Na jistém nádraží byl sledován počet přijíždějících vlaků za 1 h. Pozorování bylo
prováděno celkem 15 dnů (tj. 360 h) a výsledky jsou uvedeny v tabulce:
Počet vlaků za 1 hodinu 0 1 2 3 4 5 6 7 a víc
četnost 27 93 103 58 50 21 6 2
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že počet přijíždějících vlaků za
1 h se řídí Poissonovým rozložením, a to
a) testem dobré shody,
b) jednoduchým testem Poissonova rozložení.
Výsledek:
Ad a)
Testová statistika K = 9,5892, kritický obor )∞= ,0705,11W , na asymptotické hladině
významnosti 0,05 nelze zamítnout H0.
Ad b)
Testová statistika K = 3331,1304, kritický obor: )∞∪= ,4,4134,308,0W .
H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.