Cvičení 9 Optimalizace systémů hromadné obsluhy (s neomezenou kapacitou) 1. Systém M/M/1/∞/FIFO Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí exponenciálním rozložením. Známe náklady c1 na obsluhu jednoho požadavku a náklady c2 na údržbu prázdného systému za jednotku času. Hledáme intenzitu obsluhy µ tak, aby funkce nákladů a ztrát ( ) ( ) λ−µ λ +µ=+µ=µ 2121 ccNEccF nabývala svého minima. Vzhledem k tomu, že systém musí být schopen se stabilizovat (tj. µ<λ ), je minima dosaženo pro λ+λ=µ 1 2 c c . Optimální intenzitu obsluhy a hodnotu funkce nákladů a ztrát pro tuto optimální intenzitu počítá funkce opt_neomezeny_1.m. Příklad 1.: Na konci montážní linky se nachází pracoviště kontroly kvality, které se skládá z prostoru na čekání palet a zkušebního pracoviště. Průměrně přichází 80 palet v průběhu osmihodinové směny. Doba mezi příchody palet má exponenciální rozložení a doba kontroly rovněž. Náklady na kontrolu jedné palety činí 100 Kč, prostojové náklady jsou 40 Kč/h. Stanovte optimální dobu kontroly jedné palety a najděte hodnotu funkce nákladů a ztrát pro optimální intenzitu obsluhy. Výsledek: 5 minut, tedy za 1 h by se mělo zkontrolovat 12 palet. Funkce nákladů a ztrát nabývá hodnoty 1400. Příklad 2.: V dílně dochází v průměru ke třem poruchám strojů za hodinu, přičemž se jedná o poissonovský proud. Prostojové náklady stroje jsou 1000 Kč/h. Můžeme volit mezi průměrným opravářem, který opravuje 4 stroje za 1 h a stojí i režií 500 Kč/h a zkušeným opravářem, který opravuje 5 strojů ze 1 h a stojí i s režií 650 Kč/h. V obou případech předpokládáme, že doba opravy se řídí exponenciálním rozložením. Kterého opraváře je výhodnější přijmout? Výsledek: Funkce nákladů a ztrát pro průměrného opraváře nabývá hodnoty 5000, pro zkušeného opraváře 4750, je tedy výhodnější přijmout zkušeného opraváře. 2. Systém M/M/n/∞/FIFO Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí exponenciálním rozložením s parametrem µ. Známe náklady c1 na čekajícího zákazníka za jednotku času a náklady c2 na nevyužitou linku obsluhy za jednotku času. Hledáme počet linek n tak, aby kriteriální funkce ( ) ( ) ( )[ ]S2Q1 NEncNEcnC −+= nabývala svého minima. Přitom ( ) ρ− ρ = 1 PNE QQ , ( ) ρ− = ρ− β = 1 a 1!n aP n n 0Q , µ λ =β , n β =ρ , ( ) 1 1n 0j nj 0 n!n n !j a − − =       β− β + β = ∑ , ( ) ρ= nNE S . Podmínka stabilizace: µ λ >n . Optimální počet linek a hodnotu kriteriální funkce pro tento optimální počet linek počítá funkce opt_neomezeny_n.m. Příklad 3.: V nově otevřené pobočce České spořitelny bylo rozhodnuto rezervovat pro operace se sporožirovým účtem 3 přepážky. Klienti, kteří do pobočky přicházejí kvůli těmto operacím, se řadí do jedné fronty a po uvolnění libovolné z přepážek mohou být obsluhováni. Po otevření pobočky bylo zjištěno, že v průměru přichází 68 klientů za hodinu, přičemž intervaly mezi jejich příchody mají exponenciální rozložení. Doba nutná pro odbavení klienta je náhodná veličina s exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 min 24 s. Za předpokladu, že náklady na pobyt klienta v pobočce po dobu 1 h jsou 120 Kč a náklady na provoz jedné přepážky činí 300 Kč/h, najděte optimální počet přepážek. Výsledek: n C(n) 3 1050,2 4 485,53 5 708,69 Optimální jsou 4 přepážky. Příklad 4.: Začínající softwarová firma může očekávat 4 objednávky za měsíc. Charakter objednávek je takový, že programátor je schopen vyřešit za měsíc průměrně 2 objednávky. Měsíční náklady na provizorní řešení, kdy zákazník čeká na konečné řešení, jsou 50 000 Kč. Nemá-li programátor práci, dostává základní plat 10 000 Kč z rezervního fondu firmy. V případě, že programátor má objednávku, je základní plat plus výkonnostní příplatek zcela pokryt z ceny objednávky. Za předpokladu, že vstupní proud objednávek je Poissonův proces a doba práce na zakázce se řídí exponenciálním rozložením, zjistěte, jaký je optimální počet programátorů. Výsledek: n C(n) 3 54444 4 28696 5 31990 Optimální jsou 4 programátoři.