1. Grassmannovy variety
Grassmannova varieta G(k, n) má velice bohatou strukturu. Začneme s tím, že ji popíšeme jako množinu, teprve poté ji nadefinujeme jako projektivní varietu. Jako množina je G(k, n) množina všech fc-rozměrných podprostorů ve vektorovém prostoru Kn. Je-li (vi,... ,vk) lineárně nezávislá fc-tice vektorů z Kn, pak označme [vi,... ,vk] vektorový podprostor jimi generovaný. Máme tak zobrazení
(Kn)k D V(k,n) G(k,n)
a G(k,n) je jistý kvocient definičního oboru V(k,n) (tj. množiny lineárně nezávislých fc-tic vektorů). Není špatné si uvědomit, že se jedná o kvocient podle akce grupy GL(fc) lineárních izomorfismů která působí na fc-ticích vektorů pomocí maticového násobení, tj. nahradí tuto fc-tici jinou, složenou z odpovídajících lineárních kombinací,
fa,.. .,vk)(a,ij) =       Vidu,... ,y^Viaik).
Našim cílem nyní bude G(k, n) popsat jako podmnožinu nějakého projektivního prostoru. K tomu využijeme vnější mocninu AkKn vektorového prostoru Kn. Platí totiž, že vnější součin vi A • • • A vk se při změně báze změní pouze vynásobením skalárem (konkrétně při změně o akci matice A se součin vynásobí det A). Zobrazení
G(k, n) —► F(AkKn),    [Vl,..., vk] .—► [vt A • • • A vk]
je tedy dobře definované, nazývá se Plůckerovo vložení. Ukážeme nyní, že je injektivní a jeho obrazem je projektivní varieta. K obojímu se budeme snažit z tenzoru to = v\ A • • • A vk získat zpět podprostor [v±,... ,Vk\. Definujme zobrazení
<pu : Kn       Ak+1Kn,    v i—> u A v.
Zřejmě platí
[vi,... ,vk] = keiifu,
neboť vi A • • • A vk A v = 0, právě když vi,... ,vk,v jsou lineárně závislé. Z tohoto ihned plyne injektivita Plůckerova vložení. Popišme nyní jeho obraz pomocí polynomiálních rovnic. Hlavní ideou je, že jádro zobrazení ípw má vždy dimenzi nejvýše k. Platí totiž:
Lemma 1.1. Jsou-li ui,..., ur lineárně nezávislé, pak ui,..., ur G ker ípw, právě když
lú = ui A • • • A ur A lú' .
Důkaz. Doplňme ui,..., ur do báze W1. Potom A • • • /\Uik s ii < ■ ■ ■ < ik tvoří bázi Ak¥Ln. Zapíšeme-li to v této bázi, je podmínka uí G ker^, tj. uAiij = 0 ekvivalentní tomu, že všechny koeficienty u bázových prvků, ve kterých se nevyskytuje uí, jsou nulové. Proto se ve všech členech musí vyskytovat všechna ui,..., ur & to má kýžený tvar. □
Vidíme tedy, že obrazem Plůckerova vložení jsou právě ta to G Ak¥Ln, pro něž ker</?w má dimenzi alespoň k (přitom větší dimenzi mít nemůže) nebo ekvivalentně ípw má hodnost nejvýše n — k. To lze říct také tak, že matice ípw má všechny minory řádu n — k + 1 nulové. Protože jsou tyto minory polynomiální výrazy v souřadnicích projektivního prostoru P(AfcKn), je obrazem Plůckerova vložení projektivní varieta. Odteď budeme vždy G(k, n) uvažovat jako varietu v P(AfcKn).
V následujícím budeme potřebovat, že G(k, n) je ireducibilní. To se jednoduše vidí pomocí zobrazení 7 : V(k, n) —> G(k, n) definovaného výše. Toto zobrazení je zřejmě regulární a
1
2
surjektivní (stačilo by i dominantní). Protože je (Kn)k, a tedy i V (k, n), ireducibilní, bude ireducibilní i obraz G(k,n).
V následujícím se nám bude hodit, že zobrazení 7 je otevřené. Základní příklad otevřeného zobrazení v topologii je projekce součinu X x Y —» X (v algebraické geometrii se toto musí dokázat znovu, protože součin má více otevřených množin). Jednoduchým zobecněním jsou pak tzv. bandly, které vypadají jako součin pouze lokálně. Naše zobrazení je bandl, jak za chvíli ukážeme.
Lemma 1.2. Nechi X a Y jsou kvaziprojektivnt variety. Pak je projekce XxY —> X otevřená.
Důkaz. Tvrzení stačí dokázat pro projektivní variety, protože zúžení otevřeného zobrazení na otevřené podmnožiny je otevřené. Nechť je tv : U C X x Y bázová otevřená množina, tedy doplněk U = (X x Y) \ V (g) nulové množiny nějakého polynomu g = g(x, y). Potom x £ X neleží v tt(U) právě když g(x, —) je nulový na celém Y, tj. g(x, —) G I(Y). To je ale lineárni podmínka na koeficienty g(x, —) G K[yo,..., ym], které závisí polynomiálně na xq, ..., xn. □
Uvažujme podmnožinu U C V(k,n) danou fc-ticemi (v±,... ,Vk), jejichž projekce do Kfc tvořeného prvními k souřadnicemi jsou lineárně nezávislé. Jejich vhodnou kombinací, tj. vynásobením vhodnou invertibilní maticí A, můžeme dosáhnout toho, že tyto projekce tvoří standardní bázi       To znamená
(«i,... ,ufc)A_1 = ( p ) A'1 = ( Rf_i ) = (ei + ^i,...,efc+wfc)
B J \BA
Potom [vi,..., Vk] = [ei + wi,... ,ek + w^] a navíc báze [e\ + wi,..., + w^) uvedeného tvaru (projekce do Kfc dávají kanonickou bázi) je jediná. To znamená, že zobrazení
(Kn-k)k —> G(k, n),    (Wl, ...,wk)t—>[e1+w1,...,ek + wk]
je regulární bijekce a není těžké napsat předpis pro jeho inverzi, která je regulární na jisté otevřené množině U C G(k,n), konkrétně na obraze předchozího zobrazení. Vzhledem k tomu, jak jsme tento izomorfismus odvodili, je zřejmé, že "f(U) = U a při uvedené identifikaci U = (Kn~k)k má zobrazení předpis
Ač to tak na první pohled možná nevypadá, jedná se o projekci. To je dáno tím, že U = (Kn~k)k x GL(fc) pomocí
£)^>(BA-\A). Shrňme situaci následujícím diagramem
K(n-k)k x QL(fc) s- u c V(k,n)
pr
K(n-k)k       91 U c G(k,n)
Konstrukci lze provést i s jinými složkami než právě s prvními k. Vzniklé množiny U pokrývají G(k,n) a množiny U pokrývají V(k,n). Jelikož je každé zúžení U —> U otevřené, jednoduše se ukáže, že i celé 7 : V(k, n) —> G(k, n) je otevřené.
3
Projektivní verze Grassmannovy variety je varieta fc-rozměrných projektivních podpros-torů, kterým budeme v dalším říkat fc-roviny, vF". To je ale to samé, co {k + l)-rozměrné vektorové prostory v Kn+1, budeme tedy značit
G(k,n) = G(k + l,n + l).
Nad G(k, n) krom Y(k, n) existuje ještě celá řada dalších bandlů (přičemž všechny v jistém smyslu vzniknou z Y(k,n) - jsou k němu tzv. asociované). My budeme potřebovat následující "tautologický bandl"
£ = {(A, x) G G(k, n) x Pn | x G A} C G(k, n) x Pn
Pomocí £ definujme pro projektivní varietu ICP™ tzv. incidenční varietu Ct{X) jako
Ck(X) = {A G G(k, n) | X n A ^ 0} C G(k, n).
Ukážeme nyní, že se skutečně jedná o variety. V případě £ to plyne z následujícího
(M, [v]) G £        uAv = 0.
Označíme-li projekce -k\ : £ —> G(k,n) a 112 '■ £ —> Pn, pak Ck{X) = 7ri(7r2_1(X)) a jde tedy také o projektivní varietu. Poznamenejme, že S —> G(k, n) je opět bandl s fibrem Pfc.
Řekneme, že obecný bod x variety X má vlastnost P, jestliže množina bodů x G X majících tuto vlastnost je otevřená hustá (v případě ireducibilní X tedy otevřená neprázdná) nebo obecněji, pokud množina bodů x G X majících tuto vlastnost obsahuje nějakou otevřenou hustou podmnožinu.
Tvrzení 1.3. Je-li k > l, tak obecná k-rovina obsahuje obecnou l-rovinu a obecná l-rovina je obsažena v obecné k-rovině.
Důkaz. Nechť U C G(l,n) je otevřená neprázdná. Smysl prvního tvrzení je, že množina
V = {A G G(k, n) | 3T G U : T C A}
je otevřená neprázdná. Uvažujme následující zobrazení
ô . K(n+i)(fe+i) _^.G(/)n)
posílající (k + l)-tici vektorů (vq, ... ,Vk) na /-rovinu [vq, ... ,vi]. Potom V = 7(c)~1(ř7)) a první tvrzení plyne z otevřenosti 7. Druhé tvrzení se ukáže podobně z otevřenosti S (ta plyne z toho, že to je složení projekce a 7 pro /-roviny). □
2. Dimenze
Dennice 2.1. Řekneme, že projektivní varieta ICP" má kodimenzi nejvýše k, jestliže každý fc-rozměrný projektivní podprostor (zkráceně fc-rovina) A C P" protíná X. Samozřejmě pak X má kodimenzi právě k, jestliže navíc existuje (k — l)-rovina disjunktní s X (tedy X nemá kodimenzi nejvýše k + 1). Dimenzí variety X pak nazveme číslo d = n — k.
Zabývejme se nyní {k — 1)-rovinami v případě, že X má kodimenzi k. Podle definice existuje nějaká, která je disjunktní s X. Ukážeme nyní, že ve skutečnosti obecná (k — l)-rovina bude s X disjunktní. Uvažujme tedy varietu incidence Ck-\{X). Ta je uzavřená a podle předchozího také vlastní, takže její komplement
G(k- l,n) \Cfe_ipO,
skládající se právě z (k — l)-rovin disjunktních s X, tvoří otevřenou neprázdnou, a tedy hustou, podmnožinu.
4
Lemma 2.2. Dimenze projektivní variety X je rovna maximu z dimenzí jejích ireducibilních komponent.
Důkaz. Označme komponenty X{. Jelikož je každá X{ obsažena v X, plyne přímo z definice, že dimXj < dimX. Předpokládejme, že je tato nerovnost striktní pro všechna i. Potom obecná fc-rovina je disjunktní s každou X{ a tedy i s X. To je spor s tím, že kodimenze X je k. □
Je-li A nyní fc-rovina, obsahující nějakou "obecnou" {k — l)-rovinu, tedy takovou disjunktní s X. Potom X n A musí být konečná, jelikož je disjunktní s projektivní nadrovinou a je tedy afinní. Ve skutečnosti opět platí, že množina všech fc-rovin majících konečný průnik s X tvoří otevřenou neprázdnou podmnožinu. To je proto, že obecná {k — l)-rovina je disjunktní s X a tedy obecná fc-rovina A obsahuje {k — l)-rovinu disjunktní s X. To ale znamená, že průnik X n A C A musí být konečný, protože je disjunktní s nějakou nadplochou a je tedy afinní.
Ve skutečnosti platí, že počet průsečíků X d A je pro obecnou fc-rovinu maximální možný a roven stupni variety X.
Příklad 2.3. Ve dvou triviálních (extrémních) případech, lze zcela charakterizovat variety určité dimenze. Podle definice varieta X C Pn má dimenzi 0, tj. kodimenzi n, právě když každá n-rovina (ta existuje jediná a to Pn) protne X, tedy X je neprázdná, a navíc existuje (n — l)-rovina, která je s X disjunktní. Potom je ale X afinní a tedy konečná.
Varieta ICf má dimenzi n, tj. kodimenzi 0, právě když každá 0-rovina, tj. bod, protíná X. To ale znamená, že X = Pn.
V současné chvíli není vůbec jasné, zda dimenze závisí pouze na varietě, nebo i na jejím vložení do Pn. K tomu, abychom tuto nezávislost ukázali, bude potřeba dimenzi popsat jiným, invariantním způsobem. Nechť P je libovolný bod {k — l)-roviny A C Pn disjunktní s X. Uvažujme projekci z bodu P. To je regulární zobrazení
7T : Pn \ {P} —>■ P™"1
dané volbou nadroviny T C Pn. Obraz ir(Q) je potom jediný průsečík přímky PQ s T = Pn_1. Ve vhodných souřadnicích, ve kterých P = (0 : • • • : 0 : 1) a T = W1-1 má 7T předpis
7r(x0 : • • • : xn) = (x0 : ■ ■ ■ : xn-i).
Ukážeme nyní, že obraz tt{X) má stejnou dimenzi jako X. Zároveň porovnáme další invariant, stupeň transcendence trdegK(X) tělesa K(X) racionálních funkcí na X. Jedná se o maximální počet prvků K(X) algebraicky nezávislých nad K. Jsou-li tyto prvky a±,..., as, je K(ai,... ,as) izomorfní podílovému tělesu okruhu polynomů v s proměnných. Každý prvek K(X) je algebraický nad K(ai,... ,as). Jelikož je K(X) konečně generované, je už rozšíření K(X) : K(ai,... ,as) konečné. Platí, že libovolný maximální systém algebraicky nezávislých prvků má stejný počet.
Tvrzení 2.4. Platí diimv(X) = dimX a tr degK(7r(X)) = trdegK(X).
Důkaz. Prvně si uvědomme, že pro první rovnost chceme dokázat codini7r(X) = codimX — 1. Nechť tedy A C pn_1 je libovolná (k — l)-rovina. Potom 7r_1AU{P} je fc-rovina a proto protíná X. To ale znamená, že A protíná tt{X). Zároveň 7r(A) je {k — 2)-rovina disjunktní s tt(X), protože A je disjuktní s X.
Pro výpočet stupňů transcendence připomeňme, že K(X) je generované x±/xq, ... ,xn/xQ, kde předpokládáme, že xq není nulové na X, tj. xq 0 I(X). Zobrazení X —> tt{X) je dominantní, lze tedy chápat K(X) jako rozšíření ¥^{tt{X)). Jako takové je generované jediným
5
prvkem xn/xQ. Uvážme libovolný homogenní polynom / G I(X) stupně d, který je nulový na X, ale nikoliv na P = (0 : • • • : 0 : 1). To znamená, že jeho koeficient u xd je nenulový a fakt, že f/xQ = 0 v vyjadřuje přesně, že prvek xn/xo je algebraický nad ¥L(ir(X)). Je tedy
rozšíření : ¥L(tv(X)) konečné a proto se stupně transcendence rovnají. □
Důsledek 2.5. PlatídimX =trdegK(X).
Důkaz. Důkaz provedeme indukcí vzhledem ke k = codimX. Pro k = 0 máme X = Pn a
tr degK(X) = tr degK(xi/xo,..., xh/xq) = n = dimX. Je-li X vlastní podvarieta, zvolíme projekci tv jako výše a dostáváme
dimX = dim7r(X) = tr degK(7r(X)) = trdegK(X) podle předchozího tvrzení a indukčního předpokladu. □
Z důkazu věty lze odvodit další charakterizaci dimenze. Je-li zobrazení / : X —> Fd surjek-tivní obecně konečné1, je dimX = d. Lze totiž / nahradit kompozicí
X ^ Tf C Pn x ¥d ->• ¥d,
kde T f značí graf /. Přitom projekce Pn x Fd C f>(n+i)(d+i)-i _^ pd je projekcí ve smyslu kompozice projekcí z bodů a lze tedy aplikovat předchozí tvrzení (jen v tomto případě X prochází bodem, ze kterého se promítá).
Tvrzení 2.6. Nechť f : X —?► Y je surjektivní obecně konečné zobrazení mezi ireducibilními projektivními varietami a Xq ^ X vlastní podvarieta. Potom /(Xq) ^ Y je také vlastní podvarieta.
Důkaz. Prvně můžeme Y nahradit libovolnou afinní otevřenou podmnožinou, například Yg, a X příslušným vzorem Xgf, který je také afinní. Poté můžeme X nahradit grafem Tf, takže / je zúžením projekce An —> Ám. Na závěr si uvědomme, že stačí dokázat tvrzení v případě m = n — 1, protože obecný případ je kompozicí takových projekcí. Jsme tedy v situaci, kdy
ICA",    Y C A™"1   a   /(xi,...,xn) = (xi,...,xn_i).
Předpokládejme sporem, že /(Xq) = Y. Potom K(Xq) i K(X) lze považovat za rozšíření K(Y), navíc algebraické, protože je / obecně konečné a existuje tedy h G I(X), které je nenulové na nějakém bodu /_1(y) \ X. Po vyjádření
h = glq(xi,      xn_i)a^ H-----h ad(xi,xn-i)
je pak zřejmé, že nějaký koeficient aj ^ I(Y) a generátor xn G K(X) nad K(Y) je tedy algebraický. Zvolme jeho minimální polynom, po vynásobení vhodným polynomem z K[Y] můžeme dosáhnout toho, že je tento prvkem Ä"[y][í] a navíc primitivní. Označme jej opět h. Podobně nechť Iiq je minimální polynom xn G K(Xq) nad K(Y). Zřejmě platí h(xn) = 0 v K(Xq), proto ho\h v Ä"(y)[í] a díky primitivitě Iiq také v Ä"[y][í]. Jelikož je h minimální, musí být h = bho, kde b G K[Y] a díky primitivitě h je b jednotka -K"[y]. Protože je X = Tr-^y) n V (h) aX0= Tr-^y) n V (ho), dostáváme X = X0. □
Důsledek 2.7. Je-li Xq C X podvarieta projektivní variety X, která neobsahuje žádnou její komponentu, pak dimXo < dimX.
^Je otázka, jestli je toto třeba vůbec zmiňovat, já jsem provedl o něco jednodušší důkaz věty o obecné konečném zobrazení, ve kterém jsem to nezmiňoval.
6
Důkaz. Stačí se omezit na případ, že X je ireducibilní a tedy Xq vlastní podvarieta. Připomeňme surjektivní obecně konečné zobrazení ir : X —> Fd dané opakovanou projekcí z bodů. Podle předchozího tvrzení je tt(Xq) ^ Fd a má tedy dimenzi
dimXo = dim7r(Xo) < d = dimX.
□
Věta 2.8. Je-li X projektivní varieta a V{f) nadplocha neobsahující žádnou komponentu X, pak platí dim(X n V (f)) = dimX - 1.
Důkaz. Podle předchozího důsledku je jistě dim(X n V (f)) < dimX — 1. Předpokládejme nyní, že je tato dimenze striktně menší. Potom existuje {k + l)-rovina A disjunktní s X n V (f). Potom ale X d A musí být konečná (leží totiž v afinním A \ V{f)) a jistě lze najít fc-rovinu r C A, která bude s X disjunktní. To je ale spor s tím, že k je kodimenze X. □
Poznámka. V případě ireducibilní projektivní variety X předchozí věta říká, že maximum z dimenzí komponent X d V (f) je rovno dimX — 1. Ve skutečnosti ale platí, že všechny komponenty X n V (f) mají dimenzi dim X — 1. To se dá dokázat pomocí afinní verze předchozí věty - přechodem k afinní otevřené podmnožině totiž můžeme z X vyříznout všechny komponenty X n V (f) s výjimkou jediné a dimenze průniku výsledné variety s V (f) pak bude jediná zbývající komponenta. Podle afinní verze bude mít dimenzi dim V — 1.
Pomocí předchozí věty lze dimenzi ireducibilní projektivní variety X charakterizovat jako "délku" d nej delšího řetězce
0 C Xd C • • • C Xo = X
ireducibilních variet (index značí kodimenzi). Podle předchozího důsledku má totiž každý řetězec délku maximálně d. Podle předchozí věty pak lze najít X\ ^ Xq dimenze přesně d—1 a indukcí pak řetězec délky d. V řeči souřadnicových okruhů má tato charakterizace následující vyjádření, ve které je nyní X ireducibilní afinní varieta. Dimenze X je rovna tzv. Kruhově dimenzi -K"[-X"], která je definována jako "délka" d nejdelšího řetězce
0 = Iq C • • • C Id C K[X]
prvoideálů v -K"[-X"].
Tato definice má tu výhodu, že je vyjádřena v řeči variety samotné a nezávisí na jeho vložení do projektivního prostoru a je tedy zjevně invariantní vzhledem k izomornsmům2. Pomocí této charakterizace nyní dokážeme následující větu vhodnou pro počítání dimenzí.
Věta 2.9. Nechi je f : X —?► Y surjektivní zobrazení mezi projektivními varietami takové, že d = dim/_1(y) nezávisí na y G Y. Potom
dim X = dim Y + d.
Ukážeme nyní, že je invariantní i vzhledem k biracionálním ekvivalencím. To je do jisté míry jasné u stupně transcendence, nedokázali jsme však, že ten je dobře definovaný. Nechť ty : X —> Pd je nějaká obecně konečná projekci, kde X je ireducibilní projektivní varieta. Nechť U C X je nějaká otevřená množina. Ukážeme, že dim U = dim X (v definici pomocí délky řetězců). Zřejmě každý ostře rostoucí řetězec uzavřených ireducibilních podmnožin U zadává pomocí uzávěru ostře rostoucí řetězec uzavřených ireducibilních podmnožin X. Je tedy dim U < dim X. Pro opačnou implikaci stačí najít ireducibilní nadplochu ľCI, která nebude ležet v X \ U a použít indukci na Y HU C Y. Podle předchozího je 7r(X\ U) vlastní uzavřená množina. Zvolme v P" libovolný nadrovinu A neležící v tv(X \ U) a zvolme za Y libovolnou komponentu 7r_1(A), která se zobrazí surjektivně na A. Potom tv : Y —> A je opět obecně konečná projekce a můžeme pokračovat indukcí.
7
Důkaz. Můžeme předpokládat, že Y je ireducibilní - jinak ji rozložíme na ireducibilní komponenty. Nechť Yq C Y je libovolná komponenta Y d V (g), kde g není nulová na y a položme Xq = /_1(Yo)- Má-li Yq maximální dimenzi dimY — 1, dostáváme indukcí na Xq —> Yq, že
dim X > dim Xq - 1 = dim Yq + d - 1 = dim Y + d.
Nechť naopak Yq je komponenta, jejíž vzor Xq = j^ÍYq) obsahuje komponentu X n v {g f) maximální dimenze dimX — 1. Potom
dim X = dim Xq - 1 = dim Yq + d - 1 < dim y + d.
□
Příklad 2.10. Spočítejme dimenzi Grassmannovy variety G(k,n) elementárním způsobem. Uvažme zobrazení
7 : V(k,n) —> G(k,n),    (v1} ...,vk)\—> [v1} ...,vk]
s definičním oborem V(k,n), který není projektivní, ale pouze kvaziprojektivní - chtělo by to všechno zobecnit, snad někdy příště. Jelikož se jedná o otevřenou podmnožinu v Knk, je dim V(k,n) = nk. Spočítejme dimenzi fibru /_1(A). Ten se zjevně skládá právě ze všech bází A a lze jej tedy ztotožnit s otevřenou podmnožinou Kk  a má dimenzi k2. Proto
nk = dim V(k, n) = dim G(k, n) + k2
a konečně dim G(k,n) = nk — k2 = k{n — k).
Příklad 2.11. Každá projektivní varieta X C Pn je biracionálně ekvivalentní nadploše. Předpokládejme, že X má kodimenzi alespoň 2 a hledejme projekci
7r:Pn\{P} -^Fn-\
z nějakého bodu P tak, aby zúžení tv : X —> tt{X) mělo v obecném fibru jediný prvek. Podle věty o obecně konečných zobrazeních je pak tv : X —> tt(X) biracionální ekvivalence (na úrovni těles racionálních funkcí se jedná o rozšíření stupně jedna). Zabývejme se proto množinou všech přímek protínajících X. To je přesně C\{X) a má dimenzi d + n — 1, neboť varieta incidence má tuto dimenzi (projekce na X má fibry dimenze n — 1) a projekce na C\{X) má obecně konečné fibry.
Zabývejme se nyní podmnožinou C\{X) těch přímek, které protínají X ve více jak jednom bodě. Uvažujme zobrazení {X x X) \ A —> G(l, n) posílající dvojici bodů (x, y) na přímku xy. Jeho obraz (přesněji řečeno uzávěr tohoto obrazu) má dimenzi nejvýše Id < d + n — 1. Proto obecná přímka z C\{X) protíná X v jediném bodě. Uvažujme nyní varietu dvojic (P,p), kde P je bod ležící na přímce p, která protíná X. Podmnožina těch dvojic (P,p), kde p protíná X v jediném bodě různém od P je podle předchozího otevřená a neprázdná. Libovolný bod P vyskytující se v nějaké takové dvojici pak bude splňovat, že projekce z něj bude po zúžení na X obecně bijektivní.
Věta 2.12. Nechi f : X —?► Y je zobrazení mezi projektivními varietami a položme
d = min{dim/_1(y) | y G Y}.
Potom množina U = {y G Y \ dim/_1(y) = d} je neprázdná otevřená. Jsou-li obě X, Y ireducibilní, pak platí dim X = dim Y + d.
Důkaz. Nahraďme ICP™ grafem / a zobrazení / pak projekcí
g : T f C Pn x Y —> Y.
Nechť minimální dimenze fibru je d = dim/_1(yo)- Zvolme libovolnou (n — d — l)-rovinu Aer disjunktní s /-^yo). Potom U zřejmě obsahuje kopmlement vlastní uzavřené množiny Yq = g(Tf n (A x Y)), tj. množinu těch y G Y, pro něž je f-1 (y) disjunktní s A.
Ukážeme nyní, že U je skutečně otevřená. Kdyby (Y \ Yq) ^ U, zúžíme / na Yq a použijeme předchozí tvrzení znova. Opět tedy množina těch y G Yq, pro něž je dim/_1(y) minimálni, obsahuje komplement nějaké vlastní uzavřené množiny Y\ ^ Yq. Protože je prostor Y Noetherovský, musí se posloupnost Yq ^ Y\ ^ • • • stabilizovat od nějakého Yn a tedy U = Y \ Yn je otevřená.
Je-li nyní Y ireducibilní, tak zúžením na U dostáváme / : /_1(Í7) —> U splňující předpoklady předchozí věty. □
Zajímavým důsledkem je následující.
Důsledek 2.13. Nechť f : X —» Y je zobrazení mezi projektivními varietami takové, že všechny fibry f^1{y) mají tutéž dimenzi. Jsou-li Y a všechny fibry f^1{y) ireducibilní, je ireducibilní i X.
Důkaz. Nechť X = X\ U • • • L)Xr je rozklad X na sjednocení ireducibilních komponent a nechť f i : Xi —> Y značí zúžení / na jednotlivé komponenty. Označme di minimální dimenzi fibru f i a nechť d\ je maximální z nich. Podle předpokladu je pak dimenze fi1(y) konstantní a rovna dimenzi f^1(y). Z ireducibility fibrů pak fi1(y) = /_1(y) a tedy X = X\ je ireducibilní. □
3. Blow-up
Blow-up, blow-up v bodě Tečný kužel, jeho dimenze
4. Tečný prostor Definujme pro ideál / C ..., xn] jeho lineární část v bodě P G An jako
= {d/(P) | / G /},
kde df(P) = M^p-dxQ + • • • + dxn (a kde dxj = x{ jakožto lineární funkce na An). Tečný prostor TpX ireducibilní projektivní variety X v bodě P G X je následující rovina
TPX = {v G Kn | Va G I{X){p] : a(v) = 0}.
Bod P G X se nazývá hladký, jestliže dimTpX = dimX (ekvivalentně CpX = TpX). Duální prostor k TpX je izomorfní
T*PX = K^[x1,...,xn]/I(X){p,
je totiž zobrazení K^1) [x\,..., xn] = (Kn)* —> (TpX)* (dané zúžením lineární formy na podprostor) surjektivní s jádrem právě I(XÝp\
Věta 4.1. Množina hladkých bodů ireducibilní projektivní variety tvoří neprázdnou otevřenou podmnožinu.
Důsledek 4.2. Dimenze ireducibilní variety X je rovna dimX = minjdimTpX | P G X}.
9
Důkaz. Popišme prvně množinu těch bodů P, pro něž má TpX minimální dimenzi d = n — k ze všech tečných prostorů. Ta je pak dána tím, že nějakých k diferenciálů d/i(P),..., dfk(P) je lineárně nezávislých, kde fi,..., fk £ I(X), tedy nenulovostí nějakého determinantu. Je tedy vskutku otevřená. Zbývá ukázat, že je d dimenze X. K tomu použijeme následující charakterizaci.
Tvrzení 4.3. Tečný prostor TpX afinní variety X je duální k mp/mp = ÍDtp/ÍDtp, kde rap C -ří[X] je maximální ideál příslušný bodu P a 9Jtp C O x,p je maximální ideál lokálního okruhu X v P.
Před důkazem tohoto tvrzení dokončeme důkaz věty. Z lokální charakterizace tečného prostoru plyne, že je invariantní vůči izomornsmům variet. Z otevřenosti množiny bodů, kde dim TpX je minimální, pak plyne, že toto minimum je dokonce invariantní vzhledem k bira-cionálním ekvivalencím. Protože je každá varieta biracionálně ekvivalentní s nadplochou, stačí rovnost d = dimX ověřit pro ireducibilní nadplochu X = V{f) (tj./ je ireducibilní polynom). Přitom je zřejmé, že platí TpX = ker df{P) a stačí tedy ukázat, že diferenciál df je v nějakém bodě nadplochy X nenulový. Protože má ale menší stupeň než /, plyne z G I(X) = (/), že      = 0 a / je potom konstantní, což je spor s ireducibilitou. □
Vraťme se nyní k důkazu tvrzení.
Důkaz Tvrzení 4-3- Definujme prvně diferenciální polynomiální funkce / G K[AT] v bodě P G X, d f (P) : TpX —> K, jako zúžení libovolného rozšíření na polynomiální funkci na An, tj. polynom. Jelikož se každé dvě takové rozšíření liší o prvek I(X), jehož diferenciál je nulový na TpX, je df(P) dobře definovaný. Je-li / G mp, tedy součet polynomiálních funkcí tvaru gh, kde g,h G mp jsou nulové v P, pak podle Leibnizova pravidla
d/(P) = d(gh)(P) = g(P) dh(P) + h(P) dg(P) = 0.
o o
Máme tedy dobře definované zobrazení
DP : mp/mp —► (TPX)* *é k^[xt,...,xn)/I{X){^.
Jelikož je každá lineární funkce a diferenciálem afinní funkce a — a{P) G mp, je Dp surjektivní. Pro injektivitu nechť / G mp. Taylorův rozvoj v bodě P dává,
f(x)=f(P)+df(P)(x-P) + --- , o
kde další členy již zjevně leží v mp, protože vždy obsahují součiny alespoň dvou lineárních činitelů (xí — Xi(P)) G mp. Je-li tedy df(P) = 0, pak / G rap a Dp je izomorfismus. □
Poznámka. Taylorův polynom (a rozvoj) v regulárním bodě přes lokální parametry, lokální parametrizace (jakožto formální řada). Aplikace na biracionální invarianci dimenze ve smyslu délky nejdelšího řetězce ireducibilních podvariet. Definice stupně protínání dvou rovinných křivek v bodě.
5. Stupeň
Věta 5.1 (Bezoutova věta, elementární verze). Nechť X,Y C P2 jsou dvě křivky zadané homogenními polynomy X = V(f),Y = V{g). Potom počet jejic průsečíků je maximálně \XC\Y\ < degf ■ degg.
10
Důkaz. Zvolme souřadnice tak, že (0 : 0 : 1) ^ x U y a že žádné dva průsečíky neleží na přímce procházející tímto bodem. To znamená, že můžeme předpokládat
/ = x\ + • • • ,   g = x\ + • • • .
Bod (xq : x\ : x 2) je průsečíkem, právě když polynomy /, g G K[xo, a^i]^] mají společný kořen, tj. právě když rezultanta
Res(f,g,x2) G K[x0,xi]
má kořen {x$ : x\). Snadným výpočtem se lze přesvědčit, že Res(/, g, x2) je homogenní stupně d ■ e. Platí totiž, že v matici zadávající Res(/, g, x2) je na pozici buď polynom stupně
i — j nebo i — j + d, přičemž druhé platí, právě když j > d, tj. mezi (<r(l), 1),..., (a(n),n) je to právě e-krát. Tvrzení plyne z toho, že každý kořen Res(/, g, x2) odpovídá nejvýše jednomu průsečíku. □
Poznámka. S trochou práce lze ukázat, že v případě, že se x, y protínají v bodě {x$ : x\ : x2) transverzálně, je {x$ : x\) jednoduchým kořenem rezultanty Res(/, g, x2). To znamená, že když se x, y protínají transverzálně všude, je počet průsečíků roven přesně součinu stupňů deg / • deg g definujících polynomů.
Značí-li ai,..., ad : P1 —> P2 nějaké lokální parametrizace kořenů / (například v podobě formálních mocninných řad o.j{xq : x\) = (xq : x\ : äj{x$ : xi)), kde ä j G ~k\x$ : xij), lze rezultantu psát (obecně ve vzorci vystupuje vedoucí člen /, který jsme ale prohlásili za 1)
Res(/, g, x2) = g{ai) ■ ■ ■ g{ad).
Derivací v P = (xq : x\) dostáváme za předpokladu, že kořenem / je ai(P), vztah
d(Res(/,g,x2))(P) = d(g(ai))(P) ■ g(a2(P)) ■ ■ ■ g{ad{P))
(ostatní členy vypadnou, protože obsahují g{a\{P)) = 0). Protože tečný prostor V{f) v bodě ai{P) je dán přesně obrazem da±(P), a jelikož tento neleží v ker dg(ai(P)) díky předpokladu transverzality, je diferenciál d(g(ai))(P) nenulový a proto je nenulový i celý součin. Ve výsledku je P jednoduchým kořenem rezultanty Res(/, g, x2).
V obecném případě (kdy se x, y neprotínají transverzálně) je potřeba každý průsečík brát s vhodnou násobností, abychom dostali jejich počet rovný deg f ■ deg g. V moderní algebraické geometrii se tato násobnost zavádí s pomocí schémat. Průnik x d y ve smyslu schémat obsahuje totiž mnohem více informací než jen body tohoto průniku. Veškerá informace je obsažena v součtu ideálů I(x)+I(y), který není obecně radikálový a neodpovídá tedy varietě. Radikálový není dokonce ani v případě transverzálního průniku, ale rozdíl mezi I{x) + I(y) a I{x n y) se vyskytuje pouze v nízkých stupních polynomů, pro k S> 0 je
i^k\x) + ŕk\y) = ŕk\x n y).
V takovém případě říkáme, že tyto ideály mají stejnou saturaci a z hlediska schémat je považujeme za totožné. Stejně jako projektivní variety jsou v bijekci s radikálovými homogenními ideály (po odebrání irelevantního), podschémata projektivního prostoru jsou v bijekci se saturovanými homogenními ideály. Budeme tedy v následujícím pracovat s (téměř) obecnými homogenními ideály a tvářit se, že jsou to geometrické objekty. V případě, že tyto ideály budou radikálové, budeme je ztotožňovat s odpovídajícími projektivními varietami.
Nechť / C K[xo,..., xn] je homogenní ideál. Řekneme, že je saturovaný, jestliže pro každý homogenní prvek / platí xq/, ..., xnf G / => f G /. Saturace ideálu je nejmenší saturovaný
11
ideál
/ = {/ G K[x0,... ,xn] | (3k > 0) : (m0)kf C /}
obsahující /.
Lemma 5.2. Pro homogenní ideály I, J C K[xo,..., xn] jsou následující podmínky ekvivalentní.
(1) I = J,
(2) pro d > 0 p/ári" /W = .
Důkaz. Prvně dokážeme implikaci (1) =4> (2) přičemž zjevně stačí, že 1^ = pro d > 0. To je proto, že I = (f\,..., /r) a každý homogenní prvek / = a±fi + • • • + arfr G / dostatečně velkého stupně má každé a\ tak velkého stupně, že aj/j G (nxo)fc/j C /. Pro druhou implikaci si stačí uvědomit, že to, zda / G I, závisí pouze na
Dejme nyní do souvislosti saturované ideály s projektivní větou o nulách. Platí, že zobrazení
{radikálové saturované ideály} —{projektivní variety}
je bijekce (irelevantní ideál mo není saturovaný) a V(I) = 0, právě když 1 G /.
Nyní vysvětlíme, jaký geometrický objekt lze saturovanému ideálu přiřadit. Předně je to jeho množina bodů V(I) C Pn, ta však opovídá ideálu \fl. Nejjednodušším příkladem neradikálového ideálu je I(X)2, o kterém budeme uvažovat jako o množině X "násobnosti dva". Zjemněním V(I) je množina ireducibilních komponent ideálu /, která obsahuje všechny ireducibilní komponenty V(I), ale ještě některé variety navíc. Ty jsou zásadní pro počítání v souřadnicovém okruhu K[a?o,..., xn]/I. Ireducibilní komponenty / se definují pomocí tzv. primárního rozkladu (lze to i příměji, my ale budeme primárni rozklad stejně potřebovat).
Řekneme, že ideál / je ireducibilní, jestliže nelze napsat jako průnik dvou striktně větších ideálů. Protože je S = K[xo,... ,xn] Noetherovský okruh, tj. neexistuje nekonečná rostoucí posloupnost ideálů, lze každý ideál rozložit jako konečný průnik
/ = /x n • • • n ir
ireducibilních ideálů. Poznamenejme, že tento rozklad není jednoznačný v žádném smyslu. Řekneme, že ideál / je primární, jestliže
fg€l^>(f€l)y(g€y/l).
Tato vlastnost se dá interpretovat dvěma způsoby. Leží-li součin fg v I & f £ I, pak / G y/l. Toto lze také interpretovat ekvivalentně v kvocientu S/I takto: každý dělitel nuly je nilpotentní. Pro nás bude v následujícím užitečnější její obrácení. Jestliže prvek S/I není nilpotentní, pak není dělitel nuly, tj. násobení tímto prvkem je injektivní zobrazení S/I —> S/I.
Myslím si, že pro homogenní ideál /, nestačí podmínku ověřovat pouze pro homogenní prvky f,g. Nicméně můžeme nadefinovat primární homogenní ideál jako ten, který výše uvedenou podmínku splňuje pouze pro f,g homogenní. To nám bude v následujícím postačovat.
Lemma 5.3. Každý ireducibilní ideál je primární.
Důkaz. Nechť / C S je ireducibilní ideál a /, g G S dva (homogenní) prvky splňující f g G /. Definujme (homogenní) ideály
(I:gn) = {h€S\ hgn G /}
12
které zjevně tvoří neklesající posloupnost
(/:5)C(/:52)C....
Díky Noetherovskosti S musí pro nějaké n platit (/ : gn+1) = (/ : gn). Jelikož chceme ukázat, že buď gn g / nebo / g / stačí nám díky ireducibilitě / dokázat, že (/ + (/)) n (/ + {gn)) = I-Nechť tedy h leží v tomto průniku (a můžeme předpokládat, že je homogenní). Máme
hgel + (fg) = I,
tedy při rozkladu h = k + lgn musí být lgn+1 g /, což znamená l g (/ : gn+1) = (/ : gn) a proto lgn g / a konečně h g /. □
Tvrzení 5.4. Je-Zi / primárni, pak y/1 je prvoideál.
Důkaz. Je-li f g g V?, tj. fkgk g /, pak buď fk g / nebo gfc g V?, každopádně však / g \fl nebo    g VI. □
V dalším nás nebude zajímat rozklad na průnik ireducibilních ideálů, ale primárních ideálů. Platí, že I D J je primární, pokud \fl = yfj (který je pak roven
fgelnJ&{{fel)v{ge v/7))&((/ g J) v (g g v7)) ^ (/ g (/ n J)) v (5 g VľňJ)
Můžeme tedy sloučit ty činitele, jejichž radikály jsou stejné a dostaneme rozklad na průnik primárních ideálů, který ovšem stále není jednoznačný. Je-li však / = IiD- ■ -n/r takovýto ire-dundantní rozklad na primární, tj. takový, že vynecháním libovolného člene se průnik změní, pak vTl> • • • > V^ř uz na rozkladu nezávisí3 a příslušné ireducibilní variety V(Ii),..., V(ir) se nazývají ireducibilní komponenty (projektivního schématu zadaného ideálem /). Samozřejmě platí
v(i) = v{h n • • • n ir) = v (h) u • • • u v{ir).
Příklad 5.5. / = (x2,xy) = (x) n (x,y)2 = (x) n (x2,y) (plus obrázek). Ireducibilními komponentami tedy jsou přímka V (x) (tedy osa y) a bod V(x,y) (tedy počátek).
Tvrzení 5.6. Je-li V(I) = {P}, pak /W C má pro d S> 0 konstantní kodimenzi, která je rovna dimenzi "afinního souřadnicového okruhu".
Důkaz. Předpokládejme, že P = (1 : 0 : • • • : 0) a uvažme (surjektivní) homomorfismus
íp : K[x0, ...,xn] i—> K[x!,.. .,xn],    f(x0, ...,xn)^ /(l,xi, ...,xn)
a zúžením na homogenní polynomy stupně d nalevo a polynomy stupně nejvýše d napravo jím indukovaný izomorfismus
(pd : K^d)[x0,x1,...,xn] -=^K(^d)[xi,...,xn]. Vezmeme nyní kvocient podle obrazů ideálu / a dostaneme izomorfismus
K^[x0,xu.. .,xn]/lW        K^[Xl,.. .,xn]/Ml(d))-
Ukážeme nyní, že pravá strana je izomorfní "souřadnicovému okruhu" K[xi,... ,xn]/(p(I) pro d S> 0. Podle projektivní věty o nulách mp = y/l, tj. (x±,..., xn)k = (mp)k Q I a proto
Nebudeme to dokazovat, jen uvedeme základní myšlenkou. Tou je charakterizovat tyto prvoideály alternativním způsobem jako ty, které se vyskytují mezi ideály (J :/),/£ S.
13
(tno)fc — <P{I)- Díky tomu je každý prvek ..., xn]/ip(I) reprezentován polynomem stupně
menšího než k. Je-li tedy d > k — 1 je přirozené zobrazení
K^[Xl,.. .,xn]/ipd(I^) —► K[Xl,..., xn]Ml)
surjektivní. Potřebujeme dále ukázat, že pro d S> 0 je
vWnK^In.....i„]=^).
Přitom ale (mo)fcnK(-d)[ xi,..., xn] C ípdil^^) vždy. Jelikož je ip(I} / (xn.o)^ konečně rozměrný vektorový prostor generovaný řekněme tp(gi) + (tno)fc,... ,tp(gr) + (tno)fc, bude pro libovolné d > maxjdeggi,..., deggr} platit, že </?(/) je generovaný
(^(5i),...^(5r)) + (mo)feC^(/(d)).
□
Definujeme Hilbertovu funkci homogenního ideálu / C K[xo,..., xn] jako
hT(d) = dim      [xq ,..., xn]/I{d).
V následujícím ukážeme, že pro d S> 0 je hj(d) polynom nad Q (a to sice tzv. numerický, tj. jeho hodnoty jsou celočíselné). Zatím jsme to ukázali pro ideál, jehož asociovaná varieta má jediný bod. Rozšíření na libovolné konečné množiny vyžaduje rozklad ideálu na ireducibilní komponenty. Je-li I = I± (~) ■ ■ ■ (~) Ir, kde V(ifc) = {Pk}, tvrdíme, že pro d> 0 platí
hľ(d) = hh(d) + --- + hIr(d).
Předpokládejme, že r = 2, tj. I = I\C\ 12- Potom
o   s/(h n i2) -+ s/h © s/h -+ s/{h + h) -+ o
je exaktní, přičemž I\ + I2 = S, alespoň pro d S> 0, neboť V{I\ + I2) = V(Ii) H V(l2) = 0 a tedy li +12 = S. Ve výsledku hiini2(d) = hj1(d) + hj2(d) pro (í>0.
Pro nás bude primárni rozklad užitečný zejména kvůli tomu, že nám umožní poznat dělitele nuly v S/I. Ideál / je totiž primární, právě když každý dělitel nuly v S/I je nilpotentní. Rozklad na primárni potom dává následující kritérium. Je-li (/ + /) G S/I dělitel nuly, pak existuje g G S tak, že f g G / = I\ H • • • H Ir a tedy za předpokladu, že / neleží v žádném yjľj dostáváme g G Ij pro všechna j, tedy g G /.
Lemma 5.7. Jestliže f není nulový na žádné ireducibilní komponente I, pak f + / G S/I je nedélitel nuly.
Věta 5.8. Hilbertova funkce hj{k) = dimK^-'fxo,... ,xn]/I^ je pro k S> 0 rovna hodnotě (jediného) numerického polynomu, jehož stupeň je roven d = dimV(/). Vedoucí koeficient tohoto polynomu je l/d\-násobkem přirozeného čísla degl, které nazýváme stupněm I.
Důkaz. Větu dokážeme indukcí vzhledem k dim V{I). Je-li tato dimenze nula, větu jsme již dokázali. Nechť tedy má V{I) nenulovou dimenzi a zvolme libovolný lineární polynom /, který je nenulový na všech ireducibilních komponentách /. Potom násobení / zadává injektivní homomorfismus S/I —> S/I jehož kojádro je zjevně S/{I + (/)). Označíme-li J = I + (/) máme tedy exaktní posloupnost
0    sik-D/jik-i) _, £(*)//(*) _> ^ 0.
Pro dimenze tedy platí hj(k) — hj(k — 1) = hj(k), neboli
hj{k) = hj(k) + --- + hj(0).
14
Protože V{I + (/)) = V{I) n V(/), je tato dimenze o jedna menší a můžeme indukcí předpokládat, že pro k S> 0 je
hj{k) = cd_i (/J + • • • + c0 (g). Sečtením pak dostáváme pro k S> 0 vyjádření
M*0 = cd-i ((A) + • • • + (1+1)) + • • • + co(ffl + • • • +        + M*o)
= cd_!        + • • • + co ("t1) + const = ck (S) + • • • + či (*) + čo ffi •
Z tohoto tvaru je jasné, že vedoucí koeficient je cd/d\, přičemž cd = cd-\ je podle indukce přirozené číslo. □
Příklad 5.9. Spočítejme stupeň ideálu (/). V případě, že / nemá násobné činitele v rozkladu na součin ireducibilních polynomů, tedy počítáme stupeň I(V(f)), tedy nadplochy V{f). Postupujme stejně jako v předchozím důkazu pro 1 = 0, J = (/), máme tedy
h0(k)=dhnK^[x0,...,xn} = {k+nn).
Z exaktní posloupnosti analogické té z důkazu, kde ale tentokrát / navyšuje stupeň o degf, dostáváme pro k S> 0 vztah
h{f){k) = h0(k) - h0(k - degf) = (k+n) - f4*;**')
[kn/n\ + (n + • • • + 1) • kn-xjn\ + lot) -
'knjn\ + ((n - deg /) + • • • + (1 - deg /)) • k'^/nl + loť = ndegf ■ kn-xjn\ + lot = deg/- kn-xl{n- l)!+lot. Je tedy stupeň ideálu (/) roven stupni polynomu /.
Věta 5.10 (Bezoutova). Nechť I C S je libovolný homogenní ideál a nechť f £ S je homogenní polynom. Potom platí
deg(7 + (/))= deg / • degf
Důkaz. Využijeme exaktní posloupnost z důkazu předchozí věty, opět s posunem o degf. Označíme J = I + (/) a dostáváme
hJ(k)=hI(k)-hI(k-degf)
cdkd + Cd-ik*-1 + lot) - (     cd(k - deg fY     +cd-i{k- deg/)d-i+lot
cd-kd-cdddegf-kd-1+\ot cd_1-kd-1+lot
cdd deg f ■ kd~ľ +lot deg//d!-ddeg/-fc^1+lot deg/-deg/-fed_1/(d- l)!+lot
□
15
V případě, že je / lineární, je jeho stupeň 1 a je tedy počet průsečíků X s V (f) roven stupni degX.
Důsledek 5.11. Každý izomorfismus Pn —> Pn je lineární.
Důkaz. Idea důkazu je, že nadroviny jsou právě nadplochy stupně jedna a ty jsou při každém izomorfismu zachovávány. Přitom ale zobrazení zachovávající nadroviny je (alespoň pro n > 1 nebo 2) nutně lineární. □
Příklad 5.12. Kubická křivka X = {(s3 : s2t : st2 : í3) | (s : t) G P1} C P3 není "úplný průnik", tj. neexistuje codimX homogenních polynomů, které by generovaly I{X). V našem případě je kodimenze dva a chceme tedy ukázat, že I{X) není generovaný dvěma homogenními polynomy. Pokud by to byla pravda, musel by součin jejich stupňů být roven stupni X. Ten se jednoduše spočítá, že je tři. Ukážeme prvně, že I{X) je roven ideálu
I = (x0x2 - xl,x0x3 - XiX2, XxX3 - x2,).
Jako bázi S^/I{X)^ lze totiž zvolit jisté třídy monomů. Snadno se pak lze přesvědčit, že relace
x0x2 ~ x\,    X0X3 ~ XiX2,    XiX3 ~ x\ zachovávají součet indexů a naopak každá dvojice monomů se stejným součtem indexů je ekvivalentní. Je proto hj(k) = 3k + l a deg/ = 3. Jelikož X = V{I) je jedinou komponentou / dimenze 1, musí být deg X = deg I{X) nějaký dělitel 3, přičemž stupeň 1 má pouze projektivní podprostor a X není přímka.
Podle Bezoutovy věty by za předpokladu I{X) = (f,g) musely mít polynomy f,g stupně 1 a 3, což by ale znamenalo, že X leží v rovině. Jednoduše se lze přesvědčit, že tomu tak není. Dodejme, že existují homogenní polynomy /, g takové, že X = V(f, g) (přičemž vyjde nejspíš I(X)2 = (/, g), protože polynomy jsou stupňů 2 a 3). V takové, případě říkáme, že X je množinový úplný průnik.
Zabývejme se nyní tím, jak spočítat stupeň nula rozměrného ideálu, o kterém budeme uvažovat afinně. Předně pomocí primárního rozkladu zredukujeme problém na ideál soustředěný v jednom bodě. Toho dosáhneme pomocí následujícího lemmatu.
Lemma 5.13. Nechi I = I\ n I2, přičemž d = á\mV{Ii) = dim V(Í2) > diml/(/i) n V{I2) (nebo V{I\) n V{I2) =9). Potom platí deg / = deg I\ + deg I2.
Důkaz. Využijeme exaktní posloupnosti
o   s/(h n i2) -+ s/h © s/h -+ s/{h + h) -+ o.
Podle ní platí
hhnh(.k) = hh{k) + hh(k) - hh+h(k)
= ( deg h ■ kd/d\ + lot) + ( deg I2 ■ kd/d\ + lot) - (lot) = (deg/i + deg/2)-fcd/d!+lot.
□
Je-li tedy / nula rozměrný ideál s primárním rozkladem / = I± D ■ ■ ■ D Ir, pak platí
deg / = deg I\ H-----h deg Ir
a v následujícím postačí spočítat primární ideál odpovídající bodu P G V(I), který označme Ip. Stupeň deg Ip se nazývá lokálním stupněm / v bodě P.
16
Lemma 5.14. Primární ideál Ip odpovídající bodu P G V(I) je roven I + (mp)fc pro k S> 0.
Důkaz. Podle Hilbertovy věty o nulách platí \[Tp = mp a tedy (mp)fc C Ip pro nějaké k S> 0. Potom
/ + (mPf C /p.
Pro druhou inkluzi si uvědomme, že
V{ H     + (mp)fc) = V{ H /;) n F((mp)fc) = 0
a podle Hilbertovy věty o nulách pak f]j Ij + (mp)fc = i?. Je-li / G /p, můžeme tedy psát f = g + h, kde p G flz-^/p a ň, G (mp)fc. Proto také g = f — h£lp + (mp)k = Ip a dohromady p G 7. Proto platí také
ip C/ + (mPf.
□
Poznamenejme, že jakmile 7 + (mp)fc = I + (mp)fc+1, je již tato společná hodnota rovna Ip. Toho lze využít pro výpočet Ip - postupně počítat 1,1 + mp, 7 + (mp)2,... do okamžiku, kdy se posloupnost zastaví. Jelikož i?/(mp)fc lze kanonicky ztotožnit s vektorovým prostorem polynomů stupně menšího než k, lze spočítat kodimenzi
/p/(mp)fc C i?/(mp)fc
většinou relativně snadno. Tato kodimenze je rovna dimenzi kvocientu R/Ip, tedy deg Ip.
Řekneme, že dvě variety I,ľCP™ komplementární dimenze (tj. dimX + dimY = n) se v bodě P G X n Y protínají transverzálně, jestliže TpX + TpY = TpWa.
Tvrzení 5.15. Jestliže se variety X, Y C Pn komplementární dimenze protínají v bodě P transverzálně, pak deg(/(X) + I(Y))p = 1. Pokud průnik není transverzální v P, potom
deg(/(X) + HY))p > n + 1 - dim(TPX + TPY).
Důkaz. Počítejme afinně s P = 0. Potom I{X) obsahuje polynomy tvaru       + hot, kde je nulové na TqX a podobně pro I(Y). Pokud je tedy průnik transverzální, máme
xi + hot,..., xn + hot G I(X) + IiY).
Snadno se lze přesvědčit, že I(X) +I{Y) + (mo)fc obsahuje induktivně všechny monomy stupně k, k — 1,..., 1 a proto
/(X)+/(Y) + (m0)fc = m0
má kodimenzi lvi?.
Není-li průnik transverzální, lze podobně ukázat, že
I(X) + I(Y) + (m0)2 C R
se skládá právě z těch polynomů s nulovým absolutním členem, jejichž lineární část je nulová na TpX + TpY. Kodimenze tohoto ideálu je proto rovna té z tvrzení (jednička odpovídá absolutnímu členu). Kodimenze (I(X) + I(Y))p = I(X) + IiY) + (mo)fc je buď stejná nebo vyšší, proto platí nerovnost z tvrzení. □
17
Poznamenejme, že Bezoutova věta platí mnohem obecněji, než jak jsme ji zde formulovali a dokázali. Zejména, pokud je průnik X D Y transverzální ve všech bodech, platí, že
#(lnľ) = degX-degY
(obecně to myslím nebude platit ani po nahrazení H Y) stupněm deg(/(X) + I(Y)),
ačkoliv pro úplné průniky by to platit mělo).
Tvrzení 5.16. Ideál I C S je primární, právě když množina {(/ : x) \ x £ 1} obsahuje jediný prvoideál P. V tom případě říkáme, že I je P-primární a platí P = \ľl.
Důkaz. Počítejme (/ : x) v případě, že / je primární. Jelikož x ^ /, je součin xy G / pouze, pokud y G \ÍI, tedy vždy I Q (I : x) Q \fl = P. Vžitím radikálů dostáváme yj(I : x) = P a jediný prvoideál mezi (/ : x) tedy může být P. V dalším ukážeme, že nějaký prvek x, pro nějž je (/ : x) prvoideál, existuje. Budeme však postupovat obecněji.
Předpokládejme, že / = I\ n • • • n Ir je minimální rozklad na průnik primárních ideálů. Potom pro libovolný x G (I2 H • • • H Ir) \ I\ platí (I : x) = (I\ : x) a podle předchozího pak y/(I : x) = P\. Díky konečné generovanosti P\ také [P\)k Q (I : x), tedy (Pi)k(x) C /. Zvolme k minimálni s touto vlastností. Potom (Pi)k~1(x) I a nechť y G (Pi)fc_1(x) \ /. Dostáváme P\y G (Pi)k(x) Cla tedy P\ C [I : y). Zároveň však podle předchozího také (I : y) = (I\ y) C Pi & dostáváme tedy rovnost. Platí tedy, že každý z asociovaných prvoideálů se vyskytuje jako (/ : x) pro nějaké x £ I.
Pro úplnost ještě ukážeme, že v obecném případě z předchozího odstavce každý prvoideál tvaru (/ : x) musí být některý z Pj. To je proto, že
p1 n • • • n Pr = x/l C ^(J : x) = yf(h : x) n • • • n V(/r: x) = p| Pj
Je-li tedy (/ : x) prvoideál, pak musí být roven některému z Pj (je roven průniku některých z nich a proto musí být roven jednomu z nich). □
Poznámka. Z předchozího tvrzení lze jednoduše vyvodit, že každý ireducibilní ideál je primární. Předpokládejme, že existují x,y £ I takové, že (/ : x), (I : y) jsou dva různé prvoideály. Pak pro libovolný z G / + (x) \ / je (/ : z) = (I : x) (inkluze "5" je zřejmá a druhá plyne z toho, že z t(wx) G / plyne tw G (/ : x) a tedy i G (/ : x), protože i«x ^ /, tj. w ^ (/ : x)). Stejně tak (I : z) = (I : y) pokud z G / + (y) \ /. Proto (/ + (x)) n (/ + (y)) = I, což je spor s ireducibilitou. Podobný důkaz lze vést v homogenním případě, jakmile se ukáže, že v případě, že (/ : x) je prvoideál, musí být automaticky homogenní a je roven (/ : Xj), kde Xj je nějaká homogenní komponenta x. Důkaz tohoto tvrzení viz Eisenbud.