Algebraická čísla
Definice. Komplexní číslo α se nazývá algebraické, existuje-li
normovaný polynom f (x) ∈ Q[x], jehož je α kořenem. V opačném
případě se α nazývá transcendentní.
Příklad. Všechna racionální čísla jsou algebraická, pro každé a ∈ Q,
n ∈ N je n
√
a kořen polynomu xn − a, a tedy číslo algebraické.
Čísla π = 3, 14159 . . . , e = 2, 71828 . . . jsou transcendentní
(to není vidět na první pohled, naopak je to věta, kterou je docela
těžké dokázat).
Definice. Nechť α je algebraické číslo, pak ze všech normovaných
polynomů s racionálními koeficienty, jejichž je α kořenem, vyberme
polynom f (x) ∈ Q[x] co nejmenšího stupně. Tento polynom
nazýváme minimální polynom čísla α.
Poznámka. Minimální polynom algebraického čísla α je určen
jednoznačně (pokud jsou g1(x) a g2(x) dva různé normované
polynomy stejného stupně mající kořen α, pak je α kořenem i
nenulového rozdílu g1(x) − g2(x) majícího menší stupeň, který je
možné vydělením vedoucím koeficientem normovat).
Vlastnosti minimálního polynomu
Věta 1. Nechť f (x) je minimální polynom algebraického čísla α.
Pak f (x) je ireducibilní nad Q a pro libovolný polynom
h(x) ∈ Q[x] platí h(α) = 0, právě když f (x) | h(x) v Q[x].
Důkaz. Sporem: je-li f (x) = g1(x) · g2(x) rozklad f (x) na součin
nekonstantních polynomů s racionálními koeficienty, pak g1(α) = 0
nebo g2(α) = 0. Po vydělení vedoucím koeficientem dostaneme
normovaný polynom s racionálními koeficienty s kořenem α
menšího stupně než je stupeň f (x), spor.
Vydělme polynom h(x) polynomem f (x) se zbytkem:
h(x) = q(x)f (x) + r(x) pro q(x), r(x) ∈ Q[x], st r(x) < st f (x).
Dosazením α za x dostaneme h(α) = r(α). Je-li r(x) nulový
polynom, pak f (x) | h(x) v Q[x] a současně α je kořenem h(x).
Jestliže r(x) není nulový polynom, pak by r(α) = 0 vedlo ke sporu
(vydělením vedoucím koeficientem bychom dostali normovaný
polynom s racionálními koeficienty s kořenem α menšího stupně
než je stupeň f (x)), a tedy h(α) = r(α) = 0 a f (x) h(x) v Q[x].
Celá algebraická čísla
Definice. Algebraické číslo α se nazývá celé algebraické, má-li jeho
minimální polynom f (x) celočíselné koeficienty.
Příklad. Libovolné a ∈ Q má minimální polynom x − a, a tedy
racionální čísla jsou celá algebraická, právě když jsou celá. Číslo
3
√
2 je celé algebraické (jeho minimální polynom je x3 − 2), číslo
2
3 není celé algebraické (jeho minimální polynom je x2 − 2
3).
Definice. Nenulový polynom f (x) ∈ Z[x] se nazývá primitivní, je-li
největší společný dělitel jeho koeficientů roven 1.
Lemma (Gaussovo). Součin libovolných dvou primitivních
polynomů je primitivní polynom.
Důkaz. Sporem: předpokládejme, že každý koeficient součinu
primitivních polynomů f (x), g(x) je dělitelný nějakým prvočíslem p.
Máme homomorfismus okruhů ψ : Z[x] → Zp[x] (každý koeficient
je nahrazen zbytkovou třídou). Z primitivnosti ψ(f (x)) = 0,
ψ(g(x)) = 0. Přitom ψ(f (x)) · ψ(g(x)) = ψ(f (x) · g(x)) = 0.
Ovšem Zp[x] je obor integrity, spor.
Celá algebraická čísla
Věta 2. Algebraické číslo α je celé algebraické, právě když existuje
normovaný polynom h(x) ∈ Z[x], jehož je α kořenem.
Důkaz. Je-li α celé algebraické, je tímto polynomem jeho minimální
polynom.
Naopak, předpokládejme, že existuje normovaný polynom
h(x) ∈ Z[x], h(α) = 0. Označme f (x) minimální polynom čísla α.
Z věty 1 víme, že existuje g(x) ∈ Q[x] tak, že h(x) = f (x) · g(x).
Protože f (x), g(x) jsou normované, existují přirozená čísla n, m
tak, že nf (x), mg(x) jsou primitivní (n, m jsou nejmenší společné
násobky jmenovatelů koeficientů polynomů f (x), g(x)). Podle
Gaussova lemmatu je mn · h(x) = (nf (x)) · (mg(x)) také
primitivní. Protože polynom h(x) ∈ Z[x], znamená to, že mn = 1,
tedy n = 1, odkud f (x) ∈ Z[x], a tedy α je celé algebraické.
Celá algebraická čísla
Věta 3. Nechť ω1, . . . , ωn ∈ C. Nechť M je aditivní grupa,
generovaná ω1, . . . , ωn, tj.
M = {a1ω1 + · · · + anωn; a1, . . . , an ∈ Z}.
Jestliže pro každé α, β ∈ M platí α · β ∈ M, pak je libovolný prvek
M celé algebraické číslo.
Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že
ω1 . . . ωn = 0. Buď α ∈ M libovolné. Protože pro každé
i = 1, . . . , n platí αωi ∈ M, existují celá čísla aij splňující
αωi =
n
j=1
aij ωj
pro každé i = 1, . . . , n. Odtud plyne, že det(αE − (aij )) = 0, kde E
je jednotková matice řádu n. Proto je α kořenem normovaného
polynomu f (x) = det(xE − (aij )) ∈ Z[x].
Celá algebraická čísla
Věta 4. Označme A množinu všech celých algebraických čísel. Pak
A je obor integrity.
Důkaz. Abychom ověřili, že A je obor integrity, stačí ukázat, že je
podokruhem tělesa C. Víme, že Z ⊆ A. Musíme tedy dokázat, že
pro libovolná α, β ∈ A jsou α + β, α − β i αβ celá algebraická
čísla. Protože α a β jsou celá algebraická čísla, existují polynomy
s celými koeficienty f (x) = xn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
g(x) = xm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + b0 tak, že f (α) = 0 a
g(β) = 0. Pak ovšem platí
αn
= −an−1αn−1
−· · ·−a1α−a0, βm
= −bm−1βm−1
−· · ·−b1β−b0,
a tedy podgrupa M aditivní grupy tělesa K generovaná součiny
αi
βj
, kde 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m, (1)
je uzavřená na násobení, neboť libovolný součin αuβv pro u ≥ 0,
v ≥ 0 je možné vyjádřit jako Z-lineární kombinaci prvků (1). Podle
věty 3 jsou α + β, α − β, αβ ∈ M celá algebraická čísla.
Těleso algebraických čísel
Definice. Jsou-li K, L tělesa a je-li K podokruhem L, řekneme, že
L je rozšířením tělesa K. Pak je L vektorový prostor nad K (sčítání
vektorů i násobení vektorů skaláry je určeno operacemi +, · v L).
Je-li navíc L konečněrozměrný vektorový prostor nad K, hovoříme
o konečném rozšíření, jeho dimenzi značíme [L : K] a nazýváme
stupněm rozšíření.
Poznámka. Je-li K podtěleso tělesa C, pak K obsahuje Q, a tedy
je rozšířením tělesa Q. Je-li toto rozšíření konečné, říkáme, že K je
těleso algebraických čísel stupně [K : Q].
Věta 5. Nechť K je těleso algebraických čísel, pak každé α ∈ K je
algebraické.
Důkaz. Označme n = [K : Q]. Pak αn, αn−1, . . . , α, 1 je n + 1
vektorů v n-rozměrném vektorovém prostoru nad Q, proto jsou
lineárně závislé, tj. existují an, an−1, . . . a1, a0 ∈ Q, ne všechna
nulová, tak, že anαn + an−1αn−1 + · · · + a1α + a0 = 0, tedy α je
kořen nenulového polynomu s racionálními koeficienty
f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0.
Okruh R celých algebraických čísel v tělese K
Věta 6. Nechť K je těleso algebraických čísel, pak množina R
všech celých algebraických čísel z tělesa K tvoří obor integrity,
jehož podílovým tělesem je K.
Důkaz. Stejně jako ve větě 4 označme A množinu všech celých
algebraických čísel. Platí R = K ∩ A, přičemž A i K jsou podokruhy
tělesa C. Proto i R je podokruh tělesa C, tedy obor integrity.
Zbývá dokázat, že K je podílové těleso okruhu R. Nechť β ∈ K je
libovolné. Podle věty 5 existuje normovaný polynom
f (x) = xk + ak−1xk−1 + · · · + a1x + a0 ∈ Q[x] tak, že f (β) = 0.
Nechť n je nejmenší společný násobek jmenovatelů koeficientů
polynomu f (x). Pak polynom
g(x) = xk + nak−1xk−1 + · · · + nk−1a1x + nka0 ∈ Z[x] má kořen
α = nβ, neboť g(α) = g(nβ) = nk · f (β) = 0. Je tedy α ∈ R,
rovněž n ∈ R. Je tedy β = α
n podílem dvou čísel z R. Dokázali
jsme, že K je podílové těleso okruhu R.
Opakování z algebry: dělitelnost v oborech integrity
Nechť R je obor integrity, a, b ∈ R.
Definice. Řekneme, že a dělí b v R, píšeme a|b, jestliže existuje
c ∈ R tak, že b = a · c.
Definice. Řekneme, že a a b jsou asociované v R, píšeme a ∼ b,
jestliže a|b a současně b|a.
Poznámka. Platí, že a ∼ b, právě když existuje jednotka c ∈ R×
tak, že b = a · c.
Definice. Prvek a se nazývá ireducibilní prvek v R, jestliže a = 0,
a /∈ R×, a kdykoli a = c · d pro c, d ∈ R, pak c ∈ R× nebo
d ∈ R×.
Příklad. V Z jsou ireducibilními prvky právě prvočísla a čísla k nim
opačná. Je-li K těleso, ireducibilními prvky v K[x] jsou ireducibilní
polynomy (například pro K = C jsou to právě lineární polynomy,
pro K = R jsou to lineární polynomy a kvadratické polynomy se
záporným diskriminantem).
Opakování z algebry: okruh s jednoznačným rozkladem
Definice. Říkáme, že okruh R je okruh s jednoznačným rozkladem,
jestliže
R je obor integrity;
každý a ∈ R, a = 0, a /∈ R×, je možné napsat jako součin
ireducibilních prvků, a to jednoznačně až na pořadí činitelů a
jejich asociovanost.
Poznámka. Jednoznačností až na pořadí činitelů a jejich
asociovanost znamená toto: jsou-li a = p1 · · · pn a a = q1 · · · qm
rozklady prvku a na součiny ireducibilních prvků v R, pak n = m a
případnou změnou pořadí činitelů v součinech lze docílit toho, že
platí p1 ∼ q1, . . . pn ∼ qn.
Příklad. Okruhem s jednoznačným rozkladem je například Z nebo
K[x], kde K je libovolné těleso.
Příklad: K = Q(i
√
15) = {a + bi
√
15; a, b ∈ Q}
Snadno se ukáže, že K je těleso algebraických čísel a že
[K : Q] = 2. Označme R okruh všech celých algebraických čísel
v K. Je-li a, b ∈ Z, pak α = a + b1+i
√
15
2 je kořenem polynomu
(x−a−b1+i
√
15
2 )(x−a−b1−i
√
15
2 ) = x2
−(2a+b)x+(a2
+ab+4b2
),
a tedy α ∈ R.
Předpokládejme naopak, že pro nějaké a, b ∈ Q platí
α = a + b1+i
√
15
2 ∈ R a dokažme, že a, b ∈ Z. Je-li b = 0, je
α = a ∈ Q, jeho minimální polynom je x − a, a tedy a ∈ Z. Nechť
dále b = 0, tj. α /∈ Q. Pak je minimálním polynomem čísla α
polynom f (x) = x2 − (2a + b)x + (a2 + ab + 4b2), tedy
c = 2a + b ∈ Z, d = a2 + ab + 4b2 ∈ Z. Proto
−15b2 = c2 − 4d ∈ Z, tj. b ∈ Z. Pak ovšem 2a = c − b ∈ Z, a
tedy 2a2 = 2d − (2a)b − 8b2 ∈ Z, odkud a ∈ Z. Dokázali jsme, že
a, b ∈ Z, tj.
R = {a + b1+i
√
15
2 ; a, b ∈ Z}.
Aritmetika okruhu R = {a + b1+i
√
15
2 ; a, b ∈ Z}
Definujme zobrazení (tzv. normu) N : R → Z předpisem
N(α) = α · α = |α|2 pro libovolné α ∈ R. Pro a, b ∈ Z tedy
N(a + b1+i
√
15
2 ) = a2 + ab + 4b2. Pak platí, že
N(αβ) = |αβ|2 = |α|2 · |β|2 = N(α) · N(β) pro každé α, β ∈ R.
Ukažme, že grupa R× všech jednotek okruhu R je rovna
R× = {α ∈ R; N(α) = ±1}. Skutečně, je-li α ∈ R×, existuje
β ∈ R tak, že αβ = 1, odkud plyne 1 = N(αβ) = N(α)N(β), a
tedy N(α) = ±1. Naopak, je-li N(α) = ±1, pak α · (±α) = 1, a
tedy α ∈ R×. Protože a2 + ab + 4b2 = 1
4(2a + b)2 + 15
4 b2, platí
pro a, b ∈ Z, že N(a + b1+i
√
15
2 ) = ±1, právě když
(2a + b)2 + 15b2 = ±4, což nastává právě když b = 0 a a = ±1.
Je tedy R× = {1, −1}. Rozložme 4 = 2 · 2 = 1+i
√
15
2 · 1−i
√
15
2 na
součin ireducibilních prvků. Kdyby totiž některý z těchto činitelů
nebyl ireducibilní, z N(2) = N(1+i
√
15
2 ) = N(1−i
√
15
2 ) = 4 by
plynula existence α ∈ R tak, že N(α) = ±2, tedy existence
a, b ∈ Z tak, že (2a + b)2 + 15b2 = ±8. Tato rovnice však nemá
řešení v Z. Proto R není okruh s jednoznačným rozkladem.
Další příklad: K = Q(
√
10) = {a + b
√
10; a, b ∈ Q}
Opět je snadné ukázat, že K je těleso algebraických čísel a že
[K : Q] = 2. Označme R okruh všech celých algebraických čísel
v K. Je-li a, b ∈ Z, pak α = a + b
√
10 je kořenem polynomu
(x − a − b
√
10)(x − a + b
√
10) = x2
− 2ax + (a2
− 10b2
),
a tedy a + b
√
10 ∈ R. Předpokládejme naopak, že pro nějaké
a, b ∈ Q platí α = a + b
√
10 ∈ R a dokažme, že a, b ∈ Z.
Je-li b = 0, je α = a ∈ Q, jeho minimální polynom je x − a, a tedy
a ∈ Z. Nechť dále b = 0, tj. α /∈ Q. Pak je minimálním
polynomem čísla α polynom f (x) = x2 − 2ax + (a2 − 10b2), tedy
c = 2a ∈ Z, a2 − 10b2 ∈ Z. Proto 40b2 = c2 − 4(a2 − 10b2) ∈ Z,
odkud d = 2b ∈ Z. Pak ovšem 4 | 4(a2 − 10b2) = c2 − 10d2 a
tedy c2 je sudé číslo. Je tedy sudé i samo c a proto je sudé i d2 a
tedy i d. Dokázali jsme, že a, b ∈ Z, tj.
R = {a + b
√
10; a, b ∈ Z}.
Aritmetika okruhu R = {a + b
√
10; a, b ∈ Z}
Definujme normu N : R → Z, pro libovolné a, b ∈ Z položme
N(a + b
√
10) = (a + b
√
10) · (a − b
√
10) = a2 − 10b2. Opět platí
N(αβ) = N(α) · N(β) pro každé α, β ∈ R. Odtud plyne, že grupa
všech jednotek okruhu R je R× = {α ∈ R; N(α) = ±1}.
Zřejmě 3 +
√
10 ∈ R×. Odtud R× ⊇ {±(3 +
√
10)n; n ∈ Z}.
Dokažme, že platí rovnost: budeme předpokládat existenci nějaké
jednotky η ∈ R×, pro kterou ±η není mocninou 3 +
√
10 a
dojdeme ke sporu. Můžeme předpokládat, že η > 0 (jinak
vezmeme −η), dokonce že η > 1 (jinak vezmeme 1
η ). Navíc
můžeme předpokládat η < 3 +
√
10 (jinak vydělíme η největší
mocninou čísla 3 +
√
10 menší než η). Je tedy η = a + b
√
10 pro
nějaké a, b ∈ Z a platí 1 < a + b
√
10 < 3 +
√
10,
N(a + b
√
10) = (a + b
√
10)(a − b
√
10) = ±1. Tudíž
a − b
√
10 = ±1
η , a proto −1 < a − b
√
10 < 1. Sečtením odtud
plyne 0 < 2a < 4 +
√
10, což vzhledem k tomu, že a je celé číslo,
znamená a ∈ {1, 2, 3}. Protože b je rovněž celé číslo a platí
b2 = 1
10(a2 1), dostali jsme, že η = 1 nebo η = 3 ±
√
10, spor.
Aritmetika okruhu R = {a + b
√
10; a, b ∈ Z}
Rozložme
9 = 3 · 3 = (1 +
√
10)(−1 +
√
10).
Přitom N(3) = 9 a N(1 +
√
10) = N(−1 +
√
10) = −9.
Dokážeme-li, že v R neexistují čísla s normou ±3, budeme vědět,
že všechna čtyři čísla uvedená v rozkladu čísla 9 jsou ireducibilní,
tj. není možné je zapsat ve tvaru součinu dvou čísel z R, které
nejsou jednotkami. To je ale snadné: z a2 − 10b2 = ±3 plyne
a2 ≡ ±3 (mod 5), spor.
Zbývá vysvětlit, že činitelé nejsou asociovaní: kdyby platilo
3 ∼ 1 +
√
10 v R, bylo by 1
3 + 1
3
√
10 ∈ R, spor.
Proto R není okruh s jednoznačným rozkladem.
Opakování z algebry: ideály v komutativních okruzích
Nechť R je komutativní okruh (jako vždy s jedničkou).
Definice. Řekneme, že I ⊆ R je ideál okruhu R, jestliže I = ∅, pro
každé a, b ∈ I a každé r ∈ R platí a + b ∈ I, r · a ∈ R.
Příklad. Pro libovolné a ∈ R je aR = {r · a; r ∈ R} ideál okruhu R.
Ideál {0} se nazývá nulový.
Definice. Ideály aR pro a ∈ R se nazývají hlavní.
Poznámka. Je-li R obor integrity, pak pro a, b ∈ R platí aR = bR,
právě když a ∼ b, tj. právě když existuje jednotka c ∈ R× tak, že
b = a · c.
Definice. Jsou-li I, J ideály okruhu R, definujeme
I + J = {a + b; a ∈ I, b ∈ J} jejich součet a
I · J = { n
i=1 ai bi ; n ∈ N, a1, . . . , an ∈ I, b1, . . . , bn ∈ J} jejich
součin.
Příklad. Pro libovolné a, b ∈ R platí aR · bR = (a · b)R. Pozor, nic
podobného pro sčítání hlavních ideálů neplatí!
Opakování z algebry: ideály v komutativních okruzích
Stále R je komutativní okruh.
Poznámka. Součet a součin libovolných ideálů okruhu R je ideálem
okruhu R. Součet I + J je nejmenší ze všech ideálů obsahujících
I ∪ J. Operace + a · jsou asociativní a komutativní, pro libovolné
ideály I1, I2, J platí (I1 + I2) · J = I1 · J + I2 · J.
Definice. Ideál I okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže I = R a pro
každé a, b ∈ R z ab ∈ I plyne a ∈ I nebo b ∈ I.
Příklad. Nulový ideál {0} je prvoideál, právě když R je obor
integrity.
Definice. Ideál I okruhu R se nazývá maximální ideál, jestliže
I = R a neexistuje žádný ideál J okruhu R splňující I J R.
Příklad. V okruhu Z jsou všechny ideály hlavní, maximální ideály
jsou právě ideály pZ, kde p je prvočíslo. Prvoideály okruhu Z jsou
právě tyto maximální ideály a také nulový ideál.
Opakování z algebry: faktorokruh komutativního okruhu
Věta 7. Nechť R je komutativní okruh, I jeho ideál. Pro libovolné
a ∈ R označme a + I = {a + j; j ∈ I}. Pak R/I = {a + I; a ∈ R}
tvoří rozklad na množině R, na kterém lze definovat operace + a ·
„pomocí reprezentantů , tj. předpisem
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
(a + I) · (b + I) = (a · b) + I.
Pak R/I s těmito operacemi tvoří komutativní okruh (tzv.
faktorokruh okruhu R podle ideálu I).
Věta 8. Nechť R je komutativní okruh, I jeho ideál. Pak I je
prvoideál okruhu R, právě když R/I je obor integrity. Podobně I je
maximální ideál okruhu R, právě když R/I je těleso.
Důkazy obou vět lze najít ve skriptech J. Rosický: Algebra.
Důsledek. Každý maximální ideál okruhu R je prvoideálem okruhu R.
Aritmetika okruhů R celých algebraických čísel
Nechť K je těleso algebraických čísel (tj. K ⊆ C, [K : Q] < ∞),
nechť R je okruh celých algebraických čísel v tělese K.
Poznámka. Je-li K = Q, pak R = Z je okruh s jednoznačným
rozkladem. Viděli jsme však, že pro K = Q(
√
10) dostaneme
R = {a + b
√
10; a, b ∈ Z} a pro K = Q(i
√
15) máme
R = {a + b1+i
√
15
2 ; a, b ∈ Z}, což nejsou okruhy s jednoznačným
rozkladem. Kummer v polovině 19. století objevil způsob, jak
jednoznačné rozkládání v okruzích celých algebraických čísel
zachránit: platí zde následující věta o jednoznačném rozkladu
ideálů (takto Kummerovy výsledky přeformulovat Dedekind).
Věta 9. Nechť R je okruh celých algebraických čísel v nějakém
tělese algebraických čísel K. Nechť I je ideál R, I = R, I = {0}.
Pak existuje jednoznačně určené n ∈ N a jednoznačně (až na
pořadí) určené prvoideály P1, . . . , Pn takové, že platí
I = P1 . . . Pn.
Důkaz je mimo možnosti této přednášky.
Aritmetika okruhů R celých algebraických čísel
Věta 10. Nechť R je okruh celých algebraických čísel v nějakém
tělese algebraických čísel K. Je-li každý ideál okruhu R hlavní, pak
R je okruh s jednoznačným rozkladem.
Náznak důkazu. Protože je každý ideál okruhu R hlavní, pro každý
ideál A existuje prvek a ∈ R tak, že A = aR. Přitom je prvek a
určen ideálem A jednoznačně až na asociovanost a platí, že A je
prvoideál, právě když a je ireducibilní.
Nechť a ∈ R, a = 0, a /∈ R×. Pak existence a jednoznačnost
rozkladu prvku a na součin ireducibilních prvků plyne z existence a
jednoznačnosti rozkladu ideálu aR na součin prvoideálů.
Poznámka. Míru toho, nakolik se okruh celých algebraických čísel
R nějakého tělesa algebraických čísel K liší od okruhu
s jednoznačným rozkladem, nám vlastně udává to, kolik ze všech
ideálů okruhu R je hlavních. Ovšem všech ideálů je spočetně
mnoho, hlavních ideálů je také spočetně mnoho, proto slovu
„kolik v předchozí větě je nutno rozumět správně.
Grupa tříd ideálů okruhu R celých algebraických čísel
Nechť K je těleso algebraických čísel (tj. K ⊆ C, [K : Q] < ∞),
nechť R je okruh celých algebraických čísel v tělese K. Uvažme
pologrupu (I, ·) všech nenulových ideálů okruhu R a jeho
podpologrupu všech nenulových hlavních ideálů. Můžeme uvážit
faktorizaci této pologrupy podle zmíněné podpologrupy, což
odpovídá následující ekvivalenci mezi ideály: položíme I ≈ J, právě
když existují nenulová a, b ∈ R splňující aR · I = bR · J. Pro
libovolný nenulový ideál I označme [I] = {J ∈ I; J ≈ I} třídu
všech ideálů ekvivalentních s I.
Nechť I/≈ = {[I]; I ∈ I} je rozklad příslušný této ekvivalenci.
Na I/≈ lze zavést operaci pomocí reprezentantů: [I] · [J] = [I · J].
Věta 11. (I/≈, ·) je konečná komutativní grupa.
Důkaz je mimo možnosti této přednášky.
Definice. Grupa z věty 11 se nazývá grupa tříd ideálů okruhu R
(nebo také tělesa K) a je jednou z nejdůležitějších charakteristik
aritmetiky v okruhu R. Počet jejích prvků se nazývá počet tříd
ideálů okruhu R (též tělesa K).
Příklad: R = {a + b1+i
√
15
2 ; a, b ∈ Z}
Zjistili jsme, že 4 = 2 · 2 = 1+i
√
15
2 · 1−i
√
15
2 jsou podstatně různé
rozklady na součin ireducibilních prvků v R. Podívejme se, jak
situace vypadá, rozkládáme-li na prvoideály.
Označme ideály I = 2R + 1+i
√
15
2 R, J = 2R + 1−i
√
15
2 R. Zřejmě
R/I ∼= Z2
∼= R/J, tedy I a J jsou prvoideály okruhu R.
Pak platí I · J = 4R + (1 + i
√
15)R + (1 − i
√
15)R ⊆ 2R, protože
4 = 2 · 2, 1 + i
√
15 = 2 · 1+i
√
15
2 , 1 − i
√
15 = 2 · 1−i
√
15
2 .
Na druhou stranu je 2R ⊆ I · J, protože
2 = (1 + i
√
15) + (1 − i
√
15), dohromady I · J = 2R.
Podobně I2 = 4R + (1 + i
√
15)R + (1+i
√
15
2 )2R =
4R + (1 + i
√
15)R + (−7+i
√
15
2 )R ⊆ 1+i
√
15
2 R, neboť
4 = 1+i
√
15
2 · 1−i
√
15
2 . Na druhou stranu je 1+i
√
15
2 = 4 + −7+i
√
15
2 ,
dohromady I2 = 1+i
√
15
2 R. Podobně J2 = 1−i
√
15
2 R.
Oba podstatně různé rozklady čísla 4 na součin ireducibilních prvků
dávají stejný rozklad ideálu 4R na součin prvoideálů:
4R = (I · J)2 = I2 · J2.
Příklad: R = {a + b
√
10; a, b ∈ Z}
Zjistili jsme, že 9 = 3 · 3 = (1 +
√
10)(−1 +
√
10) jsou podstatně
různé rozklady na součin ireducibilních prvků v R. Ukažme si opět,
že dostaneme stejné rozklady, rozkládáme-li na prvoideály.
Označme ideály I = 3R + (1 +
√
10)R, J = 3R + (1 −
√
10)R.
Zřejmě R/I ∼= Z3
∼= R/J, tedy I a J jsou prvoideály okruhu R.
Platí I · J = 3R, I2 = (1 +
√
10)R, J2 = (1 −
√
10)R. Dostáváme
stejný rozklad ideálu 9R na součin prvoideálů:
9R = (I · J)2 = I2 · J2.
Platí (1 +
√
10)R · J = I2 · J = (I · J) · I = 3R · I, a tedy I ≈ J.
V tomto příkladě je možné ukázat, že ideály I a J nejsou hlavní,
dokonce platí, že libovolné dva nehlavní ideály jsou ekvivalentní.
Proto grupa tříd ideálů okruhu R = {a + b
√
10; a, b ∈ Z} má
právě dva prvky: třídu všech hlavních ideálů a třídu všech
nehlavních ideálů.
I pro druhý námi studovaný příklad R = {a + b1+i
√
15
2 ; a, b ∈ Z}
platí, že grupa tříd ideálů má právě dva prvky.
Shrnutí obou předchozích příkladů
Pro K = Q(i
√
15) = {a + bi
√
15; a, b ∈ Q} máme
R = {a + b1+i
√
15
2 ; a, b ∈ Z} a platí R× = {1, −1}. Normou čísla
α ∈ R je N(α) = α · α = |α|2, obecněji pro libovolné a, b ∈ Q
definujeme
N(a + bi
√
15) = (a + bi
√
15) · (a − bi
√
15) = a2 + 15b2.
Všimněme si, že zobrazení a + bi
√
15 → a − bi
√
15 pro každé
a, b ∈ Q dává vnoření K → C.
Pro K = Q(
√
10) = {a + b
√
10; a, b ∈ Q} máme
R = {a + b
√
10; a, b ∈ Z} a platí R× = {±(3 +
√
10)n; n ∈ Z}.
Normou čísla a + b
√
10, kde a, b ∈ Q , je
N(a + b
√
10) = (a + b
√
10) · (a − b
√
10) = a2 − 10b2.
Všimněme si, že opět zobrazení a + b
√
10 → a − b
√
10 pro každé
a, b ∈ Q dává vnoření K → C.
V obou případech platí R× = {α ∈ R; N(α) = ±1}.
Zobecnění předchozích příkladů
Nechť K je těleso algebraických čísel, nechť R je okruh celých
algebraických čísel v tělese K. Je tedy K ⊆ C, n = [K : Q] ∈ N.
Platí, že existuje právě n různých vnoření K → C (včetně
identického vnoření α → α). Označme je σ1, . . . , σn.
Normu pak definujeme pomocí těchto vnoření: normou libovolného
α ∈ K je číslo N(α) = n
i=1 σi (α).
Pak pro každé α, β ∈ K platí N(αβ) = N(α) · N(β), pro α ∈ R je
N(α) ∈ Z a platí R× = {α ∈ R; N(α) = ±1}.
Složíme-li σi : K → C s komplexní konjugovaností C → C,
dostaneme opět některé z vnoření K → C. Pokud σi (K) ⊆ R, pak
je tímto vnořením opět σi . V opačném případě dostaneme nějaké
σj , j = i, přičemž složením σj s komplexní konjugovaností
dostaneme opět σi . Vnoření σi : K → C s vlastností σi (K) ⊆ R
nazýváme reálná. Vnoření, která nejsou reálná, se vyskytují ve
dvojicích; označme t počet těchto dvojic a s počet reálných
vnoření. Platí tedy s + 2t = n.
Dirichletova věta o jednotkách
Nechť K je těleso algebraických čísel, nechť R je okruh celých
algebraických čísel v tělese K. Víme, že n = [K : Q] = s + 2t, kde
s je počet reálných vnoření K → R a t počet dvojic nereálných
vnoření K → C.
Označme W = {α ∈ R; ∃m ∈ N : αm = 1} podgrupu všech
odmocnin z jedné ležících v K (v případě s > 0 je nutně
W = {1, −1}). Vždy platí, že W je konečná cyklická grupa.
Následující Dirichletova věta o jednotkách říká, že platí
R×/W ∼= Zs+t−1.
Věta 12. Existují jednotky ε1, . . . , εs+t−1 tak, že každou jednotku
η ∈ R× můžeme vyjádřit jediným způsobem ve tvaru
η = ρ
s+t−1
i=1
εci
i ,
kde ρ ∈ W a c1, . . . , cs+t−1 ∈ Z.
Důkaz je mimo možnosti této přednášky.
Zpět k našim příkladům
Věta 12. Existují jednotky ε1, . . . , εs+t−1 tak, že každou jednotku
η ∈ R× můžeme vyjádřit jediným způsobem ve tvaru
η = ρ
s+t−1
i=1
εci
i ,
kde ρ ∈ W a c1, . . . , cs+t−1 ∈ Z.
Příklad. Pro K = Q(i
√
15) je s = 0, t = 1, tedy s + t − 1 = 0 a
R× = W je konečná, přičemž W = {1, −1}.
Příklad. Pro K = Q(
√
10) je s = 2, t = 0, tedy s + t − 1 = 1.
Dokázali jsme, že Dirichletova věta v tomto případě platí pro
ε1 = 3 +
√
10, přičemž opět W = {1, −1}.
Nový příklad. Pro K = Q(i) je R = Z[i] = {a + bi; a, b ∈ Z}, platí
s = 0, t = 1, tedy s + t − 1 = 0 a R× = W je konečná, přičemž
W = {1, i, −1, −i}. V tomto případě je každý ideál okruhu R
hlavní, tedy grupa tříd ideálů okruhu R je triviální a R je okruh
s jednoznačným rozkladem.