Provedení jednofaktorové analýzy rozptylu pomocí modulu ANOVA
Popis problému: V roce 1997 dostalo ministerstvo školství za úkol připravit nové podklady pro testování
dětí při zařazování do zvláštních škol. V první fázi došlo ke standardizaci testu WISC- III, což je celosvětově
nejužívanější test inteligence pro děti. Má 13 subtestů:
Doplňování obrázků
Vědomosti
Kódování
Podobnosti
Řazení obrázků
Počty
Kostky
Slovník
Skládanky
Porozumění
Hledání symbolů
Opakování čísel
Bludiště
Počet správných odpovědí v každém subtestu (tj. hrubé skóre) se podle tabulek norem převede na vážené
skóre. Ze součtu vážených skóre se v převodních tabulkách odečte vážené skóre IQ.
Zjišťuje se verbální IQ, performační IQ, celkové IQ a čtyři faktorově založené indexové skóry: slovní
porozumění (IQ_F1), percepční uspořádání (IQ_F2), koncentrovanost (IQ_F3) a rychlost zpracování
(IQ_F4).
Celkové IQ má průměr 100, směrodatnou odchylku 15 a řídí se normálním rozložením.
Samotné testování souboru 1455 dětí ve věku 6 – 16 let proběhlo v březnu a dubnu r. 2000 na základních
školách ve 35 okresech a provedlo ho 130 pracovníků okresních pedagogicko – psychologických poraden.
BO
KI
FM
SUPS
KV
BV
UH
BK
TR
CB
NA
CLUL
PM
RA
SO
CK
PI
ST
TC
ZLBM
OP
OCPB
PZ
HB
KH
BN
AB PU
RK
TU
MB
Charakteristiky výběrového souboru – pohlaví a národnost
Pohlaví Národnost
CH D CZ ROMVěk N
n % n % n % n %
6 132 63 47,7 69 52,3 125 94,7 7 5,3
7 132 68 51,5 64 48,5 125 94,7 7 5,3
8 129 62 48,1 67 51,9 122 94,6 7 5,4
9 135 68 50,4 67 49,6 126 93,3 9 6,7
10 131 67 51,1 64 48,9 122 93,1 9 6,9
11 128 64 50,0 64 50,0 119 93,0 9 7,0
12 137 71 51,8 66 48,2 130 94,9 7 5,1
13 135 70 51,9 65 48,1 126 93,3 9 6,7
14 146 73 50 73 50 137 93,8 9 6,2
15 125 62 49,6 63 50,4 116 92,8 9 7,2
16 125 63 50,4 62 49,6 118 94,4 7 5,6
SUM 1455 731 50,2 724 49,8 1366 93,9 89 6,1
Legenda: CH … chlapci, D … dívky
CZ … děti a dospívající z většinové populace,
ROM … děti a dospívající, příslušníci romské komunity
Charakteristiky výběrového souboru – sídlo a typ školy
Sídlo Typ školy
M > 8 tis, V < 8 tis, MŠ ZŠ ZvŠ SŠ UČVěk N
n % n % procento četnosti
6 132 77 58,2 55 41,8 18,3 80,2 1,5
7 132 73 55,6 59 44,4 96,9 3,1
8 129 83 64,2 46 35,8 97,7 2,3
9 135 73 53,8 62 46,2 97,0 3,0
10 131 72 60,0 79 40,0 97,0 3,0
11 128 65 54,2 69 45,8 90,6 2,4 7,0
12 137 92 66,9 45 33,1 92,7 2,9 4,4
13 135 71 52,9 64 47,1 85,6 3,0 11,3
14 146 88 60,2 58 39,8 93,0 2,8 4,2
15 125 71 56,9 54 43,1 71,0 3,2 25,8
16 125 98 78,6 27 21,4 8,9 2,4 52,8 35,8
SUM 1455 874 60,1 581 39,9 1,7 83,2 2,7 9,4 3,0
Legenda:
M>8tis - probandi ze sídel větších než 8.000 obyvatel
V<8tis - probandi ze sídel menších než 8.000 obyvatel
MŠ - děti navštěvující mateřskou školu, ZŠ - základní školu, ZvŠ - zvláštní školu
SŠ - studenti gymnázií a středních odborných škol
UČ - studenti integrovaných střeních škol, středních odborných učilišť a odborných učilišť
Kolísání intelektové výkonnosti v průběhu pracovního týdne
Stejně jako jiné fyziologické a psychologické charakteristiky vykazuje intelektová výkonnost kolísání v čase.
Zde se zaměříme na kolísání v průběhu pracovního týdne. Údaj o tom, ve kterém dnu týdne bylo vyšetření
provedeno, byl zaznamenán u 1431 dětí. Data, kterými se budeme zabývat, jsou uložena v souboru
kolisani_IQ_v_tydnu.sta. Nejprve zjistíme průměry IQ_celk v jednotlivých dnech týdne:
Statistika – ANOVA – Jednofaktorová ANOVA – OK – Proměnné – Seznam závislých proměnných
IQ_celk, Kategor. Nezávislá proměnná DEN – OK – Záložka Průměry – Pozorované, nevážené.
DEN; Nevážené průměry (kolisani_IQ_v_tydnu.sta)
Současný efekt: F(4, 1426)=2,6518, p=,03177
Dekompozice efektivní hypotézy
Č. buňky
DEN IQ_CELK
Průměr
IQ_CELK
Sm.Ch.
IQ_CELK
-95,00%
IQ_CELK
+95,00%
N
1
2
3
4
5
pondělí 101,6149 0,846460 99,95445 103,2753 309
úterý 100,6908 0,853392 99,01675 102,3648 304
středa 99,0114 0,915764 97,21497 100,8078 264
čtvrtek 100,3495 0,820328 98,74036 101,9587 329
pátek 97,7867 0,991960 95,84081 99,7325 225
Vidíme, že nejlepší výsledky jsou dosahovány v pondělí, nejhorší v pátek.
Grafické znázornění: Na záložce Průměry, Pozorované nevážené zvolíme Graf.
DEN; Průměry MNČ
Současný efekt: F(4, 1426)=2,6518, p=,03177
Dekompozice efektivní hypotézy
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
1 2 3 4 5
DEN
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
IQ_CELK
Nyní ověříme předpoklady pro provedení analýzy rozptylu: Vrátíme se do ANOVA Výsledky, zvolíme Více
výsledků, záložka Předpoklady.
Ověříme normalitu proměnné IQ_celk pro jednotlivé dny v týdnu:
Rozdělení prom. Uvnitř skupin – Norm. p-graf – Vyberte skupiny 1 až 5. Dostaneme 5 N-P grafů, které
nesignalizují výraznější porušení normality. Pokud bychom chtěli testovat normalitu pomocí S-W testu,
klikneme na pozadí N-P grafu a v okně, které se otevře, zvolíme Statistika a zaškrtneme Shapiro – Wilkův
test. Zjistíme, že na hladině významnosti 0,05 je porušena normalita proměnné IQ_celk pouze v pondělí, ve
všech ostatních případech je p-hodnota S-W testu větší než 0,05.
Dále ověříme homogenitu rozptylů:
Na záložce Předpoklady vybereme Levenův test.
Leveneův test homogenity rozptylů (kolisani_IQ_v_tydnu.sta)
Efekt: DEN
Stupně volnosti pro všechna F: 4, 1426
PČ
Efekt
PČ
Chyba
F p
IQ_CELK 36,24704 80,22983 0,451790 0,771150
Na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu o shodě rozptylů v daných pěti skupinách.
Dále provedeme test hypotézy o shodě středních hodnot:
Vrátíme se do ANOVA, Výsledky – na záložce Detaily zvolíme Test všech efektů.
Jednorozměrné testy významnosti pro IQ_CELK (kolisani_IQ_v_tydnu.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Dekompozice efektivní hypotézy
Efekt
SČ Stupně
volnosti
PČ F p
Abs. člen
DEN
Chyba
14016168 1 14016168 63307,95 0,000000
2348 4 587 2,65 0,031774
315712 1426 221
Testová statistika FA nabývá hodnoty 2,65, počet stupňů volnosti čitatele je 4, jmenovatele 1426,
odpovídající p-hodnota je 0,0318, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o shodě středních
hodnot proměnné IQ_celk. S rizikem omylu nejvýše 5 % jsme tedy prokázali, že aspoň jedna dvojice dnů
v týdnu se liší z hlediska intelektové výkonnosti.
Pomocí poměru determinace posoudíme, jak velký vliv na IQ_celk má den v týdnu.
0074,0
2348315712
2348
S
S
P
T
A2
=
+
==
Poměr determinace získáme v ANOVA Výsledky na záložce Detaily – Celkové R.
Test SČ celého modelu vs. SČ reziduí (kolisani_IQ_v_tydnu.sta)
Závislá
proměnné
Vícenás.
R
Vícenás.
R2
Upravené
R2
SČ
Model
SV
Model
PČ
Model
SČ
Rezid.
SV
Rezid.
PČ
Rezid.
F p
IQ_CELK 0,085928 0,007384 0,004599 2348,413 4 587,1034 315711,6 1426 221,3967 2,651817 0,031774
Poměr determinace najdeme ve sloupci Vícenás. R2.
Mnohonásobné porovnávání provedeme na záložce Post – hoc. Vybereme HSD nestejné N.
HSD při nestejných N; proměnná IQ_CELK (kolisani_IQ_v_tydnu.sta)
Přibližné pravděpodobnosti pro post hoc testy
Chyba: meziskup. PČ = 221,40, sv = 1426,0
Č. buňky
DEN {1}
101,61
{2}
100,69
{3}
99,011
{4}
100,35
{5}
97,787
1
2
3
4
5
pondělí 0,940419 0,260904 0,828467 0,049856
úterý 0,940419 0,693243 0,998605 0,233079
středa 0,260904 0,693243 0,839999 0,906869
čtvrtek 0,828467 0,998605 0,839999 0,357902
pátek 0,049856 0,233079 0,906869 0,357902
Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší pondělí a pátek.
Dále můžeme stanovit homogenní skupiny dnů podle Tukeyovy HSD metody. Homogenní skupiny nás
informují o tom, které výběry by mohly být považovány za výběry z téhož rozložení (jsou tedy rovnocenné
z hlediska vlivu sledovaného faktoru).
V ANOVA Výsledky na záložce Pos - hoc vybereme Zobrazit Homogenní skupiny - HSD nestejné N.
Č. buňky
DEN IQ_CELK
Průměr
1 2
5
3
4
2
1
pátek 97,7867 ****
středa 99,0114 **** ****
čtvrtek 100,3495 **** ****
úterý 100,6908 **** ****
pondělí 101,6149 ****
První skupina – dny s horšími výkony.
Druhá skupina – dny s lepšími výkony.
Pátek – den s nejhorším výkonem.
Pondělí – den s nejlepším výkonem.
Úterý, středa, čtvrtek – dny s neutrálními výkony.
Prozkoumáme chování reziduí:
Návrat do ANOVA Výsledky – Rezidua – Pravděp. graf reziduí
Normální p-graf; Čistá rezidua
Závislá proměnná: IQ_CELK
(Analyzovaný vzorek)
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Rezid.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Oček.normál.hodnota
,01
,05
,15
,35
,65
,85
,95
,99
Normální pravděpodobnostní graf reziduí svědčí o tom, že rezidua se řídí normálním rozložením.
Návrat do ANOVA Výsledky – Rezidua – Před. & rezidua
Předpovězené vs. reziduální hodnoty
Závislá proměnná: IQ_CELK
(Analyzovaný vzorek)
97,0 97,5 98,0 98,5 99,0 99,5 100,0 100,5 101,0 101,5 102,0
Předpov. hodnoty
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
Čistárezidua
V grafu není patrný žádný trend.
Na závěr znázorníme data pomocí krabicových diagramů.
Grafy – 2D Grafy – Krabicové grafy – Závisle proměnné IQ_celk, Grupovací prom. DEN – OK – OK.
Krabicový graf z IQ_CELK seskupený DEN
kolisani_IQ_v_tydnu.sta 2v*1442c
Medián
25%-75%
Rozsah neodleh.
Odlehlé
Extrémy
pondělí úterý středa čtvrtek pátek
DEN
40
60
80
100
120
140
160
IQ_CELK
Analýza rozptylu dvojného třídění
Zkoumáme vliv dvou faktorů A a B na závisle proměnnou veličinu X.
Např. zjišťujeme, zda výnosy určité plodiny (náhodná veličina X) jsou ovlivněny typem půdy
(faktor A – řádkový faktor) a způsobem hnojení (faktor B – sloupcový faktor). Předpokládáme,
že faktor A má a úrovní (tj. počet typů půdy) a faktor B má b úrovní (tj. počet způsobů hnojení).
Přitom máme nij pokusů takových, že na i-tém typu půdy byl použit j-tý způsob hnojení.
Výsledky (tzn. výnosy dané plodiny) těchto nij pokusů označíme ijijn2ij1ij X,...,X,X .
Omezíme se na případy, kdy počet pozorování nij = c ≥ 1 (jde o tzv. vyvážené třídění).
Výsledky lze zapsat do tabulky:
faktor B
1 2 ... b
1 X111, …, X11c X121, …, X12c
…
X1b1, …, X1bc
2 X211, …, X21c X221, …, X22c
…
X2b1, …, X2bc
M M M … M
faktorA
a Xa11, …, Xa1c Xa21, …, Xa2c
…
Xab1, …, Xabc
Analogicky jako u analýzy rozptylu jednoduchého třídění předpokládáme, že data se řídí
normálním rozložením, tj.
ijc2ij1ij
X,...,X,X ~ N(µij,σ2
), i = 1, …, a, j = 1, …, b
a jednotlivé náhodné výběry jsou stochasticky nezávislé.
Model můžeme zapsat ve tvaru:
Xijk = µij + εijk,
kde εijk jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny s rozložením N(0, σ2
).
Zajímá nás, zda všechny střední hodnoty jsou stejné.
Přístup k problému se liší podle toho, zda faktory A, B jsou nezávislé (pak se jedná o analýzu
rozptylu dvojného třídění bez interakcí) nebo se mohou nějakým způsobem ovlivňovat (jde o
analýzu rozptylu dvojného třídění s interakcemi).
Označení
......
a
1i
b
1j
c
1k
ijk...
..i..i
b
1j
c
1k
ijk..i
.ij.ij
c
1k
ijk.ij
X
n
1
M
,XX
,X
bc
1
M
,XX
,X
c
1
M
,XX
,abcn
=
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑∑
∑
= = =
= =
=
Analogické označení zavedeme i pro jiné kombinace indexů.
Dvojné třídění bez interakcí
Předpokládáme, že řádkový faktor A a sloupcový faktor B se neovlivňují (např. to znamená, že
každý ze čtyř způsobů hnojení působí stejně na každém ze tří druhů půdy).
Náhodné veličiny Xijk se řídí modelem
M0: Xijk = µ + αi + βj + εijk pro i = 1, …, a, j = 1, …, b, k = 1, …, c, přičemž
εijk jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny s rozložením N(0, σ2
),
µ je společná část střední hodnoty závisle proměnné veličiny,
αi je efekt faktoru A na úrovni i,
βj je efekt faktoru B na úrovni j.
Parametry µ, αi, βj neznáme. Požadujeme, aby platily tzv. reparametrizační rovnice:
0,0
b
1j
j
a
1i
i =β=α ∑∑
==
.
Podobně jako v analýze rozptylu jednoduchého třídění se počítají součty čtverců.
( )∑∑∑
= = =
−=
a
1i
b
1j
c
1k
2
...ijkT
MXS … celkový součet čtverců,
počet stupňů volnosti fT = n – 1,
( )∑
=
−=
a
1i
2
.....iA
MMbcS … součet čtverců pro řádkový faktor A,
počet stupňů volnosti fA = a – 1,
( )∑
=
−=
b
1j
2
....j.B MMacS … součet čtverců pro sloupcový faktor B,
počet stupňů volnosti fB = b – 1,
( )∑∑∑
= = =
−=
a
1i
b
1j
c
1k
2
.ijijkE
MXS … reziduální součet čtverců,
počet stupňů volnosti fE = n – a – b + 1.
Lze dokázat, že ST = SA + SB + SE.
Celkový průměr ...M … bodový odhad střední hodnoty µ,
sčítanec .....i
MM − … bodový odhad efektu αi (tj. působení řádkového faktoru A na úrovni i),
sčítanec ....j.
MM − … bodový odhady efektu βj (tj. působení sloupcového faktoru B na úrovni j)
Odhad ijkXˆ pozorování ijkX má tedy tvar:
( ) ( )....j......i...ijk MMMMMXˆ −+−+= .
Pokud by nezáleželo na sloupcovém faktoru B, platila by hypotéza β1 = … = βb = 0 a místo
modelu
M0: Xijk = µ + αi + βj + εijk
bychom dostali model
M1: Xijk = µ + αi + εijk
Platnost uvedené hypotézy ověřujeme pomocí testové statistiky
EE
BB
B
f/S
f/S
F = , která se řídí rozložením F(b-1,n-a-b+1), je-li model M1 správný.
Hypotézu o nevýznamnosti sloupcového faktoru tedy zamítneme na hladině významnosti α,
když platí:
FB ≥ F1-α(b-1,n-a-b+1).
Kdyby nezáleželo ani na řádkovém faktoru, platila by hypotéza α1 = … = αa = 0 a dostali
bychom model
M2: Xijk = µ + εijk
Rozdíl mezi modely
M1: Xijk = µ + αi + εijk a M2: Xijk = µ + εijk
ověřujeme pomocí testové statistiky
EE
AA
A
f/S
f/S
F = , která se řídí rozložením F(a-1, n-a-b+1), je-li model M2 správný.
Hypotézu o nevýznamnosti řádkového faktoru tedy zamítneme na hladině významnosti α, když
platí:
FA ≥ F1-α(a-1,n-a-b+1).
Při uvedeném postupu tedy zjišťujeme, zda záleží na sloupcovém efektu B. Pokud ne, platí
model M1 a ptáme se, zda záleží na řádkovém efektu A, tj. zda platí model M2.
Postup lze samozřejmě provést i v jiném pořadí – nejdřív zkoumáme řádkový efekt A (tj.
ověřujeme platnost modelu M1’: Xijk = µ + βj + εijk) a poté sloupcový efekt B. Lze ukázat, že oba
řetězce M0 → M1 → M2 a M0 → M1’→ M2’ dají stejné výsledky. (To platí pouze za
předpokladu, že nij = c pro všechna i, j.)
Výsledky výpočtů zapisujeme do tabulky analýzy rozptylu dvojného třídění bez interakcí.
Zdroj variability součet čtverců st. vol. podíl S/f
EE f/S
f/S
F =
řádkový efekt A SA fA = a-1 SA/fA
EE
AA
A
f/S
f/S
F =
sloupcový efekt B SB fB = b-1 SB/fB
EE
BB
B
f/S
f/S
F =
reziduální SE fE = n-a-b+1 SE/fE celkem
ST fT = n-1 - -
Scheffého a Tukeyova metoda mnohonásobného porovnávání
Zjistíme-li, že existují významné rozdíly mezi řádky, můžeme pomocí Scheffého nebo
Tukeyovy metody zjistit, které dvojice řádků se významně liší. Určíme tedy, které rozdíly αi - αt
jsou nenulové (na dané hladině významnosti).
Podle Scheffého metody zamítneme rovnost αi = αt, když
( )
( )1ban,1aF
1ban
S
bc
1a2
MM 1
E
..t..i +−−−⋅
+−−
⋅
−
>− α−
a podle Tukeyovy metody, když
( )1ban,aq
1ban
S
bc
1
MM 1
E
..t..i +−−
+−−
⋅>− α− , kde q1-α(a,n-a-b+1) najdeme v tabulkách
kvantilů studentizovaného rozpětí.
Jestliže zjistíme významný rozdíl mezi sloupci, určujeme podobně, které dvojice sloupců se mezi
sebou liší, tj. které rozdíly βj – βt jsou nenulové.
Podle Scheffého metody zamítneme rovnost βj = βt, když
( )
( )1ban,1bF
1ban
S
ac
1b2
MM 1
E
.t..j. +−−−⋅
+−−
⋅
−
>− α−
a podle Tukeyovy metody, když
( )1ban,bq
1ban
S
ac
1
MM 1
E
.t..j. +−−
+−−
⋅>− α−
.
Příklad:
Byl zaznamenán prodej určitého zboží (v kusech) během tří stejně dlouhých časových období.
Přitom byl sledován jednak vliv balení zboží (řádkový faktor A, úroveň 1 – balení v sáčku,
úroveň 2 – balení v krabičce) a jednak vliv druhu reklamy (sloupcový faktor B, úroveň 1 – bez
reklamy, úroveň 2 – reklama v novinách, úroveň 3 – reklama v TV a novinách). Výsledky
prodeje jsou zaznamenány v tabulce:
Faktor B
Bez reklamy Reklama v novinách Reklama v TV a novinách
Balení v sáčku 1 1 6Faktor A
Balení v krabičce 3 4 9
Na hladině významnosti 0,05 je třeba posoudit vliv reklamy a i vliv balení zboží na jeho prodej.
Řešení:
Faktor B
Bez reklamy Reklama v novinách Reklama v TV a novinách
Balení v sáčku 1 1 6Faktor A
Balení v krabičce 3 4 9
Data zpracujeme pomocí analýzy rozptylu dvojného třídění bez interakcí s jedním pozorováním
v každé podtřídě. Přitom a = 2, b = 3, c = 1, n = 6. Nejprve provedeme pomocné výpočty:
X1.. = 8, X2.. = 16, M1.. = 8/3, M2.. = 16/3, X… = 24, M… = 24/6 = 4, X.1. = 4, X.2. = 5, X.3. = 15,
M.1. = 4/2 = 2, M.2. = 5/2, M.3. = 15/2
( )∑
=
−=
a
1i
2
.....iA MMbcS 6,10
3
32
4
3
16
4
3
8
3
22
==











−+





−= ,
( )∑
=
−=
b
1j
2
....j.B MMacS ( ) 374
2
15
4
2
5
422
22
2
=











−+





−+−= ,
( )∑∑∑
= = =
−=
a
1i
b
1j
c
1k
2
...ijkT MXS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 48494443464141
222222
=−+−+−+−+−+−= ,
3,0SSSS BATE =−−= .
Výsledky zapíšeme do tabulky analýzy rozptylu dvojného třídění bez interakcí.
Zdroj variability součet čtverců st. vol. podíl S/f
EE
f/S
f/S
F =
způsob balení 6,10 1 6,10 63,99
druh reklamy 37 2 18,5 110,98
reziduální 3,0 2 61,0 celkem
48 5 - Odpovídající
kvantily:
pro řádkový efekt F0,95(1,2) = 18,1,
pro sloupcový efekt F0,95(2,2) = 19.
Protože FA = 63,99 ≥ 18,1, zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že způsob balení
nemá vliv na prodej zboží.
Podobně FB = 110,98 ≥ 19, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že druh
reklamy nemá vliv na prodej zboží.
Protože faktor B má tři úrovně, lze pomocí Scheffého nebo Tukeyovy metody zjistit, které druhy
reklamy se od sebe liší na hladině významnosti 0,05.
Nejprve vypočítáme absolutní hodnoty rozdílů sloupcových průměrů
(přitom M.1. = 4/2 = 2, M.2. = 5/2, M.3. = 15/2):
5
2
15
2
5
MM,5,5
2
15
2MM,5,0
2
5
2MM .3..2..3..1..2..1. =−=−=−=−=−=−
Pravá strana Scheffého vzorce je:
( ) ( ) =+−−−⋅
+−−
⋅
−
α−
1ban,1bF
1ban
S
ac
1b2
1
E
52,21961,0
2
22
=⋅⋅
⋅
.
Vidíme, že podle Scheffého metody se na hladině významnosti 0,05 liší sloupce 1, 3 (tj. bez
reklamy a s reklamou v TV a novinách) a sloupce 2, 3 (tj. s reklamou jen v novinách a reklamou
v TV a novinách).
Pravá strana Tukeyova vzorce je:
( )=+−−
+−−
⋅ α−
1ban,bq
1ban
S
ac
1
1
E
( ) 4,233,8
2
61,0
2,3q
2
61,0
95,0
=⋅=⋅ .
Podle Tukeyovy metody se na hladině významnosti 0,05 také liší sloupce 1, 3 a sloupce 2, 3.
Výhodnější je hodnota získaná Tukeyovou metodou, protože je menší.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Načteme datový soubor baleni_a_reklama.sta o třech proměnných X, A, B a 6 případech, kde X – prodej, A – typ balení (1
– sáček, 2 – krabička), B – druh reklamy (1 – bez reklamy, 2 – reklama v novinách, 3 – reklama v TV a novinách).
Statistiky – ANOVA – ANOVA hlavních efektů – Rychlé nastavení – OK – Závisle proměnná X, Kategor. nezáv. prom. A,
B – OK – Možnosti – Parametrizace – odškrtneme Sigma-omezená, zaškrtneme Bez abs. členu – OK –Všechny efekty.
Dostaneme tabulku analýzy rozptylu dvojného třídění bez interakcí.
Efekt
SČ Stupně
volnosti
PČ F p
A
B
Chyba
10,66667 1 10,66667 64,0000 0,015268
37,00000 2 18,50000 111,0000 0,008929
0,33333 2 0,16667
Vidíme, že p-hodnota pro testovou statistiku FA je 0,015268, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že typ
balení nemá vliv na prodej zboží. Podobně p-hodnota pro testovou statistiku FB je 0,008929, což znamená, že na hladině
významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že druh reklamy nemá vliv na prodej zboží.
Podívejme se ještě na rezidua: Návrat do ANOVA Výsledky – Rezidua – P-graf reziduí.
Normální p-graf; Čistá rezidua
Závislá proměnná: X
(Analyzovaný vzorek)
-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Rezid.
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Oček.normál.hodnota
,01
,05
,15
,35
,55
,75
,95
,99
Nejsou patrné žádné zvláštnosti.
Abychom zjistili, které dvojice druhů reklamy se liší na hladině významnosti 0,05, použijeme Scheffého (resp. Tukeyovu)
metodu mnohonásobného porovnávání.
Návrat do ANOVA Výsledky – Více výsledků – Post-hoc – Efekt B –Tukeyův HSD.
Tukeyův HSD test; proměnná X (baleni_a_reklama.sta)
Přibližné pravděpodobnosti pro post hoc testy
Chyba: meziskup. PČ = ,16667, sv = 2,0000
Č. buňky
B {1}
2,0000
{2}
2,5000
{3}
7,5000
1
2
3
bez reklamy 0,548301 0,010156
reklama v novinach 0,548301 0,012218
reklama v TV a novinach 0,010156 0,012218
Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší dvojice (1,3) a (2,3).
Dvojné třídění s interakcemi
Nyní předpokládáme, že faktory A a B se mohou ovlivňovat (např. některý způsob hnojení má
zcela specifický vliv na určitý typ půdy). Náhodné veličiny Xijk se řídí modelem
M0: Xijk = µ + αi + βj + γij + εijk pro i = 1, …, a, j = 1, …, b, k = 1, …, c, přičemž
γij je interakce mezi faktorem A na úrovni i a faktorem B na úrovni j. V této situaci
předpokládáme, že c ≥ 2. Parametry µ, αi, βj neznáme. Požadujeme, aby platily tzv.
reparametrizační rovnice: 0,0,0,0
b
1j
ij
a
1i
ij
b
1j
j
a
1i
i
=γ=γ=β=α ∑∑∑∑
====
.
Nyní můžeme utvořit modely
M1: Xijk = µ + αi + βj + εijk, M2: Xijk = µ + αi + εijk, M3: Xijk = µ + εijk
(Lze samozřejmě použít i jiný řetězec modelů, kdy postupně klademe rovny nule parametry αi,
βj, γij v jiném pořadí.)
Vypočítáme součty čtverců ST, SA, SB, SAB, SE, přičemž
( ) ( )[ ]∑∑
= =
−−−=
a
1i
b
1j
2
....j...i.ijAB
MMMMcS je součet čtverců pro interakce,
počet stupňů volnosti fAB = (a-1)(b-1).
Vliv interakcí je prokázán na hladině významnosti α, když
( )( )( )abn,1b1aF
f/S
f/S
F 1
EE
ABAB
AB
−−−≥= α−
.
Výsledky zapisujeme do tabulky analýzy rozptylu dvojného třídění s interakcemi:
Zdroj variability součet čtverců st. vol. podíl S/f
EE
f/S
f/S
F =
řádkový faktor A SA fA = a-1 SA/fA
EE
AA
A
f/S
f/S
F =
sloupcový faktor B SB fB = b-1 SB/fB
EE
BB
B
f/S
f/S
F =
interakce A,B SAB fAB = (a-1)(b-1) SAB/fAB
EE
ABAB
AB
f/S
f/S
F =
reziduální SE fE = n-ab SE/fE celkem
ST fT = n-1 - Je
třeba si povšimnout, že součet SAB + SE resp. fAB + fE dá hodnotu SE resp. fE v tabulce bez in-
terakcí.
Možné problémy v analýze rozptylu dvojného třídění s interakcemi
a) Ukáže-li se vliv interakcí nevýznamný, vzniká otázka, zda testovat vliv řádků resp. sloupců
pomocí tabulky s interakcemi nebo provést novou analýzu rozptylu, ale tentokrát bez
interakcí. Převládá názor, že je zapotřebí dokončit analýzu rozptylu s interakcemi.
b) Pokud interakce vyjdou významné a řádky a sloupce rovněž, zpravidla se nedoporučuje
provádět mnohonásobné porovnávání, protože by se mohlo stát, že některá interakce by byla
mnohem výraznější než příslušný řádkový resp. sloupcový efekt.
c) Nejsou-li interakce významné a řádky resp. sloupce ano, pak lze provést mnohonásobné
porovnávání zcela analogicky jako v případě třídění bez interakcí, avšak je jiný počet stupňů
volnosti fE.
Tabulka odhadů různých parametrů a rozptylů těchto odhadů
parametr odhad rozptyl odhadu
µ M… σ2
/n
µ + αi Mi.. σ2
/bc
µ + βj M.j. σ2
/ac
µ + αi + βj + γij Mij. σ2
/c
αi Mi.. – M… σ2
(a-1)/n
βj M.j. – M… σ2
(b-1)/n
γij (Mij. - Mi..) – (M.j. – M…) σ2
(a-1)(b-1)/n
Neznámý rozptyl σ2
nahradíme jeho odhadem
abn
S
s e2
−
= .
Příklad:
Byly zkoumány výnosy sena (v q/ha) v závislosti na typu půdy (řádkový faktor A, úroveň 1 –
normální půda, úroveň 2 – kyselá půda) a na způsobu hnojení (sloupcový faktor B, úroveň 1 –
bez hnojení, úroveň 2 – hnojení chlévskou mrvou, úroveň 3 – hnojení vápenatým hnojivem).
Každá kombinace faktorů A a B byla realizována čtyřikrát nezávisle na sobě. Výnosy sena jsou
uvedeny v tabulce:
B
Bez hnojení Chlévská mrva Vápenaté hnojivo
Normální půda 28 32 30 30 37 36 39 36 34 38 37 36A
Kyselá půda 31 27 30 29 34 34 30 38 42 40 41 39
Na hladině významnosti 0,05 máme posoudit vliv typu půdy a způsobu hnojení (včetně případných
interakcí) na výnosy sena.
Řešení:
Použijeme analýzu rozptylu dvojného třídění s interakcemi. Přitom a = 2, b = 3, c = 4,
n = abc = 24. Nebudeme provádět pomocné výpočty, ale rovnou uvedeme tabulku výsledků.
Zdroj variability součet čtverců st. vol. podíl S/f
EE f/S
f/S
F =
typ půdy 0,166 1 0,166 0,04
způsob hnojení 318,25 2 159,125 41,81
interakce 55,084 2 27,542 7,24
reziduální 68,5 18 3,8056 celkem
442 23 - Odpovídající
kvantily:
pro řádkový efekt F0,95(1,18) = 4,41, pro sloupcový efekt F0,95(2,18) = 3,55, pro interakce
F0,95(2,18) = 3,55.
Protože FA = 0,04 < 4,41, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že typ půdy
neovlivňuje výnos sena.
Dále FB = 41,81 ≥ 3,55, tedy na hladině významnosti 0,05 se prokázal rozdíl mezi použitými
způsoby hnojení.
Jelikož FAB = 7,24 ≥ 3,55, zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu o nevýznamnosti
interakcí (tj. aspoň jeden způsob hnojení působí jinak na půdu normální než kyselou).
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Načteme datový soubor seno.sta se třemi proměnnými A, B, X a 24 případy, kde X – výnos sena,
A – typ půdy, B – způsob hnojení. Jednotlivé varianty proměnných A a B mají tento význam:
u proměnné A je 1 – normální půda, 2 – kyselá půda, u proměnné B je 1 – bez hnojení,
2 – chlévská mrva, 3 – vápenaté hnojivo.
Nejprve spočítáme průměry ve všech 6 skupinách:
Statistiky – ANOVA – Typ analýzy ANOVA s interakcemi. Metoda specifikace: Rychlé
nastavení – OK, Proměnné – Seznam závislých proměnných X, Kategor. nezáv, prom. (faktory)
A, B – OK – Možnosti – Parametrizace – zaškrtneme Bez absolutního členu – odškrtneme Sigma
omezená – OK – Průměry – Pozorované, nevážené.
A*B; Nevážené průměry (seno.sta)
Současný efekt: F(2, 18)=7,2372, p=,00494
Dekompozice typu III
Č. buňky
A B X
Průměr
X
Sm.Ch.
X
-95,00%
X
+95,00%
N
1
2
3
4
5
6
normální bez hnojení 30,00000 0,975392 27,95078 32,04922 4
normální chlévská mrva 37,00000 0,975392 34,95078 39,04922 4
normální vápenaté hnojivo 36,25000 0,975392 34,20078 38,29922 4
kyselá bez hnojení 29,25000 0,975392 27,20078 31,29922 4
kyselá chlévská mrva 34,00000 0,975392 31,95078 36,04922 4
kyselá vápenaté hnojivo 40,50000 0,975392 38,45078 42,54922 4
Nyní provedeme testování hypotéz o vlivu faktorů:
Návrat do ANOVA:Výsledky – Detaily – Všechny efekty.
Dostaneme tabulku analýzy rozptylu dvojného třídění s interakcemi.
Jednorozměrné testy významnosti pro X (seno.sta)
Přeparametrizovaný model
Dekompozice typu III
Efekt
SČ Stupně
volnosti
PČ F p
A
B
A*B
Chyba
0,1667 1 0,1667 0,04380 0,836585
318,2500 2 159,1250 41,81387 0,000000
55,0833 2 27,5417 7,23723 0,004938
68,5000 18 3,8056
Vidíme, že p-hodnota pro testovou statistiku FB je velmi blízká 0, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že
způsob hnojení nemá vliv na výnosy sena. Podobně p-hodnota pro testovou statistiku FAB je 0,004938, což znamená, že na
hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že způsob hnojení působí na oba typy půd stejně.
Vzhledem k tomu, že rozsahy výběrů v daných šesti skupinách jsou větší než 1 (c = 4), lze ověřit předpoklad o homogenitě
rozptylů. Vrátíme se do ANOVA Výsledky a zvolíme Více výsledků – Předpoklady – Levenův test.
Leveneův test homogenity rozptylů (seno.sta)
Efekt: A*B
Stupně volnosti pro všechna F: 5, 18
PČ
Efekt
PČ
Chyba
F p
X 0,600000 1,555556 0,385714 0,852058
Zjistíme, že p-hodnota je 0,852058, tudíž tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o homogenitě rozptylů.
Normalitu všech šesti výběrů můžeme orientačně posoudit rovněž v Předpokladech pomocí N-P plotu.
Ve všech šesti případech lze konstatovat vcelku dobrou shodu s normálním rozložením.
Průměrné výnosy sena (spolu s 95% intervaly spolehlivosti) na normální a kyselé půdě při daných třech způsobech hnojení
lze znázornit graficky. V ANOVA Výsledky zvolíme Průměry – Pozorované, nevážené – Graf.
Lze vykreslit graf závislosti průměrného výnosu sena na typu půdy:
A*B; Nevážené průměry
Současný efekt: F(2, 18)=7,2372, p=,00494
Dekompozice typu III
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
B
bez hnojení
B
chlévská mrva
B
vápenaté hnojivo
normáln kysel
A
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
X:výnos
nebo graf závislosti průměrného výnosu sena na způsobu hnojení:
A*B; Nevážené průměry
Současný efekt: F(2, 18)=7,2372, p=,00494
Dekompozice typu III
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
A
normální
A
kyselá
bez hnojen chlévská mrva vápenaté hnojivo
B
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
X:výnos
V grafu se objevuje křížení, které je typické pro případ, kdy působí interakce mezi faktory A, B.
Analýza reziduí neodhalí žádné zvláštnosti.
Nyní pomocí Tukeyovy metody mnohonásobného porovnávání zjistíme, které dvojice výběrů se
liší na hladině významnosti 0,05. Vrátíme se do Anova: Výsledky – klikneme na Více výsledků
– Post hoc – Efekt B - Tukeyův HSD.
Tukeyův HSD test; proměnnáX (seno.sta)
Přibližné pravděpodobnosti pro post hoc testy
Chyba: meziskup. PČ = 3,8056, sv = 18,000
Č. buňky
B {1}
29,625
{2}
35,500
{3}
38,375
1
2
3
bez hnojení 0,000171 0,000149
chlévská mrva 0,000171 0,022412
vápenaté hnojivo 0,000149 0,022412
Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší všechny tři dvojice skupin:
Upozornění: Systém STATISTICA umí provádět analýzu rozptylu dvojného třídění i v případě,
že třídění není vyvážené. Ukážeme to na následujícím příkladě.
Příklad: V rámci psychologického výzkumu bylo vyšetřeno 856 žáků základních škol. Kromě
jiného se zjišťoval jejich inteligenční kvocient (proměnná IQ), vzdělání matky a vzdělání otce
(proměnná VZDEL_M, VZDEL_O, mají varianty Z … základní, S … středoškolské, V …
vysokoškolské) a místo trvalého bydliště (proměnná SIDLO, má varianty 1 … město, 2 …
venkov). Data jsou uložena v souboru IQ_zaku.sta. Na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že proměnné VZDEL_M a SIDLO neovlivňují variabilitu hodnot proměnné IQ.
Použijte analýzu rozptylu dvojného třídění s interakcemi.
Výsledek: Na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nevýznamnosti obou faktorů i
jejich interakcí.