Faktorová analýza
Osnova
Motivace
Formulace modelu faktorové analýzy
Vhodnost použití modelu faktorové analýzy
Odhad faktorové matice a její rotace
Volba počtu společných faktorů
Odhad faktorového skóre
Informace o testu studijních předpokladů
Výsledky faktorové analýzy a jejich psychologická interpretace
Závěr
Upozornění: Přednáška vychází z článku:
Budíková, Marie - Koutková, Helena - Dan, Jiří. Faktorová analýza testu studijních předpokladů na Masarykově
univerzitě. In 6th International Conference Aplimat. Bratislava 2007.
Motivace: Za zakladatele faktorové analýzy je považován britský psycholog Ch. E. Spearman, o její další rozvoj
se pak zasloužil americký psycholog L. L. Thurstone.
Charles Edward Spearman (1863 – 1945): Britský psycholog a statistik
Louis Leon Thurstone (1887 – 1955): Americký psycholog, jeden ze zakladatelů psychometrie
Faktorová analýza se původně používala jen v psychologii, s rozvojem výpočetní techniky však postupně pronikla
i do dalších oborů.
Faktorová analýza má podobné cíle jako analýza hlavních komponent. Vycházíme opět z p-rozměrného datového
souboru










np1n
p111
yy
yy
L
LLL
L
. Např. předpokládáme, že každá z n osob je podrobena p různým testům. Výsledek,
kterého i-tá osoba dosáhla v j-tém testu, ozn. yij. (Toto číslo se nazývá skór.) Předpokládáme, že výsledky testů lze
vysvětlit pomocí určitého, nepříliš velkého počtu faktorů. Tyto faktory odpovídají nějakým lidským schopnostem,
jako je např. paměť, schopnost soustředění, vytrvalost, nadání apod. Tyto faktory však nemůžeme přímo měřit.
Základní princip faktorové analýzy spočívá v tom, že každá z pozorovaných náhodných veličin Yj (j = 1, …, p)
může být vyjádřena jako součet lineární kombinace menšího počtu m nepozorovatelných (hypotetických)
náhodných veličin F1, …, Fm - tzv. společných faktorů a dalšího zdroje variability Ej (j = 1, …, p) - tzv. specifické
(reziduální) složky. Veličinám Yj se někdy říká manifestní proměnné, faktorům F1, …, Fm pak latentní proměnné.
Faktorová analýza má tři cíle:
a) Analyzovat korelace většího počtu proměnných tím, že se více proměnných seskupí tak, aby většina
proměnných v jednom shluku spolu silně korelovala, zatímco proměnné z různých shluků spolu nekorelují
buď vůbec nebo jen velmi slabě.
b) Interpretovat faktory podle toho, jaké proměnné obsahuje příslušný shluk.
c) Shrnout variabilitu proměnných pomocí několika málo faktorů
Faktorová analýza musí zodpovědět čtyři otázky:
a) Kolik různých faktorů je zapotřebí k vysvětlení závislostí mezi proměnnými (tj. ke kvalitní reprodukci
korelační matice)?
b) V jakém vztahu jsou faktory k jednotlivým proměnným?
c) Jak dobře faktory vysvětlují původní proměnné?
d) Jakou část jedinečné variability a jakou část náhodné variability obsahují původní proměnné?
Praktická doporučení pro faktorovou analýzu
Vstupní proměnné by měly být intervalového, poměrového či alternativního typu.
V praxi se připouštějí i proměnné ordinálního typu, pokud vzdálenosti mezi variantami
jsou stejné (např. škála: zásadně nesouhlasím – nesouhlasím – je mi to jedno –
souhlasím – zásadně souhlasím).
Počet pozorování má být aspoň 5x větší než je počet proměnných.
V případě, že pro extrakci faktorů používáme metodu maximální věrohodnosti,
musíme předpokládat, že odchylky od modelu FA se řídí normálním rozložením.
Formulace modelu faktorové analýzy
Přepokládáme, že pro náhodný vektor Y = (Y1, …, Yp )´ platí model
Y = ΛF + E
kde F = (F1, …, Fm )´, E = (E1, …, Ep )´ a Λ = ( jk
λ ) je neznámá reálná matice typu p x m.
Matice Λ se nazývá faktorová matice.
Ej je náhodná odchylka od přesného modelu příslušná k j-té veličině, j = 1,…, p.
Prvek jkλ faktorové matice je faktorová váha (zátěž) k-tého společného faktoru příslušná
k j-té veličině, k = 1, …, m.
Model FA vyjadřuje vztah mezi latentními proměnnými a manifestními proměnnými.
Koeficient jkλ je převodní koeficient Fk na Yj.
Ilustrace modelu FA
Předpokládáme, že v modelu Y = ΛF + E jsou složky náhodného vektoru Y
standardizované, čímž je eliminován vliv jednotek.
Dále předpokládáme, že
náhodné vektory F a E mají nulové vektory středních hodnot,
náhodné vektory F a E jsou nekorelované,
var(E) =














2
p
2
2
2
1
u00
0u0
00u
K
KKKK
K
K
(tj. náhodné odchylky jsou nekorelované),
var(F) = I, kde I je jednotková matice řádu m (tj. faktory jsou nekorelované a mají
jednotkové rozptyly).
V tomto případě hovoříme o ortogonálním faktorovém modelu.
Číslo uj
2
, které leží na hlavní diagonále varianční matice var(E), se nazývá specifický
rozptyl (unicita) j-té veličiny
a číslo hj
2
= 1 - uj
2
se nazývá komunalita j-té veličiny, j = 1, …, p.
Vzhledem k předpokladům o ortogonálním faktorovém modelu platí:
m,,1k,p,,1j),F,Y(C)F,Y(R kjkjjk KK ====λ
Λ Λ' = cor(Y) – var(E) = var(Y) – var(E)
Matice Λ Λ' se nazývá redukovaná korelační matice. Tato matice je až na hlavní diagonálu
shodná s maticí cor(Y).
Její diagonální prvky jsou komunality hj
2
veličiny Yj, j = 1, …, p, přičemž ∑
=
=λ
m
1k
2
j
2
jk
h .
Komunalita hj
2
veličiny Yj udává část rozptylu veličiny Yj, která je vysvětlena působením
společných faktorů, z čehož na k-tý faktor Fk připadá
2
jk
λ .
Vhodnost použití modelu faktorové analýzy
K posouzení, zda vůbec má smysl provádět faktorovou analýzu (tj. zda korelace mezi veličinami Y1, …, Yp jsou
vysvětlitelné pomocí jiných veličin F1, …, Fm) slouží Kaiserova – Meierova – Olkinova statistika (KMO statistika),
která je založena na výběrových korelačních a parciálních korelačních koeficientech veličin Y1, …, Yp. KMO nabývá
hodnot mezi 0 a 1. Pro posouzení, zda má smysl provést faktorovou analýzu, můžeme použít následující tabulku:
KMO
statistika
použití faktorové
analýzy
0,90 – 1,00 vynikající
0,80 – 0,89 chvályhodné
0,70 – 0,79 středně užitečné
0,60 – 0,69 průměrné
0,50 – 0,59 špatné
0,00 – 0,49 nepřijatelné
Vedle KMO statistiky můžeme rovněž použít Bartlettův test sféricity, kde nulová hypotéza tvrdí, že výběrová korelační
matice je matice jednotková. Testová statistika je dána vzorcem
Rln
6
n6p2112 −+
=χ .
Platí-li nulová hypotéza, testová statistika se asymptoticky řídí rozložením ( )2/)1p(p2
−χ . Nulovou hypotézu tedy
zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když ( )2/)1p(p2
1
2
−χ≥χ α− . Nezamítneme-li nulovou hypotézu, neměli
bychom faktorovou analýzu vůbec provádět.
Odhad faktorové matice a její rotace
Je-li formulován faktorový model, je zapotřebí pro daný počet faktorů m odhadnout faktorovou matici Λ.
Z celé řady metod odhadu Λ zde naznačíme modifikovanou metodu hlavních komponent, která spočívá v aplikaci
metody hlavních komponent na odhad redukované korelační matice ΛΛ'.
Faktory vybíráme tak, aby vysvětlily co největší část celkového rozptylu D(Y1) + … + D(Yp) = p veličin Y1, …, Yp.
Odhad matice Λ se pak provádí iteračním postupem:
Za počáteční odhad T0 matice ΛΛ' volíme realizaci výběrové korelační matice R vektoru Y, tj. za počáteční odhad
komunalit hj
2
volíme jedničky.
Stanovíme m největších vlastních čísel l1,0 ≥ …≥ lm,0 a jim odpovídajících jednotkových vlastních vektorů v1,0, …, vm,0
matice T0. Za odhad 0Λ
)
matice Λ pak volíme matici 0Λ
)
= (v1,0 0,1l ,…,vm,0 0,ml ).
Prvky hlavní diagonály matice '00 ΛΛ
))
jsou nové odhady komunalit, které v dalším kroku iteračního postupu dosadíme
na diagonálu realizace matice R, čímž zpřesníme odhad redukované korelační matice.
Přistoupíme k novému výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů.
Iterační postup zastavíme, pokud euklidovská norma rozdílu dvou po sobě následujících odhadů komunalit klesne pod
předem zvolené malé kladné číslo, např. 0,001.
Odhad Λ
)
=( jkλ
)
) faktorové matice Λ=( jkλ ) pak vyjádříme ve tvaru
Λ
)
= (v1 1
l , …, vm m
l )
kde l1, …, lm jsou vlastní čísla redukované korelační matice získané v posledním kroku iteračního postupu seřazená
sestupně a v1, …, vm jsou jim odpovídající jednotkové vlastní vektory. Potom
• jk
λ
)
je odhad R(Yj, Fk),
•
2
jkλ
)
je odhad příspěvku k-tého společného faktoru k rozptylu veličiny Yj,
• součet čtverců prvků v j-tém řádku matice Λ
)
je odhad komunality hj
2
, tj. odhaduje tu část rozptylu veličiny Yj,
kterou lze vysvětlit působením společných faktorů,
• součet čtverců prvků v k-tém sloupci maticeΛ
)
je roven vlastnímu číslu lk matice 'ΛΛ
))
a odhaduje příspěvek
• k-tého faktoru k celkovému rozptylu p. To znamená, že k-tý faktor vyčerpává %100)p/l( k
⋅ celkového
rozptylu, z čehož na j-tou veličinu připadá %100)l/( k
2
jk
⋅λ .
Poznámka k odhadům faktorových zátěží
Zvykové pravidlo (není dogma!)
Koeficient jkλ
)
by měl být větší než 0,3.
0,3 < jk
λ
)
< 0,4 … slabě důležitý koeficient
jkλ
)
> 0,5 … prakticky důležitý koeficient
Je-li počet faktorů m > 1 a současně m < p, není faktorová matice Λ vztahem
Λ Λ' = cor(Y) – var(E) určena jednoznačně. Splňuje–li matice U řádu m podmínku UU' = I,
pak matice Λ*
= ΛU rovněž tomuto vztahu vyhovuje. Říkáme, že matice Λ*
se získala rotací
matice Λ a nazýváme ji rotovanou faktorovou maticí.
Jelikož odhadnuté faktorové váhy musí být snadno interpretovatelné, je cílem rotace získat
co nejpřesvědčivější interpretaci faktorů. Požadujeme, aby každá z veličin Y1, …, Yp měla
vysoké faktorové váhy u co nejmenšího počtu faktorů a nízké či středně vysoké váhy u
zbývajících faktorů.
Existuje několik metod rotace, často používaná je metoda varimax:
Odhady faktorových vah jm1j ,...,λλ
))
příslušné k j-té veličině chápeme nyní jako souřadnice
bodu v Rm
. Hlavní myšlenka této metody spočívá v tom, že se provádí transformace
souřadných os v Rm
, dokud souřadnice jm1j ,...,λλ
))
každé náhodné veličiny Yj nejsou blízké
buď 0 nebo ±1.
Volba počtu společných faktorů
Zbývá se vrátit k problematice volby počtu m společných faktorů F1, …, Fm. V explorativní faktorové analýze
nemusíme mít o tomto počtu jasnou představu. Existují různá doporučení, jak m zvolit. Pokud nelze přepokládat prozměrné
normální rozložení náhodného vektoru Y, nemůžeme pro volbu m použít běžné statistické testy. Můžeme se
ale opřít o několik různých kritérií:
• Kaiserovo kritérium - za m volíme počet těch vlastních čísel matice R, která jsou větší než 1.
• Sutinový test (scree test) – grafická metoda, která spočívá v subjektivním posouzení vzhledu sutinového grafu
(scree plot), tj. grafu znázorňujícího velikosti sestupně uspořádaných vlastních čísel matice R. Objeví-li se
v grafu určité zploštění, pak za m vezmeme to pořadové číslo, kde se zploštění projevilo.
• Kritérium založené na součtu prvních m největších vlastních čísel matice R – požadujeme, aby tento součet byl
„přibližně“ p, tj. aby byl podíl celkového rozptylu pozorovaných veličin dostatečně vysvětlen příslušným
faktorovým modelem.
• Kritérium založené na reziduální korelační matici po extrakci m společných faktorů, tj. matici R - 'ΛΛΛΛΛΛΛΛ
))
.
Požadujeme, aby všechny reziduální korelace (tj. mimodiagonální prvky reziduální korelační matice) byly
„malé“, např. v absolutní hodnotě menší než 0,1. Pak m faktorů vysvětluje korelační matici pozorovaného
vektoru dobře.
Odhad faktorového skóre
Faktorovou analýzu je vhodné doplnit o odhady hodnot faktorů F1, …, Fm u jednotlivých
výběrových objektů, které tyto objekty charakterizují – tzv. odhad faktorového skóre.
Můžeme např. použít regresní metodu, kdy hledáme lineární regresní odhad k
F
)
veličiny k
F
založený na vektoru Y. Lze ukázat, že
YRΛF 1−
′=ˆ
kde )F,,F( m1
′=
)
K
))
F a Λ se prakticky nahradí odhadem Λ
)
. Označme dále yi = (yi1,…,yip)'
standardizovaný vektor pozorování vztahující se k i-tému objektu (i = 1,…, n). Potom pro
vektor )F,,F( im1i
′=
)
K
))
i
f odhadů faktorových skóre m společných faktorů dostáváme
i
1
i
ˆ yRΛf −
′=
Odhady faktorových skórů mohou vstupovat do dalších analýz, např. do regrese nabo
ANOVA.
Informace o testu studijních předpokladů
Od roku 2002 se na některých fakultách MU v Brně používá v přijímacím řízení test
studijních předpokladů (dále jen TSP). Tento test zkoumá předpoklady uchazeče úspěšně
studovat na MU. V minulosti byl tvořen 80 otázkami, které mají podobu tzv. položek nucené
volby. Ke každé z nich existuje jedna správná odpověď a čtyři chybné odpovědi, tzv.
distraktory. Na řešení celého testu má uchazeč 80 minut. Počet správných odpovědí nabývá
hodnot od 0 do 80. Položky jsou dle obsahu seřazeny do 8 subtestů po 10 položkách. Každý
subtest je zaměřen na jinou oblast lidského myšlení. Zjišťuje se úroveň myšlení verbálního,
numerického, symbolického, analytického, kritického a vědeckého. Položky jednoho ze
subtestů slouží k posouzení prostorové představivosti, dalšího pak k ověření schopnosti
usuzování.
Cílem faktorové analýzy je prozkoumat korelační strukturu vztahů mezi proměnnými, které
obsahují počty správných odpovědí v jednotlivých subtestech a případně zvážit možnou
redukci počtu subtestů.
Zkoumaný datový soubor obsahuje údaje o 2619 uchazečích o studium na Přírodovědecké fakultě MU v Brně v roce
2005, z toho je 1026 mužů, 1593 žen.
Pozorované náhodné veličiny jsou:
SBT1 – počet správných odpovědí v subtestu prostorová představivost,
SBT2 - počet správných odpovědí v subtestu symbolické myšlení,
SBT3 - počet správných odpovědí v subtestu verbální myšlení,
SBT4 - počet správných odpovědí v subtestu kritické myšlení,
SBT5 - počet správných odpovědí v subtestu numerické myšlení,
SBT6 - počet správných odpovědí v subtestu kulturní přehled,
SBT7 - počet správných odpovědí v subtestu úsudky,
SBT8 - počet správných odpovědí v subtestu analytické myšlení.
Výsledky faktorové analýzy a jejich psychologická interpretace
Při výpočtech byly použity statistické programové systémy SPSS a STATISTICA. Prvotní informace o korelační
struktuře datového souboru získáme z realizace výběrové korelační matice uvažovaných osmi proměnných. Tu získáme
např. takto: Statistiky – Vícerozměrné průzkumné techniky – Faktorová analýza – Proměnné SBT1 až SBT8 – OK –
OK. Na záložce Popisné statistiky zvolíme Přehled korelací, průměrů, směrodatných odchylek – Korelace.
Proměnná
SBT1 SBT2 SBT3 SBT4 SBT5 SBT6 SBT7 SBT8
SBT1
SBT2
SBT3
SBT4
SBT5
SBT6
SBT7
SBT8
1,00 0,28 0,26 0,14 0,29 0,16 0,21 0,22
0,28 1,00 0,28 0,14 0,25 0,15 0,20 0,20
0,26 0,28 1,00 0,24 0,27 0,29 0,34 0,30
0,14 0,14 0,24 1,00 0,14 0,37 0,16 0,20
0,29 0,25 0,27 0,14 1,00 0,19 0,31 0,29
0,16 0,15 0,29 0,37 0,19 1,00 0,23 0,26
0,21 0,20 0,34 0,16 0,31 0,23 1,00 0,36
0,22 0,20 0,30 0,20 0,29 0,26 0,36 1,00
Vidíme, že korelace kolísají od 0,14 až po 0,37. Všechny korelace jsou poměrně nízké, i když některé jsou statisticky
významné na hladině významnosti 0,05. Nad 0,3 (hranice pro středně silnou korelaci) jsou 4 korelační koeficienty.
V korelační matici jsou tedy jakási 4 „těžiště“, můžeme tudíž očekávat, že k vysvětlení její struktury budeme
potřebovat 4 faktory.
(SBT1 prostorová představivost, SBT2 symbolické myšlení, SBT3 verbální myšlení, SBT4 kritické myšlení,
SBT5 numerické myšlení, SBT6 kulturní přehled, SBT7 úsudky, SBT8 analytické myšlení)
Pro posouzení, zda má vůbec smysl provádět faktorovou analýzu, použijeme KMO statistiku a provedeme Bartlettův
test. Provedení testu v systému SPSS:
Analyze – Data Reduction – Factor - Variables sbt1 až sbt8 – Descriptives – zaškrtneme KMO and Bartlett’s test of
sphericity.
Interpretace:
KMO
statistika
použití faktorové
analýzy
0,90 – 1,00 vynikající
0,80 – 0,89 chvályhodné
0,70 – 0,79 středně užitečné
0,60 – 0,69 průměrné
0,50 – 0,59 špatné
0,00 – 0,49 nepřijatelné
Hodnota KMO statistiky je 0,81, tedy provedení faktorové analýzy se jeví jako chvályhodné. Testová statistka
Bartlettova testu sféricity nabývá hodnoty 2851,19, počet stupňů volnosti je 28, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0,
tedy hypotézu, že realizace výběrové korelační matice 8 uvažovaných proměnných je jednotková, zamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05.
Podívejme se nejprve na vlastní čísla realizované výběrové korelační matice R a na procento vysvětleného rozptylu:
Na záložce Základní nastavení změníme Max. počet faktorů na 8 a Min. vlastní číslo na 0,1 – OK – na záložce Výklad
rozptylu zvolíme Vlastní čísla.
Vl. čísla (TSP.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
Hodn.
vl. číslo % celk.
rozptylu
Kumulativ.
vlast. číslo
Kumulativ.
%
1
2
3
4
5
6
7
8
2,699881 33,74851 2,699881 33,7485
1,077192 13,46490 3,777073 47,2134
0,889012 11,11265 4,666085 58,3261
0,747268 9,34085 5,413353 67,6669
0,689322 8,61653 6,102675 76,2834
0,669118 8,36397 6,771793 84,6474
0,620088 7,75110 7,391881 92,3985
0,608119 7,60149 8,000000 100,0000
První faktor tedy vysvětluje 33,75% variability obsažené v osmi sledovaných proměnných, druhý 13,46% atd.
Vykreslíme sutinový graf:
Na záložce Výklad rozptylu zvolíme Sutinový graf.
Graf vlastních čísel
1 2 3 4 5 6 7 8
Počet vlastních čísel
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Hodn.
Počet m společných faktorů zvolíme čtyři na základě sutinového grafu a na základě vysvětleného rozptylu, i když jsou
pouze dvě vlastní čísla realizace matice R větší než 1. Celkové procento variability vysvětlené prvními čtyřmi faktory
je 67,67%.
Pro extrakci faktorů zvolíme metodu hlavních komponent. Rotaci faktorů provedeme metodou varimax. Zajímají nás
odhady komunalit.
Na zálože Základní nastavení zvolíme Max. počet faktorů 4 – OK. Na záložce Zákl. výsledky zvolíme Rotace faktorů
Varimax prostý. Na záložce Výklad rozptylu zvolíme Komunality.
Komunality (TSP.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
Rotace: Varimax pr.
Proměnná
Z 1
faktoru
Z 2
faktorů
Z 3
faktorů
Z 4
faktorů
Více
R^2
SBT1
SBT2
SBT3
SBT4
SBT5
SBT6
SBT7
SBT8
0,054562 0,066543 0,067018 0,777656 0,160671
0,805778 0,807290 0,810812 0,846872 0,148954
0,281255 0,357992 0,572528 0,573581 0,242152
0,003442 0,721249 0,721533 0,732025 0,162803
0,001114 0,002672 0,200540 0,618109 0,200016
0,006258 0,580718 0,635721 0,638016 0,207026
0,017406 0,021387 0,656718 0,664304 0,227784
0,002194 0,038095 0,534949 0,562789 0,217256
Např. odhad komunality proměnné SBT1 je 0,778, což lze interpretovat tak, že 77,8% variability proměnné SBT1 lze
vysvětlit působením čtyř společných faktorů.
(SBT1 prostorová představivost, SBT2 symbolické myšlení, SBT3 verbální myšlení, SBT4 kritické myšlení,
SBT5 numerické myšlení, SBT6 kulturní přehled, SBT7 úsudky, SBT8 analytické myšlení)
Nyní získáme odhad matice rotovaných faktorových zátěží: na záložce Zátěže zvolíme Shrnutí: Faktorové zátěže
Faktor. zátěže (Varimax pr.) (TSP.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
(Označené zatěže jsou >,500000)
Proměnná
Faktor
1
Faktor
2
Faktor
3
Faktor
4
SBT1
SBT2
SBT3
SBT4
SBT5
SBT6
SBT7
SBT8
Výkl.roz
Prp.celk
0,233586 0,109455 0,021789 0,842994
0,897652 0,038874 0,059354 0,189894
0,530335 0,277013 0,463181 0,032454
0,058672 0,847235 0,016849 0,102430
0,033379 0,039475 0,444823 0,646196
0,079106 0,757932 0,234526 0,047908
0,131932 0,063094 0,797077 0,087099
0,046837 0,189475 0,704879 0,166852
1,172010 1,423935 1,603874 1,213533
0,146501 0,177992 0,200484 0,151692
Vidíme, že první faktor má vysoké korelace s proměnnými SBT2 a SBT3. Druhý faktor vysoce koreluje s proměnnými
SBT4 a SBT6. U třetího faktoru pozorujeme vysoké korelace se SBT7 a SBT8. Čtvrtý faktor má vysoké korelace
se SBT1 a SBT5. Po rotaci připadá na první faktor 1,172 celkového rozptylu, což je 14,7%. Na druhý faktor připadá
1,424 celkového rozptylu, tj. 17,8% atd.
(SBT1 prostorová představivost, SBT2 symbolické myšlení, SBT3 verbální myšlení, SBT4 kritické myšlení,
SBT5 numerické myšlení, SBT6 kulturní přehled, SBT7 úsudky, SBT8 analytické myšlení)
Interpretace faktorů:
1. faktor … založen na symbolickém a verbálním myšlení
(Symbolické myšlení je založeno na operacích se symboly. Symbolem se rozumíme slovní, číselné nebo obrazné
vyjádření určitého objektu nebo jevu.
Verbální myšlení je schopnost pochopit strukturu a zákonitosti výstavby jazyka jako celku a využívat ho při
komunikaci s jinými členy dané jazykové skupiny).
2. faktor … založen na kritickém myšlení a kulturním přehledu.
(Kritické myšlení je schopnost posoudit správnost tvrzení a závěrů týkajících se poznatků obecné vzdělanosti.
Kulturní přehled je schopnost orientovat se v historických, politických a kulturních reáliích.)
3. faktor … založen na úsudcích a analytickém myšlení.
(Úsudek je schopnost vyvozování logických závěrů na základě daných faktů.
Analytické myšlení je schopnost myšlenkově rozkládat struktury na jejich konstitutivní prvky, schopnost vyvozovat
logické spojitosti, schopnost nacházet strukturu ve zdánlivě chaotickém informačním poli, a to na základě faktů.)
4. faktor … založen na prostorové představivosti a numerickém myšlení.
(Prostorová představivost je schopnost myšlenkové orientace v prostoru.
Numerické myšlení je založeno na numerické představivosti, která se opírá zejména o schopnost vybavit si strukturu
uspořádání množiny reálných čísel. Je to schopnost nacházet zákonitosti ve skupinách čísel.)
Kvalitu získaného faktorového modelu posoudíme též pomocí odhadnuté korelační a reziduální korelační matice. Na
záložce Výklad rozptylu vybereme Reprod./rezid. korelace.
Proměnná
SBT1 SBT2 SBT3 SBT4 SBT5 SBT6 SBT7 SBT8
SBT1
SBT2
SBT3
SBT4
SBT5
SBT6
SBT7
SBT8
0,78 0,38 0,19 0,19 0,57 0,15 0,13 0,19
0,38 0,85 0,52 0,11 0,18 0,12 0,18 0,12
0,19 0,52 0,57 0,28 0,26 0,36 0,46 0,41
0,19 0,11 0,28 0,73 0,11 0,66 0,08 0,19
0,57 0,18 0,26 0,11 0,62 0,17 0,42 0,43
0,15 0,12 0,36 0,66 0,17 0,64 0,25 0,32
0,13 0,18 0,46 0,08 0,42 0,25 0,66 0,59
0,19 0,12 0,41 0,19 0,43 0,32 0,59 0,56
Proměnná
SBT1 SBT2 SBT3 SBT4 SBT5 SBT6 SBT7 SBT8
SBT1
SBT2
SBT3
SBT4
SBT5
SBT6
SBT7
SBT8
-0,10 0,07 -0,06 -0,28 0,01 0,09 0,03
-0,10 -0,24 0,03 0,07 0,03 0,01 0,08
0,07 -0,24 -0,04 0,01 -0,07 -0,12 -0,11
-0,06 0,03 -0,04 0,03 -0,29 0,07 0,01
-0,28 0,07 0,01 0,03 0,02 -0,10 -0,14
0,01 0,03 -0,07 -0,29 0,02 -0,02 -0,06
0,09 0,01 -0,12 0,07 -0,10 -0,02 -0,23
0,03 0,08 -0,11 0,01 -0,14 -0,06 -0,23
Rezidua jsou vcelku malá, kolísají od –0,29 po 0,09. Osm z nich (tj. 29%) je v absolutní hodnotě větší než 0,1.
Pro několik prvních uchazečů uvedeme ještě odhad faktorového skóre. Na záložce Skóre vybereme Faktorová skóre.
Faktor. skóre (TSP.sta)
Rotace: Varimax pr.
Extrakce: Hlavní komponenty
Případ
Faktor
1
Faktor
2
Faktor
3
Faktor
4
1
2
3
4
-3,75715 -1,84968 -0,55849 -1,76290
1,93701 -3,99452 -3,00446 -0,73139
-1,55294 -2,57296 -0,74519 -2,56388
... ... .... ....
Na odhady faktorových skóre pro daný objekt můžeme pohlížet jako na souřadnice tohoto objektu v m-rozměrném
prostoru. Spojnicový graf pro první tři uchazeče získáme takto: v pracovním sešitě v tabulce faktorových skóre
vezmeme do bloku faktorová skóre prvních tří uchazečů. Klikneme pravým tlačítkem myši – Grafy bloku dat – Vlastní
graf bloku podle sloupce – Spojnicové grafy (Profily případů) – OK.
Spojnicový graf z více proměnných
Tabulka50 4v*3c
1
2
3
Faktor Faktor Faktor Faktor
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Vidíme, že první uchazeč má vysoké skóre u třetího faktoru a naopak velmi nízké u prvního faktoru. Druhý uchazeč se
vyznačuje vysokým skóre u prvního faktoru a velmi nízkým u druhého faktoru. Třetí uchazeč má vcelku vyrovnaná
skóre u všech čtyř faktorů.
Závěr
Posoudíme kvalitu faktorového modelu z několika různých hledisek:
• KMO statistika je 0,81 (provedení faktorové analýzy se jeví jako chvályhodné).
• Testová statistika Bartlettova testu sféricity je 2851,19, počet stupňů volnosti je 28, p-hodnota velmi blízká 0
(korelační matice sledovaných 8 proměnných je s rizikem omylu nejvýše 5% různá od jednotkové matice).
• Odhad modelu založený na modifikované metodě hlavních komponent vysvětluje 67,67% variability obsažené
v datovém souboru.
• Komunality (tj. podíly variability jednotlivých proměnných vysvětlené působením čtyř společných faktorů)
kolísají od 56,3% u proměnné STB8 až po 84,7% u proměnné STB2.
• Reziduální korelační matice má malé prvky, osm z nich jsou v absolutní hodnotě větší než 0,1.
Zhodnotíme nalezené společné faktory:
Metoda hlavních komponent nalezla čtyři společné faktory stojící v pozadí osmi sledovaných proměnných. Všechny
faktory jsou velmi dobře určeny lineárními kombinacemi vždy dvou proměnných.
Literatura
[1]Anděl, J.: Matematická statistika. SNTL/ALFA Praha, 1978.
[2]Hebák, P., Hustopecký, J.: Vícerozměrné statistické metody s aplikacemi. SNTL/Alfa, Praha 1987.
[3]Johnson, R. A., Wichern, D. W.: Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice Hall International, Inc. 1992.
[4]McDonald, R. P.: Faktorová analýza a příbuzné metody v psychologii. Academia Praha, 1991.
[5]SPSS/PC+ StatisticsTM
4.0. SPSS Inc. 1990.
[6]STATISTICA for Windows. StatSoft, Inc. 2000.