Cvičení 3: Vícerozměrná jednofaktorová analýza rozptylu (MANOVA)
Na 45 vzorcích rudy pocházejících ze tří ložisek byly zjištěny hodnoty těchto čtyř
proměnných:
X1 … obsah vanadu v popelu (v promile)
X2 … obsah železa v popelu (v promile)
X3 … obsah nasycených uhlovodíků (v setinách procenta)
X4 … obsah aromatických uhlovodíků (v setinách procenta)
Data jsou uložena v souboru ropa. sta.
Úkol 1.: Ve všech třech skupinách vypočtěte průměry a směrodatné odchylky proměnných
X1, X2, X3, X4. Zjistěte rovněž rozsahy skupin. Vytvořte krabicové grafy proměnné Xi ve
všech třech skupinách, i = 1, 2, 3, 4.
Výsledek:
Tabulka číselných charakteristik
Souhrnné výsledky
Popisné statistiky (ropa.sta)
Proměnná ID N platných Průměr Sm.odch.
X1
X2
X3
X4
X1
X2
X3
X4
X1
X2
X3
X4
1 7 36,571 15,6403
1 7 38,714 7,6966
1 7 679,571 141,4318
1 7 1082,571 226,1260
2 8 50,6250 18,0471
2 8 35,7500 9,5581
2 8 653,2500 90,2754
2 8 518,1250 346,3580
3 30 76,5333 14,9406
3 30 21,4667 5,8882
3 30 457,4667 95,2430
3 30 614,8667 230,5085
Krabicové grafy:
Krabicový graf z X1 seskupený ID
ropa.sta 5v*45c
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±2*SmOdch
1 2 3
ID
0
20
40
60
80
100
120
X1
Krabicový graf z X2 seskupený ID
ropa.sta 5v*45c
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±2*SmOdch
1 2 3
ID
0
10
20
30
40
50
60
X2
Krabicový graf z X3 seskupený ID
ropa.sta 5v*45c
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±2*SmOdch
1 2 3
ID
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
X3 Krabicový graf z X4 seskupený ID
ropa.sta 5v*45c
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±2*SmOdch
1 2 3
ID
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
X4
Úkol 2.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že proměnné X1, X2, X3, X4 se ve
všech třech skupinách řídí normálním rozložením.
Výsledek:
Testy normality
Souhrnné výsledky
Testy normality (ropa.sta)
Proměnná
ID N max D Lilliefors
p
W p
X1: vanad (v promile)
X2: zelezo (v promile)
X3: nasyc. uhlovodiky (v des. promile)
X4: arom uhlovodiky (v des. promile)
X1: vanad (v promile)
X2: zelezo (v promile)
X3: nasyc. uhlovodiky (v des. promile)
X4: arom uhlovodiky (v des. promile)
X1: vanad (v promile)
X2: zelezo (v promile)
X3: nasyc. uhlovodiky (v des. promile)
X4: arom uhlovodiky (v des. promile)
1 7 0,279595 p < ,10 0,837889 0,094950
1 7 0,256734 p < ,20 0,894783 0,300555
1 7 0,164851 p > .20 0,944596 0,680404
1 7 0,218850 p > .20 0,886488 0,256840
2 8 0,268226 p < ,10 0,812765 0,039143
2 8 0,222404 p > .20 0,916727 0,403873
2 8 0,222340 p > .20 0,891501 0,241660
2 8 0,270404 p < ,10 0,798241 0,027410
3 30 0,114117 p > .20 0,955701 0,239602
3 30 0,165019 p < ,05 0,939091 0,085977
3 30 0,189553 p < ,01 0,884710 0,003623
3 30 0,115612 p > .20 0,954858 0,227664
Úkol 3.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že varianční matice proměnných X1,
X2, X3, X4 jsou ve všech třech skupinách shodné.
Výsledek Boxova M-testu:
Boxův M test (ropa.sta)
Efekt: ID
(Vypočteno pro všechny proměnné)
Boxovo M Chí-kv. SV p
Boxovo M 35,34766 27,23627 20 0,128747
Lze konstatovat, že důležité předpoklady vícerozměrné analýzy rozptylu jsou splněny.
Úkol 4.: Pomocí maticových grafů prověřte, že vztahy mezi proměnnými X1, X2, X3, X4
jsou ve všech třech skupinách přibližně lineární.
Výsledek pro 1. naleziště:
Maticový graf
ropa.sta 5v*45c
Zahrnout jestliže: ID=1
X1X3X4
X1
X2
X3
X4
Úkol 5.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty proměnných X1,
X2, X3, X4 jsou ve všech třech skupinách shodné. Použijte Wilksův, Pillaiův, Hotellingův –
Lawleův a Royův test.
Výsledek:
Vícerozměrné testy významnosti. (ropa.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Dekompozice efektivní hypotézy
Efekt
Test Hodnota F Efekt
SV
Chyba
SV
p
Abs. člen
ID
Wilksův 0,01616 593,4657 4 39 0,000000
Pillaiův 0,98384 593,4657 4 39 0,000000
Hotellng 60,86828 593,4657 4 39 0,000000
Royův 60,86828 593,4657 4 39 0,000000
Wilksův 0,17959 13,2570 8 78 0,000000
Pillaiův 1,08176 11,7808 8 80 0,000000
Hotellng 3,11290 14,7863 8 76 0,000000
Royův 2,53997 25,3997 4 40 0,000000
Úkol 6.: Pomocí simultánního testu založeného na Wilksově statistice testujte na hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že proměnné X1, X2, X3, X4 nezpůsobují rozdíly mezi
skupinami.
Výsledek:
Vypočtené testové statistiky pro simultánní testy a kritická hodnota:
1
K1
2
K2
3
K3
4
K4
5
kvantil
1 30,114241 32,723182 27,859025 17,643474 15,507313
Úkol 7.: Na hladině významnosti 0,05 proveďte vícerozměrnou obdobu mnohonásobného
porovnávání, tj. zjistěte, které dvojice skupin se liší.
Výsledek:
Výsledek pro 1. a 2. skupinu:
t-testy; grupováno: ID: naleziste (ropa.sta)
Skup. 1: 1; Skup. 2: 2
Hotellingovo 45,6734 F(4,10)=8,7833 p<,00261
Proměnná
Průměr
1
Průměr
2
t sv p Poč.plat
1
Poč.plat.
2
Sm.odch.
1
Sm.odch.
2
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
X1
X2
X3
X4
36,571 50,6250 -1,59930 13 0,133764 7 8 15,6403 18,0471 1,331443 0,743087
38,714 35,7500 0,65470 13 0,524074 7 8 7,6966 9,5581 1,542203 0,613888
679,571 653,2500 0,43578 13 0,670148 7 8 141,4318 90,2754 2,454458 0,265396
1082,571 518,1250 3,67238 13 0,002814 7 8 226,1260 346,3580 2,346116 0,318519
Vypočtenou p-hodnotu (tj. 0,00261) porovnáme s 601,0
3
05,0
2
3
==






α
. Vidíme, že 1. a 2.
skupina se liší.
Výsledek pro 1. a 3. skupinu
t-testy; grupováno: ID: naleziste (ropa.sta)
Skup. 1: 1; Skup. 2: 3
Hotellingovo 125,397 F(4,32)=28,662 p<,00000
Proměnná
Průměr
1
Průměr
3
t sv p Poč.plat
1
Poč.plat.
3
Sm.odch.
1
Sm.odch.
3
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
X1
X2
X3
X4
36,571 76,5333 -6,32043 35 0,000000 7 30 15,6403 14,9406 1,095851 0,776819
38,714 21,4667 6,58961 35 0,000000 7 30 7,6966 5,8882 1,708565 0,309137
679,571 457,4667 5,05771 35 0,000013 7 30 141,4318 95,2430 2,205100 0,142430
1082,571 614,8667 4,84954 35 0,000025 7 30 226,1260 230,5085 1,039138 1,000000
I v tomto případě nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výsledek pro 2. a 3. skupinu:
t-testy; grupováno: ID: naleziste (ropa.sta)
Skup. 1: 2; Skup. 2: 3
Hotellingovo 44,5444 F(4,33)=10,208 p<,00002
Proměnná
Průměr
2
Průměr
3
t sv p Poč.plat
2
Poč.plat.
3
Sm.odch.
2
Sm.odch.
3
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
X1
X2
X3
X4
50,6250 76,5333 -4,17559 36 0,000180 8 30 18,0471 14,9406 1,459063 0,441637
35,7500 21,4667 5,31026 36 0,000006 8 30 9,5581 5,8882 2,634953 0,061803
653,2500 457,4667 5,21782 36 0,000008 8 30 90,2754 95,2430 1,113082 0,958255
518,1250 614,8667 -0,94544 36 0,350739 8 30 346,3580 230,5085 2,257752 0,116036
Vidíme, že i 2. a 3. skupina se liší na hladině významnosti 0,05
Úkol 8.: Na hladině významnosti 0,05 zjistěte, které proměnné způsobují rozdíly mezi
jednotlivými dvojicemi skupin.
Výsledek:
Podíváme-li se na tabulky v úkolu 7, můžeme konstatovat, že:
- naleziště 1 a 2 se liší pouze v obsahu aromatických uhlovodíků
- naleziště 1 a 3 se liší v obsahu všech čtyř látek
- naleziště 2 a 3 se neliší pouze v obsahu aromatických uhlovodíků.