Úvod
Splajn je anglické slovo (splíne) znamenající pružinu na rýsování křivek. Začátky teorie, která vyústila ve splajny, jsou dávné. Spočívala v propojení bodů křivky empiricky zadané několika body v rovině. Přesněji řečeno, je zadáno n čísel x\, X2,xn na ose xak nim jsou empiricky stanoveny hodnoty f(x±),/(a^), f(%n) nějaké veličiny (např. fyzikální). Přirozený požadavek je proložit body (xi,f(xi)) křivku, která by vyjadřovala (pravděpodobný) průběh oné veličiny na celém intervalu (xi,xn). Pro tu funkci f(x), kterou máme zkonstruovat, jsou ovšem požadovány některé vlastnosti, které jsou (podle zkušenosti) známy o zkoumané veličině, např. spojitost nebo i spojitost derivace apod. Tento postup, kterému říkáme interpolace dat, není ovšem úplně zadán. Nej přirozenější postup je ten, že mezi uzly (xi,f(xi)) proložíme např. části polynomů a jejich styčné body podrobíme nějaké podmínce. To je princip tzv. interpolačních splajnů.
Je jasné, že nejen volba spojek mezi uzly, ale i chyby měření se podepíší na kvalitě a interpolační hodnotě získané funkce. Nezbývá než brát zadané uzly jen jako orientační body konstruované funkce a vytvořit funkci, která by s jistou přibližností, ale s předepsanou hladkostí aproximovala neznámou funkci, jež představuje průběh měřené veličiny. Metody počtu pravděpodobnosti a statistiky umožní nahradit nedostatek informací o aproximované funkci. Tuto přibližnou aproximaci nazýváme vyhlazování dat; je zprostředkována tzv. vyhlazovacími splajny, které budou spolu s interpo-lačními splajny na programu našeho zkoumání.
Ve stručnosti, co ve spisu je. Po úvodních výkladech, které řeší problém ve velké obecnosti (a je dobrým vodítkem i pro vícerozměrné splajny), jsou probrány otázky speciální, jejichž řešení nabízí konkrétní výpočetní algoritmy praktické užitné hodnoty. Úvahy jsou rozprostřeny pouze pro jednorozměrný případ, tedy pro funkce jedné proměnné. Podrobnosti o funkcích více proměnných nejsou diskutovány, i když dřívější obecné úvahy připravují půdu i pro ně. To je jedna věc, která ve spisu chybí. Vzhledem k úvodnímu charakteru textu to není mezera zásadní. Druhá spočívá v neexistenci kapitoly, pojednávající o odhadu chyb.
Nakonec je vhodné připravit čtenáře na to, jaké znalosti se od něho očekávají. Jsou to standardní znalosti z analýzy, základy funkcionální analýzy a základní pojmy ze stochastických procesů. Vypadá to zle. čtenář však není ponechán na pospas monografiím, které by pohltily mnoho času i zájmu, ale možné mezery ve znalostech jsou doplněny tak, že použité věty z funkcionální analýzy jsou jednotlivě vypsány (s odkazy na literaturu)
i
2
Úvod
a pojmy ze statistiky i s potřebnými souvislosmi jsou vyloženy. Takže výzbroj čtenáře spočívá především ve schopnosti úsudku a ovšem v tréninku, kterým prošel v předchozích letech studia matematiky.
Nakonec malé vyhlédnutí za hranice tohoto skripta: jednorozměrný případně dvojrozměrný vyhlazovací splajn vyhladí šum digitálního záznamu zvuku na nosiči případně obrazu na fotografii. Výsledek: zvuk bez rušení, fotografie bez závoje.
Skriptum je určeno pro posluchače magisterských oborů programu matematika a programu aplikovaná matematika.
Závěrem děkuji kolegovi prof. RNDr. Jiřímu Hřebíčkovi, CSc za podnětné připomínky poskytované při psaní textu.
1. Splajny v Hilbertově prostoru
splajny)
V první kapitole nejprve pojednáme o nezbytných základech teorie splajnů jedné proměnné. Pojem interpolačního a vyhlazovacího splajnu zavedeme variační metodou jako minimizátory jistých funkcionálů, tak jak je do literatury uvedli r. 1968 Anselone a Laurent [2].
Ve vší stručnosti dále pojednáme o otázkách existence a jednoznačnosti splajnů v různých situacích a o otázkách spojených s nalezením algoritmu pro jejich konstrukci za značně obecných podmínek.
Rozvíjíme teorii pokud možno v obecné poloze a postupně specializujeme podmínky, jak to vyžaduje postupující prohlubování teorie. Ukončíme tento proces na takové úrovni obecnosti, která zahrnuje většinu případů vycházejících z praxe (pokud jde o splajny bez vedlejších podmínek jako: monotonie, konvexita a jiná omezení na výběr splajnů). Touto cestou je také vytvářen a aktualizován algoritmus pro konstrukci splajnu. Pro polynomické (Lg—)splajny jsou předloženy efektivní algoritmy a programy.
1.1. Pojem interpolačního a vyhlazovacího splajnu.
1.1.
Nechť
(1.1) X, Y, Z jsou (reálné) separabilní Hilbertovy prostory
(1.2) T : X —y Y, A: X —v Z spojité lineární operátory.
Zvolme prvek z G Z. Pokud operátorová rovnice Ax = z má řešení, definujeme:
Definice 1.2. Prvek s G X se nazývá interpolační splajn prvku z G Z vzhledem k operátorům T a A, když
Z\\Ts\\Y =   min   \\Tx\\Y. (1) xeA~1(z)
Říkáme také, že s je splajn interpolující prvek z G Z vzhledem k T a A.
Za situace, kdy
1) A~l(z) = 0 anebo
2) A'1 ^ 0, ale prvek z je nepřesně vybrán, takže interpolace prvku z je nežádoucí,
zavedeme "korekční" parametr p > 0 a definujeme
Definice 1.3. Prvek sp G X se nazývá vyhlazovací splajn prvku z G Z vzhledem k operátorům T a A a parametru p > 0, když
$P(sp) = p\\Tsp\\y + \\Asp - z\\2z = minp||Ta:||y + \\Ax - z\\2z. (1)
3
4
1.1. Pojem interpolačního a vyhlazovacího splajnu
Mluvíme také o splajnu vyhlazujícím prvek z G Z vzhledem k T, A a p. číslo p > 0 se nazýva parametr vyhlazení.
Poznámka 1.4.
V případě, že prostor Z je kartézská N—tá mocnina prostoru reálných čísel E, Z = EN, definujeme obecnější verzi vyhlazovacího splajnu prvku z = [z\,zn]T G EN vzhledem k T a A s vyhlazovacím parametrem v této obecnější podobě: p = [pi,...,pn]T G EN,pi > 0,i = 1(1)N. Extremální podmínka 1.3(1) pro vyhlazovací splajn v této obecnější verzi zní pak takto
\\Tsp\\Y + \\Asp -z\\\ = miii[||Ts|||r + \\Ax - z\\f\, (1) kde norma ||.||i je definována vztahem
n
wi? = E(i/«)*?
Požadavek 1.4(1) můžeme přepsat ve tvaru
\\Tsp\\l + (Asp - z)TQ(Asp -z) = = miii[||Ts|||r + (Ax - z)TQ(Ax - z)], (2)
kde Q = diag(l/pi,1/pjv), (diagonální matice) nebo též
n
\\Tx\\2Y + ^(l/piMAx^ - Zif = min! (3)
i=l
Předešlou úvahu můžeme ještě zobecnit. Označme ||.||| ekvivalentní normu k normě ||.||z- Pak prvek se G X se nazývá vyhlazovací splajn prvku z G Z vzhledem k operátorům T a A a normě ||.|||, když
<S>e(se) = \\Tse\\2Y + (\\Ase - z|||)2 = mintllTxH2, + (\\Ax - z\\%)2]. (4) 1.5.
Extremální problém 1.3(1) se obvykle přeformulovává následujícím způsobem.
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
5
Lineární prostor
V = Y x Z (kartézský součin prostorů Y a Z) přejde v Hilbertův prostor, když definujeme skalární součin
{v',v")v = p{y',y")Y + {z',z")z, kde v' = (y',z') a v" = (y",z") jsou prvky ve V, s příslušnou normou
\\v\ív = p\\v\\y + Iklll pro v = (y,*) ^ v.
Pak zobrazení
S i x ' y (Tx, Ax)
je spojitý lineární operátor S : X —> V. Pro p = (0, z) G V pak obdržíme
ekvivalentní definici vyhlazovacího splajnu sp, definice 1.3: sp je řešení variační úlohy
\\Ssp — p\\y = min||5a: — p||y, kde p = (0,z) G V. (1)
Už v této obecné poloze se jeví základní rysy splajnů vyjádřené následujícími charakteristikami 1.6(1) a 1.6(2).
Věta 1.6. Za předpokladu, že zobrazení T a A jsou surjektivní a N (A) + N(T) je uzavřená množina v X, platí
s G X řeší 1.2(1) & s^A~l{z) a Ts G (TJV(A))±, (1)
sp G X řeší 1.5(1)       (Ssp-p) G (5X)X, (2)
kde S a p jsou definovány v 1.5, N (A) = {x G X : Ax = 0} je jádro (null space) zobrazení A a (•)_L značí ortogonální doplněk, (viz [5] Satz 4.1, str. 91). □
1.2. Existence a jednoznačnost interpolačního splajnu.
Otázka existence a jednoznačnosti řešení úloh 1.2(1) a 1.5(1) má fundamentální význam. Odvodíme k tomu jisté dostatečné podmínky, které pro svou obecnost budou v dalším dobře aplikovatelné.
Věta 1.7. Úloha 1.2(1) (interpol ační splajn) má řešení pro každé z G Z, pro něž A~l(z) ^ 0, jestliže je splněna podmínka
T N (A) je uzavřená množina v Y. (1)
(např. [23], 1, § 1.2, Teor.1.1).
Důkaz. Nechť A'1 (z) ^ 0. Pro každé x G A'1 (z) platí A'1 (z) = x + N (A). Z předešlé rovnice vyplývá
T A'1 (z) =Tx + TN(A).
6
1.2. Existence a jednoznačnost interpolačního splajnu.
Z 1.7(1) plyne, že TA'1 (z) je uzavřená množina v Y. Podmínka 1.2(1) říká, že T s je prvek v TA~l{z) s nejmenší vzdáleností od 0 €E Y. Takový prvek v TA~l(z) existuje vzhledem k uzavřenosti TA~l{z). □
Věta 1.8. Úloha 1.2(1) {interpol ačni splajn) má nejvýš jedno řešeni pro každé z €E Z, pro něž A-1 (z) ^ 0, je-li splněna podmínka
N(T) n N (A) = 0. (1)
(např. [23] 1, § 1.2, Teor.1.1)
Důkaz. Předpokládejme, že A-1 (z) ^ 0 a že existují dvě řešení s± a S2 úlohy 1.2(1). Oba prvky /i = Tsi a /2 = Ts2, /i, /2 e TA"1^) mají podle 1.2(1) nejmenší vzdálenost od 0 £ ľ. Odtud ||/i||y = ||/2||y- V dalším index Y budeme vynechávat. Platí
(h + f2)/2ETA-1(z),
odkud
||/i||<||(/i + /2)/2||<(||/i|| + ||/2||)/2 = ||/1||,
tedy
||/i|| = l/2||/i + /2||
a analogicky
||/2|| = l/2||/i+/2||,
takže
II/1 + /2IIHI/1II + H/2II.
Odtud
ll/ill2 + 2(/l5 h) + H/2II2 = H/ill2 + 211/iH • H/2II + H/2II2
čili
(/i,/2)y = ||/i||y|l/2||y-Tento zvláštní případ Schwarzovy nerovnosti nastává pouze v případě, že /1 = A/2, A > 0. Z rovnosti ||/i||y = ||/2||y pak plyne A = 1, /1 = /2 =: /. Z tohoto výsledku vyplývá
2^1,2 = /, Asij2 = z,
takže pro g = s± — s2 platí Tg = 0, Ag = 0, tj.
g G N (T) n N (A) = 0,  g = 0, si = s2. □
často nastává situace, popsaná v následující větě, za které je splněna podmínka 1.7(1), zaručující existenci splajnu.
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
7
Věta 1.9. Nechť
TX je uzavřená množina v Y. (1)
a nechť N(T)C\N(A) = 0. Je-li dim N(T) < oo nebo je-li podprostor AN(T) uzavřený, pak T N (A) je uzavřená množina v Y, tj. je splněna podmínka 1.7(1) pro existenci splajnu (např. [23] 1, §1.2, Teor.1.2).
Důkaz. Nechť {yk} je posloupnost prvků v T N {A) konvergující v Y k prvku y. Prvek y patří do uzavřené množiny TX. Existují xk G N (A) tak, že V k = Txk. Posloupnost {xk} je ohraničená. Vskutku, uvažujme rozklad Xk = xki+xk2, kde Xki G N (T), xk2 G N (T)-1. Zřejmě Txk2 = yk- Restrikce T operátoru T na podprostor ./V(T)-1 je spojité 1-1-značné zobrazení JV(T)-1-na TX. Podle Banachovy věty o inverzním operátoru ([11] IV, 5.4, Teor.3 -t) 1), operátor T"1 je spojitý. Odtud \\xk2\\x = \ \Ť-lyk\\x < \\Ť-l\\-\\yk\\Y ■ Protože konvergentní posloupnost {yk} je ohraničená, je také posloupnost {2^2} ohraničená.
Dále A(xk) = A(xki + 2^2) = 0, tedy A(xki) = — A(xk2)- Označme symbolem A restrikci operátoru A na podprostor N (T). Protože A je spojité 1-1-značné zobrazení N (T) na AN(T) a AN(T) je podle předpokladu uzavřený nebo konečnědimenzionální, tedy zase uzavřený podprostor, podle citované Banachovy věty A-1 je spojité zobrazení. Odtud
Halili = ||Jr-1Aaľfci|| = ||Jr-1Aaľfc2|| < •       ■ \\xk2\\.
Ohraničenost posloupnosti {xk} je tím potvrzena.
Existuje podposloupnost {xk/} posloupnosti {xk}, která slabě konverguje
sl
k nějakému prvku (řekněme) x ([16] III, §24, Teor.3 - jj 2 ). Potom Axy —>
Ax, Txw 4 Tx ([16] III, §25, Teor.3 - |) 3 ). Platí však Axk' = 0 pro všechna k' a Txki -)■ y. Odtud Ax = 0, Tx = y, takže y G TN (Ä). □
Důsledek 1.10. Nechť T X je uzavřená množina v Y, N (A) n N (T) = 0
a dim Z < 00. Pak T N (Ä) je uzavřená množina v Y, tj. je splněna podmínka 1.7(1) pro existenci splajnu. □
Poznámka 1.11. Je-li TX uzavřená podmnožina v Y, můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat TX = Y, neboť TX je v tom případě Hilbertovým prostorem.
Důkaz. Z podmínky dim Z < 00 plyne dim A/V(T) < 00 a z podmínky N(T) n N (A) = 0 plyne, že A je 1-1 na N(T). Odtud dimJV(T) < 00. Tvrzení plyne z věty 1.9.
8
1.3. Existence a jednoznačnost vyhlazovacího splajnu
1.3. Existence a jednoznačnost vyhlazovacího splajnu.
Věta 1.12. Nechť N(T) !~l N(A) = 0 a nechť
SX je uzavřená podmnožina ve V. (1)
Pak úloha 1.5(1) (vyhlazovací splajn) má přesně jedno řešení, (např. [23] 1, §1.2, Teor.1.3)
Důkaz. Operátor 5 je injektivní. Vskutku, je-li 5a; = 0, pak Tx = 0 a Ax = 0. Vzhledem k podmínce N(T) n N(A) = 0 platí x = 0. Norma \\Sx — p\\v dosahuje minima pro 5a; € SX, pro něž je vzdálenost p od 5a; minimální. Takový prvek 5a;, řekněme / € SX, existuje v důsledku uzavřenosti SX ve V a je jediný, což se dokáže analogicky jako jednoznačnost prvku TS v důkazu věty 1.8. Hledaný prvek sp je roven 5-1/. □
1.13.
Připomeňme následující dobře známá fakta. Z definice operátoru T* ad-jungovaného kTe £[X,Y]
(Tx, y)Y = (x, T*y)x, V x € X, V y € Y, (1)
plynou přímo vztahy
W(Ť)± = N(T*),  5ř(T*)± = N(T), (2)
a odtud
SR(T) = JV(T*)±,  WŤ*j = Ar(T)x, (3)
kde 5ř(T) = T(X) značí range (obor hodnot) operátoru T v Y. Dále připomeňme „closed-range theorem" (např. [27], str. 205):
5ř(T*) je uzavřené v X     5ř(T) je uzavřené v Y. (4)
Věta 1.14. Nechť platí N(T) n JV(A) =0, TX = Y a jedna z podmínek AX = Z nebo dimZ < oo. Pak SX = N(S*)± je uzavřená množina ve V.
Důkaz. Nechť v = [y,z] je prvek ve V. Pak S*v = pT*y + A*z a tedy S*V = T*Y + A*Z = 5ř(T*) + takže podle 1.13(3) S*V = JV(T)± +
N(A)±, neboť podle closed range theorem 1.13(4) a podle 1.13(3) JV(T)-1- = 5ř(T*) = 5ř(T*) a podobně pro A. (V alternativním případě dimZ < oo je dimAX < oo a tedy $l(A) i 3?(A*) jsou uzavřené.) Ze vztahu 0 = N(T) n JV(A) plyne X = 0X = JV(T)± + N(A)1- = S*V = 5ř(5*). Ježto 5ř(5*) je uzavřeno v X, je podle 1.13(4) 5ř(5) = 5X uzavřeno ve V a podle 1.13(3) je SX = 5ř(5) = 1(5) = N(S*)±. □
Vztah mezi interpolačním a vyhlazovacím splajnem objasňuje následující věta.
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
9
Věta 1.15. Nechť z G Z. Nechť existuje přesně jeden splajn sp vyhlazující prvek z a nechť existuje přesně jeden splajn š interpolující prvek Asp. Pak š = sp.
Poznámka 1.16. Méně přesně řečeno, vyhlazovací splajn je interpolač-ním splajnem za předpokladu existence a jednoznačnosti obou typů splajnů (např. za podmínek 1.7(1), 1.8(1) a 1.12(1).)
Důkaz věty 1.15. Máme-li sestrojen splajn sp vyhlazující prvek z G Z, definujeme zp = Asp. Splajn š interpolující prvek zp je jednoznačně určený minimizátor výrazu min^^-i^ ) ||Tx||y (množina A~1(zp) je neprázdná, protože sp G A~l{zp)).
Platí
$p(š) = p\\Tš\\y + \\Aš - z\\% = p\\Tš\\Y + \\Asp - z\\% <
< p\\Tsp\\Y + \\Asp -z\\2z = $p{sp).
Nerovnost <&p(š) > <&p(sp) je evidentní, takže <&p(š) = <frp(sp). Ježto <&p(x) má jediný minimizátor v X, totiž sp, platí š = sp. □
1.4. Nalezení splajnu. Analýza problému.
1.17. Algoritmus pro interpolační splajn.
V tomto a v dalších odstavcích budeme postupně zesilovat podmínky, až se nám v určitém stadiu podaří vypracovat v praxi použitelný algoritmus pro vytvoření splajnu. Tyto podmínky - jak uvidíme - budou ještě do té míry obecné, aby zahrnovaly většinu prakticky zajímavých případů.
1.18.
Vyjdeme z definice 1.2 interpolačního splajnu s, definovaného vztahy ||Ts||y = min^^-i^) ||Taľ||y, za speciálního předpokladu, že
prostor Z = EN, (1)
operátora = (Ai,Xn), (2)
kde Aj jsou nezávislé spojité lineární funkcionály na X, i = 1(1)N.
Předpokládejme dále, že jsou splněny podmínky 1.9(1) a 1.8(1), které zaručují existenci a jednoznačnost splajnu interpolujícího prvek z = r = [ri, ...,rjv]T G EN. Označme
ki, i = 1(1)N, reprezentanty funkcionálů Aj v X, (3) tj. Xíx = (ki,x)x pro libovolné x G X.
10
1.4. Nalezení splajnu. Analýza problému
Požadavek, aby splajn s interpoloval vektor r = [ri,rjv]T G EN je tedy vyjádřen podmínkou
{h,s)x=ri, i =l{l)N. (4)
Označme K lineární obal lineárně nezávislého systému prvků &i,fcjv
K = span{Ä;i}f. (5)
Zřejmě N = dim if < oo, takže K je uzavřený podprostor v X. Dále zřejmě
N {A) = K±. (6) Odtud K ^ X/K1- = X/N(A) ^ AX (přiřazení prvků: x ■->• [x] a z = Ax i y [x] G A'1 (z)), tedy dim if = dim AX, čili
AX = EN. (7)
die closed-range theorem 1.13(4) odtud plyne, že
$l(A*) je uzavřená podmnožina v X. (8)
Označení a pojmy zavedené v 1.18 budou v dalším používány bez odkazování.
Tvrzení 1.19. Nechť r G A(X). Platí
Ts G (Tif±)± (1)
Důkaz. Podle věty o projekci (např. [18] Th. 2, §3.3, str.51 - jj 10, viz také obrázek a větu 2.1) je T s ortogonální k varietě TA~l(r) (ovšem také k pod-prostoru TA~l(0)), tedy také k prvku T(x — s) pro libovolné x G A~l(r), tj. (Ts,T(x-s))Y = 0. Odtud vyplývá Ts G [TJV(A)]±. Vztah 1.19(1) pak plyne z 1.18(6).
Věta 1.20. Nechť platí 1.18(1) a 1.18(2). Nechť dimJV(T) = q < oo a dimK = N < oo. Nechť platí 1.8(1) aTX = Y. Pak pro H = K nJV(T)± platí
(Tif±)± = T*~lH, T*[Tif±]± = iř, (1)
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
11
dimCr*-1^) = dimiř = N - q. (2)
□
Poznámka 1.21. Podmínky věty 1.20 zaručují existenci a jednoznačnost splajnu, interpolujícího libovolné z € Z, pro něž A~l(z) ^ 0 - viz důsledek 1.10
Důkaz věty 1.20. Ze vztahu 1.13(1) plyne y € (TM)1- = T*y € M-1 pro libovolný podprostor M C X. Odtud
T*(TM)1 = Min &(T*). (1)
(l)Položme M = K± aH = K n AT(T)-1. Pak podle 1.20(1) (existenci T*-1 zaručuje 1.13(2))
(Tif±)± = T*_1[if n JV(T)-1-] = T*_1iř,
neboť _
1) v důsledku 1.13(3) je &(T*) = JV(T)1- a
2) podle closed-range theorem 1.13(4) je 3i(T*) uzavřeno v X, protože 3i(T) je uzavřeno v Y;
tudíž &(T*) = AT(T)±. Z 1.21(1) plyne 1.20(1)
T^Tif-1)-1 =    n JV(T)-1 = H.
Konečně platí 1.20(2), dimiř = N — q. K důkazu zaprvé odvodíme vztahy
A^ANiT)]1- = JV(T)± n &(A*) = JV(T)± n iř = H; (použijeme zde 1.20(1) - kde klademe A místo T a N(T) za M - a přihlédneme k 1.18(6), 1.13(3) a 1.18(8)); zadruhé dokážeme postupně
dim[A/V(T)] = dimJV(T) = q (uvažme, že A je 1-1 na N(T))
dimfA/VCT)]-1 =N-q
dimiANlT)]1- = dim A* [AW(T)]-1- = N-q (podle 1.13(2) a 1.18(7) je A* prosté zobrazení na EN),
dim(A*-1H) = dimH = N-q. □
12
1.4. Nalezení splajnu. Analýza problému
1.22.
Na základě předešlého je možno sestrojit algoritmus konstrukce interpo-lačního splajnu v následujících čtyřech krocích:
KROK 1. Najdeme bázi prostoru H = K D N (T)1- a to tak, že najdeme lineárně nezávislé prvky h\,h^-q v K, ortogonální k N (T)
n
hi = J2hijkj, i =l(l)N-q. (1)
KROK 2. Definujeme
f i = T*~lhh i = 1(1)    - q. (2)
Kroky 1. a 2. budou v dalším (odst. 1.7) za speciálních podmínek popsány podrobněji.
KROK 3. Podle 1.19(1) a 1.20(1)
Ts G (TK-L)1- = T*~lH.
Odtud
n-q
Ts=J2 Hifi (3)
i=l
pro některá čísla //j, i = 1(1)N — q, která vypočteme takto:
n-q
E HiifiJjfr = (Ts,fj)Y = (s,T*fj)x = (s,hj)x = i=l
n n n
= (s: E hjikki)x = E hji(kh s)x ' =   E hjin.
i=l i=l i=l
Odtud dostáváme systém lineárních rovnic pro neznámé //j
n-q n
Eí/i,/*)^ =E^' * =1(1)^-9, (4)
j=l J'=l
jehož matice A = ((fi, fj)y) je symetrická a kladně definitní Gramová
matice prvků /i,/jv-9-
V maticovém tvaru se 1.22(4) vyjádří takto:
A/i = JTr, (5)
kde
H = [m,MJV_9]T G r = [n,rNf G
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
13
A =((/i,/j)y) je Gramová [(N - q) x (N - q)] - matice (6) H = (hij) je [(N -q) x N]- matice.
KROK 4.
N-q
s = T~lTs = T"1 Y, A»i/i- (7)
i=l
1.5. Algoritmus pro vyhlazovací splajn. 1.23.
Stále předpokládáme, že platí 1.18(1), 1.18(2), 1.8(1) a 1.9 (1). Připomeňme, že vyhlazovací splajn sp podle definice 1.3 (viz též poznámku 1.4) je minimizátor funkcionálu (na X)
N 1
%{x) = \\Tx\\2Y + V-((ki,x)x - n)2. (1)
Prvek s p nabývá na funkcionálu fe, hodnoty, kterou budeme značit rP, (ki,sp)x = rp analogicky ke 1.18(4).
Připomeňme dále, že podle věty 1.15 splajn interpolující prvek rp = [rp,rpNY" je splajn vyhlazující prvek r = [ri,rjv]T - pokud máme zaručenu jednoznačnou existenci obou typů splajnu (např. pokud platí 1.9(1), 1.8(1), 1.12 (1); viz také důsledek 1.10 a větu 1.14). Lze tedy použít výsledků odst. 1.18.
Nechť tedy platí 1.9(1), 1.8 (1) a 1.12(1). Tak jako v 1.22(6) budeme značit symbolem A Gramovú matici systému prvků /i,/jv-g,
A = ((fiJj)Y) a H = (hi:j).
Podle 1.22(5) a 1.22(3) platí
A^ = Hrp,  np = fipN_g]T e EN~*, 1
r p = K,rpNf G EN,  Tsp = ^/ť. J ^
Nechť dále
Q = diag(l/pi,..., 1/pjv)-
Odtud dostáváme
N-q
\\tsp\\y = Y PiďjUufjlY = (AnPHp)EN.
14
1.5. Algoritmus pro vyhlazovací splajn
Funkcionál <&p(x) na prostoru interpolačních splajnů se na základě předešlého dá přepsat jako funkcionál na vektorech rp, a to
VP{rP) ■■= ®p(sP) = (AnP, fip)EN + (rp - r)TQ(rp - r). (3) Podmínka minima funkcionálu \řp(rp) = <&p(sp) je následující
8rps
S použitím 1.23(3) obdržíme
0,  s = 1(1)N.
Protože A nezávisí na rp, bude platit
,dr, = 2(
Závěrem
2(^,HTvp) = 2[HTvp]s.
HTnp + Qrp = Qr, odkud s pomocí 1.23(2) plynou rovnice pro výpočet vektoru fj,p
{A + HQ-lHT)np = Hr. (4)
Rovněž odtud plyne vyjádření rp
rp = r- Q~lHTixp. (5)
Algoritmus pro konstrukci vyhlazovacího splajnu spočívá v následujících čtyřech krocích.
KROKY 1. a 2. se shodují s kroky 1. a 2. interpolačního splajnu (odst. 1.18).
KROK 3. Řešíme systém 1.23(4) pro neznámé složky vektoru jjlp a tím
najdeme Tsp = Yl^Ji9 Vi f i a podle 1.23(5) určíme rp.
KROK 4. je týž jako v případě interpolačního splajnu (odst. 1.18).
Jak bylo v odst. 1.22 řečeno, kroky 1. a 2. algoritmu budou podrobněji rozvedeny v 1.7 po další specializaci výchozích předpokladů.
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
15
1.6. Lt/-splajny. 1.24.
Lg-splajny jsou splajny jistého typu v tzv. Sobolevových prostorech.
Nechť X je lineární prostor reálných funkcí / na intervalu [0,T], jejichž q-tá derivace existuje skoro všude, je integrovatelná s kvadrátem, (tj. g L2[0,T]) a derivace /w, i < q, jsou absolutně spojité na [0,T].
Prostor X se stane Hilbertovým prostorem, defmujeme-li na X skalární součin s odpovídající normou takto:
(/.»)=i rf{i)(t)9{iHt)dt, (i) í=i ^
ii/ii^É/V^^^^Éii/^iiL^t]- (2)
i=0 ,'0 i=0
Tento prostor nazýváme Sobolevovým prostorem a značíme W9'2[0,T]. Je-li nutné, skalární součin 1.6(1 ) resp. normu 1.6(2) značíme (., .)w9,2 resp. ||.||w<,,2.
Poznamenejme, že Sobolevovým prostorem se také nazývá lineární prostor X případně s jiným skalárním součinem.
Definice 1.25. Lg-splajn je H-splajn, pro nějž
X je Sobolevův prostor Wq'2[0, T], (1)
Y = L2[0,T], (2) q
T = L:f^J2 aifU)> kde aJ G Ci[°>T^ Í =        - !> o, = 1. (3)
3=0
Zvlášť důležitý je případ (jímž se budeme zabývat)
Z = EN, N je přirozené číslo, (4) A:f^[X1f,...,XNf]TEEN, (5)
kde A = {Xi}i je lineárně nezávislý systém spojitých lineárních funkcionářů na Wi'2[0,T].
Zřejmě L g £[W9>2,L2] je surjektivní operátor. Podle 1.18(7) také operátor A g £[Wq'2, EN] je surjektivní.
16
1.6. Lp-splajny
1.26.
Vyšetříme, kdy při předešlé specifikaci prostorů X, Y a Z a operátorů T a A má každý z problémů 1.2(1) (interpolace) a 1.5(1) (vyhlazení) přesně jedno řešení.
Podrobněji řečeno, jde o řešení problémů
íT(Ls)2 =     min     /V/)2, (1) Jo f e A-i^Jo
kde A~l(r) = {/ g W«>2 : \f = rh i = 1(1)at}
n 1
{Lsp)2 + YJ-UsP)i-ri]2 =
ľ
Jo
mm
fewi
2{[ (Lff + ^rhAtfi-ri}2}.
• J°        i=lPi
(2)
Stačí přeformulovat na novou situaci podmínky 1.7(1), 1.8(1) a 1.12(1) (věty 1.7, 1.8 a 1.12). Podle věty 1.9 podmínka 1.7(1) platí, platí-li 1.8(1) (neboť LW9'2 = Li a dimN(L) = q < oo). Podle věty 1.14 platí podmínka 1.12(1), platí-li 1.8(1). Zbývá tedy vyšetřit, kdy je splněna podmínka 1.8(1). K tomu cíli uvažujme homogenní diferenciální rovnici
Ly = 0.
Ta může být zapsána v ekvivalentní formě jako systém
y(t) = cx(í) \
^x(í) = A(í)x(í),   íg[0,T], /
(3)
kde
x(ŕ) = [J/(ŕ),y'(ŕ),...,y«-1(í)]5
	c =	[1,0,...,0],
	0	I
A(t) =		
	. -ao(t)	-ai(í),...,-ag_i(í),
kde / je jednotková matice řádu q — 1.
Je-li <E>(í, t) fundamentální matice systému 1.26(3) splňující <E>(r, t) = /, bude platit
y(ŕ) g JV(L) & y(ť) = c$(ŕ,ŕo)x(ŕ0) (4) pro některé ío £ [0, T1] a některé řešení x(í) systému 1.26(3). Označme
Aic$(í,íq)
B
(5)
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
17
Věta 1.27. ([25] Th. 2.3) Podmínka 1.8(1) N(L) n N (A) = 0 je splněna, právě když
hodnosta = q. (1)
Důkaz. Nechť y(t) G N (Ľ). Podle 1.26(4) platí y (t) = c$(ŕ,ŕ0)x(ŕ0) pro některé ío £ [0, T1] a některá řešení x(í) systému 1.26(3). Nechť dále y(t) G N (A). Pak Bx(tQ) = 0. Je-li hodnost B = q, pak x(r0) = 0, y(t) = 0 a tedy N(L) n JV(A) = 0.
Je-li hodnost B < q, pak existuje nenulový q-vektor v tak, že Bv = 0 a řešení x(í) systému 1.26(3) takové, že v = x(ío)- Funkce y(t) = c<E>(í, ío)x(ío) patří pode 1.26(4) do N(L) a protože Bx(tQ) = 0, platí y(t) G N (A). Odtud 0 ^ y(t) G JV(L) n JV(A). □
Podmínka 1.27(1) říká, že funkcionály Ai,...,Ajv, aplikovány na první složky fundamentálního systému řešení soustavy rovnic 1.26(3) - jinak řečeno aplikovány na bázi prostoru N(L) - dávají matici hodnosti q.
Předešlé úvahy potvrzují následující větu.
Věta 1.28. Lg-splajn interpolující nebo vyhlazující vektor r G EN vzhledem k operátorům T = L a A = (Ai,...,Ajv) existuje a je jednoznačně určen, když je splněna jedna z ekvivalentních podmínek:
hodnost .B = q, (1)
v  množině funkcionálů {\i}±  existuje podmnožina "1 o q prvcích, která je lineárně nezávislá v N(L). J
□
1.29.
Nechť na intervalu [0,T] je zadána síť 0 < íi < ti < ... < t n < T. Předpokládejme nyní, že operátor A znamená interpolaci na dané síti, tj.
(a/0i = f (U), i = 1(1)N, f e W*2[0,T\ (1)
a že operátor L znamená q-tou derivaci,tj.
L = Dq. (2)
Věta 1.30. Pro Lg-splajny splňující podmínky 1.29 (1) a (2) platí: Úloha 1.4 (interpolace)
min ||D92;||l2
x e A-!(r)
Úloha 1.6 (vyhlazení)
n
mm
18
1.6. Lp-splajny
má přesně jedno řešení, když
N>q. (1) (např. [23] 1, §1.3, Teor. 1.5, str. 18).
Důkaz. Platí A~l(r) ^ 0 pro všechna r = [ri,rjv]T G EN, protože existuje funkce / €E Wq'2 s vlastností f (ti) = r,, i = 1(1)-ZV, např. Lagran-geův interpolační polynom stupně N — 1.
Jádro (A) operátoru A se skládá z funkcí prostoru Wq'2, které se anulují v bodech sítě íi, ...,Íjv- Jádro N(L) operátoru L se skládá z polynomů stupně < q. Průnik N(L) !~l N (A) obsahuje tedy - pokud platí N > q -pouze nulovou funkci, protože netriviální polynom stupně < q má nejvýš q — 1 kořenů. Je tedy splněna podmínka 2.17(1).
Jak bylo dokázáno v 1.26, Lg-splajny splňují podmínky 1.7(1) a 1.12(1), což spolu s právě potvrzenou podmínkou 1.8(1) dokazuje větu. □
Dohoda 1.31. Všude v dalším budeme předpokládat - pokud nebude řečeno jinak - že podmínka 1.28(2) pro jednoznačnou existenci Lg-splajnů je splněna; pro jednoduchost budeme pokládat množinu {\}f=1 za lineárně nezávislou v N (A) (po případném přečíslování). Alternativně je též možno předpokládat, že (prvních) q řádků matice B je lineárně nezávislých.
1.7. Algoritmus konstrukce Lg-splajnů
Polynomické splajny lichého stupně.
1.32.
Předpokládejme, že pro Lg-splajn jsou splněny podmínky 1.29(1) \f = f (U), i = 1(1)N a 1.29(2) T = L = Dq & že je podmínkou 1.30(1), N > q, zaručena jednoznačná existence Lg-splajnu - viz větu 1.30 a dohodu 1.31. V této dohodě se předpokládá lineární nezávislost funkcionálů Aj v počtu q v N(L). Jsou-li Aj definovány předpisem 1.29(1), \f = f (ti) a platí-li 1.29(2) L = Dq a 1.30(1) N > q, pak kterákoli q-tice funkcionálů \ Je v prostoru N(L) lineárně nezávislá.
Podáme podrobnější popis kroků 1. a 2. algoritmu pro výpočet interpo-lačního a vyhlazovacího splajnu z odst. 1.18 a 1.20.
KROK 1. Jádro N(T) operátoru T = Dq se skládá z polynomů stupně < q, dimJV(T) = q; bázi jádra tvoří např. polynomy 1 i-1. Zkon-
struujeme funkce h\,h^-q ve tvaru
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
19
i+q
hi = ^hijkj, i =l(l)N-q, (1)
j=i
který se získá elementárními transformacemi systému 1.22(1) (značení koeficientů hij ponecháváme). Prvky hi mají být ortogonální k N (T), což vede na následující rovnice pro neznámé koeficienty hij
(hhxk)wq,2 = 0, k = 0(1)9 - 1, i = 1(1)JV - 9, (2)
čili
i+q
hijt) = 0, k = 0(1)9 - 1, i = 1(1)- q. (3)
j=i
Podmínku (3) je možno interpretovat takto: na (q + l)-uzlové síti A = {ti,ti+g} je třeba zkonstruovat diferenční aproximaci operátoru Dq s řádem aproximace 0(hq), tj. takový diferenční analog (poměrnou diferenci), který anuluje všechny polynomy do stupně q — 1. Stačí nalézt neznámé hij až na konstantní faktor.
KROK 2. Inverze operátoru T*. Ve shodě s 1.22(2) máme najít funkce
fi(t)=T*-1hi(t), i =l(l)N-q, (4)
kde hi(t) G JV(T)± aT = D".
K tomu cíli připomeňme, že skalární součin v prostoru X = Wq,2[0, T] je definován
q T
(/,<?W=E ífik)(t)9W(t)dt =
k=o{
q-l
= J2(Tkf,Tkg)L2 + (Tf,Tg)L2, k=0
kde Tk = Dk je spojitý lineární operátor Wq'2[0,T] -»■ L2[0,T], k = 0(1)9 — 1. Greenova funkce G+ operátoru T = Dq má tvar
G+(x-t) = (x-t)\-l/(q-l)\,
takže pro T operující vzhledem k x platí
TG+(x-t) = 6t, (5)
kde St je Diracova funkce ô vztažená k proměnné t. Zdůrazněme, že výrazy, v nichž vystupují G+ a St, chápeme jako zobecněné funkce.
20     1.7. Algoritmus konstrukce Lg-splajnů. Polynomické splajny lichého stupně
Tvrzení 1.33. Nechť funkce h(x) G X = Wi>2[0,T] je ortogonální k N (T). Pak platí
(T*-1h)(t) = (h(x),G+(x-t))x. (6)
Poznámka 1.34. Z následujícího důkazu je patrné, že tvrzení platí pro libovolné lineární operátory Tj : X —> L,2[0,T] a pro funkci G+ splňující TG+{x-t) = 6t.
Důkaz věty 1.33. Označme f(t) = T*~lh(t), g{t) = (h(x),G+{x - t))X-Rovnost 1.33(6) je ekvivalentní s roností h(t) = T*g(t). Pokud pro libovolné fj,(t) G X platí
(h,ix)x = {T*g,ix)x (= (g,TriLí), (1) bude platit i 1.33(6). Funkce jjl(x) se dá vyjádřit ve tvaru
H(x) = n(x) + (G+(x - ŕ), T/i(ť))La,
kde n(x) G N (T), neboť zřejmý vztah
T(G+(x - ŕ),T/i(ŕ))L2 = {5x,Tfi)L2 = Tfi{x)
vyjadřuje, že (G+(x — í),T//(í))x,2 a jjl(x) se liší (aditivně) jen o prvek z N(T).
Odtud obdržíme
(h,ix)x = (h,n)x + (h, (G+(x - ŕ), ?>(í))l2)x =
= 9^(TMx):Ti(G+(x - ŕ),T/i(ŕ))L2)La +
i=0
+(Th{x),T{G+(x-t),Tli(t))La)La =
= qJ2{TMx),Ti{G+{x -ŕ),T/i(ŕ))L2)L2 + {Th(x),Tn{x))L2.
i=0
Z druhé strany
(g,Tfx)L2 = {{h(x),G+(x-ť))x,Tfi(t))L2 =
= 9-£((Tih(x),TiG+(x-t))La,Tn(t))L2 + (Th(t),Tfi(t))L2.
i=0
} (2)
} (3)
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
21
Rovnost (h, fj,)x = (<7, Tfj,)l2 je tím dokázána, neboť pořádek integrování v 2 a 3 lze zaměnit; totiž platí
"^((TM^iTiG+ix -t))L2,Tfi(t))L2 =
i=0
= ^(Tihix^TiiG+ix - t),Tfi(t))L2)L2.
i=0 □
1.35.
Z předešlé věty plyne
i+q
fi(t) = (x - r)«-V(? - 1)!W
j=i
S ohledem na interpolační vztah (ki,u)wq,2 = u(ti) obdržíme
i+q
/i(í)=EM*i-<)+"1/(9-l)!, * =l(l)N-q, (1)
j=i
nebo po úpravě hij = i, i = 1(1)-^ — q, j = 1(1)<? + 1, jež má za
cíl upravit pásovou matici H = (hij) na tvar plné (N — q x q+ l)-matice H = (hij) (úhlopříčky pásu v H přejdou ve sloupce v H), bude
9+1 _
fi(t) = Y ~ í)rV(9 -       * = 1(1)^ - q. (2)
KROK 3. Poznámky ke struktuře splajnu. Podle 1.22(3)
n-q
Ts =      = Y Hifi
i=l
je po částech polynomická funkce stupně q — 1 hladkosti C9_2[0,T]. Z vyjádření 1.35(1) vychází
s(9+*)(ťl) = s (9+*)^) = 0, fc = 0(1)9 - 2.
Vně intervalu [íi, íjv] je funkce       totožně rovna 0. Tudíž po g-násobné integraci obdržíme splajn, který v každém podintervalu [íj, íj+i] je polynom stupně 2q—1 a v intervalech [0, íi] a [íjv, T] se prodlužuje polynomem stupně q - 1. Na celém definičním intervalu [0,T] platí s{t) G C29"2[0,T]. Matice A z rovnice 1.22(5) pro interpolační splajn
Ajjl = Hr
22     1.7. Algoritmus konstrukce ig-splajnů. Polynomické splajny lichého stupně
a symetrická pozitivně definitní matice (A + HQ lHT) z rovnice 1.21(4) pro vyhlazovací spajn
{A + HQ-lHT)np = Hr
jsou pásové, první o šířce pásu 2q — 1, druhá 2q + 1. Tyto matice závisí pouze na síti íi, ...,Íjv a nezávisí na vzorku (na hodnotách) n, ...,rjv.
KROK 4. Inverze operátoru T = Dq. Jak víme 1.22(7),
N-q
Ts = s^\t) = YJ»iW) i=l
neboli s ohledem na 1.35(2)
N-qq+l
*(9)(í) = EE^Míi+z-i-^rVte-l)!- (3)
i=l i=l
S ohledem na lokální vlastnost funkcí fi(t) je možné zapsat funkci s^g\t) =: s^\t) na intervalu [íj, íj+i] ve tvaru
P 9+1
= EEwMtw-i - í)rV(9 - 1)!, (4)
kde a = max(l,j — g + 1), j3 = min(JV — q,j). Na intervalu [tj, íj+i] vytvoříme splajn Sj(t) podle pravidla
2q-l
Sj(t)=J2af\t-tj)k/k\,
k=0
kde zřejmě
Z 1.35(4) pak plyne
a(9+*)=s(9+*)(ť.)
/3 9+1
= (-i)* E EMu+i-i - íi)r1_*/(9 -1 - *)!
pro j = 1(1)-/V — 1, A; = 0(l)g — 1, přičemž se sčítání provádí pouze pro j < j + 1 — 1. Odtud se přímo vypočtou a^g\ a?q ^. Dále = r3- v případě interpolačního splajnu, a       = rp- v případě vyhlazovacího splajnu,
přičemž rp- plyne z 1.21 (5). Pro efektivní výpočet koeficientů a^g ^
je vypracována řada algoritmů, z nichž jeden uvádíme v následujícím.
1.36.
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny)
23
Zbývá najít koeficienty
(1) (9-1)
(1)
Označme P?(r) polynom stupně 2q—1, který je na intervalu [tj, tj+± totožný se splajnem s(t). Vyjádření funkce s(t) obdržíme g-násobnou integrací výrazu 1.35(3) s výsledkem
N-q q+1
s(t) = M,_!(í) + (-1)« Y, E - <)¥_1/(2? - 1)!, (2)
i=l i=l
kde M9_i je polynom stupně g — 1. Z toho plynou vztahy
Pj(t) = (-1)«     £     AiÄa(ŕi+í_i-ŕ)2«-1/(29-l)!+Mí_1(ŕ). (3)
JV>i +i-l>j
pí+i(í) -p,(í) = (-íj'Ew-w - (-i)ffEi+i-i>i
= (-l)'(-     E     AťÄa)(ŕi+i - ŕ)2*"1^? - 1)! =
i+l-l=j+l
= ci(ŕi+1-ŕ)2«-1/(29-l)!; ze zřejmých relací
,(29-1),
(4)
Pfy"±;(r) ,,(29-1),
p)tyr±J(í)
vyplývá
^ - aj+i    - " j
Polynomy P, a P?+i se tedy liší o polynom (4), který už známe. Pro výpočet hledaných koeficientů (1) zvolíme q—1 uzlů íj+i,tj+g-i, a připomeneme zřejmý fakt, že v případě interpolace resp. vyhlazování platí
,(29-i)
„(29-1) j7+1
(29-1)
(29-1)
Pm(ím) = rm resp. r^, m = j + 1,j + q - 1.
(5)
Podmínky (4) a (5) vedou na systém q—l lineárních algebraických rovnic v neznámých (1), totiž na systém
9^af\tm-tj)k/k\ = {
k=i
resp.
k =q
m—l
~ 40) - E (4V - 429_1))(^+i - tm?«-ll{2q - 1)\
k=j
(6)
24     1.7. Algoritmus konstrukce Lg-splajnů. Polynomické splajny lichého stupně
pro m = j + 1,j + q — 1.    Vztah (6) plyne z rovnice
m—l
-Pj(tm) - E [Pk+l(tm) ~ Pk(tm)] + Pm(tm) = 0 k=j
nebo po úpravě z rovnic
m—l
Pj(tm) = Pm(tm) ~ E Ck(tk+l ~ tm)2^1 /{2q - 1)\ = k=j
= Pm(tm) ~ E'tf+T^ - 49~1])(tk+l ~ tm)2<!-1/(2q - 1)1 k=j
Tím jsou koeficienty af\...,a^ ^ nalezeny. Algoritmus je skončen. □
2. lg-splajn jako projekce ve Wq'2[0,T]. Interpolace EHB dat: Fundamentální teorém
2.1. Interpolace Lg-splajnem jako minimální problém ve Wq, 2[0, T], Věta 2.6 a věta 2.7 jsou bezprostředními důsledky dobře známé věty o projekci (viz např. [17] Th. 2, §3.3, str. 51 a Th. 1, §3.10, str. 64, j| 10; věty o projekci bylo použito v našem textu jednou již dříve, a to v důkazu věty 1.19).
Věta 2.1. Věta o projekci. Nechť H je Hilbertův prostor, M uzavřený pod-prostor v H a x € H. Pak existuje jediný prvek x € M takový, že \ \x—x\\h = minmĚM | \x — m\ \h■ x € M je minimalizující prvek, právě když x — x je ortogonální k M.(Viz obrázek níže.) □
V=x+M
xo=x—x
M
Důsledek 2.2. Je-li M generován množinou prvků {yi,...,yn} C H, pak
x = Eľ=i aiVii kde vektor a = [ati,an]T je řešením systému
Ga = ((x, yi)H, -, {x, ž/n)ií)T,
a kde
G = ((Ví,Vj)h)íj=i
je Gramová matice množiny {yi,—,yn}- Předešlé rovnice v neznámých «i,an se nazývají normální rovnice pro daný minimalizační problém.
□
Tímto způsobem je dána numerická metoda pro řešení minimalizačního problému. K tomu, aby systém normálních rovnic byl jednoznačně řešitelný, je nutné a stačí, aby Gramová matice G byla nesingulární, tj. aby systém prvků {yi,—,yn} byl lineárně nezávislý.
Následující věta je jednoduchou modifikací věty o projekci.
25
26
2.1. Interpolace Lg-splajnem jako minimální problém ve Tv"9'2[0,T]
Věta 2.3. Nechť M je (uzavřený) podprostor Hilbertova prostoru H, x G H a V = x + M. Pak existuje jediný prvek xo ve varietě V, který má minimálni normu, ||a;o||iř = min^y ||ž/||iř- Dále xo je ortogonální k M a platí xo = x — x. (Viz obrázek výše.) □
Důsledek 2.4. Nechť {y±,yn} je lineárně nezávislá množina prvků v H. Nechť xo má minimální normu mezi všemi prvky x G H, které splňují
{x,Vi)h = <k, i = l(l)n,
kde c = [ci,cn]T je dáno. Pak
n
=1
T
kde neznámý vektor P = [/3i, ...,(3n]   vyhovuje rovnicím
G P = c. □
2.5.
Výsledky následujícího paragrafu charakterizují Lg-splajn jako projekci ve W9'2[0,T]. Abychom toho cíle dosáhli, musíme v lineárním prostoru Wq'2[0,T] definovat vhodnou normu, ekvivalentní s normou 1.6(2).
Upozorňujeme na dohodu 1.31, v níž předpokládáme, že množina {Aj}f spojitých lineárních funkcionálů na W9'2[0, T] je lineárně nezávislá v N(L), aby byla zaručena jednoznačná existence Lg-splajnu.
Nuže, nechť {zj(.)}\ je báze v jádru operátoru L, N(L), která je duální k systému {Aj}f, tj.
Lzj = 0,  XíZj = ôij,  i J = l(l)q (1)
a nechť G(.,.) je Greenova funkce ([21] str.673) operátoru L splňující
LG(.,t) = S(t,.),  XjG(.,r)=0. (2)
Zde i v dalším výrazy, ve kterých vystupuje G a Diracova funkce Ô, nutno chápat ve smyslu zobecněných funkcí.
Pak každé / G W9'2[0, T] může být jednoznačně rozloženo jako
/(<) = É(VHW + ľG(ŕ,r)[L/(r)]dr. (3)
j=i Jo
Vskutku, podle [20] Th.2, str.32, j| 4, pro libovolné g(t) G LlN(L)1-] platí
rT
L~lg{ť)= í G{t,T)g{T)dT. Jo
2. Lg-splajn jako projekce ve W^9'2[0,T]
27
(L 1 existuje, protože L je 1 — 1 na množině JV(L)-1-). Odtud
fT '0
je vyjádření libovolného prvku f2(t) G JV(L)-1-.
Libovolný prvek / G W9'2 se dá rozložit na součet / = f\ + f2, kde
f2(t)=L-lLf2(t) = ľ' G(t,T)[Lf2(T)]d7 Jo
fi€N(L), f2£N{L)L,
/2(í)= / G(r,r)[L/2(r)]dr. Jo
Vzorec 2.5(3) pak plyne z toho, že platí
^3 f =       +       = ^j/i) neboť podle 2.5(1) platí Aj/2 = 0, L/ = L/i + Lf2 = Lf2. □
To dává návod na nový skalární součin pro W9'2[0,T] - s novým označením prostoru symbolem iř9>2[0, T] -
(e, f)m,, = ^(Aje)(A,/) + fT(Le)(Lf) (4) j=i Jo
s odpovídající normou
ll/lHr«.»=É(V)2+ ÍW)2. (5)
První člen na pravé straně právě definovaného vztahu (5) nezávisí na / G A~l(r). Tudíž definice 1.2 se dá přeformulovat následujícím způsobem.
Věta 2.6. Lg-splajn jako problém minimální normy ([26]).
Funkce s(t) G A~l(r) je Lg-splajn interpolující {rj}± vzhledem k A = {Aj}^, jestliže
/GA-i(r)
□
Následující výsledek je snadný důledek věty o projekci (věta 2.1).
Věta 2.7. Lg-splajn jako projekce v H<*>2[0,T] ([26]).
Nechť g(t) je libovolná funkce v A~l(r). Pak Lg-splajn s(t) je projekce g na K = span-ffcj}^ (viz 1.18(5)). s je tedy funkce v K splňující
\\g-s\\m,2 =mbi||0-/||ffg,2. (1)
28
2.1. Interpolace Lg-splajnem jako minimální problém ve W^9'2[0,T]
□
\9-f\\
	- (r)
	A-i(0p
\\9-s\\\	
	\ JV(A)1- =
N(A)
K
Řešení úlohy (1) je stanoveno v následující větě.
Věta 2.8. ([22] Th. 6). Lg-splajn s interpolující {rj}± vzhledem k A = {Aj}^ je dán vztahem
s(t) = kT{ť)R-\ (1)
kde
kT = [ki,...,kN], R je symetrická N x N-matice, jejíž ij-tý prvek je (ki, kj)Hq,2.
Důkaz. Podle věty 2.7 prvek s patří do K. Odtud
n
s = ^^ccjkj = kTa,
kde a = [ati,«at]t a kj jsou reprezentanty funkcionálů Xj (1.18). Neznámé a.j se najdou s pomocí interpolačních podmínek r, = \s = (ki, s) = Ylj=i aj(kj-> ki)-> odkud r = Rot, R = ((ki,kj)). Protože systém {kj}i je lineárně nezávislý, matice R je nesingulární a tudíž
a = R~lr,  s =kTR~1r.
□
2.9.
Klíčový význam pro charakterizaci Lg-splajnů má následující věta 2.10 ([8] Th. 2.1). Její tvrzení platí, i když není splněna (dostatečná) podmínka jednoznačnosti pro interpolační Lg-splajn (jak je požadována např. ve větě 1.28 nebo v dohodě 1.31).
Věta 2.10. Problém 1.26(1) má vždy řešení. Funkce s g A~l(r) řeší tento problém, právě když
rT
LsLg = 0 pro všechna g g N (A), (1)
/
kde N (A) = {/ g H"'2 : \f = 0, i = 1(1) at} je jádro zobrazení A.
2. Lg-splajn jako projekce ve W^9'2[0,T]
29
Důkaz. Podprostor N{L)+N{A) je uzavřený, protože dim N(L) < oo. Lg-splajn s tudíž existuje podle věty 1.6 a ortogonalita (1) je dokázána.
Obráceně, platí-li (1) pro některé s G A~l{r) a všechna g G N (A), snadno z toho odvodíme, že s splňuje 1.26(1). Platí totiž
J(Lf)2 = J{Ls)2 + 2 J Ls{Lf ~Ls) + j{Lf - Ls)2 = = j (Ls)2 + j [{LU - s)]2 pro každé / G A~l(r).
Odtud
j {Ls)2 < j {L f )2 pro všechna / G A~l{r). □
2.2. Lg-splajny interpolující EHB data.
2.11.
Smyslem náledující úvahy je nalezení charakteristických podmínek pro splajny interpolující EHB data.
2.12.
V dalším budeme specifikovat funkcionály Aj následujícím způsobem. Každému \ přísluší bod íj, 0 < íj < T a celé číslo ji, 0 < ji < q — 1 resp. vektor olí = [ccío,    ajj9_i] ^ 0 tak, že platí
\f = fiji){ti), i =1(1)N, (1)
respektive
9-1
Ai/ = EaO-/(Í)(ťi)' * =1(1)^- (2)
3=0
Říkáme, že systém A = {Aj}^ generuje Hermite-Birkhoffův (stručně HB) interpolační problém, resp. rozšířený Hermite-Birkhoffův (stručně EHB) interpolační problém.
Body U G [0,T], 0(= í0) < íi < ... < íjv < (íjv+i =)T, splňující 2.12(1) a (2), se nazývají uzly Lg-splajnu. Jestliže t = ti = íj+i = ... = íj+j-i, říkáme, že uzel t je /-násobný nebo že funkcionály Xj, j = l{l)i + 1 — 1, jsou vztaženy k témuž uzlu t. V tomto případě předpokládáme, že matice, tvořená řádky olj, j = i{l)i + 1 — 1, má hodnost Z. Ovšem platí l < q.
2.13.
30
2.2. Lg-splajny interpolující EHB data
Dá se dokázat,že systém A = {Xí}i definující EHB problém je lineárně nezávislý a že v Hilbertových prostorech s reprodukujícím jádrem jsou funk-cionály Aj spojité (4.10)).
2.14.
Výsledek základní důležitosti je fundamentální věta 2.20 charakterizující Lg-splajny interpolující EHB data. Tato věta je založena na větě 2.10 předešlého paragrafu 2.9. Uvedení věty 2.20 vyžaduje jistou přípravu.
2.15.
Nejprve dokážeme, že libovolné řešení s rovnice 1.26(1) odpovídající EHB datům A splňuje L*Ls = 0 v intervalech mezi uzly (ti, íj+i) (za předpokladu ti < íj+i), kde L* značí formální sdružený operátor k L definovaný vztahem
L7 = £(-i)JW)(j)-
3=0
Vskutku, nechť g je funkce z C°°[0, T], jejíž suport suppg(í) = cl{í G [0, T] : g(t) 0} (kde „cl" = closure = uzávěr) je podmnožinou intervalu (ti, íj+i). Odtud pro restrikci g = g \(ti,ti+1) platí g G C^°[ti,ti+i]. Existují yh yi+u U < Vi < Vi+i < ti+i tak, žeg(t) = 0 pro všechna ŕ G (ti,yi)\J(yi+i,ti+i). Odtud gU)(ti) = 0 = g^(ti+1), 0 < j < q - 1 a tudíž g G N (A). Z toho plyne podle 2.10(1) a po integraci per partes (viz např. [20],jj 4, rovnici (10), str. 13, v níž položíme y = g, z = Ls)
rT rU+i 0=      LsLg = / gL*Ls, Jo Jti
jež vede ke vztahu
0 = (g,L*Ls) v prostoru L2[ti,ti+i]
pro všechna g G Co°[ŕj, íj+i]- Jak je dobře známo, množina C^\ti,ti + 1] je hustá v L2[U,ti+i) (např. [13], 2.6.1, jj 5, také [19a], str. 106). Odtud L*Ls = 0 v intervalu (ŕj,ŕj+i).
2. Lg-splajn jako projekce ve W^9'2[0,T]
31
2.16.
Nyní dokážeme, že Ls(t) = 0 pro 0<í<íiaíjv<í<T. Ls je spojitá na množině (0,íi) U (íjv,T), protože L*Ls = 0. Předpokládejme Ls(t)    0 pro nějaké 0 < r < íi a položme
v(t)-í ^ h<t<T
kde u(t) G N (Ľ) splňuje u^(h) = s^(h), 0 < j < q - 1. Potom v G W9'2[0,T] a s ohledem na spojitost Ls máme
/ (^)2= /'1(^)2+ / (Lsf< [ (La)2. Jo Jo Jti Jo
Ale skutečnost, že AjS = Xív pro všechna Aj G A odporuje minimální vlastnosti s, 1.26(1).
2.17.
Zavedeme pojem operátorů které se objeví v podmínce 2.20(3).
Zvolme t G (0, T), e > 0 dostatečně malé a g G N (A) n Cg°(í - e, í + e). Integrování 2.10(1) po částech dává
"t+e 9"1
0= /" £LSL5 = -^5«(í)[riS]í, (1)
kde
g—i—1
riS = Y +i^)U)J i = o(i)g -1 (2)
[<&]* = <!>(*+)-$(*-)■ (3) Relace analogická k 2.17(1) platí i pro body 0 a T spolu s definicí
[$]o = $(0+), [$]T = $(T-). (4)
2.18.
Upravíme 2.17(1) následujícím způsobem. Nechť matice a = (otij)l0~0l'9~l, l < q má hodnost Z a nechť a = {olíj)q q1'9"1 je Q x Q nesingulární matice, jež se získá rozšířením matice a. Označíme jako r] = (rjij) matici (a~l)T. Dále, definujeme-li
g-l ^ g-l
J=0 j=0
32
2.2. Lg-splajny interpolující EHB data
pak po menším počítání obdržíme
q-l q-l
Y,9[i){tWis\t = Y,Mi9(t)[Ris\t
i=0 i=0
pro všechna g G Wq'2 a s E K (= spanjfej}^, věta 2.7). 2.19.
Předpokládejme nyní, že t G [0, T] je uzel splajnu s a že
existuje l(t) funkcionálů v A vztažených k témuž uzlu t (1)
podle 2.12 (1) a (2). Pak i = 0(l)Z(r) -1, je definováno podle 2.18(1)
s koeficienty olíj specifikovanými jako ajj(í), tj.
q-l
MPg = J2^j(t)g{JHt),  i = 0(1)Z(Í) - 1. (2)
[Řádky «j(í) = (o!jo(í)5 —5 jsou podle předpokladu lineárně nezá-
vislé.] Zřejmě Mf] G A, i = 0(l)Z(r) - 1.
Operátory ižj^ jsou definovány analogicky jako ižj v 2.18(1)
9-1
R?* = e %(ť)ris. *(*) < * ^ -i- (3)
Uzavřeme předešlé úvahy následující fundamentální charakterizační větou.
Věta 2.20. Fundamentální věta([8], Th. 3.6.)
Nechť s je Lg-splajn interpolující EHB data {n}^ vzhledem k A = {Aj}^.
L*Ls(t) = 0, jestliže t není uzel a t G [0,T] (1)
AiS = ri, i = 1(1)N (2) [ižj^s]í = 0, l(t) < i < q — 1, jestliže t je uzel (3) Ls(í) = 0 pro 0 < t < ti a tN < t < T. (4)
Obráceně, libovolná funkce s G Wq'2[0,T] splňující 2.20(4) ař 2.20(4) je Lg-splajn interpolující {n}^ vzhledem k A.
Důkaz následuje za poznámkou 2.21
2. Lg-splajn jako projekce ve Tv"9'2[0,T]
33
Poznámka 2.21.
1) číslo l(t) z podmínky (3) je definováno ve 2.19(1), operátor B,f^s ve 2.19(3) a symbol []t v 2.17(3).
2) Předpokládá se, že systém A je lineárně nezávislý ve Wq'2, ale existence podmnožiny A\ = {Aj}f C A, která je lineárně nezávislá v N(L), se nepředpokládá. (Existence takové A\ zaručuje jednoznačnou existenci Lg-splajnu s podle věty 1.28. Potřebuje se pouze existence Lg-splajnu, a ta je zaručena větou 2.10.)
Důkaz věty 2.20. Nutnost podmínek věty 2.20 až na podmínku (3) byla již dokázána vpředu. Abychom dokázali nutnost podmínky (3), předpokládejme ío ^ (Oj^1) a zvolme j, l(to) < j < q — 1. Zvolme e > 0 tak, aby ío byl jediný uzel splajnu s v intervalu (ío — £,to + e). Pak, jak je snadno vidět, existují funkce g j G Cg°(ío — £,to + e), takové, že
(<7j(ío)) ■■■■>9j9~1\to))T je j-tý sloupec matice a~l. Podle konstrukce platí
Aíj^gj = 6ij, i = 0(1)9-1 a g j G N (A). Když nyní kombinujeme 2.17(1)
a 2.18(1), obdržíme 0 = [Rfo)s]to. Případy 1(0) > 0 a l(T) > 0 se vyšetří podobně.
Na základě věty 2.10 obrácení plyne bezprostředně z relace, která se snadno ověří
T
Ls(Ls — Lf) = 0 pro libovolné f G A~l(r). □
V praxi se nejčastěji vyskytuje interpolace HB dat, eventuálně případ L = Dq a Xif = f (ti). V následujících důsledcích redukujeme obecné výsledky, týkající se EHB dat, na některý z těchto případů.
Důsledek 2.22. Předpokládejme, že s je Lg-splajn interpolující HB data a že t = ti pro některé i = 1(1)-ZV je uzel splajnu s. Nechť k = 0(l)g — 1 a      Ji {viz 2.12). Pak [Tks]t = 0.
Důkaz. Použijeme postupu z 2.17. Lze zvolit e > 0 a g G C^(t — e, t + e) tak, že pro k pevné g^(t) ^ 0, g^(t) = 0, i ^ k, 0 < i < q - 1. Platí zřejmě g G N (A) a 2.17(1) dává žádaný výsledek. □
hspace*3mm Následující důsledek věty 2.20 udává pro interpolační HB problém, které derivace Lg-splajnu jsou spojité.
Důsledek 2.23. Předpokládejme, že s je Lg-splajn interpolující HB data a že pro nějaké i = 1(1)N, t = t i je uzel splajnu s. Pak
1. Je-li t G (0,T), platí [s^]t = 0 pro j = 0(í)2q - 2 - ji.
2. Je-li L = Dq a k = 0(l)q - 1, k + ji, platí [s^q~k ~% = 0.
34
2.2. Lg-splajny interpolující EHB data
Důkaz. 1. Protože s G Cg_1[0,T], platí [s^]t = 0 pro j = 0(l)g-l. Nyní předpokládejme, že tento závěr platí pro všechna j slňující 0 < j < p < 2q — 2 — ji. Pak ji < 2q — p — 2 a tudíž podle důsledku 2.22
p-q+l
0 = [T2q_p_2s]t =        (-l)j+l[(aj+2g-P-iLs)(%. (1)
3=0
Použijeme-li Leibnitzova pravidla a indukčního předpokladu [s^]t = 0 pro j = 0(l)p, (1) se redukuje na 0 = (—ľ)p~q[a?qs^p+l^]t a odtud plyne tvrzení, protože a?q ^ 0.
2. Podle důsledku 2.22. □
Důsledek 2.24. Předpokládejme, že s je Lg-splajn interpolující EHB data a že pro některé i = 1(1)-ZV je t = ti uzel splajnu s. Nechť L = Dq a nechť Aj jsou zadaná pouze podmínkou typu Aj/ = f (ti) pro všechna f (a dané i ) . Pak [s^]t = 0, j = 0(1)2,7 - 2.
Důkaz. Vzorce 2.17(2) a 2.18(1) mají nyní tvar
TjS = (-l)q-Js(2q-i-l\ j = 0(l)q - 1
Ris = E?=o rfo-í-l)9-''^2*-'-1), i = 1(1)9 - 1.
Abychom vyjádřili 2.20(4), položme a, = (1,0,0), 5 = Iq. Odtud (a~l)T = Iq. Uzel t splajnu s je jednoduchý (l(t) = 1), tudíž Rís = TjS a odtud
0 = [Rfs]t = [(-l)9-V2«-ť "1)]í pro i = 1(1)9 - L D Poznamenejme, že v případě Aj/ = f (ti) pro všechna /, uzel t = ti je jednoduchý vzhledem k požadavku, aby matice a = (ot^j)(t))0~0l'9~l byla hodnosti Z.
3. Stochastický odhad a Kalmanova
filtrace
V dalším výkladu použijeme Kalmanova přístupu k problému filtrace a predikce [9]. Příslušná rekurzivní metoda bude popsána v odst. 3.2. V odst. 3.1 je vyložena nezbytná příprava ze statistiky.
3.1. Odhad minimalizující rozptyl. 3.1.
Množina reálných náhodných veličin x na daném (M, 23, P), které mají nulovou střední hodnotu a konečný rozptyl, (tj. Ex = JRx(t)dP(t) = 0 a fRx2(t)dP(t) < oo), je Hilbertův prostor se skalárním součinem (x,y) = E(xy) a s příslušnou normou ||a:||2 = Ex2. Označíme jej T-L. Přesně řečeno, tento součin je definován na množině tříd ekvivalentních veličin (veličin, které se liší jen na množině P-míry nula; ekvivalence veličin a: a y je tedy charakterizována vztahem E(x—y)2 = 0). Součin (x, y) však zřejmě nezávisí na volbě reprezentantů ve třídách ekvivalentních veličin. Z toho důvodu se vyjadřujeme tak, jako by byl definován na samotném prostoru náhodných veličin.
Jsou-li x = [xi,xn]T a z = [zi,zn]T prvky v Hn, definujeme skalární součin a příslušnou normu v T-L formulemi
n
(s, z)Hn = E(J2 xíZí) = TVE(xzT), (1)
i=l
n
= £(I>2) = E{\\A\ln) = TVE(xxT), (2)
i=l
(Tr = stopa) kde matice
E(xzT) = (E(xíZj))^=1. (3) T-Ln s výše zavedeným skalárním součinem tvoří Hilbertův prostor.
Předpokládejme dále, že {zi, ...,zt} C T-Lm. Prostor H = span{zi, ...,zt} „generovaný" těmito vektory definujeme jako množinu n-vektorů z = k\Z\+ ... + ktZt, kde kj jsou reálné n x m-matice.
Podotkněme ještě, že v odst. 3.1 budeme pracovat s náhodnými veličinami z prostoru T-L.
35
36
3.1. Odhad minimalizující rozptyl
3.2.
Předpokládejme, že jsme provedli experiment, který vede na vektor dat v ve tvaru
v = Mx + w,
kde x je neznámý náhodný vektor parametrů, w je náhodný vektor a M známá matice. Pak v je náhodný vektor.
Úlohu, jak vyjádřit vektor x, řešíme metodou (lineárního) odhadu vektoru x z měření v = [vi, ...,vm]T. Pod (lineárním) odhadem vektoru x tvořeným na bázi (měření) v minimalizací výrazu i£[||a;—£||2], rozumíme prvek x prostoru H = span-f^}™, 1 pro nějž E[\\x — x\\2] = mini?[||a; — y||2].
Zde se pod || • || rozumí norma v reálném euklidovském prostoru patřičné (konečné) dimenze. Vzhledem k definici normy 11 * 11 %n 5 odst. 3.1, je E[\\x - x\\2] = \\x — xW^n.
Následující věta, která dává explicitní vzorec pro odhad x, je ve skutečnosti pouhou aplikací normálních rovnic (viz 2.1).
Věta 3.3. (Odhad minimalizující rozptyl.) I. Předpokládejme, že
v =Mx + w (1)
je známý náhodný m-vektor dat, x je neznámý náhodný n-vektor, w je neznámý náhodný m-vektor chyb a M je známá konstantní m x n-matice. Předpokládejme, že E(vvT) je nesingulární. Pak lineární odhad x vektoru x tvořený na bázi (měření) v - minimalizací E[\\x — x\\2] - je
x = E[xvT][E(wT)]-1v, (2)
s odpovídající kovarianční (rozptylovou) maticí chyb
E[(x -x)(x- x)T] = E(xxT) - E(xvT)x x[E(vvT)]-1E(vxT) = E(xxT) - E(xxT).
}
(3)
II. Označme E(vvT) = R, E(xxT) = S a předpokládejme, že platí E(vxT) = 0 a že MSMT + R je nesingulární. Pak lineární odhad x založený na v minimalizující E[\\x — x\\2] je
x = SMT(MSMT + R)-ľv (4)
s kovariancí chyb
E[(x - x)(x -xT]=S - SMT(MSMT + R)~lMST. (5)
koeficienty v lineární kombinaci jsou matice typu n x 1.
3. Stochastický odhad a Kalmanova filtrace
37
Poznámka. Matice R a S jsou pozitivně semidefmitní (např. [1] I, Th. 3).
Důkaz věty 3.3. I. Problém se rozpadá na separátní problémy pro každou složku x{. Protože zde nejsou žádná omezení, i-tý subproblém je prostě úloha o nalezení nejlepší aproximace veličiny xí v podprostoru generovaném veličinami Vj.
Vyjádříme optimální odhad ve tvaru x = Kv, kde K je n x m-matice. Pak i-tý subproblém je ekvivalentní s problémem vybrat i-tý řádek matice K, jenž dává Xi jako optimální lineární kombinaci složek Vj. Tudíž každý řádek matice K splňuje normální rovnice příslušející projekci Xi do prostoru span{?;j}j™. Je-li K = (ccjj), pak se normální matice
m
^2<Xij(vj,vk) = (xi,vk), i = l(l)n, k = l(l)m, (6)
dají zapsat v maticové formě
{vi,vi)...(vi,vm)  \ I  (vi,xi)...(vi,a;n) \
..................... UT= ..................... (7)
(vm,vi) ...(vm,vm)  I \ (v m, X\) . . . (vm, Xn) I
neboli
E(vvT)KT = E(vxT),
z čehož vyplývá
K =E(xvT)[E(vvT)]-1,
a to je žádaný výsledek.
Důkaz vzorce pro kovarianci chyby se obdrží přímým dosazením.
II. Tento výsledek plyne z části I, neboť platí E(vvT) = MSMT + R a E{xvT) = SMT. □
Pro jednoduchost je následující věta 3.4 formulována pouze pro neznámou náhodnou veličinu x. Protože odhad minimalizující rozptyl n-dimenzio-nálního náhodného vektoru je pouze n separátních problémů, tvrzení věty se snadno přenese na obecnější případ.
Věta 3.4. Nechť x je prvek Hilbertova prostoru T-L náhodných veličin a nechť x označuje jeho ortogonální projekci na uzavřený podprostor V\ prostoru Tí. (Tedy x je optimální odhad veličiny x ve V\.) Nechťv2 je m-vektor náhodných veličin, jež generují podprostor V2 prostoru T-L a nechť v2 značí m-dimenzionální vektor projekcí složek vektoru v2 do V\. (v2 je tedy vektor nejlepších odhadů vektoru v2 ve V\.) Označme v2 = v2 — v2. Pak projekce
veličiny x na podprostor V\ + V2, značená x, je
x= x + E{xvT)2)[E{v2vl)Ylv2, (1)
38
3.1. Odhad minimalizující rozptyl
za předpokladu, že [E^)] existuje.
Jinými slovy, x je x plus nejlepší odhad veličiny x v podprostoru V2 generovaném V2-
Důkaz. Je jasné, že V\ + V2 = V\ + V2 a že V2 je ortogonální k V\. Dále podprostor V\ + V2 je uzavřený, protože V2 je konečné dimenze. Výsledek pak plyne z věty 3.3, protože projekce na součet dvou ortogonálních podprostoru je součet projekcí na jednotlivé podprostory. Nyní stačí aplikovat větu 3.3. □
Věta 3.4 se dá interpretovat takto: Nechť x je odhad založený na měřeních, která generují V\. Použijeme-li další množinu měření, musíme oddělit z těchto měření tu část, která se dá anticipovat z výsledku prvních měření. Jinými slovy, aktualizace musí být založena na té části nových dat, která je ortogonální k původním datům.
Věta 3.6, která následuje po lemmatu 3.5, představuje ilustrativní příklad aplikace předešlých úvah, a to přesně ve formě, v jaké ji použijeme v následujícím odst. 3.2 pojednávajícím o rekurzivní metodě odhadu. Odhad rekurzivní metodou je pak základem stochastického přístupu ke konstrukci Lg-spajnu interpolujícího EHB data (kapitola 3.2).
Lemma 3.5. Lineární odhad minimalizující rozptyl (MVLE) dané lineární funkce vektoru x založený na náhodném vektoru v je roven téže lineární funkci MVLE vektoru x, tj. je-li dána libovolná p x n-matice U, nejlepší odhad vektoru Ux je Ux. Lemma platí za předpokladu, že E(vvT) je nesin-gulární.
(Vektory neznačíme tučnými znaky, jak tomu bude v dalších kapitolách, kde bude grafické rozlišení od skalárů potřebnější.)
Důkaz se obdrží z věty o projekci. Je-li Tv optimální odhad vektoru Ux, pak platí E[v(Ux — Tv)T] = 0 (protože Ux — Tv leží v ortogonálním doplňku podprostoru „generovaného" vektorem v, viz větu 2.1). Odtud plynou normální rovnice pro sloupce matice TT ve tvaru
[E(vvT)]TT = E(vxT)UT, (protože 0 = E[v(Ux - Tv)T] = E(vxT)UT - E(vvT)YT), takže
T = U E{xvT)[E{vvT)]-1,
což podle věty 3.3 dává žádaný výsledek
Ux = Yv =Ux. n
Věta 3.6. Předpokládejme, že optimální odhad x náhodného vektoru x byl tvořen na bázi minulých měření a že
E[(x - x)(x - x)T] = P. (1)
3. Stochastický odhad a Kalmanova filtrace
39
Je-li dáno další měření ve tvaru
v = Mx + w, (2)
kde w je náhodný vektor s nulovým středem, který je nekorelovaný s x i s minulými měřeními, pak za předpokladu, že E(vvT) je nesingulární,
aktualizovaný optimální odhad x vektoru x je
x=x + E{xvT)[E{vvT)]-lv = x + PMT(MPMT + R)'1^ - Mx), (3) kde
R = E(wwT) a v = v - Mx. (4) Odpovídající kovariance chyb je
E[(x- x)(x- x)T] = P — PMT(MPMT + R)~1MPT. (5)
Důkaz. Nejlepší odhad vektoru v založený na minulých měřeních (tj. projekce v na podprostor V\ generovaný minulými měřeními) je v = Mx. To plyne z toho, že podle lemmatu 3.5 platí v = Mx + w = Mx + w a že dále platí w = 0, což vyplývá z ortogonality w k minulým měřením. (Vskutku, je-li 7 jedno z minulých měření, pak E(w-yT) = EwE-y = 0.) Tudíž v := v — v = v — Mx.
Odtud podle věty 3.4 po menší algebraické manipulaci obdržíme
x= x + E(xvT)[E(vvT)]~lv což se podle věty 3.3 dá vyjádřit jako
x=x + PMT(MPMT + R)'1^ - Mx). Kovariance chyb je
E[(x- x)(x- x)T] = P — PMT(MPMT + R)~1MPT. □
3.2. Rekurzivní metoda odhadu. 3.7.
Budeme se nyní zabývat diskrétními náhodnými procesy, čímž rozumíme - jak je obvyklé - posloupnost náhodných veličin x(l), ...,x(k),... . Je vhodné upravit trochu naše předešlé značení tak, že budeme značit náhodné proměnné procesu způsobem x(k) místo xk.
Řekněme, že jsou dány pouze náhodné veličiny x(l),x(n). Je řada důležitých estimačních problémů, které jsou v souvislosti s náhodným procesem. Např.
1. Predikce, tj. odhad budoucí hodnoty procesu, řekněme odhad veličiny x(n + h), na základě minulých pozorování x(l),x(n);
40
3.2. Rekurzivní metoda odhadu
2. Filtrace, což je odhad současné (tj. n-té) hodnoty náhodného procesu z nepřesných měření procesu až do současné doby, x(l), ...,x(n); nebo obecněji
3. Odhad jednoho náhodného procesu z pozorováni jiného, ale vztaženého procesu.
Jestliže požadujeme lineární odhad minimalizující rozptyl, pak tyto problémy odhadů jsou zvláštními případy teorie rozvinuté v prvním odstavci této kapitoly.
Pokud nebude v dalším explicite stanoveno jinak, předpokládáme, že jsou splněny následující podmínky (*) až (* * *)
(*) Všechny náhodné veličiny jsou reálné a s nulovým středem.
(**) Podkladem každého pozorovaného náhodného procesu je ortogonální proces v tom smyslu, že veličiny pozorovaného procesu jsou lineární kombinace minulých hodnot ortogonálního procesu.
Pro pohodlí a obecnost budeme generovat náhodný proces raději vektorovou diferenční rovnicí prvního řádu než skalární diferenční rovnicí n-tého řádu.
Definice 3.8. n-Dimenzionální dynamický model náhodného procesu sestává z následujících tří částí: Dl. Vektorová diferenční rovnice
x(k + l) = ®(k)x(k) + u(k), k =0,1,..., (1)
kde x(k) je n-dimenzionální stavový vektor, jehož každá složka je náhodná veličina, <&(k) je známá n x n-matice a u(k) je n-dimenzionální náhodný vektorový vstup s nulovým středem, který splňuje
E[u(k)uT(l)] = Q(k)Skl. (2)
D2. Počáteční náhodný vektor x(0) spolu s počátečním odhadem x(0), který má kovarianci
E[(x(0) - x(0))(s(0) - x(0))T] = P(0). (3)
D3. Měření procesu se předpokládají ve tvaru
v(k) =C(k)x(k)+w(k), k =0,1,... (4)
kde C(k) je m x n-matice a w(k) je m-dimenzionální chyba měření mající nulový střed a splňující
E[w(k)wT(j)] = W(k)ôkj, (5)
kde W(k) je kladně semidefinitní.
Navíc předpokládáme splnění podmínky
(* * *) Náhodné vektory x(0), u(j), w(k) jsou navzájem nekorelované
3. Stochastický odhad a Kalmanova filtrace
41
pro j > 0, k > 0.
Jako důsledek podmínky (* * *) odvodíme, že
x(k) je nekorelované s u(j), j > k, as w(j) pro všechna j. (6) Dokážeme např.
E[x(k)uT(k)] = <fr(l)E[x(k - l)uT(k)] + E[u(k - l)uT(k)] = 0 (7) (indukce).
Problém odhadu spočívá v nalezení lineárního odhadu minimalizujícího rozptyl stavového vektoru x z měření v.
Zavedeme označení:
x(k\j) je optimální odhad vektoru x(k) na základě pozorování v až do okamžiku j.
Tedy x(k\j) je projekce vektoru x(k) na prostor V(j), kde
V(j) je prostor "generovaný" náhodnými m—vektory v(0), v(l),v(j).
Pro jasnost a jednoduchost se budeme zabývat výhradně případem k > j - případem, který odpovídá predikci nějaké budoucí hodnoty stavu nebo odhadu současného stavu (filtrace). S tím pro naše účely vystačíme. Odhad minulých hodnot stavového vektoru (vyhlazení), třebaže se v principu podstatně neliší od predikce, je komplikovanější v detailních výpočtech.
Věta 3.9. (Nalezení rekurzivní metody odhadu - Kalman [9].) Optimální odhad x(k + l\k) náhodného stavového vektoru x(k + l) (na bázi V(k)) se dá vytvořit rekurzivně následujícím způsobem
x(k + l\k) = $(k)P(k)CT(k)[C(k)P(k)CT(k) + W(k)]~1x x[v{k) - C{k)x{k\k - 1)] + <$>{k)x{k\k - 1),
kde n x n-matice P(k) je kovariance vektoru x(k\k — 1)
P(k) = E[(x(k) - x(k\k - í))(x(k) - x(k\k - 1)T], (2)
jež sama je vytvořena rekurzivně takto
P(k + 1) = ^(k)P(k){I - CT(k)[C(k)P(k)CT(k) + W(k)]~1x xC(k)PT(k)}^T(k) + Q(k).
Počáteční podmínky pro tyto rekurzivní rovnice jsou počáteční odhad x(0\ — 1) = x(0) a jeho odpovídající kovariance P(0). Dále předpokládejme, že matice C(k)P(k)CT(k) + W(k) je nesingulární pro všechna k > 0.
42
3.2. Rekurzivní metoda odhadu
Důkaz. Předpokládejme, že v(0), ...,v(k — 1) byly změřeny a že byl spočítán odhad x(k\k — 1) spolu s kovarianční maticí
P(k) = E[(x(k) - x(k\k - í))(x(k) - x(k\k - 1))T]. (4)
Jinými slovy máme projekci vektoru x(k) na podprostor V(k — 1) „generovaný" náhodnými vektory v(0),...,v(k — 1). V čase k obdržíme měření
v(k) = C(k)x(k) + w(k),
jež nám dává dodatečnou informaci o náhodném vektoru x(k). To je přesně situace uvažovaná ve větě 3.6.
q   Aktualizovaný odhad x(k) vektoru x(k) je nyní podle věty 3.6
x(k\k) = x(k\k - 1) + P(k)CT(k)[C(k)P(k)CT(k) + W(k)]~lx x[v(k) -C{k)x{k\k- 1)]
s příslušnou kovariancí P(k\k) = E[(x(k) — x(k\k))(x(k) — x(k\k))T]
P{k\k) = P{k) - P(k)CT(k)[C(k)P(k)CT(k)+ \ . .
+W{k)]-lC{k)PT{k). J 1 j
Na základě optimálního odhadu x(k\k) vektoru x(k) můžeme nyní spočítat optimální odhad x(k + l\k) vektoru x(k + 1) = $(x)x(k) + u(k) na bázi rozšířené množiny pozorování v(0),v(k). Provedeme to na základě těchto poznámek:
1) Podle věty 3.5 je optimální odhad vektoru &(k)x(k) roven <fr(k)x(k\k).
2) Odhad vektoru u(k) na bázi pozorování [v(0),v(k)]T = v(k) je podle lemmatu 3.3 roven E[u(k)vT(k)][E(v(k)vT(k))]~lv(k), což je na základě 3.8(7) rovno nule. Odtud
x(k + l\k) = ®(k)x(k\k) + ů(k\k) = ®(k)x(k\k). (7)
Kovariance tohoto odhadu plyne z následujícího
P(k + l)   =  E[(x(k + l)-x(k + l\k))(x(k + l)-x(k + l\k))T]
=  E[(x(k + l\k)- ®(k)x(k) - u(k))(x(k + l\k)- ®(k)x(k) --u(k))T]
=  E[x(k + l\k)xT(k + l\k)] - ®(k)E[x(k)xT(k + l\k)] --E[u(k)xT(k + l\k)] - E[x(k + l\k)xT(k)]<S>T(k) + +<!>(k)E[x(k)xT(k)]<S>T(k) + E[u(k)xT(k)]<S>T(k) --E[x(k + l\k)uT(k)] + <fr(k)E[x(k)uT (k)] + E[u(k)uT(k)]
=  $(k){E[x(k\k)xT(k\k)] + E[x(k)xT(k)] - E[(k\k)xT(k)] --E[x(k)xT (k\k)]}<S>T (k) + E[u(k)uT (k)],
3. Stochastický odhad a Kalmanova filtrace
43
(* znamená: použít rovnic 3.8(7) a 3.9(7)) tedy
P(k + 1) = $(k)P(k\k)<S>T(k) + Q(k) (8) v důsledku relace (6).
Substituce rovnice (5) do (7) a (6) do (8) vede přímo na (1) a (3). □
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
V kapitole je vypracován dynamický rekurzivní algoritmus pro interpolaci EHB dat Lg-splajny za použití stochastické techniky, založené na stochastických (náhodných) procesech a Kalmanově metodě filtrace a predikce, s kterou jsme se seznámili v předešlé kapitole. Vztah mezi náhodným procesem vyhlazeným nejmenšími čtverci a deterministickým problémem splajnové interpolace je zprostředkován reprodukujícím jádrem Hilbertova prostoru, z jehož prvků splajn vybíráme. Tento náhodný proces je výstup jistého dynamického systému řízeného bílým šumem jako vstupem (věta 4.17). Parametry dynamického systému jsou určeny koeficienty diferenciálního operátoru, který definuje splajn. Na závěr je odvozen rekurzivní algoritmus pro konstrukci splajnu interpolujícího EHB data.
4.1. Reprodukující jádro Hilbertova prostoru.
R. 1939 vyšla kniha E.H.Moora ([19], Part II), v níž autor zavedl pojem pozitivní hermitovské matice a pojem tříd modulárních funkcí, což jsou třídy funkcí, které takovou matici připouštějí. Nezávisle na tom definoval N.Aronszajn r. 1939 [3] a r. 1950 [4] analogický pojem jako funkci dvou proměnných na Hilbertově prostoru, funkci nazvanou reprodukující jádro toho prostoru. Pod tímto názvem je Aronszajnův pojem všeobecně používán. V paragrafu 4.1 definujeme tento pojem, dále uvádíme charakteristiku Hubertových prostorů s reprodukujícím jádrem a některé základní vlastnosti jádra.
Definice 4.1. (N. ARONSZAJN [3] str. 135, [4] str. 343; viz také [19] a [26]).
Nechť H je Hilbertův prostor reálných funkcí definovaných na abstraktní množině I. Reálná funkce K(t, r) dvou proměnných t a r v I se nazývá reprodukující jádro v H, když splňuje podmínky:
(1) Pro každé těí, K(t, r) jako funkce t patří do H.
(2) Reprodukční vlastnost: pro každé r G / a každé f G H platí
f(r) = {f(t),K(t,r))t,
kde (•, •) značí skalární součin v prostoru H a index t vyjadřuje, že se skalární součin aplikuje na funkce proměnné t. Definiční vztah často zapisujeme rovnicí, v níž „aktivní" proměnnou zaznamenáváme tečkou
/(t) = (/(■), Jr(-,r)). □
Věta 4.2. [3] Nechť H je Hilbertův prostor reálných funkcí na nějaké množině I.
44
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
45
(1) V prostoru H existuje reprodukující jádro, právě když lineární funk-cionál Xt : / >->■ / (t) je spojitý pro každé t E I.
(2) Existuje nejvýš jedno reprodukující jádro prostoru H.
(3) Má-li H reprodukující jádro, pak každý uzavřený podprostor v H má reprodukující jádro.
(4) Je-li K(t, t) reprodukující jádro prostoru H a H je uzavřený podprostor většího Hilbertova prostoru Tí, pak funkce /i(r) definovaná vzorcem
fl(T) = {f(t),K(t,T))t
je projekce na H prvku f E.H.
(5) Jsou-li H\ a i?2 komplementární podprostory Hilbertova prostoru H, který má reprodukující jádro, pak pro jejich reprodukující jádra K\, K<i a K resp. platí K\ + K<i = K.
Důkaz. (1) Nechť K(t,r) je reprodukující jádro pro H, í G /. Pak pro lineární funkcionál definovaný vztahem Aj(/) = f(t) platí
IM/)I = I/Ml = \{f(Jt),K(t,T))t\ < (/,/)1/2(if(í,r), K{t,r))]12 =
= ||/l|[if(M)]1/2, takže Xt je spojité zobrazení na H.
Obráceně, je-li lineární funkcionál Xt{f) = f{t) spojitý, pak pro jeho reprezentant ut (ž H platí
f(t) = Xt(f) = {f(r),ut(r)),
což je vlastnost 4.1(2) reprodukujícího jádra K(r,t) = ut(r). Vlastnost 4.1(1) je evidentní.
(2) Jsou-li K (t, t) a M (t, r) reprodukující jádra pro H, bude pro r G I platit
0< \\K(t,T)-M(t,T)\\2 = (K —M,K—M) = (K -M,K)-(K —M,M) = 0.
(3) Plyne z (1).
(4) Nechť / = /i + f2, fi G H, (H uzavřené) f2 G iř-1 = ortogonální doplněk H v Tí.
Odtud
(f,K(t,r)) = {h + h,K{t,T))t= (fuK(t,T))t = h(T). ^
(5) Nechť / = /1 + j?2, f 1,2 £ -ffi,2 a Hi + H2 = H nechť je ortogonální rozklad H. Podle (4) (f{ť),klí2{t,T))t = /i,2(r), takže
f(r) = /i(r) + /2(r) = {f(t),K1(t,r))t + (/(*), K2(t, r))t =
= {f(t),Kl(t,T) + K2(t,T))t.
Tedy podle (2) funkce K(t,r) = Ki(t,r) + K2(t, r) je reprodukující jádro v ií. □
46
4.1. Reprodukující jádro Hilbertova prostoru
Několik elementárních vlastností reprodukujícího jádra prostoru H.
Věta 4.3. Nechť prostor H má reprodukující jádro K(t,r). Pak
(1) K(t,oj) = [K(t,oj),K(t,r))t pro všechna t, oj El.
(2) K(t,r) = K(r,ť) pro všechna t, r G / (plyne z (1)).
(3) Kvadratická forma
n
j,k=i
je pozitivně semidefinitní pro všechna t\,    rn v I a pro libovolné n = 1,... .
(4) Rovnice Q(£) = 0 je ekvivalentní s rovnicí Ylk=i ^(*) Tk)^k = 0 pro všechna t G I (plyne z (3)).
(5) K(t,t) > 0 pro všechna těI, K(t,t) = 0, právě když K(t,r) = 0 pro všechna í G 7.
(6) |if(r,a;)| < [if (r,r)if (oj,oj)]1/2 pro všechna t,oj G /. Rovnost nastane, právě když aK(t,r) = j3K(t,oj) pro všechna t G / a pro čísla (a,j3) nezávislá na t a nerovná (0,0).
(7) Jsou-li X a fj, dva spojité lineární funkcionály na H, pak platí
fiT[XtK(t,T)]=Xt[fiTK(T,t)].
Indexy znamenají proměnnou, vzhledem ke které příslušný funkcionál operuje.
(8) Spojitý lineární funkcionál X na H má reprezentant k G H, právě když XtK(t,r) = k(r). V důsledku toho XtK(t,r) G H.
Důkaz. (5) je speciální případ (3) a (4) pro n = 1, t\ = r, £i = 1. (6) je jak známo nutná a dostatečná podmínka, aby kvadratická forma
Q(0 = K(t, t)£2 + K (oj, oj)£ + K(t, u>)te2 + K (oj, rfati
pro n = 2, ti = t a t2 = w byla pozitivně semidefinitní. Rovnost v (6) značí, že Q(£) není pozitivně definitní, tedy že pro nějaké £ = (£1,^2) 7^ (0,0) platí Q(£) = 0. Podle (4) tato rovnost je ekvivalentní se vztahem K(t,r)^i + K(t,oj)^2 = 0 pro všechna í G J, což dává druhou část (6) s koeficienty £1 = a a £2 = —
(7) Jsou-li k a h reprezentanty funkcionálů Áa/j, bude
fiT[XtK(t,T)] = fiTk(r) = (k,h) = (h,k) = Xt[fiTK(T,t)].
(8) Zvolme / G H a definujme fj, jako skalární násobení prvkem /, fj,g = = (<7: /): 9 £ H. Pro libovolný lineární funkcionál A pak platí
X^K^t)] = Xt(K(r,t),f(r))T = A/(r) = A/.
Je-li funkcionál A spojitý a platí-li pro něj XtK(t,r) = k(r), pak
fiT[XtK(t,r)]=fik(r) = (k(r),f(r))H = (k,f)H.
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
47
Vzhledem k (7) máme Xf = (k, f) pro každé / G iř, tedy k je reprezentant funkcionálu A.
Obráceně, je-li k reprezentant funkcionálu A, pak
XtK(t,t)={K(t,t),k(t))t = k(t). □
Důsledek 4.4. Nechť H má reprodukční jádro, f^ G H pro každé f G H, k přirozené, to G / = interval. Pak lineární funkcionál
yk,to(f) = f{k)(to)
je spojitý, pokud je operátor f —> f^ spojitý.
Vskutku, podle věty 4.2(1) je operátor /W ->■ f(k\t0) spojitý. □
Věta 4.5. Nechť H má reprodukující jádro K (t, t). Pak platí
(1) Množina funkcí uT(t) G H, {uT = K(t,r) : r G /}, je úplný (fundamentálni) systém v prostoru H ([11] str. 168, [10] str. 164).
(2) Slabá konvergence posloupnosti {fn} k prvku f (fn 4 /) je ekvivalentní se současnou platností dvou podmínek:
(a) fn(t)     f (t) pro každé t G /,
(b) množina norem {||/n||} je ohraničená.
(3) Silná konvergence posloupnosti {fn} k prvku f (fn 4 f) je ekvivalentní se současnou platností dvou podmínek:
(a) f n (t) —> f (t) pro každé í G 7,
ib) 11/nll-HI/ll-
(4) Když posloupnost {fn} konverguje silně k f (v H), pak fn(t) konverguje k f (t) stejnoměrně na každé množině prvků t G /, na které je funkce K(t,t) ohraničená.
Důkaz. (1) Když g G H je ortogonální ke všem funkcím uT> platí g(r) = (g(t),K(t,r))t = (g,uT) = 0. Pro všechna r, tedy g = 0 ([10], str. 164). Tvrzení pak plyne z [11], str. 179, cv. 2, str.180 (viz také [11] III §4, str. 145 )í 6 ).
(2) Nechť fn A /. Pak pro t G / existuje A G C(H) tak, že Xg = g(t) pro každé g G H. Odtud fn(t) = Xfn -»• Xf = f(t). Vlastnost (b) plyne z [11], IV §3, Teor. 1, str. 183, jj 7 (Banach-Steinhausova věta).
Obrácení platí podle [11], IV §3, Teor. 2, str.184, j| 8.
(3) /„ 4 / implikuje /„ 4 /. Dále |||/n|| - ||/||| < \\fn - f\\ -»■ 0, tedy ll/nll-Hl/ll-
Obráceně, nechť fn(t) -¥ f(t), t G la \\fn\\ —> \\f\\- Máme dokázat, že platí (fn — /, fn — f) —>• 0. Podle (2) platí fn 4 /. Z toho dostaneme
(i) (fn ~ /, /) =: Xf(fn ~f) = Xffn ~ Xff -»• 0,
čili Xffn -)• Xff. Z předpokladu ||/„|| -)■ ||/|| plyne
48
4.1. Reprodukující jádro Hilbertova prostoru
(") (/«,/«)-»• (/,/) = A//. Dále
(iii) (/„ - /, /„) = (/„, /„) - (/, /„) (4} Xff - lim Xffn =\ 0. Konečně (/„ -/,/„-/) = (/„ - /, /„) - (/„ -/,/)->• 0 podle (iii) a (i).
(4)  |/(t)-/b(t)| = |(/(í)-/»(*),*(*,t))| < ||/-/B||||if(í,t)|| = \\f-fn\\(K(r,T))^. □
4.6.
V tomto odstavci zkonstruujeme reprodukující jádro pro Hilbertův prostor H9'2[0,T]. Připomeňme pojmy, které byly zavedeny a vztahy, které byly stanoveny v souvislosti s definicí skalárního součinu v H9'2[0,T], odst. 2.5:
{zj(-)}\ představuje bázi v podprostoru N(L), která je duální vzhledem k {A,}', tedy báze s vlastnostmi 2.5(1):
(1) Lzj = 0, XíZj = ôij, i J = l(l)q. Dále
G(-, •) je Greenova funkce operátoru L splňující 2.5(2):
(2) LG(-,t) = 6(t--), XjG(-,t)=0.
Za těchto podmínek každé / G H9'2[0,T] může být jednoznačně rozloženo ve tvaru 2.5(3):
(3) /(•) = £?=i(Ai/)*i(0 + f0TG(;T)[Lf(r)}dr. Konečně, skalární součin v H9'2[0,T] je definován jako
(4) (e,/)ff9,a =El=i(AJe)(AJ/) + /0T(Le)(L/).
Věta 4.7. Prostor H9'2[0,T] (se skalárním součinem 4.6(4) má reprodukující jádro
K(t,r)= y>i(í)*i(T) + /   G(ŕ,e)G(r,e)de,   í,r€[0,T]. (1) j=i Jo
Důkaz. K důkazu podmínky 4.1(1) pro reprodukující jádro stačí připomenout, že podle (1) a (2) (odkazy se vztahují na odst. 4.6)
XjK(;t) = zj(t), j = l(l)q   a   LK(-,t) = G(t,-), t G [0,T].
odkud obdržíme K(-,t) ve tvaru (3), což znamená, že K(-,t) G H9'2[0,T]. Vzhledem k symetrii také K(t, •) G H9>2[0,T]. Důkaz definiční vlastnosti (2):
(/(•), K{.,T))Hqfl = (/(o,E^(>i(T)+/TG(-^)G(T'^)ff9,2 =
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
49
i=l j=l J°
+ ľLmÍLy^ZjMzjW + Ly [TG(y,t)G(t,Odt
Jo       1  jrx Jo
= £(Aí/)*í(t) + Í [Lf(y)]G(t,y)dy = /(r). i=i Jo
□
Poznámka 4.8. Lineární funkcionál X v prostoru Hq'2[0,T] definovaný vztahem Xf = f(t) pro f G Hq'2 a t G [0, T] je spojitý (věta 4.7 a weía 4.2(1)).
Věta 4.9.
(1) Zj(-) je reprezentant funkcionálu Xj, j = 1(1)<?, (1.18(3)), tj. Zj(-) =
*;(■)■
1.18(3    (2) {zj}\ tvoří ortonormální bázi v N(L).
Důkaz. (1) Z (1) až (3) (v odstavci 4.6) a z věty 4.3(8) plyne
kj(t) = XjK(;t) = E!=i(A^k(r)+ + J0TXjG(;OG(t,O^ = zj(r).
(2) Platí
&ij = XíZj = (zj, ki) = (zj, Zi)., což dokazuje, že báze {zj}\ je ortonormální. □
V definici 1.25 Lg-splajnu se funkcionály Aj předpokládají spojité. V případě EHB problému jsou funkcionály předepsány předpisem 2.12(2), ale jejich spojitost nebyla zkoumána. V Hilbertově prostoru s reprodukují-cím jádrem Hq'2 se můžeme k problému vyjádřit, a to takto:
Tvrzení 4.10. Lineární funkcionály Aj definované na Hilbertově prostoru s reprodukujícím jádrem Hq'2 a splňující EHB podmínky 2.12(2), jsou spojité.
Důkaz vyplývá přímo z důsledku 4.4 pro funkcionál Vř^j : / i->- fJ(t), j = 0(l)q — 1, čehož zřejmým důsledkem je spojitost lineárních kombinací funkcionálu tyjj. □
50
4.2 Interpolace splajny a náhodné procesy
4.2. Interpolace splajny a náhodné procesy.
4.11. Vytvoření náhodného procesu.
Podle věty 4.7 má Hilbertův prostor Hq'2[0,T] (se skalárním součinem 4.6(4)) reprodukující jádro, řekněme K(t,r), definované v 4.7(1). Protože reprodukující jádro je symetrická a semidefinitní funkce (věta 4.3 (2) a (3)), je kovarianční funkcí náhodného procesu s nulovým středem
{y(t):t€[0,T\} (1)
(viz např. Anděl [1] věta 5, str. 15 a 1.4, Cvičení 3, str. 16; (t 9 [15] str. 140). Odtud
E[y{t)} = 0, E[y{t)y{t)} = K(t,r), í,tě [0,Tj. (2)
Označme Y Hilbertův prostor náhodných veličin s nulovým středem (viz např. [1] str. 130, rovněž 3.1) generovaný množinou {y(t) : t G [0,T]} a opatřený skalárním (vnitřním) součinem
(ž/i, V2)y = E[yiy2],  yu y2 e Y. (3)
Dva prostory se skalárním součinem (tj. dva Euklidovské prostory) H\ a H2 se nazývají kongruentní, když existuje 1-1 lineární zobrazení a z H\ do H2, které zachovává skalární součin, tj. když
Následující věta (Loěve [17] str. 108) podává příklad takové kongruence.
Věta 4.12. Hilbertovy prostory Y a iř«>2[0,T] jsou kongruentní. Příslušné lineární zobrazení a se definuje
(aw)(-) = E[wy(-)],   w£Y. (1) Jestliže pro / G Hq'2[0,T] &wEY platí aw = f, píšeme
/ ~ w-
Pak
f~w = f(-) = E[wy(-)]. (2) Např. 4.11(2) a 4.12(2) implikují
K(;t)~y(t); (3)
jinak vyjádřeno
y(t)(-) jako funkce na pravděpodobnostním "1 . .
prostoru (M, 03, P) je rovna K(-, t).       J ^ '
Prvek G~lkj (G Y) označme vhodněji Xjy. Pak
kj~\jy,  j = l(l)N. (5)
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
51
^Důvod pro toto označení spočívá v následujícím: z 4.12(3) a z tvrzení (8) věty 4.3 plyne
a~lkj = a~lXjK(-,t) = a_1Aj[ay(í)],
neboli
Xjy := <J~lkj = a~1\jay(t)^
Interpolační Lg-splajn určuje podprostor K prostoru Hg>2[0,T] (1.18(5)) generovaný
množinou {kj}?. Jemu odpovídá v Y podprostor D = a~lK generovaný náhodnými veličinami {\jy}± ■ Je-li nyní g G A~l(r) a 7 = a~l(g), pak
Eh(*jV)] = (7, Aj-y)y = (aj,a(Xjy))Hg,2 = (g,kj)Hg,2 = Xjg = rj,
tj-
E[1(Xjy)}=rj,  j = l(l)N. (6)
Nyní můžeme zformulovat problém projekce v Y odpovídající problému projekce v Hi'2[0,T] (věta 2.7).
4.3. Problém projekce
(lineární odhad minimalizující rozptyl v Y).
4.13.
Nechť 7 G y splňuje E[j(Xjy)] = rj, j = 1(1)-ZV. Nechť 7 je lineární odhad minimalizující rozptyl (LMVE) veličiny 7 na základě {Xjy}?. To znamená, že 7 je náhodná veličina v D vyhovující vztahu
Ht-tIIv = mmll7-p||y5 (!)
neboli jinými slovy,
7 je projekce veličiny 7 na D. Z předešlé diskuze a na základě 2.7(1) obdržíme
*(0~7 (2)
a z 4.12(2)
*(■) = E[jy(.)]. (3)
Označme
ý(t) = LMVE veličiny y(t) na bázi {Xjy}?. (4)
Pak
n
y(t) = J2Pj(t)Xjy (5)
52
4.3. Problém projekce (lineární odhad minimalizující rozptyl v Y)
pro nějaké koeficienty /3j(t). Z toho, že projekce je samoadjungovaný operátor a z předešlých vztahů 4.12(6), 4.13(3) a (5) plyne
a(í) = (7,y(í))y = (7,ý(í))y =
EL &(t)(7, Aj-l/Jy 4=(6) EL
(6)
Tento vztah spolu s předešlým vztahem 4.13(5) dovoluje formulovat následující důležitý výsledek, který uvádí do relace splajny a stochastické odhady.
Věta 4.14. Je-li yt pozorováni náhodné veličiny ý(t), které se obdrží substitucí Xjy = rj,  j = 1(1)N, pak
s(t) = yt,   ÍG[0,T]. □
4.4. Dynamický model pro y(-). 4.15.
Pomocí věty 4.14 předešlého paragrafu můžeme využít rekurzivního algoritmu pro ?/(•), odvozeného v kapitole 2.2, také pro rekurzivní algoritmus výpočtu s(-) - prostě tak, že nahradíme Xjy číslem rj.
Jedna z možností, jak vypočítat ý(t) rekurentně je ovšem využít informace, kterou poskytuje reprodukující jádro jako kovarianční funkce jistého náhodného procesu.
Druhá cesta, která umožňuje vyhnout se přímému výpočtu reprodukují-cího jádra, vede na dynamický model, který generuje y(t), parametrizovaný koeficienty diferenciálního operátoru L. To je idea dalšího postupu. Zkonstruujeme jistý náhodný proces, který budeme značit
a definujeme formulí
{«(*) : í € [0,T]}
Ly(-) =«(■)■ (1)
Podrobněji:
u(t)(r) jako funkce argumentu r na pravděpodobnostním prostoru (M, 23,-P) je rovna Lt[y(t)(t)].
Tvrzení 4.16. Náhodný proces {u(t) : í[0,T]} je bílý šum s nulovým středem, tj.
E[u{-)] = 0,   E[u{-)u{t)] = S{- - tau),    -,tau € [0,T]. (1)
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
53
4 11(2)
Důkaz. E[u(-)] = E[Ly(-)] = LE[y(-)] = 0. K odvození vztahu E[u(-)u(t)] = d(- — t) nejprve poznamenejme, že z 4.6 (1) a (2) a 4.7(1) snadno plyne
LK(-,t) = G(t,-). (2)
Odtud
G(r, •) = LK(-,t) 4-=(2) LE[y(.)y(r)} = E[Ly(-)y(r)], takže podle 4.6(2) a podle předešlého
*(■ - r) = LtG(t, •) = E[Ly{-)Ly{r)] = E[u{-)u{r)].
□
Zapíšeme-li rovnici 4.15(1) ve formě systému lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu (statě-variable form), máme následující větu.
Věta 4.17. Proces 4.11(1) {y(t) : t € [0,T]} je výstup následujícího systému řízeného bílým šumem (vstupem):
kde
	= A(ŕ)x(ŕ) + bu(t)
y(t)	= cx(ŕ),
*(■)	= [y(-),y'(•),..., yq-
bT	= [0,...,0,1]
c	= [1,0,...,0]
}
A(.)
0      : /
-ao(-)   :   -ai(-)...-ag_i(-). Prvky matice A jsou koeficinty operátoru L.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) □
Předcházející model bude úplný, předepíšeme-li počáteční podmínky; ty jsou jednoznačně určeny reprodukujícím jádrem a stanoveny v 4.18(8) a (9) v následujícím.
Počáteční podmínky stanovíme pro případ interpolace EHB dat, 2.12(1) a (2).
V = Eai*/(*"1)(ťi)=cif(ťi)' 3 = Hí)N, (6)
k=l
kde 0 < íi < Í2 < ••• < íjv < T je zadaná síť, ajk jsou zadaná čísla, f(íi) = [/(íi),/'(íi),-,/(ff-1)(íi)]Ta
Cj = [aji,...,ajg],  j = l(l)N. (7) Tedy vzhledem k 4.12(5) a 4.17 (2)
Xjy = cx(tj),  (XjyeY). (8)
54
4.4. Dynamický model pro y(-)
Pro EBH funkcionály jako počáteční bod je nejvhodnější bod tq. Nechť <&(•, •) je fundamentálni matice pro A(-), tj.
-$(ŕ,r)=A(ŕ)$(ŕ,r),  $(t,t) = I. (9)
Jak známo
x(ŕ) = <f>(t,tq)x(tq) + f ®(t,T)bu(T)dT. (10)
Jtq
Odtud podle 4.17(8)
\jy = Cj$(tj,tg)x(tq)+  /     Cj$(tj,T)bu(T)dT. (11)
J tq
Poznámka 4.18.
1) 4.17(10) zůstává v platnosti, když tq nahradíme libovolným ío £ [0,T].
2) 4.17(10) má diskrétní analogii v rovnici
x(/fe + l) = $(/fe)x(/fe) + u(/fe),
která figuruje v definici 3.8(2) dynamického modelu, přičemž u(í) (na rozdíl od skalární náhodné veličiny u(t) v 4.15(1)) je vektorový náhodný vstup,
u(ŕ) = f <Š>(t,T)bu(T)dT.
Při označení
Q1 =[Xiy,...,Xqy] (1) můžeme s použitím 4.17(11) snadno dokázat, že platí
x(ŕ,) = M_10 + M~l í 9 A(t)díí(t)cZt, (2) Jti
kde M je q x g-matice s i-tým řádkem Mj ve tvaru
M? = Ci$(ti,tg), (3)
což podle 4.17 (6) a (4) vede na
M? = XiC<f>(t,tq) (4)
(viz 1.26(5)) a kde A(-) je q x q -matice, jejíž i-tý řádek Aj(-) je dán vztahem
AT(T) = í Cí&(U,t),   t€[U,tq], ^
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
55
Existence inverzní matice M 1 je zaručena podmínkou jednoznačnosti, věta 1.28.
Nyní snadno odvodíme, že platí
E[Su(t)] = 0,  te[0,T], (6)
E[@@T] = I. (7)
Vskutku, platí
E[SiU(t)] = (0ť,«(r))y = (xiy,u(t))Y =
= (a(Xiy),a(u(t)))Hq,2 ^ (khG(r,t))Hq,2 ^ X^G(r,t) ^ 0,
(význam znaků: 7 = 4.11(3), 77 = 4.18(1), m = V.4.12, IV = 4.12(5),
4.16(2), V = 1.20, VI = 2.5) odkud plyne (6).
K důkazu 4.18(7): Podle věty 4.9 platí ki(r) = zí(t), i = l(l)q. Odtud a podle 2.5(1)
(ki, kj) = XíZj = | q'^ _^ j
Závěrem
(E[eeT])ij = E[(xiy)(xjy)] 4-=(3) (Aiy,xjy)Y VA=12
= (v(\y),v(^jy))H<i.2 41-5) (ki,kj)Hg,2 = ôij, i, j = l(l)q.
Rovnice 4.18 (2), (6) a (7) implikují
□
E[x(tq)xT(tq)] =M~1[I+ [" A(r)bbTAT(r)c/T]M-T, (8)
Jti
{ M_1A(í)b, t e [ŕi, ŕ,], 0 jmak.
Ad 4.18(8): Podle 4.16(2) platí
£[x(ŕ9)xT(ŕ9)] = M~lE[{Q + í 9 A(T)bu(T)dT x
Jti
x   (6T+ ľ'bTAT(T)u(T)dT)]M-T = Jti
=  M-l{E{QQT) + E[S í" bAr(r)íi(T)dT] +
Jti
+  E[ í 9 A(T)bu(T)dT ■ ST] + Jti
+  E[ f 9 A(T)bu(T)dT ■ í 9 bTAT(T)u(T)dT]}M-T. Jti Jti
56 4.5. Rekurzivní algoritmus pro ig-splajny interpolující EHB data
První člen ve složené závorce je roven / podle 4.18 (7), další dva jsou rovny nule podle 4.18 (6). Poslední člen spočteme takto: nejprve platí
í*\ 4-15(1)    r u\ 4-12(3) r vt   *\ 4-16^2) r>( *\ au(t)   =   aLy(t)   =   LtK(T,t)   =   G(r, t).
Podrobnější zápis: a[u(t)](r) = aLt[y(t)](T) = LtK(r,t) = G(r,t), kde r značí argument probíhající prostor (M, 23,P), takže zmíněný člen bude roven
( jf9 A(T)bu(T)dT,    9 bTAT(T)u(T)dT^j y = =   (a      A(r)bu(r)dr, o      bTAT(r)u(r)dr^ 2= {viz pozn. dole)1 =   ( f9 A(r)bG(í, r)dr, /"'* bTA^(r)G(í, t)c/t) 2^4)
=        f9 A(r)bAfG(ŕ, T)dr ■ ľ" bTAT(r)AfG(ŕ, r)c/r +
j=i Jt\
+    ľ \ ŕ A(r)bL(t)G(ŕ, r)dr •      bTAT(r)L(í)G(ŕ, r)eř
./O    lJti Jti
=   C \ ľ' A(r)bJ(r - t)dr ■ ľ' bTAT(r)6(t - t)ár Jo   *-Jtl Jtl
=   ľ A(ŕ)bbTAT(ŕ)c/ŕ 4-=(5) ŕ A(t)bbTAT(t)dt. Jo Jti
'íi
Ad 4.18(9): Podle 4.18 (6), (2) a 4.16(1) platí
E[x(tq)u(t)] = E[{M~l@ + M~l [ 9 A(T)bu(T)dr)íí(r)]
Jti
= M-lE[Qu{ť)} + M~lE[ f 9 A(T)bu(T)u(t)d
Jti
= M~l ľ' A(r)bJ(ŕ - r)ár, Ju
TI 4,=(1)
což podle 4.18(5) dává žádaný výsledek.
Rovnice 4.18 (8) a (9) představují počáteční podmínky. Tím je dokončena specifikace modelu 4.17 (1) až (5) pro y(-). □
Tato rovnice se opakuje (bez detailů) v odstavci 4.28 (viz poznámku [1] pod čarou na str. 68).
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
57
4.5. Rekurzivní algoritmus pro Lg-splajny interpolující EHB data.
4.19. Rekurzivní algoritmus
pro Lg-splajn s(-) interpolující data {rj}^ vzhledem k EHB funkcionářům A = {Aj}^. (Odvození viz dále v odst. 4.6.)
KROK 1. Přímý chod pro tj-i < t < tj, j = q + 1(1)-ZV (pokud ovšem q+l<N). Z výchozích podmínek
Xq/q = M'1^, kde rg = [ru...,rq]T (1)
Pq/q = M-'lŕ A(r)bbTAT(r)dr]M-T (2) Jti
spočteme indukcí následující veličiny pro j = q + 1(1)-/V" :
e3   =  T3 ~ CXj/j-l (3)
Rj = CjPjij_iCj (skalár) (4)
K3   =  P3/3-lCJ (5)
Xj/j_i = Qitjitj-^Xj-i/j-i (6)
X3/3   =  X3/3-l+K3Rjl£3 (7) Pj/j-l   = ®(tj,tj-1)Pj_1/j_1<f>T(tj,tj-1) +
+ f ' $(*,-, T)bbT$T(ťj,<r)dT (8)
Jtj-l
P3l3   =  P3/3-í ~ P3/3-lCJ\-CP3/3-lCJ}   lcJPľ/j-l =
= [I -KjRJ^Pj/j^ÍI -KR^Cjf. (9)
Těchto veličin použijeme k provedení Gram-Schmidtovy ortogonalizace posloupnosti {Xiy}i ■ Vlastní provedení bude popsáno schématem (G — S) v odst. 4.6 - odvození algoritmu.
Ulož xjv/jv a všechna £j, Kj, Rj, j = q + 1(1)iV.
KROK 2. Pro ť > tN
s(ť) = C$(t,tN)xN/N.
(10)
58
4.5. Rekurzivní algoritmus pro Lg-splajny interpolující EHB data
KROK 3. Zpětný chod pro tj-i <t<tj, j = N(l)q + 1 :
s(t) =cx(t/N) (11)
kde
X(t/N)   = $(r, tj)x(tj/N) + [ ľ $(ŕ, T)bbT$T(íj, T)dT]Hj (12)
Jtj
x(tN/N) =Xjv/]V (13)
fij = tpj+ifij+i + CjRjlEj, hn = cJfR^leN (14)
= $(ťi+i, íj)[/ - Kj-ížt1^-], j = iV - 1(1)9 + 1. (15)
KROK 4. Pro h<t<tq
kde
s(í) =cx(t/N)
x(t/N) = <£>(t,tq)x(tq/N)+
(16)
+
[ y *(ŕ, r)bbTAT(r)c/T]M-T$T(ŕ9+1, ŕ9)M9+1. (17)
KROK 5. Pro ŕ < ŕx
s(t) = c$(ŕ,ŕi)x(ŕ1/iV).
(18) □
Příklad 4.20.
L = D2, Xjf = f(tj)=rj, i = l(l)AT; JV > 2, r = [n,rw]T. PakQ = 2,  c = [l,0],  j = l(l)N.
KROK 1. Přímý chod pro tj-i < t < tj, j = 3(l)N.
Počáteční podmínky
*2/2
2/2
T2
ri - r2/(íi - í2),
0 0
0 -(íi-í2)/3.
(la) (2a)
Výpočet 4.20(la) x2/2 a 4.20(2a) P2/2g, nejprve x2/2 : Homogenní rovnici y" = 0 převedeme na systém
x = (xi,x2)T, x[ = x2, x'2 = 0,
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
59
	(-	" 1 ť		bi b2
ai a,2	\~	0 1		ai a,2
který má fundamentální matici řešení ve tvaru $(í,r) =
který po specifikaci počáteční podmínkou <Ě>(t, t) = / přejde na tvar
*(*,t)
1 Í-T
0 1
Protože Xjf = f{tj), j = 1(1)-ZV, máme Cj = [1,0]. Spočteme 4.20(la) x2/2 :
Mf  =  c$(ŕi,ŕ2) = [1,0] M2T   =   c$(Í2,í2) = [l,0]/ = [l,0]
1 Í1-Í2 0 1
M1-Í2],
takže
M
1 Í1-Í2 1 0,
M"
1
Í2-Í1
0 Í2 - íl -1 1
Odtud plyne 4.20(la)
x2/2 = M~lrq =
Spočteme 4.20(2a)P2/2 : Podle 4.18(5) pro r € [íi,í2] je
T2
ri - r2/(h - t2)
Af(T)=C$(ťť,T) = [l,0]
Dále
A(r)b takže
/ A(r)bTAT(r)dT = / Jíi Jíi
Odtud 4.20(2a)
1    *i - T
0 1
[l,ť!-r],  Aj(r) = [0,0].
' 1    íl - T "		" 0 "		' íl - T '
0 0		1		0
(íl-r)2 0 0 0
dr =
-i(Í!-í2)3 0
p2/2 = M-
(Í1-Í2)3 0
0
0
M"
0 0
0 -(íi-í2)/3
60
4.5. Rekurzivní algoritmus pro Lg-splajny interpolující EHB data
□
Závěrem spočteme veličiny 4.19(3 až 9) pomocí procedury (G — S) (viz následující odst. 4.6).
KROK 2. Pro t > tN podle 4.19(10)
s(t) = c$(t,tN)xN/N = ' 1 t-tN
[1,0]
0
xív/ív = [!,* — *iv]xjv/iv
(4a)
(Xjv/JV - viz KROK 1 ve 4.19).
KROK 3. Zpětný chod pro t2 < t < Íjv- Splajn s(t) spočteme po částech pro tj-i < t < tj, j = N(l)3 podle 4.19(11)
s{t) = cx(t/N),
(5a)
kde
c(t/N) = $(t,tj)x(tj/N) + [J $(ŕ,r)bbT$T(ŕj,r)c/T]^, (6aa)
x(*iV/iv) = Xjv/at.
(6ab)
Postup výpočtu:
Restrikci funkce x(t/N) na interval [tj-i,tj] označme na chvíli x^(t/N). Potom rekurzivně (viz 4.20(6aa))
x(tj-i/N)\[tj_utj] := x^itj-x/N) = $(tj-1,tj)x{j)(tj/N)+
Qttj-u T)bbT<S>T(tj, r)dr]H,
kde X(j) (tj/N) = X(J+1) (tj/N) bylo vypočteno v předešlém iteračním kroku. Nyní výraz v hranaté závorce v 4.20(6aa) bude t
ľ 1   í-THnl       ľ    1 ni
dr
I
' 1    t-T '		" 0 "	[0 1]	1      0 "
0 1		1		Jj-T 1_
(t - tj)
-g(ŕ-ŕj) ^(h-tj)
-Ht-tj) 1
Položme
x(t/N) = [Xl(t/N),x2(t/N)]T,  H = frf^f]
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
61
Pak
xi(t/N)
x2(t/N)
+ ±nf )(t - tj) + x2(tj/N)] (t - tj) + Xiitj/N), =   [ ~ iU1}(í - tj) + »f ] (í -     + X2(tj/N).
2r~j   v-      -j,   ■ r~3
Výpočet Hj a ipj+i ■
fj.j   =  tl>j+iHj+i + Cj Rj Ej,  /j,N = cNRNeN
>j+i
4.19(15)
1    tj+i - t j
(I - KR^Cj),
{JHj,Rj,£j a x(tN/N) = xN/N - viz KROK 1. ve 4.19)
(7a) (8a)
KROK 4. Pro h<t<t2
s(t) = cx(íjv),
kde
x(t/N) = ${t,t2)x(t2/N)+
+ [ ľ$(t,T)bbTAT(T)dT]M-T$T(t3,t2)fi3 =
x(t2/N) + B(t) ■ M"T$T(r3, t2)n3;
*2
1 t~t2
0 1
prvky (kl) 2 x 2-matice
Bit) = Ji jsou následující
" 1    t-T '		' 0	0 "		1      0 "
0 1		0	1		ťl-t 0
dr
(11) = -Ut- t2)2 [(t - t2) + 3(í2 - ŕO], (12) = 0, (21) = -i(í1-í)2 + i(ri-í2)2, (22) =0.
Matice
M-V(í3,í2) = ^ (/i3 - viz KROK 3.)
*3 - *2 1 -í3+í1 "I
(9a)
(10a)
62
4.5. Rekurzivní algoritmus pro ig-splajny interpolující EHB data
KROK 5. Pro t < h
s(t) = cQ(t,hMh/N) = = [l,t-h]x(h/N), (x(*i/JV) - viz KROK 4.).
4.21. Algoritmus přikladu.
(11a)
□
Shrneme předešlé úvahy do tvaru, ve kterém jsou přímo použitelné k výpočtu.
f(t) = -\/ísin(í/5), q = 2, N = 15 = počet uzlů sítě, r = [ri, • • • ,rN]T, f(tj) = rj5 Cj = [1,0], j = 1(1)N, c = [1,0], [a, b] = [0,15], *(t,r) =
i t-r i     r i o"
0    1   J       [ o 1 '
KROK la. Přímý chod pro tj-i < t < tj, j = 3(1)N. Počáteční podmínky
x2/2 =
T2
2/2
n - r2/(h - í2)
0 0
0 -(íi-r2)/3
Indukcí spočteme následující veličiny pro j = 3(1)N
c,x
Rj xj7j'-i
pili
T
pj/j-íQJ
xj7j'-i +KJRj1 gj
^(ŕj/ŕj-OPj.i/j.i^íŕj.ŕj-i) + (t - t j)
r    e(t   t j)2
1 -hí*-*i)
pj/j -1 - p^-icjicjP^cjr'cjPjj^
(nebo   = [I-KjRj^jjP^I-KjRfcjf).
Tohoto druhého vyjádření nelze použít u vyhlazovacích splajnů!) Ulož xjv/jv a všechna Ej, Kj, Rj, j = 3(1)N.
KROK 2a. t > tN
s(t) = [l,í - tN]*N/N
\{t-t3)
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
63
(xN/N v KROKu la.)
KROK 3a. Zpětný chod pro í2 < t < tjy-Nejprve konstrukce dvou funcí fj,j a tpj.
= \píf\ l^p]-, - indukce pro Íjv > t > í2 s počáteční podmínkou
ýj+i
ýj+iH+i + cJRj 1 gj
1 t o
■j+l
(I-KjR-1^).
Splajn kde
Označme
s (ŕ) = cx(t/N) x{t/N) = [x1{t/N),x2{t/N)].
x{j)(t/N) :=*(t/N)/[tj_utj] Indukcí pro Íjv > t > í2, s počáteční podmínkou
X(at)(íat/-/V) = x(tN/N) = x^,
konstruujeme
= $(íi_i,íi)x(i)(íi/JV)+
+ (* - *i)
-Ht-tj)
kde X(j) (tj/N) = X(J+1) (tj/N) bylo vypočteno v předešlém iteračním kroku. Výpočet složek vektoru x(í/JV)
xi(í/JV) = [( - £(í - í,-)^ + Uľ])(t - tj)+
1
+ x2(ŕj/JV)](ŕ-ŕi)+si(íj/JV) x2(í/JV) = [ - I^.1) (ť - tj) + /if ] (ŕ - t j) + xaíŕj/JV).
(Kj, ižj, £j a x(íjv/AT) = xjv/at jsou vypočteny v KROKu la.)
64
4.6. Odvození rekurzivního algoritmu
KROK 4a. Pro h<t< t2.
s (t) = cx(t/N)
x(t/N)
1 t-tj 0 1
x(ŕ2/^V)+
+
-i(t-t2)2[(t-t2)+m-h)2]
-i(ŕi-ŕ)2 + i(ŕi-ŕ)2)2
*3 - *2 1 -Í3+Í1 -1
0 0
Í1-Í2
x(t2/N), /iS - viz KROK 3a.) KROK 5a. Pro ŕ < *i
s(t) = [l,t-h]x(h/N), kdex(ŕi/JV) - KROK 4a.
4.6. Odvození rekurzivního algoritmu. Odvozujeme rekurzivní algoritmus pro Lg-splajn s(-) interpolující data {rj}± vzhledem k EHB funkcionálům A = {AJf.
Nejprve ortogonalizujeme náhodné veličiny {Aj}^ Gram-Schmidtovou metodou s využitím modelu 4.17(1) až (5). (Tím bude splněn požadavek (**) odst. 3.7).
Nato najdeme odhad y(t) na základě ortogonalizovaných dat {vj}-Nakonec se veličiny {Aj?/} nahradí jejich pozorovanými hodnotami {rj}.
4.22.
Je dobře známo, že se na Gram-Schmidtovu ortogonalizaci dá hledět jako na aproximaci minimalizující normu.
Definice 4.23. K posloupnosti {X±y,Ajv?/} nezávislých prvků Hilbertova prostoru H vytváří Gram-Schmidtova procedura posloupnost {vi,vn}, pro niž v\ = X±y a prvek
j'-i
i=l
je optimálni chyba optimalizačního problému:
min || Aj y — x\\ přes všechna x v podprostoru V {j — 1) = span{Ajj/}{_1 = span{fj}{_1
(viz 2.1 - Věta o projekci -, viz také [18], §3.9, str. 63, D 10). □
Dokážeme nyní platnost jednotlivých kroků algoritmu 4.19.
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
65
Využijeme přitom teorie odvozené v kap. 2.2, § 2 (Rekurzivní metoda odhadu). Označení použité v 2.2, § 2, je zde až na některé grafické detaily zachováno.
KROK 1. Gram-Schmidtova ortogonalizace posloupnosti {Xjy}? ■ Definujeme
x(t/j) = lineární odhad vektoru x(í) na bázi {Aj?/}{. (2) Jinými slovy, x(t/j) je ortogonální projekce vektoru x(í) na podprostor
V(j) = span{Aij/}{ = span{^}{, (3)
Dále definujeme
x(í/i)=x(í)-x(í/i), (4) Pj/j=E[í(tj/j)íT(tj/j)], (5)
PjIj^ = E[í(tj/j - l)íT(tj/j - 1)]. (6)
Nechť je ortogonální posloupnost náhodných veličin, která vznikne
Gram-Schmidtovou ortogonalizací posloupnosti {Xjy}? ■ Pak podle 4.17 (8) a 4.18(2)
v3 = XJV ~ Cj*(tj/j - 1) = Cj[x(tj) - k(tj/j - 1)] = Cjx(tj/j - 1). (7)
{E[{ui){-l{{ui){-l)T]-1 existuje - viz 3.5.) Definujeme-li
Rj = E(^), (8)
pak Rj vyjde ve tvaru 4.19(4)
Rj = EicjUtj/j - l)xT{t3/j - l)cj] = CjPj/j^cj.
Označení 4.24. Označme Ej, Xj/j, resp. aľj/j-i pozorované hodnoty veličin ľj, x(tj/j) resp. íc(tj/j—1), jež obdržíme substitucí Xiy = r,, i = 1(1)|#.
Dokážeme, že Gram-Schmidtova ortogonalizace může být provedena postupem 4.19 (3) až (9). K tomu cíli musíme ukázat, že platí rovnice 4.19 (1), (2) a (3) až (9). Počáteční podmínky 4.19 (1) a (2) obdržíme z 3.3. Totiž
k(tg/q) = E[K(tg)@T][E(@@T)}-l@4A^7)
= E[x(tq)&T]& 4-18( =a (6) M-iQ; (1)
66
4.6. Odvození rekurzivního algoritmu
po substituci Xiy = r,, i = 1(1)<?, obdržíme pro pozorování xq/q výraz 4.19 (1). Dále
Pq/q = E[x{tq/qxT{tqlq)} = E[x(tq)xT(tq)]-
4.18(8)
■-M~l[ j A(T)bbTAT(r)dr]M-
íi
což dává 4.19(2).
Rovnice 4.19 (1) a (2) jsou tedy potvrzeny.
4.25.
Nyní využijeme věty 4.14. Abychom tak mohli učinit, musíme symbolům z definice 3.8 a z věty 4.14 přisoudit nový význam. S přihlédnutím k 4.17(10) (kde tq je nahrazeno tj) symboly
x(i), $(j) resp. u(i), j = 1(1)N,
ze vztahu 3.8 (1) budou mít tento význam:
x(tj), $(íj+i,íj) resp.  / $(íj+i,r)bu(r)dr;
Jtj
u(j) je náhodný vektor vstupu, zatímco u(t), t G [0,T], (viz 4.15(1) a tvrzení 4.23) je bílý šum, proces, který řídí lineární dynamický model 4.17 (1) až (5). Máme tedy
u(j)=  r+1 ®(tj+UT)bu(T)dT. (1) Jtj
Veličině v(j) z 3.8(4) přisoudíme význam Xjy a s ohledem na 4.17(8) pod 1 x q -maticí C(j) budeme rozumět c j a pod w(j) nulu. Odtud pak matice W(j) v 3.8(5) je rovněž nulová, neboť
W(j)=E[w(j)wT(j)}=0. (2)
Symboly z 3.8(8) ž(k/j) i 3.9(5) íc(k/k) mají význam daný v 4.23(2) pro t = tk, dále 3.8(9) = 4.23(3) - v(j) substituováno Xjy nebo vA, P(j) 3.9(2) se shoduje s Pj/j-i 4.23(6), P(j/j) 3.9(6) s Pjtj 4.23 (5) - s náhradami x(íj) za x(j).
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
67
■3/3-1
4.26.
Dokážeme platnost vzorců 4.19 (3) až (9). Z 3.9(8) plyne
Pj/j-i = $(ŕj,ŕj_i)Pi_i/i_i$T(ŕj,ŕj_i) + Q(j - 1) a z 3.9(6) obdržíme
P3/3 = P3/3-l ~ P3/3-lCJicP3/3-lCJ]~lc3Pl
neboli
P3/3 = P3/3-í ~ K3RjlKJi í1)
což potvrzuje platnost prvního vyjádření z 4.19(9)
Druhé vyjádření v 4.19(9) obdržíme z předešlého s použitím 4.19 (4) a (5). Platí totiž
[I -KjRfcjjP^I -KjRTícj]T =
P3/3-l + K3Rjlc3P3/3-lCJRjlKJ ~ K3Rjlc3P3/3-l ~ Pj/j-lCJ'^J^J'
Součet prvních dvou členů vpravo je Pj/j-i + Kjiž_1Kj, součet druhých dvou členů vpravo je — 2PJyJ-_1cJižJ1c7-PJyJ-_1 = — 2K?-ižJ1Kj (matice Pj/j-i je symetrická podle 4.23(6)).
Druhé vyjádření v 4.19(9) je potvrzeno.
Poznámka 4.27.
Matice Pj/j-i a Pj/j jsou pozitivně definitní. Pjjj vyjádřená ve formě 4.26(1) - což je první vyjádření v 4.19(9) - jako součet dvou pozitivně semidefinitních matic, se může v důsledku zaokrouhlovacích chyb stát indefinitní. Tomu se vyhneme použitím druhého vyjádření v 4.19(9). Je však třeba zdůraznit, že prvního vyjádření je nutno použít, když modifikujeme interpolační algoritmus na vyhlazovací (viz kapitolu 4.6). Oba algoritmy se shodují až na veličiny Rj a Pq/q, přičemž změněná Rj použitá na výpočet Pj/j způsobí neekvivalenci obou vyjádření. □
68
4.6. Odvození rekurzivního algoritmu
4.28.
Kovarianční matice chyb Q(j — 1) z 3.8(2) se vypočte, jak následuje:
Q(j -1) =
T i ■     i m 4.25(1)
E[u(j - l)uJ (j - 1)]
4.11(3)
=  E[f3 <Š>(tj,T)bu(T)dT V u(T)bT<Š>T(tj,T)dT]
J tj — l J tj — l
= (/[-,■],/[■,-ny ^u /[-,-u/[-,-n
= (ľ3 $(tj,T)bG(t,T)dT, ľ' bT$T(ŕj,r)G(ŕ,r)c/T) =  É t T *(*i.T)bA5')G(í,r)cír] x [•••]T +
+    [{[[3 *{tj,T)hL®G{t,T)dT\x[-~]T)
4.15(1)^4.16(2) l
Hi,2 —
2.5(4)
TI ^4.6(2)
'0      <" Jtj-!
rT , rt
[ jt Q(tj,T)b6(T-t)dT] x [■■■]T]dt
a současné
rt
{ í ■ ■ ■ dr]x[• • • ]t} = j /o.*(ťj> *)bbTc/ŕ = $T{tj, t), pokud ŕ G fo-i, ŕ,-], Odtud
Q(j-l)= ľ ®{tht)bbT<Š>T{tht)dt,
Jtj-i
což potvrzuje vzorec 4.19(8).
Vztah 4.19(3) plyne přímo z 4.23(7). Nakonec odvodíme vztahy 4.19 (7) a (6).
Podle 3.9(7)
x(tj/j) = x(tj/j - 1) + Pj/j-icjicjPj/^cj]-1 ■ [Xjy - Cjx(tj/j - 1)], takže podle 4.19 (3) až (5)
xj7j = xj7j'-i + ^JRj £Ji
Podrobnosti jsou v rovnici, k níž se vztahuje poznámka [1] pod čarou v Poznámce 4.18, str. 56.
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
69
což je 4.19(7). Podle 3.9(7)
Htj/j -1) = Htj,tj-i)ž(tj-i/j -i),
což dává 4.19(6)
xi/i-i
^(tjitj-i^j-i/j-i-
Tímto jsou ověřeny vzorce 4.19 (1), (2) a (3) až (9) vztahující se ke Gram-Schmidtové ortogonalizaci posloupnosti {\iy}± ■
Snadno se ověří, že tyto vztahy stačí k provedení ortogonalizační procedury. Ze vztahů 4.18 (1) a (7) plyne, že posloupnost {\y}\ je ortonormální. Stačí tedy provádět proceduru pro j = q + 1(1)JV. Veličiny se postupně vypočítávají podle následujícího schématu (viz rekurzivní metodu odhadu - větu 2.20):
Start: Xq/q, Pq/q
1. iterace: xg+1/g, £q+\
2. iterace: Pq+i/q, Kq+i,Rq+í, xg+i/g+í, xg+2/g+i, eq+2
3. iterace: Pg+í/g+i, Pg+2/g+i, K9+2, Rq+2, xq+2/q+2, xq+3/q+2, e9+3
4. iterace a další se vedou podle schématu 3. iterace. Procedura končí výpočtem veličiny xyv/iv :
(N - q + l)-tá iterace: Pn-i/n-i, pn/n-i, kív5 Rn, *n/n-KROK 2. - viz závěr důkazu spolu s KROKem 5.
KROK 3. Nechť nyní platí tj-i <t<tjaj = q + 1(1)N. (Poznamenejme, že vztahy 4.28 (1) a (7), které jsou v dalším odvozeny, platí i pro 1 < j < N a t G [0,T].) Protože podle 4.17(10) platí
(G-S)
x(í) = &(t,tj)x(tj) + / $(r,r)bu(r)cřT,
máme podle lemmatu 3.5
x{t/N) = &(t,tj)x(tj/N)+ [ ^{t,T)bú{T/N)dT, (1)
70
4.6. Odvození rekurzivního algoritmu
kde podle věty 3.3
u(T/N) =
=   E[u(t)(ui,..., un)] [E[(ui,vN)T(vu    uN)]] vn)t 4'18^'(t)
=   E[u{t){vu    VN)\e^g[E{^)-\    E{v%)-l]]{vuvN)T 4-=(8)
N i=q+l
a podle 4.23(7)
N
ú(t/N)= Y E[u(r)íT(ti/i -l)]cf i?rV
i=q+l
Indukcí se dá dokázat, že
x(í9+l/g) = $(tg+i,tg)x(tq/q) + u(q)
a že pro i > q + 1
ž(íj/i - 1) =
= 1pi1pi-l-1pq+2^(tq+l,tq)x(tq/q) + +1pi...1pq+2u(q) +
+ Vi-^+3u(g + 1) + ... + fpMi - 2) + u(i - 1),
kde
V'j+i = Htj+u tj)[I - KjRj1^]. Abychom to dokázali, uvažme,že
x(ŕť_i/i - 1) = [I - Ki-iižr^ci-ilxíŕi-i/i - 2),
což plyne z následující úvahy
~(.      r     -t \ 4.23(4) x(íj_i/í-l) =
=     x(íj_i) - x(íi_i/i - 1) = x(íj_i) - x(íi_i/i - 2) -
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
i-l/i-
2ci_i[ci -ii'i_i/i_2Ci_i] 1 ci_i(x(ŕi_i)-x(ŕi_i/i-2))
4-=(4)   x(ŕť_i/i - 2) - Ki-iÄr^Ci-ixft-i/i - 2) =     [J - Ki-iižr^ci-ilxíŕi-i/i - 2),
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
71
kde se druhá rovnost obdrží na základě 3.9(5), 4.25(2) a 4.23(7).
Vyjádření Sc(tg+i/q) (3) se nyní dá bezprostředně dokázat, a to takto x(í,+i/g) =
=   x(r9+i) - x(tq+i/q) 3=T) x(íg+i) - &(tq+i,tq)x(tq/q) 4'=(4) =   x(r,+i) - $(r,+i, í,)[x(í,) - x(í,/9)] =
=   x(ŕ,+i) - $(ŕí+i, ŕ,)x(ŕ,) + $(ŕ,+i, tg)í(tg/q) 4A7^10k4-25^ = &(tg+i,tg)x(tg/q)+u(q).
K důkazu 4.28(4) použijeme 4.28(6) a indukčního předpokladu (jenž má tvar 4.28(4) pro i — 1 místo i)
x(rť/i - 1) =
= x(íť) - x(rť/i - 1) 3^T) x(íť) - $(ŕť, ŕi_i)x(ŕi_i/i - 1) = = x(*i) - $(ŕť, ŕi_i)[x(ŕi_i) - x(ŕi_i/» - 1)] =
= x(*i) - $(ŕť, ŕi_i)x(ŕi_i) + $(ŕť, ŕi_i)x(ŕi_i/i - 1) 4-17(102i4-25W
= u(* -1)+m, íi-i)x(íť_i/i -1)4-=(6)
= u(i - 1) + $(rť, íť_i)[J - Ki .iižr^ci-ilxííi-i/i - 2) 4-=(5)
= u(»-l)+V'ix(ri_i/»-2) =
= u(i - 1) + ^i-i...^g+2^(tg+i,tg)í(tg/q)+
+ ^i...^g+2u(q) + ^i..4q+zu{q + 1) + ... + ^iu(i - 2),
QED.1
Rovnice 4.28 (3) a (4) mohou být přeformulovány ve tvaru (pro i > q+1) x(rť/i-l)   = *i>í+i$(ŕí+i,ŕí)x(ŕí/9)+
Rovnice 4.18 (6), 9) a 4.24(1) ukazují, že u(r) a St(tq/q) jsou nekorelované veličiny, pokud t >tg.
Dosadíme-li do 4.28 (7) do (2), pak s ohledem na to, že u(-) je bílý šum, bude platit pro j = q + 1(1)N a tj-i <t<tj
+ EU+i*i.*/tí-i*(ť*'a)bu(a)dtT' .
kde
„quod erat demonstrandum" = „což bylo dokázati"(= □)
72
4.6. Odvození rekurzivního algoritmu
N
E E[u(r)í(ti/i - 1)] =
=9+1
N i tk
=    E E[u{t){  E / $(4,a)bW(a)eZa)T] =
«=9+1 fc=g+l ífc_i
=    E    E [ / ^[^(r)W(a)]bT$T(í,,a)c/a]^ =
i=g+l fc=g+l tfc_i
=    E    E [ / í(r - a)bT*T(ífc, ajdtr]^ =
i=g+l fc=g+l ífc_i
E    E bT$T(ŕjfc,t)«i>jfc, když r G [ŕjfc-i,**],
i=g+l A;=9+l , 0 jinak. V případě r G [tj-i,tj] bude
ív
Ä(r/JV) = bT<S>T(tj, r) £ yJjcjR^Vi = bT<S>T(tj, t)&, (8)
kde
ív
nebo rekurzivně
0 = V'J+lO+l + CJRjlu3' = cJfR^un. á
[Odvození rekurzivní alternativy:
Ín-\
ÍN-2
atd. až nakonec
ti
(9)
cJfRj^^N
= ýírŠN + c^_1íž^1_1i/ív-i = tpJfcJfR^ľN +
+ c^_1iž^1_1i/_i
= Í>N-i€n-1 + cJf_2R]^_2l'n-2 =
= IpJf.^JfcJfR^ľN + ^_1c^_1iž^1_1I/iV-l +
+ c^_2ižJv1_2^Ar_2,
= tpf+1...tp'%rc$rRjf1vn + ... + ^+1^+2^+2^7+2^+2 +
+ Vj+icJ+iižT+^j+i + CJRJ1^ = ipj+itj+l + cjRj1^
N
□
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnů
73
Podle definice platí y(t) = cx(í), takže pro odhad (definovaný v 4.13(4))
ý(t) veličiny y(t) na bázi {Xiy}x (s přihlédnutím k lemmatu 3.5) máme
y(t) = cx(t/N). (10) Jestliže nyní jsou x(í/JV) a fij pozorování íc(t/N) resp. £j, která obdržíme tak, že položíme \y = r,, i = 1(1) N, pak věta 4.14, 4.28 (1) a (8) až (10) implikují 4.19 (11) až (14). Poznamenejme, že počáteční podmínka (6ab) z KROKu 3 se obdrží z KROKu 1.
KROK 4.
Předpokládejme íi < í < tq. Tak jako v 4.28(1) platí
x(t/N) = $(ŕ, tg)k(tg/N) + í $(*, T)bú(T/N)dT. (11) Rovnice 4.28 (2) a (7) platí, ale nyní jeíjt(r) nekorelované s druhým členem v 4.28(7), jak snadno plyne z toho, že
E
u(t)( j <f>(tk,a)bu(<t)da)J *fe-i
jT bTQT(tk,a)E[u(t)u(<j)]da 4'=(1)
tk-l
f bT^T(tk,a)ô(r -a)da =
tk-l
í bT*T(í*
| 0 jinak.
,r), T€[ŕjfc_i,ŕjfc], q+1 <k<i (< N),
Protože íi < r < tg, tvrzení plyne, když připomeneme, že E[u(t)] = 0. Odtud
Ů(r/N) 4-252) i=g+l
=  E e{u(t) [xT(tq) - xT(tq/q)^T(tq+utq)] U^cjR-1^ 4 =(1)
i=q+l     k J
E  {E[u(T)xT(tq)] - E[u(r)eTM-T^T(tq+1,tq)]}x
=9+1
= b^(r)M-^(ťff+1,íff) E ^icf^1^ 4=(9)
i=g+l
= bTAT(r)M-T*T(íff+1,íff)eí+i-Tedy
ú(t/N) = bTAT(T)M-T$T(tq+utq)Zq+1. (12)
74
4.6. Odvození rekurzivního algoritmu
Rovnice 4.28 (10) až (12) dávají 4.19 (16) a (17), jakmile jsou zvolena příslušná pozorování.
KROK 2. a KROK 3.
Rovnice 4.19 (10) a (18) se odvodí podobným způsobem: V KROKu 2. (v KROKu 5.) volíme tN (*i) místo tg ve vyjádření 4.28(11). V obou případech vyjde x(í/JV) analogicky k 4.19(17), ale integrál v hranatých závorkách je tentokrát = 0, neboť podle 4.18(9)
E[x(tq)u(ť)] = 0
v důsledku toho, že t £ [ti,tq].
5. Konstrukce L#-splajnů vyhlazujících
EHB data
5.1.
V kapitole 1. jsme se zabývali interpolačními i vyhlazovacími splajny. Obojí jsme vyšetřovali jak v obecné rovině tak - po specializaci podmínek -po praktické stránce s vyústěním do efektivního programu. Kapitoly 2. a 4. byly věnovány Lg-splajnům interpolujícím EHB data, tj. rekonstrukci funkce z množiny přesných dat, z množiny kolekce dvojic {(tj, r j = Xjf)}\-Při rekonstrukci funkce z měřených dat {rj}± se však střetáváme s dobře známou skutečností, že měřená data jsou zatížena chybami, takže je nežádoucí data přesně reprodukovat, ale že je nutné udělat kompromis mezi aproximací dat charakterizovanou funkcionálem
N
F(f) = £(r; - V)2 i1) s vyhlazením dat, jež je charakterizováno funkcionálem
J(f) = [T(Lff. (2) Jo
V takových případech je užitečná technika vyhlazovacích splajnů, která spočívá v náhradě funkcionálu (2) z interpolační úlohy „kompromisním" funkcionálem (pj > 0)
N
M (f) = J(f) + 5>71(r; - A,/)2, (3)
definovaným v kapitole 1. (viz zejména 1.4).
Závislost objektivního funkcionálu (3) na pj vysvitne, když uvážíme dva krajní případy. Jdou-li váhy k nule, problém minima funkcionálu (3) se redukuje na minimalizaci funkcionálu (2) při omezeních
Xjf = rj, j = l(l)N.
V tomto případě přechází funkce minimalizující funkcionál (3) v Lg-splajn interpolující {rj}i vzhledem k {Aj}^.
Jdou-li váhy pj k nekonečnu, funkce minimalizující funkcionál (3) konverguje k funkci nulového prostoru operátoru L, která realizuje nejmenší součet čtverců vzhledem k {rj}±. Tedy podle okřídleného sloganu „vyhlazovací splajn je kompromis mezi důvěrou v data a vyhlazením rekonstrukce".
Vyhlazovacím splajnům byly v kapitole 1. věnovány odstavce 1.3 a 1.24
75
76
5.1. Převedení úlohy vyhlazování na interpolační
a úvahy byly přivedeny za jistých specifikací až k vytvoření programu. V této kapitole zobecníme výsledky na Lg-splajny vyhlazující EHB data. Využijeme k tomu závěrů z předešlé kapitoly 3.2. o interpolaci, a to tak, že rozšíříme základní Hilbertův prostor, v němž řešíme interpolační problém a z výsledku jednoduchým způsobem odvodíme vyhlazovací splajn pro původní vyhlazovací problém.
5.1. Převedení úlohy vyhlazování na interpolační.
5.2.
Vycházíme z pojmů a z označení zavedených v předešlých kapitolách: Pod Hq'2[0,T] rozumíme Sobolevův prostor se skalárním součinem a normou podle 2.5 (4) a (5). Pojem systému funkcionálů A = {Aj}^ generujících EHB problém je chápán podle definice v 2.2.
Nechť {rj}^ jsou dané (naměřené) hodnoty a {p}^ kladné váhy, které oceňují naši důvěru v data {rj}± (čím menší p, tím větší důvěra).
5.3.
Připomeňme definici vyhlazovacího splajnu, jak byla formulována v 1.3(1) nebo - v případě Y = EN s diferencovanými vahami p j - v 1.4 a 1.26(2): Funkce s(t) G Hq,2[0, T] se nazývá p83 Lg-splajn vyhlazující data {rj}± vzhledem k A = {Aj}^ a váhám p = (pi,Pn)T■, Pj > 0 pro všechna j, když je řešením extremálního problému
,ÄiU (^Epj^-v)2}. <«
Náš další postup bude spočívat v nalezení nového Hilbertova prostoru, ve kterém původní vyhlazovací úloha bude převedena na interpolační.
Přesněji řečeno, definujeme prostor H+, který jako lineární prostor bude kartézský součin prostorů Hq'2 a EN s prvky značenými (/, 0) (/ G Hq'2, 0 = (©i,0jv)T G EN) s vhodně zavedenou normou || • \\H+ tak, aby minima-lizační problém 5.1(1) a problém
(/,e^Wll(/'e)llff+' P)
kde EJ+(r) = {(/, 0) € H+ : A,-/ + », = r,, j € J}, J = {1,JV}, r = (ri,rjv)T G EN, byly v takovém vztahu, že z řešení problému 5.3(2) jednoznačně plyne řešení problému 5.3(1).
Připomeňme, že předpokládáme jednoznačnost interpolačního splajnu na
5. Konstrukce ig-splajnů vyhlazujících EHB data
77
Hq'2, přesněji řečeno, že předpokládáme lineární nezávislost (pro jednoduchost prvních) q funkcionálů {Xj}\ na nulovém prostoru N(L) operátoru L (Dohoda 1.31).
Dále připomínáme, že {zj}\ = {kj}\ (viz 2.1; 4.9) je ortonormální báze prostoru N(L) duální k {Xj}\, G(t,r) je Greenova funkce pro L. Potřebné vztahy jsou uvedeny v 2.5(1), 2.5(2).
Prvek (/, 0) lineárního prostoru
H+ = {(/, 6) : f(t) € Hi>2, 6 = (0!,@Nf € EN}
lze chápat jako funkci Fg(t) na disjunktním sjednocení I U J intervalu i" = [0,T] a množiny J = {1, ...,N}, kde pro í 6 / je FQ(t) := f(t) a pro í € J je i^í) :=0t.
H+ přejde v Hilbertův prostor zavedením skalárního součinu
((/, e), (»,«)) = f0T(Lf)(L9) + z?=lP;1eJuj+ 1
+ El=i(AJ/ + ej)(AJ-5 + a;J). J
Odpovídající norma je
rT N 1
\\(f,@)\\2=   (L/^ + ^^ef + ^j + e^V (3b) 70        j=i j=i
Důkaz, že ||(/,0)|| =0=>f = 0, 6 = 0:
Z předpokladu plyne Lf = 0 skoro všude, Oj = 0, j = 1(1)-/V, Xjf+Qj = 0, j = 1(1)9, tedy 6 = 0 a dále / € N(L) a Aj/ = 0, j = l(l)q, takže podle 4.9
0 = Xjf = (/, kj) = (/, Zj) a odtud / € N(L)1- n JV(L) = 0, tj. / = 0. n
Definici reprodukujícího jádra v H+ uvedeme následující úvahou. Definujeme (srovnej 4.5 - reprodukující jádro prostoru Hq'2[0,T])
Kp(t, r) = y)(l + P;)*;(í)*;(t) + /   G(í, £)G(r,        *, r € I (4)
Z 2.5 (1) a (2) plynou bezprostředně vztahy
LKp(.,r) = G(r,.), XjKp(.,r) = (1 + pj)zj(t), j = l(l)q, (5)
pomocí kterých snadno najdeme vyjádření Kp(t,r) (jako funkce proměnné í G / při pevném r € /) ve tvaru 2.5(3); odtud
Kp(t,r) € iř9'2[T,0] prokaždé t € J.
78
5.1. Převedení úlohy vyhlazování na interpolační
Označíme-li dále d(t) = (di(t),eřjv(í))T JV-vektor, jehož složky jsou
d1(t) = z1(t),...,dq(t) = zq(t), 1
dq+1(t) = 0,...,dN(t) = 0, J
jsme připraveni popsat reprodukující jádro v H+. Protože Hilbertův prostor H+ není kartézským součinem Hilbertových prostorů Hq'2 a EN (důvod je ve skalárním součinu 5.3(3a), bude reprodukující jádro prostoru H+ jiné než součet reprodukujících jader Hq'2 a EN, jak by odpovídalo kartézskému součinu Hilbertových prostorů 4.2(5).
Věta 5.4. Reprodukující jádro Hilbertova prostoru H+ je funkce K+(t,r) = <
Kp(t,r), tel, rel,
-Ptdt(r), teJ, rel, , ,
-pTdT(t), tel, t G J, { '
ptdt(t), t G J, r G J,
jinak psáno
ir+M-I  (Kp(;t)-Qd(t)), tel
('j " l (-cř(-)Qeí, Qet),   t G J, (lbj
kde Q = diag(pi,pat), ej t-tý jednotkový N-vektor, t e J, pj diferencované váhy „vektorového parametru" vyhlazení (Pozn. 1.4).
K důkazu stačí potvrdit, že
a) K+(t,r) G H+ (jako funkce t) pro každé r G iUJ.
b) ((/(í), S),K+(t, r)) = { *®   p™ r G J } pr° VŠedma (/' @) G ^
Ad a) Nechť r G /. Pro t G J je +(ŕ, r) = l^(ŕ, t) e H a pro í G J je if+(í,r) =
(..., -ptdt{t), ...)t G       tedy K+(t, r) G ií+ pro t € J.
Nechť r G J. Pro í G J je K+(t, r) = -pTdT(t) G AT (L) C ií a pro t G J
je
if+(í,r) = (...,ptôtT,...)T G       tedy K+{t,r) G iř+ pro r G J. Ad b) Pro t e I platí (s použitím 5.3(5))
((/(ŕ), ©),#+(*, r)) = j0T[L/(í)][L^(í,r)]c/í-
- Ef=i Pj'&iPjdjit) + E?=i( V + ©i) [(1 + Pj)dj(r) ~ Pjdjir)] =
= tfG(T,t)[Lf(t)]dt + £?=i(V)<Zí(t) = /(r).
5. Konstrukce Lg-splajnů vyhlazujících EHB data
79
Pro r g J platí ((/(ŕ), ©),#+(*, r)) =tf[Lf(t)]L{-pTdT(t))dt+
+ EjLl Pj1&jPjSJT + Ej=l(Aj/ + @j)[-PrAjdT(í) + PjSjr] = ©t- □
Zbývá definovat lineárne nezávislý systém A+ = {a^}^ spojitých lineár-nách funkcionálů na H+ (a najít jejich reprezentanty), vzhledem ke kterým bude vztažen Lg-splajn v H+. Definujeme
At(/,0) = Ai/ + ©i,      J. (2) Spojitost těchto lineárních funkcionálů se snadno dokáže:
(/*,©*) .-»■ (/0,6°) totiž znamená /* ^ /°, ©J ■->■ ©J, Vj; odtud pro všechna j platí
a+(/*, ©*) = \jfk + ©j ^ \jf° + ©j = a; (/°, ©°),
Ke konstrukci reprezentantů hj~ funkcionálů a+ (j g J) se použije věty 4.3(8):
h-f(T) = X+t)K+(t,T). (3)
Při označení
h}(r)   =   fe(r),(^)T), q, e H
Vi,
z vyjádření
[ XmKp(t,r) - pjdj(T), r g/, AT,()at(í, r) = < {' [ Aj(í) ( - pTdT{t)) + pj<5jr, r g J.
vyplývá
9j(r)   =   \j(t)Kp(t,T) - Pjdj(r), r g I, (uJ)T  =   Aj(í) ( - pTdT(t)) + pj<5jr, r g J.
Podle 5.3(5)
9j(T) = ^(T), i = U1)^
9j(T)   =   Aj(í)Jří(r, r), j = n + 1(1)JV,
je   nulový JV —vektor pro j = l(l)q
a pj—násobek j—tého jednotkového JV —vektoru pro i = g + l(l)JV.
(4)
80
5.1. Převedení úlohy vyhlazování na interpolační
Lineární nezávislost {A^}^ je evidentní.
Nyní jsme schopni formulovat problém typu 5.3(2) jako náhradu za problém vyhlazovacího splajnu 5.3(1).
Věta 5.5. [24] Nechť (/, 0) je řešením problému
liř+'
min / J|(/, (1)
(/,e)et/+(r)
Me U+{r) = {(/, ©) G H+ : A+ (/, 0) = ((/, ©), h+) =
= V + Gj = rj, j G J}. Pak řešením sp(t) problému 5.3(1) je
sp{t) = f(t), t G I.
Důkaz. Existence a jednoznačnost řešení problému 5.5(1) plyne z (jedné modifikace) věty o projekci (věta 2.3). Stačí připomenout, že varieta U+(r) je uzavřená v důsledku spojitosti funkcionálů A+.
V 5.5(1) se minimalizuje výraz
||(/,0)|||+ = tf(Lf)2 + Z?=iPJlQ2 + ZU(xif + @tf
} (2)
na množme
U+(r) = {(/, ©) G H+ : X3f +     = Tj, j G J}. Uvažujme nyní problém
M2h=   min   \\f\\%, (3) feu(r*)
kde
r* = (rí,r*N)T G EN, U{r*) = {/ G H : X3f = r3, j G J}. Vpravo se minimalizuje výraz
\2H= í (£/)2 + £(V)2= í {Lfý + Y^r Jo j=l Jo j=l ■
Zvolme pevně 01. Úloha
(4)
min \\(f,e1)\\H+
má jediné řešení, řekněme (s^,©1). Funkce sp(t) se dá získat rovněž jako řešení problému 5.5(3) pro r* = r — 01, a to proto, že poslední dva členy v 5.5(2) a poslední člen v 5.5(3) jsou konstantní a nezávisí na / a že integrální člen je v obou výrazech týž. V Hilbertově prostoru H je však zaručena
5. Konstrukce ig-splajnů vyhlazujících EHB data
81
jednoznačnost řešení úlohy 5.5(3). Z jednoznačnosti řešení pro O1 = 0 pak plyne f = sp. □
5.2. Rekurzivní algoritmus pro Lg-splajn vyhlazující EHB data.
Vzhledem k tomu, že vyhlazovací splajn v Hilbertově prostoru Hq'2 je interpolační Lg-splajn v Hilbertově prostoru H+ (přesněji řečeno, první složka tohoto interpolačního Lg-splajnu), lze pro vyhlazovací případ reprodukovat algoritmus pro Lg-splajny interpolující EHB data s následujícími změnami:
místo tamnějšího Rj (viz 4.19 (4)) bude nyní
Rj = cJPj/j-icJ + Pi
a místo tamnějšího Pqjq (viz 4.19(2)) bude nyní
Pq/q = M-1(Qq + £)M-T,
kde
Qq = diag(Pl,Pq),  C = A(T)bbTAT(r)dT.
Upozornění 5.6.
V rekurzivním algoritmu 4.19(1) se nabízejí dvě ekvivalentní vyjádření veličiny Pjjj (viz 4.19 (9)). Při přechodu na vyhlazovací algoritmus dochází ke změně veličin Rj a Pq/q, což vede na nezaměnitelnost těchto dvou výrazů. Je nutno použít prvního vyjádření.
Příklad 5.7.
Algoritmus příkladu 4.20 pro případ vyhlazení. V tomto případě se změní algoritmus 4.21 pouze v KRO Ku la, a to veličiny Rj a P2/2:
Rj = [l,0]Pj/j_1[0,1]+Pj,
kde čísla pj jsou diferencované váhy „vektorového parametru" vyhlazení (Pozn. 1.4, také věta 5.4).
P2/2 = M-1(Qq + £)M-T,
kde Qq = diag(Pl,p2), C = f* A(r)bbTAT(r)dr. Tedy
P2/2 = M~lQqM~T + M-lCM~T.
Druhý sčítanec je podle 4.21, KROK la (str. 62), roven První sčítanec je podle 4.19, KROK 1 (str. 57),
0 0
0
■(íi-í2)/3
M-lQqMi
t2-h
0
í2-í1 1
diag(pi,p2)x
82
5.2.Rekurzivní algoritmus pro ig-splajn vyhlazující EHB data
í2-í1
0
í2-í1
(í2-íl)2
p2(í2-íl)2 p2(í2-íl) p2(*2-*l) p1+p2
Doporučení.
Pěkný obrázek o historii i současnosti disciplíny "Interpolace"- do níž teorie splajnů patří - podal Doc. RNDr. Jiří Kobza, CSc, ve stati Interpolace - vývoj formulace problému a jeho řešení. Pokroky matematiky, fyziky & astronomie, 44, č.4, 1999, str. 273 - str. 294.
Doporučujme přečtení tohoto srozumitelně a s velkým přehledem napsaného článku, čtenář Úvodu do splajnů tak získá představu o zařazení prostudované látky do širších souvislostí.
6. Appendix
Úplné znění vět, které byly použity a v textu označeny symbolem jj . jj
1 (str. 7) ([11] IV 5.4, Teor. 3) (Banachova věta o inverzním operátoru.) Nechť A je ohraničený lineární operátor, který vzájemně jednoznačně zobrazuje Banachův prostor E na Banachův prostor E\. Pak inverzní operátor A-1 je ohraničený.
jj 2 (str. 25) ([16] III, § 24, Teor. 3) Je-li (lineární) normovaný prostor E separabilní, pak každá sféra v adjungovaném prostoru E* je slabě kompaktní, tj. z libovolné posloupnosti spojitých lineárních funkcionálů {fn} s ohraničenými normami je možno vybrat podposloupnost, která slabě konverguje k nějakému spojitému lineárnímu funkcionálů /o-
ji 3 (str. 35) ([16] III, § 25, Teor. 3) Nechť A je spojitý lineární operátor na (lineárním) normovaném prostoru E s hodnotami v (lineárním) normovaném prostoru E\. Jestliže posloupnost {xn} C E slabě konverguje k xq G E, pak posloupnost {Axn} C E\ slabě konverguje k Axq G E\.
ti 4 (str. 44) ([20] Th. 2, str. 32) Má-li rovnice Ly = 0 pouze triviální řešení, pak pro libovolnou funkci g(t) spojitou v intervalu [0,T] existuje řešení rovnice Ly = g. Toto řešení je dáno formulí
y{x) = } G{t,r)g{r)dr. o
ti 5 (str. 75) ([13] 2.6.1) Let íž be a nonempty open subset of R^. Then the set Co°(íž) is dense in Lp(Q) for arbitrary p G [1, oo).
tt 6 (str. 83) ([11] III § 4, Teor. 4, str. 145) K tomu, aby ortogonální normovaný systém {(pn} v úplném separabilním euklidově prostoru R byl úplný, je nutné a stačí, aby v R neexistoval nenulový prvek ortogonální všem prvkům systému {(/'niti 7 (str. 47) ([11] IV § 3, Teor. 1, str. 183) Je-li {xn} slabě konvergentní posloupnost v normovaném (lineárním) prostoru, pak existuje takové číslo C, že
||x„|| < C.
Jinak řečeno, slabě konvergentní posloupnost v normovaném (lineárním) prostoru je ohraničená (Banach-Steinhausova věta).
83
84
6. Appendix
t) 8 (str. 47) ([11] IV § 3, Teor. 2, str. 184) Posloupnost {xn} prvků normovaného (lineárního) prostoru E slabě konverguje k x G E, když
2)      f(xn)     f (x) pro všechna / G A, kde A je nějaká množina, jejíž lineární obal je hustý v E*.
jj 9 (str. 50) ([1] Věta 5, str.15) Je-li funkce R(s,t) pozitivně semidefi-nitní a hermitovsky symetrická, existuje takový náhodný proces (dokonce normální), že R(s,t) je jeho kovarianční funkcí.
Věta j) 5 je v originále psána anglicky, jj 9 česky a ostatní v ruštině.
1)
Literatura
[1] Anděl, J. Statistická analýza časových řad. SNTL Praha 1976.
[2] Anselone, P. M. and Laurent, P.-J. A general method for the construction of interpolating or smoothing spline-function. Numer. Math. 12 (1968), 66 - 82.
[3] Aronszajn, N. La théorie des noyaux reproduissants et ses applications. Premiere partie. Proc. Cambridge Philos. Soc. V. 39, October 1943, Part 3, 133 - 153.
Note additioneile ä l'article „ La théorie des noyaux reproduissants et ses applications." - týž časopis str. 205.
[4] Aronszajn, N. Theory of reproducing kernels. Trans. Am. Math. Soc. 68 (1950), 337-440.
[5] Böhmer, K. Spline-Funktionen. Teubner Stuttgart 1974.
[6] Craven, P., Wahba, G. Smoothing noisy data with spline functions. (Estimating the correct degree of smoothing by the method of generalized cross-validation.) Numer. Math. 31 (1979), 377 - 403. [7] Hoog, F. R., Hutchinson, M. F. An Efficient Method for Calculating Smoothing
Splines Using Orthogonal Transformation. Numer. Math. 50, 1987, 311 - 319. [8] Jerome, J., Schumaker, L. L. On Lg-splines. J. Approx. Theory 2 (1969), 29 - 49. [9] Kaiman, R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems. Trans, of the Amer. Soc. Mech. Eng., ser. D: J. of basic Engineering 82, March 1960, 35 - 45. [10] Kantorovič, L. V., Akilov, G. P. Funkcionatnyj analiz. 3. vyd. „Nauka" 1984. [11] Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. Elementy teorii funkcij i funkcionaínogo analiza.
„Nauka" Moskva 1972. [12] Laurent, P.-J. Approximation et optimisation. Hermann Paris, 1972. [13] Kufher, A., John, O., Fučík, S. Function spaces. Academia Praha 1977. [14] LIDA - 2. Prometheus Praha 1983 {překlad z ruštiny).
[15] Likeš, J., Machek, J. Počet pravděpodobnosti. SNTL Praha, 2.vyd. 1987 (str. 159);
Matematická statistika. SNTL Praha, 2.vyd. 1988 (str. 178). [16] Ljustěrnik, L. A., Sobolev, V. I. Elementy funkcionaínogo analiza. GITTL Moskva,
Leningrad 1951.
[17] Loěve, M. Functions aléatoirs du second ordre. In P. Levy „Processus stochastiques et mouvement Brouwerien." Paris Gauthier - Villars 1965, 367 - 420.
[18] Luenberger, D. G. Optimization by vector space methods. John Wiley New York 1969.
[19] Moore, E. H. General analysis. Memoirs Am. Phil. Soc, Part I 1935, Part II 1939.
[20] Najmark, M. A. Linějnyje differenciaínyje operátory. GITTL Moskva 1954.
[21] Rektorys, K. et al. Přehled užité matematiky. Prometheus Praha, 6.vyd. přeprac.(2 svazky) 1995 (str. 720 a 874).
[22] Sidhu, G. S., Weinert, H. L. Dynamical Recursive Algorithms for Lg-Spline Interpolation of EHB Data. Appl. Math. Comput. 5 (1979), 157 - 185.
[23] Vasilenko, V. A. Splajn-funkcii: těorija, algoritmy, programmy. „Nauka" Novosibirsk 1983.
[24] Weinert, H. L., Byrd, R. H. and Sidhu, G. S. A stochastic framework for recursive computation of spline functions: Part II, Smoothing splines. J. Optim. Th. Appl. 30(2) , February 1980, 255 - 268.
[25] Weinert, H. L. and Sidhu, G. S. On Uniqueness Conditions for Optimal Curve Fitting. J. Optim. Th. Appl. 23(2), October 1977, 211 - 216.
[26] Weinert, H. L. and Sidhu, G. S. A stochastic framework for recursive computation of spline functions: Part I, Interpolating splines. IEEE Trans, on Inform. Theory, IT 24(1), Januar 1978, 45 - 50.
[27] Yosida, K. Functional analysis. Springer 1965.
Rejstřík
filtrace
hodnoty
náhodného procesu, 44 funkcionály
vztažené k témuž uzlu, 33
hodnota
střední, 39
jádro
reprodukuj ící, 48
kovariance
chyb, 43
Lp-splajn, 15
matice
Gramová, 28 matice
kovarianční chyb, 40 matice
rozptylová chyb, 40 model
dynamický
náhodného procesu, 44
odhad
(náhodný)
na bázi (měření), 40 odhad
aktualizovaný
optimální, 43
parametr
vyhlazení, 4 predikce hodnoty
náhodného procesu, 44 problém
interpolační
Hermite-Birkhoffův (stručně HB), 33 problém odhadu, 45
problém
rozšířený interpolační
Hermite-Birkhoffův (stručně EHB), 33
proces
náhodný
diskrétní, 43 prostor
Sobolevův, 15 prostor
pravděpodobnostní, 39 prostory
Euklidovské
kongruentní, 54
rovnice
normální, 28 rozptyl, 39
splajn
interpolační, 3 splajn
interpoluj ící prvek ztZ, 3 splajn
vyhlazovací, 3 splajn
vyhlazující prvek ztZ, 4 střed, 39
šum bílý, 56
uzel
/-násobný, 33 uzel
Lp-splajnu, 33
veličina (vektor)
náhodná, 39 věta
fundamentální
o interpolaci EHB dat, 36
86
Obsah
Úvod 1
1. Splajny v Hilbertově prostoru (H—splajny) 3
1.1. Pojem interpolačního a vyhlazovacího splajnu 3
1.2. Existence a jednoznačnost interpolačního splajnu 5
1.3. Existence a jednoznačnost vyhlazovacího splajnu 8
1.4. Nalezení splajnu. Analýza problému 9
1.5. Algoritmus pro vyhlazovací splajn 13
1.6. Lg-splajny 15
1.7. Algoritmus konstrukce Lg-splajnů
Polynomické splajny lichého stupně 18
2. Lg-splajn jako projekce ve W9'2[0,T]. 25
2.1. Interpolace Lg-splajnem jako minimální problém ve Wq, 2[0, T] 25
2.2. Lg-splajny interpolující EHB data 29
3. Stochastický odhad a Kalmanova filtrace 35
3.1. Odhad minimalizující rozptyl 35
3.2. Rekurzivní metoda odhadu 39
4. Stochastická metoda konstrukce interpolačních splajnu 44
4.1. Reprodukující jádro Hilbertova prostoru 44
4.2. Interpolace splajny a náhodné procesy 50
4.3. Problém projekce
(lineární odhad minimalizující rozptyl v Y) 51
4.4. Dynamický model pro y(-) 52
4.5. Rekurzivní algoritmus pro Lg-splajny interpolující EHB data 57
4.6. Odvození rekurzivního algoritmu 64
5. Konstrukce Lg-splajnů vyhlazujících EHB data 75
5.1. Převedení úlohy vyhlazování na interpolační 76
5.2. Rekurzivní algoritmus pro Lg-splajn vyhlazující EHB data 81
6. Appendix 83 Literatura 85 Rejstřík 86