Pracovní text a úkoly ke cvičením MF002
4  Jednoduché odhady parametrů geometrického Brownova pohybu
Cenu akcie stále modelujeme pomocí stochastické diferenciální rovnice (SDR)
dXt = rXt dt + crXt dWt ,
s počáteční cenou X0 > 0, kde parametr r je úroková míra a parametr cr > 0 volatilita. Uvažujeme konstantní parametry, tedy nezávislé na čase.
Řešením této SDR je nezáporný náhodný proces Xt zvaný geometrický Brownův pohyb,
Xt =X0exp
o2'
r~— U + oWt
4.1 Úkoly
5 využitím výsledků z minulých cvičení na počítači určete rozdělení pravděpodobnosti a parametry následujících náhodných procesů (příp. náhodných veličin):
1   X* ?
• m — ~ ?
X(t + At)
• Rt = ln-—— ~ ?, kde Ař je časový interval mezi pozorovanými hodnotami ceny akcie
X(t)
Předpokládejte znalost jedné trajektorie geometrického Brownova pohybu Xt. Spočítejte realizace náhodných veličin Rt pro vámi zvolené časové okamžiky. Jsou náhodné veličiny Rt pro různé časy {t} stochasticky nezávislé? Pomocí střední hodnoty a rozptylu veličin Rt můžete odhadnout parametry r a <r: buď momentovou metodou, anebo metodou maximální věrohodnosti. Odvoďte si tyto odhady řad.
Přesnost odhadů ř a <r ověřte pomocí simulací. Zvolte si teoretické hodnoty r a a a pomocí vaší funkce z minulých cvičení si vygenerujte jednu trajektorii odpovídajícího geometrického Brownova pohybu. Následně spočítejte hodnoty Rt. Odhadněte hodnoty řada porovnejte je s teoretickými hodnotami. Celý postup opakujte pro jinou trajektorii, resp. pro jiné teoretické hodnoty parametrů.
Jako ukázka je na následujících obrázcích zobrazena jedna simulovaná trajektorie geometrického Brownova pohybu s parametry s počáteční cenou akcie 100, očekávaným ziskem 55 % a směrodatnou odchylkou 30 % za rok, tzn. X0 = 100, r = 0.55 a cr = 0.3. Trajektorie byla vygenerována pro období 4 let s předpokladem 252 obchodovaných dní v roce, tedy pro Ař = 1/252 a časový interval [0,4].
1 X0  <- 100
2 dt  <- 1/252
3 r <- 0.55
4 sigma  <- 0.3
s t  <-  seq   (0,   4,   by=dt)
6
7 X <-  generuj.gBp   (t,   dt,   X0,   r, sigma)
8
9 plot (t, X, type="l", col="red", xlab="t", ylab="geometricky Brownuv p ío abline   (h = X0   ,   lty = 2)
Ondřej Pokora, ÚMS PřF MU Brno, aktualizace 23. března 2014
1
Dále jsou zobrazeny hodnoty procesu Rt.
1 n <-  length (X)
2 R <-  log   (X [2:n]   / X[l:(n-1)])
3
4 plot (t[l:(n-l)], R, type="l", col="red", xlab="t", ylab="log-returns s abline   (h =  0   ,   lty = 2)
Následuje histogram (příkaz hist) a graf autokorelační funkce (tzv. ACF, příkaz acf). Připomeňte si význam ACF. Co z histogramu a grafu ACF vidíte? Spočítejte si také číselné charakteristiky: výběrový průměr (mean), výběrovou směrodatnou odchylku a rozptyl (sd, var), výběrovou šikmost a špičatost (příkazy skewness, kurtosis v knihovně ffiasics).
1 hist   (R,   freq = FALSE)
2 acf (R)
3
4 mean (R) s sd (R)
6
7 library (fBasics)
8 skewness   (R,   method = "moment")
9 kurtosis   (R,   method = "moment")
V uvedeném příkladu vyšly momentové odhady následovně: ř = 0.492, d = 0.304, tedy odhadnutý očekávaný zisk 49.2 % a odhadnutá směrodatná odchylka 30.4 % za rok.
0 12 3
t
2
3
Series R
00
o
CD O
LL
o <
o
CM O
O O
I I
10
15 Lag
—i—
20
—i—
25
30
Postup řešení tohoto úkolu a odvozené odhady f a ô momentovou metodou či metodou maximální věro-hnodnosti vám pomohou při zpracování projektu.
4