Oceňovanie exotických derivátov Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK, LS 2012/2013 Oceňovanie exotických derivátov — p. 1/20 -f Exotické opcie • Path-dependent options - payoff závisí nielen od hodnoty aktíva v čase expirácie, ale aj od jej vývoja do expirácie • Zníženie rizika z okamžitých výkyvov ceny aktíva • Bonusová úloha, nárast ceny akcie posledný deň pred expiráciou opcií: Apr líř, 2D13: ■ GOQG 7W.37 34D 33D 310 31D 3DD 73 D 73D 77D @ 2013 Yahoo! Inc. 2C13 Maril Mar 13 Mar lb Apr 1 Apr3 Apr 15 Apr líř http://finance.google.com/ Oceňovanie exotických derivátov — p. 2/20 Ázijské opcie Payoff závisí od historického priemeru ceny aktíva Klasifikácia ázijských opcií: ° podľa typu spriemerovania - aritmetický alebo geometrický priemer ° podľa pozície spriemerovanej veličiny v payoffe - môže byť v úlohe ceny aktíva alebo expiračnej ceny Typ spriemerovania: ° aritmetický priemer: v diskrétnom prípade At = \ Yľi=\ su v spojitom prípade At = \ f* Srdr ° geometrický priemer: v diskrétnom prípade \nAt = \ Yh=i v spojitom prípade lnAt = \ J0ŕ \nSTdr Oceňovanie exotických derivátov — p. 3/20 -1 Ázijské opcie Vývoj ceny aktíva a vývoj priemeru (prerušovaná čiara): 1 Q I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Oceňovanie exotických derivátov — p. 4/20 -f Ázijské opcie • Pozícia spriemerovanej veličiny v payoffe: ° spriemerovaná cena A je v payoffe v pozícii ceny aktíva - hovoríme o average rate call, resp. put opcii: V(S,A,T) =max(A- E,0) pre call V (S, A, T) = max(E - A, 0) pre put ° spriemerovaná cena A je v payoffe v pozícii expiračnej ceny - hovoríme o average strike call, resp. put opcii: V(S,A,T) =max(S- A,0) pre call V (S, A, T) = max(A - S, 0) pre put • Teda máme napríklad: ° ázijskú aritmeticky spriemerovanú average rate call opciu, ° ázijskú geometricky spriemerovanú average strike put opciu, ... spolu 8 typov -\ Oceňovanie exotických derivátov — p. 5/20 \- Diferenciál spriemerovanej ceny Pracujeme so spojitým časom Aritmetický priemer: dA 1 ŕ 1 -tt / STdr H—S+ t2 Jo t St-At t Geometrický priemer: dA = A 1 í2 0 •* 1 ln StcLt H— ln St t = A ln — ln At t V oboch prípadoch: dA = Af(j,tjdt, pričom f (x, t) = (x - l)/í, resp. f (x, t) = (In x)/t Oceňovanie exotických derivátov — p. 6/20 -\ PDR pre cenu ázijskej opcie • Geometrický Brownov pohyb pre cenu akcie dS = nSdt + aSdw, akcia vypláca spojité dividendy s dividendovou mierou D • Cena opcie V = V(S,A,t): „r dV ,n fdV a2 n2d2V dVjS \\ , • Rovnaký postup ako v Black-Scholesovom modeli: ° konštrukcia portfolia (opcia + akcie) ° eliminácia náhodnej zložky v SDR pre hodnotu portfolia ° výnos bezrizikového portfolia musí byť rovný r (bezrizikovej úrokovej miere) Oceňovanie exotických derivátov — p. 7/20 PDR pre cenu ázijskej opcie • Výsledná PDR pre cenu ázijskej opcie V(S,A,t): dV a2 n 2d2V . ^ndV £(S \dV Jr n ^ + YSd^ + ^-D)Sdš + f{Tt)dÄ-rV = 0 pre S g (0,oo), A e (0,oo), t e (0,T) • Koncová podmienka podľa typu opcie, napr. V(S,A,T) = max(S- A,0) pre S g (0, oo), A e (0, oo) • Tri premenné, iba jedna druhá derivácia -> v tomto tvare nie je PDR veľmi vhodná na numerické riešenie -> pre average strike opciu spravíme transformáciu Oceňovanie exotických derivátov — p. 8/20 Transformácia pre average strike opcie Transformácia: V(S,A,ť) = AW(x,ť), x = - PDR pre funkciu W(x,t): pre x e (0,oo), t e (0,T) Koncová podmienka pre x e (0, oo): Wcall(x, T) = max(i -1,0), W^ix, T) = max(l - x, 0) Oceňovanie exotických derivátov — p. 9/20 \- Average strike opcie - ukážka • Pomocná funkcia W(x, ť): Oceňovanie exotických derivátov — p. 10/20 -f Bariérové opcie • V podstate klasické call a put opcie • Ale s tým, že ak niekedy počas trvania opcie cena akcie dosiahne zadanú bariérovú funkciu, tak: ° opcia stráca svoju platnosť ° vypisovatel' opcie jej držiteľovi vyplatí rabat • Príklad: cena akcie (modra), bariéra (hnedá) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t t Oceňovanie exotických derivátov — p. 12/20 Bariérové opcie - bariéra a rabat • Klasifikácia bariér: ° down-and-out: ak cena akcie dosiahne zadanú ariéru zhora ° up-and-out: ak cena akcie dosiahne zadanú ariéru zdola • Typický príklad bariéry: B{ť) = 6£?e-a(T-ť) kde 0<60sú konštanty • Príklad rabatu: kde p > 0 je konštanta - spĺňa prirodzenú terminálovú podmienku na rabat R(T) = 0 Oceňovanie exotických derivátov p. 13/20 PDR pre down-and-out opciu • Opcia je platná v oblasti S > B (ť) - tu musí byť splnená Black-Scholesova rovnica, teda: dV 1 2q2&V n.qdV pre S g (B(ŕ),oo),ŕ g (0,T). • Na okraji platnosti opcie - teda pre S = B (ť) - opcia expiruje a jej hodnota sa rovná rabatu: V(B(t),t)=R(t) pre t g (0,T). • Terminálová podmienka pre 5 g (£?(*), oo),ŕ = T závisí od typu opcie: yca^(5, T) = max(0, 5 - E), Vput(S, T) = max(0, E - S) Oceňovanie exotických derivátov — p. 14/20 PDR pre down-and-out opciu • Transformácia na pevnú oblasť x e (-00,00): S V(S,t) = W(x,ť), x = ]n PDR pre funkciu W: B(t) dW 1 2d2W ( g2 \ dW TTT n pre x e (-00,00), t e (0, T). Okrajová podmienka: W(0,t) = R(t) pre t e (0,T). Terminálová podmienka: VcaU(x,T) = Emax(0,bex - 1) yput(Xj jj = Emax(0,1 - bex) pre x g (—00,00). Oceňovanie exotických derivátov — p. 15/20 Up-and-out opcia: DÚ • Matematicky zapište úlohu oceňovania up-and-out opcie: PDR (na akej oblasti), okrajová podmienka, terminálová podmienka • Transformujte túto úlohu na PDR na pevnej oblasti Oceňovanie exotických derivátov — p. 16/20 -f Bariérové opcie - ukážka • Cena bariérovej opcie : Oceňovanie exotických derivátov — p. 17/20 Košíkové opcie, opcie na indexy • Payoff opcie závisí od hodnoty viacerých akcí alebo od hodnoty akciového indexu • Príklad 1: spread options - payoff závisí do rozdielu hodnoty dvoch aktív v čase expirácie, napr. V(S1,S2,T) = max((S1-S2)-E,0) - užitočné napríklad pri komoditách, ak uvažujeme hodnotu vstupu a výstupu • Príklad 2: opcie na indexy - napr. na S&P 500, NYSE; Ak sa každá akcia riadi GBP, dostaneme n rozmernú Black-Scholesovu rovnicu (n = počet akcií v indexe) Oceňovanie exotických derivátov — p. 18/20 Kosikove opcie, opcie na indexy • Obchodnovanie s opciami na index S&P 500: S&P 500^ (SPX$) Options Average Daily Volume 2000 2001 2002 2003 20O4 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Source: CBOE ww.w.cbcie ccwrfSP* http://www.cboe.com/ Ocenovanie exotickvch derivatov — d. 19/20 -I Lookback opcie • Lookback opcie - payoff zvisí od maxima ceny aktíva za sledované obdobie M = = max(St, t e [T0, T]), kde T > 0 • Lookback opcie s pohyblivou expiračnou cenou -maximum M vystupuje v úlohe expiračnej ceny: Vcall(S, M, T) = max(0, S — M) Vput(S, M, T) = max(0, M - S) • Lookback opcie s pevnou expiračnou cenou - maximum M vystupuje v úlohe ceny aktíva: V0111 (S, M, T) = max(0, M — E) Vput{S} M, T) = max(0, E — S) -1 Oceňovanie exotických derivátov — p. 20/20