Stochastická analýza
Doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.
1
Tento učební text vznikl za přispění Evropského sociálního fondu a státního
rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro
konkurenceschopnost v rámci projektu Univerzitní výuka matematiky v měnícím
se světě (CZ.1.07/2.2.00/15.0203).
2
Obsah
1 Spojité náhodné veličiny a stochastické procesy 6
1.1 Stochastické procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Spojité náhodné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Nezávislost a její charakterizace . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Příklady spojitých rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Charakteristická funkce a její vlastnosti 14
2.1 Charakteristická funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Základní vlastnosti Fourierovy transformace . . . . . . . . . . 16
2.3 Věta o inverzní transformaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Aproximace identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Důkaz věty o inverzní transformaci . . . . . . . . . . . 23
2.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Základy L2
-teorie 27
3.1 Prostor L2
( a, b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Úplnost a Parsevalova rovnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Úplnost a uzavřenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Borel-Cantelliho lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Wienerův proces 35
4.1 Definice Wienerova procesu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Haarovy a Schauderovy funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
4.3 Ciesielskiho konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Lineární a kvadratická variace 45
5.1 Lineární variace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Kvadratická variace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Itôův integrál a Itôovo lemma 51
6.1 Itôův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Filtrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3 Itôovo lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7 Martingaly a Itôovy proces 64
7.1 Definice martingalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 Itôův proces a stopping time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8 Cameron-Martinova věta 69
8.1 Radon-Nikodýmova derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2 Cameron-Martinova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3 Girsanovova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9 Odvození Black-Scholesovy rovnice 74
9.1 Black-Scholesova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10 Black-Scholesův model 77
10.1 Předpoklady Black-Scholesova modelu . . . . . . . . . . . . . 77
10.2 Rovnovážná pravděpodobnostní míra . . . . . . . . . . . . . . 78
10.3 Odvození Black-Scholesova vzorce pro evropskou call opci . . . 79
11 Rovnice vedení tepla a Wienerův proces 82
11.1 Řešení rovnice vedení tepla na přímce . . . . . . . . . . . . . . 82
11.2 Souvislost řešení rovnice vedení tepla a Wienerova procesu . . 83
4
11.3 Feynman-Kacova formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12 Pravděpodobnostní rozdělení se silnými chvosty 87
12.1 Charakterizace chvostů distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.2 Charakterizace pomocí funkce přežití . . . . . . . . . . . . . . 88
12.3 Charakterizace pomocí funkce rizika . . . . . . . . . . . . . . . 89
12.4 Stabilní distribuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
13 Lévyho procesy 92
13.1 Limitní rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
13.2 Lévyho procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.3 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
14 Bariérové opce 97
14.1 Binární bariérové opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5
Kapitola 1
Spojité náhodné veličiny a
stochastické procesy
1.1 Stochastické procesy
Definice 1.1.1. Stochastický proces X = {X (t) , t ∈ T} je soubor náhodných
veličin na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P).
Tedy pro každé t z indexové množiny T je X (t) náhodná veličina. Obvykle
t označuje čas. Připomeňme, že náhodná veličina je funkce Z : Ω → R.
Každá realizace náhodného procesu X se nazývá trajektorie. X (t) popisuje
stav procesu v čase t.
Dělení stochastických procesů:
• je-li T konečná nebo spočetná množina, říkáme, že X (t) je stochastický
proces v diskrétním čase
• je-li T interval, říkáme, že X (t) je stochastický proces ve spojitém čase
Další rozdělení podle hodnot, které nabývají veličiny X (t):
• stochastický proces s diskrétními hodnotami
• stochastický proces se spojitými hodnotami
Celkem tedy máme následující čtyři typy stochastických procesů:
6
čas hodnoty příklady
diskrétní diskrétní standardní náhodná procházka
diskrétní spojité zobecněná náhodná procházka
spojitý diskrétní Poissonův proces
spojitý spojité Wienerův proces, bílý šum
Uveďme si příklad Poissonova procesu.
Nechť X (t) je počet volání na telefonní ústřednu v časovém intervalu
[0, t]. Předpokládáme, že
P (X (t + h) − X (t) = 1) ≈ λh
t.j. pravděpodobnost, že v intervalu (t, t + h) přišlo jedno volání je přímo
úměrná h, a dále
P (X (t + h) − X (t) > 1) ≈ 0.
Koeficient úměrnosti λ popisuje intenzitu procesu.
Stochastická analýza se zabývá integrálním počtem pro funkce, jejichž
hodnoty jsou závislé na Wienerově procesu.
Například, nechť f (X, t) je cena opce v čase t při ceně podkladové akcie X,
pro kterou platí
dX
X
= a dt + b dW
kde W je standardní Wienerův proces (přesným smyslem této rovnice se
budeme zabývat v dalších kapitolách). Hodnota f tedy zprostředkovaně závisí
na hodnotě Wienerova procesu.
1.2 Spojité náhodné veličiny
Nechť (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor modelující uvažovaný systém.
7
Definice 1.2.1. X : Ω → R je spojitá náhodná veličina, jestliže její distribuční
funkce F (x) = P (X ≤ x) se dá napsat jako
F (x) =
x
−∞
f (u) du
pro nějakou integrovatelnou funkci f : R → [0, ∞). f (u) se nazývá (pravděpodobnostní)
hustota náhodné veličiny X.
Máme
P (X ∈ [x, x + ∆x])
.
= f (x) ∆x
a
P (X ∈ [a, b]) =
b
a
f (u) du.
Pro každé jednotlivé x ∈ R tedy platí
P (X = x) = 0.
Poznámka. Mnoho důkazů pro spojité náhodné veličiny je zcela analogických
jako v diskrétním případě. Pravděpodobnostní funkce f (x) se nahradí
hustotou f (x) dx, a suma se nahradí integrálem .
1.2.1 Nezávislost a její charakterizace
Definice 1.2.2. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, jestliže pro každé
x, y ∈ R jsou jevy {X ≤ x} a {Y ≤ y} nezávislé.
Základní charakteristikou náhodné veličiny je její očekávání.
Definice 1.2.3. Očekávání spojité náhodné veličiny X s hustotou f je
dáno vztahem
E (X) =
∞
−∞
f (x) xdx
pokud integrál existuje.
Příklad 1.2.4. Nechť pro hustotu náhodné veličiny X platí f (x) = 1
2π
pro
x ∈ [0, 2π] a f(x) = 0 jinak. Její očekávání je rovno
E (X) =
∞
−∞
f (x) xdx =
2π
0
1
2π
xdx =
1
2π
x2
2
2π
0
= π.
8
Při praktickém výpočtu očekávání funkce náhodné veličiny je důležitá
následující věta.
Věta 1.2.5. Nechť X je spojitá náhodná veličina s hustotou f (x) a g(x) je
spojitá funkce. Pak pro náhodnou veličinu g (X) platí
E (g (X)) =
∞
−∞
g (x) f (x) dx.
Definice 1.2.6. Sdružená distribuční funkce náhodných veličin X a Y je
funkce R2
→ [0, 1] taková, že
F (x, y) = P (X ≤ x ∧ Y ≤ y) .
Definice 1.2.7. Náhodné veličiny X a Y mají sdruženou pravděpodobnostní
hustotu f (x, y) : R2
→ [0, ∞), jestliže
F (x, y) =
y
−∞
x
−∞
f (u, v) dudv
pro všechna x, y ∈ R.
Analogicky jako u obyčejné hustoty máme
P {(X, Y ) ∈ (x, x + ∆x) × (y, y + ∆y)} ≈ f (x, y) ∆x∆y.
Definice 1.2.8. Marginální distribuční funkce X a Y jsou
FX (x) = P (X ≤ x) = F (x, ∞) ,
kde F (x, ∞) = limy→∞ F (x, y) a
FY (y) = P (Y ≤ y) = F (∞, y) ,
kde F (∞, y) = limx→∞ F (x, y).
9
Pro marginální hustoty platí:
fX (x) =
∞
−∞
f (x, y) dy,
fY (y) =
∞
−∞
f (x, y) dx.
Následující věta dává ověřitelnou podmínku pro nezávislost náhodných
veličin.
Věta 1.2.9. Náhodné veličiny X, Y jsou nezávislé právě tehdy, když pro
každé x, y ∈ R platí
f (x, y) = fX (x) fY (y) .
1.2.2 Příklady spojitých rozdělení
Uniformní (stejnoměrné) rozdělení: Náhodná veličina X je stejnoměrná
na intervalu [a, b], jestliže
f (x) =
1
b − a
pro x ∈ [a, b] a f(x) = 0 jinak.
Normální rozdělení: Náhodná veličina X má normální rozdělení, jestliže
f (x) =
1
√
2πσ2
e−
(x−µ)2
2σ2
pro x ∈ (−∞, ∞), kde µ je střední hodnota a σ2
je rozptyl.
Normalizované normální rozdělení N (0, 1) má hustotu
f (x) =
1
√
2π
e−x2
2 .
Hodnota normalizační konstanty plyne z hodnoty tzv. Laplaceova integrálu:
Lemma 1.2.10. Platí ∞
−∞
1
√
2π
e−x2
2 dx = 1.
10
Důkaz: Označme
I =
∞
−∞
1
√
2π
e−x2
2 dx.
Uvažujme druhou mocninu integrálu
I2
=
∞
−∞
1
√
2π
e−x2
2 dx
∞
−∞
1
√
2π
e−y2
2 dy =
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
e−x2+y2
2 dxdy.
Transformujeme integrál do polárních souřadnic,
I2
=
1
2π
2π
0
∞
0
e−r2
2 rdrdθ =
1
2π
2π
0
1dθ =
1
2π
2π = 1,
protože substitucí t = −r2
2
dostaneme
∞
0
re−r2
2 dr =
−∞
0
−et
dt =
0
−∞
et
dt = et 0
−∞
= 1.
Odtud plyne I = 1.
2-rozměrné (standardizované) normální rozdělení: Dvojice náhodných
veličin X, Y má toto rozdělení pokud pro jeho sdruženou hustotu platí
f (x, y) =
1
2π 1 − ρ2
exp −
1
2 (1 − ρ2)
x2
− 2ρxy + y2
,
kde ρ je korelace X a Y , splňující −1 ≤ ρ ≤ 1. Přímým výpočtem dostaneme
fX (x) =
1
√
2π
e−x2
2 (1.1)
a
fY (y) =
1
√
2π
e−y2
2 .
Pro ρ = 0 tedy platí
f (x, y) =
1
2π
e−1
2 (x2+y2
) =
1
√
2π
e−x2
2
1
√
2π
e−y2
2 = fX (x) fY (y) .
Odtud plyne důležitá charakteristika nezávislosti normálně rozdělených náhodných
veličin.
11
Věta 1.2.11. Normálně rozdělené náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé
právě tehdy když jsou nekorelované, t.j. ρ = 0.
Toto tvrzení je klíčové pro praktické ověřování nezávislosti náhodných veličin
s normálním rozdělením. Obecně je nezávislost daleko silnější vlastnost než
nekorelovanost.
12
1.3 Příklady
Příklad 1.3.1. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl
a) stejnoměrného rozdělení na intervalu [a, b].
b) exponenciálního rozdělení
c) Paretova rozdělení
d) gamma rozdělení
e) beta rozdělení
Příklad 1.3.2. Dokažte Větu 1.2.9.
Příklad 1.3.3. Najděte příklad dvou spojitých náhodných veličin, které jsou
nekorelované, ale nejsou nezávislé
Příklad 1.3.4. Vypočtěte třetí a čtvrtý obecný moment stejnoměrného
rozdělení na intervalu [a, b].
Příklad 1.3.5. Dokažte vztah (1.1).
13
Kapitola 2
Charakteristická funkce a její
vlastnosti
V této kapitole se budeme věnovat charakteristickým funkcím, jednomu ze
základních nástrojů pro počítání se spojitými náhodnými veličinami. Tento
pojem je z hlediska výpočtů identický s Fourierovou transformací pravděpodobnostní
hustoty, základní operací používanou v matematické analýze.
Budeme se také okrajově věnovat moment generující funkci, která má
použití jak pro diskrétní tak spojitá rozdělení.
2.1 Charakteristická funkce
Připomenutí: Generující funkce pro diskrétní náhodnou veličinu s hodnotami
v N, X : Ω → N je definována jako
GX (s) =
∞
n=0
f (n) sn
= E sX
,
kde f (n) = P (X = n) je pravděpodobnostní funkce X.
Obecněji můžeme definovat (substitucí s = et
) moment generující funkci,
i pro spojité náhodné veličiny.
Definice 2.1.1. Moment generující funkce náhodné veličiny X je definována
14
vztahem
M (t) = E etX
pro t ≥ 0.
Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f, pak
M (t) =
∞
−∞
etx
f (x) dx.
Až na obor integrace a znaménko v exponentu je to přesně Laplaceova transformace
funkce f (u Laplaceovy transformace se integruje jen přes kladnou
poloosu).
Moment generující funkce dovoluje snadno počítat jednotlivé momenty
náhodných veličin. Pro střední hodnotu máme
E (X) = M (0) .
Obecně platí následující tvrzení.
Lemma 2.1.2. Pro každé k ∈ N je
E Xk
= M(k)
(0) .
Důkaz: Derivujeme integrál podle parametru,
M (t) =
∞
−∞
xetx
f (x) dx,
tedy
M (0) =
∞
−∞
xf (x) dx = E (X) .
Analogicky k-násobným derivováním dostaneme
M(k)
(t) =
∞
−∞
xk
etx
f (x) dx.
Tedy
15
M(k)
(0) = E Xk
.
Charakteristická funkce se formálně liší od moment generující funkce jen
imaginární jednotkou v exponentu. Výhodou je že na rozdíl od moment generující
funkce existuje pro libovolnou pravděpodobnostní hustotu.
Definice 2.1.3. Charakteristická funkce náhodné veličiny X je funkce φ :
R → C definovaná vztahem
φ (t) = E eitX
.
Je-li f hustota X, pak máme
φ (t) =
∞
−∞
f (x) eitx
dx.
Až na znaménko je to Fourierova transformace hustoty. Využití charakteristické
funkce se tedy redukuje na počítání s Fourierovou transformací.
2.2 Základní vlastnosti Fourierovy transfor-
mace
V této podkapitole budeme uvažovat funkce které jsou současně spojité a integrovatelné
v absolutní hodnotě. Prostor takových funkcí budeme označovat
L1
∩ C.
Definice 2.2.1. Fourierova transformace funkce f je funkce
f (ξ) =
∞
−∞
f (x) e−iξx
dx.
Tedy je-li f hustota náhodné veličiny X, pak vztah mezi charakteristickou
funkcí X a Fourierovou transformací funkce f je
φ (−t) = f (t) .
16
Z linearity integrálu plyne, že Fourierova transformace je lineární operace.
Pro každé dvě funkce f, g a konstanty a, b platí
(af + bg) = a ˆf + bˆg.
Lemma 2.2.2. (O změně měřítka) Pro f ∈ L1
∩ C a R > 0 označme
fR(x) = f(Rx) (tedy fR je původní funkce vyjádřená v jiné volbě jednotek).
Pak
fR(ξ) =
1
R
ˆf(
ξ
R
).
Důkaz: Z definice
fR(ξ) =
∞
−∞
fR(x)e−iξx
dx =
∞
−∞
f(Rx)e−iξx
dx.
Substitucí y = Rx dostaneme
∞
−∞
f(y)e−i ξ
R
y 1
R
dy =
1
R
∞
−∞
f(y)e−i ξ
R
y
dy =
1
R
ˆf(
ξ
R
).
Lemma 2.2.3. (O Fourierově transformaci derivace). Nechť f ∈ L1
∩ C, f ∈
L1
∩ C a limx→±∞ f(x) = 0. Pak
(f )(ξ) = iξ ˆf(ξ).
Derivování se tedy Fourierovou transformací převádí na obyčejné násobení
faktorem iξ.
Důkaz: Integrováním per partes dostaneme
(f )(ξ) =
∞
−∞
f (x)e−iξx
dx = [e−iξx
f(x)]∞
−∞−(−iξ)
∞
−∞
f(x)e−iξx
dx = iξ ˆf(ξ).
Obecně, je-li f, f , . . . , f(k)
∈ L1
∩ C a limx→±∞ fj
(x) = 0 pro j =
0, 1, . . . , k − 1, pak k-násobným integrováním per partes dostaneme
(f(k))(ξ) = (iξ)k ˆf(ξ).
17
Lemma 2.2.4. (O derivaci Fourierovy transformace) Nechť f ∈ L1
∩ C a
g(x) = xf(x) ∈ L1
∩ C. Pak ˆf(ξ) je diferencovatelná a platí
d ˆf
dξ
= −iˆg(ξ).
Důkaz: Derivováním vztahu
ˆf(ξ) =
∞
−∞
f(x)e−iξx
dx
podle parametru ξ dostaneme
d ˆf
dξ
(ξ) =
∞
−∞
f(x)(−ix)e−iξx
dx = −i
∞
−∞
[f(x)x] e−iξx
dx = −iˆg(ξ).
Pro f, g ∈ L1
je jejich konvoluce definována vztahem
f ∗ g(x) =
∞
−∞
f(x − y)g(y)dy.
Substitucí y = x − y dostaneme alternativní vyjádření
f ∗ g(x) =
∞
−∞
f(y)g(x − y)dy = g ∗ f(x).
Konvoluce je tedy komutativní operace.
Lemma 2.2.5. (O Fourierově transformaci konvoluce) Nechť f, g ∈ L1
(R).
Pak
f ∗ g(ξ) = ˆf(ξ)ˆg(ξ).
Důkaz: S použitím Fubiniho věty dostaneme
f ∗ g(ξ) =
∞
−∞
(
∞
−∞
f(x − y)g(y)dy)e−iξx
dx =
=
R2
e−iξx
f(x − y)g(y)dydx =
R2
e−iξ(x−y)
f(x − y)e−iξy
g(y)dydx =
18
=
∞
−∞
∞
−∞
e−iξ(x−y)
f(x − y)dx e−iξy
g(y)dy = ˆf(ξ)
∞
−∞
e−iξy
g(y)dy = ˆf(ξ)ˆg(ξ).
Lemma 2.2.6. (O transformaci posunutí a o posunutí transformace) Nechť
f ∈ L1
∩ C. Pro a > 0 označme fa(x) = f(x − a). Pak
ˆfa(ξ) = ˆf(ξ)e−iaξ
.
Naopak,
feiax(ξ) = ˆf(ξ − a).
Důkaz: Na jedné straně substitucí y = x − a dostaneme
ˆfa(ξ) =
∞
−∞
f(x−a)e−iξx
dx =
∞
−∞
f(y)e−iξ(y+a)
dy = e−iaξ
∞
−∞
f(y)e−iξy
dy =
= e−iaξ ˆf(ξ).
Naopak,
feiax(ξ) =
∞
−∞
f(x)eiax
e−iξx
dx =
∞
−∞
f(x)e−i(ξ−a)x
dx = ˆf(ξ − a).
Důsledek 2.2.7. Nechť Fourierova transformace funkce f(x) je F(ξ). Pak
Fourierova transformace funkce f(x) sin ωx je rovna
i
2
[F(ξ + ω) − F(ξ − ω)].
Tento vztah s obvykle nazývá modulační identita (f je původní signál, ω
je nosná frakvence, součin f(x)eiωx
je namodulovaný signál
Důkaz: Víme, že
sin ωx =
eiωx
− e−iωx
2i
a
f(x)eiωx(ξ) = ˆF(ξ − ω).
19
Tedy
f(x) sin ωx(ξ) =
1
2i
[F(ξ − ω) − F(ξ + ω)] =
i
2
[F(ξ + ω) − F(ξ − ω)].
Lemma 2.2.8. (Fourierova transformace Gaussovy funkce) Je-li
f(x) =
1
√
2π
e
−x2
2 ,
pak
ˆf(ξ) = e
−ξ2
2 .
Důkaz: Označme opět F(ξ) = ˆf(ξ). Máme
f (x) = −
1
√
2π
xe
−x2
2 = −xf(x).
Na jedné straně je
(−xf(x)) = f (ξ) = iξF(ξ),
podle lemmatu o transformaci derivace, na druhé straně, z lemmatu o derivaci
transformace, je
(−ixf)(ξ) = F (ξ).
Celkem F splňuje rovnici
F (ξ) = −ξF(ξ).
Separací proměnných dostaneme řešení
F(ξ) = Ce
−ξ2
2 .
Konstanta C je rovna hodnotě ˆf v bodě nula, tedy Laplaceovu integrálu
ˆf(0) =
1
√
2π
∞
−∞
e
−x2
2 dx = 1.
20
Příklad 2.2.9. Označme jako H(x) Heavisideovu funkci, tedy H(x) = 1 pro
x ≥ 0 a H(x) = 0 pro x < 0. Je-li
f(x) = e−ax
H(x)
pro nějaké a > 0, pak
ˆf(ξ) =
1
a + iξ
.
Opravdu,
ˆf(ξ) =
∞
0
e−ax
e−iξx
dx =
∞
0
e−(a+iξ)x
dx =
= −
1
a + iξ
[e−(a+iξ)x
]∞
0 =
1
a + iξ
.
Dále uvažujme funkci
f(x) = e−a|x|
.
Pomocí Heavisideovy funkce ji můžeme napsat jako
f(x) = H(x)e−ax
+ H(−x)eax
.
Její Fourierova transformace je rovna
ˆf(ξ) =
1
a + iξ
+
1
a − iξ
=
2a
a2 + x2
.
Věta 2.2.10. (Základní identita pro Fourierovu transformaci) Nechť f, g ∈
L1
∩ C. Pak platí
∞
−∞
fˆg =
∞
−∞
ˆfg.
Důkaz: Z Fubiniho věty dostaneme
∞
−∞
f(x)ˆg(x)dx =
∞
−∞
f(x)
∞
−∞
g(y)e−ixy
dydx =
R2
f(x)g(y)e−ixy
dydx =
∞
−∞
g(y)
∞
−∞
f(x)e−ixy
dxdy =
∞
−∞
g(y) ˆf(y)dy.
21
Důležitá pro aplikace je následující věta o inverzní transformaci. Plyne z
ní, že charakteriskická funkce jednoznačně určuje rozdělení náhodné veličiny.
Věta 2.2.11. ( O inverzní transformaci) Nechť f ∈ L1
∩ C, f je stejnoměrně
spojitá a ˆf ∈ L1
∩ C. Pak f (x) lze vypočítat z ˆf (ξ) vztahem
f(x) =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eiξx
dξ.
2.3 Věta o inverzní transformaci
K důkazu Věty o inverzní transformaci budeme potřebovat aproximaci iden-
tity.
2.3.1 Aproximace identity
Definice 2.3.1. Nechť φ ∈ L1
(R), φ(x) ≥ 0 a
∞
−∞
φ(x)dx = 1. Pak systém
funkcí
φε(x) =
1
ε
φ(
x
ε
)
pro > 1 se nazývá aproximací identity příslušnou funkci φ.
Z definice ihned plyne, že pro všechna ε platí
∞
−∞
φε(x)dx = 1.
V našem případě vezmeme za φ Gaussovu funkci
φ(x) =
1
√
2π
e−x2
2 ,
tedy
φε(x) =
1
√
2πε
e− x2
2ε2
.
Následující lemma odůvodňuje termín aproximace identity.
22
Lemma 2.3.2. Nechť φε je aproximace identity a f je spojitá omezená funkce
na R. Pak f ∗ φε(x) konverguje (stejnoměrně na kompaktních intervalech )
k f(x) pro ε → 0.
Důkaz: Nechť |f(x)| ≤ M pro x ∈ R. Máme
|f∗φε(x)−f(x)| = |
∞
−∞
[f(x−y)−f(x)]φε(y)dy| = |
∞
−∞
[f(x−εy )−f(x)]φ(y )dy ,
kde jsme použili substituci y = εy . Nechť δ > 0 je dáno. Vezměme R tak
velké, že y /∈ −R,R
φ(y)dy < δ, a dále ε > 0 tak, aby
|f(x − εy) − f(x)| < δ
pro y ∈ −R, R . Máme tedy
|
∞
−∞
[f(x − εy ) − f(x)]φ(y )dy ≤ |
−R,R
[f(x − εy ) − f(x)]|φ(y )dy +
+|
y /∈ −R,R
[f(x − εy ) − f(x)]φ(x)dy| ≤ δ + (2M + 1)δ = 2Mδ.
Tedy f ∗ φε(x) → f(x) pro ε → 0. Z nezávislosti odhadu na x plyne stejnoměrná
konvergence na kompaktních intervalech.
2.3.2 Důkaz věty o inverzní transformaci
V této kapitole uvedeme důkaz věty o inverzní transformaci, založený na
aproximaci identity zavedené v předchozí části.
Věta 2.3.3. Nechť f ∈ L1
∩ C, f je stejnoměrne spojitá a ˆf ∈ L1
∩ C. Pak
f(x) =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eiξx
dξ.
Důkaz: Nechť x ∈ R je libovolný pevně zvolený bod a ε > 0 je dáno.
Označme
φ(ξ) =
1
√
2π
eiξx−ε2 ξ2
2 .
23
Víme, že
ˆφ(y) =
1
ε
e−
(y−x)2
2ε2
,
tedy
ˆφ(y) =
1
ε
√
2πg(
x − y
ε
),
kde
g(u) =
1
√
2π
e−u2
2 .
Budeme uvažovat aproximaci identity příslušnou této funkci a použijeme
základní identitu pro Fourierovu transformaci na funkce f a φ. Na jedné
straně je
∞
−∞
ˆfφ =
1
√
2π
∞
−∞
e−ε2ξ2
2 eixξ ˆf(ξ)dξ.
Na druhé straně
∞
−∞
f ˆφ =
√
2π
∞
−∞
f(y)gε(x − y)dy =
√
2πf ∗ gε(x).
Víme, že f ∗ gε(x) → f(x) stejnoměrně na kompaktech. Ale pro x pevné je
∞
−∞
e−ε2ξ2
2 eixξ ˆf(ξ)dξ →
∞
−∞
eixξ ˆf(ξ)
pro ε → 0, neboť první člen pod integrálem konverguje k jedné. Celkem tedy
pro ε → 0 dostaneme
f(x) =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eiξx
dξ.
Definice 2.3.4. Inverzní Fourierova transformace je definována vztahem
ˇf(ξ) =
1
2π
∞
−∞
f(x)eiξx
dξ.
Podle předchozí věty je inverzní Fourierova transformace opravdu inverzní
operací k Fourierově transformaci, platí tedy
ˇ
( ˆ )f = f.
24
Pro aplikace v teorii pravděpodobnosti je klíčový následující důsledek.
Důsledek 2.3.5. Charakteristická funkce jednoznačně určuje hustotu náhodné
veličiny.
25
2.4 Příklady
Příklad 2.4.1. Vypočtěte generující funkci geometrického rozdělení
Příklad 2.4.2. Vypočtěte Laplaceovu transformaci funkce sin x, t.j.
∞
0
e−sx
sin xdx
Příklad 2.4.3. Najděte charakteristickou funkci stejnoměrného rozdělení na
intervalu [−1, 1].
Příklad 2.4.4. Dokažte, že obecný moment náhodné veličiny můžeme vyjádřit
pomocí charakteristické funkce, vztahem
E(Xk
) = (−i)k
φ
(k)
X (0).
Příklad 2.4.5. Vypočtěte charakteristickou funkci exponenciálního rozdělení
s hustotou
f(x) = λe−λx
.
26
Kapitola 3
Základy L2-teorie
3.1 Prostor L2
( a, b )
V této části budeme uvažovat funkce na obecném intervalu a, b s hodnotami
v C a prostor
L2
( a, b )
obsahující funkce, pro které
b
a
|f(x)|2
dx < ∞.
L2
( a, b ) je Hilbertův prostor (nekonečněrozměrná analogie Euklidovského
prostoru) se skalárním součinem
(f, g) =
b
a
f(x)g(x)dx.
Skalární součin indukuje, stejně jako v Euklidovském prostoru, na L2
( a, b )
normu
f =
b
a
|f(x)|2
dx
1
2
a také metriku. Vzdálenost dvou funkcí je číslo
ρ(f, g) = f − g =
b
a
|f(x) − g(x)|2
dx
1
2
.
Definice 3.1.1. Systém funkcí {φk}∞
k=0 se nazývá ortogonální systém, jestliže
(φn, φm) = 0
27
pro každé n = m. Nazývá se ortonormální systém, jestliže navíc platí
(φn, φn) = 1
pro všechna n ∈ N.
Definice 3.1.2. Nechť {φk}∞
k=0 je ortonormální systém. Čísla
ck =
b
a
f(x)¯φk(x)dx
se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k systému {φk}∞
k=0. Formální
funkční řada
∞
k=0
ckφk
se nazývá Fourierova řada.
Pomocí Fourierových koeficientů definujeme funkce
fN =
N
k=0
ckφk.
Zajímá nás, za jakých podmínek konverguje fN pro N → ∞ k funkci f.
Konvergencí v tomto případě rozumíme konvergenci v normě prostoru L2
.
Následující lemma ukazuje, že fN je nejlepší aproximací f mezi všemi lineárními
kombinacemi funkcí φ1, φ2, . . . φN .
Lemma 3.1.3. Nechť {φk}∞
k=0 je ortonormální systém a f ∈ L2
. Pak pro
libovolná komplexní čísla d1, . . . , dN platí
f −
N
j=0
djφj ≥ f − fN .
Rovnost přitom nastane pouze tehdy, je-li dj = cj pro všechna j = 0, . . . , N.
Důkaz: Máme
f −
N
j=0
djφj
2
= (f −
N
j=0
djφj, f −
N
j=0
djφj) =
28
= (f, f) − (f,
N
j=0
djφj) − (
N
j=0
djφj, f) + (
N
j=0
djφj,
N
j=0
djφj) =
= f 2
−
N
j=0
cj
¯dj −
N
j=0
¯cjdj +
N
j=0
dj
¯dj =
= f 2
+
N
j=0
|cj − dj|2
−
N
j=0
|cj|2
.
První a poslední člen nezávisí na koefientech dj, prostřední člen je nezáporný
a minimalizuje se právě tehdy, když dj = cj pro j = 0, . . . , N.
Lemma 3.1.4. Fourierova řada
∞
k=0
ckφk
konverguje v normě L2
k funkci f právě tehdy, když platí Parsevalova rovnost
∞
j=0
|cj|2
= f 2
.
Ve dvoudimenzionálním prostoru se Parsevalova rovnost redukuje na Pythagorovu
větu.
Pro dvě funkce platí Parsevalova rovnost ve tvaru
(f, g) =
b
a
f (x) g (x) =
∞
k=0
ckdk,
kde ck jsou Fourierovy koeficienty funkce f, dk jsou Fourierovy koeficienty
funkce g a obě Fourierovy řady funkcí f a g konvergují.
Definice 3.1.5. Ortonormální systém je úplný jestliže platí: Pokud pro
nějakou funkci g ∈ L2
([a, b]) platí (g, φk) = 0 pro všechna k = 0, 1, ..., pak
g = 0. Tedy neexistuje nenulová funkce kolmá na všechny prvky systému.
Lemma 3.1.6. Fourierova řada konverguje pro každou funkci f ∈ L2
([a, b])
právě tehdy, když systém {φk}∞
k=0 je úplný.
29
3.2 Úplnost a Parsevalova rovnost
Definice 3.2.1. Ornonormální systém {φk}∞
k=0 se nazývá úplný, jestliže platí:
pokud je pro nějakou funkci (f, φn) = 0 pro všechna n, pak f = 0. Neexistuje
tedy nenulová funkce kolmá na všechny φn.
Věta 3.2.2. Nechť {φk}∞
k=0 je úplný ortonormální systém a (ck) jsou Fourierovy
koeficienty funkce f. Pak
∞
k=0
ckφk
konverguje v normě L2
k funkci fa platí tedy Parsevalova rovnost
∞
j=0
|cj|2
= f 2
.
Důkaz: Víme, že
∞
j=0
|cj|2
< ∞,
podle Besselovy nerovnosti. Funkce f je tedy rovna funkci z Riesz-Fischerovy
věty. Z úplnosti systému totiž plyne, že koeficienty (ck) určují f jednoznačně.
Je-li také g ∼ (ck), pak (f − g) ∼ (0), a tedy f = g.
Věta 3.2.3. Nechť f a g jsou funkce z L2
, kde f ∼ (ck), g ∼ (dk). Pak platí
b
a
f¯gdx =
∞
j=0
cj
¯dj.
Tedy zobrazení f → (ck) z L2
do l2
je izomorfismus (zachovává skalární
součin).
Důkaz: Je
b
a
fn¯gdx =
n
j=0
cm
b
a
φm¯gdx =
n
j=0
cj
¯dj.
Ale pro n → ∞ je fn → f v L2
a pravá strana konverguje k ∞
j=0 cj
¯dj.
Celkem tedy
b
a
f¯gdx =
∞
j=0
cj
¯dj.
30
3.2.1 Úplnost a uzavřenost
Nechť {φk}∞
k=0 je systém funkcí z L2
. Označme φk prostor všech konečných
lineárních kombinací funkcí z {φk}∞
k=0, t.j.
g ∈ φk ⇔ g =
n
k=0
dkφk
pro nějaké n ∈ N a dk ∈ C.
Definice 3.2.4. Systém {φk}∞
k=0 se nazývá uzavřený, jestliže prostor φk je
hustý podprostor L2
.
Věta 3.2.5. {φk}∞
k=0 je úplný právě tehdy, když je uzavřený.
Důkaz: Tvrzení stačí dokázat pro ortonormální systém, neboť každý systém
lze ortonormalizovat. Nechť {φk}∞
k=0 je úplný systém a f ∈ L2
. Podle Věty
1.4.2 je fn → f v L2
, ale fn ∈ φk , tedy φk je hustý.
Naopak, nechť {φk}n
k=0 je hustý a f ∈ L2
má všechny Fourierovy koeficienty
rovny nule, t.j. (f, φn) = 0 pro všechna n. Z hustoty plyne existence
posloupnosti funkcí Φn ∈ φk tak, že Φn → f v L2
, t.j. Φn − f → 0 pro
n → ∞. Ale fn jsou nejlepší aproximací, tedy i fn → f. Ale fn = 0, tedy i
f = 0. Odtud plyne, že {φk}∞
k=0 je úplný systém.
3.3 Borel-Cantelliho lemma
Pro počítání s nekonečnými posloupnostmi jevů a náhodných veličin je důležitým
nástrojem Borel-Cantelliho lemma.
Lemma 3.3.1. (Borel-Cantelli ) Nechť (Ω, A, P) je pravděpodobnostní
prostor. Nechť An ⊆ Ω, n = 1, 2, ... je posloupnost jevů. Označme jako A
jev, že nastává nekonečně mnoho An, tedy
A =
∞
n=1
∞
m=n
Am.
Pak platí:
31
1. Jestliže
∞
n=1
P (An) < ∞
(tj. řada konverguje), pak P (A) = 0.
2. Jestliže
∞
n=1
P (An) = ∞
(tj. řada diverguje) a An jsou nezávislé, potom P (A) = 1.
Důkaz: Máme
ω ∈ A ⇐⇒ ω ∈
∞
m=n
Am pro všechna n = 1, 2, ....
Platí
A ⊆
∞
m=n
Am
pro všechna n. Tedy
0 ≤ P (A) ≤ P
∞
m=n
Am ≤
∞
n=m
P (Am) .
Ale
∞
n=m
P (Am)
je limita částečných součtů a z definice konvergence tedy platí
∞
m=n
P (Am) → 0
pro n → ∞, čímž je první tvrzení dokázáno.
Pro důkaz druhé části, musíme dokázat, že P AC
= 0, kde
AC
=
∞
n=0
∞
m=n
AC
m.
Máme tedy s využitím nezávislosti a odhadu 1 − x ≤ e−x
pro x ≥ 0,
P
∞
m=n
AC
m = lim
r→∞
P
r
m=n
AC
m =
∞
m=n
(1−P(Am)) ≤
∞
m=n
exp(−P(Am)) =
32
= exp(−
∞
m=n
P(Am) = 0
kdykoliv ∞
m=n P(Am) = ∞. Tedy
P(AC
) = lim
n→∞
P
∞
m=n
AC
m = 0,
neboli P(A) = 1, což jsme chtěli dokázat.
33
3.4 Příklady
Příklad 3.4.1. Dokažte, že funkce einx
a eimx
, pro dvě různá celá čísla n, m,
jsou na sebe kolmé na intervalu (−π, π).
Příklad 3.4.2. Najděte polynom druhého stupně který je kolmý na funkci
f(x) = x na intervalu (−1, 1).
Příklad 3.4.3. Pomocí Gramm-Schmidtova procesu najděte ortonormální
bázi prostoru polynomů druhého stupně na intervalu (0, 1).
Příklad 3.4.4. Najděte nenulovou lineární funkci, která je kolmá na funkci
f(x) = ex
na intervalu (0, e).
34
Kapitola 4
Wienerův proces
V této kapitole se budeme zabývat Wienerovým procesem, který slouží jako
základní kámen spojitých modelů ve finanční matematice. Historie tohoto
procesu těsně souvisí s historií finanční matematiky. Jako první tento proces
použil Louis Bachelier v roce 1900, když ve své dizertaci odvodil první vzorec
pro cenu opce. Model i výsledek jsou překvapivě blízko o mnoho pozdějšímu
modelu Blacka a Scholese. Bachelierova práce ve skutečnosti upadla v zapomenutí
a v šedesátých letech ji znovuobjevil významný americký matematik
J. Savage, který s ní seznámil ekonomickou komunitu.
4.1 Definice Wienerova procesu
Definice 4.1.1. Reálný stochastický proces W (t) na pravděpodobnostním
prostoru (Ω, A, P) se nazývá Wienerův proces , jestliže platí:
1. W (0) = 0.
2. (spojitost trajektorií) S pravděpodobností 1 je funkce t → W (t) spojitá v
t.
3. (nezávislost a normalita přírůstků) Přírůstky W (t) − W (s) mají rozdělení
N (0, t − s). Pro libovolné 0 < t1 < t2 < ... < tn jsou přírůstky
W (t1) , W (t2) − W (t1) , ..., W (tn) − W (tn−1) navzájem nezávislé.
V následujícím textu budeme považovat pojmy Wienerův proces a Brownův
pohyb za synonyma, stejně tak budeme zaměňovat značení W (t) a Wt.
35
Nejdříve se budeme zabývat otázkou, zda takový proces vůbec existuje, a
ukážeme si jednu z možných konstrukcí Wienerova procesu.
4.2 Haarovy a Schauderovy funkce
Wienerův proces zkonstruujeme jako náhodný součet tzv. Schauderových
funkcí, které vzniknou jako integrál z Haarových funkcí.
Definice 4.2.1. Pro t ∈ [0, 1] definujeme Haarovy funkce {hk (t)}∞
k=0
následujícím způsobem. Pro k = 0 položíme
h0 (t) = 1
pro t ∈ [0, 1]. Dále
h1 (t) =
1 pro t ∈ 0, 1
2
−1 pro t ∈ 1
2
, 1
Pro n > 1 nejdříve vyjádříme n ve tvaru
n = 2j
+ k
kde j ≥ 0, 0 ≤ k < 2j
(tzv. dyadické vyjádření čísla n), a definujeme
hn (t) = 2
j
2 h1 2j
t − k .
2
j
2 je normalizační konstanta, faktor 2j
představuje změnu měřítka a k posun
(určuje polohu nosiče).
Připomeňme v této souvislosti pojem nosič funkce,
supp f = {x ∈ R; f (x) = 0}.
Například,
supp (h4) = 0,
1
4
.
36
Pro n = 73 máme dyadické vyjádření
73 = 64 + 9 = 26
+ 9,
tedy úroveň je j = 6 a poloha je k = 9.
Podobně pro n = 51 je 51 = 32+19 = 25
+19, tedy úroveň je j = 5 a poloha
je k = 19.
Věta 4.2.2. Funkce {hk}∞
k=0 tvoří úplný, ortonormální systém v prostoru
L2
([0, 1]).
Důkaz: Nejdříve dokážeme ortogonálnost, tedy
hn, hm = 0
pro m = n. Nechť n = 2j
+ k a m = 2j
+ k . Pro j = j je
supp (hn) ∩ supp (hm)
buď prázdná nebo jednobodová množina. Tedy
1
0
hn (x) hm (x) dx =
1
0
0 dx = 0.
Pro j = j musíme uvažovat dva případy, disjunktní a nedisjunktní nosiče
hn a hm. V prvním případě je opět součin identická nula. V druhém případě
předpokládejme bez újmy na obecnosti že m > n. Nosič hm musí ležet v
intervalu, kde hn je konstantní, tedy
1
0
hnhm = ±2
j
2
1
0
hm = 0.
Dále ukážeme, že hn, hn = 1, tedy ortonormalitu systému. Pro n = 1 máme
h1
2
=
1
0
h2
1 (x) dx =
1
0
1dx = 1.
Pro n > 1 dostaneme
hn
2
=
1
0
h2
n (x) dx = 2
j
2
2 1
0
h2
1 2j
t − k dt.
37
Po substituci u = 2j
t − k dostáváme
2
j
2
2 1
0
h2
1 2j
t − k dt =
2j−k
−k
h2
1 (u) du =
1
0
h2
1 (u) du = 1.
Úplnost systému plyne z jeho uzavřenosti. Pro každé f ∈ L2
([0, 1]) existuje
posloupnost konečných lineárních kombinací funkcí z {hk}∞
k=0, která konverguje
k f. Opravdu, z Haarových funkcí jako lineární kombinace dostaneme
funkce po částech konstantní na dyadických intervalech, pomocí kterých
můžeme libovolně dobře aproximovat funkce spojité. Na druhé straně,
spojité funkce tvoří hustou podmnožinu v L2
. Odtud plyne tvrzení.
Integrováním Haarových funkcí dostaneme Schauderovy funkce.
Definice 4.2.3. Pro n = 1, 2, ... definujeme n-tou Schauderovu funkci
vztahem
sn (t) =
t
0
hn (s) ds
pro t ∈ [0, 1].
Grafem n-té Schauderovy funkce je rovnoramenný trojúhelník, jehož výška
je 1
2j+1 2
j
2 = 2
j
2
−j−1
= 2− j
2
−1
.
4.3 Ciesielskiho konstrukce
Následující dvě technická lemmata jsou potřeba k důkazu spojitosti trajektorií
v Ciesielskiho konstrukci.
Lemma 4.3.1. Nechť {ak}∞
k=1 je posloupnost reálných čísel, 0 ≤ δ < 1
2
a
nechť platí |ak| = O kδ
, tedy existuje konstanta c > 0 tak, že |ak| ≤ ckδ
.
Pak řada ∞
k=1 aksk (t) konverguje stejnoměrně pro t ∈ [0, 1].
Důkaz: Zvolme ε > 0. Pro 2n
≤ k < 2n+1
mají funkce sk (t) disjunktní
nosiče. Položme
bn = max
2n≤k<2n+1
|ak| ≤ c 2n+1 δ
.
Pak pro 0 ≤ t ≤ 1 platí:
38
∞
k=2m
|ak| |sk (t)| ≤
∞
n=m
bn2n
≤ max
k<2n+1
|sk (t)| ≤ c
∞
n=m
2n+1 δ
2−n
2
−1
=
= c2(δ−1)
∞
n=m
2n(δ−1
2 ) < ε
pro dostatečně velké m, neboť δ − 1
2
< 0 a tedy řada
∞
n=1
2n(δ−1
2 )
konverguje.
Lemma 4.3.2. Nechť {Ak}∞
k=1 jsou nezávislé náhodné veličiny na pravděpodobnostním
prostoru (Ω, A, P) s rozdělením N (0, 1). Pak pro skoro všechna
ω ∈ Ω platí, že |Ak| = O
√
log k pro k → ∞ (tedy existuje c ∈ R tak, že
|Ak| ≤ c
√
log k).
Důkaz: Pro x > 0 a k = 1, 2, ... máme:
P (|Ak| > x) =
1
√
2π
−x
−∞
e−s2
2 ds +
1
√
2π
∞
x
e−s2
2 ds =
=
2
√
2π
∞
x
e−s2
2 ds ≤
2
√
2π
e−x2
4
∞
x
e−s2
4 ds ≤ ce−x2
4
pro nějakou konstantu c, protože e−s2
4 je klesající na [x, ∞). Můžeme vzít
např. c = 2√
2π
∞
−∞
e−s2
4 ds.
Položme x = 4
√
log k. Potom
P |Ak| > 4 log k ≤ ce−4 log k
= c
1
k4
.
Protože řada ∞
k=1
1
k4 konverguje, z Borel-Cantelliho lemmatu máme
P |Ak| > 4 log k pro nekonečně mnoho k = 0.
Tedy pro skoro všechna ω je |Ak| ≤ c
√
log k pro nějakou konstantu c.
39
Věta 4.3.3. Nechť W (t) je Wienerův proces. Pak
Cov (W (t) , W (s)) = E (W (t) W (s)) = min (t, s) .
Důkaz: Nechť s ≥ t ≥ 0. Máme
E (W (t) [W (t) + (W (s) − W (t))]) = E W2
(t) +E (W (t) [W (s) − W (t)]) =
= t = min (t, s) ,
protože E (W2
(t)) = t z definice a
E (W (t) [W (s) − W (t)]) = 0
z nezávislosti přírůstků.
Věta 4.3.4. Pro libovolná 0 ≤ s, t ≤ 1 platí
∞
k=1
sk (s) sk (t) = min (s, t) .
Důkaz: Pro libovolné pevné s ∈ [0, 1] definujeme funkce
gs (τ) =
1 pro τ ≤ s
0 pro s < τ ≤ 1.
Podle Parsevalovy rovnosti (protože Haarovy funkce tvoří ortonormální úplný
systém v L2
([0, 1])) máme pro s ≤ t:
s =
1
0
gt (x) gs (x) dx =
∞
0
akbk,
kde pro koeficienty ak, bk platí
ak = gt, hk =
1
0
gt (x) hk (x) dx =
t
0
hk (x) dx = sk (t)
a
bk = gs, hk =
1
0
gs (x) hk (x) dx =
s
0
hk (x) dx = sk (s) .
40
Celkem tedy min (s, t) = s = ∞
0 sk (t) sk (s) .
Věta 4.3.5. (Ciesielskiho konstrukce Wienerova procesu): Nechť
{Ak}∞
k=1 je posloupnost nezávislých náhodných veličin s rozdělením N (0, 1),
definovaných na daném pravděpodobnostním prostoru. Pak součet
W (t, ω) =
∞
k=1
Ak (ω) sk (t)
pro 0 ≤ t ≤ 1 konverguje stejnoměrně v t pro skoro všechna ω, a W (t, ω) je
Wienerův proces.
Důkaz: Stejnoměrná konvergence plyne z předchozích lemmat. Ze stejnoměrné
konvergence řady spojitých funkcí plyne spojitost trajektorie procesu
t → W (t, ω).
Musíme ověřit, že W (t, ω) je Wienerův proces. Zřejmě W (0) = 0, protože
sk (0) = 0 pro všechna k.
Dále pomocí charakteristické funkce dokážeme, že W (t)−W (s) pro s < t
má rozdělení N (0, t − s). Nechť s < t. Z definice W, nezávislosti Ak ∼
N (0, 1) a znalosti charakteristické funkce rozdělení N(0, 1),
E eitAk
= e−t2
2 ,
máme
E eiλ(W(t)−W(s))
= E eiλ ∞
k=1Ak(sk(t)−sk(s))
= E(
∞
k=1
eiλAk(sk(t)−sk(s))
) =
=
∞
k=1
E eiλAk(sk(t)−sk(s))
=
∞
k=1
e−λ2
2
[sk(t)−sk(s)]2
= e−λ2
2
∞
k=1[sk(t)−sk(s)]2
=
= e−λ2
2
∞
k=1 s2
k(t)−2sk(t)sk(s)+s2
k(s)
.
Trojnásobným použitím pomocného tvrzení
∞
k=1
sk (s) sk (t) = min (s, t)
dostaneme
41
e−λ2
2
∞
k=1 s2
k(t)−2sk(t)sk(s)+s2
k(s)
= e−λ2
2
[t−2s+s]
= e−λ2
2
[t−s]
.
To je ale charakteristická funkce rozdělení N (0, t − s). Z jednoznačnosti charakteristické
funkce plyne
W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s) .
Zbývá dokázat nezávislost přírůstků. Protože přírůstky mají normální rozdělení,
stačí dokázat nekorelovanost,
E ([W (ti+1) − W (ti)] [W (tj+1) − W (tj)]) = 0
pro i = j.
Nejdříve vypočteme z definice W pro s < t
E [W (t) W (s)] =
E
∞
k=1
Ak (ω) sk (t)
∞
k=1
Ak (ω) sk (s) =
= E
∞
k=1
∞
l=1
Ak (ω) Al (ω) sk (t) sl (s) =
= E
∞
k=1
A2
k (ω) sk (t) sk (s) ,
protože z nezávislosti
E(Ak (ω) Al (ω)) = 0
pro k = l. Tedy
E
∞
k=1
A2
k (ω) sk (t) sk (s) =
=
∞
k=1
E A2
k (ω) sk (t) sk (s) =
∞
k=1
sk (t) sk (s) = min (t, s) = s,
neboť Ak ∼ N (0, 1). Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat ti < tj. Z
předchozího výpočtu máme
E ([W (ti+1) − W (ti)] [W (tj+1) − W (tj)]) =
42
= E [W (ti+1) W (tj+1) − W (ti) W (tj+1) − W (ti+1) W (tj) + W (ti) W (tj)] =
= ti+1 − ti − ti+1 + ti = 0.
Přírůstky jsou tedy nekorelované a tím pádem nezávislé.
Analogicky se dokáže vzájemná nezávislost více než dvou přírůstků, s
využitím vlastností vícerozměrného normálníého rozdělení.
43
4.4 Příklady
Příklad 4.4.1. Nakreslete graf Haarovy funkce h11 a h21.
Příklad 4.4.2. Najděte nosič Schauderovy funkce s7 a s17.
Příklad 4.4.3. Nechť W(t) je standardní Wienerův proces. Dokažte, že pro
libovolné k > 0 je proces
X(t) =
1
k
W(k2
t)
také standardní Wienerův proces.
Příklad 4.4.4. Vypočtěte skalární součin funkcí s9 a s17.
Příklad 4.4.5. Dokažte úplnost systému Haarových funkcí v prostoru L2
([0, 1]).
(nápověda: stačí dokázat hustotu lineárních kombinací Haarových funkcí v
prostoru spojitých funkcí)
44
Kapitola 5
Lineární a kvadratická variace
V této kapitole se budeme zabývat základní mírou variability funcí. Ukazuje
se, že pro charakterizaci trajektorií Wienerova procesu klasický pojem
lineární variace nevyhovuje, protože s pravděpodobností jedna všechny trajektorie
mají nekonečnou lineární variaci. Proto zavedeme pojem kvadratické
variace, která již poskytuje konečnou a nenulovou míru variability trajektorie
Wienerova procesu.
5.1 Lineární variace
Variace je míra proměnlivosti (variability) funkce na daném intervalu.
Nechť f : [a, b] → R je spojitá funkce a nechť D = {a = t1 < t2 < ... < tn = b}
je dělení intervalu [a, b].
Lineární variace vzhledem k dělení D je definována jako
LV (f, D) =
n−1
j=1
|f (tj+1) − f (tj)| .
Definice 5.1.1. Lineární variace funkce f je definována jako limita
LV (f) = lim
D →0
LV (f, D) ,
kde D je norma dělení, tj.
D = max
j
| tj+1 − tj | .
45
Příklad 5.1.2. Funkce f (x) = x2
na intervalu [0, 1] má lineární variaci
LV (f) = f (1) − f (0) = 1.
Opravdu, máme f (tj+1) − f (tj) > 0 pro všechna j, neboť f je rostoucí.
Lineární variace je tedy
LV (f, D) =
n−1
j=1
(f (tj+1) − f (tj)) =
= f (tn) − f (t1) = f (b) − f (a) = f (1) − f (0) .
Obecně, je-li f monotonní na [a, b], pak
LV (f) = |f (b) − f (a)| .
Příklad 5.1.3. Vypočtěte lineární variaci funkce sin x na intervalu [0, 2π].
Funkce je po částech monotonní na jednotlivých podintervalech délky π
2
, na
každém z nich je variace rovna jedné. Sečtením jednotlivých variací dostáváme
LV (f) = 4.
Nechť f : [0, T] → R je diferencovatelná funkce nabývající extrémů v bodech
t1 a t2. Pak
LV (f) = |f (t1) − f (0)| + |f (t2) − f (t1)| + |f (T) − f (t2)| =
=
t1
0
f (x) dx −
t2
t1
f (x) dx +
T
t2
f (x) dx =
T
0
|f (x)| dx.
Obecně, je-li f diferencovatelná, pak podle věty o střední hodnotě pro každý
podinterval [tk, tk+1] existuje bod t∗
k uvnitř tohoto intervalu tak, že
f (tk+1) − f (tk) = f (t∗
k) (tk+1 − tk) ,
tedy
n−1
k=1
|f (tk+1) − f (tk)| =
n−1
k=1
|f (t∗
k)| (tk+1 − tk) ,
46
což je přibližný součet z definice Riemannova integrálu.
Limitním přechodem dostaneme
LV (f) = lim
D →0
n−1
k=1
|f (tk+1) − f (tk)| =
T
0
|f (t)| dt.
Pro trajektorie Wienerova procesu není lineární variace užitečný pojem, protože
je rovna nekonečnu pro skoro všechny trajektorie.
5.2 Kvadratická variace
Definice 5.2.1. Nechť D = {t1, ..., tn} je dělení intervalu [0, T], tedy 0 =
t1 < t2 < ... < tn = T. Kvadratickou variaci funkce f na intervalu [0, T]
definujeme jako
KV (f) = lim
D →0
n−1
k=1
(f (tk+1) − f (tk))2
,
pokud limita existuje.
Lemma 5.2.2. Nechť f je diferencovatelná funkce na [0, T], pak KV (f) =
0.
Důkaz: Máme
KV (f) = lim
D →0
n−1
k=1
(f (tk+1) − f (tk))2
=
lim
D →0
n−1
k=1
|f (t∗
k)|
2
(tk+1 − tk)2
≤ lim
D →0
D
n−1
k=1
|f (t∗
k)|
2
(tk+1 − tk) =
lim
D →0
D
T
0
(f (t))
2
dt = 0,
neboť integrál
T
0
(f (t))2
dt je konečný.
K výpočtu kvadratické variace trajektorie Wienerova procesu budeme potřebovat
následující lemma.
47
Lemma 5.2.3. Nechť W (t) je Wienerův proces. Pak
E W2
(t) = t
E W4
(t) = 3t2
.
Důkaz: Z definice víme, že W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s). Speciálně pro
s = 0 je W (t) ∼ N (0, t), tedy E (W (t)) = 0 a E (W2
(t)) = t. Dále, N (0, t)
má hustotu 1√
2πt
e−x2
2t . Ze vztahu
E (g (X)) =
∞
−∞
g (x) f (x) dx
máme
E W4
(t) =
∞
−∞
1
√
2πt
e−x2
2t x4
dx =
1
√
2πt
∞
−∞
e−x2
2t x4
dx
=
1
√
2πt
e−x2
2t (−t) x3
∞
−∞
+
∞
−∞
e−x2
2t t3x2
dx
=
1
√
2πt
e−x2
2t (−t) x3
∞
−∞
+
1
√
2πt
3t
∞
−∞
e−x2
2t x2
dx
= 0 +
1
√
2πt
3t e−x2
2t (−t) x
∞
−∞
+
∞
−∞
e−x2
2t (t) dx =
1
√
2πt
3t2 ∞
−∞
e−x2
2t dx =
= 3t2 ∞
−∞
1
√
2πt
e−x2
2t dx = 3t2
.
Využili jsme toho, že e−x2
2t (−t) x3
∞
−∞
= 0, jelikož exponenciála klesá rychleji
než roste libovolná mocnina x.
Věta 5.2.4. Nechť W (t) je Wienerův proces na intervalu [0, T] a nechť
D = {0 = t1 < t2 < ... < tn = T} je dělení intervalu [0, T]. Pak
n−1
k=1
(W (tk+1) − W (tk))2
→ T
pro D → 0 v L2
-normě.
Důkaz: Označme ∆Wk = W (tk+1) − W (tk) a ∆tk = tk+1 − tk. Chceme
48
dokázat, že
E


n−1
k=1
(∆Wk)2
− T
2

 → 0
pro D → 0 (tj. konvergenci v L2
). Máme
E
n−1
k=1
(∆Wk)2
− (tk+1 − tk)
2
=
n−1
k=1
E(∆W4
k − 2 (tk+1 − tk) ∆W2
k +
+ (tk+1 − tk)2
) =
n−1
k=1
3 (tk+1 − tk)2
− 2 (tk+1 − tk)2
+ (tk+1 − tk)2
=
= 2
n−1
k=1
(tk+1 − tk)2
≤ 2 D
n−1
k=1
(tk+1 − tk) = 2 D T → 0
pro D → 0.
Tedy trajektorie Wienerova procesu mají kvadratickou variaci rovnu T (všechny
stejnou).
Důsledek 5.2.5. Trajektorie Wienerova procesu mají nekonečnou lineární
variaci.
Důsledek 5.2.6. Trajektorie Wienerova procesu nejsou diferencovatelné na
žádném podintervalu.
Pozoruhodné na předchozích výsledcích je, že na jedné straně trajektorie
Wienerova procesu je náhodná, ale veličina
lim
∆t→0
(∆Wk)2
je deterministická (nezávisí na trajektorii) a rovná se T (stejná pro všechny
trajektorie). To je matematický smysl heuristické formule
(∆W)2
= ∆t.
49
5.3 Příklady
Příklad 5.3.1. Vypočtěte lineární variaci funkce sin 5x na intervalu (0, 2π)
Příklad 5.3.2. Dokažte, že funkce sin 1
x
nemá konečnou lineární variaci na
intervalu (0, 1)
Příklad 5.3.3. Vypočtěte lineární variaci funkce x sin 1
x
na intervalu (0, 2π)
Příklad 5.3.4. Vypočtěte
E(W6
t ),
buď přímým výpočtem, nebo s použitím následující úlohy.
Příklad 5.3.5. Nechť Wt je standardní Wienerův proces. Označme
mk(t) = E(Wk
t ).
Dokažte, že platí
mk(t) =
1
2
k(k − 1)
t
0
mk−2(s)ds
pro k ≥ 2
50
Kapitola 6
Itôův integrál a Itôovo lemma
V této kapitole budeme definovat stochastický integrál. Ukazuje se, že na
rozdíl od klasického integrálu bude definice záviset na volbě dělícího bodu,
ve kterém bereme hodnotu integrované funkce.
Pro aplikace ve finanční matematice dostaneme smysluplnou definici jen
v případě že za dělící bod vezmeme levý krajní bod intervalu, což vede ke
stochastickému integrálu ve smyslu K. Itô. Jedině při této definici má výsledný
proces vlastnost martingalu, a je adaptovaný přirozené filtraci, tedy
čerpá informace jen z minulosti.
Druhá přirozená definice vede ke Stratonovičově integrálu, který má využití
v jiných aplikacích, především v inženýrství.
6.1 Itôův integrál
Je-li f hladká funkce, pak můžeme přirozeně definovat integrál podle přírůstků
funkce f,
b
a
g (u) df (u) =
b
a
g (u) f (u) du = lim
D →0
n
i=1
g (ti) (f (ti) − f (ti−1)) ,
kde a = t0 < t1 < ... < tn = b je dělení intervalu [a, b]. Integrál
b
a
g (u) df(u)
je tzv. Stieltjesův integrál.
51
Pro aplikace ve financích chceme analogický integrál podle přírůstků Wienerova
procesu Wt,
b
a
f (t, ω) dWt (ω) .
Trajektorie Wienerova procesu ale není hladká funkce, je tedy otázka jaký
smysl má dWt.
Stieltjesův a stochastický integrál se tedy liší ve dvou aspektech:
– integrál je náhodná veličina (výsledek závisí na trajektorii Wienerova pro-
cesu)
– Wt není hladká, s pravděpodobností 1 nemá trajektorie derivaci v žádném
bodě.
Příklad 6.1.1. (motivační) Nechť Wt (ω) je cena akcie v čase t při tržním
scénáři ω. Nechť f (t, ω) je obchodní strategie, tj. počet držených akcií v čase
t za scénáře ω. Pak
f (t, ω) (Wt+1 − Wt) = f (t, ω) ∆W
je zisk ze strategie v časovém intervalu [t, t + 1]. Součtem hodnot jednotlivých
zisků dostaneme v limitě integrál
b
a
fdW který představuje zisk ze
strategie v časovém intervalu [a, b].
Příklad 6.1.2. (závislost na volbě vnitřního bodu) Mějme dělení intervalu
[0, T], D = {0 = t0 < t1 < ... < tn = T} a nechť
D = max
j∈{0,...,n−1}
|tj+1 − tj| .
Pro pevné λ ∈ [0, 1] položme
τk = (1 − λ) tk + λtk+1
pro k = 0, ..., n − 1. Pro λ = 0 dostaneme levý krajní bod τk = tk, pro λ = 1
2
dostaneme prostředek τk = 1
2
(tk + tk+1) a pro λ = 1 dostaneme pravý krajní
bod τk = tk+1.
52
Definujeme Riemannovy součty pro
T
0
WdW
vztahem
Rn =
n−1
k=0
W (τk) (W (tk+1) − W (tk)) .
Dostaneme
W (τk) (W (tk+1) − W (tk)) = W (τk) W (tk+1) − W (τk) W (tk) =
= W (τk) W (tk+1) ±
1
2
W2
(τk) ±
1
2
W2
(tk) ±
1
2
W2
(tk+1) − W (τk) W (tk) =
= −
1
2
[W (tk+1) − W (τk)]2
+
1
2
[W (τk) − W (tk)]2
+
1
2
W2
(tk+1) − W2
(tk)
Dále
Rn =
n−1
k=0
W (τk) (W (tk+1) − W (tk)) = −
1
2
n−1
k=0
[W (tk+1) − W (τk)]2
+
+
1
2
n−1
k=0
[W (τk) − W (tk)]2
+
1
2
n−1
k=0
W2
(tk+1) − W2
(tk) .
Poslední člen je tzv. teleskopující součet ve kterém se všechny členy s výjimkou
prvního a posledního vyruší, a rovná se tedy
W2
(T) − W2
(0) .
Pro D → 0 podobně jako při výpočtu kvadratické variace máme
Rn = −
1
2
(1 − λ) T +
1
2
λT +
1
2
W2
(T) − W2
(0) =
W2
(T)
2
+ λ −
1
2
T.
Dvě přirozené volby hodnoty λ vedou ke dvěma různým stochastickým inte-
grálům:
pro λ = 1
2
máme
T
0
WtdWt = W2(T)
2
... Stratonovičův integrál,
pro λ = 0 máme
T
0
WtdWt = W2(T)
2
− T
2
... Itôův integrál.
Ve financích se používá jen Itôův integrál, protože portfolio musíme sestavit
před pohybem ceny
53
6.2 Filtrace
Připomeňme si z diskrétních modelů, že σ-algebra popisuje systém pozorovatelných
jevů. Zachyceje tedy informaci které jevy můžeme pozorovat a které
ne.
Uvažujme standardní příklad s hodem kostkou. Pravděpodobnostní prostor
Ω má šest prvků,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Uvažujme nejdříve σ-algebru všech podmnožin Ω. Při této σ-algebře jsou
pozorovatelné všechny jevy. Informace kterou σ-algebra nese je tedy přímo
hodnota která na kostce padla.
Na druhé straně, uvažujme menší systém tvořený množinami
∅, Ω, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}
Snadno ověříme uzavřenost na sjednocení a doplňky, je to tedy opět σalgebra.
Při takové σ-algebře jsou pozorovatelné jen dva jevy, že padlo sudé
číslo nebo liché číslo. Informace kterou σ-algebra nese je tedy pouze sudost
nebo lichost hodnoty která na kostce padla.
Následující příklad připomíná použití σ-algeber při popisu vývoje informace
v čase.
Příklad 6.2.1. Uvažujme tři časové okamžiky, t = 0, t = 1 a t = 2 a
dvoukrokový model trhu. Náš pravděpodobnostní prostor je tvořen množinou
všech úplných scénářů
Ω = {(++) , (+−) , (−+) , (−−)} .
V čase t = 0 jsou určeny pouze jevy Ω a ∅, tedy σ-algebra popisující tuto
informaci je
F0 = {∅, Ω} .
V čase t = 1 jsou určeny jevy: F+ = {(++) , (+−)} a F− = {(−+) , (−−)}.
Tedy σ-algebra popisující tuto informaci je
F1 = {∅, Ω, F+, F−} .
54
V čase t = 2 jsou určeny všechny jevy (každá podmnožina Ω), tedy σalgebra
popisující tuto informaci je
F2 = exp Ω = {∀ podmnožiny Ω} .
.
Definice 6.2.2. Systém σ-algeber F = {Ft, t ∈ τ} na pravděpodobnostním
prostoru (Ω, A, P) se nazývá filtrace, pokud pro všechna t ∈ τ je Ft ⊆ A
a Fs ⊆ Ft kdykoliv je s < t.
Definice 6.2.3. Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P). Filtrace
F = {Ft, t ≥ 0} se nazývá historie Wienerova procesu, jestliže pro
každé t > 0 je Ft σ-algebra generovaná náhodnými veličinami W (s, ω) pro
s ≤ t.
F popisuje růst informace o trajektorii Wienerova procesu v závislosti na
čase. Ft je tedy informace o trajektorii v čase t. Platí
Věta 6.2.4. Ft je nejmenší σ-algebra generovaná množinami typu
{ω; W (t1, ω) ∈ F1, ..., W (tk, ω) ∈ Fk} ,
kde k = 1, 2, ... a tj < t pro všechna j = 1, . . . k jsou libovolné časy a Fj ⊆ R
jsou libovolné Borelovské množiny.
Věta 6.2.5. Funkce h (ω) je Ft-měřitelná, kde F je historie Wienerova
procesu právě tehdy, když h je bodová limita součtů funkcí tvaru
g1 (W1) ...gk (Wtk
) ,
kde g1, ..., gk jsou omezené spojité funkce, tj ≤ t pro j = 1, ..., k a k ∈ N.
Definice 6.2.6. Nechť W (t) je Wienerův proces na prostoru (Ω, A, P) a nechť
F je historie Wienerova prostoru. Říkáme, že proces {G (t, ω) ; t ∈ [0, ∞)}
je adaptovaný historii Wienerova procesu (neboli G (t, ω) je neanticipativní
), jestliže pro každé t ≥ 0 je funkce ω → G (t, ω) Ft-měřitelná.
Tedy hodnota G (t, ω) závisí jen na historii Wienerova procesu do času t.
G (t, ω) nepředvídá proud informací reprezentovaných σ-algebrami Ft.
55
Definice 6.2.7. Stochastický proces S se nazývá jednoduchá funkce na
intervalu [0, T], jestliže existuje dělení D = {0 = t0 < ... < tm = T} tak, že
S (t, ω) = Sk (ω)
pro tk ≤ t < tk+1 (k = 0, ..., m − 1) pro nějaké náhodné veličiny Sk.
Definice 6.2.8. Nechť S je jednoduchá funkce. Pak
T
0
SdW =
m−1
k=0
Sk (ω) (W (tk+1, ω) − W (tk, ω))
se nazývá Itôův stochastický integrál funkce S na intervalu [0, T].
Tedy označíme-li ∆Wk = (W (tk+1, ω) − W (tk, ω)), máme
T
0
SdW =
m−1
k=0
Sk∆Wk.
Definice 6.2.9. Nechť W (t) je Wienerův proces na prostoru (Ω, A, P).
Symbolem M budeme označovat třídu stochastických procesů
f (t, ω) : [0, ∞) × Ω → R
takových, že:
– f (t, ω) je neanticipativní,
– f (t, ω) je B × A-měřitelná, kde B jsou Borelovské množiny na [0, ∞),
– platí
P
T
0
[f (t)]2
dt < +∞ = 1
Příklad 6.2.10. (Investiční strategie) V intervalu [ti, ti+1) držíme ei (ω)
akcií, kde ei (ω) závisí na vývoji ceny Wt (ω) do času ti (Wt je cena akcie v
čase t)
Φ (t, ω) =
m−1
i=0
ei (ω) χ[ti, ti+1),
kde
χ[ti, ti+1) =
1 pro t ∈ [ti, ti+1)
0 jinak.
56
Pak Φ (t, ω) je počet akcií, které držíme v čase t (za scénáře ω). Φ je jednoduchá
funkce. Integrál
T
0
Φ (t, ω) dWt (ω) =
m−1
i=0
ei (ω) Wti+1
(ω) − Wti
(ω)
je náš celkový zisk z této strategie od času 0 do času T.
Věta 6.2.11. (Itôova izometrie): Nechť S je jednoduchá omezená funkce
(tedy Sk jsou omezené náhodné veličiny). Pak
E
T
0
S (t, ω) dWt (ω)
2
= E
T
0
S2
(t, ω) dt .
Důkaz: Označme ∆Wj = W (tj+1, ω) − W (tj, ω). Máme z definice
E
T
0
SdW
2
= E


m−1
j=0
Sj∆Wj
2

 = E
m−1
j=0
S2
j (∆Wj)2
+ 2
m−1
i<j
SiSj∆Wi∆Wj =
=
m−1
j=0
E S2
j ∆W2
j + 2i < j
m−1
i, j=0
E (SiSj∆Wi) E (∆Wj) =
=
m−1
j=0
E S2
j E ∆W2
j =
m−1
j=0
E S2
j (tj+1 − tj) =
= E
m−1
j=0
S2
j (tj+1 − tj) = E
T
0
S2
dt .
Pro obecný proces f ∈ M definujeme
T
0
f (t, ω) dW limitním přechodem:
Lemma 6.2.12. Nechť f je náhodný proces patřící do třídy M. Pak existuje
posloupnost jednoduchých funkcí fn ∈ M tak, že pro n → ∞ platí
E
T
0
(fn (t, ω) − f (t, ω))2
dt → 0.
57
Definice 6.2.13. Pro obecný proces f ∈ M definujeme Itôův integrál před-
pisem
T
0
f (t, ω) dW = lim
n→∞
T
0
fn (t, ω) dW.
Tato limita nezávisí na volbě posloupnosti fn (důkaz je technický, pomocí
Itôovy izometrie - viz literatura).
Věta 6.2.14. (Základní vlastnosti Itôova integrálu) Platí
1.
T
0
(aG + bF) dW = a
T
0
GdW + b
T
0
FdW
2. E
T
0
GdW = 0
3.
t
0
GdW je Ft-měřitelný
Důkaz: První tvrzení plyne ihned z definice. Dokážeme druhé tvrzení.
Nechť G je jednoduchá funkce, tedy G (t, ω) = Gk (ω) pro tk ≤ t < tk+1,
kde k = 0, ..., m − 1. Jelikož Gk (ω) závisí jen na W (s) pro s ≤ tk (z
neanticipativnosti), dostáváme:
E
T
0
GdW = E
m−1
k=0
Gk (ω) ∆Wk =
=
m−1
k=0
E (Gk (ω) ∆Wk) =
m−1
k=0
E (Gk (ω)) E (∆Wk) .
Protože E (Gk (ω)) < ∞ a E (∆Wk) = 0, platí
m−1
k=0
E (Gk (ω)) E (∆Wk) = 0.
6.3 Itôovo lemma
Motivace: Nechť f je hladká funkce na intervalu [a, b]. Uvažujme rovnoměrné
dělení intervalu a = t0 < t1 < ... < tn = b, kde ∆ti = ti+1 − ti = b−a
n
pro všechna i = 0, 1, ..., n − 1.
58
Pak platí, s využitím Taylorova polynomu
f (b) − f (a) =
n−1
i=0
f (ti+1) − f (ti) =
n−1
i=0
f (ti) ∆ti +
1
2
f (ti) (∆ti)2
+ ...
f je hladká, tedy
|f (t)| < M
pro nějakou konstantu M na [a, b]. Odtud
1
2
n−1
i=0
f (ti) (∆ti)2
≤
n−1
i=0
1
2
M
b − a
n
2
=
n
2
M
(b − a)2
n2
→ 0
pro n → ∞.
Tedy pro n → ∞:
f (b) − f (a) = lim
n→∞
n−1
i=0
f (ti) ∆ti =
b
a
f (t) dt.
Pro deterministický případ jsme tedy dostali Newton-Leibnitzův vzorec.
Teď uvažujme stochastické funkce. V aplikacích, cena aktiva je funkcí Wienerova
procesu Wt,
St (ω) = f (Wt (ω))
Nechť f je hladká funkce. Pak
f (W (b)) − f (W (a)) =
n−1
i=0
f (W (ti+1)) − f (W (ti)) =
= f (W (ti)) ∆Wi +
1
2
f (W (ti)) (∆Wi)2
+ ...
Z lemmatu o kvadratické variaci víme, že
n−1
i=0
(∆Wi)2
→ b − a
pro n → ∞, tedy členy 2. řádu nelze zanedbat (vyššího řadu už ano).
Dostaneme tedy:
59
f (W (b)) − f (W (a)) = lim
n→∞
n−1
i=0
f (W (ti)) ∆Wti
+
1
2
f (W (ti)) (∆Wti
)2
=
=
b
a
f (Wt) dWt +
1
2
b
a
f (W (t)) dt.
Definice 6.3.1. Nechť Wt je Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru
(Ω, A, P). Jednodimenzionální Itôův proces je stochastický proces
tvaru:
Xt (ω) = X0 +
t
0
u (s, ω) ds +
t
0
v (s, ω) dWs (ω) ,
kde u, v ∈ M.
Člen
t
0
u (s, ω) ds je obyčejný Riemannův integrál (z náhodné funkce) a
t
0
v (s, ω) dWs (ω) je Itôův stochastický integrál.
Poznámka. Často se Itôův proces zapisuje v diferenciálním tvaru:
dXt (ω) = u (t, ω) dt + v (t, ω) dWt (ω) ,
což je tzv. stochastický diferenciál, kde koeficient u (t, ω) se obvykle nazývá
drift a v (t, ω) je volatilita.
Věta 6.3.2. (Itôovo lemma) Nechť X (t, ω) je Itôův proces se stochastickým
diferenciálem
dX (t) = udt + vdW (t) ,
kde u, v jsou procesy třídy M. Nechť
g (t, x) : 0, ∞) × R → R
je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce. Potom
Y (t) = g (t, X (t))
je opět Itôův proces. Jeho stochastický diferenciál má tvar
dY (t) =
∂g
∂t
(t, X (t)) dt +
∂g
∂x
(t, X (t)) dX (t) +
1
2
∂2
g
∂x2
(t, X (t)) (dX (t))2
,
60
kde
(dX (t))2
= (udt + vdW (t))2
= (dX (t)) (dX (t))
se počítá podle pravidel dtdt = dtdW = 0 a dWdW = dt.
Příklad 6.3.3. (Stochastická diferenciální rovnice pro vývoj ceny akcie):
Ceny se vyvíjí podle geometrického Wienerova procesu
dSt = µStdt + σStdWt
neboli
dSt
St
= µdt + σdWt.
Nechť
g (t, x) = ln x
a
Yt = g (t, St) .
Máme tedy
∂g
∂t
= 0
∂g
∂x
=
1
x
∂2
g
∂x2
= −
1
x2
.
Podle Itôova lemmatu dostaneme
dY (t) = 0 +
1
St
dSt +
1
2
−
1
S2
t
(dSt)2
,
kde (dSt)2
= σ2
S2
t dt. Tedy
dY (t) =
1
St
(µStdt + σStdWt) −
1
2
σ2
dt = µ −
1
2
σ2
dt + σdWt.
Odtud
dYt = µ −
1
2
σ2
dt + σdWt,
tedy
Yt = Y0 + µ −
σ2
2
t + σWt,
kde W0 = 0. Tedy
61
ln St = ln S0 + µt + σWt −
1
2
σ2
t
má normální rozdělení
ln St ∼ N ln S0 + µt −
1
2
σ2
t; σ2
t
a
St = S0eµt+σWt−1
2
σ2t
má lognormální rozdělení.
62
6.4 Příklady
Příklad 6.4.1. Nechť f(x) = x2
Vypočtěte
1
0
sin xdf(x)
Příklad 6.4.2. Vypočtěte
1
0
W2
(t)dW
Příklad 6.4.3. Pomocí Itôova lemmatu najděte stochastický diferenciál
procesu
X(t) = t + cos W(t)
a
X(t) = t3
+ W(t)2
63
Kapitola 7
Martingaly a Itôovy proces
7.1 Definice martingalu
V diskrétním případě jsme definovali martingal takto. Posloupnost náhodných
veličin Sn, 0 ≤ n ≤ ∞, která pro všechna n splňuje
E (Sn+1 | S0, S1, ..., Sn) = Sn,
se nazývá martingal.
Připomeňme si z předchozích kapitol dvě definice.
Filtrace na (Ω, A, P) je systém σ-algeber F = {Ft, t ∈ T}, kde pro každé
t ∈ T platí Ft ⊆ A, a Fs ⊆ Ft pro s ≤ t.
Historie Wienerova procesu je filtrace FW
= FW
t, t ∈ T taková, že
FW
t je σ-algebra generovaná náhodnými veličinami W (s) pro s ≤ t. Popisuje
růst informace o trajektorii Wienerova procesu v závislosti na čase.
Pokud bude zřejmé z kontextu že uvažovaná filtrace je historie Wienerova
procesu, budeme horní index W vynechávat.
Definice 7.1.1. Nechť {Wt; t ≥ 0} je Wienerův proces na pravděpodobnostním
prostoru (Ω, A, P) a FW
t, t ≥ 0 je historie Wienerova procesu.
Stochastický proces Mt se nazývá martingal vzhledem k FW
t , jestliže:
– Mt je neanticipativní (tj. Mt je určeno hodnotami Wienerova procesu do
času t),
– E [|Mt|] < ∞ pro ∀t ≥ 0,
64
– platí tzv. Martingalová podmínka
E Ms | FW
t = Mt
pro všechna s ≥ t.
Řečeno slovy: “Očekávání budoucí hodnoty je rovno současné hodnotě.”
Věta 7.1.2. Nechť {W (t) ; t ≥ 0} je Wienerův proces na pravděpodobnostním
prostoru (Ω, A, P) a {Ft, t ≥ 0} je historie Wienerova procesu. Pak
W (t) je martingalem vzhledem k {Ft, t ≥ 0}.
Důkaz: Musíme dokázat všechny tři vlastnosti martingalu. Wt je neanticipativní,
tedy Wt je určeno hodnotami Wienerova procesu do času t pro
s ≤ t. To je triviální. Dále
E [|Wt|] < ∞
kde
Wt ∼ N (0, t)
a f = 1√
2πt
e−x2
2t , tedy
E [|Wt|] =
∞
−∞
|x|
1
√
2πt
e−x2
2t dx.
Jelikož jsou obě funkce v integrálu sudé, můžeme psát
E [|Wt|] = 2
∞
0
x
1
√
2πt
e−x2
2t dx = 2
1
√
2πt
∞
0
xe−x2
2t dx
Zavedeme substituci s = −x2
2t
, ds = − 1
2t
2xdx a dostáváme
E [|Wt|] = 2
1
√
2πt
−∞
0
es
(−t) ds = 2
1
√
2πt
0
−∞
tes
ds =
=
2t
√
2πt
0
−∞
es
ds =
2t
√
2πt
[es
]0
−∞ =
2t
√
2πt
1 − e−∞
=
2t
√
2πt
< ∞
Zbývá nám dokázat, že E [Ws | Ft] = Wt, pro s ≥ t,
E [Ws | Ft] = E [Wt + (Ws − Wt) | Ft] =
= E [Wt | Ft] + E [Ws − Wt | Ft] = Wt + 0 = Wt
65
neboť Ws − Wt a Wt jsou nezávislé, tedy E [Ws − Wt | Ft] = 0.
V diskrétním případě je martingalová transformace martingal. Ve spojitém
případě je analogií martingalové transformace Itôův integrál. Platí
E
s2
s1
a (t, ω) dW = 0
pro každé s1, s2, odkud plyne, že Itôův integrál je martingal.
7.2 Itôův proces a stopping time
Definice 7.2.1. Nechť W (t) je standardní Wienerův proces na (Ω, A, P) a
{Ft} je historie Wienerova procesu. Nezáporná náhodná veličina τ se nazývá
stopping time (“čas zastavení”), jestliže pro všechna t ≥ 0 je událost (jev)
{τ ≤ t} prvkem σ-algebry Ft.
V čase t tedy víme, zda čas τ už nastal, nebo ne.
Příklad 7.2.2. První čas průchodu bodem a:
Nechť a > 0,
τa = min
t
{t ∈ (0, ∞) ; W (t) = a}
a τa = ∞ pokud neexistuje t takové, že W (t) = a. Je vidět, že τa je stopping
time.
Příklad 7.2.3. Maximum na intervalu [0, T] není stopping time.
Definujeme
M (T) = max
t∈[0, T]
W (t)
maximální hodnotu W (t), a
τ = min
t
{t ∈ [0, T] , W (t) = M (T)}
čas dosažení maxima. V čase t nevíme, jestli τ nastal nebo ne (může být
potom ještě vyšší hodnota), tedy nejde o stopping time.
Věta 7.2.4. (Princip reflexe): Nechť W (t) je Wienerův proces, a > 0 a
τ (a) je čas prvního dosažení bodu a. Platí
P [τ (a) < t] = 2P [W (t) > a] .
66
Výraz na pravé straně rovnice umíme spočítat:
P [W (t) > a] =
∞
a
1
√
2πt
e−r2
2t dx.
Důkaz: Je-li W (t) > a, pak ze spojitosti trajektorií Wienerova procesu
plyne, že τ (a) < t. Protože τ (a) je stopping time,
W (t + τ (a)) − W (τ (a))
je Wienerův proces, který je nezávislý na vývoji před časem τ (a). Tedy
W (t) − W (τ (a)) ∼ N (0, t − τ (a))
Ze symetrie normálního rozdělení plyne
P [W (t) − W (τ (a)) > 0 | τ (a) < t] = P [W (t) − W (τ (a)) < 0 | τ (a) < t] =
1
2
.
Tedy
P [W (t) > a] = P [τ (a) < t ∧ W (t) − W (τ (a)) > 0] =
= P [τ (a) < t] P [W (t) − W (τ (a)) > 0 | τ (a) < t] =
1
2
P [τ (a) < t]
Celkem
P [τ (a) < t] = 2P [W (t) > a] .
Poznámka. Pokud víme, že τ (a) < t, pak je stejná pravděpodobnost, že
se W (t) nachází na úrovni a jako pod úrovní a.
67
7.3 Příklady
Příklad 7.3.1. Dokažte, že symetrická náhodná procházka má vlastnost
martingalu
Příklad 7.3.2. Nechť X1, X2, . . . je posloupnost náhodných veličin, pro
které platí E(Xn) = 0 pro všechna n. Dokažte, že posloupnost částečných
součtů S0 = 0 a Sn = X1 + X2 + · · · + Xn je martingal.
Příklad 7.3.3. Mějme nezávislé náhodné proměnné s E(Xn) = 0 a V ar(Xn) =
σ2
pro všechna n. Uvažujme posloupnost částečných součtů z předchozího
příkladu. Ukažte, že posloupnost M0 = 0 a Mn = S2
n − nσ2
je martingal
vzhledem k posloupnosti Xn.
Příklad 7.3.4. Nechť Wt je standardní Wienerův proces. Je proces W2
t
martingal? Je proces Wt + 3 martingal? Je proces Wt − t martingal?
68
Kapitola 8
Cameron-Martinova věta
8.1 Radon-Nikodýmova derivace
Při oceňování složitějších typů opcí závislých na cestě je potřeba tzv. CameronMartinova
věta (nebo její obecnější verze Girsanova věta).
Nechť W (t) je standardní Wienerův proces na (Ω, A, P).
Nechť W je Wienerův proces s driftem,
W (t) = W (t) + γt
pro nějakou reálnou konstantu γ = 0. Chceme najít pravděpodobnostní míru
Q na Ω tak, aby W (t) byl obyčejný Wienerův proces na pravděpodobnostním
prostoru (Ω, A, Q).
Poznámka: Prostor Ω, který často ani není explicitně zadán, můžeme ztotožnit
s prostorem všech trajektorií Wienerova procesu, tedy s prostorem
všech spojitých funkcí na intervalu [0, T]. Změna míry je tedy proces který
mění pravděpodobnost jednotlivých trajektorií (přesně řečeno jejich okolí).
Radon-Nikodýmova derivace Q vůči P, označovaná dQ
dP
, umožňuje převádět
jednu pravděpodobnostní míru na jinou.
Definice 8.1.1. Nechť (Ω, A) je pravděpodobnostní prostor, na kterém jsou
dány dvě pravděpodobnostní míry P a Q. Říkáme, že P a Q jsou ekvivalentní,
jestliže platí P (A) = 0 ⇐⇒ Q (A) = 0.
69
Definice 8.1.2. Nechť P a Q jsou ekvivalentní míry na (Ω, A) a pro náhodnou
veličinu Z = dQ
dP
platí
EQ (X) =
Ω
XdQ =
Ω
X
dQ
dP
dP =
=
Ω
XZdP = EP (XZ) = EP
dQ
dP
X ,
pak Z se nazývá Radon-Nikodýmova derivace pravděpodobnostní míry
Q vzhledem k pravděpodobnostní míře P.
8.2 Cameron-Martinova věta
Věta 8.2.1. (Cameron-Martin): Nechť {W (t) : t ∈ [0, T]} je standardní
Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Nechť Q je
pravděpodobnostní míra, jejíž Radon-Nikodýmova derivace vzhledem k P je
dQ
dP
(ω) = exp −γW (T, ω) −
1
2
γ2
T .
Pak W (t) = W (t) + γt je Wienerův proces (a tedy marginal) vzhledem ke
Q.
Je-li například γ < 0, pak vzhledem k míře Q je pravděpodobnost trajektorie
tím větší, čím je větší její hodnota v čase T (viz. obrázek u hesla Girsanovova
věta na wikipedii). Opravdu, v Radon-Nikodýmově derivaci druhý člen v
exponentu nezávisí na trajektorii a první je přímo úměrný hodnotě procesu
v bodě T.
K důkazu je třeba moment generující funkce, připomeneme její definici.
Definice 8.2.2. Moment generující funkce náhodné veličiny X je definován
jako
ψ (θ) = E eθX
=
R
eθx
f (x) dx,
kde f je hustota X.
Lemma 8.2.3. Nechť X je náhodná veličina s rozdělením
N 0, σ2
70
a θ je parametr. Pak
E eθX
= e
1
2
θ2σ2
.
Důkaz:
E eθX
=
∞
−∞
eθX
dF (x) =
∞
−∞
eθx 1
√
2πσ2
e− x2
2σ2
dx =
1
√
2πσ
∞
−∞
eθx− x2
2σ2
dx.
Doplníme na čtverec v exponentu,
E eθX
=
1
√
2πσ
∞
−∞
e
− x2
2σ2 −θx
dx =
1
√
2πσ
∞
−∞
e
− x√
2σ
−θ
√
2σ
2
2
+θ2σ2
2
dx =
=
1
√
2πσ
e
θ2σ2
2
∞
−∞
e
− x√
2σ
−θ
√
2σ
2
2
dx = e
θ2σ2
2 ,
protože
1
√
2πσ
e
− x√
2σ
−θ
√
2σ
2
2
je hustota N θ
√
2σ
2
; σ2
, jejíž integrál přes celou reálnou osu je roven jedné.
Důkaz Cameron-Martinovy věty: Chceme dokázat, že
W (t) = W (t) + γt
je standardní Wienerův proces vůči pravděpodobnostní míře Q, kde
dQ
dP
(ω) = exp −γW (T, ω) −
1
2
γ2
T .
Musíme dokázat vlastnosti Wienerova procesu vzhledem ke Q. Máme
W (0) = W (0) + γ0 = 0.
Spojitost trajektorií plyne ze spojitosti trajektorií W (t) a spojitosti funkce
γt. Dále s využitím předchozího lemmatu dokážeme, že W (t) má vůči Q
rozdělení N (0, t). Víme, že moment generující funkce určuje jednoznačně
71
pravděpodobnostní rozdělení. Vypočteme moment generující funkce W(t)
vůči Q,
EQ eθW(t)
= EP
dQ
dP
eθW(t)
= EP e−γW(T)−1
2
γ2T+θ(W(t)+γt)
=
= e−1
2
γ2T+θγt
EP e−γW(T)+θW(t)
= e−1
2
γ2T+θγt
EP e−γ(W(T)−W(t))−γW(t)+θW(t)
.
Víme, že W (t) a W (T)−W (t) jsou nezávislé (z definice Wienerova procesu).
Tedy
e−1
2
γ2T+θγt
EP e−γ(W(T)−W(t))−γW(t)+θW(t)
=
= e−1
2
γ2T+θγt
EP e−γ(W(T)−W(t))
EP e(θ−γ)W(t)
.
Použitím předchozího lemmatu s hodnotami σ2
= t respektive σ2
= T − t, je
tedy výraz roven
e−1
2
γ2T+θγt
e
γ2
2
(T−t)
e
(θ−γ)2
2
t
= e
θ2t
2 ,
neboť
−
1
2
γ2
T + θγt +
γ2
2
T −
γ2
2
t +
θ2
2
t − θγt +
γ2
2
t =
θ2
2
t.
To je ale moment generující funkce N (0, t). Zcela analogicky se dokáže, že
W (s) − W (t)
má rozdělení N (0, s − t) pro s > t vůči Q.
8.3 Girsanovova věta
Girsanovova věta zobecňuje Cameron-Martinovu větu na případ obecného
driftu.
72
Věta 8.3.1. (Girsanov): Nechť W (t, ω), 0 ≤ t ≤ T je Wienerův proces na
(Ω, A, P). Nechť γ (t, ω) je adaptovaný proces vzhledem k historii Wienerova
procesu, pro který
EP exp
1
2
T
0
γ (t) dt < ∞.
Pak existuje pravděpodobnostní míra Q na (Ω, A) taková, že platí Q ∼ P,
dQ
dP
(ω) = exp −
T
0
γ (t, ω) dW (t, ω) −
1
2
T
0
γ2
(t, ω) dt
a
W (t, ω) = W (t, ω) +
T
0
γ (s, ω) ds
je Wienerův proces vzhledem ke Q.
Věta 8.3.2. (obrácená Girsanovova věta): Nechť W (t, ω), 0 ≤ t ≤ T
je Wienerův proces na (Ω, A, P). Nechť Q ∼ P. Pak existuje adaptovaný
proces γ (t, ω) takový, že
W (t, ω) = W (t, ω) +
t
0
γ (s, ω) ds
je Wienerův proces na (Ω, A, Q). Navíc
dQ
dP
= exp −
T
0
γ (t, ω) dW (t, ω) −
1
2
T
0
γ2
(t, ω) dt .
73
Kapitola 9
Odvození Black-Scholesovy
rovnice
Black-Scholesova rovnice je důsledkem modelu vývoje ceny akcie pomocí Wienerova
procesu. Předpokládejme, že pohyb ceny akcie je popsán geometrickým
Wienerovým procesem,
dS = µSdt + σSdW,
neboli
dS
S
= µdt + σdW.
Použijeme Itôovo lemma na funkci G (S, t) = lnS . Máme ∂G
∂t
= 0, ∂G
∂S
= 1
S
a ∂2G
∂S2 = 1
S2 . Tedy z Itôova lemmatu
dG = µ −
σ2
2
dt + σdW
a
d (ln S) = µ −
σ2
2
dt + σdW.
Z toho plyne, že ln ST − ln S0 má normální rozdělení se střední hodnotou
µ − σ2
2
T a rozptylem σ2
T. Tedy
ln ST ∼ N ln S0 + µ −
σ2
2
T; σ2
T .
ST má tedy lognormální rozdělení (ln ST má normální rozdělení).
74
9.1 Black-Scholesova rovnice
V této podkapitole připomeneme odvození Black-Scholesovy rovnice. Budeme
předpokládat existenci bezrizikového aktiva s úrokovou mírou r.
Vyjdeme z rovnice pro cenu akcie, která sleduje geometrický Wienerův
proces
dS = µSdt + σSdW. (9.1)
Nechť V je cena evropské call opce s danou realizační cenou K a časem
expirace T. Zisk z takové opce v čase T je tedy (ST − K)+. V závisí na S a
t a je tedy funkcí dvou proměnných V (S, t). Hodnota V (S, t) je cena opce
v čase t v situaci, kdy cena akcie je rovna S.
Z Itôova lemmatu máme
dV =
∂V
∂t
dt +
∂V
∂S
dS +
1
2
∂2
V
∂S2
(dS)2
.
Za dS dosadíme ze 9.1, tedy
dV =
∂V
∂t
dt +
∂V
∂S
(µSdt + σSdW) +
1
2
∂2
V
∂S2
(µSdt + σSdW)2
.
Podle Itôova lemmatu (dt)2
a dtdW jsou členy vyššího řádu za které dosadíme
nulu, zatímco (dW)2
= dt. Dostáváme tedy
dV =
∂V
∂t
+
∂V
∂S
µS +
1
2
∂2
V
∂S2
σ2
S2
dt +
∂V
∂S
σSdW. (9.2)
Vhodnou kombinací 9.1 a 9.2 můžeme sestavit portfolio z akcií a opcí,
jehož výnos za čas dt je deterministický. Jinak řečeno, můžeme eliminovat
stochastický člen dW.
Označme Π hodnotu portfolia složeného z 1 opce a −∂V
∂S
akcie, tedy
Π = −
∂V
∂S
S + 1V
Pro přírůstek hodnoty portfolia za čas dt máme:
dΠ = −
∂V
∂S
dS + 1df.
75
Po dosazení z 9.1 dostaneme
dΠ = −
∂V
∂S
µS +
∂V
∂t
+
∂V
∂S
µS +
1
2
∂2
V
∂S2
σ2
S2
dt,
stochastický člen se vyruší.
dΠ se musí (z neexistence arbitráže) rovnat zisku z bezrizikového aktiva
s úrokovou mírou r, tedy
dΠ = rΠdt.
Dosazením dostaneme
∂V
∂t
+
1
2
∂2
V
∂S2
σ2
S2
dt = r −
∂V
∂S
S + V dt,
tedy
∂V
∂t
+
1
2
∂2
V
∂S2
σ2
S2
+
∂V
∂S
Sr = rV.
To je Black-Scholesova parciální diferenciální rovnice.
Po vhodných transformacích proměnných dostaneme rovnici vedení tepla
(rovnici difuze)
∂V
∂t
=
∂2
V
∂S2
Řešením společně s příslušnou podmínkou (známe hodnotu V (T) = (ST − K)+)
dostaneme Black-Scholesův vzorec.
76
Kapitola 10
Black-Scholesův model
V této kapitole odvodíme Black-Scholesův vzorec za obecnějšího předpokladu
než v minulé kapitole. Budeme uvažovat úrokovou míru měnící se v čase.
10.1 Předpoklady Black-Scholesova modelu
Předpokládejme, že na trhu existují dvě aktiva,
• bezrizikový dluhopis, jehož cena v čase t je Bt.
• riziková akcie, jejíž cena v čase t je St. S0 je cena v současnosti, tedy
známá hodnota.
Dluhopis má známou úrokovou míru rt, kde rt je deterministická funkce času.
Tedy cena dluhopisu Bt v čase t splňuje
dBt
dt
= rtBt.
Řešením (separací proměnných) dostaneme:
dBt
Bt
= rtdt.
Tedy ln Bt = rtdt a
Bt = exp
t
0
rsds .
Cena podílu akcie se řídí stochastickou diferenciální rovnicí tvaru
77
dSt = µtStdt + σStdWt (10.1)
kde Wt je standardní Wienerův proces, µt je deterministická funkce času a
σ > 0 je konstanta nazývaná volatilita akcie.
10.2 Rovnovážná pravděpodobnostní míra
Vyjdeme z předpokladu neexistence arbitráže.
Věta 10.2.1. (Základní věta arbitrážní teorie): Pokud neexistuje na
trhu arbitráž, potom existuje rovnovážná (risk-neutrální) pravděpodobnostní
míra na prostoru tržních scénářů, vůči níž je proces diskontované ceny akcie
martingal. Speciálně
S∗
0 = E (S∗
t ) ,
kde S∗
t je diskontovaná cena v čase t.
Věta 10.2.2. Nechť koeficient driftu µt je omezený. Pak stochastická diferenciální
rovnice (10.1) má řešení
St = S0 exp σWt −
σ2
2
t +
t
0
µsds .
Navíc, vzhledem k risk-neutrální míře musí platit rt = µt.
Důkaz: Použijeme Itôovu formuli na funkci
g (x, t) = exp σx −
σ2
2
t +
t
0
µsds
a podkladový proces X = W.
Pro S = g (x, t) dostaneme
dS = σSdW + µtSdt.
Tedy S řeší rovnici (10.1).
Dále víme, že vzhledem k risk-neutrální míře diskontovaný proces ceny
akcie musí být martingal. Diskontovací faktor je cena bezrizikového dluhopisu
Bt, tedy
78
S∗
t =
St
Bt
=
exp σWt − σ2
2
t +
t
0
µsds
exp
t
0
rsds
= exp σWt −
σ2
2
t +
t
0
(µs − rs) ds .
Dále, stejnou aplikací Itôova lemmatu dostaneme, že S∗
t splňuje stochastickou
diferenciální rovnici
dS∗
t = σS∗
t dWt + S∗
t (µt − rt) dt.
Víme, že S∗
t je martingal právě tehdy, když koeficient u dt je identicky roven
nule, tedy rt = µt pro všechna t.
Důsledek 10.2.3. Vzhledem k rovnovážné pravděpodobnostní míře (tedy
pro rt = µt) logaritmus diskontované ceny akcie S∗
t v čase t má normální
rozdělení se střední hodnotou ln S0 − σ2
2
t a rozptylem σ2
t.
10.3 Odvození Black-Scholesova vzorce pro
evropskou call opci
Evropská call opce na akcii s realizační cenou K a časem expirace T dává
majiteli právo koupit v čase T akcii za cenu K. Tedy hodnota opce v čase T
je
VT = (ST − K)+ =
ST − K pro ST ≥ K
0 pro ST < K
Zajímá nás současná cena opce V0. Podle základní věty arbitrážní teorie
plyne, že pokud na trhu neexistuje arbitráž, pak cena opce v čase t = 0 musí
být rovna diskontovanému očekávání vzhledem k rovnovážné pravděpodobnostní
míře její hodnoty v čase T. Podle předchozí věty tedy platí
V0 (S0, K, T) = EQ S∗
T −
K
BT +
,
kde S∗
T = ST
BT
, BT je cena dluhopisu v čase T a S∗
T má rozdělení podle důsledku
předchozí věty vzhledem k risk neutrální míře Q.
Výpočtem očekávání dostaneme Black-Scholesův vzorec
79
V (S0, K, T) = S0φ (z) −
K
BT
φ z − σ
√
T ,
kde
z =
ln S0
BT
K
+ σ2 T
2
σ
√
T
a φ je distribuční funkce normálního rozdělení:
φ (z) =
z
−∞
1
√
2π
e−x2
2 dx.
Pro výpočet příslušného očekávání připomeňme že
V0 = EQ S∗
T −
K
BT +
,
kde
S∗
T =
ST
BT
a
ln S∗
T ∼ N ln S0 −
σ2
2
T; σ2
t .
Jinak řečeno, S∗
T = S0eX
, kde X ∼ N −σ2
2
T; σ2
T .
Tedy
V0 =
∞
−∞
S0ex
−
K
BT +
1
√
2πσ2T
e−
x+ σ2
2 T
2
2σ2T dx
Určíme skutečný obor integrace (kde je integrovaná funkce nenulová):
S0ex
−
K
BT
≥ 0 ⇐⇒ ex
≥
K
S0BT
⇒ x ≥ ln
K
S0BT
.
Označme M = ln K
S0BT
. Pak
V0 = S0
∞
M
ex 1
√
2πσ2T
e−
x+ σ2
2 T
2
2σ2T dx −
K
BT
∞
M
1
√
2πσ2T
e−
x+ σ2
2 T
2
2σ2T dx.
V prvním integrálu doplníme v exponentu na čtverec:
x −
x + σ2
2
T
2
2σ2T
=
2σ2
Tx − x + σ2
2
T
2
2σ2T
=
=
2σ2
Tx − x2
− 2xσ2
2
T − σ2T
2
2
2σ2T
= −
x − σ2T
2
2
2σ2T
80
a dostáváme:
V0 = S0
∞
M
1
√
2πσ2T
e−
x− σ2T
2
2
2σ2T dx −
K
BT
∞
M
1
√
2πσ2T
e−
x+ σ2
2 T
2
2σ2T dx =
= S0P (Z1 ≥ M) −
K
BT
P (Z2 ≥ M) ,
kde
Z1 ∼ N
1
2
σ2
T; σ2
T
a
Z2 ∼ N −
1
2
σ2
T; σ2
T .
Tedy celkem
V0 = S0P
Z1 − 1
2
σ2
T
σ
√
T
≥
M − 1
2
σ2
T
σ
√
T
−
K
BT
P
Z2 + 1
2
σ2
T
σ
√
T
≥
M + 1
2
σ2
T
σ
√
T
S využitím 1 − φ (M) = φ (−M) dostaneme:
V0 = S0φ
−M + 1
2
σ2
T
σ
√
T
−
K
BT
φ
−M − 1
2
σ2
T
σ
√
T
,
což už je Black-Scholesův vzorec.
81
Kapitola 11
Rovnice vedení tepla a
Wienerův proces
11.1 Řešení rovnice vedení tepla na přímce
Budeme se zabývat rovnicí vedení tepla na přímce,
ut(x, t) = uxx(x, t)
pro x ∈ R a t ≥ 0, kde u(x, t) je teplota v bodě x a čase t. Teplota v počátečním
čase je známa, je daná počáteční podmínkou
u(x, 0) = ψ(x).
Pro každé pevné t > 0 budeme uvažovat Fourierovu transformaci funkce u
v proměnné x. Na jedné straně máme
(
∂2u
∂x2
)(ξ, t) = (iξ)2
ˆu(ξ, t),
na druhé straně t hraje při integraci v definici Fourierovy transformace roli
parametru, tedy je
(
∂u
∂t
)(ξ, t) =
∂ˆu
∂t
(ξ, t).
Transformovaná rovnice má tedy tvar
∂ˆu
∂t
(ξ, t) = −ξ2
ˆu(ξ, t).
82
Pro pevné ξ je to obyčejná diferenciální rovnice v proměnné t, kterou umíme
vyřešit,
ˆu(ξ, t) = Ce−ξ2t
,
kde C = ˆu(ξ, 0). Z počáteční podmínky tedy
C = ˆψ(ξ).
Celkem
ˆu(ξ, t) = ˆψ(ξ)e−ξ2t
.
Zpětnou transformací, podle pravidla o transformaci konvoluce dostaneme
u(x, t) = (ψ ∗ Gt)(x, t),
kde Gt(x) je zpětná transformace funkce e−ξ2t
. Tu najdeme ze znalosti transformace
Gaussovy funkce a lemmatu o transformaci po změně měřítka, kde
vezmeme R = 1√
2t
. Dostaneme tedy
Gt(x) =
1
√
4πt
e−x2
4t ,
což je tzv. Gaussovo jádro. Řešení počáteční úlohy pro rovnici vedení tepla
má tedy tvar
u(x, t) =
1
√
4πt
∞
−∞
e−
(x−y)2
4t ψ(y)dy.
11.2 Souvislost řešení rovnice vedení tepla a
Wienerova procesu
Z definice Wienerova procesu víme, že
P {W (t + s) = y | W (s) = x} ∼
1
√
2πt
e−
(y−x)2
2t .
Tato funkce je zároveň Gaussovo jádro pro modifikovanou rovnici vedení tepla
(s konstantou 1
2
před druhou derivací).
Věta 11.2.1. Nechť f : R→ R je omezená funkce. Pak jednoznačné řešení
u (t, x) počáteční úlohy pro rovnici vedení tepla:
∂u
∂t
=
1
2
∂2
u
∂x2
83
kde u (t, x) je teplota v bodě x a čase t a
u (0, x) = f (x)
je počáteční podmínka, je rovno
u (t, x) = Ef (Wx
t ) =
∞
−∞
Pt (x, y) f (y) dy,
kde Pt (x, y) je Gaussovo jádro:
Pt (x, y) =
1
√
2πt
e−
(y−x)2
2t
a Wx
t je Wienerův proces začínající v bodě x (místo nuly).
Důkaz: Stačí dokázat, že Pt (x, y) řeší rovnici vedení tepla (*) pro každé
y. To, že konvoluce s počáteční podmínkou (tedy vlastně lineární kombinace
těchto řešení) je také řešení pak plyne derivováním integrálu podle parametru.
Máme
∂
∂t
(Pt (x, y)) =
1
√
2π
−
1
2
(t)−3
2 e−
(x−y)2
2t +
1
√
2πt
e−
(x−y)2
2t t−2
−
(x − y)2
2
∂
∂x
(Pt (x, y)) =
1
√
2πt
e−
(x−y)2
2t −
x − y
t
∂2
∂x2
(Pt (x, y)) =
1
√
2πt
e−
(x−y)2
2t −
x − y
t
2
+
1
√
2πt
e−
(x−y)2
2t −
1
t
Tedy
∂2
∂x2
(Pt (x, y)) = 2
∂
∂t
(Pt (x, y))
Splnění počáteční podmínky plyne okamžitě z definice funkce u.
11.3 Feynman-Kacova formule
Uvažujme parciální diferenciální rovnici:
84
∂f
∂t
+ µ (x, t)
∂f
∂x
+
1
2
σ2
(x, t)
∂2
f
∂x2
= 0
(tzv. zpětná Kolmogorova rovnice). s koncovou podmínkou
f (x, T) = ψ (x) ,
kde µ, σ, ψ jsou dané funkce a T je pevně daný čas, T > 0.
Pro µ ≡ 0 a σ2
≡ 1 dostaneme
∂f
∂t
= −
1
2
∂2
f
∂x2
tedy zpětnou rovnici vedení tepla.
Věta 11.3.1. (Feynman-Kac): Řešení je dáno očekáváním
f (x, t) = E (ψ (XT ) | Xt = x) ,
kde X je Itôův proces daný rovnicí
dX = µ (X, t) dt + σ (X, t) dW.
Důkaz: Nechť f je řešení parciální diferenciální rovnice. Použijeme Itôovo
lemma na funkci f (x, t) a podkladový proces X. Dostaneme
df (X, t) = µ (X, t)
∂f
∂x
+
∂f
∂t
+
1
2
σ2
(X, t)
∂2
f
∂x2
dt + σ (X, t)
∂f
∂x
dW,
kde
µ (X, t)
∂f
∂x
+
∂f
∂t
+
1
2
σ2
(X, t)
∂2
f
∂x2
= 0,
neboť f řeší parciální diferenciální rovnici. Dále integrováním dostaneme
T
t
df = f (XT , T) − f (Xt, t) =
T
t
σ (X, t)
∂f
∂x
dW.
Vezmeme očekávání (za podmínky Xt = x). Víme, že
85
E
T
t
σ (X, t)
∂f
∂x
dW = 0
(základní vlastnost Itôova integrálu) Tedy ze vztahu
E (f (XT , T) − f (Xt, t)) = 0
máme
f (x, t) = E [f (Xt, t) | Xt = x] = E [f (XT , T) | Xt = x] = E [ψ (XT ) | Xt = x] ,
což jsme chtěli dokázat.
86
Kapitola 12
Pravděpodobnostní rozdělení se
silnými chvosty
V této kapitole se budeme věnovat distribucím se silnými chvosty. V BlackScholesově
modelu je předpoklad normality rozdělení zdůvodněn zejména
centrální limitní větou.
Připomeňme, že Black-Scholesův model má tři základní předpoklady:
• lognormální rozdělení cen podkladového aktiva
• spojitost trajektorií cen aktiva
• nezávislost přírůstků cen za disjunktní časové intervaly
Na druhé straně, empirické výsledky ukazují odchylky od těchto předpokladů:
• silné chvosty pravděpodobnostních rozdělení
• skoky v cenách aktiv (při příchodu důležité informace, při přerušení
obchodování, ...)
• krátkodobé korelace v pohybech cen (do cca 30 minut)
12.1 Charakterizace chvostů distribucí
Jedním ze způsobů jak kvantitativně sílu chvostu charakterizovat je pomocí
existence nebo neexistence momentů. Připomeňme, že k-tý obecný moment
87
je definován jako
mk =
R
xk
f(x)dx, (12.1)
kde f(x) je hustota příslušné náhodné veličiny. Pokud mk existuje, tedy integrál
je konečný, pak musí platit
f(x) <
1
|x|n+1
(12.2)
pro |x| → ∞.
Pravděpodobnostní rozdělení se řídí tzv. mocninným zákonem, jestliže
platí
f(x) ≈
A±
|x|n+1
(12.3)
pro |x| → ∞ (tedy limita podílu obou stran je rovna jedné). V tom případě
je zřejmě pro k ≥ n
mk = ∞. (12.4)
Speciálně pro n ≤ 2 distribuce nemá konečný rozptyl. Zřejmě musí vždy být
n > 0, jinak by integrál z f(x) divergoval.
12.2 Charakterizace pomocí funkce přežití
Připomeňme, že funkce přežití SX(x) náhodné veličiny X je definována jako
pravděpodobnost, že X je větší než x, tedy
SX(x) = P(X > x) = 1 − FX(x).
Pro relativní míru síly chvostu, řekneme že X1 má lehčí chvost než X2
pokud podíl funkcí přežití X1 a X2 diverguje do nekonečna, tedy
lim
x→∞
SX1
SX2
= ∞.
Pomocí L’Hospitalova pravidla můžeme vypočet limity redukovat na vztah
pro hustoty náhodné veličiny,
lim
x→∞
SX1
SX2
= lim
x→∞
SX1
SX2
=
88
= lim
x→∞
−fX1
−fX2
.
12.3 Charakterizace pomocí funkce rizika
Připomeňme, že funkce rizika (hazard rate function) hX(x) náhodné veličiny
X je definována jako podíl hustoty a funkce přežití, tedy
hX(x) =
f(x)
S(x)
.
Chování funkce rizika také úzce souvisí s chováním chvostů pravděpodobnostního
rozdělení. Je-li funkce rizika pravděpodobnostního rozdělení rostoucí,
má rozdělení lehké chvosty. Je-li klesající, pak má těžké chvosty.
Obecně samozřejmě nemusí být ani rostoucí ani klesající, ale pro standardní
rozdělení používaná v praxi tomu tak bude.
Hraničním případem je exponenciální rozdělení, pro které je funkce rizika
konstantní.
Příklad 12.3.1. Jako příklad uveďme Paretovo rozdělení s parametry a, b,
tedy s hustotou
f(x) = aba
(x + b)−a−1
.
Funkce přežití je rovna
S(x) = ba
(x + b)−a
.
Celkem tedy
h(x) =
aba
(x + b)−a−1
ba(x + b)−a
=
a
x + b
,
což je zřejmě klesající funkce. Toto rozdělení má tedy těžké chvosty.
Analogicky je možné charakterizovat chování chvostů pomocí funkce očekávané
ztráty. Ta je definovaná vztahem
eX(y) = E(X − y|X > y).
Pokud je tato funkce klesající, má rozdělení těžký chvost, pokud je rostoucí,
má lehký chvost.
89
12.4 Stabilní distribuce
Lévyho rozdělení je speciální případ mocninného zákona, které má navíc
vlastnost stability. Objevuje se proto v obecné verzi centrální limitní věty.
Používají se při popisu “víceúrovňových jevů“, jako je velikost příjmu, amplituda
zemětřesení, atd.
Označme Lµ(x) hustotu Lévyho rozdělení s parametrem µ, kde µ ∈ [1, 2].
Platí
Lµ(x) ≈
Aµ
±
|x|µ+1
, (12.5)
kde Aµ
± jsou konstanty popisující přesnou sílu pravého a levého chvostu. Pokud
platí
Aµ
+ = Aµ
−, (12.6)
pak mluvíme o symetrickém Lévyho rozdělení. Obecné Lévyho rozdělení pak
charakterizuje ještě parametr asymetrie
β =
Aµ
+ − Aµ
−
Aµ
+ + Aµ
−
. (12.7)
S výjimkou případu krajních hodnot a µ = 3
2
neexistuje pro hustotu analytické
vyjádření. Jednoduchý popis ale existuje pro charakteristickou funkci.
Pro krajní hodnoty parametru dostaneme nejdříve pro µ = 1 Cauchyho
rozdělení s hustotou
L1(x) =
A
x2 + π2A2
. (12.8)
Pro charakteristickou funkci máme obecně následující popis,
ˆLµ(ξ) = exp(−aµ|ξ|µ
), (12.9)
kde aµ je konstanta úměrná konstantě Aµ. V limitě pro µ = 2 dostaneme
Gaussovo rozdělení, pro které
ˆL2(ξ) = exp(−cξ2
). (12.10)
Pokud součet n náhodných veličin se stejným rozdělením má opět totéž
rozdělení, pak mluvíme o stabilní distribuci. Tato vlastnost je velmi silná a
90
vzácná. Stabilními distribucemi jsou právě Lévyho distribuce (včetně limitního
případu Gaussovy distribuce).
Lévyho distribuce má také vlastnost nekonečné dělitelnosti, jak uvidíme
dále.
91
Kapitola 13
Lévyho procesy
13.1 Limitní rozdělení
V obecné verzi centrální limitní věty, bez předpokladu konečnosti rozptylu,
hrají stabilní distribuce zcela analogickou roli jako Gaussovo rozdělení hraje
v klasickém případě.
Stabilní distribuce, tedy Lévyho a Gaussova (jako limitní případ), jsou z
definice pevnými body konvoluce. Pro jejich hustoty tedy platí, symbolicky
zapsáno,
f f = f. (13.1)
Navíc ale také fungují jako ”atraktory” pro konvoluci. Libovolná distribuce
při velkém počtu nezávislých sčítanců s tímto rozdělením konverguje ke stabilnímu
rozdělení. To je obsah Centrální limitní věty.
Pro IID náhodné veličiny s konečným rozptylem platí standardní Centrální
limitní věta, limitní distribucí je Gaussovo rozdělení.
Věta 13.1.1. Nechť Xi, i = 1, 2, . . . , je posloupnost nezávislých stejně rozdělených
náhodných veličin s hustotou pravděpodobnosti f, kde ˆf ∈ C2
(R).
Nechť E(Xi) = 0 a E(X2
i ) = 1. Pak hustota pravděpodobnosti
X1 + · · · + Xn
√
n
se blíží k hustotě standardizovaného normálního rozdělení, t.j.
Pr{a ≤
X1 + · · · + Xn
√
n
≤ b} →
1
√
2π
b
a
e−x2
2 dx
92
pro n → ∞.
Důležité při aplikaci této věty je mít na paměti, že chvosty součtu se
mohou velmi lišit od chvostů normálního rozdělení. CLV dává aproximaci
v centrální oblasti, o chování chvostů neříká nic. Chvosty konečného součtu
jsou kvalitativně stále stejné jako pro jednotlivé sčítance.
Poznamenejme, že tato verze CLV platí v daleko větší obecnosti. Na místo
nezávislosti stačí předpokládat že korelace Xi a Xj klesají dostatečně rychle
pro |i − j| → ∞ . Podobně lze oslabit i předpoklad stejného rozdělení. Stačí,
aby rozptyly jednotlivých Xi si byly ”dostatečně podobné”.
S vlastností atraktoru pro operaci konvoluce normálního rozdělení souvisí
další významná vlastnost normálního rozdělení. Mezi všemi distribucemi s
daným konečným rozptylem má normální rozdělení nejmenší Shannonovu
informační entropii. Ta měří informační obsah daného pravděpodobnostního
rozdělení, největší je pro konstantní náhodnou veličinu, kdy hodnotu známe
s jistotou. Shannonova informační entropie je definována jako
I(f) = − f(x) ln f(x)dx. (13.2)
Minimalizace entropie těsně souvisí s tím že při sčítání náhodných veličin
ztrácíme informaci. Z hodnoty součtu nemůžeme zjistit téměř nic o hodnotách
jednotlivých sčítanců
Pokud uvažujeme posloupnost IID náhodných veličin s mocninným zákonem
s parametrem µ < 2, tedy s nekonečným rozptylem, pak limitní distribuce je
Lévyho distribuce.
13.2 Lévyho procesy
V této kapitole se budeme zabývat širokou třídou procesů, které poskytují
přirozené zobecnění Wienerova procesu. Jejich hlavní výhodou je fakt že dovolují
do pravděpodobnostního popisu vývoje cen aktiv zahrnout skoky a
také rozdělení se silnými chvosty. Obě tyto vlastnosti jsou klíčové pro věrohodnost
modelu.
93
Definice 13.2.1. Adaptovaný stochastický proces X se nazývá Lévyho proces,
jestliže platí:
1. X0 = 0
2. X má přírůstky nezávislé na minulosti, tedy Xt − Xs je nezávislé na
hodnotách procesu do času s
3. X má stacionární přírůstky, tedy Xt−Xs má stejné rozdělení jako Xt−s.
4. X je stochasticky spojitý, tedy pro každé a t ≥ 0 platí
lim
h→0
P(|Xt+h − Xt| ≥ ) = 0 (13.3)
Věta 13.2.2. Nechť X je Lévyho proces. Pak existuje jednoznačně určená
funkce ψ tak, že
φXt (ξ) = etψ(ξ)
(13.4)
Funkce z předchozí věty se nazývá Lévyho exponent.
Definice 13.2.3. X je nekonečně dělitelná náhodná veličina, jestliže pro
každé N existují stejně rozdělené nezávislé náhodné veličiny X1, . . . , XN tak,
že
X = X1 + X2 + · · · + XN .
S využitím charakteristické funkce můžeme otázku dělitelnosti převést na
problém kdy je (ψX)
1
N charakteristická funkce nějakého pravděpodobnostního
rozdělení.
Věta 13.2.4. Nechť X je Lévyho proces. Pak Xt je nekonečně dělitelné pro
každé t a platí
φXt (ξ) = (φX t
n
(ξ))n
(13.5)
Příklad 13.2.5. V případě Wienerova procesu je Lévyho exponent zřejmě
roven
φXt (ξ) = e−t( ξ2
2
)
(13.6)
tedy
ψ(ξ) = −
ξ2
2
(13.7)
94
Pro Wienerův proces s driftem a a volatilitou b dostaneme
ψ(ξ) = −iaξ −
b2
ξ2
2
(13.8)
95
13.3 Příklady
Příklad 13.3.1. Vypočtěte šikmost a špičatost stejnoměrného rozdělení na
intervalu (0, 1).
Příklad 13.3.2. Odvoďte horní odhad na hodnotu špičatosti pro libovolné
pravděpodobnostní rozdělení.
Příklad 13.3.3. S využitím předchozích dvou úloh dokažte, že stejnoměrného
rozdělení na intervalu (0, 1) není dělitelné.
Příklad 13.3.4. Ukažte, že normální rozdělení je nekonečně dělitelné.
Příklad 13.3.5. Vypočtěte Shannonovu entropii normálního rozdělení a exponenciálního
rozdělení (v obou případech s rozptylem rovným jedné). Porovnejte
oba výsledky.
Příklad 13.3.6. Dokažte, že standardizované normální rozdělení minimalizuje
Shannonovu entropii mezi všemi rozděleními s jednotkovým rozptylem
a hladkou hustotou.
96
Kapitola 14
Bariérové opce
Nejjednodušší typ opce, kde výplata závisí na celém vývoji ceny akcie, nikoliv
jenom na ceně akcie v době realizace je bariérová opce.
Máme čtyři základní typy bariérových opcí:
• up and in ... opce je bezcenná, pokud hodnota akcie v čase [0, T]
nepřekročí hodnotu A.
• down and in ... opce je bezcenná, pokud hodnota akcie v čase [0, T]
neklesne pod hodnotu a.
• up and out ... opce je bezcenná, pokud hodnota akcie v čase [0, T]
překročí hodnotu A.
• down and out ... opce je bezcenná, pokud hodnota akcie v čase [0, T]
klesne pod hodnotu a.
14.1 Binární bariérové opce
Uvažujme pro konkrétnost opci typu up and in.
Výplatní funkce nabývá pouze dvou hodnot.
VT = 1 max
t∈[0, T]
St ≥ A =
1 pokud maxt∈[0, T] St ≥ A
0 jinak.
Převedením na Wienerův proces bez driftu (pomocí Cameron-Martinovy
věty) a použitím principu reflexe, vypočteme pravděpodobnost, že max W (t) ≥
A, kde A je aktivující bariéra, St je cena akcie v čase t.
97
Předpoklady jsou jako u Black-Scholesova modelu pro evropskou call opci
s konstantní úrokovou mírou. Máme dvě aktiva, bezrizikový dluhopis, jehož
cena v čase t je Bt a rizikovou akcii, jejíž cena v čase t je St a cena v čase 0
je S0, což je známá hodnota.
Dluhopis má konstantní úrokovou míru r, tedy
dBt
dt
= rBt ⇒ Bt = B0ert
.
Při odvozování Black-Scholesova vzorce jsme dokázali že
St = S0 exp r −
σ2
2
t + σW (t)
vůči risk-neutrální míře P.
Pro jednoduchost předpokládejme, že S0 = 1 a σ = 1. Toho lze docílit
vhodnou volbou jednotek času a peněz. Tedy
St = exp r −
1
2
t + W (t) .
Hodnota opce v čase t = 0 je rovna diskontované očekávané hodnotě v čase
T vůči míře P, tedy
V0 = e−rt
EP (Vt) = e−rt
[0P (max0≤t≤T St < A) + 1P (max0≤t≤T St ≥ A)] =
= e−rt
P max0≤t≤T exp r −
1
2
t + W (t) ≥ A =
= e−rt
P max0≤t≤T r −
1
2
t + W (t) ≥ α ,
kde α = ln A. Označme
W (t) = r −
1
2
t + W (t) = γt + W (t)
Wienerův proces s driftem, kde γ = r − 1
2
. Pomocí Cameron-Martinovy věty
najdeme pravděpodobnostní míru Q, vůči níž je W (t) standardní Wienerův
proces. Podle Cameron-Martinovy věty máme pro Q:
dP
dQ
= exp γW (T) +
1
2
γ2
T .
Vůči Q je W standardní Wienerův proces, tedy W vůči Q se chová stejně
jako W vůči P. Odtud dostáváme:
98
V0 = e−rt
P (max0≤t≤T [γt + W (t)] ≥ α) =
= e−rt
EP 1 0 ≤ t ≤ TmaxW (t) ≥ α =
= e−rt
EQ exp γW (T) +
1
2
γ2
T 1 max0≤t≤T W (t) ≥ α =
= e−rt
EQ exp γ W (T) − γT +
1
2
γ2
T 1 max0≤t≤T W (t) ≥ α =
= e−rt
e−1
2
γ2T
EQ exp γW (T) 1 0 ≤ t ≤ Tmax W (t) ≥ α =
= e−rt
e−1
2
γ2T
EP [exp (γW (T)) 1 {max0≤t≤T W (t) ≥ α}] .
Očekávání obsahuje pouze funkci standardního Wienerova procesu, můžeme
tedy sestavit integrál popisující toto očekávání. Je-li max0≤t≤T W (t) < α, je
očekávání nulové.
Zaměřme se tedy pouze na případ
max0≤t≤T W (t) ≥ α.
Je-li W (T) ≥ α, pak
max0≤t≤T W (t) ≥ α
s jistotou. Pravděpodobnostní rozdělení W (T) je N (0, T), a tedy očekávání
v tomto případě je rovno (substituce y = x − α, x = y + α, dx = dy)
1
√
2πT
∞
α
eγx
e− x2
2T dx ==
1
√
2πT
∞
0
eγ(y+α)
e−
(y+α)2
2T dy =
=
1
√
2πT
eγα ∞
0
eγy
e−
(y+α)2
2T dy.
Ve druhém případě, pokud W (t) < α, víme z principu reflexe, že pokud
max0≤t≤T W (t) ≥ α,
pak W (T) má symetrické rozdělení okolo α. Tedy, je-li p (x) hustota W (T),
pak platí
p (x) = p (2α − x)
99
pro každé x. Tedy pokud W (t) < α, má eγW(T)
očekávání (substituce y =
x − α, x = y + α, dx = dy)
1
√
2πT
α
−∞
eγx
e−
(2α−x)2
2T dx =
1
√
2πT
0
−∞
eγ(y+α)
e−
(−y+α)2
2T dy =
=
1
√
2πT
eγα 0
−∞
eγy
e−
(−y+α)2
2T dy =
1
√
2πT
eγα ∞
0
e−γz
e−
(z+α)2
2T dz.
Celkem tedy máme:
EP eγW(T)
1 {max0≤t≤T W (t) ≥ α} =
=
1
√
2πT
eγα
e−γx
+ eγx
e−
(x+α)2
2T dx.
Doplněním na čtverec dostaneme:
1
√
2πT
eγα ∞
0
e−γx
+ eγx
e−
(x+α)2
2T dx =
= eγα
e
γ2T
2 eγα
φ
−γT − α
√
T
+ e−γα
φ
γT − α
√
T
,
kde φ je distribuční funkce standardního normálního rozdělení N (0, 1). Dále,
1
√
2πT
eγα ∞
0
e−γx
+ eγx
e−
(x+α)2
2T dx
Nejprve doplníme na čtverec exponent prvního integrálu po roznásobení:
−γx −
(x + α)2
2T
=
−2Tγx − (x2
+ 2xα + α2
)
2T
=
= −
x2
+ (2α + 2Tγ) x + α2
2T
= −
(x + α + Tγ)2
− 2αTγ − Tγ2
2T
Dostáváme tedy
1
√
2πT
eγα ∞
0
e−
(x+α+T γ)2
2T eαγ
e
T γ2
2 dx =
1
√
2πT
e2γα
e
T γ2
2
∞
0
e−
(x+α+T γ)2
2T dx =
= e2γα
e
T γ2
2 P (Z1 ≥ 0) ,
kde Z1 ∼ N (−α − Tγ; T). Dále,
100
P (Z1 ≥ 0) = P
Z1 + α + Tγ
√
T
≥
α + Tγ
√
T
=
1 − φ
α + Tγ
√
T
= φ
−α − Tγ
√
T
Celkem
e2γα
e
T γ2
2 φ
−α − Tγ
√
T
.
Analogicky postupujeme pro druhý integrál. Nejprve doplníme na čtverec
exponent druhého integrálu:
γx −
(x + α)2
2T
=
2Tγx − (x2
+ 2xα + α2
)
2T
=
= −
x2
+ (2α − 2Tγ) x + α2
2T
= −
(x + α − Tγ)2
+ 2αTγ − Tγ2
2T
.
Dostáváme tedy
1
√
2πT
eγα ∞
0
e−
(x+α−T γ)2
2T e−αγ
e
T γ2
2 dx =
=
1
√
2πT
e
T γ2
2
∞
0
e−
(x+α−T γ)2
2T dx = e
T γ2
2 P (Z2 ≥ 0) ,
kde Z2 ∼ N (−α + Tγ; T). Dále,
P (Z2 ≥ 0) = P
Z2 + α − Tγ
√
T
≥
α − Tγ
√
T
=
1 − φ
α − Tγ
√
T
= φ
−α + Tγ
√
T
Celkem dostaneme
e
T γ2
2 φ
Tγ − α
√
T
.
Tedy
e
T γ2
2 e2γα
φ
−α − Tγ
√
T
+ φ
Tγ − α
√
T
=
e
T γ2
2 eαγ
eγα
φ
−α − Tγ
√
T
+ e−γα
φ
Tγ − α
√
T
101
Tedy hodnota opce v čase t = 0 je rovna
V0 = e−rt
P (max0≤t≤T St ≥ A) = e−rt
eγα
eγα
φ
−γT − α
√
T
+ e−γα
φ
γT − α
√
T
.
102
Literatura
[1] Grimmett G., Stirzaker D.: Probability and Random Processes, Oxford
University Press 2001
[2] Ross S.: Stochastic Processes, Wiley 1996
[3] Strauss, W.: Partial Differential Equations, Wiley 1992
[4] Körner T.: Fourier Analysis, Oxford University Press 2004
[5] Hull J. C.: Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall 2012
[6] Melicherčík I., Olšarová L., Úradníček V.: Kapitoly z finančnej matematiky,
EPOS Bratislava 2005
[7] Bouchaud P., Potters, M.: Theory of Financial Risk and Derivative Pricing:
From Statistical Physics to Risk Management, Cambridge University
Press 2003
[8] Willmott P., Howison S., Dewynne, J.: The Mathematics of Financial
derivatives, A Student Introduction, Cambridge University Press 1996
[9] Klugman S., Panjer H., Willmot G.: Loss Models: From Data to Decisions,
Wiley 2006
[10] Ševčovič D., Stehlíková B., Mikula K.: Analytické a numerické metódy
oceňovania finančných derivátov, Slovenská technická univerzita 2009
[11] Etheridge A.: A Course in Financial Calculus, Cambridge University
Press 2002
103
[12] Baxter M., Rennie A.: Financial Calculus: An Introduction to Derivative
Pricing, Cambridge University Press 1996
[13] Wilmott P.: Paul Wilmott on Quantitative Finance, 3 Volume Set, Wiley
2006
[14] Wilmott P.: Frequently Asked Questions in Quantitative Finance, Wiley
2007
104