Matematické modely lidského života Značení: Tx náhodná veličina udávající délku života nějaké osoby od věku x. F x {t) distribuční funkce této náhodné veličiny. tPx — Sx(t) — 1 - Fx(t) funkce přežití. F (t} fix := lim -J£^L, intenzita úmrtnosti, (pravostranná derivace funkce Fx(t) proměnné t v nule; za předpokladu, že F (x) je třídy C1 na (0, oo), je tedy \ix — lim fx (t)) Vztahy pro intenzitu úmrtnosti Snadno odvodíme = fo (x) S0(x)' d líx = -—ln(50W), dx Sx(t) = e-Jo^+*ds. Diskrétní Markovovy řetězce. Příklad. Uvažujme následující situaci: Roztržitý profesor s sebou nosí deštník, ale s pravděpodobností 1/2 jej zapomene tam, odkud odchází. Ráno odchází do práce. Po práci chodí na večeři do oblíbené restaurace a po té odchází domů. Uvažujme pro jednoduchost, že nikam jinam po dostatečně dlouhou dobu profesor nechodí a že v restauraci zůstává deštník na profesorově oblíbeném místě, odkud si ho může následující den vzít (pokud nezapomene). Uvažte tuto situaci jako Markovův proces a napište jeho matici. Jaká je pravděpodobnost, že se po mnoha dnech po ránu deštník bude nalézat v restauraci? (Je vhodné za časovou jednotku vzít jeden den - od rána do rána.) Řešení. Matice daného procesu je normovaný vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě 1 je (1/2, 1/4, 1 /4), hledaná pravděpodobnost jel/4. □ Spojité Markovovy řetězce. Lidský život lze uvažovat jako spojitý Markovův proces (stavů procesu může být více, v základním modelu pouze dva: život a smrt, stavů lze uvažovat více: nemoc, trvalá invalidita, bezdomovectví, smrt různými způsoby). Proces je popsán intenzitami přechodu mezi jednotlivými stavy. Základní model, daný stavy život a smrt, umožňuje pouze přechod ze stavu život do stavu smrt, intenzita přechodu je dána intenzitou úmrtnosti. V následujícím textu budeme používat indexů /, j, k, l, které jsou z množiny {0, 1, ... n}. Pro Markovův proces s n stavy 0, 1, ..., n definujeme tpx jako pravděpobnost, že proces (život), který je v čase x ve stavu /, bude v čase x +1 ve stavu j. Dále pak definujeme pravděpodobnost tp" jako pravděpodobnost, že život, který je v čase x ve stavu i stav i do času / + t (včetně) neopustí. Dále pak definujeme ii ,. hPx ixí = hm 2—, a^0+ h 0 < i ^ j < n, intenzitu přechodu mezi stavy i a j v čase x. V dalším je ukázáno, že pomocí hodnot fix, kde í ^ j je kompletně zadán daný Markovův proces, tj. všechny pravděpodobnosti tpx . Více budeme pracovat se speciálními modely, a to dvoustavový (život, smrt - jedná se o model života uvedený výše), třístavový (život - 0, trvalá invalidita - 1, smrt - 2; podmínka trvalé invalidity říká, že tpx° — 0). Pro tyto modely jsou odvozeny explicitní vztahy pro tpx . 1 Obecně nám k určení tpx slouží Kolmogorovovy (dopředně) rovnice: — nij - V ( nikukj - nijujk \ ^ tPx — /—i \t"x t^x+t tPx ^x+t J ■ Nyní se budeme snažit aplikovat daný model pro určení ceny pojistného. Současná cena pojistky, renty Předcházející modely života nám umožňují stanovit pojistnou politiku (výše pojistného, pojistky, cenu pojistné smlouvy ...) Nechť r je roční úroková míra. a* současná hodnota renty vyplácené kontinuálně, rychlostí 1 peněžní jednotka za rok. Příklad. Určete současnou cenu pojistky 200 000 Kč na havarijní úraz, který může nastat na tříměsíční cestě. Pojistka je splatná vždy ke konci měsíce, kdy událost nastala. Intenzita nastání události je dána vztahem p,x — 7^5, kde x je doba cesty v měsících. Předpokládáme úročení 10% měsíčně. Řešení. Pravděpodobnost, že nenastane událost v době t je rovna (v aktuárské notaci je to funkce přežití tpx — 5,(0 = l-Fx(t)) e~fó lhds = e-(ln('+2)-ln2) = J_ t + 2 Pravděpodobnosti nastání události po řadě v prvním, druhém a třetím měsíci cesty jsou 1 — 2/3 — 1/3, 2/4 — 1/3 — 1/6, 3/5 — 2/4 — 1/10. Vzhledem k měsíčnímu úročení 10% je pak současná cena pojistky 1 Kč rovna 10 1 /10\2 1 /10\3 1 ---+ í —) ■- + ( — ) - — =0,516, 11 3 Vil/ 6 Vil/ 10 tedy pojistka na 200000 Kč má hodnotu cca 103181 Kč. Pozn.: při okamžité výplatě pojistky by byla její hodnota ŕ no\' 2 1 200000 • / —----dt = 108 853 Kč. Jo Vil/ t + 2 t+2 □ Thieleho diferenciálí rovnice Hodnota pojistné smlouvy (jako předmětu prodeje, např. mezi různými pojišf ovnami) se mění v čase (v závislosti na délce jejího trvání a na tom, v jakém stavu se nachází pojištěný). Hodnotu má smysl zkoumat pro více než dvoustavové modely (dvoustavový model - život, smrt). Označíme-li hodnotu smlouvy v čase t od jejího uzavření, přičemž pojištěný je ve stavu (/), jako tV^, pak pro ni můžeme odvodit diferenciální rovnici l(v<'> = aí(v<'>-flí'>- £ {sF + tv(i) - tv(i)), kde Bt{i) je rychlost platby benefitů (např. renta), s[1^ je rychlost kontinuální platby pojistné částky, splatné při přechhodu ze stavu / do stavu j. Numerické řešení diferenciálních rovnic Jak Thieleho a Kolmogorovovy rovnice tvoří soustavu diferenciálních rovnic. Můžeme je řešit numericky. Jednou z metod je Eulerova metoda. Uvažme diferenciální rovnici y' — f(y), počáteční podmínkou y(0) — yo pro reálnou funkci y(t) reálné proměnné t. Můžeme totiž psát psát y(t + h) = y(t) + hy'(t) + o(h), 2 kde lim — O (viz Taylorův rozvoj), a pro „malá" h je odhad y(t + h) = y(t) + hy'(t) = y(t) + hf(y(t)). relativně přesný. Na tomto odhadu pak spočívá Eulerova metoda hledání řešení (funkce y) dané diferenciální rovnice. Funkci y počítáme totiž postupně, se zvoleným krokem h (čím menší h, tím přesnější, ale delší, výpočet). Hodnota funkce y v bodě 0 je dána: y(0) — y^. Pomocí odhadu můžeme postupně spočítat hodnoty funkce y v bodech nh, n e N. Jedním z možných vylepšení této metody je používání odhadu h y(t + h) = y(t) + hy'(t + -), kde přírůstek funkce y na intervalu [t, t + h] odhadneme hodnotou hy'(t + |) — hf(y(t + |)), y (t + |) pak stejným způsobem jako výše odhadneme pomocí y(t) + |y '(t) — y(t) + jf(y(t)). Celkem dostáváme y(t + h) = y(t) + hf (y(t) + ^f(y(t))\. Příklad. Je dán model mladého života se třemi stavy: 0: zdravý jedinec, 1: nemocný jedinec, 2: mrtvý jedinec. Intenzity přechodu mezi jednotlivými stavy jsou tyto: fi01(x) — j^ô, jjl02(x) — x^_2o' ^10(x) — x+20' Z-4,12^) ~ x+20' Pomocí numerického řešení Kolmogorovových dopředných rovnic (s krokem 1 měsíc) určete Ap\2-Řešení. Pro tp12 zní Kolmogorovova rovnice: dt tľx l^x+t ^ tľx l^x+t tľx l^x+t tľx l^x+ť protože [i20+t — [J>21+t — 0 dostáváme pro x — 0 vztah ^ = ^V12(o + ř^Vo2(o. ,10 _ u . „01/ Nyní bychom již přímo mohli numericky počítat pomocí přiblížení t+hpx — h ■ jjl (t + x), ale přesnější je sestavit rovnice i pro tp1^ a tp^: □ 3 Parciální diferenciální rovnice Zkoumané otázky: 1. Existence řešení. 2. Jednoznačnost. 3. Stabilita. V případě exitence jediného řešení, které je stabilní (spojitě závisí na vstupních datech) mluvíme o Dobře formulované úloze. Homogenní lineární rovnice l.řádu Buď Q C Rn souvislá otevřená s hranicí danou hladkými funkcemi. Uvažme rovnici du EU u f i-— 0, u — uv na ploše F dx- (1) na Í2, kde gi : Rn -> R, i — 1,... n a u : Rn -> R třídy C1 na Í2 (mají na Í2 spojité všechny parciální derivace) a T je dána funkcemi y\, ... ,yn e C1 (D), (D C M"_1, otevřená) a ň h 3 y\ 3ľ2 3«i 3«i 3 y\ _ 3ľ2 fn 3«i 3y« 3s»-i Pak existuje jediné řešení dané úlohy na nějakém okolí plochy T. Řešení metodou charakteristik Rovnice (1) se snažíme převést na řešení obyčejné diferenciální rovnice. Najdeme křivky, charakteristiky, podél kterých bude řešení dané rovnice konstantní a to křivky dané systém obyčejných diferenciálních rovnic *í = fi x2 = h fn Příklad. Určete obecné řešení rovnice xux — yuy — 0, pro funkci u : R2 —>• R. Řešení. Nejpve sestavíme charakteristický systém: x' — x, y' — —y, tedy yx' + xy' — 0, neboli — + — — 0 a tak lnx + lny — K (rozmysli i pro nekladná x, y). To je možné přepsat x y jako xy — C. Charakteristické krivky jsou tedy hyperboly xy — C. Obecne reseni pak tvaru u(x, y) — F(xy), kde F : R —>• R je libovolná reálná funkce. □ Kvazilineární a nehomgenní lineární rovnice l.řádu Řešíme převedením na homogenní lineární rovnici v prostoru vyšší dimenze: 4 Uvažme rovnici n ^2fi(x\, ...,xn,u) = c(xu ...,xn, u), i=\ kde u : W -> R je hledaná reálná funkce n proměnných. Sestavme rovnici pro funkci v : M"+1 -> M, která určuje funkci u implicitně vztahem v(x\,..., xn, u(x\,..., x„)) — 0. Pro libovolné / , / — 1,... n, derivováním tohoto vztahu dostáváme dv dv du dxi dz dxi a úpravou původní rovnice E" dv dv fi!T + c-x-= ° i=1 OXi ÓXn+l Cauchova úloha, věta Cauchyho-Kowalevské. Diferenciální rovnice druhého řádu Klasifikace: hyperbolické, eliptické a parabolické rovnice. O povaze řešení parciální diferenciální rovnice (pro funkci na W) rozhodují členy nej vyššího stupně. Koeficienty u těchto členů zadávají kvadratickou formu na W a podle její definitnosti pak hovoříme o parabolické diferenciální rovnici (pozitivně či negativně semidefinitní), hyperbolické (idefinitní) či eliptické (pozitivně či negativně definitní). Rovnici daného typu lze převést vhodnou transformací do tzv. kanonického tvaru (ten může pomoci při řešení). Příklad. Klasiňkujte a převed te do kanonického tvaru rovnici -12UXX + UXy + Uyy + UX — 0, kde u : M2 R. 5 Základní pojmy z teorie her Nechť N je množina {1, ... ,n] (hráčů). Hrou G v normální formě nazýváme soubor strategií X i, i — 1, ..., n (pro každého hráče / je Z; množina všech jeho možných postupů ve hře) a funkcí m; : n"=1Z; -> R. Prvek množiny X — n"=1Z;- nazýváme situace (ve hře). Číslo /z 7 — sup e Xi inf (yi,..., x, ... y„) e Xui (y) (e RU — oo, oo X nazýváme dolní hodnotou hry i-tého hráče, číslo hf — inf (yi,..., x, ... y„) e Xsup € X;-m;-(y) (e RU — oo, oo X pak nazýváme horní hodnotou hry i-tého hráče. Hráč ř si pomocí strategie x;- zaručuje inf elU(-oo|. (ll,...,Ii,...,I„)EÍ Strategie x;- se nazývá opatrnou strategií1-tého hráče jestliže si pomocí ní zaručuje svojí dolní hodnotu hry. Situace x — (x\,..., x„) e X se nazývá rovnovážná (podle Nashe), pokud V? e JV, x- e Z;- : w;- (xi, ..., x-, ... x„) < w;- (xi, ... x„), Příklad. Uvažme hru tří hráčů X, Y, Z. Množina strategií je pro každého hráče množina nezáporných reálných čísel. Výplatní funkce je pro každého hráče stejná a je rovna u(x, y, z) — 1 — x2 — y2 — z2 — 6x + 8y + 2z — 26. Naleznete všechny rovnovážné situace této hry. Řešení. Rovnovážná situace nastane v bodech globálního maxima dané funce na množině situací (^J~)3- Funkce má na M3 pouze jeden extrém, maximum v bodě [—3, 4, 1]. Tento bod však není situací hry, nebof x-ová souřadnice není ,povolenou" strategií hráče X. Body [x, 4, 1] však mají tu vlastnost, že zde nastává maximum výplatní funkce jak vůči proměnné y tak z. Kdyby se nám podařilo z nich vybrat takový bod, že na intervalu [O, oo] (povolené strategie hráče X) tam bude mít účelová funkce maximum vůči proměnné x, bude to hledané maximum na množině všech situací. Extrém funkce jedné proměnné na intervalu nastává v jeho koncových bodech, nebo v bodech lokálního maxima uvnitř intervalu. Extrém nastává v bodě 0. Hledané globální maximum je tedy jediný bod (rovnovážná situace) [0, 4, 1]. □ Příklad. Máme šestibokou kostku, na které se s každým hodem mění pravděpodobnost padnutí čísel. Uvádíme vektor pravděpodobností počínaje odšestky: (1/9, 1/9, 1/9, 2/9, 2/9, 2/9), (1/10, 1/10, 1/10, 1/5, 1/5, 3/10), (1/12, 1/12, 1/12, 1/6, 1/4, 1/3). Hrajeme hru na maximálně tři kola. Strategií rozumíme postup, který určí, jestli si padlé číslo v daném kole ponecháme (to bude náš výsledek hry), či budeme pokračovat dalším kolem (ve třetím kole už si musíme ponechat, co nám padne - to je náš výsledek). Hodnotou dané stategie rozumíme střední hodnotu výsledku, kterého při ní můžeme dosáhnout. Jaká je opatrná strategie? Řešení. Úlohu vyřešíme použitím tzv. „zpětné indukce". Hru rozdělíme na několik podher. V posledním koleje výhra střední hodnota náhodné veličiny udávající padlé číslo. Taje 111111 11 — - 6+ — - 5 + — .4+--3 + -- 2+--l=2—. 12 12 12 6 4 3 12 V naší hře tedy si tedy po druhém kole buď ponecháme, co nám padne, nebo budeme hrát hru s danou výhrou 2 . Pokud si tedy ponecháme pouze číslo vyšší než dvě, střední hodnota naší výhry se zvětší. V prvím kole si tedy buď ponecháme padlé číslo, nebo budeme hrát hru s výhrou (střední hodnotou výsledku): 1 1 1 1 (\ 3 \ 11 427 — - 6+ — - 5 + — - 4+ -- 3+- + — -2 — =-= 3,558. 10 10 10 5 \5 10/ 12 120 Honotu očekávané výhry tedy zvětšíme, ponecháme-li si právě číslo větší než tři. Střední hodnota výhry je pak 1 1 1 (2 2 2\ 427 -■6+--5 = -- 4+- + - + ---= 4,03. 9 9 9 1999/ 120 6 Při hře si tedy můžeme zajistit vhodnou strategií výhru 4,03. Jiná strategie než popsaná, by zřejmě znamenala menší hodnotu očekávané výhry. Je tedy opatrnou strategií: v prvním hodu si nechat číslo čtyři a větší (padne-li číslo menší, pokračujeme v házení), ve druhém kole si pak ponechat číslo tři a větší (padne-li menší číslo, pokračujeme v házení). □ Příklad. Uvažujme hru jednoho hráče, ve které sází na výsledek daného tenisového utkání u sázkové kanceláře. Kurz na výhru prvního týmu je a : 1, na výhru druhého pak b : 1. K dispozici má hráč P peněz, strategií je volba poměru k : l, k +1 — 1, k, l > 0, ve kterém rozdělí sázku (P) v daném poměru na výhru prvního, resp. druhého hráče. Výhrou je pak částka akP v případě výhry prvního hráče, částka blP v případě výhry druhého hráče. Jakou podmínku musí splňovat čísla a a b, aby si sázející nemohl zaručit výhru (větší než P)? Řešení. Hráč si při strategii k : l zaručuje min{akP, blP}. Je tedy jeho dolní hodnota hry maxj-;>o,,t+;=i{min{a&P, blP}}. Minimum bude maximální, když se obě položky budou rovnat (s rostoucím k jedna roste, druhá klesá). Tedy akP — b(\ -k)P, tudíž b a odpovídající výhra (dolní hodnota hry) je abP a + b Pokud má být tato menší než P, je to ekvivalentní podmínce ab < 1. □ Příklad. Uvažujte předchozí příklad pro tři sázky s kurzy a : 1, b : 1, c : 1. Řešení. Podmínka na kurzy zní abc < 1. ab + bc + ca □ 7 Reference [F] Jan Franců, Parciální diferenciální rovnice, skripta VUT [DHW] David C.M.Dickson, Mary R. Hardy and Howard R. Waters, second edition, 2013, Cambidge university press [P] Libor Polák, Teorie her, texty ke stejnojmenné přednášce, MUNI 8