GEOMETRICKÝ BROWNOV POHYB BLAHOVSKÝ LUKÁŠ Osnova Geometrický Brownov pohyb Aplikácia GBP v praxi (UniCredit Bank ČR) GEOMETRICKÝ BROWNOV POHYB - TEÓRIA Brownov pohyb predpokladáme znalosť náhodnej prechádzky a Brownovho pohybu ceny aktív sa na finančných trhoch chovajú náhodne a nezávislo na predchádzajúcom vývoji Brownov pohyb - ideálny nástroj opisujúci toto náh. chovanie nevýhoda - môže nadobudnúť aj záporne hodnoty preto sa vo finančných a ekonomických modeloch poúžívajú zväčša jeho modifikácie Geometrický Brownov pohyb modelovanie cien akcií a komodít Nech ∆t je určitý časový úsek, S(t) a S(t +∆t) sú ceny akcií v danom čase (v súčasnom čase t a v budúcom čase t + ∆t), a B(t) je prírastok Brownovho pohybu za čas ∆t. Model pre vývoj cien akcií v diskrétnom čase má tvar: 
 
 
 kde μ a σ sú konštanty. GBP vieme vyjadrit’ aj pomocou tzv. stochastickej diferenciálnej rovnice Položme u = ln S. Z Itôovej lemy dostávame:
 
 Na vyjadrenie du budeme potrebovat’ parciálne derivácie funkcie u
 
 
 Dosadením parciálnych derivácií do du dostávame
 
 
 Zjednodušením dostávame vzťah vyplívajúci z du
 
 Dopracovávame sa k cene S v čase T.
 
 
 
 Teda ln[S(T )/S(0)] má normálne rozdelenie s parametrami
 
 
 
 
 
 
 
 
 aj stredná hodnota, aj rozptyl rastú lineárne v čase. Konečnou úpravou dostávame finálny tvar pre S(T):
 
 
 
 Môžeme vidieť, že vďaka exponenciále, nebudeme nadobúdať záporné hodnoty ako tomu je pri štandardnom Brownovom pohybe. Historický odhad parametrov ∆t = 1/250 Ďalej predpokladáme, že výnosy vi majú normálne rozdelenie. Platí
 
 
 
 Parametre geometrického Brownovho pohybu drift a volatilitu teda odhadujeme pomocouaritmetického priemeru a rozptylu.
 
 
 
 
 
 POUŽITIE V PRAXI UniCredit Bank ČR UniCredit Bank používa geometrický Brownov pohyb pre modelovanie štruktuálnej likvidity. Použitie tohoto modelu je špecifické pre depozitá, ktoré nemajú pevnú splatnost’, ako sú napríklad bežné účty. Ak by tieto depozitá nemodelovali, museli by byt’ vykázane ako Overnight depozitum. Je však jasné, že aj tieto depozitá financujú úvery so splatnosťou vyššou ako je samotný Overnight. Takže potrebujú u týchto depozít vysledovat’ ich stabilitu v banke, respektíve určiť ich potencionálny odliv na určitej hladine pravdepodobnosti. GBP v základnom tvare tri realizácie geometrického Brownovho pohybu GBP použitý v praxi pre kalkuláciu odlivu je použitá rovnica: 
 
 
 T značí počet dní Sigma značí volatilitu Alfa značí hladinu pravdepodobnosti (nepočítajú drift)
 
 
 Výsledný graf ĎAKUJEM ZA POZORNOSŤ Literatúra ROSS, Sheldon M., Stochastic Processes, 2nd ed., California: John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-12062-6. Bakalárska práca, Geometrický Wienerov Proces, Prírodovedecká fakulta MUNI Jiří Houška (Head of Assets and Liabilities Management UniCredit Bank Czech Republic), Likviditní riziko, Prezentácia pre Mendelovu Univerzitu v Brne – december 2011