00 dostáváme výsledek /Q6 x dx = |62. Zopakujte pro případy a) a 7).
46
Určitý integrál
Určitý integrál
47
4.3.4. Poněvadž s(f + g, V) = s(f, V) + s(g, V), dostaneme limitním přechodem tento vztah mezi integrály:
pb pb pb
/ (f{x)+g(x))dx = / /(x)dx + / g(x)dx.
Ja Ja Ja
Z jakého vztahu se limitním přechodem dostane
pb pb
/ af(x) dx — a f(x) dx
Ja Ja
pro každé číslo a ? Dva výše zmíněné vztahy vedou k tomuto závěru:
zobrazení / —> fa f(x) dar je lineárním zobrazením prostoru C((a,b)) do R, kde symbolem C ((a, b)) je označen vektorový prostor funkcí spojitých na intervalu (a, b).
4.3.5. Limitním přechodem také vysvětlíme následující vztah, který platí pro každou funkci spojitou na (a, c), a < c. Je-li b libovolné číslo ležící mezi a a c, je
í f(x)dx= ľ f(x)dx+ ľ f(x)dx.
Ja Ja Jb
4.3.6. Je zatím definován f* f(x) dx pro a < b. Pro b = a je samozřejmě f(x)dx = 0. Zbývá se vypořádat s případem fa f(x) dx, v němž je a > b. Ten se vyřeší tak, že (zatím neznámému) výrazu na levé straně přiřadíme hodnotu, kterou má výraz stojící na pravé straně vztahu
pb pa
/ f(x) dx — - f(x) dx pokud a > b.
Ja Jb
Poněvadž v integrálu na pravé straně je horní mez větší než dolní, víme, co výraz na pravé straně znamená. Zjednodušte tyto součty integrálů
a) /02 f(x) dx + £ f(x) dx + £ f(x) dx, b) /04 /(*) dx + /43 f(x) dx + f° f(x) dx,
c) ^f(x)dx + f1if(x)dx + J^f(x)dx, d) j;1 f(x) dx + £ f(x) dx + J03 f(x) dx.
4.3.7. Z definice určitého integrálu vyplývá, že
pb pb
jakmile /(x) < g{x) pro Vx G (a,b), potom / f(x)dx < / g(x)dx.
J a J a
Speciálně, je-li / spojitá a nezáporná na intervalu (a, b), potom f(x) dx > 0. Dokonce, je-li v jednom
bodě intervalu (a, b) hodnota nezáporné spojité funkce / kladná, je f(x) dx > 0. Jak uspořádáme podle velikosti integrály
I xdx , / smxdx , / — dx ?
Jo Jo Jo TT
4.3.8. Užijte předcházející úlohu a dokažte, že
/ /(x)dx < / |/(x)|dx.
Ja Ja
Najděte příklady funkcí, pro které neplatí rovnost.
Řešení. 4.3.2. Poněvadž J2™=i(xk - x/t-i) = b - a, je pro každou skupinu bodů V možné napsat s(V) = Eľ=i f(Sk)(xk -.xft-i) = c-EH^k - = c(b - a). 4.3.6. a) /03 f(x) dx,
b) Jo f(x) dx = 0, c) J24 f(x) dx, d) /(x) dx + 2 /3 /(x) dx. 4.3.7. Je to klesající posloupnost kladných čísel.
4.3.9. PŘÍKLAD. Substituce v určitém integrálu. Při substituci v určitém integrálu můžeme postulovat takto: v závorce někde uprostřed výpočtu si připravíme přechod od proměnné x k nové proměnné u; přitom také odpovídajícím způsobem změníme meze, například
cos x = u
/*XcoS2xsinxdx = (-SÍÍ^Í =lU= i ) = - í°u2du = í * u2 du = f [u3]' = |
x = f : u = 0
4.3.10. Dokažte použitím substituce, že pro každé k = 1,2,... platí
/ sin xdx = / cos x dx. Jo Jo
4.3.11. PŘÍKLAD. Per partes v určitém integrálu. Také při užití metody per partes v určitém integrálu můžeme hned přecházet k číselným hodnotám; například
/ x e xdx = - x e x] + f Jo 1 Jo Jo
e~x dx = -e 1 -
-X
Jo e e
4.3.12. Dokažte, že pro funkci / spojitou na intervalu (-a, 0), a > 0, je
f f(x)dx = í f(-x)dx.
J-a Jo
4.3.13. Dokažte, že pro funkci / spojitou a lichou na intervalu (-a, a), a > 0, je
f f(x)dx = 0.
4.3.14. Dokažte, že pro funkci / spojitou a sudou na intervalu {—a, a), a > 0, je
/a pa /(x) dx = 2 /(x) dx. -a A)
4.3.15. Spočítejte
a) / (x - x2) dx, Jo
sin2 x dx,
sin x dx,
sin x cos xdx,
d) Tsi Jo
g) /
Jo
j) f xe^dx,
jo
m) í are1-* dar, Jo
p0
P) í *_ dx
J-i (x + 2)3 '
b) T: Jo
e) / e~x dx, Jo
r -i
h) / sin xdx,
Jo
k) J xex dx,
n) J x{ex + e~x) dx,
q) J!(xiwdx>
c) / sin x dx,
J—n
f) / tg x dx, Jo
ľ**
i) / cos3 x dx,
o) /
xex dx,
ln x dx.
^ x2
ítosein. 4.3.10. Použijeme substituce y = \tt - x. 4.3.15. a) \, h) 2, c) 0, d) §7r, e) (e - l)/e, f) 2 ln 2. g) |, h) |, i) |, j) 1, k) (2 - e)/e, 1) 2/e, m) e - 2, n) 0, neboť integrujeme lichou funkci pres interval, který je symetricky umístěn vzhledem k bodu 0, o) 21n2- 1, p) -\, q) ^, r) |.
48
Určitý integrál
Určitý integrál
49
4.3.16. Integrál
Jo
• dx
/q 1 + x2
spočítejte užitím primitivní funkce. Potom předstírejte, že jste primitivní funkci zapomněli, a užijte substituce x = tgw.
4.3.17. Někdy je jednodušší počítat určitý integrál substitucí, při které se meze mění, než nalézt primitivní funkci a integrál vyčíslit jako rozdíl její hodnoty v horní a dolní mezi. Například při výpočtu určitého integrálu, který dává obsah P čtvrtiny kruhu poloměru R, R > 0, můžeme postupovat takto:
/ x — R sin )dv?=Í7i\R2.
Odsud vyplývá, že obsah kruhu je 4P = 7rR2 .
Primitivní funkci dokážeme ovšem také nalézt. Ukážeme to pro případ R = 1. Použijeme integraci per partes a postupně dostáváme
J \A ~ x2 dx — x\/l - x2 + y
\/I — x:
: ÚX
x\/l - x2 + / 1 ,(1 * } dx J V1 - x2
x\/i - x2+y ^ ^2 dx - yVi - x2
dx
První integrál na pravé straně poslední rovnosti známe; máme rovnici, ze které hledanou primitivní funkci vypočítáme. Výsledkem je, pro x e (-1,1),
y \A - z2 dx = | (x\/l - x2 + arcsin x) + c. (*)
a) Použijte tento výsledek a jednoduchou substitucí najděte J \/R2 - x2 dx.
b) Použijte substituci x - sin ip k výpočtu integrálu / x2 \/l - x2 dx.
JO
4.3.18. V těchto úlohách můžeme sice umocnit dvojčlen v integrandu a potom integrovat, lepší však je začít substitucí, po které polynom v integrandu obsahuje menší počet členů; spočítejte
ľ1 ŕ ľA
a) ^ 8x(x2 +1)3 dx, b) y u{u -1)5 du, c) J t(A-t)3dt.
4.3.19. Spočítejte
a) ľ Jo
d) y x
g) y2 x2
j) y x\/25 - x2 dx, k) y**
r1"2 ex " f"f
V25 - x2
In x dx,
ln x dx,
+ y/x
dx,
h)
-'O
e) / xe~xdx,
x arctg x dx,
2x cos 2x dx,
x A —5— dx,
f)
í) f
Jo
f*
1} /
o) /
x2 dx,
x sin x dx,
sin2 x cos3 x dx,
2 arcsmx
dx.
4.3.20. Ukažte, že pro funkci / spojitou na (-00,00) a pro libovolná čísla a, b, c platí:
fb+c fb ľZb fb
a) / f(x)dx= /(x + c)dx, b) / f(x)dx = 3 /(3x)dx,
J a+c Ja J 3a Ja
c) / /(x) dx — h j f (a + hť) dt , kde h je dáno vztahem h = b — a. Ja Jo
4.3.21. Ukažte, že pro funkci /, která má příslušné derivace spojité na (—00,00), a pro libovolnou trojici čísel a, b, h, 0, platí:
a) ľ /'(x) dx = /(&)-/(a), b) ľ f"(x)dx = f'(b)-f'(a),
J a J a
c) y' f (a + ht) dt = /(Q + ^"/(a) , d) yV(3x)dx = i(/(36)-/(3a)).
4.3.22. Ověřte bez jakéhokoliv výpočtu, že každý z těchto integrálů je záporný:
c) / x cos xdx, d) / e x sin x dx.
io Í-Í7T
4.3.23. Dokažte, že pro každé kladné číslo a a každou spojitou a sudou funkci / platí
Potom spočítejte
/s* cosx
dx.
Řešení. 4.3.16. \ix. 4.3.17. a) Substitucí x = Rz přejdeme k R2 J \/l - z2 dz; uplatníme 4.3.17.(*), vrátíme se k původní proměnné x a upravíme; výsledek je
y x/tf2 - x2 dx = i(x\/ii2 -x2 + fi2 arcsin ^) + c,
b) substitucí přejdeme k /05ff sin2 y cos2 dy>; tento integrál je roven \ /0l!r sin2 2y>dv> = ^7r.
4.3.18. a) 15, b) i|,c) ±A5.
4.3.19. a) 1, b) 0, c) 2(2 - ln3), d) 21n2- |, e) f) |tt, g) |(241n2 - 7), h) í(tt - 2), i) tt2 - 4, j) f, k) -1,1) 2*1, m) f ln f, n) ijiVS - ln 2, o) Í71V6 + 2^-4. 4.3.23. f.
funkce horní meze určitého integrálu.
4-3.24. Pro funkci / spojitou na otevřeném intervalu I definujeme novou funkci F na intervalu / tímto způsobem: pevně vybereme libovolný bod a 6 I a v bodě x intervalu I funkci F přiřadíme hodnotu
F(x)= f/(£)
J a
Je
jasné, že F(a) = 0. Ukážeme, že funkce F má derivaci v každém bodě intervalu I, tj.
dF,
dx
(x) = /(x) pro Vx € I
50
Určitý integrál
51
To je velmi důležitý výsledek. Bude dokázán, jakmile se podaří ověřit, že
F(x + h)-F(x)
lim
h^-0
h
•/(*) = o.
Pro libovolná čísla x, x + h z intervalu I můžeme výraz, který se limituje, upravit takto:
1 1 / rx+>l rx \ i rx+h
i(F(x + h)-F(x))-f(x) = -{Ja /(fld£- | f(OdS)-f(x) = -^ (/(O-/(*)) 0. Vzhledem ke spojitosti funkce / lze pro každé e > 0 nalézt h > 0 takové, že
V£e(x,x + h)=>\f(Q-f(x)\ 0 je kladná konstanta, která odpovídá maximálnímu
věku. Ukažte, že p(0) = 1 a že p je klesající funkce. Dále ověřte, že
P'(x) p{x)
-fi(x).
4.3.28. Dokažte výpočtem, že pro funkci / spojitou a lichou (resp. sudou) na (—00,00), je funkce
Jo
sudá (resp. lichá) na (-00,00). Užijte jednoho z těchto tvrzení a dokažte, že funkce x -> ln(x + Vx2 + 1) je lichá na (—00,00).
4.4. Nevlastní integrál
4.4.1. Napište, co znamená, že tyto integrály konvergují (—00 < a < b < 00): / f (x) áx pro funkci / spojitou na intervalu {a, b),
J a
/ f(x) dx pro funkci / spojitou na intervalu (a, b),
Ja
/ f(x) dx pro funkci / spojitou na intervalu (a, 00),
J a
//(ar) dx pro funkci / spojitou na intervalu (—00, b), -00
/oo f(x) dx pro funkci / spojitou na intervalu (-00,00). -00
4.4.2. Příklad. Při výpočtu nevlastních integrálů počítáme limity. Píšeme třeba
f (* + 1K* <*x = Um ([-(* + l)e-] J + jľ' e~* dx) = Um ([-(* + l)e-]J - [e-]J) = 2.
4.4.3. Zjistěte, zda integrál je konvergentní nebo divergentní. Pokud je konvergentní, najděte jeho hodnotu:
- í
2 X'
00
dx,
r°° i b) / - dx, Ji x
ľ 1
f°° 1
3) / —5- dx pro o > 0,
J o
X2
c) /
Jl
f) j
Jo
i) i
dx,
dx,
4.4.4. Zjistěte, zda integrál je konvergentní nebo divergentní. Pokud je konvergentní, najděte jeho hodnotu:
r2
f1 1
a) / -dx,
Jo x
d) / lnxdx, Jo
Ji V2^x ftešení.
dx,
b) / -4= dx,
Jo Vx
e) / x ln x dx, Jo
' Jo *V
\fx
dx,
f) ř-JL==dx,
Ji Vx-1 ^ li (5 - x)\
)V5=x"
dx.
4.4.1.
■1. a) lim / /(x) dx existuje a je vlastní, b) lim / /(x) dx existuje a je vlastní,
í-*6" J a í->«+ J|
ŕ ŕ
c) )}]n / f(x) dx existuje a je vlastní, d) lim / fix) dx existuje a je vlastní, e) pro libovolné číslo a konvergují tyto dva integrály: / f(x) dx , / /(x) dx.
J —00 J a
44-3- a) h b) divergentní, c) divergentní, d) |, e) -fe, f) |tt, g) ± h) ^e~°<\ i) 2. 4-4.4. a) divergentní, b) 4, c) divergentní, d) -1, e) \e2, i) 2\/2, g) 2, h) 4, i) divergentní.
52
Nevlastní integrál
užití určitého integrálu
53
4.4.5. Užijte větu o substituci a ukažte, že
r°° _J_ůx_ f°°_1
J2 x2 -x J1 x2 H
Potom jeden z integrálů spočítejte.
4.4.6. Použijte substituce x = tg u a spočítejte
rOO -t
+ x
dx.
■ dx.
n x2 +1
Potom výsledek ověřte přímým výpočtem pomocí primitivní funkce.
4.4.7. Jsou dány dvě funkce / a g spojité na intervalu (a, co) a číslo b > a takové, že
0 < f(x) < g(x) pro všechny body x 6 (b, oo).
Potom platí:
/•OO /»0O
jestliže / f(x) dx je divergentní, potom je také / g{x) dx divergentní,
J a J a
/•oo poo
jestliže / g(x) dx je konvergentní, potom je také / f(x) dx konvergentní.
J a J a
Z těchto dvou tvrzení vyberte jedno a s jeho pomocí rozhodněte, zda integrál je konvergentní nebo divergentní (hodnotu integrálu nepočítejte):
a)
d)
r ľ
Jo x -
arctg x
j dx, b)
/•°°4 + 3si Ji *2 +
sin 2x
dx,
x ±1 + ex
dx,
/•oo
3) / ex+^dx, Jo
c)
f)
/•OO
Jo *
i
+ 2
■ dx,
ln x dx.
4.4.8. Je dána funkce / spojitá na intervalu (a,oo) a číslo b > a takové, že integrál \ f(x)\dx je konvergentní. Potom konverguje také J*a°° f(x) dx. Ukažte, že tyto nevlastní integrály konvergují:
a)
i:
cos x
dx,
b)
f°° sin x ,
X2 + 1 ' Ji Xy/x
4.4.9. Použijte integraci per partes a ukažte, že nevlastní integrál
c)
Jo
e x sin x dx.
i:
cos a;
dx
konverguje.
ftešení. 4.4.5. In2. 4.4.6. \ir. 4.4.7. a) je divergentní; například srovnáním s divergentním integrálem J0°° 1 dx, b) konverguje; srovnáváme s konvergentním integrálem ^ dx, c) konverguje; srovnáváme s konvergentním integrálem dx, d) je konvergentní;
například srovnáním s konvergentním integrálem 2x2e~x dx, e) diverguje; srovnáváme s divergentním integrálem /0°° e° dar = /0°° 1 dx, f) diverguje; srovnáváme s divergentním integrálem /e°°lnedx = /0°° Ida;. 4.4.9. Integrace per partes ukazuje, že
f°° cosx , rsina:!00 ŕ00 sin a;
/ -dx= - + / —
Ji x L x Ji x
dx = — sin 1 +
PO
i
smx
dx.
Poslední integrál je konvergentní. Proto i zadaný integrál je konvergentní.
4.5. Užití určitého integrálu Střední hodnota
4.5.1. Střední hodnotou funkce / na intervalu (a, b), a < b, je míněna hodnota
a) Ukažte, že pro konstantní funkci je střední hodnota rovna hodnotě funkce.
b) Spočítejte střední hodnotu funkce f(t) — A sin ut (A, u> jsou kladné konstanty) na intervalu (0, T), kde T je perioda funkce /.
c) Spočítejte odmocninu ze střední hodnoty kvadrátu funkce f (i) — Asinwí na intervalu (0,T), kde T je perioda funkce /.
4.5.2. Při sledování populace strukturované podle věku x nazveme populační hustotou funkci P(x) takovou, že integrál f** P(x) dx odpovídá počtu jedinců v populaci, jejichž věk x leží v intervalu (a;i, x-}), x\ < ar2.
a) Jak vyjádříme velikost celé populace (zahrneme všechny věkové skupiny)?
b) Jak vyjádříme průměrný věk v populaci?
c) Jak vyjádříme průměrný věk skupiny vymezené věkovým intervalem {x\,x-i), x\ < a;2?
d) Jaká je pravděpodobnost, že věk náhodně vybraného jedince padne do intervalu (xi,X2)?
e) Popište distribuční funkci F pravděpodobnosti z předcházející úlohy.
4.5.3. Závislost produkce na čase popíšeme funkcí p(t), kde čas je zachycen proměnnou t. Celková produkce mezi časy t% a t2, h < h, je dána výrazem
p(t) dt.
I
Ju
a)
b)
c)
d)
e)
Vyjádřete průměrnou produkci v období {t\,t2), h < t2-
Produkce p0 v čase t = 0 klesá s časem lineárně tak, že v čase t — 2 je poloviční. Napište funkci p(t) a integrací spočítejte průměrnou produkci mezi časy ŕ = 0 a t = 2?
Produkce po v čase t — 0 klesá s časem podle vztahu p(t) = po{l - |í2). V čase t = 2 máme tedy poloviční produkci v porovnání s produkcí v čase t = 0. Jaká je průměrná produkce mezi časy t = 0 a t = 2?
Produkce po v čase t = 0 klesá s časem podle vztahu p{t) = po2~% . V čase í = 2 máme tedy poloviční produkci v porovnání s produkcí v čase t = 0. Jaká je průměrná produkce mezi časy í = 0 ať = 2?
Vysvětlete, proč je průměrná produkce nejvyšší v úloze c) a nejnižší v úloze d). Odpovídají tomu hodnoty derivace p'(0)? "
■> 2«,an mezí zrychlením, rychlostí a dráhou
4-5.4. Rychlost vozidla v časovém intervalu {t\,t2) je popsána funkcí v(t). Jakým výrazem je dána prední hodnota rychlosti vozidla mezi časy ii a t21 Jakým výrazem je popsána dráha s{ť) vozidla mezi -^y h a í2? Odpovídá střední hodnota rychlosti tak zvané „průměrné" rychlosti, kterou jsme zvyklí P°«tat podle vztahu (s(t2) - s(h))/(t2 - řx)?
4.5.5, Vyjádřete rychlost v(t) a dráhu s(t) v čase t rovnoměrně zrychleného pohybu se zrychlením a na oovem intervalu (ř1,í2)! *i < t2. Vyjádřete střední (průměrnou) rychlost na tomto časovém intervalu.
54
užití určitého integrálu
užití určitého integrálu
55
4.5.6. Těleso se začne pohybovat z klidu (v čase t = 0) se zrychlením a(t) — A - at, kde A, a jsou kladné konstanty. Jaký je vztah pro rychlost v(t) pohybu v čase í? Jakou dráhu s{t) těleso urazí do okamžiku, v němž je jeho rychlost nulová? Udělejte rozměrovou analýzu výsledku!
4.5.7. Jak vysoko vystoupí těleso vržené na Zemi svisle vzhůru rychlostí vq (g je tíhové zrychlení)?
4.5.8. Šikmý vrh na rovině. Jak daleko na rovině doletí těleso vržené pod úhlem a rychlostí v (g je tíhové zrychlení)? Sledujte rychlost ve dvou směrech: vv ve směru svislém a vx ve směru vodorovném. Pro jaký úhel a doletí nejdále?
Obsah obrazců v rovině
4.5.9. Příklad. Jestliže pro dvě spojité funkce / a g platí
g(x) < f(x) pro všechna čísla x G (a, b), (*) potom obsah rovinného obrazce tvořeného body (x,y) G E2, které splňují
j(x,y) : x G (a, b), g{x) u P(x) = 0.
' 0 pro x < 0,
P' xP(x) dx f" xP(x) dx p P(x) dx f" P(«)dí .„ .
/„ P(x)dx JX1 P(x)dx Jo P(x)dx Jo p(0 w ■
4.5.3. a) p(t) dt. b) p(t) = p0(l - \t), \p0. c) |p0 = 0.83p0- d) ^Po = 0.72p0 ■ e) Grafy funkcí popisujících produkci spojují dva stejné body. Graf je konkávni v případě c), lineární v b) a konvexní v případě d).
4.5.4. Střední hodnota rychlosti: ff* v(t) dt. Dráha v čase ť. s(t) = s(ti) + v(t) dr. Ano, poněvadž podle předcházejícího vzorce je s(Í2) - = //* v(t)dt.
4.5.5. v{t) = v(h) + o(í - *i), s{t) = «(*!) + fti v(t) dr = s(h) + v(h)(t - h) + \a(t - h)2 . Střední (průměrná) rychlost je v(ti) + |a(ř2 - íi).
4.5.6. v(t) = |(2/1 - at)t, rychlost je rovna nule v čase t=2~; s(i) = j* v(t) dr = |Ai2 - |ať3;
uražená dráha je s(—)
3Črr
; rozměry konstant A, a jsou [A] = ms , [a] = ms 3.
4.5.7. v(t) = v0 - gt, rychlost je rovna nule v čase t — ^ ; s(í) = /0' v(t) dt = v0t - |sina, proto rychlost ve svislém směru v čase t je v(t) = vy — gt
a dráha sy ve svislém směru je sy(t) = vyt — \gt2. Odsud zjistíme, že těleso se v čase t = ^L vrátí do vodorovné roviny, z níž bylo vrženo. Poněvadž dráha sx (ť) za čas t ve směru vodorovném je sx(t) = f * vx dt = vxt, dostaneme dosazením času pro délku vrhu hodnotu "2 s'ď" 2a . 4.5.10. a) f, b) f, c) f, d) if. 4.5.11. a) f, b) 1 + 2eln2.
4.5.12.8. 4.5.13. f. 4.5.14. f. 4.5.15. b) § + ±ln3. c) y/2 + ln(l + y/2). d) /(x) = y/R2-x2, x e {0,R); při integraci použijte substituci x = Rsinip, . Vzorec nezávisí na tom, kde jsou v kouli řezy vedeny, ale pouze na vzdálenosti v rovin, které kulovou vrstvu vymezují.
4.5.20. V = Í7cr2v, S = ((r2 + 4u2)§ - r3).
4.5.21. g + = 1, V — \mib2. 4.5.22. ^f- -£ = l,V = Unab2.
4.5.23. S = J0R 2nr dr = irR2 . 4.5.24. V = 47rr2 dr = í n R3 . 4.5.25. q = Íttí?2u, q : Qh = | •
4.6. Integrály v pravděpodobnosti
4.8.1. Buď X spojitá náhodná veličina s hodnotami v intervalu (-00,00). Funkci / nazveme hustotou pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X (stručně hustotou náhodné veličiny X), když se dá hodnotou f(0 ô „velmi dobře" vystihnout pravděpodobnost, s jakou náhodná veličina X nabývá hodnot z „malého" intervalu (£ - + f J). V mlhavých termínech se dá říci, že aproximace této pravděpodobnosti je tím lepší, čím je délka zmíněného intervalu - tedy ó — menší. Rozdělením intervalu, v němž se hodnota náhodné veličiny má pohybovat, dospějeme limitním procesem k vyjádření pravděpodobnosti P (a < X 0, jestliže hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X je popsána funkcí /.
4.6.2. Napište vyjádření střední hodnoty p, a rozptylu (variance) a2 náhodné veličiny X, pro kterou existuje hustota /.
4.6.3. Jak bude vypadat hustota / pravděpodobnosti náhodné veličiny X, která se stejnou pravděpodobností nabývá hodnoty pouze z intervalu (a,b), a < b? Jak vypadá distribuční funkce F náhodné veličiny X? Spočítejte střední hodnotu a rozptyl X.
4.6.4. Jak zvolit k, aby funkce
ex + e~x
byla hustotou pravděpodobnosti náhodné veličiny s hodnotami v (-00,00)? Spočítejte příslušnou distribuční funkci.
4.6.5. Obecné momenty náhodné veličiny X s reálnými hodnotami a hustotou / jsou definovány vztahy
f°° t mk= x"f{x) dx.
J—00
Dokažte, že pro rozptyl (varianci) platí a1 = m2 - m\ .
4.6.6. Buď X náhodná veličina s hodnotami v (-00,00) a hustotou /. Její střední hodnotu označíme a a rozptyl a2. Buď a kladná konstanta.
a) Určete koeficient k tak, aby funkce /a(x) = «/(|) byla hustotou nějaké náhodné veličiny Xa.
b) Spočítejte střední hodnotu p,a a rozptyl a\ náhodné veličiny Xa.
V Funkce fa je hustotou náhodné veličiny aX. Srovnejte se cvičením 4.6.22.
Řešení. 4.6.3.
4.6.1./ (/(0-/(x))dí. 4.6.2. M= / m)á^a2= / (í-M)V(0de.
F(X) = )
0 pro x < a,
X ~~ o,
pro x 6 (a, 6),
a + b
a2=(b-a)2
b-a " m' 2 ' " 12
1 pro x > b.
4.6.4. « = 1. F(x) = I arctg(e-). 4.6.6. a) k = I. b) fia = a/i, o\ = a2<72 ,
58
Integrály v pravděpodobnosti
Integrály v pravděpodobnosti
59
Exponenciální rozdělení pravděpodobnosti
4.6.7. V čase t = 0 máme fungující (elektronické) zařízení, náhodná veličina X popisuje životnost takového zařízení. Pravděpodobnost, že zařízení selže až po uplynutí času t, se označuje P{t < X). Pravděpodobnost, že zařízení selže v časovém intervalu (íi,t2), je P{h < X < t2). Budeme se zabývat vlastnostmi náhodné veličiny X, když za její hustotu vezmeme tuto funkci s parametrem A, A > 0:
/(*) =
\e~xt 0
pro t > 0, pro t < 0.
(*)
Vyřešte tyto úlohy s právě definovanou hustotou / (ŕ > t\ > 0):
/■OO
a) P(X P(X < t). t-+o+ dí
4.6.8. Poznámka. Pravděpodobnost toho, že zařízení, které fungovalo v čase T, neselže ještě po další dobu t (podmíněná pravděpodobnost - náhodný jev spočívá v tom, že zařízení funguje po dobu T + t ovšem za podmínky, že fungovalo po dobu T), je dána vztahem (který je třeba trochu rozmyslet)
P(T + t< X) P(T < X) '
Podle předcházejícího výsledku víme, že P(t < X) = e~xt, lze proto psát
P(T + t< X) e"A 0 je dána vztahem
g{t) = A;
lX2 Jo €~XíT e~Mt~T) dT ■
b) Spočítejte hustotu g(t) pravděpodobnosti náhodné veličiny Y pro případ A2 ^ A2 .
c) Ověřte, že J0°° g(t) dt — 1.
d) Spočítejte cvičení b) a c) pro případ stejných hodnot Ai a A2, píšeme Ax = A2 = A.
e) Jestliže životnost prvního zařízení je vyjádřena náhodnou veličinou Xx, životnost druhého zařízení náhodnou veličinou X2, potom náhodná veličina Y je součtem dvou náhodných veličin Xx a X2 Y = Xi+X2.
4.6.12. Pokud za hustoty pravděpodobnosti v předcházející úloze vezmeme obecné funkce /, a f2 (nulové pro t < 0), má výraz pro hustotu náhodné veličiny Y tvar
Ukažte, že g se dá zapsat také takto:
9{t)= ľ fi(T)h(t-r)dT. Jo
9{ť) = / fi(t-T)f2(r)dT. Jo
4.6.13. Ověřte, že vzhledem k tomu, že funkce fu f2 jsou rovny nule pro t < 0, je možné integrovat pres interval (-00,00) a psát výraz, který není komplikován přítomností konečných mezí v integrálu
/oo fi(t-r)f2(r)dr. •00
Integrály tohoto typu se nazývají konvoluční integrály.
ftešení. 4.6.7. g) A. 4.6.10. Vztah 4.6.9.(*) násobíme A, dostaneme rnk = |[. Poněvadž můžeme
1
použit vztahu a2 = m2 - m\, dříve odvozený vztah a3 = — dostaneme okamžitě dosazením.
AJ
4.6.11. b) 9{t) = *l*i-(e-A,. _ e-Xlt) . d) (ť) = A2íe-At Ai — A2
•6.12. Substituce nové proměnné u pomocí vztahu u — t-r.
60
Integrály v pravděpodobnosti
Normální rozdělení pravděpodobnosti
4.6.14. Poznámka. Hustota /,Ij(T normálního rozdělení náhodné veličiny X se střední hodnotou /t a rozptylem a2, a > 0, je
1
Hustotu normovaného (standardizovaného) normálního rozdělení (normální rozdělení s/j = 0a 0.
d) Kolik je hodnota derivace funkce <ř v nule? e) Nakreslete průběh funkce $ .
4.6.20. Ukažte, že pro normální rozdělení se střední hodnotou \i a rozptylem cr2, a > 0, platí: a) P{a o) = 2(l
4.6.21. Jako výše odvoďte, že P{\X - /i\ > ka) = 2(1 - $(&)) pro k > 0. Pro fc = 3 se mluví o pravidlu tří sigma. Platí, že 2(1 - $(3)) = 0,0027. Poněvadž primitivní funkci pro výpočet $(3) nenajdeme, je třeba tuto hodnotu získat pomocí vhodného numerického výpočtu. Tento výpočet je v dnešní době, kdy počítač je téměř na každém stole, věcí vhodného programu (Excel stačí). V době, kdy tomu tak nebylo, se hodnoty funkce *& čerpaly z tabulek. Byly také odvozeny přibližné vztahy, s jejichž pomocí se hodnoty funkce <ž> dají získat nepříliš pracně s pomocí kalkulačky. Jeden z nich uvedeme. Funkce definovaná vztahem [Abramowitz, Stegun, vztah 26.2.18, strana 932]
P(x) = 1 - |(l + dx + c2x2 + c3x3 + c4x4)-4 , v němž konstanty mají hodnoty
cv = 0.196854 , c2 = 0.115194 , c3 = 0.000344 , c4 = 0.019527, se dá vzít za dobrou aproximaci funkce poněvadž platí
|$(x) - P(x)| < 2.5 • 10~4 pro všechna x E (—00,00).