UNIVERZITA OBRANY Fakulta vojenských technologií Základy matematické kartografie (Skripta) Autor: plukovník doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. BRNO 2007 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Oponenti: prof. Ing. Bohuslav VEVERKA, DrSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Ing. Petr BUCHAR, CSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Skripta byla schválena na zasedání katedry dne 12. října 2007 ISBN: 978-80-7231-297-9 2 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obsah 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy..............................................................................................8 LI Referenční plochy.....................................................................................................................................8 1.1.1 Referenční elipsoid..........................................................................................................................8 1.1.2 Referenční koule..............................................................................................................................9 1.1.3 Referenční rovina.......................................................................................................................... 10 1.2 Souřadnicové soustavy............................................................................................................................10 1.2.1 Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu......................................................................... 11 1.2.1.a Výpočet délky poledníkového a rovnoběžkového oblouku......................................................................12 1.2.1. b Izometrické souřadnice.............................................................................................................................14 1.2.2 Souřadnicové soustavy na referenční kouli................................................................................... 15 1.2.2. a Určeni polohy kartografického pólu........................................................................................................18 1.2.3 Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině................................................................................20 2. Dělení a klasifikace zobrazení..................................................................................................................21 2.1 Základní transformace mezi referenčními plochami a rovinnými souřadnicovými systémy...................21 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení..........................................................................................22 2.3 Základní vlastnosti nepravých zobrazení................................................................................................24 2.4 Základní charakteristiky obecných zobrazení.........................................................................................25 2.5 Klasifikace zobrazení podle zkreslení.....................................................................................................25 3. Zákony zkreslení........................................................................................................................................27 3.1 Délkové zkreslení....................................................................................................................................27 3.1.1 Délkové zkreslení na referenční kouli...........................................................................................29 3.1.2 Extrémní délkové zkreslení............................................................................................................30 3.1.3 Extrémní délkové zkreslení na referenční kouli.............................................................................32 3.2 Uhlové zkreslení......................................................................................................................................32 3.2.1 Úhlové zkreslení na referenční kouli.............................................................................................35 3.2.2 Extrémní úhlové zkreslení.............................................................................................................35 3.3 Plošné zkreslení......................................................................................................................................37 3.4 Zákony zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic......................................................................38 3.5 Vizualizace průběhu zkreslení................................................................................................................40 4. Teorie zobrazení........................................................................................................................................43 4.1 Ekvidistantní zobrazení...........................................................................................................................43 4.2 Ekvivalentní zobrazení............................................................................................................................44 4.3 Konformní zobrazení..............................................................................................................................45 4.4 Konformní zobrazení geodetické čáry....................................................................................................47 4.4.1 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení.................................................47 4.4.2 Směrová korekce geodetické čáry.................................................................................................49 4.4.1 Délková korekce geodetické čáry..................................................................................................55 5. Zobrazení referenčního elipsoidu na kouli..............................................................................................57 .5.1 Základní vztahy a vzorce.........................................................................................................................57 5.2 Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi..........................................................................58 5.3 Konformní zobrazení elipsoidu na kouli.................................................................................................59 6. Jednoduchá válcová zobrazení.................................................................................................................61 6.1 Základní vztahy a vzorce.........................................................................................................................61 6.2 Ekvidistantní válcové zobrazení..............................................................................................................63 6.3 Ekvivalentní válcově zobrazení...............................................................................................................65 6.4 Konformní válcové zobrazeni.................................................................................................................66 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení.........................................................................................................68 7. Jednoduchá kuželová zobrazení...............................................................................................................68 7.1 Základní vztahy a vzorce.........................................................................................................................69 7.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení............................................................................................................ 71 7.2.1 Ekvidistantní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou......................................... 72 7.2.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami..................................... 75 7.3 Ekvivalentní kuželové zobrazení............................................................................................................. 78 7.3.1 Ekvivalentní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou.......................................... 79 7.3.2 Ekvivalentní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami......................................80 7.4 Konformní kuželové zobrazení................................................................................................................81 3 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7.4.1 Konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou.............................................82 7.4.2 Konformní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami.........................................82 7.5 Šikmá poloha kuželového zobrazení.......................................................................................................84 8. Jednoduchá azimutální zobrazení............................................................................................................84 8.1 Základní vztahy a vzorce.........................................................................................................................85 8.2 Ekvidistantní azimutální zobrazení.........................................................................................................86 8.3 Ekvivalentní azimutální zobrazení..........................................................................................................88 8.4 Konformní azimutální zobrazení.............................................................................................................90 8.5 Azimutální projekce................................................................................................................................92 8.5.1 Gnomonická projekce....................................................................................................................93 8.5.2 Stereografická projekce.................................................................................................................94 8.5.3 Ortografická projekce...................................................................................................................95 9. Nepravá zobrazení.....................................................................................................................................96 9.1 Nepravá válcová zobrazení.....................................................................................................................96 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidální zobrazení.......................................................................................97 9.1.1. a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení.......................................................................................97 9.1.1 .b Eckertovo sinusoidální zobrazení...........................................................................................................100 9.1.2 Nepravá válcová eliptická zobrazení........................................................................................... 101 9.1.2. a Mollweidovo zobrazení..........................................................................................................................101 9.2 Nepravá kuželová zobrazení................................................................................................................. 103 9.2.1 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení........................................................................................ 105 9.3 Nepravá azimutální zobrazení.............................................................................................................. 106 9.3.1 Werner-Stabovo nepravě azimutální zobrazení........................................................................... 107 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení............................................................................................................... 108 9.3.3 Modifikovaná azimutální zobrazení............................................................................................ 109 9.3.3. a Aitovovo nepravé azimutální zobrazení.................................................................................................109 9.3.3.b Hammerovo zobrazení............................................................................................................................110 9.3.3.c Wagnerovo zobrazení.............................................................................................................................111 9.4 Polykáni cká zobrazení.......................................................................................................................... 112 10. Gaussovo zobrazení.................................................................................................................................115 10.1 Základní charakteristiky zobrazení.................................................................................................. 116 10.2 Zobrazovací rovnice......................................................................................................................... 119 10.2.1 Zobrazovací rovnice UTM...................................................................................................... 122 10.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím........................................................................................ 122 10.3.1 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím UTM.................................................................... 126 10.4 Meridiánová konvergence................................................................................................................ 126 10.4.1 Meridiánová konvergence v UTM.......................................................................................... 129 10.5 Zákony zkreslení............................................................................................................................... 129 10.5.1 Zákony zkreslení v UTM......................................................................................................... 132 10.6 Směrová a délková korekce geodetické čáry.................................................................................... 133 10.6.1 Směrová korekce v zobrazení UTM........................................................................................ 136 10.7 Délková korekce geodetické čáry..................................................................................................... 136 10.8 Mezipásmové transformace.............................................................................................................. 137 11. Křovákovo zobrazení..............................................................................................................................137 11.1 Základní charakteristiky zobrazení.................................................................................................. 138 11.2 Zobrazovací rovnice......................................................................................................................... 138 11.2.1 Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli............................................................ 138 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice...... 138 11.2.3 Transformace do zobrazovací roviny..................................................................................... 140 11.2.4 Převod rovinných polárních souřadnic na pravoúhlé............................................................ 141 11.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím........................................................................................ 141 11.4 Meridiánová konvergence................................................................................................................ 142 11.5 Zákony zkreslení............................................................................................................................... 143 12. Používaná zobrazení v Armádě České republiky a v NATO...............................................................144 12.1 Zobrazení UTM................................................................................................................................ 144 12.2 Zobrazení UPS.................................................................................................................................144 12.2.1 Zobrazovací rovnice zobrazení UPS...................................................................................... 145 12.2.2 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím............................................................................... 146 12.3 Lambertovo konformní kuželové zobrazení...................................................................................... 148 13. Transformace zobrazení.........................................................................................................................149 13.1 Prostorové transformace.................................................................................................................. 151 4 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.1.1 Prostorové pravoúhlé souřadnice.......................................................................................... 151 13.1.2 Tříprvková prostorová transformace...................................................................................... 153 13.1.3 Sedmiprvková prostorová transformace................................................................................. 154 13.1.4 Moloděnského transformace................................................................................................... 154 13.1.5 Zjednodušená Moloděnského transformace........................................................................... 155 13.2 Rovinné transformace......................................................................................................................155 13.2.1 Shodnostní transformace........................................................................................................155 13.2.2 Podobnostní transformace...................................................................................................... 156 13.2.3 Afinní transformace................................................................................................................ 156 13.2.4 Interpolační metody................................................................................................................ 157 14. Aplikace zobrazení v nástrojích GIS.....................................................................................................158 14.1 Volba geodetického referenčního systému....................................................................................... 158 14.2 Transformace mezi geodetickými referenčními systémy.................................................................. 159 14.3 Volba zobrazení............................................................................................................................... 160 14.4 Vizualizace matematických prvků.................................................................................................... 161 5 Úvod Základním úkolem geoinformatiky j e vytváření a správa modelů krajinné sféry, jejích objektů a jevů. Zabývá se vztahem skutečnosti a jejím modelem ve všech aspektech, které s touto činností souvisí a je zároveň chápána jako vědní obor i praktická činnost. Geoinformatika je široký obor, který vychází z řady vědních oborů a má na ně silné vazby. Z hlediska klasické kartografie se geoinformatiky zabývá: • naukou o mapách, která zahrnuje historii kartografie, tříděním a dokumentací map a atlasů, jejich povšechným studiem; • kartografickou vizualizací, která řeší otázky kartografického jazyka a generalizace obsahu; • kartografickou tvorbou - vlastním zpracováváním obsahu map; • kartografickou polygrafií a reprografií, tedy způsoby rozmnožování map; • kartometrií a kartografickým výzkumem - způsoby analýzy obsahu map a syntézy zjištěných výsledků. Digitální geoinformatika vychází z obecné informatiky a zabývá se zejména: • definováním objektů a jevů a jejich vztahů v geografické realitě; • aplikacemi databázových přístupů k tvorbě digitálních geodatabází; • datovou analýzou; • prezentací dat a způsoby j ej ich zobrazování; Klasická i digitální geoinformatika se zabývá i řízením celého procesu modelováním včetně zjišťování a objektivizací uživatelských potřeb na vytvářené modely. Všechny modelované objekty a jevy je nutné mít lokalizovány na povrchu Země či v jejím blízkém okolí. Základní lokalizace je především otázkou topografického nebo tematického mapování zpravidla ve výchozím referenčním rámci, který je dán zvolených geodetickým referenčním systémem. Při jejich vizualizaci (zpravidla grafické trvalé nebo virtuální) je však nutné zvolit jeho rovinné zobrazení. Metodami zobrazování geodetických systémů do roviny se zabývá matematická kartografie. Matematická kartografie je tedy částí kartografie a obecně geoinformatiky zabývající se matematickými a geometrickými základy kartografických děl v obecném slova smyslu. Matematická kartografie studuje proces transformace prostorových souřadnic objektů a jevů na referenčních plochách do roviny. Zkoumá jeho zákonitosti, zkreslení, která při transformacích vznikají, jejich prostorové závislosti a poskytuje i metodiku výběru vhodných transformací pro modelovaná území. Matematická kartografie se zabývá i speciálními úkoly, jako je rovinné zobrazování bodů, čar a ploch, které se uplatňují například při zobrazování stran trigonometrických sítí, drah letadel, raket a kosmických těles, drah šíření elektromagnetických signálů radiotechnických prostředků apod. Výsledkem matematické kartografie jsou kartografická zobrazení (krátce zobrazeni) jako matematický aparát pro výše uvedené transformace. Součástí kartografických zobrazení j sou i charakteristiky zkreslení, které při transformaci prostorových souřadnic do roviny vznikají. Tyto studijní texty jsou určeny ke studiu základů matematické kartografie studované v rámci předmětu kartografie v bakalářském studijním programu vojenské technologie v oboru vojenská geografie a meteorolog. Mohou být však využity i pro jiné obory, které se zabývají teorií a praxí kartografických zobrazení. Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Texty jsou členěny do 14 kapitol včetně úvodní kapitoly. Ve první kapitole jsou souhrnně definovány používané referenční plochy a jsou zde definovány základní souřadnicové soustavy na těchto referenčních plochách a v zobrazovacích rovinách. Druhá kapitola je věnována základních vlastnostem jednotlivých zobrazení a klasifikaci těchto zobrazení. Tato kapitola je zde zařazena i z terminologických důvodů, protože v cizojazyčné literatuře se lze setkat i s jinými názvy uváděných zobrazení a projekcí. Stěžejní kapitolou pro pochopení celé matematické kartografie je třetí kapitola, věnovaná zákonům zkreslení. Jsou zde vysvětleny příčiny zkreslení daných transformacemi prostorových těles (elipsoidu, koule) do roviny. Na tuto kapitolu navazuje kapitola vysvětlující princip odvozování zobrazovacích rovnic jednotlivých druhů a typů zobrazení. V páté až deváté kapitole jsou uvedeny jednotlivé druhy zobrazení, které jsou používány především v praxi při tvorbě map menších měřítek, zpravidla nástěnných a atlasových, kdy se jako výchozí referenční plocha většinou používá koule. Desátá a jedenáctá kapitola jsou věnovány zobrazením používaným při tvorbě státního mapového díla v České republice, závazných geoinformačích systémů (GIS) a v geodetické praxi. Jsou uváděny jak celosvětový systém WGS84 a jeho zobrazení UTM, tak i systém S-JTSK a Křovákovo zobrazení. Tyto kapitoly navazují na předmět geodézie. Dvanáctá kapitola je věnována používaným zobrazením v Armádě České republiky a v NATO. Předposlední kapitola je zaměřena na transformaci zobrazení mezi sebou. Poslední kapitola se zabývá některými aplikace matematické kartografie v programových prostředcích geografických informačních systémech se zaměřením na systém ArcGIS® firmy ESRI. Ve studijních textech nejsou vzhledem k jej ich zaměření uvedeny podrobnější informace týkající se zejména zobrazování křivek a čar v konformních zobrazeních s aplikací na Gaussovo zobarzení a zobrazení UTM. Stejně tak řada použitých vzorců není plně odvozena. K jejich bližšímu studiu je možné využít některé materiály uvedené v seznamu literatury. V textu jsou některé vybrané termíny uváděny i v anglické verzi (kurzívou v závorce za českým termínem). Důvodem bylo jak obecná znalost anglické terminologie z oblasti matematické kartografie, tak i jejich používání v programových nástrojích GIS. plk. doc. Ing. Václav Talhofer, CSc. 7 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy Fyzický povrch zemského tělesa je velice složitý a členitý a v modelech krajinné sféry je těžko zobrazitelný. Proto je pro vytváření těchto modelů nahrazován topografickou plochou, která je spojitou plochou vyhlazující mikrostrukturu a ty terénní tvary, které jsou z hlediska rozlišovací úrovně modelu bezvýznamné. Topografická plocha je však stále poměrně složitá pro přímé zobrazování do map nebo pro definování digitálních modelů. Pro účely mapování a tvorby modelů terénu se tato plocha nahrazuje referenčními plochami, které jsou jednodušší a jsou matematicky nebo fyzikálně přesně definované. Tyto referenční plochy jsou potom součástí definovaného geodetického referenčního systému (Datum, Geographic Coordinate System). 1.1 Referenční plochy Referenční plochou pro výšková měření je geoid. Geoid je definován jako plocha, na které všechny body mají stejný geopotenciál a která nejlépe odpovídá nerušené střední hladině světových moří, protažené i pod kontinenty. Tato plocha je ve všech bodech kolmá na směr tíže. Protože geoid je definován jako fyzikální těleso, jeho matematické vyjádření je značně složité. Pro potřeby praktické geodézie, mapování, kartografie i celé geoinformatiky je proto nahrazován referenčním elipsoidem (spheroid), referenční koulí (sphere) nebo i referenční rovinou. Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem jsou znázorněny na následujícím obrázku (Obr. 1-1). geoid, resp. kvazigeoid—-—^^ H/y e/ipso/ciN. i/\ 'tížnice\\ \\ fyzický povrch Země Obr. 1-1 Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem 1.1.1 Referenční elipsoid Výchozí referenční plochou v matematické kartografii je rotační elipsoid. Parametry rotačního elipsoidu jsou voleny tak, aby v maximální míře nahrazoval geoid v zájmové části Země nebo aby nahrazoval celý geoid. Elipsoid je plně definován dvěma parametry, kterými mohou být: • a, b - velikost hlavní a vedlejší poloosy (semimajor axis, semiminor axis), • a, e - velikost hlavní poloosy a numerická výstřednost (excentricita, eccentricity), • a, e' - velikost hlavní poloosy a druhá excentricita, • a, f- velikost hlavní poloosy a zploštění (flattening). Mezi jednotlivými parametry platí vztahy ( 1-1 ): 8 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie a2-b2 a2 a2-b2 b2 a - b a (1-1) Referenční elipsoidy jsou jako výchozí referenční plocha používány zejména tehdy, pokud je nutné definovat zobrazení s minimálními hodnotami zkreslení rovinného obrazu. Tento způsob se volí u kartografických zobrazení používaných při definici státních souřadnicových systémů nebo mezinárodních systémů. Současně se používá i při tvorbě státních mapových děl. Do současné doby byla odvozena řada referenčních elipsoidů. Na území České republiky se používá pro civilní státní mapová díla Besselův elipsoid, pro bývalé vojenské topografické mapy v souřadnicovém systému S-1942/83 (používané do roku 2005) elipsoid Krasovského a pro současné vojenské mapové dílo a pro celosvětový systém WGS84 elipsoid WGS84.. Parametry uvedených elipsoidů jsou uvedeny v následující tabulce (Tabulka 1-1): Tabulka 1-1 Parametry referenčních elipsoidů používaných na území České republiky Elipsoid Besselův Krasovského WGS84 (GRS80) Velká poloosa a [m] 6 377 397,1550 6 378 245 6 378 137 Malá poloosa b [m] 6 356 078,9629 6 356 863,0188 6 356 752,3142 Druhá mocnina excentricity -e2 0,006 674 372 2 0,006 693 421 6 0,006 694 380 Druhá mocnina druhé excentricity -e'2 0,006 719 218 8 0,006 738 525 4 0,006 739 496 7 Reciproká hodnota zploštění M f 299,152 812 853 298,300 003 2 298,257 223 6 Poznámka: Elipsoid GRS80 je součástí geodetického referenčního systému ETRS-89, který se též používá v rezortu Českého úřadu zeměměřického a katastrálního. Jeho parametry jsou v rámci v tabulce uváděné přesnosti prakticky shodné s elipsoidem WGS84. 112 Referenční koule Není-li vyžadována vysoká přesnost prostorové lokalizace modelovaných objektů a jevů, je často používána jako referenční plocha koule. Uplatňuje se zejména při tvorbě map malých měřítek, při vizualizaci digitálních dat s menšími nároky na minimalizaci zkreslení a při řešení jednodušších navigačních úloh. Zvláštním případem je použití referenční koule při tzv. dvojitém zobrazení, kdy je referenční elipsoid nejprve zobrazen na kouli, která se poté zobrazuje do roviny. Tento postup je používán zejména při obecné poloze konstrukční osy zobrazení. Poloměr referenční koule je možné volit na základě různých hledisek. Je-li zobrazované území rozloženo podél rovnoběžky o zeměpisné šířce (po, je vhodné zvolit poloměr koule rovný příčnému poloměru křivosti elipsoidu (1-2 ): R = Nn (1-2 ) Při tomto řešení zůstává zachována původní délka rovnoběžky g^na elipsoidu (Obr. 1-2). 9 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Pro území kruhového tvaru se volí poloměr koule rovný střednímu poloměru křivosti rovnoběžky procházející jeho těžištěm ( 1-3 ): R = ylM0No (l-3^ Obě tělesa se poté v okolí těžiště velmi těsně ve všech směrech přimykají (Obr. 1-3). F 3S Ps Po Po /^"** / \ R=No /[ \ \\ \\ \\ rovník \ \ / \ R=MoNo S \ \ \ \ \ \ \ \^ \ i \ ' \ \ i \ N i \ 1 \ f t / i / i / 7'' Obr. 1-2 Náhradní koule s poloměrem i^A^ Obr. 1-3 Náhradní koule s poloměrem R2 =M0N0 Poloměr koule pro mapy velmi malých měřítek zobrazujících rozsáhlé části Země či celou planetu nebo pro vizualizaci digitálních dat ve velmi malých měřítcích je možné odvodit z požadavku přibližné rovnosti objemu a povrchu elipsoidu koule. Tento poloměr potom je: R = 6371 km. 113 Referenční rovina Při tvorbě map a plánů z velmi malého území o poloměru zhruba do 20 km je možné pro polohová data uvažovat zakřivený povrch Země jako rovinu a pro zobrazování používat referenční rovinu. V tomto případě vodorovné úhly ne zakřivené ploše jsou téměř stejné jako v rovině, stejně tak zkreslení délek, ploch a úhluje minimální a zanedbatelné. Pro výšková měření je ale nutné zakřivení Země uvažovat. 1.2 Souřadnicové soustavy Všechny objekty a jevy na zemském povrchu modelované v modelech terénu je nutné lokalizovat. K tomu slouží souřadnicové soustavy, ve kterých je lokalizace uvedených objektů dána dvojicí nebo trojicí prostorových či rovinných souřadnic. Geodetická měření často jako výchozí prostorové souřadnice používá souřadnice geocentrické. Geocentrický souřadnicový systém (geocentric coordinate systém) má počátek ve středu Země a souřadnicové osy X, Y, Z. Osa X leží v rovině rovníku a prochází greenwichským poledníkem (prime meridian), osa Y leží též v rovině rovníku a prochází poledníkem 90° východní zeměpisné délky a osa Z leží v ose rotace Země. Pro kartografické účely a pro lokalizaci objektů digitálních modelů jsou však i tyto souřadnice transformovány do prostorových souřadnic na daném elipsoidu. Proto v dalším textu bude pojednáváno pouze o souřadnicových soustavách, které mají vztah k matematické kartografii. 10 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1.2.1 Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu Základní souřadnicovou soustavou na referenčním elipsoidu jsou zeměpisné souřadnice, označované též geodetické zeměpisné souřadnice nebo pouze geodetické souřadnice (geographic coordinate system). Souřadnice tvoří zeměpisná (geodetická) šířka cp (latitude) a zeměpisná (geodetická) délka A (longitude) (Obr. 1-4). Zeměpisná šířka dosahuje hodnot v rozsahu <-90°, 90°>, často jsou tyto hodnoty označovány i jako jižní zeměpisná šířka (pro hodnoty <-90°, 0°>) a severní zeměpisná šířka (pro hodnoty <0°, 90°>). Zeměpisná délka používaná v běžném životě nabývá hodnot <0°, 360°> s počátkem na základním poledníku s přírůstkem ve směru východním. Cáry s konstantní hodnotou A, resp. cp jsou nazývány zeměpisné poledníky (meridian), resp. zeměpisné rovnoběžky (parallel). Zeměpisné poledníky a rovnoběžky vytvářejí na povrchu referenčním elipsoidu zeměpisnou síť (graticule), která je při klasické tvorbě map důležitým konstrukčním prvkem při zobrazování povrchu elipsoidu do roviny. Zeměpisná síť umožňuje základní orientaci v obsahu map. Zvláštní význam mají rovník (equator), tedy rovnoběžka s maximálním průměrem, & základní (Greenwichský, nultý) poledník procházející observatoří v Greenwich v Londýně. V některých státech je v praktické geodézii používán jako základní poledník i poledník F err a (např. v ČR, SR, Německu a Rakousku). Zeměpisná délka tohoto poledníku je 17°40' západně Greenwiche. Při konstrukci map má specifický význam i základní konstrukční poledník, kterým zpravidla bývá poledník procházející těžištěm zobrazovaného nebo modelovaného území. Obr. 1-4 Zeměpisné souřadnice na elipsoidu Elementy poledníku dsp a rovnoběžky dsr se podle Obr. 1-5 a Obr. 1-6 vypočítají podle vztahů (l-4)a(l-5 ): ds p =Md(p dsr = NcosqxiA (1-4) (1-5 ) M a N jsou meridiánový a příčný poloměr křivosti počítané pro zeměpisnou šířku cp podle vztahů (1-6) a( 1-7): M N a(\-e2) (l-e2sin>)3/2 a (l-e2sin»1/2 (1-6) (1-7) 11 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ps rovnoběžka cp ^\ P2 / Ncoscp / / \ Ncoscpd^ / A / \ /\ / \ Mckp My / .t? / J1P1 / VN 1 Ádí^^ \ í 9f\ \ 1 rovník Ps Pj Obr. 1-5 Elementy poledníku na elpsoidu Obr. 1-6 Elementy rovnoběžky na elpsoidu 1.2.1.a Výpočet délky poledníkového a rovnoběžkového oblouku V některých aplikacích matematické kartografie je nutné znát délku poledníkového oblouku (například v Gaussovo zobrazení), případně i délku oblouku rovnoběžky. Podle obrázku (Obr. 1-5) a s uvážením rovnice ( 1-4 ) lze délku poledníkového oblouku sp do bodu i5 o zeměpisné šířce

-D* sin6^9 + iľ* sin8#>- (1-13) V následující tabulce (Tabulka 1-2) jsou uvedeny hodnoty koeficientů pro používané elipsoidy v ČR: Tabulka 1-2 Koeficienty pro výpočet délky poledníkových oblouků referenčních elipsoidů používaných v ČR Elipsoid A*[m] B* [m] C* [m] D*[m] £*[m] Besselův 111120,61960 15988,63853 16,72995 0,02178 3,07731.10"5 Krasovského 111134,86108 16036,48027 16,82807 0,02198 3,11311.10 5 WGS84 111132,95255 16038,50866 16,83261 0,02198 3,11485.10"5 Dosadí-li se do vzorce ( 1-13 ) zeměpisná šířka pólu (cp = 90°), vypočítá se délka zemského kvadrantu. Ta bude pro: • Besselův elipsoid 10 000 855,764 metrů, • Krasovského elipsoid 10 002 137,497 metrů, • elipsoid WGS84 10 001 965,729 metrů. Poznámka: Pro určení délky metru jako desetimiliónté části zemského kvadrantu stanovil Delambre koncem 18. století rozměry elipsoidu, jehož délka kvadrantu byla 10 000 000 metrů. Méně často je nutné stanovit i délku oblouku rovnoběžky. Poloměr rovnoběžky v zeměpisné šířce (p]t r = Ncosp. Délka jejího oblouku sr mezi dvěma body o zeměpisné délce Ai a Az (vyjádřené v radiánech) je: 13 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie sr = JVcos N2 cos2 q> (1-16) Je možné zavést novou souřadnici jako funkci zeměpisné šířky q> . Tato souřadnice se nazývá izometrická šířka q. Její diferenciál bude: dq Mdcp (1-17) (1-18) Ncosp Rovnice (1-16 ) potom nabude tvaru ds2 = N2 cos2 (p(dq2 + dA2) a souřadnice q, A vytvoří na referenčním elipsoidu soustavu izometrických souřadnic. Bude-li dq = d A, potom na povrchu referenčního elipsoidu vznikne síť diferenciálních čtverců, jejichž velikost se bude s rostoucí zeměpisnou šířkou zmenšovat v závislosti na výrazu N2cos2(p. Vzorec pro výpočet izometrické šířky se odvodí integrací výrazu ( 1-17 ): Mdcp Ncosp a(l-e2) (l-e2sin2, někdy i v rozsahu <-180°; 180°>, tedy obdobně jako u zeměpisných délek. Poloha počátku Vmůže být pevná nebo se může měnit v závislost na hodnotě zeměpisné šířky. Pokud se v některých zobrazeních ztotožňují počátky obou soustav (Obr. 1-16), potom je výhodnější měřit polární úhel s od kladného směru osy X Pro transformaci mezi soustavami poté platí vtahy ( 1-29 ) x = p cos s y = psins ( 1-29) i x v \ X, YP P' Yp 1 1 Xp 1 ' s / 1 Xp 0 0 Obr. 1-15 Polární souřadnicová soustava s různým Obr. 1-16 Polární souřadnicová soustava s totožným počátkem než pravoúhlá soustava počátkem jako pravoúhlá soustava Počátek rovinných souřadnicových soustav se zpravidla volí uprostřed zobrazovaného území. Z hlediska konstrukce map, jejich používání nebo používání prostorových geoinformací je však výhodné, aby celé území leželo pouze v 1. kvadrantu. Proto se často k vypočteným souřadnicím přičítají vhodné konstanty Ax (falše northing) a Ay (falše easting) (Obr. 1-17). 20 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (X) f X1 i Y i l o f/Y -^ AX v ' 1 (Y) (0) ^- -^ AY Obr. 1-17 Posun počátku pravoúhlé souřadnicové soustavy mimo zobrazované území Poznámka: Orientace os X, Y nemusí být vždy stejná jako na předchozích obrázcích. Některé systémy, používané zejména pro státní mapy, mohou mít orientaci otočenou například o 180° (v ČR). 2. Dělení a klasifikace zobrazení Kartografické zobrazení (map projection, projection) je dáno matematickým vyjádřením závislostí mezi zeměpisnými souřadnicemi na referenční ploše a souřadnicemi v zobrazovací rovině. Při definici uvedené závislosti je možné využít několika způsobů. 2.1 Základní transformace mezi referenčními plochami a rovinnými souřadnicovými systémy Obr. 2-1 ukazuje možné způsoby transformace zeměpisných souřadnic na referenčních plochách do rovinných souřadnic. Výchozími souřadnicemi jsou zpravidla zeměpisné souřadnice na referenčním elipsoidu % Ä, v některých případech, zejména u maloměřítkových map, i zeměpisné souřadnice na referenční kouli U, V. Konečné souřadnice jsou vždy rovinné pravoúhlé souřadnice x, y. REFERENČNÍ ZOBRAZOVACÍ PLOCHA ROVINA 21 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 2-1 Způsoby transformace souřadnic mezi referenčními plochami a zobrazovací rovinou V praxi se lze setkat se všemi kombinacemi transformace. Například zobrazení vojenských topografických map je přímou transformací mezi zeměpisnými souřadnicemi q>, X na rovinnými pravoúhlými souřadnicemi x, y (resp. N, E). Zobrazení základních map České republiky je naopak postupnou transformací od zeměpisných souřadnic na referenčním elipsoidu, přes zeměpisné souřadnice na referenční kouli, kartografické souřadnice, polární souřadnice k výsledným rovinným pravoúhlým souřadnicím. Výchozí referenční plochou při kartografickém zobrazování je referenční elipsoid nebo referenční koule. Referenční elipsoid je zpravidla používán tehdy, pokud je požadavek na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu. Využívá se zejména při zobrazení státních mapových děl, vizualizaci objektů a jevů databází státních informačních systémů apod. Referenční koule se využívá jako výchozí plocha zejména při tvorbě map menších měřítek (v atlasech, nástěnných map apod.) či při vizualizaci digitálních dat s menší rozlišovací úrovní. Referenční koule se používá též při řešení jednodušších navigačních úloh. Je ji však možné využívat při zobrazení státních mapových děl s vysokými požadavky na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu, potom ovšem ve variantě dvojitého zobrazení (například u Křovákova zobrazení, které je popsáno v kapitole 11). Kartografické zobrazení může být definováno geometrickou nebo matematickou cestou. Zobrazení definovaná geometrickou cestou se odvozují z matematického popisu perspektivní projekce referenčních těles (v podstatě však výhradně koule) na plochy rozvinutelné do roviny. Tato zobrazení jsou označována jako projekce a jsou v současné době používány poměrně zřídka. V podstatě všechna dnes používaná zobrazení j sou definována matematickou cestou. Poznámka: V anglické terminologii jsou však pod pojmem projekce (projection) uvažovány jak projekce ve významu uvedeném v předchozím textu, tak i všechna ostatní zobrazení. Zobrazení se třídí podle různých hledisek, z nichž nej významnější jsou vlastnosti zkreslení obrazu a tvar zeměpisné sítě v rovině. Dalšími hledisky je i tvar zobrazovacích rovnic, poloha konstrukční osy, počet na sebe navazujících částí, na které je povrch zobrazován apod. 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení Významnou třídou jsou zobrazení jednoduchá. Jejich charakter je možné přibližně vyjádřit pomocí geometrické představy promítání referenční plochy na plochy rozvinutelné do roviny, což se používá při rámcovém popisu zobrazení. Poznámka: Projekce i jednoduchá zobrazení mají totožné obecné tvary zobrazovacích rovnic, proto jsou projekce často zahrnovány do třídy jednoduchých zobrazení. Pod pojmem plochy rozvinutelné do roviny se rozumí plášť válce, kužele nebo rovina sama. Jednoduchá zobrazení se podle druhu zobrazovací roviny dělí na válcová (cylindrical), kuželová (conic) a azimutální (planar, azimuthal). Charakter zobrazení je výrazně ovlivněn vzájemnou polohou referenční plochou a konstrukční osou zobrazovací plochy. Konstrukční osa je u válcových zobrazení osou válce, u kuželových zobrazení osou kužele a u azimutálních zobrazení normálou k tečné rovině v tečném bodě (nebo ve středu zobrazovaného území). Je-li konstrukční osa totožná s osou rotace Země, je zobrazení označováno jako pólové (normální, polar), leží-li konstrukční osa v rovině rovníku, potom je zobrazení nazýváno příčné (rovníkové, transverzální, transversal), při obecné poloze konstrukční osy se zobrazení nazývá obecné (šikmé, oblique). 22 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obrazem zeměpisné sítě jednoduchých válcových zobrazení v pólové poloze soustava vzájemně ortogonálních přímek (Obr. 2-2). Souřadnice bodů na referenční ploše se přímo transformují na rovinné pravoúhlé souřadnice. Obecné rovnice pro toto zobrazení lze vyjádřit pro referenční elipsoid vztahy (2-1 ), pro referenční kouli potom vztahy ( 2-2 ): (2-1) (2-2) Obr. 2-2 Princip jednoduchého válcového zobrazení (převzato z [23]) Obraz zeměpisné sítě je u jednoduchým kuželových a azimutálních zobrazení v pólové poloze tvořen soustavou polopřímek vycházejících z jednoho bodu (poledníky) a oblouků soustředných kružnic (u kuželových zobrazení) nebo celých soustředných kružnic (u zobrazení azimutálních) s totožným středem (Obr. 2-3, Obr. 2-4). Obrazy poledníků a rovnoběžek jsou na sebe vzájemně kolmé. Obr. 2-3 Princip jednoduchého kuželového zobrazení (převzato z [23]) Zobrazovací rovnice u obou typů zobrazení mají podobný tvar a vycházejí nejprve z transformace souřadnic na referenční ploše na rovinné polární souřadnice podle obecných vztahů ( 2-3 ) pro referenční elipsoid a ( 2-4 ) pro referenční kouli: P = f(,X) y = f((p,A) budou mít tyto transformované body rovinné souřadnice P '[x, y] a Q '[x+dx, y+dyj (Obr. 3-2). Jejich vzdálenost v rovině bude opět délkovým elementem dS, jehož zeměpisný azimut v rovině bude A 'a jeho směrník ď. Délkový element na referenční ploše lze vyjádřit podle obrázku (Obr. 3-1) rovnicí ds2 = M2d(p2 + N2 cos2 (pdÁ2 (3-2} Tomuto elementu bude podle (Obr. 3-2) odpovídat délkový element v rovině: dS2 =dx2+dy2 Hodnoty dx a dy se určí jako totální diferenciály z obecných zobrazovacích rovnic ( 2-9 ): (3-3) dx ôx dx = —d(p-\--d A 8

Tangenta úhlu je v intervalu 360° dvojznačná (v I. a III. kvadrantu kladná a ve II. a IV. kvadrantu záporná). Proto rovnice ( 3-24 ) určuje dva azimuty: • 2Aa, • 2Ab = \m°-2Aa tedy: • Aa, • Ab = 90° -Aa Azimuty Aa, A b jsou měřeny na referenčním elipsoidu. Po jejich zobrazení do zobrazovací roviny budou označeny A'a, A 'b, přitom obecně platí: Aa* A'a,Ah*A'h Dosadí-li se hodnoty Aa, A b do rovnice ( 3-14 ), získají se dvě rovnice pro extrémní délková zkreslení ma a mb, která jsou ve vzájemně kolmých směrech: p m2 =m2cos2Aa+-sin24, +m2 sin2 An (3-25) MNcoscp a r 30 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ml = m2 cos2 Ab H--sin2^ +m2 sin2 Ab MNcoscp S uvážením, že Ab = 90° - Aa může mít druhá rovnice i tvar: p m2h = m2n sin2 An +-ún2An +m2r cos2 An ( 3"26 ) MNcoscp Směry a, b, ve kterých jsou extrémní délková zkreslení, se nazývají hlavní paprsky zkreslení. Hlavní paprsky zkreslení jako jediné ortogonální směry na referenční ploše zůstávají vzájemně kolmé i po zobrazení do roviny. Na obrázku (Obr. 3-3) je kružnice na referenčním elipsoidu o poloměru ds. Po jejím zobrazení do rovina se kružnice změní na elipsu, jejíž poloosy leží ve směrech hlavních paprsků zkreslení (Obr. 3-4). Velikosti jejich poloos budou a = ma ds a b = mb ds. Tato elipsa se nazývá elipsa zkreslení, též Tissotova elipsa, Tissotova indikatrix. Tvar elipsy a orientace jejích os umožňuje posuzovat hodnoty zkreslení a orientaci jeho extrémů v různých částech zobrazovaného území. Obr. 3-3 Diferenciální kružnice na referenčním Obr. 3-4 Obraz diferenciální kružnice v zobrazovací elipsoidu rovině Uvažuj e-li se elipsa zkreslení, lze obecný vzorec pro výpočet délkového zkreslení definovat i pomocí hodnot extrémů zkreslení a souřadnic definovaných v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení (Obr. 3-4): dS2 =m2ada2 +m2bdb2 kde podle (Obr. 3-3) je: da = ds cos pi db = ds sin pi Po dosazení do ( 3-1) se získá jednodušší vzorec pro výpočet délkového zkreslení: 2 2 2 2*2 ( '-1-97 ^ m =ma cos pi + mb sin pi y J L' > kde //je směrník uvažovaný od hlavního paprsku zkreslení a počítaný podle vztahu: 31 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ju = A-Aa 3.1.3 Extrémní délkové zkreslení na referenční kouli Pokud se jako referenční těleso uvažuje referenční koule o poloměru R, potom rovnice ( 3-24 ), ( 3-25 ) a ( 3-26 ) budou mít tvar: tg2Aa 2F [m2p -m2)R2cosU m2 = m2 cos2 A„ + F a R2cosU sin 24, +m2sm2 A„ F 2 2 • 2 a m, = wi sin Aa+ — p R2cosU 3.2 Úhlové zkreslení -sin2A„ +m2 cos2 A„ ( 3-28 ) ( 3-29 ) ( 3-30 ) Úhlově zkreslení Ac^je definováno vztahem ( 3-31 ): Aco = co' - co (3-31) kde co] e úhel na referenční ploše mezi dvěma směry PQ\ a PQi, co')q odpovídající úhel po zobrazení do zobrazovací roviny. Uhel co lze však vyjádřit i jako rozdíl dvou azimutu jak na referenční ploše (co=A2 -A{), tak i v zobrazovací rovině (co'=A i-A j), jak je ukázáno na obrázcích (Obr. 3-5 a Obr. 3-6). X Qi X' yQ'1 \__A2 \^_A'2 / P \ \ 00 ' Q2 \ co' _ Q'2 p\ Obr. 3-5 Úhel jako rozdíl dvou azimutu na referenční Obr. 3-6 Úhel jako rozdíl dvou azimutu v zobrazovací ploše rovině Zkreslení úhluje potom možné vyjádřit jako: Aco = (Ä2-A\)-(A2 -Al) = (Ä2-A2)-(A\-A,) = AA2 -AAl kde AA je zkreslení azimutu vyjádřené obecným vzorcem: AA = A-A (3-32) 32 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Zkreslení azimutu je možné odvodit z obrázku (Obr. 3-7) zobrazující rovinný obraz zeměpisného poledník A a libovolného směru s, jehož azimut v zobrazovací rovině je A' a na němž diferenciálně blízku od výchozího bodu /"leží bod Q'. Podle obrázku platí: Obr. 3-7 Azimut obecného směru v zobrazovací rovině Ä=\S0°-(ďp-ď) Lze psát: tgA = -tg(ďp-ď) Podle vzorce pro tangentu rozdílu dvou úhlů lze předchozí vzorec upravit: tgďp-ígď _ tgď-tgďp tgA \ + tgv'ptgď l + tgďptgď ( 3-33 ) Pro určení azimutu A 'je tedy nutné stanovit tangenty směrníků směru s a poledníku A. Podle obrázku (Obr. 3-7) lze směrník c'vyjádřit jako dy tgrj dx kde dx a dy je možné vyjádřit vztahy (3-3 ) a ( 3-4 ). Potom bude: tgď —dcp +—dA dq> dA dx dx —dcp-\--dA dq> dA (3-34) Dosadí-li se za diferenciály zeměpisných souřadnic tvary ( 3-12 ), rovnice ( 3-34 ) bude mít tvar: tgď dy cos A . dy sin A , dy .T . dy , . . . —--ds + —--ds —Ncos(pcosA + —MsmA ô

d A dA dq> tgA ( 3-37 ) f dx'] ( dy^ — + — d(p \dq> M . dx dx dy dy —cos q> cot gA -\----1--- N dep dA dep d A Využijí-li se Gaussovy koeficienty ( 3-7 ) ( 3-8 ): E fdx\2 F dep dxdx dy d(P. dydy --1-- dcpdA dcpdA a zavede-li se čtvrtý Gaussův koeficient H ^ _ dx dy dx dy d(p dA dA d(p potom lze výraz ( 3-37 ) psát ve tvaru: H ( 3-38 ) tgA'-- h — cos cp cot gA + r N ( 3-39 ) Pomocí rovnice ( 3-39 ) je tedy možné vypočítat k azimutu A obecného směru s na referenční ploše azimut A' obrazu tohoto směru v zobrazovací rovině a tím lze vypočítat i zkreslení azimutu AA. Ze znalosti zkreslení azimutu lze vypočítat i zkreslení obecného úhlu A ca Zkreslení azimutu je možné vypočítat i z extrémních hodnot délkového zkreslení. Protože podle obrázků Obr. 3-3 a Obr. 3-4 platí: db tg V da mbdb mda potom lze psát: jfi tgjU '=—^tgjU ( 3-40 ) Pokud je /u = A - Aa, lze tedy z něho vypočítat //' = A '- A 'a a tím i zkreslení směrníku /u i azimutu A podle vztahů (3-41 ) a ( 3-42 ): AjU = JLÍ-JU (3-41) 34 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie AA = Ä-A = Aju + Aa-Aa (3-42) 3.2.1 Úhlové zkreslení na referenční kouli Rovnice (3-38)a(3-39) budou mít na referenční kouli tvar: dx dy dx dy (3-43) H dU dV dV dU tgA'=-—- ( 3"44 ) EcoslI cotgA + F Ostatní odvozené vztahy jsou beze změny. 3.2.2 Extrémní úhlové zkreslení Z hlediska tvarů rovnic ( 3-39 ) a ( 3-40 ) v elipse zkreslení existují symetrické směry, ve kterých úhlové zkreslení dosahuje extrémů. Označí-li se tyto symetrické směry symbolem s, potom jejich směrníky v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení budou /4 a ju's a jim odpovídající azimuty AsaA 'e. Velikost extrémního zkreslení směrníku bude A/4 =Ju,s-Jus a velikost extrémního zkreslení azimutu AA =A 'e-Ae,. Podle pravidla pro hledání extrémů funkce platí: d(ju'-ju) = 0 z toho dju'=dju Diferencováním rovnice ( 3-40 ) se získá: 1 _mb 1 cos2/// macos2jUE ( 3-45 ) Protože obecně platí, že l + tg2x cos2 x lze rovnici ( 3-45 ) upravit na tvar: i+fcV=—(i+£2/0 <3-46) a po dosazení za tg2ju'z rovnice ( 3-40 ) pro hodnotu ju'e se obdrží: , m} 2 m, i 2 \ a odtud 2,. Mb tg M. m a \ma j ™L_i 35 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Lze tedy vypočítat: Pokud by se do výrazu ( 3-46 ) dosadila hodnota z výrazu ( 3-40 ) tgju, potom se získá obdobný výraz jako ( 3-47 ): (3"48) Vzorce ( 3-47 ) a ( 3-48 ) určují jak na referenčním elipsoidu, tak i v zobrazovací rovině čtyři symetrické směry s dané dvojznačností tangenty v intervalu 0°- 360° a kladnou a zápornou hodnotou výrazu ///„ ///,,, resp. ///,, ///„ po odmocnění. V těchto směrech dosahuje úhlové zkreslení svých extrémů. Ze známých hodnot jUs a ju's se vypočítá na základě vzorce ( 3-41 ) velikost extrémního zkreslení směrníku AME =Ms'-Ms Uvedený vzorec je možné dále upravovat a po dosazení za tgjus a tg/u'e ze vzorců ( 3-47 ) a ( 3-48 ) se získá tvar: mh — wi j^A^e=—5=2r (3-49) který je ještě možné upravit podle obecného vztahu tgx sin x ■ 2x fi+tg na tvar m — m sinA//E= b a (3-50) mb +ma Ze znalosti hodnoty AjUs je možné vypočítat hodnotu extrémního zkreslení azimutu podle vztahu ( 3-42 ): ME=AuE+Äa-Aa (3-51) Pomocí vyjádření extrémního zkreslení směrníku uvažovaného v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení je možné odvodit vzorec pro výpočet extrémního zkreslení obecného úhlu. K jeho odvození se využije elipsa zkreslení (Obr. 3-8), na níž jsou vyznačeny jak směry s vymezené v zobrazovací rovině směrníky ju'e, tak i odpovídající směry na referenčním elipsoidu (zde označené vymezené s), které mají směrníky jue.. Všechny čtyři dvojice svírají stejný úhel AjUs. Z obrázku je patrné, že právě úhly sevřené jednotlivými směry s budou nejvíce zkreslené a platí pro ně vztah: 36 a lze tedy vypočítat extrémní úhlové zkreslení Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (3-52) x84 a El . S3'/ Obr. 3-8 Směry extrémů úhlového zkreslení Při vyhodnocování extrémního úhlového zkreslení jeho znaménko nemá praktický význam a proto se většinou uvádí v absolutní hodnotě. Dosadí-li se výraz ( 3-52 ) do výrazu ( 3-50 ), získá se po úpravě nejvíce používaný vztah pro výpočet extrémního zkreslení: A&> m, -m„ sin- mb +ma (3-53) Poznámka: Při rozborech kartografických zobrazení se úhlové zkreslení vyhodnocuje pouze výjimečně a často se uvažují pouze jeho extrémní hodnoty. Proto se zpravidla vynechává znak extrému s a symbolem Aco se rozumí přímo extrémní úhlové zkreslení. 3.3 Plošné zkreslení Plošné zkreslení je definováno výrazem: dP dp m Pi (3-54 ) kde dp je diferenciální plocha na referenční ploše, dP]e odpovídající diferenciální plocha v zobrazovací rovině. Diferenciální plochu lze na referenční ploše vymezit diferenciálně blízkými poledníky a rovnoběžkami jako čtyřúhelník (Obr. 3-9). Tato plocha bude mít velikost: dp = MN cos(pd(pdA Po zobrazení uvedené diferenciální plochy do roviny bude mít obecně tvar rovnoběžníka, ve kterém bude úhel rovnoběžky a poledníku^ ŕ. Z obrázku (Obr. 3-10) plyne dP = mpmrMNr cos (pd(pdA sin Ar' Dosadí-li se výše uvedené hodnoty do výrazu ( 3-54 ), obdrží se vzorec pro výpočet plošného zkreslení: 37 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m pi mp mrMN cosqd (pdX sin Ar MNcosgxIgxIA m Pi ■ mpmr sin Ar (3-55) Obr. 3-9 Diferenciální plocha na referenčním elipsoidu Obr. 3-10 Obraz diferenciální plochy v zobrazovací rovině Plošné zkreslení lze vypočítat i z poměru plochy diferenciální kružnice na referenční ploše a jejího obrazu v zobrazovací rovině - elipsy zkreslení. Plocha kruhu na obrázku (Obr. 3-3) je dp = Tľds1 Plocha elipsy na obrázku (Obr. 3-4) potom je dP = 7unadsmbds Po dosazení uvedených výrazů do vzorce ( 3-54 ) lze vypočítat plošné zkreslení i ze známých hodnot extrémů délkového zkreslení mPi=mamb ( 3-56 ) 3.4 Zákony zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic Ke zobrazení referenční plochy do roviny a k vyjádření zákonů zkreslení se v případě kuželových a azimutálních zobrazení využívají polární rovinné souřadnice p, s, do nichž jsou transformovány výchozí zeměpisné souřadnice q>, A. Polární rovinné souřadnice jsou teprve následně transformovány do pravoúhlé souřadnicové soustavy - do souřadnic x, y. Mezi jednotlivými souřadnicemi platí vztahy (viz odstavec 2.4 , vztahy (2-11 ) a odstavec 1.2.3 , vztahy ( 1-28 )): P = f() Pomocí rovnic ( 3-57 ) a ( 3-58 ) je možno vyjádřit zákony zkreslení. Je však nutné nejprve odvodit Gaussovy symboly E, F, G, H. Rovnice ( 3-57 ) a ( 3-58 ) jsou složitější než 38 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie zobrazovací obecné rovnice. Funkční závislosti mezi zeměpisnými a konečnými rovinnými pravoúhlými souřadnicemi je možné vyjádřit následujícím schématem: • x -> xv ->

p ->

p ->

X -> X -> s ->

->

X Schéma je možné využít jako pomůcku pro parciální derivace rovnic ( 3-58 ): dx _ dx dxv dx dp dx ds d

dp dq> ds dq> dx _ dx dp dx ds dk dp dk ds dk dy _dy dp ^dy ds d

G = jV2cos> (4-8) Ncoscp Pro referenční kouli vztah ( 4-8 ) platí obdobně 4g RcosU l^g = R2cos2U (4"9) Hodnoty Gaussových koeficientů E, g budou mít tvary dané parametry konkrétní referenční plochy a konkrétními zobrazovacími rovnicemi použitého zobrazení. 4.2 Ekvivalentní zobrazení Základní vlastností ekvivalentního zobrazení je, že se při jeho použití nezkreslují plochy zobrazovaných objektů a jevů, případně jsou tyto plochy konstantně zkreslené v celém zobrazovaném území. Tato varianta je však pouze modifikací (měřítkovou změnou) základního ekvivalentního zobrazení a proto ji není nutno uvažovat jako zvláštní případ. Podmínku zachování velikosti ploch je možné vyjádřit z obecné rovnice plošného zkreslení (viz ( 3-55 )): mpl=\ (4-10) kterou lze psát ve tvaru: 44 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m„mr smA =1 (4-11) p r Vzorec ( 4-11 ) se výhodně používá i pro rozpoznávání ekvivalentních zobrazení, a to zejména pro jednoduchá. U těchto zobrazení platí A'r = 90°; výše uvedený vzorec potom nabývá tvaru: mpmr=l (4-12) Jiné vyjádření podmínky ekvivalentního zobrazení vychází ze vztahů pro plošné zkreslení využívající Gaussovy koeficienty. Pro ekvivalentní zobrazení z referenčního elipsoidu lze psát: H \^>H =MNcoscp (4-13) MN cos cp Pro ekvivalentní zobrazení z referenční koule bude mít podmínka tvar: H o (4-14) :1=>H = R2cosU R2cosU Hodnota koeficientu H je vyjádřena podle druhu referenční plochy a typu zobrazení. Uvedená podmínka se využívá zejména u nepravých nebo obecných zobrazení. 4.3 Konformní zobrazení Vlastností konformního zobrazení je, že nezkresluje úhly. Tuto vlastnost je možné vyjádřit vztahem: Acv = 0 (4-15) Uhlové zkreslení je obecně dáno vzorcem (( 3-53 ), viz. odstavec 3.2 ): . Acos mb-ma (A^f,^ sin-= -2- (4-16) 2 mb+ma Vzhledem ke vzorci ( 3-53 ) bude podmínka (4-15 ) splněna pouze za předpokladu, že: ma =mb (4-17 ) Hodnoty ma a ntb jsou extremními hodnotami délkového zkreslení. Pokud se mají tyto dvě hodnoty rovnat, potom je délkové zkreslení konstantní a nezávislé na směru azimutu délkového elementu. Elipsa zkreslení se tudíž zobrazuje jako kružnice. Z obecné rovnice délkového zkreslení dané vztahem ( 3-23 ) (viz odstavec 3.1): 2 2 2 ^T * 2*2 m =m„cos A-\--sin2A + mr sin A MNcos cp je zřejmé, že konstantní délkové zkreslení bude pouze v případě platnosti podmínek: 1. mp = mr 2. F = 0 První podmínku lze vyjádřit i pomocí Gaussových symbolů. Pro referenční elipsoid lze psát: 45 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 4Ě= 4g _e= M2 (4.18) M Ncosy G N2 cos2 q) Pro referenční kouli lze psát obdobně: ■Je _ Vg e _ i (4.19) "^"iŕcosf/^G'cos2^ Hodnoty Gaussových koeficientů budou vyjádřeny opět podle druhu a charakteru daného zobrazení. Konformní zobrazení lze definovat i pomocí izometrických souřadnic. V kapitole Referenční plochy a souřadnicové soustavy byly odvozeny vztahy pro výpočet izometrické šířky na referenčním elipsoidu a na referenční kouli. Vyjde-li se z obecné rovnice délkového zkreslení ve tvaru: m2 dS2 ds 2 a dosadí-li se za diferenciály délek jejich tvary vyjádřené v diferenciálech izometrických souřadnic (viz kapitola 1), lze psát: m1 dx2+dy2 (4"2°) N2 cos2 cp{dq2 +dA2) V konformním zobrazení nesmí být zkreslení délkového elementu závislé na jeho azimutu. Bude uváženo, kdy bude rovnice ( 4-20 ) vyhovovat této podmínce. Azimut délkového elementu na referenční ploše lze vyjádřit: N cos cpdA tgA =- Mdcp neboli: . dA dq Směrník v zobrazovací rovině se vyjádří vztahem: , dy dx Je tedy zřejmé, že závislost délkového zkreslení na směru délkového elementu vyjadřují poměry diferenciálů zeměpisných (izometrických) a rovinných souřadnic. Aby zobrazení bylo konformní, nesmí se ve výrazu ( 4-20 ) uvedené diferenciály vyskytovat. To bude splněné pouze za předpokladu využití obecných zobrazovacích rovnic ve tvaru: x + iy = f(q + iA) (4-21) x-iy = f(q-iA) (4-22) Přitom pro praktické použití stačí uvažovat pouze jednu z uvedených funkcí. 46 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 4.4 Konformní zobrazení geodetické čáry Většina úloh praktické geodézie je řešena v rovině konformního zobrazení. Při jejich řešení je nutné znát průběh rovinného obrazu geodetických čar, kterými jsou poledníky, rovník a všechny ostatní nej kratší spojnice dvou bodů na referenčním elipsoidu, tedy i strany trigonometrických sítí. Změny průběhu uvedených geodetických čar, které jsou výsledkem jejich zobrazení do roviny konformního zobrazení, se projevují v tzv. korekcích ze zobrazení, tedy jako směrová a délková korekce geodetické čáry [14]. 4.4.1 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení Podle [22] lze prostorové čáře definovat geodetickou křivost y jako křivost pravoúhlého průmětu této čáry do tečné roviny vdaném bodě, pro který je křivost počítána. Dále lze definovat geodetickou čáru (geodetickou křivku) jako čáru, jejíž geodetická křivost y je v každém jejím bodě rovna 0. Protože konformní zobrazení není ortogonální, geodetické čáry se v rovině tohoto zobrazení obecně zobrazují jako křivky, jejichž křivost se v každém bodě mění. Definici změny křivosti je nutné vyjít ze situace ilustrované na obrázku (viz Obr. 4-1) dS' _B' Obr. 4-lPrůběh geodetické čáry v rovině konformního zobrazení Mějme na referenčním elipsoidu diferenciální pravoúhlý čtyřúhelník PQBA omezený stranami ds a dt, které jsou částí geodetických čar. Po jeho zobrazení do roviny konformního zobrazení se sice zachovají pravé úhly u vrcholů čtyřúhelníka, avšak každá strana bude jinak zakřivena a bude délkově zkreslena. Po zobrazení budou tyto strany označeny dS, dS', dT a dT'. Na základě obrázku (Obr. 4-1) lze zkoumat křivost Y elementu dS v bodě P'. Z obrázku je zřejmé, že: dS = -da. (4-23) r Pokud se zanedbá minimální rozdíl mezi délkami křivek A 'B' a A 'C, potom lze psát: dS'=dS + dodT. (4"24) Po dosazení za duz (4-23) do (4-24) se získá vztah: 47 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dS'= dS(l + TdT). Pokud se vydělí obě strany rovnice ( 4-33 ) hodnotou ds, potom bude: *l = *(i+rv/r) ds ds (4-25) (4-26) Výraz dS/ds je výrazem pro délkové zkreslení m v bodě P' a výraz dSVds vyjadřuje délkové zkreslení v bodě A', jehož hodnota je proti hodnotě délkového zkreslení v bodě i5' změněna o dm. Tuto změnu je možné vyjádřit jako: ds = m + dm (4-27) m + dm = m(í + rdT) (4-28) Po dosazení výrazů pro délkové zkreslení a jeho změnu do (4-26) se získá výraz: a z něho po úpravě: 1 dm r = (4-29 ) m dT kde m je tedy délkové zkreslení a dm/dT]e změna zkreslení ve směru kolmém ke geodetické čáře. Poznámky: 1. Délkové zkreslení m je počítáno pro délková element ds mezi body P a Q, který má azimute. Změnu tohoto zkreslení ve směru kolmém na element ds lze vypočítat pomocí stejného výrazu, pokud se změní hodnota azimutu a 90° v příslušném směru. 2. Je-li geodetická čára vedena kolmo k ekvideformátám, potom dm/dT = 0 a proto její obraz bude přímka. Pokud je geodetická čára ve směru ekvideformát, potom změna zkreslení v kolmém směru bude maximální a tedy bude i její obraz maximálně zakřiven (viz obrázek Obr. 4-2). Obr. 4-2 Průběh geodetické čáry vzhledem k ekvideformátám Délkové zkreslení se mění v závislosti na poloze konkrétního bodu na dané geodetické čáře. Pro výpočty zejména v geodetické praxi je ale nutné znát především tvar geodetické čáry na jejím počátečním a koncovém bodě a délku jejího obrazu. Tyto vlastnosti lze určit pomocí výpočtů tzv. směrové a délkové korekce geodetické čáry. 48 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 4.4.2 Směrová korekce geodetické čáry Strany trojúhelníků trigonometrických sítí jsou geodetickými čarami. Na kouli jsou tyto čáry součástí hlavních kružnic, na referenčním elipsoidu jsou částmi zmíněných geodetických čar. K pochopení principu výpočtu směrové korekce v jakémkoliv zobrazení (tedy nejen v konformním) je možné využít jeden sférický trojúhelník ABC na kouli, jehož vrcholové úhly jsou a, /?, y (Obr. 4-3) (podle [15]). Při zobrazení tohoto trojúhelníka do roviny některou ze zobrazovacích metod, budou všechny úhly zkresleny a nabydou hodnot a', /?', y' (Obr. 4-4). Zkreslení těchto úhluje možné vyjádřit rovnicemi: Aa = ď-a, A/3 = j3'-j3, Ay = y-y (4"30) S výjimkou gnóm oni cké projekce se části oblouků hlavních kružnic zobrazí jako křivky. Obr. 4-3 Sférický trojúhelník ABC na kouli Obr. 4-4 Obraz sférického trojúhelníka A'B'C'v zobrazovací rovině Ve sférickém trojúhelníku platí pro součet jeho vrcholových úhlů vztah: a + j3 + y = lS0° + s, kde e je sférický exces. Pokud se řeší vztahy v trojúhelníku v rovině, což je typické pro všechny úlohy praktické geodézie, nepočítá se s křivkami, ale s přímými spojnicemi vrcholů A'B', A 'C, B'C. Součet vrcholových úhlů, které jsou mezi uvedenými přímými spojnicemi, potom bude: a0+j80 + y0=\S0° Přímé spojnice vrcholů trojúhelníka A 'B 'C svírají s tečnami ke křivkám (obrazům hlavních kružnic) v bodech A', B', C malé úhly ô, které se nazývají směrové korekce. Aby bylo možné trojúhelník řešit v rovině, je nutné směrníky příslušných trigonometrických stran opravit o příslušnou směrovou korekci, pomocí které se převede křivka na přímku. Podle obrázku (viz Obr. 4-4) budou využity následující směrové korekce: • wboděA':SAB;SAC; • v bodě 5': SBA-, SBC; • v bodě C: óCA; óCB. Potom lze vypočítat vrcholové úhly v rovinném trojúhelníku A'B'C pomocí následujících vztahů: a0 = a±SA.B. ± 8A.C. (4-31) 49 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie P0=P'±ÔKA,±ÔB,C, r0=r'±ôc,A,±sc,B, Vztahy ( 4-31 ) jsou platné pro všechny zobrazení s výjimkou gnómonické projekce. U konformních zobrazení se úhly nezkreslují, proto všechny rozdíly úhlů počítané podle ( 4-30 ) jsou nulové a potom lze tedy psát: a0=a±8A.B. ±8A.C. P0=P±ÔB,A,±ÔB,C, (4-32) n=r±8c.A.±sc.B. Vrcholové úhly se počítají z naměřených hodnot úhlů v terénu, s nichž se získávají směrníky geodetických čar o. Příslušný vrcholový úhel je tedy získán z rozdílů směrníků jednotlivých stran daného trojúhelníku. V další části je tedy uvedený pouze postup odvození výpočtu směrové korekce jedné strany trojúhelníka. Vzhledem k obvyklé délce stran trojúhelníků v trigonometrické síti nebo velikosti měřených délek je možné použít výše uvedené závěry i pro plochu referenčního elipsoidu. Výchozí situace je na obrázku (viz Obr. 4-5), 1 k —~iV- r.dX-~

Y u Obr. 4-6 Rovinný obraz geodetické čáry v rovině konformního zobrazení Praktický postup výpočtu odvodil Laborde, který aplikoval konformní válcové zobrazení pro území Madagaskaru1. Aby bylo možné snadněji odvodit průběh této čáry, je definována pomocná soustava pravoúhlých souřadnic £n. Počátek této souřadnicové soustavy je v bodě P±, osa n je ve směru tečny k obrazu geodetické čáry a osa <^ je na ni kolmá. V pomocném souřadnicovém systému lze vyjádřit směrovou korekci geodetické čáry v bodě P±: siná=^ (4-34) 1 D • S využitím obrázku (viz Obr. 4-1) lze studovat změny souřadnic £ n na dalších částech obrazu geodetické čáry (Obr. 4-7). 1 Laborde byl kapitán delostrelectva Francouzské armády a uvedený postup publikoval v roce 1928 v práci „La nuvelle projection du service geographique de Madagascar" 51 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (4-35) Obr. 4-7 Detail průběhu obrazu geodetické čáry Podle tohoto obrázku platí: -dč,= sin (cr - <7^)dS, drj = cos(cr -ar)dS . Obě goniometrické funkce je možné rozvést v řadu. Vzhledem k velmi malé hodnotě rozdílů směrníků (cr oi) je možné uvažovat rozvoj pouze do druhé mocniny. Lze tedy psát: dč, = -(cr - (7^)dS, (4-36) dn Z rovnice ( 4-23) lze určit: da = FdS dS. (4-37) Křivost obrazu geodetické čáry T se mění se změnou polohy bodu na této čáře, pro který je křivost počítána. Lze tedy říci, že je funkcí délky oblouku S. Tuto funkci je možné vyjádřit MacLaurinovou řadou jako: (4-38) r = f(s)=f(o)+f(o)s+r(o) 2! S využitím rovnice ( 4-29 ) a se zanedbáním členů s druhou a vyšší mocninou, což nemá vliv na požadovanou přesnost výpočtů, je možné vypočítat křivost obrazu geodetické čáry v libovolném bodě jako funkci křivost této čáry v počátečním bodě P±. Bude tedy: r = r1+r^. (4-39) Pokud se dosadí výraz (4-39 ) do (4-37), potom je možné psát: d(t = (rl+rls)ds. (4-40) 52 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Výraz ( 4-40 ) je možné integrovat: jda = j(Tl+T\S)dS (4-41) a tím získat vztah: S2 ct-ct, = r.s+r,—. íi 12 (4-42) Tímto vztahem je možno vypočítat směrník obrazu geodetické čáry v libovolném bodě této čáry. Jeho souřadnice v souřadnicovém systému £ n se vypočítají z rovnic ( 4-36 ). Se zanedbáním vyšší mocniny ne 3. lze psát: ( 1, bude se síť poledníků na kouli překrývat. Obecné vztahy pro zkreslení délek ve směrech poledníků a rovnoběžek jsou dány poměry elementů délek na referenční kouli a příslušných délek na referenční ploše. V shodě se vztahy (3-1 ) z kapitoly 3 bude: RdU mn=- ( 5-4 ) p Mdcp R cos UdV R cos U ,, ,, mr=-= a- (5o) N cos (pdA N cos q> S využitím vztahů ( 3-23 ), ( 3-53 )a ( 3-56 ) z kapitoly 3 je možné počítat všechna ostatní zkreslení. Nejprve je však nutné vypočítat hodnotu koeficient F. Vzhledem ke tvaru funkcí (5-1 )a(5-2)je nutné nejprve upravit výraz ( 3-19 ) z kapitoly 3. Po úpravě bude: 3c TJ J Mdq> cosU J Ncos(p čímž se získá zobrazovací rovníce: Q = aq + ln k 59 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie kde k je integrační konstanta zavedená ve vhodné funkci. Po dosazení za Q a q z rovnic (1-23 ) a (1-19) z kapitoly 1 a po odlogaritmování bude zobrazovací rovnice ve tvaru: fu 2 tg - + 45° tgu\ ^ + 45 /- N "V 1 - e sin cp 1 + e sin ^9 (5-17) Druhá zobrazovací rovnice je dána výrazem ( 5-3 ). Zkreslení je potom dáno rovnicemi: RcoslI rr,^ m = m =mr=a- ( 3-18 ) N cos cp mpl=m2 ^-19) Aú) = 0 (5-20) Pro výpočet souřadnic na kouli a zkreslení je nutné ještě určit konstanty a, k a R. K tomu se definují doplňující podmínky, které specifikují charakter zobrazení. Pokud je požadováno souvislé zobrazení celého povrchu koule, potom podle vztahu ( 5-3 ) bude oc=\. V případě, že se rovník na elipsoidu zobrazuje jako rovník na kouli, potom z rovnice ( 5-17 ) po dosazení za q> = 0° za U = 0° plyne, že k = 1. V tomto případě bude délkové zkreslení na rovníku rovno jedná a od něho na sever i na jih bude narůstat. Častěji se zobrazení používá pro vybranou část povrchu elipsoidu (například při Křovákově zobrazení nebo při zobrazení státních map Švýcarska), kdy se nepožaduje ani ztotožnění obrazů rovníků obou těles ani souvislé pokrytí zeměpisnou sítí celého povrchu referenční koule. Protože toto řešení je zpravidla používáno při definici zobrazení pro státní mapová díla, jsou zde zvýšené nároky na minimalizaci zkreslení v okolí základní rovnoběžky (po, které sama se délkově nezkresluje. Dále je uvedeno řešení, které odvodil Gauss. Pokud je daná podmínka, aby území mezi dvěma rovnoběžkami (p a q>s bylo zobrazena na referenční kouli s minimalizací zkreslení, zvolí se mezi nimi základní rovnoběžka (po. Ta bude zobrazena na kouli jako rovnoběžka Uo bude nezkreslená. Na ní platí: RcosU0 m0 = a-— = 1 (5-21) N0 cos (p0 Vztáhne-li se potom obecná zeměpisná šířka k základní rovnoběžce, lze psát: (p = (p0 + A(p Délkové zkreslení, které je funkcí (pize potom vyjádřit i obecným vztahem: m = f((p) = f((p0+A(p) který je možné za předpokladu malého rozsahu Aq> rozvinout v Taylořovu řadu k zeměpisné šířce (po: m=fM+/'M^+f'M^f+rM^f+••• (5"22} První člen rozvoje je dán výrazem ( 5-21 ). Pro to, aby délkové zkreslení v celém zobrazovaném území bylo minimální, stanovil Gauss podmínku, že délková zkreslení 60 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie počítaná podle vztahu ( 5-22 ) byla závislá pouze na derivacích 3. a vyšších řádů. Z toho plyne, že: /W = 0a/'fo,) = 0 Společným řešením uvedených tří rovnic pro délkové zkreslení se získají konečné vztahy pro požadované tři konstanty:" 2 1 30° 20" 10° 10° 20° 30° 40- S.Q" Mariniho ekvidistantní válcové zobrazeni 1.35 -i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i— 1.3 ■ 1.25 ■ \ — -X- 1.2 ■ 1.15 ■ -x /-- 1.05 ■ s- 0.95 ■ 0.9 ■ -40 -30 -20 -10 0 u 10 20 30 40 Obr. 6-2 Ukázka Marinova zobrazení pro území Afriky doplněné grafem délkového zkreslení 64 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 6.3 Ekvivalentní válcové zobrazení Při ekvivalentním válcovém zobrazení se nezkreslují plochy. Proto platí vztah: mpl =mpmr =1 Po dosazení za délková zkreslení vzorců ( 6-3 ) a ( 6-5 ) se obdrží vztah: n =\ (6-12) RdU RcosU Při ztotožnění obrazu rovníku s osou Y lze výraz ( 6-12 ) integrovat: R2U \dx = — \cosUdU n 0 a po integraci se obdrží první zobrazovací rovnice: x = — smU (6-13) n Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y = nV Zkreslení v poledníku a rovnoběžce mají vzájemně reciprokou hodnotu (viz vztah (6-12 )). Všechna zkreslení jsou tedy dány výrazy: 1 RcosU mp= — =- mr n (6-14) mPi =1 . Aco nl-RlcoslU sin-= —----— 2 n2+R2 cos2 U Konstanta n je volena na základě požadavků na nezkreslený rovník nebo dvě symetrické rovnoběžky s využitím vztahů ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Vlastností ekvivalentního válcového zobrazení je zmenšující se vzdálenost rovnoběžek s rostoucí zeměpisnou šířkou. Zobrazení se používá buďto s nezkresleným rovníkem (zobrazení Lambertovo podle Johanna Heinricha Lamberta, 1728 - 1777) nebo se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami (zobrazení Behrmannovo, Walter Emmerich Behrmann, 1882 -1955). Zobrazení se používá u map velmi malých měřítek v případě, že je nutné zachovat velikosti ploch (velikosti území států, tematických areálů apod.). Na následujících obrázcích (Obr. 6-4 , Obr. 6-5) jsou ukázky zobrazení Afriky v Lambertově izocylidrickém a Behramnnově zobrazení. 65 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 6.4 Konformní válcové zobrazení Zobrazovací rovnice konformního zobrazení se odvodí z podmínky konformity (viz odstavec 4.3 ): mp =mr ve které se za mp a mr dosadí výrazy ( 6-3 ) a ( 6-5 ). Tím se obdrží základní rovnice: dx _ n MU ~ RcosU Pokud se ztotožní obraz rovníku s osou Y, výraz se integruje v mezích: 66 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie x U jdx = n j o o cosll dU Po integraci se získá první zobrazovací rovnice ve dvou formálních variantách: x = nQ = n ln tg(— + 45°) (6-15 ) Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y = nV Rovnice zkreslení v případě uvážení vztahu mp = mr = m nabudou tvaru: n m =- R cos U (6-16) Ao = 0 Konstanta n se opět volí na základě doplňujících podmínek ve tvaru ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Konformní válcové zobrazení je typické zvětšováním vzdálenosti rovnoběžek směrem k oběma pólům. Na mapách v tomto zobrazení není možné póly zobrazit, neboť leží v nekonečnu vzhledem k rovníku. Proto se zobrazení používá nejčastěji pro území s polohou v blízkosti rovníku. Příklad použití uvedeného zobrazení pro území Afriky je na obrázku (Obr. 6-6), kde je připojen i graf délkového zkreslení. Opět jako v předešlých případech byla volena varianta se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Uq = ± 20°. Popsané zobrazení se nazývá podle holandského kartografa Mercatorovo (Gerardus Mercator, vlastním jménem Kraemer, 1512 - 1594). Mercator zobrazení již odvodil pomocí matematického aparátu ze zákonů zkreslení. Poznámka: Jednoduché konformní válcové zobrazení celé Země v pólové poloze bylo často používáno zejména pro tvorbu námořních navigačních map, protože se v něm čáry stejných hodnot azimutu (loxodromy) zobrazovaly jako přímky. To mělo své výhody, pokud se k navigaci používaly zejména magnetické přístroje (kompasy, ...). S přechodem na moderní metody navigace a začátkem plavby podél ortodrom, frekvence využití tohoto zobrazení se výrazně snížila. 67 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 0,9 -I—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I—1—I—L. -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Obr. 6-6 Ukázka konformního válcového zobrazení Mercatorova se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami U0= +20° pro území Afriky doplněné grafy délkovýcho zkreslení 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení Všechna válcová zobrazení značně zkreslují oblasti kolem pólů. Jsou proto vhodná zpravidla pro zobrazení pouze pro úzkých pásů podél zeměpisného nebo kartografického rovníku (hlavní kružnici na kouli). V případě použití válcového zobrazení území rozloženého podél kartografického rovníku (rovníková nebo šikmá poloha), je nutné ve všech vzorcích zaměnit souřadnice U a V souřadnicemi kartografickými Š a D. Vztah mezi kartografickými a zeměpisnými souřadnicemi je dán vzorci (viz vzorce ( 1-24 ) a ( 1-25 )). K jej ich určení je však nutné znát polohu kartografického pólu Uk a Vt, kterou je možné vypočítat ze známých zeměpisných souřadnic dvou bodů ležících na kartografickém rovníku (tedy zpravidla na podélné ose zobrazovaného území). Pro určení zeměpisných souřadnic je vhodné využít mapu, na které je již území jednou zobrazené. Body definující polohu kartografického rovníku se vybírají co nejdále od sebe. Jejich zeměpisné souřadnice budou P\ (Ui, V\) a Pi {Ui, Vi). K výpočtu polohy kartografického pólu se potom využijí vztahy odvozené v téže kapitole. 7. Jednoduchá kuželová zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení mají poledníky zobrazené jako osnovu přímek vycházející z jednoho bodu - počátku polárního souřadnicového systému. Rovnoběžky jsou částí soustředných kružnic opět se středem v počátku rovinného polárního souřadnicového systému. Zeměpisný (nebo kartografický) pól se zobrazuje jako bod totožný se středem obrazů rovnoběžek nebo jako část kružnice. Poledníky a rovnoběžky jsou navzájem ortogonální a současně v jejich směrech leží hlavní paprsky zkreslení. Všechny dále odvozené vztahy budou platné pro pólovou polohu při zobrazení referenční plochy koule do roviny. Při použití rovníkové nebo šikmé polohy se ve všech vzorcích zeměpisné souřadnice nahradí souřadnicemi kartografickými. 68 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7.1 Základní vztahy a vzorce Při použití kuželových zobrazení se zpravidla střední poledník (tvořící osu zobrazovaného území) volí jako základní poledník Vo tohoto zobrazení. Do jeho obrazu se vkládá osa X a současně je mu přisouzena nulová hodnota zeměpisné délky. Kuželová zobrazení jsou vhodná pro zobrazování území rozložená podél zeměpisných (nebo kartografických) rovnoběžek. Rovník od těchto území bývá často značně vzdálen bez možnosti jeho zobrazení, proto se počátek rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy volí v průsečíku základního poledníku a základní rovnoběžky, která přibližně prochází středem zobrazovaného území (viz Obr. 7-1) Obr. 7-1 Volba počátku rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy u kuželových zobrazení U kuželových zobrazení se zobrazovací rovnice i zákony zkreslení vyjadřují v rovinných polárních souřadnicích pas, které se transformují do rovinných pravoúhlých souřadnic pomocí vztahů (7-1 ), tedy x = xv- p cos s y = psins (7-1) Počátek polární souřadnicové soustavy je v bodě V (vrchol kužele), který má konstantní hodnotu souřadnice x označenou xv. (7-2) Obecné rovnice kuželového zobrazení j sou ve tvaru ( 7-2 ), tedy p = f(u) s = f (V) První zobrazovací rovnici je možné vyjádřit s ohledem na základní rovnoběžku ve tvaru: P = P0+f(U-U0) (7-3) kde poje průvodič základní rovnoběžky, který současně určuje její vzdálenost od počátku rovinného polárního souřadnicového systému. S ohledem na obrázek (Obr. 7-1) platí Po =*v (7-4) 69 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie U kuželových zobrazení se dále požaduje, aby úhlová vzdálenost obrazů poledníků byla při konstantním přírůstku AJ7 též konstantní. Druhou obecnou zobrazovací rovnici je potom možné uvést ve tvaru: s = nV (7-5) kde V]q zeměpisná délka počítaná od základního poledníku pro dané území Vo a n je konstanta nabývající hodnot (0;1) v závislosti na doplňujících podmínkách pro vybraný typ zobrazení. Vzhledem k tomu, že se opět jedná o jednoduché zobrazení, budou hlavní paprsky délkového zkreslení ležet ve směrech poledníků a rovnoběžek. Hodnoty tohoto zkreslení je možné vyjádřit poměrem délkových elementů v zobrazovací rovině a na referenční kouli ve tvarech (Obr. 7-2): p RdU dp_ (7_6) RcosUdV Záporné znaménko u proměnné dp ve vzorci ( 7-6 ) je formálním vyjádřením vzájemné protichůdnosti růstu hodnot U a p. Rovnici ( 7-7 ) je možné upravit vzhledem ke tvaru rovnice ( 7-5 ), jejíž derivace bude: ds = ndV ds n =- dV Rovnici ( 7-7 ) je potom možné psát ve tvaru: m = Hp (7-8) r RcosU X v -< \ \ \ \\. \ \ \ \ \ \ \ \ p \ \pde\, ÁJ+dU \dp /U \ \ ^\y+dv ' \v 0 y Obr. 7-2 Délkové elementy poledníku a rovnoběžky u kuželových zobrazení Úhlové a plošné zkreslení je možné vyjádřit ve tvarech ( 7-9 ) a, ( 7-10 ) tedy: 2 mr+mp 70 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie mpl =mrmp y /_1U > Všechna zkreslení jsou funkcemi pouze jedné proměnné - zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p. Ekvideformáty stejných hodnot zkreslení mají proto tvar soustředných kružnic se středem v počátku polárního systému V. U kuželových zobrazení je možné nalézt vždy jednu ekvideformátu (rovnoběžku), s minimální hodnotou zkreslení, která může být případně rovna jedné. Od této rovnoběžky zkreslení roste na v obou směrech zeměpisné šířky, avšak nesymetricky. Obrazem pólu může být bod nebo část kružnice. Kuželová zobrazení mohou být řešena s jednou nebo dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami. Zobrazení jsou matematicky definovaná, přesto tyto varianty je možné si geometricky představit jako tečný, resp. sečný kužel. 7.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení je možné jako ekvidistantní řešit pouze jako ekvidistantní v polednících. Pro ně lze napsat podmínku: mp =1 ^ (7-11) dp _l y ' RdU Řešení rovnice (7-11) vztažené k základní rovnoběžce Uo je možné napsat ve tvaru: p u $dp = -R$dU Po uo ze kterého se získá tvar zobrazovací rovnice pro p. p = pQ-R(U-U0) (7-12) Význam jednotlivých veličin rovnice ( 7-12 ) je zřejmý z obrázku (Obr. 7-3). Na obrázku je též patrný rozdíl v použití uvedené rovnice pro zeměpisné šířky větší, resp. menší než je Uo. Zobrazovací rovnice pro e má tvar ( 7-5 ), tedy: s = nV Vztahy pro zákony zkreslení vyplývají z rovnic ( 7-11 ), ( 7-8 ), .... Pro tuto variantu zobrazení budou ve tvarech: mp =1 sin m=mnl=——— (7-!3) Aco _ np-RcosU 2 np + RcosU 71 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ' A ' /i 7' /i u X / r N. ' V X \v\ \ \ \ \ \ ^p \ \ \ \ \ \ u RU U=0° v. 1 o \Y y Obr. 7-3 Význam průvodiče p u ekvidistantního kuželového zobrazení Pro vlastní použití je nutné určit hodnoty konstant n a po. K tomuto určení se stanovují doplňující podmínky v různých variantách. V dalším textu jsou uvedeny tři nejběznější varianty: a) je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uo bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena; b) je stanovena podmínka dvou předem daných nezkreslených rovnoběžek o zeměpisných šířkách U\ a f/2; c) je stanovena podmínka totožného zkreslení nej severnej ší a nejjižnější rovnoběžky. 7.2.1 Ekvidistantní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Pokud je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uo bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena, je nutné nejprve odvodit konstantu po. Konstanta se odvodí z podmínky extrémní hodnoty funkce ( 7-8 ) pro zeměpisnou šířku základní rovnoběžky U0: dm dU d f "Po ^ ^RcosU0 j dU tedy: dp0 d(RcosU0) n——RcosU0-np0-—- dU_dU R2 cos2 Un Z rovnice (7-11 ) plyne výraz: dp ~ďu -R který lze dosadit do výše uvedené rovnice. Po derivacích se obdrží vztah: 72 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie nR2 cosll0 + np0RsinU0 a odtud lze vypočítat: Protože druhá derivace R2cos2Un p0 =RcotgU0 (7-14) d2mr dUl je kladná (jak se lze snadno přesvědčit), dochází na rovnoběžce Uo při splnění podmínky ( 7-14 ) k minimu délkového zkreslení. Je-li dále požadováno, aby hodnota tohoto minima byla optimální, tedy rovna jedné, musí podle (7-13 ) platit: np0 R cos Un 1 odkud se po dosazení za po z výrazu ( 7-14 ) vypočítá n = smlln (7-15) Hodnotu po je možné si graficky představit na základě obrázku (Obr. 7-4) jako tečný kužel dotýkající se referenční koule podél rovnoběžky U0. Analogicky pro referenční elipsoid platí: Po =^0cotg —^— , o X 1s Obr. 8-1 Volba polohy souřadnicových os azimutálního zobrazení Pokud je azimutální zobrazení voleno v rovníkové nebo šikmé poloze, obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou zpravidla složitými křivkami. Pouze poledník procházející středem zobrazovaného území, který je totožný se základním kartografickým poledníkem a tedy i s osou X, je zobrazen jako přímka (viz Obr. 8-3, poledník ^=20°). Zobrazovací rovnice a zákony zkreslení se vyjadřují pomocí polárních rovinných souřadnic p, ^jejichž převod do pravoúhlé soustavy je dán rovnicemi: x = p cos s y = psins kde s je pravotočivý úhel odečítaný od kladné větve osy X. Azimutální zobrazení se zejména využívá ke zobrazování oblastí rozložených v blízkosti pólu (zeměpisného nebo kartografického). Z tohoto důvodu je výhodné nahradit zeměpisnou (nebo kartografickou) šířku zenitovým úhlem počítaným podle vztahu: Z=90°-U U azimutálního zobrazení je nutné vždy zobrazovat celé území kolem pólu zobrazení (celý kruh). Obecné zobrazovací rovnice lze potom psát ve tvaru: p = f(Z) (8-1) S = V (8-2) Zákony zkreslení se vyjádří obdobně jako u kuželového zobrazení s tím rozdílem, že zde v zobrazovacích rovnicích nevystupuje žádná konstanta: 85 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m = -^- (8-3) p RdZ mr=—^- (8-4) RsinZ Uhlové a plošné zkreslení je možné vyjádřit ve tvarech ( 7-9 ) a, ( 7-10 ) tedy: Kco m -m sini^ = ^-L (8-5) 2 mr+mp mpl = mrmp ( 8-6 ) Všechna zkreslení jsou opět funkcemi pouze jedné proměnné - zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p. Ekvideformáty všech zkreslení mají proto tvar soustředných kružnic se středem v pólu zobrazení. V dalších odstavcích jsou odvozené nejběžnější typy azimutálních zobrazení. 8.2 Ekvidistantní azimutální zobrazení Nejčastější ekvidistantní azimutální zobrazení je zobrazení Postelovo, které je ekvidistantní v polednících. Jeho zobrazovací rovnice vycházejí ze vztahu: dp mn =—— = 1 p RdZ Uvedená diferenciální rovnic se bude integrovat v mezích od 0 do Z, resp. p, protože pól bude vždy zobrazen jako bod: P z jdp = R\dZ o o První zobrazovací rovnice bude potom ve tvaru: p = RZ (8-7) Druhá zobrazovací rovnice bude ve tvaru ( 8-2 ), tedy: s = V Rovnice zkreslení po úpravách vztahů ( 8-3 ), ( 8-4 ), ( 7-9 ) a ( 7-10 ) budou ve tvarech: mp=l (8-8) mr = m , = -Ž— ( 8-9 ) sin Z . Aco Z-sin Z tQ sin-=- (8-10) 2 Z + sinZ Význam zobrazení spočívá v zachování skutečné vzdálenosti od pólu zobrazení k libovolnému bodu v zobrazovaném prostoru. Proto se toto zobrazení často používá tam, kde je nutné rychlé zjišťování vzdáleností od pozorovacího místa, a to jak ve vojenských, tak i v civilních aplikacích (např. displeje radiolokátorů, apod.). Stejně tak se toto zobrazení velmi 86 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie často požívá pro mapy polárních oblastí. Příklad takovéto mapy pro oblast severního poluje uveden na obrázku (Obr. 8-2). 130"0'0"W IWO'lľ'W 150WW ISO'O'C'W leO-O'C'E 140WE 130"0'0"E ďoww 4D°o,a,,w 2a°a,D,,w owe 20"0'a"E 40°o'a"E ĎO"0'a"E Obr. 8-2 Ekvidistantní azimutální zobrazení pro oblast severního pólu a graf zkreslení v rovnoběžkách a polednících Zobrazení se často používá i v obecné poloze, v níž se zobrazují kartografické poledníky jako polopřímky vycházející z obrazu kartografického pólu a kartografické rovnoběžky jakou soustředné kružnice. Obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou však složité křivky (Obr. 8-3). 40°o,o,,n eirinrN loiro^w ibowe eo^^'n 40°o,o,,n JffOWW 10-0'0"W O-O'ff'E 10-00"E 30=0'0"E ítľOVE 60-0'0"E 70'OVE Obr. 8-3 Ekvidistantní azimutální zobrazení kartografickým pólem v Brně (Uk = 49°12', Vk =16°36') Variantou zobrazení je doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Z0. V tomto případě je nutné stanovit podmínku nezkreslené rovnoběžky aplikací rovnice ( 8-9 ) zavedením redukční konstanty c: m c = 1 pro mr =-— 0 sinZn 87 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Odtud: c= SmZ° (8-11) Zobrazovací rovnice pro p ( 8-7 ) potom bude ve tvaru: p = cRZ (8-12) Rovnice zkreslení po úpravách vztahů ( 8-8 ), ( 8-9 ) a ( 8-10 ) budou ve tvarech: (8-13) (8-14) mp = c cZ mr = sin Z c2Z mPi = sin Z Aco Z - sin Z 2 Z + sin Z (8-15) . ĹS.ĹU z, — Slil z, ,„ ,^ sin-=- (8-16) 2 Z + sinZ Vzhledem k rovnici ( 8-13 ) je zřejmé, že se v tomto případě jedná o zobrazení s konstantně zkreslenými poledníky. 8.3 Ekvivalentní azimutální zobrazení Základní rovnice ekvivalentního azimutálního zobrazené se odvodí ze vztahu: mpmr =1, odtud dp p 1 RdZ i? sin Z Uvedená rovnice se opět integruje ve stejných mezích jako ekvidistantní zobrazení: P z J pdp = R2 j sin ZdZ o o Po integraci se vypočte: ^ = i?2(l-cosZ) 2 S uvážením obecného vztahu: ~ • 2 & l-cosa = 2sin — 2 se první zobrazovací rovnice může vyjádřit i vztahem: p = 2Rsin- (8-17) 2 Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 8-2 ), tedy: 88 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie s = V Délkové zkreslení v rovnoběžkách se vyjádří vztahem ( 8-4 ). Pokud se za p dosadí výraz ( 8-17 ), potom lze psát: on • z i 2Rsm — 1 2 mr =-=-— mp i? sin Z S uvážením obecného vztahu: „ . a a sina = 2sin —cos — 2 2 lze po úpravách psát: 1 1 Obr. 8-4 Ekvivalentní azimutální zobrazení (U0=0°, V0=0°) a graf zkreslení v rovnoběžkách a polednících Z charakteru zobrazení je zřejmé, že hlavní délkové měřítko, které je uváděné na mapě používající toto zobrazení, platí pouze ve středu zobrazení. Proto se někdy volí varianta zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Z0. V tomto případě potom vzniká zobrazení s konstantním zkreslením ploch. Původní délkové zkreslení na této rovnoběžce je: 89 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1 cos^ 2 Aby bylo rovno jedné, je nutné zavést konstantu c. Potom: m c = 1 a odtud c = cos^ (8-21) 2 Zobrazovací rovnice a zákony zkreslení dané rovnicemi ( 8-17 ) až ( 8-20 ) budou potom mít tvar: p = 2cRsin- (8-22) 2 Z (8-23 ) cos 2 Z 2 Z (8-24) m„ =ccos — mpl=c2 (8-25) . Aco sin- 2 Z (8-26) 1-cos — 1 + cos Ekvivalentní azimutální zobrazení, nazývané též Lambertovo, je často používáno při zobrazování velkých územních celků na jedné mapě. Známé je například jeho použití při zobrazení zemských polokoulí ve školních zeměpisných atlasech (viz Obr. 8-4) s cílem zachovat poměry ploch jednotlivých kontinentů. 8.4 Konformní azimutální zobrazení Zobrazovací rovnice konformního zobrazení se odvodí z podmínky: mp =mr kdy po dosazení rovnic zkreslení bude: dp p RdZ i? sin Z Vzhledem k tomu, že p a Z nabývají i nulových hodnot, výraz se integruje neurčitým integrálem: f dp _ r dZ p sin Z 90 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Po integraci se obdrží: Z ln p = lnŕe—h lne 2 Po odlogaritmování se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru: Z Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 8-2 ), tedy: s = V Zákony zkreslení budou potom mít tvar: c m =- ( 8-27 ) z (8"28) 2i?cos2-2 mpl=m2 (8-29) Aco = 0 (8-30) Hodnota parametru c se určí z doplňujícího požadavku na délkové zkreslení. Obecně lze stanovit, že rovnoběžka Z0 se nebude délkově zkreslovat. Pro ni platí: m=l tedy Po =1 i? sin Z0 Pokud se dosadí za po výraz ( 8-27 ), a opět využije se obecný vztah „ . a a srna = 2sin —cos — potom lze psát: ctgf 2i?sin^cos^ 2 2 Odtud: 2 Rovnice ( 8-27 ) a ( 8-28 ) potom budou mít tvar: c = 27?cos2 ^ (8-31) p = 27? cos2 (8-32) 2 2 91 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie cos 2 ZQ m ( 8-33 ) cos V případě požadavku na nezkreslený pól (Z0=0°), rovnice ( 8-31 ), ( 8-32 ) a ( 8-33 ) budou ve tvaru: c = 2R p = 2Rtg- (8-34) ( 8-35 ) m cos — 2 ( 8-36 ) Poznámka: Místo stanovení hodnoty nezkreslené rovnoběžky se někdy používá přímo hodnota délkového zkreslení na pólu, často nazývaná měřítkový faktor. Tento postup je například použit při definování zobrazení UPS (Universa! Polar Stereographic). Blíže viz. odstavec 12.2 Ukázka konformního azimutálního zobrazení je na obrázku (Obr. 8-5). Konformní azimutální zobrazení 1,25 1,2 m 1,15 0 20 30 40 50 60 Obr. 8-5 Konformní azimutální zobrazení (U0=50°, V0=15°) a graf zkreslení v rovnoběžkách 8.5 Azimutální projekce Ve skupině azimutálních zobrazení jsou někdy využívány i postupy odvozování rovinných souřadnic na základě geometrických principů - projekcí. Tyto postupy nejsou v současné době využívány u válcových a kuželových zobrazení, proto v příslušných kapitolách nebyly uváděny. 92 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Princip azimutálních projekcí vychází z matematického vyjádření projekce povrchu referenční koule na zobrazovací rovinu. Střed promítání leží na normále k zobrazovací rovině procházející středem koule (viz Obr. 8-6). Obr. 8-6 Princip azimutální projekce Podle tohoto obrázku platí: p _ C + R Rs'mZ C + RcosZ Ze vztahu se odvodí první zobrazovací rovnice: (C + R)RsmZ P C + R cos Z Obr. 8-7 Gnomonická projekce (8-37) Druhá zobrazovací rovnice bude stejná, jako u všech azimutálních zobrazení, tedy ve tvaru (8-2): s = V Stejně tak budou stejné i zákony zkreslení dané rovnicemi ( 8-3 ) až ( 7-10 ). Jednotlivé typy azimutálních zobrazení se liší volbou konstanty C. 8.5.1 Gnomonická projekce Gnomonická (centrální) projekce vzniká při promítání ze středu koule. V tomto případě je konstanta C rovna nule (Obr. 8-7). Dosadí-li se tato hodnota do obecných zobrazovacích rovnic a zákonů zkreslení, potom bude: m p = RtgZ s = V 1 p cos2 Z 1 cos Z (8-38) (8-39) (8-40) (8-41) 93 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1 m Pi cos Z . Aco 2 Z sin-= tg — 2 2 (8-42) (8-43 ) Gnomonická projekce je charakteristická tím, že všechny ortodromy se zobrazují jako přímky. Ortodromy jsou na kouli hlavními kružnicemi vzniklými jako řezy rovin jdoucích středem koule. Z toho důvodu je zřejmé, že průsečnice dvou rovin (roviny ortodromy a průmětny) může být pouze přímka. Ukázka gnomonické projekce je na obrázku (Obr. 8-8) 180"0'0"W 170"0'0"E 140"0'0"E 80"0'0"E 40"0'0"E 30"0'0"E 120"0'0"W 110-0'0"W 90"0'0"W 70"0'0"W 50"0'0"W Obr. 8-8 Ukázka gnomonické projekce, poloha pólu: U= 40°s.š., V= 75°z.d. 8.5.2 Stereografická projekce Stereografická projekce vznikne, umí stí-li se projekční centrum do protilehlého bodu referenční koule (viz Obr. 8-9). Konstanta C potom bude rovna poloměru koule R. Pokud hodnota konstanty C bude dosazena do zobrazovacích rovnic a rovnic zkreslení, potom se získají následující vztahy: 2RsmZ on Z p =-= 2Rtg — 1 + cosZ 2 s = V 1 p r 1 + cosZ iZ cos — 2 (8-44) (8-45 ) (8-46) 94 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m Pi cos Acv = 0 (8-47) (8-48) Srovnají-li se vztahy ( 8-44 ) až ( 8-48 ) se vztahy pro konformní azimutální zobrazení v odstavci, potom je patrné, že rovnice jsou stejné. Stereografická projekce je tedy zároveň i konformním zobrazením a toto zobrazení lze tudíž odvozovat jak matematickou, tak i geometrickou cestou. 8.5.3 Ortografická projekce Ortografická projekce vzniká promítáním z nekonečna, parametr C je tedy oo. Princip projekce je zřejmý z obrázku (Obr. 8-10), ze kterého je možné psát ihned zobrazovací rovnice: p = RúnZ (8-49) s = V Zákony zkreslení nabývají po úpravách tvarů: mp=mpl=cosZ (8-50) 1 (8-51) Sin^ = £2^ (8-52) 2 2 Z rovnic zkreslení je zřejmé, že ortografická projekce je současně ekvidistantním azimutálním zobrazením v rovnoběžkách, jehož zobrazovací rovnice lze odvodit i matematickou cestou. P' p p. 71 P' P 71 \ y \ / _ l/ŘsinZ p Tr R \ /v / \ / \ RcosZ \ / I \ Z / 1 / \ i ^ O rovník | 1 ' \ O rovník | 1 \ 1 j V \ l - \ \ V ! \ \ C / V \ \ X \ c=a> y X. \ s i Obr. 8-9 Stereografická projekce Obr. 8-10 Ortografická projekce 95 9. Nepravá zobrazení Nepravá zobrazení jsou charakteristická tím, že zachovávají některé vlastnosti jednoduchých zobrazení, zejména tvary zeměpisných rovnoběžek. Jiné jejich charakteristiky však mění a tyto změny se potom odrážejí do tvarů zeměpisných poledníků. Nepravá zobrazení mají jednu zobrazovací rovnici funkcí obou souřadnic na referenční ploše. Proto nelze jejich zobrazovací rovnice odvozovat obdobně jako u jednoduchých zobrazení. Stejně tak hlavní paprsky zkreslení neleží ve směrech poledníků a rovnoběžek a úhel mezi obrazy poledníků a rovnoběžek není pravý. Vznik nepravého zobrazení si není možné představit prostorovým promítáním koule na plášť válce či kužele nebo přímo do roviny. Nepravá zobrazení se vždy odvozují matematickou cestou podle zadaných podmínek nebo, a to poměrně často, jsou definována konstrukčním návodem. Poznámka: Název nepravá zobrazení je používán pro tuto třídu zobrazení poměrně často, přesto se lze setkat i s j inými názvy, například pseudozobrazení, pazobrazení apod. Při užití zobrazení je navíc vhodné a praktické znát název zobrazení. Zejména při použití programových nástrojů obsažených v různých projektech bez znalosti názvu zobrazení se někdy pouze obtížně vybírá odpovídající typ zobrazení. Nepravá zobrazení se často využívají pro zobrazování velkých územních celků v malém měřítku až po zobrazení celého světa na jednom mapovém listě, takzvané planisféry. Z tohoto důvodu se většina zobrazení používá v pólové poloze s referenční koulí jako náhradní plochou. Výjimečně jsou tato zobrazení používána v rovníkové nebo šikmé poloze. V tomto případě je nutné v zobrazovacích rovnicích nahradit zeměpisné souřadnice souřadnicemi kartografickými. 9.1 Nepravá válcová zobrazení Nepravá válcová zobrazení jsou definována zobrazovacími rovnicemi ( 9-1 ) (viz. kapitola 2): X = fM (9-1) y = f(u,v) Vzhledem ke tvaru obecných zobrazovacích rovnic je zřejmé, že se rovnoběžky zobrazují jako soustava rovnoběžných přímek s obrazem rovníku, zatímco tvar poledníků budou křivky symetrické k obrazu základního poledníku. Základní poledník je volen jako střední poledník zobrazovaného prostoru a jsou od něho odečítány hodnoty zeměpisné délky. Osa X se ztotožňuje s obrazem tohoto poledníku. Osa Y se ztotožňuje s obrazem rovníku. Podle tvaru obrazů poledníků se zpravidla rozlišují zobrazení sinusoidální, eliptická, kruhová, přímková atd. Rovnice zkreslení lze odvodit z obecných rovnic uvedených v kapitole 3. Jejich aplikací se pro zobrazovací rovnice ( 9-1 ) nejprve vyjádří Gaussovy koeficienty: Talhofer, V.: Základy matematické kartografie {dUJ {dUJ dy dy F G= * dU dV 2 ( 9-2 ) H dV J ôx dy dU dV a s jejich pomocí potom i vlastní obecné rovnice zkreslení: 4Ě p R 4g m„ RcosU H m pl R2cosU (9-3) (9-4) (9-5) Aú) 1 'g—-2\ mi +m2 p r _ 2 (9-6) mPi 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidal ní zobrazení V těchto zobrazeních se poledníky zobrazují jako části sinusoid. Zeměpisné póly se zpravidla zobrazují jako úsečky s vyjimkouMercator - Šansonová zobrazení, v němž se zeměpisné póly zobrazují jako bod. Nejznámější jsou zobrazení Mercator - Sansonovo a Eckertovo. Další zobrazení odvozoval zejména Kavrajskij a Urmajev. Popis těchto zobrazení zde není uveden, je však možné je nalézt například v ([15] nebo [9]). 9.1.1.a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení Mercator-Sansonovo zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem a současně jako ekvivalentní. Toto zobrazení odvodil Mercator, prvně použil Francouz Nicalus Sanson (1600 - 1667) a později jej aplikoval i Flasteed (John Flamsteed, 1646 1719), kterému je někdy připisováno i spoluautorství. První podmínku je možné vyjádřit rovnicí: dy dV _i m,. RcosU z čehož plyne výraz: ^ = RcosU (9-7) dV 97 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie který se pro konstantní U po úpravě integruje: y v jdy = RcosU$dV o o Po integraci se obdrží zobrazovací rovnice ( 9-8 ): y = RVcosU (9-8) Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslení ploch s využitím výrazu ( 9-5 ). Platí: mPi=l H = R2cosU tedy dU dV Dosadí-li se do výrazu ( 9-9 ) výraz ( 9-7 ), potom se po úpravě obdrží: — = R (9-10) dU Integrací výrazu ( 9-10 ) se získá první zobrazovací rovnice ( 9-11 ): x = RU y = RVcosU (9-11) Z tvaru zobrazovacích rovnic vyplývá, že obrazem pólů jsou body a že vzdálenost obrazů rovnoběžek je konstantní (Obr. 9-1). Současně je z první rovnice zřejmé, že základní poledník zůstává délkově nezkreslen a je tudíž splněna i třetí podmínka. Z tvaru zobrazovacích rovnic je možné odvodit i všechny rovnice zkreslení: yll + sm2UV2 mp mr=l (9-12) mPi = 1 ÁCO 1 . TT r- tg-= -sinř/vF 2 2 Na grafech (Obr. 9-2, Obr. 9-3) je průběh délkového zkreslení v polednících a úhlového zkreslení. Oba grafy zobrazují pouze jeden kvadrát celé planisféry. Zbylé tři kvadráty mají zkreslení symetrická podle základního poledníku a rovnoběžky. Tatáž vlastnost je i ostatních nepravých válcových zobrazení. 98 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-1 Mercator-Sansonovo zobrazení, základní poledník 0° Mercator-Sansonovo zobrazení Obr. 9-2 Graf délkového zkreslení v polednících Mercator-Sansonova zobrazení 99 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Mercator-Sansonovo zobrazení Obr. 9-3 Graf hodnot maximálního úhlového zkreslení Mercator-Sansonova zobrazení 9.1.1. b Eckertovo sinusoida!ní zobrazení U Mercator-Sansonova zobrazení dochází ke značným úhlovým zkreslením zejména ve vyšších hodnotách zeměpisné šířky (viz Obr. 9-3). Tuto nevýhodu se snažil odstranit německý kartograf Max Eckert (1868 - 1938). Navrhl zobrazení, v němž jsou póly zobrazeny úsečkami stejné délky jako základní poledník a současně poloviční délky obrazu rovníku. Přitom zobrazení navrhl jako ekvivalentní tak, že plošný obsah celého obrazu Země je stejný jako plocha zobrazované referenční koule o poloměru R. Odvození zobrazovacích rovnic je poměrně složité, a proto jsou dále uvedeny pouze jejich konečné vztahy. Celé odvození je uvedeno například v [15]. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: X Y-- 2R ■sJtt + 2 2R U _ 2u . v cos — yht + 2 2 (9-13) siní/ +U K+ 2 siní/ Upravenou zeměpisnou šířku ve vztahu ( 9-13 ) je nutné řešit postupnou aproximací. Někdy je však vhodné výraz pro výpočet U' nahradit Newton-Raphsonovou iterací ve tvaru: í/'+siní/'-| 1 + ^ Isiní/ Aí/'=- 1 + cosf/' Rovnice zkreslení potom nabývají tvaru: (9-14) 100 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m. •Jir + 2 cos U' 2 cos —cos s 2 cos (9-15) mpl = mpmr C0S£ = 1 Ag> i / i i r tg— = -4mP+mr-2 v . Tjr tg s = —smi) 2 Ukázka Eckertova sinusoidálního zobrazení je na následujícím obrázku (Obr. 9-4). Poznámka: Max Eckert kromě zde uvedeného zobrazení, označováno jako Eckert VI, navrhl ještě dalších pět nepravých válcových zobrazení pro mapu celého světa zobrazeného na jednom mapovém listě označených Eckert I (přímkové zobrazení), Eckert II (přímkové ekvivalentní zobrazení), Eckert III (eliptické zobrazení), Eckert IV (eliptické ekvivalentní zobrazení), Eckert V (sinusoidami zobrazení). Pň jejich aplikaci, zejména v prostředí nástrojů GIS, je nezbytné věnovat pozornost jejich charakteru a matematickému vyjádření. Obr. 9-4 Eckertovo pseudoválcové sinusoidální ekvivalentní zobrazení, V0=0° 9.1.2 Nepravá válcová eliptická zobrazení U nepravých válcových eliptických zobrazení se obrazy poledníků zobrazují jako části elips, případně i kružnic. Nej známějším zobrazením je Mollweidovo, v literatuře je možné nalézt i další, například Ecertovo, Kavrqjského, Apianovo nebo Loritzovo. 9.1.2.a Mollweidovo zobrazení Německý matematik Karl Brandan Mollweide (1774 - 1825) odvodil zobrazení, které je pseudocylindrické ekvivalentní s poledníky ve tvaru elips. Celá Země je zobrazena do elipsy s poloosami v poměru a : b =1:2, poledníky V= ±90° zobrazí jako kružnice o poloměru p = b = R-j2 . Vlastní zobrazovací rovnice vycházejí z parametrických rovnic elipsy, jimiž jsou vyjádřeny poledníky: 101 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie W2si sin a 2RV42 y =-cosa (9-16) (9-17) kde a j e počítána postupnou aproximací podle tvaru ( 9-18 ) neboje vyhledávána v tabulkách. 2a + sm2a = 7rsmU (9-18) Rovnice ( 9-18 ) může v některých případech konvergovat pomalu, proto s výjimkou pólových oblastí je možné opět využít Newton-Raphsonovu iteraci, zde ve tvaru: . , -(ď+ sina-nsiní/) Aa = —±-'- 1 + cos a a výsledný úhel a se potom vypočítá jako a = a 12 Zákony zkreslení nabývají tvaru: m = ncosll sec a sec r, kde p 2V2 2V t = —tga n mr =-secu cos a 7t mpl=l Aco _ 1 2 ~2 tg— = -^rn2p+m2r-2 (9-19) (9-20) (9-21) Ukázka Mollweidova zobrazení se základním poledníkem 0° je na obrázku (Obr. 9-5). 102 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie V Mollweidově zobrazení se pól zobrazí jako bod. Ve velkých zeměpisných šířkách a v blízkosti krajních poledníků dochází ke značnému zkreslení. Tuto nevýhodu se pokusil řešit americký kartograf John Paul Goode, který uvedené zobrazení použil pro konstrukci mapy celé Země tak, že jím zobrazil pouze ucelené části povrchu, jednotlivé kontinenty nebo oceány. Jednotlivé části jsou spojené na rovníku (Obr. 9-6). Uvedenou úpravou jsou vyloučené části sítě s velkým zkreslením, avšak nezíská se souvislý obraz Země. Goodovu úpravu je možné aplikovat i na jiná nepravá válcová zobrazení. Obr. 9-6 Mollweidovo zobrazení v Goodově úpravě pro zobrazení oceánů (převzato z [9]) Poznámka: Obdobnou upravuje možné provést i pro jiná nepravá válcová zobrazení, poměrně často jsou takto řešena různá Eckertova zobrazení. 9.2 Nepravá kuželová zobrazení Základní rovnice nepravých kuželových zobrazení v pólové poloze jsou vyjádřeny vztahy (9-22): P = f(U) (9.22) e = f(U,V) Vzhledem k jej ich tvaru je zřejmé, že obrazem rovnoběžek budou obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení části kružnice se společným, pevným, středem. Poledníky však budou křivky různého druhu. Zákony zkreslení se odvodí aplikací rovnic pro výpočet Gaussových symbolů při užití polárních souřadnic uvedených v kapitole Zákony zkreslení. Vzhledem k zobrazovacím rovnicím( 9-22 ) budou mít rovnice pro výpočet těchto symbolů následující tvary: 103 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie [dU J [dU J ^ 2 ÔS ÔS F = p-- dUdV G-"íw) ôp ôs H = -p—-- dU dV Jednotlivá zkreslení je možné počítat stejnými rovnicemi jako u nepravých válcových zobrazení, tedy rovnicemi ( 9-3 ), ( 9-4 ), ( 9-5 ) a ( 9-6 ). Po dosazení tvarů uvedených Gaussových symbolů rovnice zkreslení budou: mr dUJ P R íds_ [dV m Pi (9-24) (9-25 ) (9-26) (9-27) Obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení se i zde volí jako základní konstrukční poledník poledník procházející středem zobrazovaného území, do jehož obrazu se vkládá osa X a od něhož jsou potom odečítány zeměpisné délky V. Počátek rovinného pravoúhlého systému souřadnic se volí v průsečíku tohoto poledníku a základní rovnoběžky procházející rovněž středem zobrazovaného území (Obr. 9-7). Transformace z polárních souřadnic na rovinné je opět stejná jako u jednoduchých kuželových zobrazení: RcosU ôp ÔS P dU dV R2 cosU x = xv - p cos s y = p sin s ( 9-28 ) kde xv =Po =RcotgU0 104 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie v Ps Uo ^ základní poledník j Y Obr. 9-7 Princip nepravého kuželového zobrazení 9.2.1 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení Z nepravých kuželových zobrazení se v dřívější praxi uplatnilo zejména Bonneovo zobrazení (Rigobert Bonne, 1727' - 1795), kdy se používalo zejména pro mapy světadílů nebo větších států a případně i pro topografické mapy (například Francie, Švýcarsko apod.). Zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem Vq. Vzhledem k tvaru rovnice pro p, která je stejná jako u jednoduchého ekvidistatntního kuželového zobrazení, bude první zobrazovací rovnice: p = p0-R(U-U0) (9-29) Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslených rovnoběžek. Pro konstantní hodnotu Ubude tedy platit: p ds m, = —---= 1 tedy: Rovnice se integruje RcosU dV RcosU „r ds =-dV P RcosUv \ds = ^^\dV o P o a řešením integrálu se obdrží druhá zobrazovací rovnice ve tvaru RcosU V (9-30 ) P Derivací rovnic ( 7-12 ) a ( 9-30 ) podle U a V se získají výrazy: dU 105 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dU f sin C/ RcosU v P P ôs _ RcosU dV~ p Po dosazení do ( 9-24 ), ( 9-26 ) a ( 9-27 ) bude i Trif ■ tj Roosl \ + V smU-- V v P J tg- Aco 1 ml -1 (9-31) (9-32) (9-33 ) Z rovnice ( 9-32 ) je zřejmé, že Bonneovo zobrazení je současně zobrazením ekvivalentním. Ukázka zobrazení celého světa se základním poledníkem J70=0° je na obrázku (Obr. 9-8). Obr. 9-8 Ukázka Bonneova zobrazení, základní rovnoběžka U0 = 60°, základní poledník V0=0° Mezním případem Bonneova zobrazení pro Uo= 90° a po = 0 je zobrazení Werner-Stabovo (viz 9.3.1 ). 9.3 Nepravá azimutální zobrazení Mezi nepravá azimutální zobrazení se řadí zobrazení odvozená matematickou cestou, zobrazení vzniklá afinním promítání jednoduchých azimutálních zobrazení v rovníkové poloze nebo zobrazení vzniklá kombinací azimutálních zobrazení s válcovými či nepravými válcovými zobrazeními. 106 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie U nepravých azimutálních zobrazení v pólové poloze se kromě základního poledníku přímkově zobrazuje i poledník odkloněný od něho o 90°. V obrazech těchto poledníků se zpravidla umisťují osy Xa Y rovinné pravoúhlé sítě. Obecné zobrazovací rovnice a obecné tvary zákonů zkreslení jsou stejné jako u nepravých kuželových zobrazení (viz 9.2 ). Zobrazovací rovnice ( 9-22 ) musí být vždy formulovány tak, aby při libovolných hodnotách U zeměpisné délce V = ±180° odpovídal úhel e = ±180°. Pro transformaci polárních souřadnic p a s na pravoúhlé se použijí vztahy (viz též kapitola Referenční plochy a souřadnicové soustavy): x = p cos s (9-34) y = psins Obrazy rovnoběžek jsou i zde soustředné kružnice se společným středem, poledníky se zobrazují jako různé křivky, proto i zde nemohou tato zobrazení být definována jako konformní. Dále jsou uvedeny příklady nepravých azimutálních zobrazení. 9.3.1 Werner-Stabovo nepravé azimutální zobrazení Johannes Werner (1468 - 1522) roku 1514 odvodil nepravé azimutální zobrazení, které lze uvažovat jako mezní případ Bonneova zobrazení, v němž se obraz zemského pólu ztotožňuje se středem rovnoběžkových kružnic (viz Obr. 9-9). V tomto případě pro Uo = 90° bude p>o = 0 a rovnice: bude mít tvar: p = p0-R(U-U0) p = RZ (9-35) kdeZ= 90°- U. Dosazením uvedené rovnice do vztahu ( 9-30 ) se získá druhá zobrazovací rovnice: c= C0S^y (9-36) Zákony zkreslení budou obdobné jako u Bonneova zobrazení s tím, že místo U bude uvažován zenitový úhel Z. Po dosazení za p výrazu ( 9-35 ) budou mít tedy rovnice zkreslení tvar: m,=Jl + ^(sinZ-^J <«') mr=mpl=\ ("8) Zobrazení je rovněž ekvivalentní a současně ekvidistantní v rovnoběžkách. Werner-Stabovo zobrazení prvně použil v roce 1517 Johan Stab, proto se jeho jméno objevuje v názvu zobrazení. Hojně se v 16. a 17 století používalo pro mapy kontinentů. Ukázka zobrazení celé planisféry je na obrázku (Obr. 9-9). 107 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-9 Werner - Stabeovo zobrazení celého světa Poznámka: Toto zobrazení bylo odvozeno dříve, než Bonneovo, kterým bylo později zpravidla nahrazeno. 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení Dalším typem nepravého azimutálního zobrazení je zobrazení s oválnými ekvideformátami nazývané Ginzbugovo podle sovětského kartografa GA.Gínzbitrga, nazývané také někdy zobrazení CNIIGAiK (Centralnyj naučnoisledovatelskij institut geodézii, aerofotosjomky i kartografii) podle instituce, kde Ginzburg pracoval. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: p = 3R sin — 3 s = V-C f Z v (9-40) 7 V max j sin2F kde: Zmax je nej větší hodnota Z v zobrazovaném území, C, q jsou parametry, jejichž volbou je ovlivňováno zakřivení obrazů poledníků. Zákony zkreslení mají potom následující rovnice: mn = cos—secr p 3 3C Z . ^T tgr =-tg — sm2V Z„_ 3 f mr = 3 sin — cos ecZ 3 mpl = mpmr cos r 1-2C- -cos2F V (9-41) j tg Aco 1 \m2p+m2r m Pi 108 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ukázka zobrazení části povrchu Země je na obrázku (Obr. 9-10). Vzhledem k obecné poloze zobrazení musely být nejdříve zeměpisné souřadnice převedeny na kartografické a teprve poté byly použity zobrazovací rovnice ( 9-40 ). i.aoo 0.9/5 Mil S.S5! 0,900 - • —i ■ L - ■ j. 1(r z g. j g. ,j, 5Q. g g- ;(o g j. ■ __- —u ■ :■■ r id° !c 30* tir so' str ir ir 1,2í Ijl 1,1 S Vi tis i, ■ ■ 3Í- 40* SO" (ľ í»° BO" Obr. 9-10 Ukázka Ginzburgova zobrazení (převzato z [23]) 9.3.3 Modifikovaná azimutální zobrazení Od druhé poloviny 19. století vznikla řada zobrazení, které mají původ v jednoduchých zobrazení v příčné poloze. U těchto zobrazení se základní poledních a rovník zobrazují jako přímky, ostatní poledníky a rovnoběžky jako křivky. Póly se zobrazují jako body nebo křivky. Zobrazení jsou navrhována tak, aby byla vhodná pro zobrazení celého světa na jedné mapě -tzv. plcmisféry. Zobrazení vzhledem ke svému charakteru nikdy nemohou být konformní, často jsou však ekvivalentní. 9.3.3. a Aitovovo nepravé azimutální zobrazení Ruský kartograf David A. Aitov (též Aitoff, 1889) sestrojil afinní průmět ekvidistantního azimutálního zobrazení v příčné poloze (Postelovo zobrazení) na rovinu r odkloněnou o 150° od roviny rovníku (o 60°od průmětny tí) (viz Obr. 9-11). Rovník se v tomto zobrazení nezkresluje a obrysová kružnice (pro poledníky AV = ±90°) se zobrazí jako obrysová elipsa celé Země (pro poledníky AV = ±180°). Základní poledník se zobrazí v poloviční délce. Číslování poledníků se nemění. Rovinné pravoúhlé souřadnice Postelová zobrazení se upraví tak, že se souřadnice y vynásobí dvěma a současně se dvěma dělí zeměpisné délky. Zobrazovací rovnice potom získají tvar: x = p arccosl cos U cos I cos s y = 2R arccos^cos U cos sm £ ( 9-42 ) 109 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 9.3.3. b Hammerovo zobrazení Prof. Ernest H.H. Hammer užil téhož postupu jako Aitov pro zobrazení Lambertova jednoduchého ekvivalentního azimutálního zobrazení v rovníkové poloze. Zobrazení se po jeho autorovi nazývá Hammerovo nebo i Hammer-Aitovovo. Obrysová kružnice Lambertova zobrazení se transformuje do obrysové elipsy s poloosami: a = 2R4l b = R4l Poměr poloos a:b je možné označit písmenem h. Tento poměr lze měnit a tím lze upravovat průběh zkreslení. Pokud je tento poměr 2:1, potom i Hammerovo zobrazení je ekvivalentní. Obecné rovnice zobrazení jsou: 110 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2ivsint7 l + cost/ cos cos U sin AV 2 AV (9-43 ) 1 + cos U cos AV Ukázka zobrazení je na následujícím obrázku (Obr. 9-13) Obr. 9-13 Hammer - Aitovovo zobrazení světa 9.3.3.c Wagnerovo zobrazení Zobrazení vznikají transformací jednoduchého azimutálního ekvivalentního zobrazení v rovníkové poloze a vhodným přečíslováním nejen poledníků, ale i rovnoběžek. Tento postup uplatnil například Wagner. Z původního zobrazení vyňal určitou část a formálně ji přečísloval tak, aby vyjadřovala povrch celé Země. Vyňatou část poté zvětšil tak, aby měla stejnou plochu jako referenční koule. Dále ji afinně transformoval vynásobením všech souřadnic y a dělením všech souřadnic x vhodnou konstantou. Wagner vytvořil celou řadu variant tohoto zobrazení. Na následujícím obrázku (Obr. 9-14) je postup vzniku sítě Wagnerova zobrazení pro vyňaté území omezené poledníky V= ±60° a rovnoběžky U= ±65°. Obr. 9-14 Postup vzniku sítě Wagnerova zobrazení (převzato z [23]) Obrázek (Obr. 9-15) potom představuje zobrazení celé Země. 111 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-15 Ukázka Wagnerova zobrazení pro mapu celé Země (převzato z [23]) 9.4 Polykónická zobrazení Polykónické zobrazení si lze představit jako zobrazování na nekonečný počet kuželů. Každá rovnoběžka je zobrazována na samostatný kužel, jenž je k referenční ploše v této rovnoběžce tečný. Podobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení jsou i zde obrazy rovnoběžek kružnice. Každá kružnice má však samostatný střed ležící na obraze základního poledníku. Základní poledník se zobrazuje jako přímka, ve které je vložena osa x. Jako základní rovnoběžka se zpravidla volí rovnoběžka procházející středem zobrazovaného území, případně i jeho nejjižnější rovnoběžka (Obr. 9-16). X -i -1 r- W Ví V2 Xvo Xvi XV2 0 Z) 1 5 základní poledník Obr. 9-16 Princip polykónických zobrazení Obecný tvar zobrazovacích rovnic odpovídá obecnému tvaru zobrazovacích rovnic nepravého kuželového zobrazení, tedy: P = f(U) e = f(U,V) Pro převod polárních souřadnic do rovinných pravoúhlých se použijí vztahy ( 9-44 ) - viz i kapitola 1. 112 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie x = xv- p cos S y = psins ( 9-44 ) V uvedených rovnicích nebude veličina xv konstantní, ale bude funkcí zeměpisné šířky zobrazované rovnoběžky. Lze tedy psát: Xv=f(u) (9-45) a tato rovnice je v podstatě třetí zobrazovací rovnicí. Pro definování jednotlivých druhů zkreslení je vhodné použít Gaussovy symboly ve tvaru pro polární souřadnicové systémy (viz odstavec 3.1 ). V tomto případě symboly po úparavách nabudou tvaru: E dU' -coss ôp^i (dxv . ôs ^ —— + —-sms + p- dUJ {dU dUJ „ ôs f ôxv . ôs b = p—Tz\ —^sins + p— dV\dU G = p2 P dU ds H = p— dV ds ( 5x, op -^cos£ dU dU ( 9-46 ) (9-47) (9-48) (9-49) Jednotlivá zkreslení potom budou mít tvar mr [dU coss op dU. fdxv . ds + \ —^sin^ + p- [dU dU P m. R ôs dV RcosU ( 9-50 ) m ôs f ôxv p— —^cos£- dVidU dp dU Pi R2cosU Aco 1 m2p + m2 m Pi Příkladem polykónického zobrazení je ekvidistantní polykónické zobrazení, v němž se nezkreslují rovnoběžky a současně není zkreslený základní poledník. Podle jeho autora, amerického kartografa Ferdinanda Rudolpha Hasslera (1770- 1843), který jej navrhl v roce 1820, je toto zobrazení známé i jako Hasslerovo nebo jednoduché americké, i když se samozřejmě o jednoduché zobrazení nejedná. Protože každá rovnoběžka není délkově zkreslená, první zobrazovací rovnice bude mít tvar (viz odstavec 1.2.1. kapitoly Jednoduchá kuželová zobrazení): p = Rcot%U (9-51) 113 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Druhá zobrazovací rovnice bude odpovídat Bonneovu zobrazení, tady rovnici ( 9-30 ). RcosU, -V P A po dosazení za p z rovnice (9-51 ) lze psát: s = VsmU (9-52 ) Třetí zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkresleného základního poledníku (viz. Obr. 9-16). Pro hodnotu U\ platí: xVi=pl+R(U1-U0) Pro rovnoběžku Ulze potom obecně psát: xv=p + R(U-U0) (9-53 ) Zákony zkreslení se odvodí z rovnic ( 9-46 ) až ( 9-50 ). Derivací zobrazovacích rovnic se obdrží: ds dU ds W op 3U~ sm2U~ i ___T-j^aJ Obr. 10-1 Zakřivení poledníku v Gaussově zobrazení Obr. 10-2 Zakřivení rovnoběžky v Gaussově zobrazení Obrazy rovnoběžek se zobrazují jako části parabol konkávne zakřivených k pólům a jsou symetrické vzhledem k rovníku. Jejich zakřivení je možné vypočítat podle přibližného vzorce (10-2): Ar = Núnlq) AA 16 ( 10-2) kde: Ar je největší výška oblouku části rovnoběžky nad její tětivou, AA j e rozdíl zeměpisných délek koncových bodů oblouku části rovnoběžky, q> je zeměpisná šířka rovnoběžky (Obr. 10-2). Poznámka: Mapové listy vojenských státních mapových děl a řada standardizovaných mapových děl NATO jsou vymezené částmi poledníků a rovnoběžek. V tomto případě je nutné znát hodnoty zakřivení částí poledníků a rovnoběžek, které tyto listy vymezují. Z uvedených výsledků je patrné, že zakřivení částí poledníků není nutné při konstrukci map do měřítek 1:250 000 prakticky uvažovat. Jiná situace je u zobrazení rovnoběžek, kde je nutné již od měřítka mapy 1:250 000 a menších zakřivení rovnoběžek uvažovat. A to nejen při konstrukci rámu map, ale i při zákresu rovnoběžek do mapy a jejich použití pro odečítání zeměpisných souřadnic. V rovině zobrazení má každý pás samostatnou souřadnicovou soustavu rovinných pravoúhlých souřadnic. Počátek tohoto systému je v průsečíku obrazu rovníku a osového poledníku, osa X je totožná s obrazem osového poledníku a je kladná na sever, osa Y je v obrazu rovníku a je kladná směrem na východ (Obr. 10-3). 117 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 0 \ i xi i Y osový po led r ík Obr. 10-3 Rovinný souřadnicový systém Gaussova zobrazení Při takto definovaných osách mohou souřadnice x, y nabývat jak kladné, tak i záporné hodnoty. Proto jsou někdy jedna nebo obě osy posouvány tak, aby obě souřadnice nabývaly pouze kladných hodnot. Osa X se zpravidla posunuje o 500 km směrem na západ a osa Y o 10 000 km směrem na jih. Posun osy X je použit v systému S-1942 a UTM ( zde osa N), posun obou os v zobrazení UTM (osy N, E), pokud je používáno pro jižní polokouli (Obr. 10-4, Obr. 10-5). Takto uvedené souřadnice se používají například v katalozích souřadnic geodetických bodů a při popisech kilometrových čar topografických map. Pro některé výpočty je však nezbytné uvažovat souřadnice vztažené k původnímu souřadnicovému systému. Uvedený souřadnicový systém a případně jeho varianty je v případě šestistupňových pásů aplikován na celé Zemi šedesátkrát. K rozlišení, o jaký poledníkový pás se v konkrétním případě jedná, se používají různé systémy. Například v S-1942 se k souřadnici y v řádu 1.106 uvádí číslo poledníkového pásu (s číslováním počínajícím od Greenwichského poledníku směrem na východ). Na území ČR tyto souřadnice začínají buďto cifrou 3 nebo 4. Ve WGS84 se u bodů může uvádět kód zóny o rozměrech 6° krát 4° vycházející se systému MGRS. Území ČR pokrývají zóny 33U a 34U. Poledníkové pásy jsou velice úzké a dlouhé. Následující tabulka (Tabulka 10-1) uvádí minimální a maximální hodnoty souřadnic uvedené v kilometrech, které mohou v šestistupňovém pásu dosáhnout (jedná se jak o původní zobrazení, tak i o UTM). Tabulka 10-1 Minimální a maximální hodnoty souřadnic v rámci jednoho šestistupňového pásu Gaussova zobrazení a zobrazení UTM

zde bude nahrazena šířkou izometrickou q. Obecné zobrazovací rovnice potom budou mít tvar: X = f^V (10-4) y = f (q, X) Jelikož zobrazení je konformní, je možné je definovat pomocí obecných rovnic konformního zobrazení odvozených v kapitole Teorie zobrazení: x + iy=f(q + iA) (10-5) X-jy=f(q-jÄ) (10-6) Vzhledem k tomu, že poledníkový pás je velice úzký, je hodnota A vzhledem ke q diferenciálně malá, je možné pravou stranu rovnice ( 10-5 ) rozvést v Taylorovu řadu: 119 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie i2 A2 ,,„,, x ŕ A3 m) , s ŕ ?i m , s ŕ'A5 xXy = f(q) + fXq)iA + fXqý-^ + rXqy-X- + f> (q)^ + fJ (<ľ)^p + ŕ (9) 6! Rovnice ( 10-6 ) by se upravila stejně. Pro odvození zobrazovacích rovnic však stačí uvažovat pouze první z nich. Uváží-li se mocniny imaginárního čísla i (i2 = -1, ŕ = -i, atd.) a oddělí-li se reálná a imaginární část, potom lze psát obecné rovnice: x = fti)-f\q)^+r iq)yA-ŕ (i)4s+- (1°"7) y = f\q)A-r\q)^f (q)~... ^ 6 120 Při původním odvození zobrazení byla stanovena podmínka, že osový poledník zůstane nezkreslený. Jelikož osový poledník má X = 0°, rovnice ( 10-7 ) a ( 10-8 ) pro bod P'0 ležící v zeměpisné šířce (p na tomto poledníku potom nabývají tvaru: *o = f (a) Jo=0 Z podmínky jeho nezkreslení vyplývá, že: xo =SP = $ p kde sp a Sp je délka oblouku osového poledníku od rovníku k bodu P'o na referenčním elipsoidu a v zobrazovací rovině. S uvážením výše uvedeného lze vyjádřit funkci f(q): f(q) = Sp (1) _ d(Ncos(p) Ncosp (10 13 ) dq d(p M První část rovnice ( 10-13 ) je možné upravit: d(Ncos(p _ d(N) cos^ + ^ asrncp _ d

f2 ae2 sin(pcos2 (p-aún(p{^-e2 sin2 (p) _ aún(p(\-e2) _ . (10-14) L 2-2 V/2 =~Z 2 • 2 V/2 = ~M sin^ \l- e sin (p) \l- e sin q>) Po dosazení do (10-13 ) se získá druhý člen obecné zobrazovací rovnice pro souřadnici x: f"(q) = -N cos (p sirup (10-15) Obdobně se získávají další členy obecných zobrazovacích rovnic derivacemi rovnice ( 10-15 ). Jednotlivé členy mají tvary: fm(q) = -Ncos3(ól-58ŕ2+ŕ4 +27072 -33072ŕ2) (10-19) v nichž jsou použity symboly n = e cos^a t = \%q>. V rovnicích ( 10-18 ) a ( 10-19 ) jsou zanedbány členy s rf a n6, protože jejich hodnoty jsou již zanedbatelné. Po dosazení derivací funkce f(q) do obecných zobrazovacích rovnic ( 10-7 ) a ( 10-8 ) se získají základní tvary zobrazovacích rovnic Gaussovo zobrazení: A2 i \ A4 x = Sp + jVcos^sin^ — + iVsin^cos3 která se dosadí do druhého členu rovnice (10-21). Po úpravě se získá rovnice: y = Ncos(pA + ^—(l-t2 + n2) ze které se vypočítá hodnota A ve druhém přiblížení: Ä = ^---^(l-ŕ+n2) N cos (p 6N cos (p a znovu se vypočte A3 a A5. V uvedených mocninách stačí uvažovat hodnoty y pouze do páté mocniny. Tyto mocniny budou mít tvar: A3 =--£3---/-^{\-t2+n2) jV3cos> 2jV5cos>v ; A>- y5 N5 cos5 cp Hodnoty se opět dosadí do ( 10-21 ) a vypočte se hodnota A ve třetím, posledním přiblížení, přičemž se u páté mocniny y zanedbávají členy s rf a n4, jejichž hodnoty jsou zanedbatelné: A = ---4-(l-t2 + n2)+-4-(5 " 2*2 9ŕ ) (10-24} Ncoscp 6N3cos(py ' \2W5cos(px ' K tomu, aby bylo možné hodnotu A vypočítat, je nutné znát hodnotu zeměpisné šířky q>. Ta se vypočítá pomocí pomocné hodnoty q>f (viz. Obr. 10-6). Z bodu i5' se spustí kolmice k ose X, která tuto osu protne v bodě P'f. Protože se osový poledník délkově nezkresluje, je možné k hodnotě souřadnice x hned vypočítat (nebo nalézt v tabulkách) hodnotu zeměpisné šířky (pf (viz kapitola 1). Poznámka: Pro výpočet hodnoty - Souřadnice x bodu P'/ potom bude Zeměpisnou šířku cp/ys, nutné řešit postupnou iterací, kde v prvním přiblížení bude .1 x f je možné vypočítat podle přibližného vzorce: x-S 3tn" ( v ( 10-27 ) Z rovnice (10-20 ), do které se dosadí hodnoty A2 a A4 z rovnice (10-24 ) se obdrží výraz x - S = 1— t + til + 3t2+5n2) p 2N 24/V3 v ; který se dosadí do (10-27 ). Po dosazení se obdrží vztah: ( 10-28 ) 2 4 y y (p f — m =-1h--: f 2MN 24MV- ( 10-29 ) Hodnotu (pf - (p lze určit postupným přibližováním. V prvním kroku se vypočítá: .2 (Pf-(P y 2MN (ľ/ ~ a A, avšak pouze za předpokladu, že je znám argument q>, který se právě hledá. Jeho hodnotu je možné určit ze vztahu: 124 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie

f- = sin[(pf - ((pf - cp)\ Hodnota ((pf - cp) je obecně ve srovnání s hodnotou (p/ diferenciálně malá, proto je možné pravou stranu rovnice rozvinout v Taylořovu řadu, přičemž se vzhledem k jejich velikosti uváží pouze první dva členy této řady: sin cp = sin cpf - cos cpf (pf - (p) Pokud se za (sf>f~ .r ' ''^V' Obdobně se upraví i zbylé goniometrické funkce. Po úpravě bude: 2 cos (o = cos (o f + sin (o f—--tf (10-33) Vf ^2MfNf f i. ^ v2 t = t 2 ÍX-t2f)^--tf (10-34) f v J/2MfNf Dosadí-li se výrazy ( 10-32 ), ( 10-33 ) a ( 10-34 ) do ( 10-30 ) a ( 10-24 ), získají se po úpravách konečné vztahy: .2 ,.4

je konstantní, derivace budou pouze pro A a vzhledem k velikosti jednotlivých členů zobrazovacích rovnic stačí uvažovat výsledné členy nejvýše s A3. Derivace mají tvar: dx í — = 7Vcos^sin^/l + 7Vsin^cos3^(5-ř2 +9^2 dA ( 10-41) 127 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ^ = iVcos^ + iVcos>(l-ř2 + ^2)— (10-42) dA 2 Po dosazení výrazů (10-41) a (10-42 ) do (10-40 ) se získá vztah: 5 -12 + 9r/2 + Arf )— sin cpA + sin $>cos2 q>\5 -11 + 9r/2 + Arf )— 6 _ 6 tgy. (\A? í \?i l-t2+r/2)— \ + cos2 q)\l-t2+r/2j— Po další úpravě se získá rovnice: / \A3 tgy = sirupA + sin cpcos2 (l + 3?/2 + 2n4)— + sin(pcos4 (p\2 -12)— ^10-44 ^ Pro praktické výpočty, pokud není požadována vysoká přesnost, je možné použít pouze první člen rovnice ( 10-44 ). Meridiánovou konvergenci lze počítat i z rovinných pravoúhlých souřadnic X, Y . Pokud se dosadí do výrazu ( 10-44 ) vztahy ( 10-36 ) a ( 10-37 ), získá se po úpravě rovnice: / = — tf-^tÁl + t2-n2-2n4f)+^^tÁ2 + 5ň+3řf) (10-45) Nf f 3N} /V f f fJ \5N5f /V f fJ Uvedený vzorec zabezpečí přesnost výpočtu konvergence v prostoru České republiky (na úrovni zeměpisné rovnoběžky 50°) v jednom poledníkovém pásu 0,0005" .V případě, že je požadována přesnost výpočtu do 3", lze v rozmezí jednoho poledníkového pásu použít i zjednodušený vzorec y = 2-tgq> (10"46) N Poznámka: Meridiánová konvergence v rámci jednoho poledníkového pásu nabývá jak kladných (na východní části pásu), tak i záporných hodnot (na západní části pásu). Při cp = 50° je její absolutní hodnota na okrajích pásu přibližně 2°18'. 128 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 10.4.1 Meridiánová konvergence v UTM Výpočet meridiánové konvergence ze zeměpisných souřadnic je totožný jako v původním Gaussově zobrazení. Pokus se k výpočtům použijí rovinné pravoúhlé souřadnice N, E, je nutné uvážit i měřítkový faktor m0. Rovnice ( 10-45 ) potom bude mít tvar: y. E E3 NeIfm0 f 3/V>03 A / // E5 f> 15/V>05 / ^(2 + 54+3^) (10-47) a obdobně zjednodušená rovnice (10-46 ) ze změní na: E ľ NelmQ tg(P ( 10-48) 10.5 Zákony zkreslení V Gaussově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošně zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlově zkresleniJe zde nulové. Délkové zkreslení je možné vypočítat ze zeměpisných nebo rovinných pravoúhlých souřadnic. Pokud se počítá ze zeměpisných souřadnic, lze použít obecné výrazy (viz kapitola Zákony zkreslení): mr VĚJ yd(p) [d

= 50° umožní přesnost výpočtu zkreslení na setiny milimetru. Pro tuto hodnotu zeměpisné šířky člen s A4 dosahuje hodnoty 4.10"8, tedy 0,04 mm.km"1. Proto pokud není požadována taková přesnost výpočtu, je možné tento člen zanedbat. Stejně tak, pokud se pro tuto zeměpisnou šířku zanedbá hodnota výrazu (1 + n2), vzniklá chyba nepřesáhne hodnotu 15.10"7 (tedy 1,5 mm.km"1). Proto se často v praxi používá pouze zjednodušený vzorec: m = l + cos (p 2 % ( 10-50) 129 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Délkové zkreslení je možné vypočítat i z rovinných pravoúhlých souřadnic. V tomto případě se volí jednodušší cesta, při níž se referenční elipsoid v daném bodě nahradí koulí o poloměru r = 4mň~ a místo Gaussova zobrazení se uvažuje jednoduché válcové konformní zobrazení v příčné poloze (Mercatorovo) (viz Obr. 10-10). Obr. 10-10 Náhrada referenčního elipsoidu koulí pro výpočet délkového zkreslení Gaussova zobrazení S ohledem na tvar rovnice délkového zkreslení je možné psát: 1 m =-- cos S a tento vzorec upravit rozvojem kosinu v řadu: 1 1--+--... 2 24 V rámci šestistupňového pásu není příliš velký rozdíl v délce zobrazené části oblouku původní rovnoběžky, části oblouku kartografického poledníku a souřadnice y (viz Obr. 10-11). X RŠ \ Pj Obr. 10-11 Ilustrace výpočtu délkového zkreslení Gaussova zobrazení Proto lze psát: y = rš a tento výraz se dosadí do ( 10-51 ), přičemž stačí uvažovat pouze do mocniny/*. Výsledný vzorec bude: 130 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m y y ( 10-52) Jelikož výraz y 2RL 24i?4 y 2R1 24R4 dosahuje velmi malých hodnot, lze vzorec dále upravit: m = 1 + y y ( 10-53 ) 2R1 24R4 Pokud se opět v rámci jednoho šestistupňového pásu zanedbá ve vzorci ( 10-53 ) třetí člen (sy4), maximální rozdíl na území ČR dosáhne hodnoty 5.10"8 (tedy 0,05 mm.km"1). Proto se v praxi často používá pouze zjednodušený výraz: .2 m = 1 + y 2R2 ( 10-54) Průběh délkového zkreslení v rámci jednoho šestistupňového pásu je zřejmý z obrázku (viz. Obr. 10-12). Graf na následujícím obrázku (viz Obr. 10-13) znázorňuje závislost délkového zkreslení na zeměpisné šířce a hodnotě A. Další obrázek (viz Obr. 10-14) ilustruje průběh ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení na území střední Evropy. Na území ČR dosahuje délkové zkreslení maximálních hodnot na okrajích 3. poledníkového pásu kolem 0,58 m.km"1. F >' 1 \ 1 l\ /I 1 1 /III MM 1 1 ! 1 1 1 1 1* 1 1 !\ 1 1 l\ 1 1 1 \ Ml 1 M 11 r1111 1 1 M E 1 1 1 I =i 1111 1 M 1 1 1 1 ! 1 m>i I M I i i t I 1 i i i i m>i MM MM t ! 1 I MM I MM I I M I Délkové zkreslení Gaussova zobrazení 10 20 30 40 50 60 70 80 84 Obr. 10-12 Zobrazení ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení (převzato z [23]) Obr. 10-13 Graf délkového zkreslení v Gaussově zobrazení 131 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 10-14 Průběh ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení na území střední Evropy (převzato z [23]) 10.5.1 Zákony zkreslení v UTM V zobrazení UTM se délkové zkreslení ze zeměpisných souřadnic počítá podle vzorce: \a2 í í~ . ?\^4 m = m, 1 + cos2 < Cr'l2>°'l2 1 + ^12 -#12 Cr'l2<°'l2 Pokud se zobrazí informace z tabulky graficky, je zřejmé, že se obraz geodetické čáry vždy konkávne zakřivuje k osovému poledníku daného pásu (Obr. 10-18). 135 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 10.6.1 Směrová korekce v zobrazení UTM Směrová korekce v zobrazení UTM se počítá v podstatě podle stejných vzorců jako v Gaussově zobrazení, avšak s uvážením měřítkového faktoru m0. Rovnice postačující pro běžnou geodetickou praxi mají tvar: Sl2=—^r(Nl-N2)(2El+E2) 6mLR ^i=-4^(^2-^i)(2£2+£1) ( 10-68) ( 10-69) Pokud by byla nutná vyšší přesnost, je možné využít přesnější vztahy uvedené například v [16]. Rovněž zakřivení obrazu geodetické čáry je stejné jako na obrázku (viz Obr. 10-18). 10.7 Délková korekce geodetické čáry Hodnoty délkového zkreslení se počítají podle jednoho ze vzorců ( 10-52 ) až ( 10-54 ) u Gaussova zobrazení, resp. ( 10-55 ) až ( 10-58 ) u zobrazení UTM. Pro praktické výpočty za použití rovinných pravoúhlých souřadnic lze výrazy pro výpočet délkové korekce dále upravovat. Vyjádří-li se m pomocí těchto souřadnic, lze pro Gaussovo zobrazení psát: m,=l + yi 2R2 yi + y2 '2 i v - y i y\ +2 y\y 2 + y\ m i / = 1 + ---^— = l + +±-—^- 2R2 SR2 m1=\+ yi 2" 2R2 a po dosazení například do (4-64 ) a úpravě se získá rovnice: Sl2=sl2+^{yl + yiy2 + yl) oo-™) 6R kde hodnotu R lze počítat ke středu čáry a zaokrouhlovat ji na celé kilometry. Výsledná rovnice pro výpočet délkové korekce potom získá tvar: SSii=Sl2-sl2=^{yl+yiy2+yl) (10-71) Pokud se v zobrazení UTM použije obdobný postup, potom se vypočítá délka obrazu geodetické čáry podle upraveného vztahu ( 10-72 ) a z takto určené hodnoty délky obrazu geodetické čáry se vypočítá výsledná délková korekce. Sl2=m0sl2+-^{E2+ElE2+E22) ( 10-72) 6m0R 136 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Uvedené vztahy pro výpočet délkové korekce jsou použitelné pro běžné geodetické výpočty do vzdálenosti 20 km. Pro delší vzdálenosti nebo k dosažení vyšší přesnosti výpočtu je nutné použít přesnější vzorce uvedené například v [16] a [23]. 10.8 Mezipásmové transformace Protože v Gaussově zobrazení (i v jeho variantě UTM) má každý pás svoji souřadnicovou soustavu, je nutné v praxi poměrně často řešit transformaci souřadnic bodů ze souřadnicové soustavy jednoho pásu do souřadnicové soustavy druhého pásu. Tuto transformaci je možné řešit několika způsoby. V dřívějším období se nejčastěji používaly různé varianty rovinné transformace (viz. například kapitola Transformace zobrazení v [9]a [23]). Pro tyto transformace byly zpracovány i výpočetní tabulky. K rovinným transformacím lze počítat i grafickou transformaci použitou na vojenských topografických mapách, kde v rámu těchto map (v tzv. překrytovém pásmu) jsou vykresleny rysky kilometrových čar sousedního poledníkového pásu. Jejich spojením se na mapu vykreslí celá kilometrová síť a pomocí ní je potom možné odečítat souřadnice i v souřadnicovém systému tohoto pásu. V současné době je nejběžnější univerzální metoda transformace podle schématu: x\ý -+q>,A^>xn ,y", resp. N1,E1 -^(p,Ä^Nn\En Pro jednotlivé kroky se použijí vztahy ( 10-20 ), ( 10-21 ) a ( 10-35 ), ( 10-36 ) pro Gaussovo zobrazení a pro zobrazení UTM potom vztahy ( 10-23 ), ( 10-22 ) a ( 10-37 ),( 10-38 ). Poznámka: Při transformaci jednoho bodu do souřadnicového systému jiného pásuje nutné uvážit rychlý nárůst délkového zkreslení, což v důsledku může ovlivnit i přesnost výpočtů v rovinných souřadnicích. 11. Křovákovo zobrazení Po vzniku Československé republiky v roce 1918 byly budovány i nové geodetické a kartografické základy nového státního mapového díla, které se měly použít i pro katastrální účely. V roce 1922 navrhl Křovák (Josef Křovák 1884 až 1951) konformní kuželové zobrazení v obecné poloze jako součást geodetického referenčního systému jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). Toto zobrazení se využívalo do roku 1938 a bylo znovu zavedeno po druhé světové válce. S výjimkou padesátých a šedesátých let 20. století se používá dodnes. Zobrazení bylo definováno s ohledem na protáhlý a mírně vůči zeměpisným rovnoběžkám stočený tvar území bývalé Československé republiky (včetně tzv. Zakarpatské Ukrajiny) tak, aby minimalizovalo na tomto území délkové zkreslení. Dnes je používáno pouze v České a Slovenské republice. V současné době jsou v tomto zobrazení vydávána státní mapová díla určená pro státní správu a samosprávu (viz Nařízení vlády ČR č.430/2006 - [17]). Jedná se zejména o Státní mapu v měřítku 1 : 5 000, Základní mapy ČR v měřítkách 1:10 000, 1 : 50 000, 1 : 100 000 nebo 1 : 200 000 a Mapu ČR v měřítku 1 : 500 000. V tomto zobrazení j sou také poskytována digitální data z databáze ZABAGED. 137 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 11.1 Základní charakteristiky zobrazení V dále uvedených vzorcích jsou použité původní symboly, které zavedl Křovák. Zejména pro rovinné polární souřadnice se používají symboly R, D' namísto p, s a pro poloměr referenční koule r namísto původního R. Křovákovo zobrazení je dvojité zobrazení, které je možné vyjádřit schématickým zápisem: U,V-> Š,D ->R, D'->x,y Výchozí referenční plochou je Besselův elipsoid, který je nejprve konformně zobrazen na referenční kouli. Na ní jsou definovány kartografické souřadnice, pomocí kterých je povrch koule transformován do zobrazovací roviny konformním kuželovým zobrazením. Poslední fází je transformace z polárních rovinných souřadnic na pravoúhlé. V následujících odstavcích jsou popsány jednotlivé fáze. 11.2 Zobrazovací rovnice 11.2.1 Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli V první fázi je Besselův elipsoid konformně zobrazen na referenční kouli s jednou nezkreslenou rovnoběžkou (po = 49°30', která probíhá přibližně středem území původní Československé republiky. Poloměr referenční kouleje r = jM0N0 K transformaci souřadnic jsou použity rovnice odvozené v kapitole 5: SI f+ 45° tg a| ^- + 45° f l-eúrup^ 2 l + eúxup V = aA Konstanty zobrazení jsou: r = 6380 703,6105 m k= 1,00341 91640 cc = 1,00059 7498372 Po transformaci odpovídá původní hodnotě (po nezkreslené rovnoběžky hodnota na referenční kouli Uo = 49°27'35",84625. 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice Na referenční kouli je definována souřadnicová soustava kartografických souřadnic Š, D. Tato soustava vyhovuje protáhlému a mírně stočenému tvaru původní republiky. Osu území tvoří základní kartografická rovnoběžka So, z jejíhož tvaru byla vypočítána poloha kartografického pólu K podle postupu uvedeném v odstavci 1.2.2.a . Na této kartografické rovnoběžce byl za nejvýchodnějším cípem republiky, který tvořil okraj tehdejší speciální mapy 1:75 000, zvolen bod A, jehož zeměpisné souřadnice jsou: 138 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 01 = 48° 15' Aa = 42°30' východně Ferra (24°50' východně Greenwich). Tento bod má na referenční kuli souřadnice: f/y4 = 48°12'42",69689 J^ = 42°31'31",41725 Z polohy základní kartografické rovnoběžky byla vypočítána poloha kartografického pólu K. Pól leží na stejném poledníku jako bod A je od něho na sever o 11°30\ Jeho zeměpisné souřadnice na kouli jsou: £4 = 59°42'42",69689 ř/ff = 42°31'31",41725 Základní kartografická rovnoběžka má hodnotu Šo = 78°30'. Celé území bývalého Československa leželo potom v úzkém pásu vymezeném dvěma kartografickými rovnoběžkami v relativně malé vzdálenosti AS = 2°3ľ, což je asi 280 km. Uvedené hlavní prvky zobrazení dokumentuje obrázek (viz. Obr. 11-1). Zeměpisné souřadnice U, V jsou transformovány na kartografické souřadnice Š, D pomocí rovnic ( 1-24 ) a ( 1-25 ). Křovák jej pouze upravil zavedením zenitové vzdálenosti a (a = 90°- UK) kartografického pólu (viz Obr. 11-2). Obr. 11-1 Základní prvky Křovákova zobrazení 139 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ps a=90°-Ut 90'-U í 180°-D K I '° Šo í / A Obr. 11-2 Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické Upravené rovnice potom budou: sin Š = smll cos a + cos U sin a cos(F — Vk) . cosíl . smD =-¥sm(V-Vk) cosi (11-1) (11-2) 11.2.3 Transformace do zobrazovací roviny Pro zobrazení referenční kouleje použito jednoduché konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou, která se z důvodů zmenšení absolutní hodnoty zkreslení dodatečně zkresluje pomocí měřítkového faktoru m0 = 0,9999. Pro výpočty se používají vztahy ( 7-31 ), ( 7-5 ), ( 7-34 ) a ( 7-15 ). Protože se však jedná o obecnou polohu zobrazení, mají zobrazovací rovnice a další vztahy následující tvary: R = R0 tg ^ + 45 2 j tg 2 D' = nD + 45° (11-3) kde: Rq = m0rcotgŠ0 n = sin Šn (11-4) (11-5) (11-6) Hodnota R0 = 1 298 039,0046 m a n = 0,97992 47046. Poznámka: Použitím měřítkového se zobrazení mění v zobrazení se dvěmi nezkreslenými kartografickými rovnoběžkami o hodnotách & = 79°18'03" aŠ2 = 77°40'50". 140 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 11.2.4 Převod rovinných polárních souřadnic na pravoúhlé Polární souřadnice R, D' jsou transformovány na rovinné pravoúhlé x, y v souřadné soustavě, kde osa X]e umístěna v obraze poledníku Ak a její počátek je v obraze kartografického pólu K. Kladný směr osy je na jih. Osa Y je na ní kolmá a její kladná orientace je na západ. Polární souřadnice j sou transformovány podle vzorců: x = RcosD' (H-7) y = RsinD' Celé území republiky potom leží v prvním kvadrantu (viz Obr. 11-3). (11-8) Obr. 11-3 Poloha rovinného pravoúhlého systému v Křovákově zobrazení Obrazem kartografických poledníků jsou polopřímky vycházející z obrazu kartografického pólu, obrazem kartografických rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem opět v obraze kartografického pólu. Obrazem zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složité křivky, které však na zobrazovaném území České a Slovenské republiky mohou být na mapách středních měřítek nahrazeny přímkami (poledníky) nebo soustřednými kružnicemi (rovnoběžky), jejichž zakřivení je téměř totožné se zakřivením obrazu rovnoběžek u Gaussova zobrazení. 11.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím se řeší postupně podle schématu (Kratochvíl: Polohové geodetické sítě, 2000): x, y —> R, D' —> Š, D —> U, V-> (p, A Nejprve se ze vztahů (11-7 ) a (11-8 ) vypočítají polární souřadnice: (11-9) R = i x2+y2 D' = arctg y (11-10) 141 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Poté se s využitím vztahů ( 7-31 ) a ( 7-5 ) vypočítají kartografické souřadnice na referenční kouli: Š = 2 jarctan f č tg So + 45° j -45c D D' sin Šn (11-11) (11-12) Transformaci kartografických souřadnic na zeměpisné lze řešit pomocí vztahů ze sférické trigonometrie (viz. Obr. 11-2): U = arcsin (cos a sin Š - sin a cos Š cos D) f V = Vh - arcsin cos Š cosll sin D (11-13) (11-14) Výpočet zeměpisné šířky je nutné provést v několika iteracích, protože argument m je na obou stranách rovnice. Jeden z možných postupuje následující: . Zeměpisná délka se potom určí podle schématu: A = A\ pokud jmenovatel ve zlomku je (12-10) kladný (12-11) ( 12-12) á = x + A', pokud A£>0 a/l'<0 A = -7i + A\ pokud AE <0 a A' > 0 V případě, že se pro výpočet použije funkce arctg se dvěma argumenty (čitatel i jmenovatel vstupují do výpočtu samostatně), potom A je přímo rovna A' v rozsahu <-n, it>. Zeměpisná šířka q> se počítá postupně s výjimkou hodnoty AN = 0, kdy q> = 90°. Nejprve se vypočítá p podle j ednoho za vztahů: p = |A£|, jestliže AjV=0 (12-13) p = \AN\, jestliže AE=0 (12-14) P AE ve všech ostatních případech (12-15) sin/t Dále se vypočítá hodnota z a izometrické šířky q: z = 2arctg—^— (12-16) m0C0 q = --z (12-17) 2 Výsledná zeměpisná šířka se potom vypočítá podle vztahu:

l + eúxup ( 12-23 ) Konstanty zobrazení jsou počítány pro každou vrstvu samostatně, a to jak pro vrstvy s intervalem 8°, tak pro vrstvy s intervalem 4°. Pro vrstvy, ve kterých leží Česká republika, parametry a konstanty zobrazení mají následující hodnoty: Tabulka 12-2 Hodnoty základních parametrů pro Lambertovo konformní kuželové zobrazení pro území ČR Interval vrstvy , A a výška Hei bodu P na souřadnice prostorové pravoúhlé, bude platit podle [14]: Zpětný převod lze provést podle vzorců (13-3 ), kde se hodnoty q>, Hei&N počítají iteracemi: Hel=H + C (13-1) x = (N + Hel )cos cp cos A y = (N + Hel )cos cp sin A z = [N(l-e2)+Hel]sm

0 y cos (p0 cos A cos (p0 sin A Hodnoty q>, HeiaNse dále počítají pro i-tou iteraci následovně: q>{ = arctg N z ^-1+^-1 a (13-4) ■e2 sin2 q>{ H. cos cpi cos A y cos sin A Při prvním výpočtu zeměpisné šířky je možné zanedbat elipsoidickou výšku bodu P. Pomocí (po se vypočítají první aproximace iVo a Hei0. Jejich dosazením do rovnic ( 13-4 ) se získají zpřesněné hodnoty q>,, N, a Hei,. Iterační výpočet se ukončí, pokud je rozdíl mezi předcházející a počítanou hodnotou menší než požadovaná přesnost výpočtu. Obr. 13-1 Prosotorové pravoúhlé souřadnice Obdobné vztahy jako ( 13-2 ) a ( 13-3 ) platí i pro transformaci zeměpisných souřadnic U, V a výšky H na referenční kouli o poloměru R na prostorové pravoúhlé souřadnice. Výšku HJe možné uvažovat pouze jako nadmořskou, protože tato transformace se používá především pro méně přesné úlohy. Pokud se uvažuje stejná poloha a orientace souřadnicových os jako v případě referenčního elipsoidu, lze transformaci vyjádřit vzorci: 152 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie X = (R + H)cos U COS V y = (R + H)cosUsmV z = (R + H)smU Zpětný převod je potom možný podle vztahů: 13.1.2 V = arctg (f) f U = arctg H x2+/ (13-5) (13-6) R 1 4 x2+y2 R sin U cos U Tříprvková prostorová transformace Nejj ednodušší transformací mezi referenčními systémy je tříprvková prostorová transformace. Rozdíl mezi původním a novým referenčním systémem geocentrických souřadnic je pouze v lineárním posunu počátků obou systémů. Počátek nového souřadnicového systému je pouze vzhledem k původnímu systému posunut o hodnoty dx, dy a dz. Vlastní transformaci lze vyjádřit vztahem ( 13-7 ): Xn dx X yn = dy + y dz z (13-7) Graficky lze podstatu transformace vyjádřit následujícím obrázkem (Obr. 13-2): Zn Původní souřadnicový systém On Nový souřadnicový systém Yn Xn dz i-' dx dy Obr. 13-2 Tříprvková prostorová transformace Hodnoty souřadnic i lineárních posunů se vyjadřují v metrech. 153 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.1.3 Sedmiprvková prostorová transformace Přesnější a komplexnější transformace využívající prostorové pravoúhlé souřadnice je sedmiprvková prostorová transformace, někdy nazývaná i jako prostorová podobnostní transformace. Vedle lineárních posunuje zde uvažováno i se třemi rotacemi kolem původních os (rx, ry a rz) a se změnou měřítka - měřítkovým faktorem m=l+ju. Transformaci je možné vyjádřit následující rovnicí ( 13-8 ): Xn dx m 0 0" 1 X yn = dy + 0 m 0 1 y (13-8) Zn dz 0 0 m ry 1 z Graficky lze podstatu transformace opět vyjádřit následujícím obrázkem (Obr. 13-3): Obr. 13-3 Sedmiprvková prostorová transformace Hodnoty souřadnic a lineárních posunů se opět uvádějí v metrech, hodnoty rotací v desetinách vteřin a měřítkový faktor bývá v řádech 10"6 až 10"5. V anglické literatuře bývá uváděn v jednotkáchppm (partsper milion). Hodnoty rotací jsou definovány dvojím způsobem. Pokud se díváme směrem k původním osám X, Y, Z, je rotace jsou buďto ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Přitom je možné přiřadit kladné nebo záporné znaménko oběma směrům. Například v Austrálii byla pro rotace při definici referenčního souřadnicového systému použita kladná znaménka pro směry otáčení hodinových ručiček, v Evropě tomu bylo naopak [10]. Před použitím popsané transformace je nutné zjistit, jaký systém rotací byl použit. Pokud by byl použit nesprávný, výsledné transformované hodnoty jsou chybné. 13.1.4 Moloděnského transformace Moloděnského transformace umožňuje přímou transformaci zeměpisných souřadnic definovaných v souřadnicových systémech, aniž je nutný jejich převod do prostorových pravoúhlých souřadnic. K této transformaci je nutná znalost parametrů původního elipsoidu 154 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (velikost poloos a, b), lineárních posunů dx, dy a dz a rozdílů parametrů použitých referenčních elipsoidů (původního a nového) - velké poloosy Aa a zploštění Af. Transformace je dána vztahy ( 13-9 ): A(p- , e smcpcoscp . sin ^>cos Adx - sin ITRF1333 I ITRF1994 I ITRF1996 I ITRF1997 I ITRF 2000 > NSWC9Z-2 »WGS1966 )WGS 1372 TBE » WGS1972 »WGS1S84 ~3 Modify... Import... Add To Favorites t I Remove From Favorites 1 J. Geographic Coordinate System Properties |WGS_1984 SemimajorAxis [6378137 • Semiminor Axis: 6356752,31=12=151793 Inverse Flattering ■Angular Unit- Name: [Ďěgřěě Radians per unit. [0,01745329251 9943299 .-i -n. ... Name: JGreenwich 3 ~3 Obr. 14-1 Ukázky volby geodetického referenčního systému v programu ArcGIS z vestavěné nabídky 14.2 Transformace mezi geodetickými referenčními systémy Rovněž k transformaci mezi různými geodetickými referenčními systémy je možné využít vestavěné nabídky, kde jsou již pro jednotlivé případy zvoleny vhodné transformace (viz. Obr. 14-2). V případě, že je nutné vlastní transformaci řídit, je možné volit vlastní postup volbou typu transformace a zadání jejích parametrů (viz. Obr. 14-3) . Map Cache | Annotation Groups | Extent Rectangles | Size and Position General | Data Frame | Frame Coordinate System | Illumination | Grids Current coordinate systt + _l Pn ffl-Q Layer H-D tcusti & ITRF1997 $» ITRF2D00 $ NSWC 9Z-2 WGS196Ě $»WGS197£TFJE S> WG5 197Ě $WGS1984 jected Coordinate Systems Add To Favorites Remove From Favorites Geographic Coordinate System Transformations Convert trorn: -El*J J ||Europe\S-JTSK Using: ~3 Method: Position Vector- dx=570.B000D0 dy=85,700000 dz=462,800000 rx=4,938000 ry=1,587000 rs=5.£61000 s=3,560000 Obr. 14-2 Ukázka výběru přednastavené transformace (zde sedmiprvková podobnostní transformace) mezi různými geodetickými systémy v programu ArcGIS 159 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie New Geographic Transformation New Geographic Transformation Target GCS: Method — Name: Europe\Pulkovo 1942 Adj 1983 Position Vector Geocentric Translation Molodensky Abridqed Molodensky Coordinate Frame NADCON HARN Longitude Rotation Hew Geographic Transformation New GeographicTransforrnation Source GCS: |GCS_WGS_1934 Target GCS: |Europe\Pulkovo 1942 Adj 1983 ■Method — Name: Position Vector Name 1 Value -1 Z Axis Translation (meters) 0 I XAxis Rotation (seconds) 1l 1 YAxis Rotation (seconds) To_ Obr. 14-3 Ukázka výběru vhodné metody transformace (zde sedmiprvková podobnostní transformace) mezi různými geodetickými systémy a způsobu zadávání jejích parametrů v programu ArcGIS Poznámka: Pro transformaci souřadnic mezi referenčními systémy jsou dostupné i jiné postupy, které nemusí být součástí žádného komplexního systému. V České republice je to například program MATKART [5]. 14.3 Volba zobrazení Nástroje GIS mají zpravidla opět vestavěnou širokou nabídku různých zobrazení a projekcí, ze kterých je možné si vybírat a zadávat nebo akceptovat předem dané jejich parametry (základní poledník, poloha nezkreslených rovnoběžek, apod.). Před volbou zobrazení je nutné mít zvolen odpovídající geodetický referenční systém. Příklad systému zadávání parametrů zobrazení je uveden na následujícím obrázku (viz. Obr. 14-4). Projected Coordinate System Properties Lambert_Conformal_Conic Parameter Value False Northing 0.000000000000000000 Central_Meridian 14,999999993939396000 Standard_Parallel_1 47,50 Standard_Parallel_2 58,999999999999993000 Scale Factor 1.000000000000000000 Latitude Of Oriain _ 0.000000000000000000 Jnear Unit- Name: Meters per unit 3 jeographic Coordinate System Name: GCS_Sphere_EMEP Alias: Abbreviation: Remarks: Angular Unit: Degree (0.017453292519943299) Prime Meridian: Greenwich (0,090000000000000000) *} ±1 Modify- 1 J. Obr. 14-4 Volba zobrazení a zadávání jeho parametrů v programu ArcGIS 160 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Konkrétní hodnoty parametrů zobrazení je nutné vypočítat předem na základě jeho požadovaných vlastností a polohy zobrazovaného území na Zemi. 14.4 Vizualizace matematických prvků Matematické prvky, zpravidla rám mapy s hodnotami zeměpisných nebo rovinných pravoúhlých souřadnic, síť poledníků a rovnoběžek nebo pravoúhlou síť ve zvoleném intervalu, různé druhy vyjádření měřítka mapy, výsledné editované mapy je možné též generovat pomocí vestavěných nástrojů. Pokud není nutné vytvářet vlastní grafický styl zobrazení, k editaci se opět používají vestavěné nástroje a systém průvodce. Příklad výsledné vizualizace matematických prvků je uveden na obrázku (viz. Chyba! Chybný odkaz na záložku.). ST 5C= 4(F M* 2IF 10° (F 20° 40° MF QT 7ff= 30= Sř 2tT 1(F T 1(F 2tF 30° 40° Siř 1:30 000 000 Obr. 14-5 Příklad vizualizace matematických prvků mapy v programu ArcGIS. Poznámka - hodnoty měřítek odpovídají originálnímu zobrazení; na obrázku jsou jiné, dané zmenšením obrázku a slouží pouze pro ilustraci funkčnosti programu. 161 Literatura [I] ArcGIS 9.2, Environmental System Research Institute, Inc. 2007 [2] BÖHM, J.: Vyšší geodesie II, Souřadnicové soustavy, učební texty vysokých škol, České vysoké učení technické v Praze, SNTL Praha 1966, 186 s. [3] BANDROVA T.: Kartografija 1 (Kartni proekcii), UASG Sofia, 235 s. [4] BUCHAR, P.: Matematická kartografie 10, ČVUT Praha 2002 [5] ČECHUROVÁ, M., VEVERKA, B.: Software MATKART - současný stav a vývojové trendy, Kartografické listy, Ročenka k artografickej spoločnosti Slovenskej republiky, č. 15/2007, ISBN 80-89060-10-8, Bratislava 2007, s. 34-40 [6] DMA Technical Manual - The Universal Grids: Universal Transverse Mercator (UTM) and Universal Polar Stereographic (UPS), Edition 1, Defense Mapping Agency, Sign. DMATM 8358.2, September 1989 [7] EGELTOFT, T., STOFMENOV G: Map Projections, Royal Institute of Technology, Department of Geodesy and Photogrammetry, Stockholm, Sweden, April 1997, ISSN 1400-3155, 83 s. [8] FIALA, F.: Matematická kartografie, SNTL Praha 1955, s. [9] HOJOVEC, V. a kol.: Kartografie, GKP Praha 1987, 660 s. [10] http://www.nga.mil/ [II] http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/map/ [12] http://en.wikipedia.ore/ [13] KENNEDY, M., KOPP, S.: Understanding Map Projection, Publikace ESRI 200x [14] KRATOCHVÍL, V.: Polohové geodetické sítě, Aplikace metody nejmenších čtverců a transformace souřadnic, VA v Brně 2000, PČT S-464, 214 s. [15] KUSKA, F.: Matematická kartografia, SVTL, Edicia technickej literatúry, Bratislava 1960, 475 s. [16] LEICK, A.: GPS satelite surveying, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc. 1995, ISBN 0-471-30626-6, 560 p. [17] Nařízení vlády ČR č. 430/2006 Sb. O stanovení geodetických systémů a státních mapových děl závazných na území státu a zásadách jejich používání [18] NOVÁK, V., MURDYCH, Z.: Kartografie a topografie, SPN Praha 1988, 320 s. [19] OLSOVSKY, V.: Globálni systém určování polohy - GPS, úvod do studia, VA v Brně 1999, 176 s. [20] OPERATIONAL NAVIGATION CHARTS (ONC), MIL-O-89102 NOT 1, The National Geospatial-Intelligence Agency, 1995, revised 2004, http://www.nga.mil/ [21] PORTER, W., McDONNEL, Jr.: Introduction to map projections, Marcel Dekker, INC., 270 Madison Avenue, New York and Basel 1979, ISBN 0-8247-6830-2 [22] REKTORYS, K. a kol.: Přehled užité matematiky, 5. vydání, SNTL - nakladatelství technické literatury, Praha 1988, 1140 s. [23] SRNKA, E.: Matematická kartografie, VAAZ Brno 1986, 302 s. 162 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie [24] VESELÁ, I: Systém vizualizace zkreslení vybraných zobrazení v prostředí ArcGIS 9.x, (bakalářská práce), Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Geografický ústav Brno 2006, 50 s. [25] VYKUTIL, J.: Vyšší geodézie, Kartografie, Praha 1982, 544 s. 163 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Název: Autor: Vedoucí katedry: Rok vydání: Náklad: Počet stran: Vydavatel: Tiskne: Číslo zakázky: Číslo EP: Cena pro vnitřní potřebu: Základy matematické kartografie plk. doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. plk. doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. 2007 50 164, počet příloh: 0, počet obrázků: 122 Univerzita obrany Vydavatelská skupina UO Publikace neprošla jazykovou úpravou. 164