1
Mgr. Monika Šulc, PhD.et PhD.
2
Metódy spracovania a
hodnotenia hydrologických dát
3
Prietok (Q) – množstvo vody, ktoré preteká plochou
prietočného profilu za jednotku času
Prietok je najdôležitejšou hydrologickou veličinou.
Vyjadruje sa v l.s-1 alebo (najčastejšie) v m3.s-1.
Prietok sa v krajine nemeria pravidelne – je spravidla
odvodenou hodnotou.
Prietok sa odvodzuje z hodnoty vodného stavu (H).
Vodný stav je výška vodnej hladiny v mernom profile nad
zvolenou úrovňou, t.j. 0 hodnotou.
Hydrometria - Prehľad základných pojmov
•Prehľad základných pojmov
•Chronologická čiara – grafické znázornenie časového priebehu hodnôt
hydrologického prvku spojitou alebo stupňovitou čiarou
•Hydrologický rad – chronologicky zoradený súbor hodnôt hydrologických
prvkov alebo hydrologických charakteristík zo súvislého obdobia (napr. vodné
stavy, prietoky atď.).
•Čiara vodných stavov – chronologická čiara vodných stavov vo
vodočetnom profile.
•Čiara prietokov, hydrogram – chronologická čiara prietokov v
uvažovanom profile.
•Reálny hydrologický rad – hydrologický rad z pozorovaných,
prípadne v krátkych časových úsekoch doplnených hodnôt za
konkrétne časové obdobie.
•Odvodený hydrologický rad – hydrologický rad vytvorený
pomocou analógie alebo matematických vzťahov z radu hodnôt
podmieňujúcich prvkov za konkrétne časové obdobie.
Chronologická čiara vývoja financií študenta
vždy ráno o 8.00 hod
0
20
40
60
80
100
120
N
edeľa
Pondelok
U
torok
Streda
Štvrtok
Piatok
Sobota
N
edeľa
(vEuro)
•Metódy hodnotenia hydrologických prvkov
•Vodné stavy, prietoky
•Po nameraní hodnôt vodných stavov je základným spôsobom
ich vyhodnotenia vykreslenie chronologickej čiary vodných
stavov (prietokov) za určité zvolené obdobie.
•Z množiny nameraných dát sa týmto zoradením stáva
hydrologický rad.
•Už z chronologickej čiary je možné zistiť maximálny a
minimálny vodný stav za sledované obdobie. Rozdiel týchto
hodnôt nazývame variačné rozpätie – amplitúda.
•Ďalšie hodnoty zaujímavé z hľadiska hodnotenia
hydrologického radu získame využitím jednoduchých metód
matematickej štatistiky.
Čiara vodných stavov
0
100
200
300
400
500
600
700
1.1.1996
15.1.1996
29.1.1996
12.2.1996
26.2.1996
11.3.1996
25.3.1996
8.4.1996
22.4.1996
6.5.1996
20.5.1996
3.6.1996
17.6.1996
1.7.1996
15.7.1996
29.7.1996
12.8.1996
26.8.1996
9.9.1996
23.9.1996
7.10.1996
21.10.1996
4.11.1996
18.11.1996
2.12.1996
16.12.1996
30.12.1996
Čas
Vodnýstav(cm)
Qd
•Minimum
•Maximum
•Priemerné hodnoty – mesačná, ročná, dlhodobá
•Medián, modus ...
•Pre riešenie praktických hydrologických úloh je potrebné
hydrologické dáta detailnejšie spracovať.
•Najpoužívanejšou metódou hodnotenia hydrologických prvkov je čiara
prekročenia, a to buď empirická alebo teoretická.
•Empirická čiara prekročenia je zostrojená z reálne
nameraných údajov.
•Teoretická čiara (krivka – hydrologický model) prekročenia
je zostrojená s využitím ďalších, najmä štatistických závislostí.
•Čiara prekročenia vyjadruje dĺžku (dobu), počas ktorej je
dosiahnutá a prekročená hodnota určitého vodného stavu.
•Zistíme, koľko vodných stavov sledovaného radu patrí do
príslušného intervalu a vypočítame kumulatívnu početnosť.
•Na základe týchto hodnôt vykreslíme čiaru prekročenia
vodných stavov tak, že na os x nanášame hodnoty kumulatívnej
početnosti a na os y hodnoty vodných stavov (hornú hranicu
intervalu).
•Tieto hodnoty označujeme ako M-denné vodné stavy, kde M
je počet dní (najčastejšie 30, 60, 90 atď.). Uvedené hodnoty sú
vyznačené aj na čiare prekročenia.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390
dni
Vodnéstavy
•Hodnoty prvkov hydrologického radu sú náhodné hodnoty a
platia pre ne zákony počtu pravdepodobnosti.
•Ak vychádzame z empirickej pravdepodobnosti, potom
pravdepodobnosť výskytu zistíme pomerom:
n
m
p 
•kde m je počet kladných výsledkov javu pri n–násobnom
opakovaní pokusu.
•Aplikácia tohto vzťahu v hydrológii vyzerá tak, že množinu prietokov zoradíme
do klesajúceho radu a každej hodnote priradíme hodnotu pravdepodobnosti,
pričom m je poradové číslo prvku v rade a n je celkový počet prvkov.
•Použitím vzorca by však posledný, n-tý prvok mal pravdepodobnosť
výskytu 1, čiže 100% a to je v hydrologickej praxi
nereálne.
•Vzorec preto rôzni autori upravili nasledovne:
%100.
4,0
3,0
%,100.
1
%,100.
5,0







n
m
p
n
m
p
n
m
p
•V strednej časti čiary prekročenia dávajú všetky
tri vzorce približne rovnaké výsledky, no pri nízkych
a vysokých hodnotách pravdepodobností sa
odlišujú.
•Vynesením hodnoty p na os x a prislúchajúcich hodnôt Q na
os y dostaneme empirickú čiaru pravdepodobnosti
prekročenia denných prietokov.
0
100
200
300
400
500
600
700
0 20 40 60 80 100
%
Vodnéstavy
•V súčasnosti je najpoužívanejší tretí vzorec.
•Empirická čiara pravdepodobnosti
prekročenia
•Doteraz sme zaoberali empirickým rozdelením početnosti. Ale
empíria má svoje limity...
%100.
1
%100.
1
P
N
alebo
N
P


•Od empirického rozdelenia musíme prejsť k
teoretickému ...
•V hydrológii v praxi využívame teoretické rozdelenie
početnosti, ktoré môžeme považovať za matematický model
daného empirického rozdelenia, ktorý zostrojíme na základe
parametrov získaných z empirického radu.
•Teoretické rozdelenie početnosti môže byť symetrické alebo
asymetrické.
•Symetrické rozdelenie početnosti vyjadruje Gaussova –
Laplaceova krivka normálneho rozdelenia. Keďže krivka je
symetrická, priemer, medián a modus sú totožné.
•V hydrologickej praxi sa stretávame prevažne s asymetrickým
rozdelením početnosti, keď sú hydrologické rady ohraničené
konečnými maximálnymi a minimálnymi hodnotami.
•Z asymetrických kriviek rozdelenia početnosti je najznámejšia
jedna z dvanástich kriviek štatistika Pearsona, známa ako
Pearsonova krivka III. typu.
•Tvar a priebeh krivky sú určené tromi parametrami:
•1. aritmetickým priemerom radu
•2. koeficientom variácie Cv
•3. koeficientom asymetrie Cs
•Pri výpočte koeficientu variácie
zavedieme do vzorca pre výpočet
Cv hodnotu ki, ako:
x
x
k i
i 
•kde xi je aktuálna hodnota
prietoku a xje priemerná hodnota
celého radu
•Matematický aparát „modelu“ potom vyzerá
nasledovne:
)1.(
).1(
)1(
1
)1(
,
3
3
2
ps
i
i
xQp
Cvn
k
Cs
n
k
Cv









•Teoretická krivka pravdepodobnosti
prekročenia
•Ďalšie štatistické rozdelenia:
• Logaritmicko – normálne rozdelenie, ktoré je
vhodné pri súboroch s veľkou asymetriou (Cs >
3Cv). U nás je využívané najmä pri maximálnych
prietokoch.
• Goodrichovo exponenciálne rozdelenie (na
hodnotenie maximálnych prietokov) najmä pri
väčšom počte ročných kulminácií.
• Weibullovo rozdelenie (na hodnotenie
minimálnych prietokov).
• Gumbelovo rozdelenie.
• Na základe Pearsonovej krivky odvodili svoju krivku
Krickij a Menkeľ, používa sa aj logaritmický
variant Pearsonovej krivky.
•Jednotlivé parametre, potrebné na zostrojenie kriviek, môžeme
získať viacerými spôsobmi. Najčastejšie sa používajú metóda
momentov a metóda kvantilov.
•Pri metóde momentov sa parametre Qa, Cv a Cs vypočítajú
zo známych vzťahov.
•Krivku prekročenia konštruujeme s využitím Foster–
Rybkinových tabuliek.
•Sú v nich uvedené odchýlky súradníc kriviek – od priemeru
pre x = 1 a Cv = 1 pre rôzne hodnoty Cs.
•Teoretické krivky pravdepodobnosti prekročenia sme nazvali
matematickým modelom empirického rozdelenia prvkov
hydrologického radu.
•Je to skutočne tak, pretože teoretické krivky (modely)
umožňujú určiť hodnoty prietoku Q aj takej pravdepodobnosti,
akú z empirickej krivky určiť nevieme.
•Niektoré tieto hodnoty sú v praxi veľmi dôležité (napr. pri
stavbe priehrad, hrádzí, mostov a pod.).
•Krivky prekročenia, či už empirické alebo teoretické, môžeme
vykresliť buď v normálnej, semilogaritmickej alebo v
logaritmickej sieti pravouhlých súradníc.
•Rozdiel v priebehu tej istej krivky v rôznej sieti zreteľne vidieť na
obrázkoch (naštudovať v skriptách).
•V súčasnosti sa v hydrologickej praxi konštruujú krivky
prekročenia najmä v semi- a logaritmickej sieti. Vyplýva to z
potreby ďalšieho spracovania kriviek prekročenia.
•Napríklad pri extrapolácii je výhodnejšie použiť logaritmickú
sieť, pretože krivka prekročenia má v podstate lineárny priebeh
a extrapolácia je jednoduchšia.
Dvojrozmerná induktívna štatistika
Jednoduchá lineárna regresia, Pearsonov
korelačný koeficient
Jednoduchá lineárna regresia
 Párová regresná analýza skúma lineárnu závislosť medzi dvoma
kvantitatívnymi premennými (napr. hmotnosťou a výškou
človeka) a je špecifickým prípadom viacnásobnej regresie.
Jednoduchá regresia odhaduje regresné koeficienty β0 a β1
v rovnici:
 yi = β0 + β1xi + εi
 kde:
yi – hodnota závislej premennej Y (kritéria) v i-tom pozorovaní
xi – hodnota nezávislej premennej X (prediktora) v i-tom
pozorovaní
β0 – regresná konštanta (priesečník regresnej priamky s osou x)
β1 – regresný koeficient (smernica regresnej priamky)
εi – náhodná chyba i-teho pozorovania
 Regresný koeficient sa interpretuje v závislosti od typu výskumu.
V prípade experimentu (v ktorom sa premennou X manipuluje),
vyjadruje o koľko sa zvýši očakávaná hodnota premennej Y ak sa
hodnota premennej X zvýši o 1 jednotku.
 V prípade pozorovacej štúdie sa koeficient interpretuje ako
očakávaný rozdiel hodnôt premennej Y dvoch pozorovaní, ktorých
hodnota premennej X sa líši o jednu jednotku.
 Za predpokladu, že údaje predstavujú náhodnú vzorku z populácie,
sú vypočítané regresné koeficienty a korelačný koeficient najlepšími
bodovými odhadmi neznámych parametrov. Okrem toho možno
testovať hypotézy (nulová hypotéza, že koeficient sa rovná nule
vyjadruje, že medzi premennými v základnom súbore neexistuje
vzťah) a zostrojiť ich intervalové odhady.
 Testy hypotéz a intervalové odhady regresných koeficientov
predpokladajú, že chyby εi sú vzájomne nezávislé (z čoho vyplýva,
že aj yi sú nezávislé), normálne rozdelené s priemerom 0
a rovnakým rozptylom pre všetky hodnoty X.
Jednoduchá lineárna regresia
Jednoduchá lineárna regresia
 Na základe vzorky n
pozorovaní premenných X
a Y, metóda najmenších
štvorcov odhadne neznáme
parametre β0 a β1 tak, aby
bol súčet druhých mocnín
rezíduí minimálny. Rezíduum
ei je rozdiel medzi skutočnou
hodnotou závislej premennej
yi a hodnotou vypočítanou
z regresnej funkcie
dosadením hodnoty xi:
 Rezíduum predstavuje
vertikálnu vzdialenosť medzi
bodom a regresnou
priamkou:
Ciele regresnej analýzy môžu byť rôzne:
1. Nájdenie rovnice, ktorá opisuje vzťah medzi premennými
2. Odhad koeficientov - regresná analýza môže potvrdiť teóriu
o vzťahu medzi premennými. Najčastejšie je záujem sústredený na
znamienka a veľkosti koeficientov
3. Predikcia - Cieľom je predpovedať hodnoty závislej premennej
 Korelačný koeficient meria silu štatistickej závislosti medzi dvoma
kvantitatívnymi premennými. Korelačná analýza na rozdiel od
regresie nevyjadruje príčinno-následný vzťah Y=f(X).
 Premenná Y nezávisí na premennej X ale dve náhodné premenné
X a Y sa spoločne menia.
 Regresná analýza predpokladá, že premenná Y je náhodná
a premenná X fixná.
 Pod pojmom korelačný koeficient sa najčastejšie myslí Pearsonov
korelačný koeficient (Pearson's product moment) z roku 1896,
ktorý je mierou lineárnej závislosti dvoch premenných. Pearsonov
korelačný koeficient ρ (ró) odhadnutý z náhodnej vzorky sa zapisuje
r a vypočíta sa:
 Čitateľ sa nazýva kovariancia a vyjadruje ako sa súčasne menia hodnoty
dvoch premenných. Kladná hodnota znamená, že sa menia spoločne
jedným smerom, záporná hodnota znamená že sa menia opačným smerom
a nula, že sa menia nezávisle.
 Vydelením kovariancie štandardnými odchýlkami sa vypočíta korelačný
koeficient, ktorého hodnota sa nachádza v intervale od −1 do 1. Pearsonov
korelačný koeficient sa rovná −1 v prípade, že všetky pozorovania ležia na
klesajúcej priamke a 1 ak pozorovania ležia na stúpajúcej priamke.
 Interpretácia korelačného koeficientu závisí od kontextu.
 Hodnota 0,8 pri overení fyzikálneho zákona použitím presných meracích
prístrojov je veľmi nízka, v sociálnych vedách je však veľmi vysoká.
 Cohen (1988) vytvoril jednoduchú pomôcku pre interpretáciu korelačných
koeficientov v psychologickom výskume: Korelácia (v absolútnej hodnote)
pod 0,1 je triviálna, 0,1–0,3 malá, 0,3–0,5 stredná a nad 0,5 veľká.
 Hodnota r 2 (R-squared) sa nazýva koeficient determinácie
a vyjadruje podiel spoločnej variability medzi dvoma premennými.
Test významnosti Pearsonovho korelačného koeficientu
a intervalový odhad vyžadujú nezávislé pozorovania a bivariačné
normálne rozdelenie.
 Pearsonov korelačný koeficient je silne ovplyvniteľný extrémnymi
hodnotami (outliers) a to v oboch smeroch.
 Jediný extrémista vo veľkom súbore môže významne znížiť silnú
závislosť, ale aj vyrobiť silnú závislosť tam, kde žiadna nie je.
 Touto citlivosťou na extrémne hodnoty netrpia poradové korelačné
koeficienty.
 Dôležité závery sa nesmú robiť iba na základe hodnoty koeficientu.
Vždy je nutné preskúmať X-Y graf.
 Z grafu možno zistiť aj nelineárny ale silný vzťah medzi
premennými. V takom prípade treba vzťah linearizovať
transformáciou premenných (napr. logaritmovaním Y), ktoré sa
následne použijú na výpočet korelácie.
 Príklady:
Existuje vzťah medzi množstvom konzumácie kávy (X) a krvným
tlakom (Y)?
Aká silná je závislosť medzi veľkosťou predaja výrobku (Y)
a výdavkami na reklamu (X)?
Aký nárast predaja možno očakávať, ak zvýšime výdavky na
reklamu o 1 mil. Sk?
Testy štatistických hypotéz
(testy štatistickej významnosti)
 Štatistická hypotéza je tvrdenie týkajúce sa základného súboru.
V prípade parametrických testov je hypotéza tvrdenie o neznámej
hodnote parametra základného súboru.
 Iba na základe výskumu celého základného súboru by bolo možné
s úplnou istotou rozhodnúť o správnosti alebo nesprávnosti
hypotézy. Takýto vyčerpávajúci výskum by však bol neekonomický,
technicky neuskutočniteľný alebo neetický.
 Preto sa výskumu podrobuje iba časť základného súboru - výberový
súbor (vzorka). Proces overovania správnosti alebo nesprávnosti
hypotézy pomocou výsledkov získaných náhodným výberom sa
nazýva testovanie štatistických hypotéz.
 Základným predpokladom štatistickej indukcie je náhodný výber.
Postup testovania hypotéz:
 1) Formulácia nulovej hypotézy (H0)
Konečným cieľom väčšiny štatistických testov je zhodnotenie vzťahu
medzi premennými. Nulová hypotéza potom vyjadruje nezávislosť
premenných. Napríklad nulová hypotéza t-testu vyjadruje rovnosť
priemerov dvoch základných súborov. Rozdiel zistený vo vzorke sa
považuje za náhodný (je dôsledkom náhodného výberu).
 2) Formulácia alternatívnej hypotézy (Ha)
Väčšinou chceme dokázať pravdivosť alternatívnej hypotézy, ktorá
najčastejšie vyjadruje štatistickú závislosť premenných. Pravdivosť
alternatívnej hypotézy sa dokazuje vždy iba nepriamo a to tak, že
ukážeme, že nulová hypotéza je nepravdepodobná a alternatívna
(jediná zostávajúca) je teda pravdepodobná.
 3) Stanovenie hladiny významnosti (α)
Hladina významnosti je pravdepodobnosť chyby I. druhu, ktorú
urobíme ak zamietneme nulovú hypotézu, ktorá v skutočnosti platí.
Teda ak prídeme k záveru, že medzi premennými existuje vzťah,
pričom medzi nimi vzťah nie je. Alfa sa tradične stanovuje na 5 % (=
0,05) alebo 1 %.
 4) Výpočet testovacej štatistiky a pravdepodobnosti
Zo vzorky sa vypočíta testovacia štatistika, ktorá má za predpokladu
pravdivosti nulovej hypotézy príslušné rozdelenie pravdepodobnosti
(Chi-kvadrát, t).
 P-hodnota (P-Value, Probability Level) predstavuje
pravdepodobnosť, že testovacia štatistika za predpokladu
pravdivosti nulovej hypotézy dosiahne pri najmenšom tak extrémnu
hodnotu ako je hodnota vypočítaná zo vzorky.
 P-hodnota je pravdepodobnosť, že vzťah zistený z našich údajov je
iba dôsledkom nešťastnej vzorky a ak by sme vybrali ďalšiu
náhodnú vzorku, nemuseli by sme nájsť nič.
 P-hodnota je najnižšia hodnota hladiny významnosti, ktorá vedie
k zamietnutiu nulovej hypotézy.
 P-hodnota je odhadovaná pravdepodobnosť zamietnutia pravdivej
nulovej hypotézy. Čím menšia je P, tým viac sme presvedčení, že
nulová hypotéza nie je pravdivá a mala by byť zamietnutá.
5) Rozhodnutie
 Ak P < α, nulová hypotéza sa voči príslušnej alternatívnej
hypotéze zamietne. Znamená to, že rozdiel nameraný vo vzorke
je príliš veľký na to aby bol iba náhodný. Medzi premennými teda
existuje vzťah.
 Ak P ≥ α, nulovú hypotézu nemožno zamietnuť. Znamená to, že
rozdiel nameraný vo vzorke môže byť iba náhodný. Často sa
v takomto prípade nesprávne hovorí, že nulová hypotéza sa
prijíma. Správny je výrok, že nemáme dostatočné dôkazy na to,
aby sme nulovú hypotézu zamietli. Teda nemáme dostatok
dôkazov na to, aby sme tvrdili, že medzi premennými existuje
vzťah.
 V praxi sa veľmi často hladina významnosti nestanovuje vopred,
teda P-hodnota sa interpretuje samostatne. Väčšina autorov
uvádza P < 0,05 ako štatisticky významný a P < 0,01 ako
štatisticky vysoko významný vzťah.
Situácie, ktoré môžu nastať pri
testovaní hypotéz
Rozhodnutie
Skutočnosť H0 nezamietnutá H0 zamietnutá
H0 pravdivá Správne rozhodnutie (p = 1−α) Chyba I. druhu (p = α)
H0 nepravdivá Chyba II. druhu (p = β) Správne rozhodnutie (p = 1−β)
•H0: Nulová hypotéza
p: Pravdepodobnosť nastatia danej situácie
α: Significance level (hladina významnosti)
1−α: Confidence level (spoľahlivosť)
1−β: Power (sila testu)
Zhluková analýza
 Zhluková analýza (Cluster analysis) sa zaoberá tým, ako by
mali byť objekty (štatistické jednotky) zaradené do skupín tak,
aby bola čo najväčšia podobnosť v rámci skupín a čo najväčšia
rozdielnosť medzi skupinami.
 Zhluková analýza sa používa napr. pri segmentácii trhu, pričom
klasifikácia spotrebiteľov je založená na kombinácii viacerých
premenných. Premennými, teda segmentačnými kritériami môžu
byť: pohlavie, vek, vzdelanie, životný štýl, náboženstvo, skúsenosti
s produktom, veľkosť spotreby, frekvencia spotreby a pod.
 Pri zohľadnení iba jednej premennej (1-D) je nájdenie zhlukov veľmi
jednoduché: hodnoty premennej sa nanesú na číselnú os a zhluky
sa identifikujú vizuálne (napr. podľa veku nájdeme v súbore 2
skupiny respondentov: jednu okolo 15 rokov a druhú okolo 40
rokov).
 Podobne použitím X-Y grafu možno jednoducho identifikovať zhluky
pri zohľadnení 2 premenných (2-D). V priestore (3-D) sa pomocou
interaktívneho X-Y-Z grafu tiež dajú nájsť zhluky vizuálne. Vizuálne
identifikovať zhluky pri zohľadnení viac ako 3 premenných súčasne
sa však už nedá. Práve vtedy sa používa zhluková analýza.
Zhluková analýza
 Zhluková analýza zahŕňa množstvo metód. Rozlišujú sa
dve základné skupiny:
1. Hierarchické zhlukovacie metódy
2. Nehierarchické zhlukovacie metódy

Hierarchické zhlukovacie metódy
vychádzajú z jednotlivých objektov, ktoré reprezentujú
zhluky. Ich spájaním sa v každom kroku počet zhlukov
postupne zmenšuje až sa nakoniec všetky zhluky spoja
do jedného celku.
 Hierarchické metódy vedú k hierarchickej (stromovej)
štruktúre, ktorá sa graficky zobrazuje ako stromový
diagram (dendrogram). Stromové zhlukovacie metódy
začínajú výpočtom vzdialenosti medzi objektmi.
 Euklidovská vzdialenosť medzi objektmi i a j s n
charakteristikami (premennými) sa vypočíta:

 Alternatívnu vzdialenosť
prestavuje vzdialenosť
Manhattan (City-block):

 Euklidovská vzdialenosť
vyjadruje vzdušnú vzdialenosť
medzi dvoma objektmi
a vzdialenosť Manhattan
najkratšiu vzdialenosť, ktorú
musí chodec prejsť aby sa
v meste dostal z jedného miesta
na druhé. Výhoda vzdialenosti
Manhattan spočíva v znížení
dopadu extrémnych prípadov
(outliers) na výsledky.
 Euklidovská vzdialenosť vyjadruje vzdušnú
vzdialenosť medzi dvoma objektmi
a vzdialenosť Manhattan najkratšiu
vzdialenosť, ktorú musí chodec prejsť aby sa
v meste dostal z jedného miesta na druhé.
Výhoda vzdialenosti Manhattan spočíva
v znížení dopadu extrémnych prípadov
(outliers) na výsledky.
 Existujú ešte viaceré iné typy vzdialeností,
ktoré sa používajú napr. pri kategorických
premenných.
 Keď už máme vypočítané vzdialenosti medzi všetkými
dvojicami objektov musíme určiť pravidlo podľa ktorého
sa budú objekty spájať do zhlukov, teda ako sa bude
určovať vzdialenosť medzi zhlukmi. Existujú viaceré
pravidlá spájania:
 Single linkage (Nearest Neighbour) – jednoduché
spájanie (najbližší sused)
Vzdialenosť medzi dvoma zhlukmi je definovaná ako
vzdialenosť dvoch najbližších členov.
 Complete linkage (Furthest Neighbour) – kompletné
spájanie (najvzdialenejší sused)
Vzdialenosť medzi dvoma zhlukmi je definovaná ako
vzdialenosť dvoch najvzdialenejších členov.
 Unweighted pair-group average (Group Average) –
nevážený párový priemer (priemer skupín)
Vzdialenosť medzi zhlukmi je definovaná ako priemerná
vzdialenosť medzi všetkými pármi, pričom 1.člen je
z 1.zhluku a 2.člen z 2.zhluku.
 Weighted pair-group average (Simple Average) – vážený párový
priemer (jednoduchý priemer)
Podobná ako predošlá z tým rozdielom, že veľkosti zhlukov (počty
objektov) sa berú ako váhy.
 Unweighted pair-group centroid (Centroid) – nevážený centroid
(centroid)
Vzdialenosť medzi dvoma zhlukmi je definovaná ako vzdialenosť
centroidov týchto dvoch zhlukov. Centroid je vektor priemerov
(každá súradnica je priemer príslušných súradníc objektov v zhluku).
 Weighted pair-group centroid (Median) – vážený centroid
(medián)
Podobná ako predošlá z tým rozdielom, že veľkosti zhlukov (počty
objektov) sa berú ako váhy.
 Wardova metóda
Táto metóda sa zreteľne odlišuje od všetkých ostatných pretože na
určenie vzdialenosti medzi zhlukmi využíva prístup analýzy rozptylu.
S touto metódou sa zhluky vytvárajú tak, aby sa vnútrozhlukový
súčet štvorcov minimalizoval.
Nehierarchické zhlukovacie metódy
 nevytvárajú stromovú štruktúru. Najznámejšia nehierarchická zhlukovacia
metóda je metóda k-priemerov (k-means).
 Táto metóda sa vyznačuje tým, že vyprodukuje presne k-zhlukov tak, aby
bol vnútroskupinový súčet štvorcov minimálny. Najvhodnejšia je na
formovanie malého počtu zhlukov z veľkého počtu pozorovaní. Vyžaduje
však intervalové premenné bez extrémnych hodnôt (outliers).
 Nominálne premenné sa dajú použiť ale môžu spôsobovať problémy.
Užitočnou metódou je neurčité zhlukovanie (Fuzzy clustering), ktoré na
rozdiel od ostatných zhlukovacích metód, umožňuje čiastočné zaradenie
objektu do viacerých zhlukov a to pomocou pravdepodobnosti.
 Cieľom je zabrániť skresleniu zhlukovania kvôli prítomnosti nezaraditeľných
objektov. Takéto indivíduum sa nepriradí ku žiadnemu zhluku (od každého
sa príliš odlišuje), ale priradia sa mu pravdepodobnosti s ktorými sa bude
nachádzať v jednotlivých zhlukoch.
 Metóda sa často používa pri odhaľovaní podvodov v rôznych oblastiach.
Napr. v bankovníctve sa bez vopred formulovanej definície podozrivej
operácie z miliónov operácií klientov identifikuje pár desiatok takých, ktoré
sa od zvyšných (zoskupených do niekoľkých zhlukov) pri použití viacerých
premenných (napr. obrat, typ operácie, konštantný symbol, čas od zadania
po jej splatnosť atď.) výrazne odlišujú.
Jednofaktorová analýza rozptylu
 Jednosmerná analýza rozptylu (One-Way ANOVA) je
najjednoduchšou formou ANOVA (ANalysis Of VAriance).
Jednosmerná (jednoduchá) ANOVA skúma vzťah medzi
intervalovou a nominálnou premennou (faktorom), napr. množstvom
cholesterolu v krvi a typom diéty alebo predajnosťou výrobku
a druhom obalu.
 Cieľom analýzy rozptylu je odhaliť, či vo vzorke zistené rozdiely
priemerov jednotlivých skupín (podľa úrovne faktora) sú štatisticky
významné (medzi premennými je vzťah) alebo môžu byť iba
náhodné (medzi premennými nie je vzťah).
 Overuje sa to tak, že sa celková variabilita (suma štvorcov odchýlok
hodnôt premennej od jej priemeru) rozdelí na vnútroskupinovú
(náhodná chyba) a medziskupinovú (daná rozdielom priemerov
skupín). F-štatistika sa vypočíta ako pomer medziskupinovej
a vnútroskupinovej variability a použije sa na testovanie nulovej
štatistickej hypotézy o rovnosti priemerov.
 Ak je P-hodnota nižšia ako zvolená hladina významnosti
(tradične 5 % = 0,05), nulová hypotéza sa zamietne.
Znamená to, že rozdiel medzi aspoň jednou dvojicou
priemerov vypočítaných zo vzorky je príliš veľký na to,
aby mohol byť iba dôsledkom náhodného výberu, je teda
štatisticky významný – medzi premennými je vzťah.
 Ak je P-hodnota rovná alebo vyššia ako zvolená hladina
významnosti, nulovú hypotézu nemožno zamietnuť.
Znamená to, že rozdiel medzi každou dvojicou
priemerov vypočítaných zo vzorky môže byť iba
dôsledkom náhodného výberu, nie je teda štatisticky
významný – medzi premennými nie je vzťah.
 Jednofaktorová analýza rozptylu predstavuje rozšírenie
dvojvzorkového t-testu. V prípade porovnávania dvoch
skupín (faktor má iba dve úrovne) ANOVA vedie
k rovnakému výsledku ako t-test.
 ANOVA sa typicky zameriava na testovanie významnosti nie sily
asociácie. Pritom v prípade veľkých vzoriek sa môže stať, že
priemery skupín sa významne líšia, ale tieto rozdiely sú malé.
 Preto pri použití ANOVA treba uvádzať aj silu asociácie pre
významné efekty. Veľkosť efektu, ktorý má faktor na závislú
premennú sa meria pomocou Eta2 a Omega2.
 Eta2 (η2) sa vypočíta ako podiel medziskupinovej a celkovej sumy
štvorcov a vyjadruje podiel celkovej variability, ktorá sa prisudzuje
faktoru. Eta2 je obdobou koeficientu determinácie R2, ktorý sa
používa v regresnej analýze. Nevýhodou Eta2 je skreslenosť
odhadu efektu v populácii - efekt systematicky nadhodnocuje.
 Omega2 (ω2) predstavuje alternatívu mieru veľkosti efektu k Eta2
s rovnakou interpretáciou poskytujúcou neskreslené odhady efektu.
Eta2 predstavuje stupeň asociácie medzi efektom a závislou
premennou vo vzorke a Omega2 odhad stupňa asociácie
v základnom súbore.
Sila testu a veľkosti vzoriek
 Sila testu (pravdepodobnosť zachytenia existujúceho významného
rozdielu) závisí od:
1. Variability
2. Veľkosti vzorky
3. Pravdepodobnosti chyby I. druhu (α)
4. Veľkosti efektu
 Čím je vyššia variabilita hodnôt premennej, tým je nižšia sila testu.
Zvýšenie zvyšných troch faktorov zvyšuje silu testu. Veľkosť efektu
je veľkosť rozdielu parametrov (napr. rozdiel priemerov pri t-teste),
ktorý možno zachytiť napr. experimentom. Na zachytenie veľkého
efektu stačí menšia vzorka ako na zachytenie malého efektu. Voliť
sa má vždy taká veľkosť efektu, ktorá je pre daný výskum užitočná.
 Vzťahmi medzi variabilitou, veľkosťou vzorky, alfou, veľkosťou
efektu a silou testu sa zaoberá analýza sily (Power Analysis).
Analýzou sily sa treba zaoberať už pri plánovaní výskumu.
Nedostatočná veľkosť vzorky, môže spôsobiť nezachytenie
relevantného efektu. Príliš veľká vzorka stojí zbytočne veľa času
a peňazí s minimálnym úžitkom. Analýza sily je značne
komplikovaná, preto sa veľmi často vôbec nerobí. Na analýzu sily je
nutné použiť kvalitný software.
Nevýhody testovania hypotéz
 Výsledok testovania hypotéz je rozhodnutie o tom, či zamietnuť
alebo nezamietnuť nulovú hypotézu. Veľmi často je takýto výsledok
nepostačujúci - napr. v prípade testovania efektívnosti novej liečby.
Výskumník sa zaujíma o silu efektu nie o to, či sa efekt rovná presne
0. Porovnávanie P-hodnôt (aj v rámci jednej štúdie) bez
doplňujúcich informácií a následným vyvodením záverov nemusí byť
správne. Ak napríklad vo viacfaktorovej ANOVA faktor A má
P=0,0001 a faktor B P=0,049, nemôžeme jednoducho povedať, že
faktor A má silnejší efekt ako faktor B. Samotná P-hodnota 0,001
môže v skutočnosti znamenať 3 situácie:
 1) triviálny (z praktického hľadiska nevýznamný) efekt v základnom
súbore zistený z veľkej vzorky
 2) silný efekt v základnom súbore zistený zo stredne veľkej vzorky
 3) obrovský efekt v základnom súbore zistený z malej vzorky.
Výhody intervalových odhadov
 Intervalové odhady odpovedajú na otázku v akých hraniciach možno
očakávať skutočný efekt v základnom súbore. Poskytujú teda viac
informácií ako testy hypotéz. V prípade, že chceme zistiť, či je liek proti
vysokému krvnému tlaku účinný, môžeme použiť párový t-test.
 Vzorke pacientov zmeriame tlak pred a po podávaní lieku. Ak sa priemerný
rozdiel tlakov významne odlišuje od 0, potom má liek účinok. Silu účinku
však možno určiť len intervalovým odhadom priemerného rozdielu.
Intervalový odhad nám s danou spoľahlivosťou (pravdepodobnosťou v %)
povie, aký pokles tlaku môžeme očakávať v základnom súbore tvorenom
pacientmi s vysokým krvným tlakom. Veľkou výhodou intervalových
odhadov je ich vypovedacia schopnosť. Z intervalu, ktorý je príliš široký
(vykazuje veľkú chybu) jasne vidno, že veľkosť vzorky je nedostatočná.
Naopak, z intervalu ktorý je úzky, pričom vyjadruje triviálny efekt vidno, že
štatistická významnosť je dosiahnutá veľkou vzorkou (teda príliš veľkou
silou testu).
 Jediný intervalový odhad poskytuje dostatok informácií na priame
uskutočnenie teoreticky nekonečného množstva testov hypotéz. Ak je 95%ný
interval spoľahlivosti rozdielu dvoch priemerov od 10 do 15, znamená to
zamietnutie nulovej hypotézy (na 5%-nej hladine významnosti), že rozdiel
priemerov dvoch základných súborov sa rovná 0 (pretože 0 sa nachádza
mimo intervalu od 10 do 15.) Pre ten istý interval však s 95%-nou
spoľahlivosťou nemožno zamietnuť hypotézu, že rozdiel priemerov
základných súborov sa rovná 12 (lebo 12 patrí do intervalu od 10 do 15).
Dvojrozmerná induktívna
štatistika - poradové premenné
 Neparametrické korelačné koeficienty
 Korelačný koeficient meria silu štatistickej závislosti medzi dvoma
číselnými premennými. Hodnoty všetkých korelačných koeficientov
sa nachádzajú v intervale od −1 do 1. Hodnoty blízko 0 znamenajú
žiadny vzťah a absolútne hodnoty blízko 1 silný vzťah. Kladné
hodnoty znamenajú, že premenné majú tendenciu meniť sa
rovnakým smerom, záporné hodnoty rôznym smerom.
 Interpretácia korelačného koeficientu závisí od kontextu. Napr.
hodnota 0,8 pri overení fyzikálneho zákona použitím presných
meracích prístrojov je veľmi nízka, v sociálnych vedách je však
veľmi vysoká. Cohen (1988) vytvoril jednoduchú pomôcku pre
interpretáciu korelačných koeficientov v psychologickom výskume:
Korelácia pod 0,1 je triviálna, 0,1–0,3 malá, 0,3–0,5 stredná a nad
0,5 veľká. Počítať a interpretovať korelačné koeficienty treba vždy
až po prezretí X-Y grafu.
Dvojrozmerná induktívna
štatistika - poradové premenné
 Kendallov poradový korelačný koeficient (1948) meria silu
závislosti medzi dvoma poradovými premennými a poskytuje
neparametrický test nezávislosti (test významnosti koeficientu).
 Kendalovo tau vyjadruje rozdiel medzi pravdepodobnosťou, že
hodnoty dvoch premenných sú v rovnakom poradí oproti
pravdepodobnosti, že hodnoty nie sú v rovnakom poradí. V prípade
väčšieho výskytu nerozhodných párov sa použije tau-b. V prípade
absencie nerozhodných párov sa tau-b rovné tau. Ak jedna
premenná nadobúda odlišný počet unikátnych hodnôt ako druhá
(kontingenčná tabuľka m×n), treba uprednostniť tau-c, ktoré sa tiež
nazýva Stuartovo tau-c alebo Kendall-Stuartovo tau-c:
 Kendallovo tau vyjadruje rozdiel medzi pravdepodobnosťou, že hodnoty
dvoch premenných sú v rovnakom poradí oproti pravdepodobnosti, že
hodnoty nie sú v rovnakom poradí. V prípade väčšieho výskytu
nerozhodných párov sa použije tau-b. V prípade absencie nerozhodných
párov sa tau-b rovné tau. Ak jedna premenná nadobúda odlišný počet
unikátnych hodnôt ako druhá (kontingenčná tabuľka m×n), treba
uprednostniť tau-c, ktoré sa tiež nazýva Stuartovo tau-c alebo KendallStuartovo
tau-c:
Analýza hlavných komponentov
 Analýza hlavných komponentov (Principal Components Analysis vytvorená
v roku 1901 Pearsonom) je analytický nástroj, ktorý sa
zvyčajne používa na redukciu rozmernosti (počtu premenných) veľkého
počtu vzájomne súvisiacich premenných na hlavné komponenty, pri čo
najmenšej strate informácií (variability).
 PCA vypočíta súbor vzájomne nezávislých premenných (hlavných
komponentov), ktoré sú lineárnou kombináciou (váženým priemerom)
originálnych premenných.
 Prvý hlavný komponent vysvetľuje najväčšiu časť variability premenných,
druhý komponent vysvetľuje druhú najväčšiu časť variability, atď. až kým
je vysvetlená všetka variabilita. Komponenty sú vzájomne nezávislé
a niekoľko z nich často vysvetľuje okolo 80 % variability. Tieto sa potom
skúmajú, graficky znázornia, prípadne použijú ako vstupy do lineárnej
regresie, diskriminačnej analýzy alebo zhlukovej analýzy. PCA na rozdiel
od príbuznej faktorovej analýzy (FA) prinesie vždy rovnaké výsledky.
Analýza hlavných komponentov
 FA aj PCA sa snažia zredukovať rozmernosť skupiny
údajov. Hlavný rozdiel medzi FA a PCA je ten, že PCA
vysvetľuje všetku variabilitu medzi originálnymi
premennými (vyjadrenú v korelačnej matici) a FA iba
variabilitu, ktorú majú premenné spoločnú.
 Cieľom PCA (Rao 1964) je odvodenie malého množstva
lineárnych kombinácií (hlavných komponentov)
z množiny premenných pri zachovaní čo najviac
informácií obsiahnutých v pôvodných premenných.
Cieľom FA (Mulaik 1972) je vysvetliť korelácie alebo
kovariancie medzi premennými pomocou malého
množstva nepozorovateľných, latentných premenných.
Latentné premenné nemožno všeobecne vypočítať ako
lineárnu kombináciu originálnych premenných. FA
predpokladá lineárne vzťahy medzi premennými nebyť
nekorelovanej náhodnej chyby (unikátnej variability)
v každej premennej, pričom lineárne vzťahy aj množstvo
unikátnej variability možno odhadnúť.
Faktorová analýza
(FA)
Viacrozmerné metódy
•U3 •U10•U7•U4 •U8 •U9•U6•U5 •U11•U1 •U2
•1
•2
•3
•4
•5
•n
•UR
•Metódy analýzy skrytých vzťahov
•premenné
Viacrozmerné metódy
 Metódy analýzy skrytých vzťahov
• premenné nemožno logicky rozdeliť do dvoch skupín
na závislé a nezávislé
• cieľom je pochopiť alebo identifikovať prečo a ako sú
premenné navzájom korelované t.j. ako sa navzájom
ovplyvňujú
• ak sú premenné navzájom prepojené – korelované,
možno rovnaký objem informácií vystihnúť
menším počtom premenných – zníženie dimenzie
Viacrozmerné metódy
Kvantitatívne Kvalitatívne
Dve
Typ údajov
Jednoduchá korelácia
Faktorová analýza
Analýza dvojrozmerných
kontingenčných tabuliek
Počet
premenných
Loglineárne modely
Viac ako dve
Analýza hlavných
komponentov
Analýza viacrozmerných
kontingenčných tabuliek
Loglineárne modely
Korešpondenčná analýza
•Metódy analýzy skrytých vzťahov
Faktorová analýza
 Charakteristika
• predmetom analýzy je skupina kvantitatívnych
premenných
• merateľné veličiny môžeme vyjadriť ako lineárne
funkcie menšieho počtu skrytých – spoločných
faktorov a jedného špecifického faktora
Faktorová analýza
 Charakteristika
• k dispozícii máme výsledky testov študentov
z rôznych predmetov
• matematika (M)
• fyzika (F)
• chémia (CH)
• anglický jazyk (AJ)
• dejepis (D)
• francúzština (FR)
• môžeme predpokladať, že výsledky testu sú funkciou:
• všeobecnej inteligencie študenta (I)
• jeho záujmu o daný predmet (Z)
 Charakteristika
• na základe uvedených predpokladov platí napr.:
• M = 0,8 I + Z(m)
• F = 0,7 I + Z(f)
• CH = 0,9 I + Z(ch)
• AJ = 0,6 I + Z(aj)
• D = 0,5 I + Z(d)
• FR = 0,65 I + Z(fr)
Faktorová analýza
•I
•M •F •CH •AJ •D •FR
•Z(m) •Z(f) •Z(ch) •Z(aj) •Z(d) •Z(fr)
•0,8
•0,7
•0,9 •0,6 •0,5
•0,6
5
 Charakteristika
Faktorová analýza
•I
•M •F •CH •AJ •D •FR
•Z(m) •Z(f) •Z(ch) •Z(aj) •Z(d) •Z(fr)
•0,8
•0,7
•0,9 •0,6
•0,5
•0,6
5
•indikátor
•faktorové saturácie
•(pattern loading)
•skrytý faktor
•špecifický faktor
 Princípy
• indikátory sú navzájom korelované, pretože zdieľajú
minimálne jeden spoločný znak
• ktorý je zodpovedný za koreláciu medzi indikátormi
• nemôže byť priamo zmeraný
• pôsobí minimálne na dva indikátory súčasne
– sa nazýva spoločný alebo skrytý faktor
• variabilita indikátorov nevysvetlená skrytým faktorom
je spôsobená špecifickými vplyvmi
– tzv. špecifickými faktormi resp. náhodnou chybou
Faktorová analýza
 Princípy
• každý indikátor možno vyjadriť ako
Faktorová analýza
•X1 = a11 f1 + a12 f2 + a13 f3 + …. + a1q fq +
e1
•X2 = a21 f1 + a22 f2 + a23 f3 + …. + a2q fq +
e2
•X3 = a31 f1 + a32 f2 + a33 f3 + …. + a3q fq +
e3
•Xk = ak1 f1 + ak2 f2 + ak3 f3 + …. + akq fq + ek
•….
•saturácia, váha
 Princípy
• cieľom je teda odhadnúť model, ktorý je podobný
všeobecnému lineárnemu modelu
• avšak pri lineárnom modely poznáme X aj Y, čo nám
umožňuje nájsť jedinečné riešenie pre  a E
• pri FA máme len X, z ktorých vychádzame pri hľadaní
riešenia pre F,  a E
• pre FA tak možno určiť nekonečné množstvo riešení
• každé z nájdených riešení bude odhadovať údaje
rovnako kvalitne
Faktorová analýza
•Y = X + E
•X = F + E
 Princípy
• odhad vychádza z rozkladu variability
• celkovú variabilitu každého indikátora možno rozložiť na
dve zložky
• komunalita – časť rozptylu indikátora, ktorú je možné
vysvetliť pôsobením skrytých faktorov
• unicita – časť rozptylu indikátora, ktorú možno vysvetliť
len pôsobením špecifických faktorov alebo náhody
Faktorová analýza
•D(Xj) = sj
2 = (aj1
2 + aj2
2 + …. + ajq
2 )
+ uj
2
•D(Xj) = sj
2 = hj
2 + uj
2
•D(Xj) = sj
2 = komunalita + unicita
 Princípy
• ak poznáme odhady rozptylov,
môžeme odhadnúť saturácie
• východiskom je korelačná matica indikátorov
• Rh – redukovaná korelačná matica
– diagonála obsahuje odhady komunalít
– mimo diagonály sú koeficienty korelácie
• E – reziduálna korelačná matica
– na diagonále sú rozptyly špecifických faktorov
Faktorová analýza
•R = Rh + E
 Princípy
• predpoklady
• R je korelačná matica indikátorov s viacerými štatisticky
významnými koeficientmi korelácie
• spoločné faktory sú navzájom nekorelované
• špecifické faktory sú navzájom nekorelované
• spoločné a špecifické faktory sú navzájom
nekorelované
Faktorová analýza
 Postup
• inicializačný odhad komunalít
• extrakcia spoločných faktorov
• určenie počtu spoločných faktorov
• rotácia faktorov
• odhad faktorových saturácií, komunalít, unicít
• interpretácia spoločných faktorov
• odhad faktorových skóre
Faktorová analýza
 Postup
• inicializačný odhad komunalít
• najvyšší korelačný koeficient danej premennej s
ostatnými premennými
• štvorec viacnásobného koeficienta determinácie
• priemerný korelačný koeficient
• najvyššia korelácia – pomer štvorca j-teho stĺpcového
súčtu k celkovej sume štvorcov všetkých koeficientov
• iteratívny odhad faktorov
Faktorová analýza
 Postup
• extrakcia spoločných faktorov
• metóda HK (principal components factoring)
– inicializačné komunality = 1
– korelačná matica s komunalitami je vstupom pre
klasickú PCA
• metóda hlavných osí (principal axis factoring)
– iteratívny odhad inicializačných komunalít
– PCA, kým zmena komunality nie je menšia ako
stanovené kritérium
• metóda maximálnej vierohodnosti
• image factor analysis
• alpha factor analysis
Faktorová analýza
 Postup
• určenie počtu spoločných faktorov
• analýza scree grafu – podiel komunality
• vlastné číslo > 1
• Bartletov test:
– Ho : posledných k-q faktorov nie je štat.
významných
– H1 : neplatí Ho
Faktorová analýza
 Postup
• rotácia faktorov
• cieľom je získať lepšie interpretovateľný odhad faktorov
• typy
– ortogonálna (nekorelované)
» VARIMAX
» EQUAMAX
» QUARTIMAX
» PARSIMAX
– šikmá (korelované)
» PROCRUSTES
» PROMAX
Faktorová analýza
 Postup
• odhad faktorových saturácií, komunalít, unicít
• interpretácia spoločných faktorov
• vychádza vo všeobecnosti z dvoch matíc
– matica faktorových saturácií (factor pattern matrix)
» koeficienty pre výpočet indikátorov zo skrytých
faktorov
– matica faktorovej štruktúry (factor structure matrix)
» koeficienty korelácie medzi faktormi a
indikátormi
• pre ortogonálne rotácie sú obe matice zhodné
tzv. factor loading matica
Faktorová analýza
• Doštudovať:
1. Ďalšie hydrologické veličiny
2. Teplotný a ľadový režim tokov
3. Klasifikácia tokov podľa režimu odtoku (Ľvovič, Pardé) a Dub
feat. Zaťko, Šimo
•Skriptá, s. 98 – 109.