logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz
UKB, A29, RECETOX, dv.č.112

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LITERATURA
þHolčík,J.: přednáškové prezentace
þ
þProakis,J.G., Rader,C.M., Ling,F., Nikias,C.L.: Advanced Digital Signal Processing. Macmillan
Publ. Comp, New York 1992, 608s. þKay, S.M., Marple, S.L.: Spectrum Analysis - A Modern
Perspective. Proc. IEEE, roč.69, č.11, Nov. 1981, s.1380-1418. þBloomfield,P.: Fourier Analysis of
Time Series. An Introduction. J.Wiley&Sons, N.York 2000.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
skenování0004.jpg

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
I. CO UŽ UMÍME?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þDEFINICE
þ
þSignál je jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné materiální povahy, nesoucí
informaci o stavu systému, který jej generuje, a jeho dynamice.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þprimární oblast popisu (prostor definovaný nezávislými původními proměnnými)– čas, prostorové
souřadnice, pořadí þsekundární oblast popisu – transformace (zobrazení) z primární oblasti –
vytváříme obraz (latinsky spectrum) signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ SPEKTRUM
þ Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých
harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci.
þ
þ! ZAPAMATOVAT NA VĚKY !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þna vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:
èvlastnosti signálu v primární oblasti;
ètransformační vztah

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þna vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:
èvlastnosti signálu v primární oblasti;
ètransformační vztah
þ (je paráda, když je lineární!)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL
þna vlastnosti popisu signálu v sekundární oblasti má vliv:
èvlastnosti signálu v primární oblasti;
ètransformační vztah
þ (je paráda, když je lineární!)
þCo to je, když je lineární?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
INTEGRÁLNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE
þJe-li jádro transformace a(f,t)=e-j2pft, resp. akn=e-j2pkFnT, pak realizujeme rozklad signálu na
jeho harmonické složky
þß
þFourierovské spektrum
spojitý signál diskrétní signál
(časová řada)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM
þjeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT !
þ
þspojitý periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum – pro rozklad jsme použili Fourierovu
řadu; þspojitý jednorázový signál má spojité frekvenční spektrum– pro rozklad jsme použili
Fourierovu transformaci.
þ
þ! A VĚDĚT PROČ !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þ
þ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT !
þ
þdiskrétní periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum – diskrétní Fourierova transformace;
þdiskrétní jednorázový signál z nekonečného časového intervalu má spojité frekvenční spektrum –
Fourierova transformace s diskrétním časem transformace;
þdiskrétní jednorázový signál z konečného časového intervalu má diskrétní frekvenční spektrum –
diskrétní Fourierova transformace;
þ! A VĚDĚT PROČ !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þJAKÉ MÁME NÁSTROJE K JEHO VÝPOČTU?
þ
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þJAKÉ MÁME NÁSTROJE K JEHO VÝPOČTU?
þ
þFourierova řada
þFourierova transformace
þdiskrétní Fourierova řada
þFourierova transformace s diskrétním časem
þdiskrétní Fourierova transformace
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkaždou periodickou funkci f(t+kT)=f(t), (která vyhovuje Dirichletovým podmínkám), můžeme rozložit
ve Fourierovu řadu
kde cn jsou komplexní Fourierovy koeficienty
Ω – úhlový kmitočet základní harmonické složky (základní harmonická);
FOURIEROVA ŘADA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVA TRANSFORMACE
Fourierova transformace
Funkci S(ω) nazveme spektrální funkcí signálu. Ta už nevyjadřuje skutečné zastoupení jednotlivých
harmonických složek signálu, nýbrž jen jejich poměrné zastoupení.
Pro časovou funkci můžeme psát vztah
zpětná Fourierova transformace

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ FOURIEROVA ŘADA
þnechť x(kTvz) je periodický signál s periodou NTvz; pak x(kTvz) lze rozložit pomocí komplexní
exponenciální Fourierovy řady
þ
þ
kde

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM
kde ω je pro N→¥ spojitá (nediskrétní) veličina.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM
þjeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu signálu:
þSignál - 1) periodický
þ 2) neperiodický
qs konečnou energií;
qs nekonečnou energií

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ENERGIE
þokamžitá práce vykonaná na odporu R:
þ A(t) = u(t).i(t)
þpodle Ohmova zákona:
þ U = R.I,
þ a tedy můžeme po dosazení psát
þA(t) = R.i(t) . i(t) = R.i2(t) = u(t). u(t)/R = u2(t)/R.
þ Když je R = 1 Ω je
þA(t) = i2(t) = u2(t)
þ a celková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná)  za čas T na jednotkovém odporu je
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ENERGIE
þz té úvahy energie spojitého signálu s(t)
þ
þ
þenergie diskrétního signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VÝKON
þvýkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ FUNKCE
þvzájemná či křížová korelační funkce (cross-correlation function) dvou periodických signálů
(funkcí) o téže periodě T je definována
þ
þ
þpopisuje podobnost průběhů obou signálů v závislosti na jejich posunutí
þje periodická s periodou T

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOKORELAČNÍ FUNKCE
þvýpočet korelační funkce má smysl i v případě, že jsou oba signály totožné – autokorelační funkce
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
AUTOKORELAČNÍ FUNKCE
þvypočtená autokorelační funkce je:
èsudá;
èje-li funkce periodická s periodou T, je periodická s toutéž periodou i její autokorelační funkce;
èR(0) je rovno kvadrátu efektivní hodnoty signálu;
è"tÎR: R(0) ³ R(t).
þtyto čtyři vlastnosti mají autokorelační funkce všech periodických signálů.
è

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ
þkorelační funkce R(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi hodnotami náhodného procesu v okamžiku t1 a
hodnotami náhodného procesu v okamžiku t2. Může být spočítána pomocí vztahu
þ
þ
þkovarianční funkce (covariance function) K(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi odchylkami náhodného
procesu v okamžiku t1 od m(t1) a odchylkami náhodného procesu v okamžiku t2 od m(t2). Může být
spočítána pomocí vztahu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þtyto poměrně obecné vztahy se mohou zjednodušit, pokud se zjednoduší vlastnosti náhodných procesů
þß
þ
þstacionarita
þ
þergodicita
KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU
þzhruba:
þstacionární náhodný proces (stationary random process) je proces se stálým chováním
001.jpg 002.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þpřesněji:
þstacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou
závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách
časových intervalů mezi okamžiky t1 a t2) þ v tom případě, tj. s t = t2 – t1, můžeme funkce
p(x1,x2,t1,t2), R(t1,t2) a K(t1,t2) nahradit funkcemi p(x1,x2,t), R(t) a K(t)
þstacionarita
þv užším slova smyslu
þv širším slova smyslu (stálé momenty 1. a 2. řádu)
þ
STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þErgodický náhodný proces (ergodic random process) se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají
stejné statistické vlastnosti (stejné chování) – to umožňuje odhadovat parametry náhodného procesu
z jediné libovolné realizace
þaritmetický průměr
þ
þ nebo
þ
þ
þ Odhad bude tím věrohodnější, čím bude úsek T delší.
ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þdisperze
þ
þ
þautokorelační funkce
þ
þ
þkřížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a
y(t)
ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkřížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a
y(t)
þ
þ
þpro diskrétní případ
ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DFT
Ω1 = 2Ω
= 4p/NTVZ
DFTr.bmp

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DFT
Ω1 = 2,5Ω = 5p/NTVZ