logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
II.
PRINCIPY TOHO, JAK NA TO

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁVĚRY Z MINULA
þčasová řada = deterministická složka +
þ+ nedeterministická (náhodná) složka
þ(koncept Hermana Wolda (1938) - A Study in the Analysis of Stationary Time Series)
þß
þnení konečná energie
þß
þneexistuje Fourierův integrál
þß
þvýkonový koncept
þspektrální hustota výkonu –
þpower spectral density (PSD)
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HERMAN OLE ANDREAS WOLD
þ* 25.12.1908 – Skien, Norsko
þV16.2. 1992 – Gothenburg, Švédsko
þoblasti zájmů: matematická ekonomie, ekonometrie, statistika, analýza časových řad
http://www.umetrics.com/Content/Images/Methods/HermanWold.jpg
školitel: Harald Cramér
na čem se podepsal: Cramérův-Woldův teorém, Woldova dekompozice časových řad, metoda parciálních
nejmenších čtverců; teorie užitku, teorie spotřebitelské poptávky

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPOJITÝ SIGNÁL
þFourierova transformace
þ
þ
þ
• Parsevalova věta
spektrální hustota energie Sxx(f)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA ENERGIE (VÝKONU)
SPOJITÝ PŘÍPAD
autokorelační funkce signálu xa(t)
obě funkce tvoří Fourierovský pár
u stacionární funkce ztrácíme informaci o fázi
A PROČPAK ???

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ SIGNÁL
x(nTvz), definovaný na nekonečném intervalu
nÎá-¥;¥ñ; je frekvenčně omezený na pásmo o šířce ±B Þ vzorkovací frekvence F = 1/Tvz > 2B
x(nTvz) = xa(nTvz) = ? x(n)
energie diskrétního signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Vztah spektra analogového a diskrétního signálu:
DISKRÉTNÍ SIGNÁL
Spektrální vyjádření diskrétního signálu
spektrální periodicita

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE
þ
þpředpokládejme, že je

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE SIGNÁLU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
RAYLEIGHOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JOHN WILLIAM STRUTT, 3. BARON RAYLEIGH
þAn Unerring Leader in the Natural Knowledge
þ
þ* 12. 11.1842, Maldon, Essex, U.K.
þV 30.6.1919, Witham, Essex, U.K.
þ
þoblasti zájmu: fyzikální chemie, akustika, optický a elektromagnetický rozptyl světla,povrchové
vlny; psychologie - telekineze
na čem se podepsal: spolu s Williamem Ramsayem objevitel argonu (Nobelova cena 1904) a dalších
vzácných plynů;
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Diving_grebe.jpg/220px-Diving_grebe.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz


levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
WIENER-KHINCHINOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ ХИНЧИН
þ* 7.(19.)7.1894, село Кондрово, Медынский уезд, Калужская губерния, Россия
þV 18.7.1959, Москва, ССС�
þzájmy: teorie pravděpodobnosti, statistika, teorie funkcí reálné proměnné, teorie čísel, limitní
věty, řetězové zlomky, …
þ
http://apprendre-math.info/history/photos/Khinchin_4.jpeg
na čem se podepsal:
Pollaczekova-Chinčinova formule (teorie fronty),Wienerův-Chinčinův teorém, Chinčinova nerovnost
(statistika, komplexní čísla), Chinčinova-Lévyho konstanta (konvergence řetězových zlomků),
Chinčinova věta o diofantických aproximacích (aproximace reálných čísel pomocí racionálních čísel)
Order of Lenin type1.jpg
ocenění: 1939 – člen korespondent AV SSSR;
1941 – Stalinova cena, ? - Leninova cena

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
WIENER-KHINCHINOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
WIENEROVA-KHINCHINOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þz toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodického signálu s konečnou energií lze spočítat
dvěma způsoby:
èpřímá metoda:
è Sxx(f) = |X(f)|2 = |Tvz.Σx(nTvz).exp(-2πjfnTvz)|2
è
ènepřímá metoda:
è 1) Rxx(mTvz) = Tvz. Σx(nTvz). x(nTvz+mTvz);
è 2) Sxx(f) = ΣRxx(mTvz).exp(-2πjfmTvz)
DISKRÉTNÍ SIGNÁL

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þz toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodického signálu s konečnou energií lze spočítat
dvěma způsoby:
èpřímá metoda:
è Sxx(f) = |X(f)|2 = |Tvz.Σx(nTvz).exp(-2πjfnTvz)|2
è
ènepřímá metoda:
è 1) Rxx(mTvz) = Tvz. Σx(nTvz). x(nTvz+mTvz);
è 2) Sxx(f) = ΣRxx(mTvz).exp(-2πjfmTvz)
SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPRAXE
þSignál konečné délky = tj. násobení signálu obdélníkovým oknem, takže počítáme spektrum signálu
þ
þ ve frekvenční oblasti
SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þKonvoluce funkce W(f) s X(f) vyhlazuje spektrum X(f) za předpokladu, že W(f) je relativně úzké ve
srovnání s X(f) Þ okno w(nTvz) musí být dostatečně dlouhé
þ
þProblémy:
þpostranní laloky
þrozlišení dvou frekvenčních
þ pásem
SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ
skenování0007.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ OKNA
kde I0(•) je modifikovaná Besselova funkce 0. řádu 1. druhu; ωa je šířka hlavního laloku

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ OKNA
skenování0011.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ OKNA
skenování0012.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VYHLAZOVÁNÍ OKNEM
skenování0001.jpg skenování0002.jpg
spektrální konvoluce obdélníkového okna (spektrum)
X(f) = 1 pro |f| £ 0,1;
X(f) = 0 pro |f| > 0,1;
Blackmanova okna
N = 61
obrazu obdélníka (N=61) a …

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - PŘÍKLADY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - PŘÍKLADY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - PŘÍKLADY
skenování0010.jpg