INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Lineární algebra a geometrie Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. Obsah 1 Lineární algebra: Matice - rozšíření 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Transponovaná matice.............................. 2 1.1.2 Inverzní matice.................................. 2 1.2 Řešené příklady...................................... 3 1.3 Příklady k procvičení................................... 8 2 Geometrie: Vlastní čísla a vlastní vektory 8 2.1 Teorie........................................... 8 2.2 Řešené příklady...................................... 9 2.3 Příklady k procvičení................................... 14 1 Lineární algebra: Matice - rozšíření Tato kapitola navazuje na Úvod do matematiky - Lineární algebra - kapitola Matice. Než budete pokračovat, doporučujeme její zopakování. 1.1 Teorie 1.1.1 Transponovaná matice Připomeňme si, že symbolem A = (ftý-) jsme označovali maticí typu m/n tj. A = (aij) = ^«11 «12 ' ' ' a-lr, «21 «22 ' ' ' <í2r, y«ml «m2 ' ' ' «rrm J Pro práci s maticemi je někdy výhodné zaměnit řádky matice za její sloupce.1 Nechť A = (aij) je matice typu m/n. Potom matice AT a typu n/m, která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce, tj.: ^«11 «21 «ml^ «12 «22 ••• «m2 AT = (1) \«ln «2n «mn J se nazývá transponovaná matice k matici A a Transponovaná matice se také někdy označuje jako A či A'. 1.1.2 Inverzní matice Připomeňme si, že čtvercová matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a jinde má všechny prvky nulové, se nazývá jednotková matice a značí se E. Jednotková matice je "jedničkou "vzhledem k násobení čtvercových matic - pokud s ní vynásobíme jinou matici, výsledkem je příslušná matice: A ■ E = E ■ A = A. Nechť A je čtvercová matice řádu n, E je jednotková matice také řádu n. Matice A 1 s vlastností AA-1 = A-1 A = E, (2) se nazývá inverzní matice k matici A. 1 Např. při určování hodnosti matice můžeme pracovat jak s řádky, tak se sloupci matice. Hodnost matice se tím nezmění. 2 Inverzní matice k dané matici nemusí vždy existovat. Dá se dokázat, že k dané matici A existuje právě jedna matice inverzní, pokud pro determinant původní matice platí \A\ O2 . Jak ale inverzní matici najít? Výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav 1) Zapíšeme zadanou matici A, ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"). 2) Ekvivalentními úpravami (EU) převedeme "levou matici "A na schodovitý tvar. Přitom nezapomeneme pracovat i s prvky pravé matice. 3) Následně pomocí EU vytvoříme nuly i nad hlavní diagonálou levé matice. Opět nezapomeneme pracovat i s prvky pravé matice. 4) Na závěr pomocí EU vytvoříme z levé matice matici jednotkovou (pokud nedostaneme jednotkovou matici rovnou v kroku 3, tak jednotlivé řádky celkové vydělíme nenulovými čísly tak, aby levá matice měla v hlavní diagonále samé jedničky). 5) Po provedení kroků (l)-(4) se inverzní matice k zadané matici nachází na místě pravé matice. Celý postup můžeme souhrnně označit jako: (A\E) ~ • • • ~ (E\A x). Výpočet inverzní matice - pomocí algebraických doplňků Nechť A je čtvercová matice řádu n taková, že \A\ =£ 0. Pak A-' = \A\ A 21 Al2 A22 Am.1 Aln\ A2„ (3) kde Aíj je tzv. algebraický doplněk k prvku clíj v původní matici A, který se vypočte jako (—l)í+J\ Aij\, přičemž \Aíj| je determinant submatice získané z matice A vynecháním z-tého řádku a j-tého sloupce. 1.2 Řešené příklady Příklad 1. Určete inverzní matici k matici A ■ ( 6 -4 -17 \ -1 1 3 2 -1 -6 Řešení. Budeme postupovat přesně dle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav. Zapíšeme zadanou matici A, ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"): Matice A s vlastností \A\ # 0 se nazývá regulární matice. 3 v 6 -4 -17 1 0 0 1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 7 Pomocí EÚ převedeme "levou matici "A na schodovitý tvar. Z hlediska těchto úprav bude vhodné umístit 2. řádek na místo 1. řádku (v levém rohu matice mít číslo -1). 1. řádek pak vynásobíme šesti a přičteme k 2. řádku, dále vynásobíme 1. řádek číslem 2 a přičteme k 3. řádku. Přitom nezapomeneme pracovat i s prvky "pravé matice": í- V 1 1 3 0 1 0 6 -4 -17 1 0 0 2 -1 -6 0 0 1 \ í- 7 v 1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 Z hlediska dalších úprav bude výhodné prohodit 2. a 3. řádek: \ ( -1 ( V 1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 V 1 1 3 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0 2 1 1 6 0 7 Následně vynásobíme 2. řádek číslem —2 a přičteme k 3. řádku. Tím dostaneme matici ve schodovitém tvaru: (-1 1 3 0 1 0 \ ( -1 1 3 0 1 0 \ 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 1 V 0 2 1 1 6 0 ) \ 0 0 1 1 2 -2 7 Nyní je třeba vytvořit nuly i nad hlavní diagonálou "levé matice". 2. řádek matice je z hlediska této úpravy ve vhodném tvaru. V 1. řádku matice získáme nejdříve 0 na pozici a±3 = 3 a to tak, že vynásobíme 3. řádek číslem —3 a přičteme ho k 1. řádku: / -1 1 3 0 1 0 y o o i o i 0 2 1 2 i - \ 1 1 o 0 1 o 0 0 1 -3 -5 0 2 1 2 i -2 Dále potřebujeme získat v 1. řádku matice 0 na pozici ayi řádek číslem —la přičteme ho k 1. řádku: 1 a to tak, že vynásobíme 2. (-1 1 0 -3 -5 6 \ ( -1 0 0 -3 -7 5 \ 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 1 V 0 0 1 1 2 -2 ) \ 0 0 1 1 2 -2 7 4 Nyní z "levé matice "vytvoříme jednotkovou matici - stačí vynásobit první řádek číslem —1: / -1 0 0 0 1 o y o o i -3 -7 0 2 1 2 1 0 o 0 1 o 0 0 1 3 7 -5 \ 0 2 1 1 2 -2 y A jsme hotovi - inverzní matice k zadané matici se nachází na místě "pravé matice", tj. / 3 7 A~ = -5\ 0 2 1 1 2 -2 Příklad 2. Určete inverzní matici k matici A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 pomocí ekvivalentních úprav. Řešení. Opět budeme postupovat podle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav. Zapíšeme zadanou matici A, ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"): 0 4 1 0 0 \ 1 -i 1 0 1 0 v1 2 6 0 0 1 Pomocí EÚ převedeme "levou matici"^ na schodovitý tvar. 1. řádek matice vynásobíme číslem (—1) a přičteme k 2. a 3. řádku. Nezapomeneme přitom pracovat i s prvky "pravé matice": 0 4 1 0 0 \ 0 4 1 0 0 \ 1 -i 1 0 1 0 0 -1 -3 -1 1 0 v1 2 6 0 0 1 v° 2 2 -1 0 1 Následně vynásobíme 2. řádek číslem 2 a přičteme k 3. řádku. Tím dostaneme matici ve schodovitém tvaru: 0 4 1 0 0 \ 0 4 1 0 0 \ 0 -1 -3 -1 1 0 0 -1 -3 -1 1 0 v° 2 2 -1 0 1 v° 0 -4 -3 2 1 5 Nyní je třeba vytvořit nuly i nad hlavní diagonálou "levé matice". Abychom vytvořili 0 na místě a^z = —3, vynásobíme 3. řádek číslem —3 a přičteme ho k 4-násobku 2. řádku. Dále také přičteme 3. řádek k 1. řádku: 1 0 4 1 0 0 [l 0 0 -2 2 1 0 -1 -3 -1 1 0 0 -4 0 5 -2 -3 0 0 -4 -3 2 1 ) 1° 0 -4 -3 2 1 Nyní z "levé matice "vytvoříme jednotkovou matici - stačí vynásobit 2. a 3. řádek číslem 0 0 -2 2 1 [l 0 0 -2 2 1 \ 0 -4 0 5 -2 -3 0 1 0 5 4 1 2 3 4 v° 0 -4 -3 2 1 ) 1° 0 1 3 4 1 2 1 4 A jsme hotovi - inverzní matice k zadané matici se nachází na místě "pravé matice", tj. A- 5 13 4 2 4 3 _1 _1 . 4 2 4 / Příklad 3. Určete inverzní matici k matici A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 pomocí algebraických doplňků. Řešení. Opět budeme postupovat podle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí algebraických doplňků - podle (3) vypočteme inverzní matici jako: A- 1 f Au A12 ••• Aln\ A21 A22 ■ ■ ■ A^n \Am\ Am2 • • • Amn J Nejdříve vypočteme determinant matice A (dle Sarussova pravidla): \A\ «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 — «11«22«33 + «12«23«31 + «13«21«32 — «13«22«31 ~ «11«23«32 — «12«21«33 6 1-4.1 = 1 O 4 1 -1 1 1 2 6 =-6+0+8+4-2-0=4 Nyní postupně vypočteme jednotlivé algebraické doplňky: Au = (-1) í+i -1 1 2 6 + (-6-2) = -E A12 = (-1) 1 + 2 1 1 1 6 -(6-1) = -5 A13 = (-1) 1 + 3 1 -1 1 2 = +(2+ 1) = 3 A21 = (-1) 2 + 1 0 4 2 6 = -(0 A22 = (-1) 2+2 1 4 1 6 = +(6-4) = 2 -423 = (-1) 2+3 1 0 1 2 = -(2-0) = -2 A31 = (-1) 3+1 0 4 -1 1 = +(0 + 4) = 4 A32 = (-1) 3+2 1 4 1 1 = -(1-4) = 3 A33 = (-1) 3+3 1 0 1 -1 = +(-l-0) = -l Vypočtené algebraické doplňky dosadíme do vzorce (3) s tím, že matici ve vzorci rovnou transponujeme, tj. prvky Au, Ayi a A13 zapíšeme do 1. sloupce, prvky A21, A22 a A23 do 2. sloupce a prvky A^\,A^2 a ^33 do 3. sloupce: 7 A~ = - 2 -2 -1 4\ í 3 t J 1.3 Příklady k procvičení Příklad 1. K dané matici A určete matici inverzní a to jednak pomocí ekvivalentních úprav a jednak pomocí algebraických doplňků. a) A = ( -1 0 -l\ 2 1 1 3 0 1 b) A 3 2 0 5 4 1 1 2 5 Řešení, a) A b) A = 3 -4 1 1 2 0 1 2 \ 1 1 1 2 2 3 2 0 1 2 2 Geometrie: Vlastní čísla a vlastní vektory 2.1 Teorie Již dříve jsme se setkali s určitým charakteristickým číslem dané matice - determinantem. V této části se budeme zabývat hledáním jiných charakteristických čísel - A, které jsou řešením rovnice Au = Xu, kde A je zadaná matice řádu n. Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací, nejen v matematice, ale třeba v kvantové chemii. Nechť A = (a>ij) je matice řádu n, kde clíj e C. Číslo A e C se nazývá vlastní nebo charakteristické číslo matice A, jestliže splňuje pro některý nenulový vektor u rovnici Au = Xu. (1) Vektor u se nazývá vlastní nebo charakteristický vektor příslušný k A. Maticovou rovnici Au = Xu lze dále upravit: 8 Au - Xu = O (A - XE)u = 0. (2) (A — XE)u = O je homogenní soustava n lineárních rovnic o n neznámých3 . Protože podle předpokladu musí být vlastní vektor nenulový (dle jeho definice), musí mít soustava nenulové řešení. To je splněno za podmínky, že determinant matice soustavy \A — XE\ - = 0. Nechť A = (a>ij) je matice řádu n, kde clíj e C. Rovnice \A-XE\ = 0 (3) se nazývá charakteristická rovnice matice A, determinant \A -polynom matice A. -XE\ se nazývá charakteristický Řešením charakteristické rovnice jsou vlastní čísla matice A. Jelikož charakteristický polynom je n-tého řádu, řešením charakteristické rovnice dostaneme n, ne nutně různých, vlastních čísel matice A. 2.2 Řešené příklady Příklad 1. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice Řešení. Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice A (podle (3)): 4 (3-A)(-A)-(-l)2 = 0 -3A + A2 + 2 = 0 • A2 - 3A + 2 = 0 Snadno zjistíme, že kořeny charakteristického polynomu jsou Ai = 1, A2 = 2, což jsou hledaná vlastní čísla matice A. Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením Ai^ do rovnice (2): (A - XE)u = 0. Pro Ai = 1 dostáváme: 3 Místo 0 na pravé straně rovnice by se přesněji měl psát nulový vektor o. 4 Charakteristickou rovnici tedy snadno získáme rovnou tak, že v determinantu matice A odečteme A na hlavní diagonále. 9 (A - \E)u = Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 2u\ — ií2 = 0 2u\ — U2 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: 2u\ — U2 = 0. Položíme ui = í a dostaneme = 2t. Řešení soustavy je tedy tvaru (t,2ť),t e C. Každý násobek vektoru (1,2) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu Ai = 1. Pro A2 = 2 analogicky dostáváme: (A - 2E)u = Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: U\ — U2 = 0 2«i - 2u2 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: Ml — 1Í2 = 0. Položíme U2 = t a dostaneme u\ = t. Řešení soustavy je tedy tvaru (t,ť),t e C. Každý násobek vektoru (1,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu A2 = 2. 10 Příklad 2. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice Řešení. Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice A (podle (3)): ^2-3 l\ 1 -2 1 v1 -3 2 J 2 - A -3 1 1 -2-A 1 1 -3 2-A (2 - A)(-2 - A)(2 - A) - 6 - (-2 - A) + 6(2 - A) -A3 + 2A2 - A -A(A2 - 2A - 1) -A(A-l)2 Kořeny charakteristického polynomu jsou Ai = 0,A2,3 = 1, což jsou hledaná vlastní čísla matice A. Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením Ai^ do rovnice (2): (A - \E)u = 0. Pro Ai = 0 dostáváme: (A - 0E)u = 0 f2 -3 1 1 -2 1 v1 -3 2 \ ) ( 0 \ u2 = 0 / \ u3 ) 1° Máme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých: 2u\ — 3tt2 + «3 = 0 mi — 2u2 + u3 = 0 ■ Ml — 3?i2 + 2lÍ3 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: 2ui — 3it2 + 1*3 = 0 - u2 + u3 = 0 Položíme «3 = í a dostaneme u\ = u2 = t. Řešení soustavy je tedy tvaru (t,t,ť),t e C. Každý násobek vektoru (1,1,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu Ai = 0. 11 Pro A2,3 = 1 analogicky dostáváme: í 2 V (A - \E)u -3 2-1 1 -3 2-1 íl -3 l\/ 1 -3 1 1 -3 1 u2 V U3 / u2 V ^ J 0 o v0 y o v0 y Máme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých: ui — 3u2 + u3 = 0 ul — 3«2 + 1*3 = 0 ■ tti — 3«2 + u3 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: ui — 3«2 + «3 = 0. Položíme u2 = t, ií3 = s a dostaneme u\ = 3í — s. Řešení soustavy je tedy tvaru (3í s, t,s),t,s e C. Protože řešení soustavy obsahuje dva parametry, dostaneme vlastní vektory dosazením: t = í,s = 0 : (3,1,0); í = 0, s = 1 : (-1,0, l)5. Každá lineární kombinace vektorů (3,1, 0) a (—1, 0,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu A2,3 = 1. Příklad 3. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice 6 -4 Řešení. Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice A (podle (3)): 0 6-A -4 3 -1 - A (6-A)(-l-A) + 12 = 0 A2 - 5A + 6 = 0 Obecně, při větším počtu parametrů, volíme vždy jeden z parametrů roven jedné a ostatní rovny nule. 12 Kořeny charakteristického polynomu jsou Ai = 2, A2 = 3, což jsou hledaná vlastní čísla matice A. Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením Ai^ do rovnice (2): (A - \E)u = 0. Pro Ai = 2 dostáváme: Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 4«i - 4w2 = 0 3«i — 3«2 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: U\ — U2 = 0. Položíme U2 = t a dostaneme ui = t. Řešení soustavy je tedy tvaru (t,t),t e C. Každý násobek vektoru (1,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu Ai = 2. Pro A2 = 3 analogicky dostáváme: 0 0 0 0 v 0 Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 3«i — 4«2 = 0 3«i — 4w2 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: 3«i — 4w2 = 0. 13 Položíme «2 = í a dostaneme u\ = |í. Řešení soustavy je tedy tvaru (|t, t), t e C. Každý násobek vektoru (|, l)6 je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu A2 = 3. 2.3 Příklady k procvičení Příklad 1. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice A: 1 ^ b) 1 1 j f 0 1 0 \ c) 0 0 1 { 0 0 0 f 1 1 1 \ d) 0 2 1 0 0 1 Řešení, a) Ai = — 1, u = (í, — 2í), t e C; A2 = 5, u = (í, t), t e C b) Ai = A2 = 2,u = (t, t),t e C c) Ai = A2 = A3 = 0, u = (t, 0,0), í e C d) Ai = A2 = 1,u = (t, s, -s), t, s e C; A3 = 2, u = (t, t, 0), t e C Literatura [1] Horák - Lineárni algebra [2] Horák - Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I [3] http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/13_MI_KAP [4] http://www.vscht.cz/mat/MCHI/l_prednaska.pdf [5] Janyška - Analytická geometrie resp. vektoru (4,3) 14