Gaussův zákon elektrostatiky Více o elektrickém poliúvod pole některých symetrických nabitých těles jsou vyjádřena jednoduchými vztahy nelze tyto vztahy odvodit podobně jednoduchým způsobem? 𝐸 = 𝜏 2𝜋𝜀0 𝑦 přímé vlákno nekonečné délky 𝐸 = 𝜎 𝜀0 vodivý povrch 𝐸 = 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑟2 pole kulové vrstvy pro r > R objemový tok tekutiny objem tekutiny za 1 s: Δ𝜙 = 𝑣Δ𝑆 objem tekutiny za 1 s: Δ𝜙 = 𝑣 cos 𝜃 Δ𝑆 Δ𝜙 = 𝑣 ∙ Δ 𝑆 Δ 𝑆 tok elektrické intenzity tok elektrické intenzity 𝐸 elementem plochy ΔΦ 𝐸 = 𝐸 ∙ Δ 𝑆 Φ 𝐸 = 𝐸 ∙ Δ 𝑆 tok elektrické intenzity 𝐸 plochou S Φ 𝐸 = 𝑆 𝐸 ∙ d 𝑆 tok intenzity několika polí tok celkové elektrické intenzity 𝐸 plochou S Φ 𝐸 = 𝑆 𝑖=1 𝑛 𝐸𝑖 ∙ d 𝑆 = 𝑖=1 𝑛 𝑆 𝐸𝑖 ∙ d 𝑆 = 𝑖=1 𝑛 Φ 𝐸𝑖 𝐸 = 𝑖=1 𝑛 𝐸𝑖 … princip superpozice velikost E intenzity v daném místě je úměrna (∝) hustotě siločar, tj. počtu siločar na jednotku plochy kolmé k siločarám v daném místě: celkový tok Φ 𝐸 je úměrný celkovému počtu N průchodů siločar plochou (s příslušnými znaménky) tok vyjádřený počtem siločar 𝐸 ∝ Δ𝑁 Δ𝑆 cos 𝜃 Tok intenzity plochou Δ𝑆: ΔΦ 𝐸 = 𝐸Δ𝑆 cos 𝜃 ∝ Δ𝑁 Δ𝑆 cos 𝜃 Δ𝑆 cos 𝜃 = Δ𝑁 𝜃 𝐸Δ𝑆 N Φ 𝐸 = ΔΦ 𝐸 ∝ Δ𝑁 = 𝑁 Gaussův zákon intuitivně Φ 𝐸 = 𝑆 𝐸 ∙ d 𝑆 = 𝐸𝑆 = 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑟2 4𝜋𝑟2 = 𝑄 𝜀0 Celkový tok Φ 𝐸 Gaussovou (uzavřenou) plochou je úměrný celkovému počtu N průchodů siločar touto plochou (započtených s příslušnými znaménky) Gaussův zákon intuitivně Celkový tok Φ 𝐸 Gaussovou (uzavřenou) plochou je úměrný celkovému počtu N průchodů siločar touto plochou (započtených s příslušnými znaménky) Φ 𝐸 = 𝑄 𝜀0 Φ 𝐸 = 2𝑄 𝜀0 = 𝑄celk 𝜀0 odvození Gaussova zákona tok elektrického pole náboje Q plochou d𝑆 vymezenou elementem d𝜔 prostorového úhlu ve vzdálenosti r dΦ 𝐸 = 𝐸d𝑆 cos 𝜃 = 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑟2 𝑟2d𝜔 = 𝑄 4𝜋𝜀0 d𝜔 𝑄 d𝜔 𝑟 d𝑆 tok libovolnou uzavřenou plochou obklopující náboj Q Φ 𝐸 = dΦ 𝐸 = 4𝜋 𝑄 4𝜋𝜀0 d𝜔 = 𝑄 𝜀0 4𝜋 d𝜔 4𝜋 = 𝑄 𝜀0 Gaussův zákon Pro tok elektrické intenzity 𝐸 libovolnou uzavřenou (Gaussovou) plochou S obklopující celkový náboj Q platí Φ 𝐸 = 𝑆 𝐸 ∙ d 𝑆 = 𝑄 𝜀0 válcová symetrie přímé vlákno nekonečné délky: 𝐸 = 𝜏 2𝜋𝜀0 𝑟 blesk nábojová hustota elektronů: τ ≈ ‒1⋅10−3 C⋅m−1 ionizace vzduchu nastává při Eion ≈ 3⋅106 N⋅C−1 𝐸 = 𝜏 2𝜋𝜀0 𝑟 rovinná symetrie nevodivá rovinná plocha: 𝐸 = 𝜎 2𝜀0 nabitý izolovaný vodič elektrická intenzita uvnitř vodiče v ustáleném stavu je vždy nulová vodič obsahuje volně pohyblivý náboj, z toho důvodu: nabitý izolovaný vodič elektrická intenzita uvnitř vodiče v ustáleném stavu je vždy nulová Jestliže na izolovaný vodič přivedeme z vnějšku náboj, pak se všechen rozmístí na vnějším povrchu vodiče. Uvnitř vodiče nezůstane žádný volný náboj. M is an insulated, charged metal sphere, N and N' are hemispherical shells with insulated handles into which M fits. If you place N and N' over M, so that they form a sphere as a metal skin and then remove again N and N', M is unloaded and the charge on N and N' equals the initial charge on M. experimentální důkaz The torsion balance experiment of Henry Cavendish who in 1797 was the first to experimentally measure the gravitational constant G. (Courtesy of the Journal of Measurement and Technology.) Henry Cavendish povrch nabitého vodiče vodivý povrch: 𝐸 = 𝜎 𝜀0 průchod nabitou vrstvou vodivý povrch: 𝐸 = 𝜎 𝜀0 nevodivá plocha: 𝐸 = 𝜎 2𝜀0 při průchodu tenkou vrstvou náboje s plošnou hustotou σ … … vzroste intenzita elektrického pole o 𝜎 𝜀0 dvě vodivé desky vodivý povrch: 𝐸1 = 𝜎1 𝜀0 mezi vodivými deskami: 𝐸 = 2𝜎1 𝜀0 = 𝜎 𝜀0 kulová symetrie (kulová slupka) r > R: 𝐸 = 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟2 r < R: 𝐸 = 0 kulová symetrie (koule) r > R: 𝐸 = 1 4𝜋𝜀0 𝑄 𝑟2 𝑄 = 0 𝑅 𝜌 𝑟′ 4𝜋𝑟′2 d𝑟′ r < R: 𝐸 = 1 4𝜋𝜀0 𝑄(𝑟) 𝑟2 𝑄(𝑟) = 0 𝑟 𝜌 𝑟′ 4𝜋𝑟′2d𝑟′ příklad (koule) kontrolní otázky kontrolní otázky Ω 𝜕Ω 𝜕Ω 𝐴 ∙ d 𝑆 = Ω div 𝐴 d𝑉 div 𝐴 = 𝜕𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐴 𝑧 𝜕𝑧 libovolné Gaussova-Ostrogradského věta div𝐸 = 𝜌 𝜀0 Gaussův zákon: 𝜕Ω 𝐸 ∙ d 𝑆 = 1 𝜀0 Ω 𝜌d𝑉 𝑄 = 1 𝜀0 Ω 𝜌d𝑉 Ω div 𝐸 − 𝜌 𝜀0 d𝑉 = 0 Ω div 𝐸d𝑉