Elektrický potenciál Více o elektrickém polikonzervativnost elektrické síly práce 𝑊 elektrické síly při přemístění náboje 𝑄0 v poli náboje 𝑄 z bodu 𝑟𝑖 do bodu 𝑟𝑓 𝑊 = 𝑟 𝑖 𝑟 𝑓 𝑄𝑄0 4𝜋𝜀0 𝑟2 d𝑟 = 𝑄𝑄0 4𝜋𝜀0 1 𝑟𝑖 − 1 𝑟𝑓 nezávisí na trajektorii, pouze na poloze jejího počátečního a konečného bodu Více o elektrickém polipráce elektrické síly 𝑊 = ∁ 𝑄0 𝐸 ∙ d 𝑠 … práce elektrické síly 𝑊𝑒𝑥𝑡 = − ∁ 𝑄0 𝐸 ∙ d 𝑠 = 𝐸 𝑝𝑓 − 𝐸 𝑝𝑖 … práce vnější síly 𝐸 𝑝 … potenciální energie částice v elektrickém poli ∁ Více o elektrickém polipotenciální energie, potenciál 𝜑 𝑓 − 𝜑𝑖 = 𝐸 𝑝𝑓 − 𝐸 𝑝𝑖 𝑄0 = − ∁ 𝐸 ∙ d 𝑠 𝜑( 𝑟) … potenciál elektrického pole ∁ 𝐸 𝑝𝑓 − 𝐸 𝑝𝑖 = −𝑄0 ∁ 𝐸 ∙ d 𝑠 potenciál a napětí … elektrický potenciál 𝑈21 = 𝜑2 − 𝜑1 = 𝐸 𝑝2 − 𝐸 𝑝1 𝑄0 = − 𝑟1 𝑟2 𝐸 ∙ d 𝑠 𝜑 = 𝐸 𝑝 𝑄0 … elektrické napětí mezi body 2 a 1 (hodnota potenciálu vůči vztažnému bodu, v němž platí 𝜑 = 0 … obvykle se volí v ∞) jednotky potenciálu a napětí (1 Volt)1V = 1J 1C … intenzita elektrického pole 𝜑 = 𝐸 𝑝 𝑄0 𝑈21 = − 𝑟1 𝑟2 𝐸 ∙ d 𝑠 1N 1C = 1V 1m 1V = 1N 1C ∙ 1m Alessandro Volta (1745-1827) elektronvolt práce vnější síly při přenesení elektronu mezi body s potenciálovým rozdílem 1V 1eV = 1,60 ∙ 10−19 J 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝐸 𝑝𝑓 − 𝐸 𝑝𝑖 = 𝑄0 𝑈 = 1,60 ∙ 10−19 C ∙ 1V = 1,60 ∙ 10−19 J ekvipotenciální plocha • množina bodů se stejným potenciálem • vždy kolmá k siločarám potenciál vždy klesá ve směru orientace siločar 𝜑2 − 𝜑1 = − 𝑟1 𝑟2 𝐸 ∙ d 𝑠 kontrola příklady 𝜑2 − 𝜑1 = − 𝑟1 𝑟2 𝐸 ∙ d 𝑠 potenciál pole bodového náboje = − 𝑟1 𝑟2 𝐸(𝑟′)d𝑟′ 𝜑2 − 𝜑1 = − 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑟1 𝑟2 d𝑟′ 𝑟′2 = 𝑄 4𝜋𝜀0 1 𝑟2 − 1 𝑟1 𝜑(∞) = 0 𝜑(𝑟) = 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑟 princip superpozice: 𝐸 = 𝑖=1 𝑛 𝐸𝑖 potenciál soustavy bodových nábojů 𝜑 = 𝑖=1 𝑛 𝜑𝑖 = 1 4𝜋𝜀0 𝑖=1 𝑛 𝑄𝑖 𝑟𝑖 potenciál pole elektrického dipólu 𝜑(𝑟) ≈ 𝑝 cos 𝜃 4𝜋𝜀0 𝑟2 potenciál pole spojitě rozloženého náboje 𝜑 = d𝜑 = 1 4𝜋𝜀0 d𝑄 𝑟 d𝑄 = ρd𝑉… 𝜑 = 𝑖=1 𝑛 𝜑𝑖 = 1 4𝜋𝜀0 𝑖=1 𝑛 𝑄𝑖 𝑟𝑖 potenciál rovnoměrně nabitého disku 𝜑2 − 𝜑1 = − 𝑟1 𝑟2 𝐸 ∙ d 𝑠 = 𝑟1 𝑟2 d𝜑 d𝜑 = −𝐸 ∙ d 𝑠 = −𝐸 𝑥d𝑥 − 𝐸 𝑦d𝑦 − 𝐸𝑧dz 𝐸 = − 𝜕𝜑 𝜕𝑥 , − 𝜕𝜑 𝜕𝑦 , − 𝜕𝜑 𝜕𝑧 = −grad 𝜑 = −𝛻𝜑 výpočet intenzity z potenciálu potenciální energie soustavy bodových nábojů 𝐸 𝑝12 = 𝜑1 𝑄2 = 𝑄1 𝑄2 4𝜋𝜀0 𝑟12 𝐸 𝑝123 = 𝜑1 𝑄2 + 𝜑1 + 𝜑2 𝑄3 = 𝐸 𝑝12 + 𝐸 𝑝13 + 𝐸 𝑝23 potenciální energie soustavy nábojů je rovna práci, kterou musela vykonat vnější síla proti silám pole při sestavování této soustavy, tj. při přemísťování každého náboje „z nekonečna“ do jeho výsledné polohy potenciál nabitého vodiče elektrická intenzita v izolovaném vodiči v ustáleném stavu je vždy nulová 𝜑2 − 𝜑1 = − 𝑟1 𝑟2 𝐸 ∙ d 𝑠 = 0 volný náboj na izolovaném vodiči se samovolně rozprostře po vnějším povrchu vodiče tak, že všechny body vodiče – na povrchu i uvnitř – mají stejný potenciál (to platí bez ohledu na to, zda vodič má či nemá dutinu) vodič ve vnějším poli také v tomto případě je intenzita ve vodiči nulová a potenciál je stejný ve všech bodech vodiče – vnější pole je kompenzováno přerozdělením volného náboje ve vodiči a jeho siločáry vycházejí kolmo z povrchu vodiče (povrch vodiče je ekvipotenciální plochou) příklady: vodič ve vnějším poli 60,000 Volt Tesla Coil Corona Discharge Faradayova klec vodič s dutinou vnitřní plocha vodiče v ustáleném stavu je ekvipotenciální plochou – v dutině vodiče neobsahující náboj je proto intenzita nulová bez ohledu na vnější pole Nikola Tesla Tesla was born "at the stroke of midnight" with lightning striking during a summer storm. He was born to a Serbian family in Smiljan near Gospić, Lika, (the Military Frontier of Austria-Hungary, now in Croatia). The midwife commented, "He'll be a child of the storm," to which his mother replied, "No, of light." Tesla was baptized in the Old Slavonic Church rite. His Baptism Certificate reports that he was born on June 28 (Julian calendar; July 10 in the Gregorian calendar) 1856 r 1 2 1 r  E + + + + ++ + + + + + + ++ + + kovová kulová slupka Ω 𝜕Ω 𝜕Ω 𝐴 ∙ d 𝑆 = Ω div 𝐴d𝑉 div 𝐴 = 𝜕𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐴 𝑧 𝜕𝑧 libovolné Gaussova-Ostrogradského věta div𝐸 = 𝜌 𝜀0 Gaussův zákon (tok): 𝜕Ω 𝐸 ∙ d 𝑆 = 1 𝜀0 Ω 𝜌d𝑉 𝑄 = 1 𝜀0 Ω 𝜌d𝑉 Ω div 𝐸 − 𝜌 𝜀0 d𝑉 = 0 Ω div 𝐸d𝑉 Σ 𝜕Σ 𝜕Σ 𝐴 ∙ d 𝑠 = Σ rot 𝐴 ∙ d 𝑆 rot 𝐴 = 𝜕𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝐴 𝑦 𝜕𝑧 , … libovolné Stokesova věta 𝐸 = −grad𝜑 konzervativní pole (cirkulace): 𝜕Σ 𝐸 ∙ d 𝑠 = 0 Σ rot 𝐸 ∙ d 𝑆 = 0 rot 𝐸 = 0 (nevírové pole) Poissonova rovnice 𝐸 = −grad 𝜑 (Poissonova rovnice) div 𝐸 = 𝜌 𝜀0 div grad 𝜑 = − 𝜌 𝜀0 𝑖 𝜕 𝜕𝑥 + 𝑗 𝜕 𝜕𝑦 + 𝑘 𝜕 𝜕𝑧 ∙ 𝑖 𝜕𝜑 𝜕𝑥 + 𝑗 𝜕𝜑 𝜕𝑦 + 𝑘 𝜕𝜑 𝜕𝑧 = − 𝜌 𝜀0 𝜕2 𝜑 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝜑 𝜕𝑦2 + 𝜕2 𝜑 𝜕𝑧2 = ∆𝜑 = − 𝜌 𝜀0