El. mag 1 poznámky k přednášce Osnova 1. Elektrický náboj: zákon zachování el. náboje, kvantování el. náboje. Coulombův zákon. Princip superpozice. Síla působící na náboj uvnitř rovnoměrně nabité kulové sféry. 2. Intenzita elektrického pole. Intenzita elektrického pole bodového náboje. Intenzita elektrického pole soustavy nábojů. Tok vektoru elektrického pole plochou. Gaussův zákon. Elektrické pole kulově symetrického náboje, lineárního náboje, plošného náboje. Tlak v rovnoměrně nabité kulové bublině. Síla působící na nabitou vrstvu. Práce síly elektrického pole. Energie soustavy nábojů. Energie spojená s elektrickým polem Elektrický náboj: • Tělesa nesoucí kladný elektrický náboj označujeme jako kladně nabitá • Tělesa nesoucí záporný elektrický náboj označujeme jako záporně nabitá • Tělesa nesoucí stejné množství kladného jako záporného náboje jsou elektricky neutrální 𝑄 𝑐𝑒𝑙𝑘. = 𝑞𝑖 𝑖 • Skalární veličina • Náboj může být kladný, nebo záporný. Elektrický náboj: • Některé elementární částice jsou elektricky nabité např: • elektron –e • proton +e • pozitron +e • kde e je elemenární náboj zákon zachování el. náboje 𝑞𝑖 𝑖 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 - + elektron pozitron 𝑞𝑖 𝑖 = 𝑞 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡𝑟𝑜𝑛 + 𝑞 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑜𝑛 = 𝑒 − 𝑒 = 0 - + foton 511 keVfoton 511 keV 𝑞𝑖 𝑖 = 𝑞 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛 + 𝑞 𝑓𝑜𝑡𝑜𝑛 = 0 + 0 = 0 příklad 1: pozn: energie fotonů plyne ze ZZE, pro splnění ZZH musí být fotony dva s opačně orientovanou hybností. 2𝑚 𝑒𝑙 𝑐2 = 2 ∗ 9.109 10−31 ∗ 2.998 108 2 ≅ ≅ 0.164 10−12 𝐽 = 1.022𝑀𝑒𝑉 příklad 2: Dvě desky z materiálu z různých pozic triboelektrické řady, např. teflon a polypropylén, jsou uvedeny do kontaktu a pak oddáleny. náboj desek před kontaktem 𝑞𝑡𝑒𝑓𝑙𝑜𝑛 = 0, 𝑞 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝𝑦𝑙é𝑛 = 0 náboj desek po kontaktu 𝑞𝑡𝑒𝑓𝑙𝑜𝑛,2 < 0, 𝑞 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝𝑦𝑙é𝑛,2 > 0 ze zákona zachování elektrického náboje plyne 𝑞𝑡𝑒𝑓𝑙𝑜𝑛 + 𝑞 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝𝑦𝑙é𝑛 = 0 + 0 = 𝑞𝑡𝑒𝑓𝑙𝑜𝑛,2 + 𝑞 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑝𝑟𝑜𝑝𝑦𝑙é𝑛,2 = 0 pozn. I: výsledek je očekávatelný, protože při kontaktu dvou materiálů došlo pouze k přeskupení (velmi malé) části elektronů z povrchových vrstev polypropylénu na teflon. Celkový počet kladných protonů a záporných elektronů se nezměnil. pozn.II. Povrchový se za normálních okolností postupně neutralizuje vzdušnými ionty a je odváděn v důsledku nenulové povrchové vodivosti. příklad 3. beta rozpad : 𝐶6 14 → 𝑁 + 𝑒− 7 14 + 𝜈 𝑒 Uhlík 𝐶6 14 se beta rozpadem mění na dusík 𝑁7 14 , atomové číslo vzroste o 1, tj. neutron v jádru se rozpadne na proton, vyzáří se elektron a (elektricky neutrální) antineutrino. elementární náboj • Robert A. Millikan, Harvey Fletcher v roce 1909 q=1.5924(17)×10−19 C • současná hodnota e= 1.602 176 565(35) ×10−19 C. • kvantování el. náboje 𝑄 = 𝑛 ∗ 𝑞 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡á𝑟𝑛í 𝑞 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡á𝑟𝑛í + = 𝑞 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡á𝑟𝑛í − Coulombův zákon 𝐹1,2 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞2 𝑞1 𝑟2 − 𝑟1 2 𝑟2 − 𝑟1 𝑟2 − 𝑟1 𝑞1 𝑟1 𝑟2 𝑞2 𝐹1,2 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞2 𝑞1 𝑟 2 𝑒1,2 Charles Augustin de Coulomb Coulombův zákon r 1785 ε0 = 8.8541.. × 10−12 F/m 1 4𝜋𝜀0 ≅ 0.9 ∗ 1010 𝑒1,2 𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 𝑟 𝑒1,2 = 𝑟2 − 𝑟1 𝑟2 − 𝑟1 Formální podobnost s Newtonovým gravitačním zákonem silového působení mezi tělesy s kulovou symetrií hustoty 𝐹1,2 = 𝜅 𝑚2 𝑚1 𝑟 2 𝑒1,2 𝜅 = (6,67384 ± 0,00080) × 10−11 𝑁 · 𝑚2 · 𝑘𝑔−2 Permitivita vakua je v současné definici jednotek SI definována vztahem: 𝜀0 = 1 𝜇0 𝑐2 𝐹/𝑚 kde rychlost světla 𝑐 je stanovena na 299792458 𝑚𝑠−1 přesně. Permeabilita vakua je 𝜇0 = 4𝜋10−7 𝐻/𝑚 z definice. Tedy permitivita vakua není v současné definici SI měřenou konstantou (s určenou nejistotou), ale je definována přesně Je limitován obor vzdáleností 𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1? Coulombův zákon platí i v nerelativistické kvantové mechanice. Experimentálně byla ověřena použitelnost C. zákona v rozmezí vzdáleností 10−14 − 1010 𝑐𝑚. (Purcell, Electricity and Magnetism, Second Edition p.11) Je limitována velikost nábojů 𝑞2 𝑞1? Jaká je neurčitost v mocnině 2? 𝐹1,2 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞2 𝑞1 𝑟 2+𝛿 Tato otázka má fundamentální podstatu. Souvisí s tím, jestli foton má, nebo nemá nulovou klidovou hmotnost. Podle měření, Crandal et all, 1983, je 𝛿 < 6 10−17 , tomu by odpovídala nenulová hmotnost fotonu 8 10−48 𝑔 . Oblast platnosti Coulombova zákona Tak velké množství náboje, aby hustota energie elektrického pole způsobila měřitelné relativistické efekty, nelze udržet pohromadě. Pro elementární náboj C. zákon platí, menší hodnoty náboje neexistují. Princip superpozice 𝐹 𝑟0 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑞1 𝑟0 − 𝑟1 3 𝑟0 − 𝑟1 + 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑞2 𝑟0 − 𝑟2 3 𝑟0 − 𝑟2 Náboje 𝑞0 𝑞1 v polohách určených vektory 𝑟0 a 𝑟1 𝑟1 𝑟2 𝑟0 𝑞1 𝑞0 𝑞2 𝐹1,0 𝐹2,0 𝐹 𝑟0 Princip superpozice 𝐹 𝑟0 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑞1 𝑟0 − 𝑟1 3 𝑟0 − 𝑟1 + 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑞2 𝑟0 − 𝑟2 3 𝑟0 − 𝑟2 + ⋯ . = = 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑞𝑖 𝑟0 − 𝑟𝑖 3 𝑟0 − 𝑟𝑖 𝑁 𝑖=1 Náboje 𝑞1až 𝑞 𝑁 v polohách určených vektory 𝑟1 až 𝑟 𝑁 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟3 𝑟0 𝑞1 𝑞3 𝑞4 𝑞2 𝑞 Princip superpozice. 𝐹 𝑟0 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞 ∗ ρ 𝑟 𝑟0 − 𝑟 3 𝑟0 − 𝑟 𝑑𝑉 𝐹 𝑟0 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞 ∗ 𝜎 𝑟 𝑟0 − 𝑟 3 𝑟0 − 𝑟 𝑑𝑆 𝐹 𝑟0 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞 ∗ 𝜎 𝑙 𝑟0 − 𝑟 3 𝑟0 − 𝑟 𝑑𝑙 Pro spojitě rozložené náboje bod, ve kterém se určuje intenzita 𝑟0 𝑟 𝜌 𝑟 Síla působící na náboj uvnitř rovnoměrně nabité kulové sféry. Δ𝐹1 = 1 4𝜋𝜀0 𝜎∆𝑆1 cos(𝜗) 𝑟2 𝑒 ∆𝑆1 ∆𝑆2 𝜗 𝜗 ∆Ω = 𝜎∆𝑆 cos(𝜗) 𝑟2 𝑞 ∆Ω je prostorový úhel, pod kterým je vidět ploška ∆𝑆1, ∆𝑆2 Δ𝐹 = 𝜎∆Ω 4𝜋𝜀0 Δ𝐹2 = − 1 4𝜋𝜀0 𝜎∆𝑆2 cos(𝜗) 𝑟2 𝑒 Δ𝐹1+Δ𝐹2=0 Intenzita elektrického pole 𝐸 = 𝐹 𝑞 𝐸 = lim 𝑞→0 𝐹 𝑞 definice Intenzita elektrického bodového náboje 𝐸 = 𝐹 𝑞 𝐸 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟 2 𝑒 intenzita elektrického pole soustavy nábojů 𝐸 𝑟0 = 1 4𝜋𝜀0 𝑞1 𝑟0 − 𝑟1 3 𝑟0 − 𝑟1 + 1 4𝜋𝜀0 𝑞2 𝑟0 − 𝑟2 3 𝑟0 − 𝑟2 + ⋯ . = = 1 4𝜋𝜀0 𝑞𝑖 𝑟0 − 𝑟𝑖 3 𝑟0 − 𝑟𝑖 𝑁 𝑖=1 𝐸 𝑟0 = 1 4𝜋𝜀0 ρ 𝑟 𝑟0 − 𝑟 3 𝑟0 − 𝑟 𝑑𝑉 𝐸 𝑟0 = 1 4𝜋𝜀0 𝜎 𝑟 𝑟0 − 𝑟 3 𝑟0 − 𝑟 𝑑𝑆 𝐸 𝑟0 = 1 4𝜋𝜀0 𝜎 𝑙 𝑟0 − 𝑟 3 𝑟0 − 𝑟 𝑑𝑙 Náboje 𝑞1až 𝑞 𝑁 v polohách určených vektory 𝑟1 až 𝑟 𝑁 . Princip superpozice intenzita elektrického pole v okolí nabité přímky z 𝜗 d𝜗 𝑟 𝑟𝑑𝜗 𝑟𝑑𝜗/cosϑ 𝑟 = 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜗 𝑑𝐸𝑧 = 1 4𝜋𝜖0 𝜎𝑟𝑑𝜗/𝑐𝑜𝑠𝜗 𝑟2 cosϑ 𝑑𝐸𝑧 = 1 4𝜋𝜖0 𝜎𝑑𝜗 𝑟 𝑑𝐸𝑧 = 1 4𝜋𝜖0 𝜎𝑑𝜗 𝑧 cosϑ 𝐸𝑧 = 2 1 4𝜋𝜖0 𝜎 𝑧 cosϑ𝑑𝜗 = 𝜋/2 0 1 2𝜋𝜖0 𝜎 𝑧 1 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜗 𝑧 𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧 z