Cvičení z elektřiny a magnetismu Autor: Mgr. Martin Čermák, Ph.D. Grafika: Mgr. Jana Jurmanová, Ph.D. MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV FYZIKÁLNÍ ELEKTRONIKY Cvičení z elektřiny a magnetismu Autor: Mgr. Martin Čermák, Ph.D. Grafika: Mgr. Jana Jurmanová, Ph.D. MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV FYZIKÁLNÍ ELEKTRONIKY Tento text vyšel za podpory Fondu rozvoje Masarykovy univerzity a Ústavu fyzikální elektroniky. © Martin Čermák, Brno 2014 Obsah 1 Vektorová pole 6 1.1 Úvod do vektorových polí v elektrine a magnetismu................ 6 1.2 Operátory....................................... 7 1.3 Matematické identity................................. 11 1.4 Integrál po křivce................................... 12 2 Elektrostatika 15 2.1 Coulombův zákon................................... 15 2.2 Princip superpozice.................................. 17 2.3 Elektrická intenzita obecného zdroje........................ 18 3 Skalární potenciál 25 3.1 Skalární potenciál bodového zdroje......................... 25 3.2 Skalární potenciál nehodového zdroje........................ 30 3.3 Ekvipotenciální plochy................................ 32 4 Gaussův zákon a vodiče v elektrickém poli 35 4.1 Gaussův zákon a jeho aplikace............................ 35 4.2 Vodiče v elektrickém poli............................... 41 5 Kondenzátory 45 5.1 Kapacita........................................ 45 5.2 Kapacita soustavy kondenzátoru .......................... 46 6 Dielektrika 51 6.1 Dielektrika v homogenním poli ........................... 51 6.2 Vektor elektrické indukce............................... 52 6.3 Lineární aproximace............. .................... 53 6.4 Elektrické pole na rozhraní dvou dielektrik..................... 58 6.5 Dielektrická pevnost................................. 60 7 Ohmův zákon a Kirchhoffovy zákony 64 7.1 Elektrický proud................................... 64 7.2 Rovnice kontinuity.................................. 65 7.3 Ohmův zákon..................................... 66 7.4 Kirchhoffovy zákony................................. 67 8 Magnetostatika a základy elektromagnetismu 74 8.1 Lorentzova sila.................................... 74 8.2 Gaussův zákon pro magnetické pole......................... 78 8.3 Ampéruv zákon v diferenciálním tvaru....................... 78 8.4 Ampérův zákon v integrálním tvaru ........................ 79 9 Biotův-Savartův zákon. 85 9.1 Biotův-Savartův zákon a vektorový potenciál.................... 85 2 10 Faradayův zákon, Maxwellovy rovnice, potenciály 91 10.1 Faradayův zákon................................... 91 10.2 Maxwellovy rovnice a potenciály .......................... 94 10.3 Kalibrační invariance............. .................... 96 10.4 Lorenzova kalibrační podmínka........................... 97 10.5 Maxwellovy rovnice v prostředí........................... 98 10.6 Energie elektromagnetického pole.......................... 99 10.6.1 Hustota energie elektromagnetického pole................. 99 10.6.2 Energie elektrostatického pole........................ 100 11 Cívky 102 11.1 Vlastní indukčnost..................................102 11.2 Vzájemná indukčnost.................................106 11.3 Transformátor.....................................109 12 Střídavé obvody 112 12.1 Komplexní čísla....................................112 12.2 Základní prvky střídavých obvodů .........................113 12.3 Zapojení RLC prvku ve střídavém obvodu.....................114 13 Stručný přehled vybraných klíčových vzorců 118 3 Předmluva Text, který právě začínáte číst, vznikl jako učební materiál k předmětu Cvičení z elektřiny a magnetismu. K přípravě na cvičení bylo použito těchto zdrojů: třetí díl kurzu Fyzika od autorů D. Halliday, R. Resnick, J. Walker [1] a druhý díl kurzu Feynmanovy přednášky z fyziky od autorů R. Feynman, R. Leighton, M. Sands [2]. Bohužel ani jeden ze dvou zmíněných textů není dostatečně vhodný k samostatné přípravě do předmětu Elektřina a magnetizmus pro fyzikální obory na Masarykově univerzitě. Fyzika od autorů D. Halliday, R. Resnick, J. Walker vznikla jako učebnice pro studenty technických a inženýrských oborů a její matematická a obsahová náročnost zůstává nižší, než se očekává od studentů fyzikálního zaměření. Naopak Feynmanovy přednášky z fyziky obsahují mnohem více informací, než se po studentech při zkoušce požaduje. Student pak často jen špatně rozpoznává, co je ke studiu nezbytné, a co nikoli. Proto se ukázalo velmi přínosným vytvořit tento materiál, který se stává kompromisem mezi zmíněnými učebnicemi. Na konci každé kapitoly těchto skript jsou uvedeny alternativní učební zdroje. Kromě dvou výše uvedených se jedná o učebnice Elektromagnetizmus autora A Tirpáka [3], Elektřina a magnetismus autorů B. Sedlák a I. Štol [4] a první díl kurzu Feynmanovy přednášky z fyziky [5]. Uvedené zdroje však ne vždy přesně odpovídají požadované látce a lze je spíše použít pro doplnění informací. V celé práci budeme používat základní jednotky SI. Elektřina a magnetismus představuje po Mechanice a molekulové fyzice druhý kmenový fyzikální předmět, se kterým se studenti setkávají. Byť je to škoda, v mechanice jsme se nutně řadě matematických výrazů a termínů vyhýbali kvůli nízké matematické úrovni studentů. Tento předmět již aktivní znalost některých matematických operací vyžaduje. Konkrétně se předpokládají základní znalosti derivací, integrálů, limit, a také základní operace s trojrozměrnými vektory, ať už jde o sčítání či skalární a vektorové násobení. Poděkování Za pomoc při přípravě textu bych především chtěl poděkovat Janě Jurmanové, která svými pestrobarevnými obrázky oživila pochmurný černobílý text a svými připomínkami a korekcemi výrazně zvýšila kvalitu skript. Dále bych chtěl poděkovat studentkám Anně Hrubé a Zdislavě Vávrové, které se postaraly o korekturu jazyka českého a vytvoření databáze alternativních učebních zdrojů, a Magdě Plevákové za nakreslení obrázku na úvodní stránku. V neposlední řadě chci poděkovat všem, co si skripta před vydáním přečetli a vyjádřili k nim své připomínky. Tento dík patří především studentům předmětu Elektřina a magnetismus, jež jsem měl tu čest vyučovat. 4 Vstupní test Pro studenty druhého semestru oboru fyzika by mělo být samozřejmostí řešit tento typ příkladů: 1. y = [sin(3x + 2)]5, y' = ? 2. y(x) = —L^, ///{.,•)zG) * D 1.6 rovnic6 (2) v6ktor a n£ihľcidíiii6 op6rátor6m a skalár c nahradíme funkcí F. 1 často se namísto spodních indexů x,y,z používá 1,2,3. 7 V rotaci můžeme vidět podobnost s vektorovým součinem dvou vektorů a a b , kde a x b i j k CLX CLy CLZ bx by bz {yciybz Qzby,cizbx ctxbz,cixby ciybx^ Vektory i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) značí jednotkové vektory ve směru os x, y, z. V případě rotace vektory ~čt a b nahradíme operátorem ^ a vektorovým polem \f (viz rovnice (3)). Dalším ve fyzice často používaným operátorem je operátor Lapiace A, jenž vznikne skalárním součinem dvou operátorů ^ A = ^^ = ^^Í^ (4) dx2 dy2 dz2 Působením A na funkci F (případně vektorové pole \f) obdržíme novou funkci d2F d2F d2F t , , , A7t d2V d2f d2f, „ . AF = —j + —-7T + -—r (prípadne vektorové pole AV = —-z- + ttô' + Rovnice oxz oyz ozz oxz oyz ozz AF = f (případně AF = 0) je fyzikálně velmi významná, nazývá se Poissonova rovnice (případně Laplaceova rovnice) - viz (15). Jak již bylo řečeno, operátory ^ slouží k popisu vektorových polí či funkcí. V některých případech lze odhadnout výsledek působení těchto operátorů na první pohled, například vektorová pole v obrázku 2. Rotace prvního vektorového pole z obrázku 2 není nulová x \f ^ 0 ), divergence naopak nulová vyjde • \f = 0), v případě druhého vektorového pole se rotace nule rovná 0 ) a divergence ne (V • V ^ 0). Samozřejmě ne vždy se podaří najít pole s nulovou rotací či divergencí. —-v// Obrázek 2: Příklady dvou různých vektorových polí. U gradientu lze hledat podobnost s klasickou derivací. Derivace nám sdělí, zdali funkce klesá či roste, určíme směrnici tečny. Gradient funguje podobně. Funkce však v tomto případě závisí na více proměnných. Pomocí gradientu nově vytvořené vektorové pole popisuje, jak funkce roste či klesá v daném směru (viz obrázek 3). 8 Obrázek 3: Gradient funkce. Př. 1.3. Zadání: Spočtěte divergenci a rotaci vektorového pole: ~Ý = (x,y,z). Řešení: Parciální derivace i-tého členu ~Ý podle i-té souřadnice se rovná jedné rg Q x (př. —— = — = 1). Derivace i-tého členu podle j-té souřadnice (kde i ^ j) je rovna nule ox ox Qt<£ dx (př. —— = — = 0). Jasně vidíme, že rotace tohoto vektorového pole musí vyjít nulová, pro- Oy oy tože v případě rotace se nevyskytuje člen, který by po derivování zůstal nenulový (viz rovnice —v _. _y —y _. ox dy dz (3)), tedy V x r = 0 . Divergence tohoto vektorového pole se rovná: V • r = — + t^- + t^ = ox oy oz 1 + 1 + 1 = 3. Př. 1.4. Zadání: Uvažujte stejné vektorové pole jako v předešlém případě. Uvažujte, že toto pole je výsledkem gradientu funkce • F = ~Ý. Najděte neznámou funkci F. ^ dF x2 OF y2 .OF Řešeni: — = x =>- F = — + fľ (y, z), — = y F = — + f2 (x, z), — = z z2 F = — + /3 (x, y), kde funkce / mají v případě parciálních derivací stejný význam jako integrační konstanty v případě klasických derivací (jejich derivace je nulová). Porovnáním tří x2 + y2 + z2 v2 výsledků pro F lze zjistit výsledek ve tvaru F =----h K = — + K, kde K je konstanta a r 2 = r2. 9 Př. 1.5. —~t í x y z \ Zadání: Spočtěte divergenci a rotaci vektorového pole: V = = kde y>3 y>3 y>3 y>3 r2 = x2 + y2 + z2. g _ 914 1 3x2 914 3xy 914 3xz dVy 3xy dVy 1 3y2 dx r3 r5 , dy r5 ' 9z r5 ' čte r5 ' dy r3 r5 ' dVv 3yz dVz 3xz dVz 3yz dVz 1 3z2 —— =--—— =-- —— =-- —— = -r--Dosadíme-h do vztahu (3), oz r° ox r° oy r° oz ró r° -4 -f f3yz 3yz 3xz 3xz 3xy 3xy\ —y , , . obdržíme V x V = - —=---r, —=---r, —=---r = 0 . Výsledek by byl zjevný, \ y-J y-J y-J y-J y-J y-J J kdybychom si toto vektorové pole nakreslili. Zdá se, že toto vektorové pole bude divergentní. 3 x2 + y2 + z2 Provedeme-li operaci divergence dle vztahu (1), obdržíme: V • V = —r — 3-=- = 0. yj yO V tomto případě divergence vektorového pole \^ vyšla nulová. Komentář: Toto řešení si nyní správně interpretujeme. V elektrostatice se divergence vektorového pole používá k vyjádření vztahu mezi vektorem elektrické intenzity a rozložením náboje = Kg, kde K představuje konstantu úměrnosti a g značí hustotu náboje. Pokud známe vektorové pole ~Ě v každém bodě, pak známe i rozložení elektrického náboje. Vnímavý student výše uvedené pole \f jistě rozpozná. Až na konstantu se shoduje s coulombovským polem v okolí nabitého bodu. Zdroj takového pole je lokalizován do bodu. Výše uvedené řešení je neúplné, nevyjadřuje totiž situaci v bodě nula, kde vektorové pole roste do nekonečna, vzniká tzv. singularita. V tomto konkrétním případě lze říci, že hustota náboje vychází všude nulová, kromě počátku souřadnicové soustavy, kde je naopak nekonečná. K matematickému popisu takové hustoty se používá tzv. delta funkce ô (x), jež se rovná nule pro každé x kromě x = 0, kde se rovná nekonečnu. Pro tuto funkci (ve skutečnosti to není funkce, ale distribuce) platí rovnice f ó (x) dx = 1 pro případ, kdy integrační interval určitého integrálu obsahuje nulu, a j ó (x) dx = 0 v případě, že nulu neobsahuje. Integrál delta funkce vynásobený jinou funkcí se rovná f ó (x) f (x) dx = f (0). I zde platí důležitá podmínka, totiž že interval určitého integrálu obsahuje nulu. Tento vztah lze zobecnit: j ó (x — x q) f (x) dx = /(zo). Vraťme se nyní ke zmiňované hustotě, která vychází všude nulová kromě jednoho bodu, kde se rovná nekonečnu. Výše uvedená delta funkce je funkcí pouze jedné proměnné. Hustota (objemová hustota) závisí na třech souřadnicích. Hustotu lokalizovanou v bodě tak lze popsat pomocí trojrozměrné delta funkce ô (x) ó (y) ó (z) = ó (x, y, z) = ó (~ř^). Řešení příkladu 1.5 zní = 4tvS . Pro objasnění konstanty 4tv potřebujeme další výpočty (viz příklad 2.3). Př. 1.6. Zadání: Spočtěte gradient funkce: F = -, kde r2 = x2 + y2 + z2. r dF 1 2x x dF y dF z Řešení: — = —?— = = —^, obdobně pro členy = —q, "s- = —v ox rz 2 \/x2 + y2 + z2 r oy ró oz ró Výsledek bude: ^ • F x y z y>3 y>3 y>3 J y>3 Komentář: Výsledek se shoduje (až na znaménko) se zadáním předešlého případu, kde jsme hledali divergenci vektorového pole —. Kombinací obou výsledků dostaneme 10 -4irô( r ). Tento výsledek lze interpretovat i takto: pokud působením operátoru lapiace na neznámou funkci obdržíme delta funkci, pak neznámá funkce může být nataenavetvaxul. r 1.3 Matematické identity Někdy může záviset na pořadí, se kterým se operace provádí. Například výrazy V • • V se neshodují. Jinými slovy tyto výrazy nejsou asociativní. Pokud závorkování chybí, uvažujeme, že operátory aplikujeme směrem zprava doleva. Vnímavý čtenář si jistě všiml z předešlých příkladů, že kromě • F jsme zjistili i řešení • F = 0 , kde F = -. Ukážeme, že tato rovnice je splněna pro všechny funkce a nikoli 1 r pouze pro F = - : r ^ F - (— — —^ \ čte ' dy1 dz J ' ^ x ^ F _ ( d OF d OF d OF d OF d OF d dFs _ Q, v dy d z dz dy ' d z dx dx d z ' dx dy dy dx Poslední rovnost jsme mohli provést z důvodu komutativnosti parciální derivace (nezávisí na pořadí derivování). Podobnou matematickou identitu obdržíme z ^ ^ x ý = ^ _ (m _dVy_ mL_W1 dV1_dV1 \ dy dz ' dz dx ' dx dy d dVz d dVv d dVx d dVz d dVv d dVx n — --———--h — —^ - — —— = 0. dx dy dx dz dy dz dy dx dz dx dz dy Rovnice ^ x ^-F = lf, ^ x ý = 0. (5) jsou matematickými identitami a jsou splněny pro všechna F a \f. Př. 1.7. Zadání: Dokažte rovnost Řešení: Levá strana rovnice je: \ dy dz ' dz dx ' dx dy d2Vy d2Vx d2Vx d2Vz d2Vz d2Vy d2Vy d2Vx dVx d2Vz d2Vz d2Vy ^dydx dy2 dz2 dzdx^ dzdy dz2 dx2 dxdy^ dxdz dx2 d2y dydz Pro pravou stranu platí: dx dy dz 11 d2Vx d2Vv d2Vz d2Vx d2Vv d2Vz d2Vx d2Vv d2Vz + 77^ + 77^,77^ + ^ + 77^, 7T-^- + 7T^f + čte2 dydx dzdx' dxdy dy2 dzdy' dxdz dydz dz2 atí fd2Vx d2Vx d2Vx d2Vv d2Vv d2Vv d2Vz d2Vz d2Vz a? = —£ + —^ + —f, —f + —f + —f, —f + —f + čte2 9y2 9z2 ' dx2 dy2 dz2 ' čte2 dy2 dz2 Odečtením obou uvedených členů pravé strany rovnice obdržíme výraz, ve který jsme rozvinuli stranu levou. 1.4 Integrál po křivce Křivkových integrálů existuje více druhů. V této části kapitoly si ukážeme chování jednoho z nich, křivkového integrálu druhého druhu, který budeme v těchto skriptech používat. Po křivce budeme integrovat vektorové pole \^. Pokud je integrační křivka c otevřená, použijeme označení pro integrál f pokud křivku c uzavřeme do smyčky, integrál označíme c § \f ■ d~Ý (v dalším textu pro stručnost nebudeme vždy zapisovat označení pro cestu křivky c _ c). Vidíme, že výraz V -d~Ý vyjadřuje skalární součin vektorového pole a elementu polohového vektoru (dx, dy, dz). Obecně výsledek integrálu závisí na integrační cestě, proto musíme zvolit křivku, podél které integrujeme. Jako souřadnice na křivce slouží parametr r. Původní souřadnice se stanou funkcemi tohoto parametru (x (r), y (r) , z (r)). Integrál lze zapsat jako VI ^ -^r^ j (vxpT+Vyd/T+VzpT)dr. Pole, pro které výsledek integrálu nezávisí na zvolené křivce se nazývá konzervativní (kupříkladu gravitační či elektrostatické). Pohybujme se z bodu A do bodu B po dvou různých křivkách c\ a 02- Výsledkem integrálu v případě konzervativního pole je číslo - kupříkladu /, které vychází pro oba integrály stejně. Pokud u druhého z integrálů zaměníme hodnoty intervalu, bude průběh integrálu z bodu B do A a integrál vyjde —/. Sečtením obou integrálů obdržíme |^-^dr+ /^-^dr= f ^.^dr = /-/ = 0. ci A c2B cioc2 Pohybujeme-li se v konzervativním poli po uzavřené křivce je výsledek integrálu vždy nulový. Lze ukázat-že pole, pro které výsledek integrálu nezávisí na integrační cestě, musí splňovat rovnici ^ x v = lf. Tento důkaz je však komplikovanější a k vyřešení bychom potřebovali složitější matematiku. Nekonzervativní pole poznáme tak, že nesplňuje výše uvedené rovnosti ^x^ 7^ 0 a £ ý ■ d~Ý ^ 0. Př. 1.8. Zadání: Ukažte pro různé tři křivky, že křivkový integrál s počátkem křivky ~Ý = (0, 0, 0) a koncem křivky ~Ý = (1,1, 0) z vektorového pole V = (x, y, 0) nezávisí na integrační křivce. 12 Řešení: Zvolme jednoduše první cestu podél os i i / = j V - d~Ý = j xdx + J ydy = i (1 + 1) = 1. c oo Pro první cestu ani nebylo potřeba používat parametrizaci. Pro druhou cestu zvolíme parametrizaci lineární křivky dx dv dz —y d x = t, y = T, z = 0 ^ _ = l, _^ = l, _=0, ^ V=(t,t,0), — = (1,1,0). Křivka bude na intervalu r G (0; 1) / = j]?.d~Ý = ■ ^-dr = j (r + r) dr = j 2rdr = 1. cc 0 0 Třetí křivku zvolíme jako parabolu x = r, y = r\ z = 0 => ^ = 1, ^ = 2r, |^ = 0, => ? = (r, r2, 0) , = (1, 2r, 0) ar or or y ' or dx ^ dy n dz n ^ ^ ( 2 n\ ^r' ar ' ar Křivka bude opět na intervalu r G (0; 1 / = jý -d~Ý = yV • ^dr = y (r + 2r3) dr i - 2 4' r r T + T o i = 1. o Př. 1.9. Zadání: Vypočtěte křivkové integrály přes stejné křivky a stejné počáteční a koncové body jako v minulém případě z vektorového pole \f = (y, —x, 0). Řešení: První cestu podél os si rozdělíme na dvě části - a) podél osy x a b) podél osy y. Zde však na rozdíl od předešlého příkladu záleží na tom, podél které osy integrujeme dříve. Zvolme a) x = t, y = 0 xT = l, y,T = 0 f = (0, -r, 0) , — = (1,0,0), ar b) x = l, y = r ^ xT=0, y,T = l ^ = (r,-l,0), ^ = (0,1,0). ar Výsledný integrál bude i i Odr + y"-ldr = ~rlo = -1- a) 0 6)0 V případě, že nejdříve zvolíme cestu podél osy y a) a poté osy x b), výsledek se změní na a) x = 0, y = r xT = 0, y,T = 1 ^ = (r,0,0), — = (0,1,0), ar 13 b) x = t, y = l xT = l, y,T = 0 Ý = (1,-t,0), ^ = (1,0,0). ot 1 1 Odr + J ldr = rß = 1. a) O 6)0 Pokud si za křivku vybereme přímku x = r, y = r ^ Xr = hyT = i ^ f = (T) _T) Q) ; = (i51,0)^ / Odr = 0. i o Pokud se rozhodneme pro parabolu x = t, y = t2 ^ x,T = l, y,T = 2r ^ ^=(r2,-r,0), ^ = (l,2r,0) -r2dr r3 o 1 = _1 o 3- 3 Z tohoto výsledku vidíme, že výsledná hodnota integrálu závisí na zvolené cestě. Příklady k procvičení 1.1. Derivujte parciálně podle všech proměnných: f\ = c + x + y2 + z3, f2 = ctsin (xyz), h = ^ , kde r2 = x2 +y2 + z2. Příklady k procvičení 1.2. Najděte divergenci a rotaci vektorové pole \^ = lo (—y, x, 0). Příklady k procvičení 1.3. Dokažte identitu: ^ x x ~Ý\ — 2X^ = 0, kde ~Ý = (x, y, z) a \f je konstantní vektor. Příklady k procvičení 1.4. Dokažte identity ^ x (\?f) = x ~f + f) x V^, ^-(vV) = F^-T^+(VfVT^, kde ^ představuje obecné trojrozměrné vektorové pole a F obecnou funkci. Příklady k procvičení 1.5. Vypočtěte integrál po třech různých libovolných křivkách z bodu ~Ý = (0, 0, 0) do bodu ~Ý = (1,1,1). Vektorové pole je \f = (y, —x, z). Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 553-575 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 13-61 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 60-61, 76-79, 93-103 14 2 Elektrostatika 2.1 Coulombův zákon Elektrostatika studuje jevy spojené s časově neměnným elektrickým nábojem, který vyjadřuje vlastnost částic působit na sebe vzájemnou silou. Máme-li v určité vzdálenosti dvě nabitá tělesa (obsahující nenulový náboj), pak také na tato tělesa působí vzájemná elektrostatická síla. Jako příklad poslouží přitahování nabitých papírků s opačně nabitým balónkem či odpuzování nabitých vlasů (viz obrázek 4). f ' 7 Obrázek 4: Působení elektrostatického pole. Experimenty ukázaly, že pro případ dvou bodových nábojů Q velikost této síly závisí na druhé mocnině převrácené hodnoty vzdálenosti středů r těchto nábojů. Síla dále závisí na velikosti jednotlivých nábojů. Pro případ shodných znamének nábojů je síla odpudivá, pro případ opačných znamének nábojů naopak přitažlivá. Tento zákon se nazývá Coulombův zákon a znáte jej ve tvaru: b = ~a-7^—^2' 47T£0 \Ť2 - řl| kde 47T£o je konstanta určující velikost interakce, ři označuje polohový vektor prvního náboje a 7*2 polohový vektor druhého náboje, často se rozdíl těchto vektorů označuje jako ~Ý = ř| — ři ■ Vzdálenost nábojů označuje velikost rozdílu těchto vektorů r = jř^ — ři|. Síla je vektorová veličina, výraz lze upravit do vektorového tvaru. Vektory síly působící na částice s nábojem Qi a Q2 můžeme napsat jako Obrázek 5: Zakreslení vektorů r±, r2, r2 — r\. 15 Uvažujme nyní testovací častici s malým nábojem Qi = q a polohovým vektorem ři = ~Ý. Stejným způsobem upravíme Q2 = Q a řf = ~Ý'. Pojmem malý náboj myslíme takový náboj, jenž je zanedbatelný vůči ostatním nábojům, které leží v jeho okolí. Na tento náboj působí síla daná vztahem (6). Můžeme uvažovat nekonečné množství nekonečně malých nábojů (s celkovým nábojem vůči okolnímu zanedbatelným) ve všech bodech prostoru. Každému bodu tak přiřadíme vektor síly a dostaneme vektorové pole. Vzhledem k tomu, že náboje testovacích částic jsou malé, i vektory síly působící na testovací částice budou malé. Jestliže vektor síly vydělíme nábojem testovacích částic, získáme novou veličinu, vektor elektrické intenzity —, který popisuje vektorové elektrické pole v blízkosti nabitého tělesa. Známější zápis tohoto vztahu vypadá takto: Pro případ bodového náboje lze odvodit F± = __(h_ Qi J-2 - r1/ Q Q 4tt£0 r2 - ri 4tveq \~Ý> — ~Ýr 47r£o \~Ý — ~Ý' tedy Q 4tt£0 |3 • (7) Připomeňme, že ~Ý' značí polohový vektor zdroje o náboji Qa?" polohový vektor místa, kde chceme znát vektor elektrické intenzity, často se zdrojový náboj vloží do počátku souřadnicové soustavy - pak ~Ý' = (0, 0, 0) : -^ = _Q_^_ -f = Qq ^ 47r£o ' 47r£o r3 Výpočtem velikosti těchto vektorů získáme dobře známé vztahy ze střední školy Q r, Qq E F 2" Obrázek 6: Velikost vektoru elektrické intenzity v blízkosti bodového náboje. 16 Př. 2.1. Zadání: Uvažujte dva stejné bodové náboje o shodné hmotnosti a shodném náboji. Náboje jsou od sebe vzdáleny r. Jaký musí být poměr mezi nábojem a hmotností, aby se elektrostatická síla vykompenzovala s gravitační? Nepředpokládáme, že by v okolí nábojů byly ještě další zdroje elektrostatického či gravitačního pole. Řešení: Pro výpočet použijeme velikost vektoru síly v Coulombově zákonu (6) a Newtonově gravitačním zákonu Fq = G—^-y-2-, ^de mi = 1712 = m & Qi = Q2 = Q- Uvažujeme-li, že velikosti sil se rovnají, pak lze napsat Komentář: Tento podíl je velmi malé číslo. Elektrostatická interakce se projevuje dominantněji než interakce gravitační. Sílu gravitační můžeme pozorovat pouze díky tomu, že ve velkých měřítkách se součet kladných a záporných nábojů blíží nule, a tak i výsledná elektrostatická síla je blízká nule. I když Coulombův zákon a Newtonův gravitační zákon jsou si velice podobné, svou podstatou se naprosto liší. 2.2 Princip superpozice V elektromagnetismu platí jeden velmi důležitý princip. Nazývá se princip superpozice a vychází z toho, že diferenciální rovnice popisující vztah mezi zdrojem pole a polem samotným jsou lineární. Tento princip lze vyjádřit jednoduše tak, že pokud jeden zdroj vytváří vektorové pole A\ a druhý A2, pak výsledné pole okolo obou zdrojů je dáno součtem obou polí ~Á = A1+A2. Princip superpozice ve fyzice není samozřejmý (vezměme si například sčítání rychlostí relativisticky se pohybujících těles). Pro vektor elektrické intenzity princip superpozice platí. Pro případ mnoha nábojů Qí s polohovými vektory lze celkovou elektrickou intenzitu v bodě ~Ý zjistit ve tvaru ^ 1 ypQi(~r-rt') (g) 4tt£0 ^ VÝ - ÝAZ Př. 2.2. Zadání: Uvažujme čtverec o délce stran 2a, v jehož rozích jsou uloženy náboje. Uvažujme, že střed čtverce leží v počátku souřadnicové soustavy, jež je popsána osami x a y. Náboje v rozích se rovnají: Qi = Q v bodě (x, y) = (a, a) , Q2 = Q v bodě (x, y) = (a, —a) , Q3 = —IQ v bodě (x, y) = (—a, —a) , Q4 = —2Q v bodě (x, y) = (—a, a) (viz obrázek 7). Najděte vektor elektrické intenzity uprostřed čtverce. Určete jeho velikost. Řešení: Studujeme-li elektrickou intenzitu v počátku souřadnicové soustavy, lze uvažovat ~Ý = 0. Podle vztahu (8) můžeme napsat -g? Qi rj = Q (a,a) Q (1,1) 1 ~ 47T£0 17ti3 ~ ^ireo (a2 + a2)3/2 ~ 23/2 ' Stejným způsobem zjistíme i elektrické intenzity od zbylých zdrojů -ý Q (1,-1) -ý 2Q (-1,-1) -ý 2Q (-1,1) 2 47T£0a2 23/2 ' 3 4Tve0a2 23/2 ' 4 4Tve0a2 23/2 ' 17 y Obrázek 7: Intenzita v blízkosti čtyř nábojů. Princip superpozice říká, že výsledná intenzita je dána součtem jednotlivých elektrických intenzit t = 4^2^ K-2' -2) + (-^)-(M)-(l,-D] = 4a2(-^0). Velikost vektoru elektrické intenzity je rovna g . Q 3 4-keqcl2 ^2 Komentář: Vektor elektrické intenzity v počátku souřadnicové soustavy míří do záporného směru osy x. Tento závěr lze odhadnout na první pohled, uvážíte-li, že kladné náboje leží na poloze kladného x a záporné náboje na poloze záporného x. Naopak podél osy y je zdroj rozložen symetricky a složky se tudíž odečtou. 2.3 Elektrická intenzita obecného zdroje Uvažujeme-li systém malých spojitě rozložených nábojů dQ, z nichž každý generuje malé elektrické pole d~Ě, pak lze intenzitu od jednoho z malých nábojů zapsat ve tvaru d^= dQ CÝ-1») 47T£o \~Ý — 'Ý'f Stejně jako v předešlém případě ~Ý' označuje polohový vektor náboje dQ a ~Ý značí polohový vektor místa, kde chceme znát vektor elektrické intenzity. Díky principu superpozice lze najít celkovou výslednou elektrickou intenzitu jako součet jednotlivých intenzit. V případě nekonečného množství na sebe nalepených nekonečně malých částí lze od součtu ve vztahu (8) přejít 18 k integrálu t = J-í^-^f. (9) 47T£0 J [r - r'\ Uvažujme nyní tři typy rozložení náboje: • objemové: náboj se rozkládá v celém objemu, platí dQ = g (Ý') dV. • plošné: náboj pokrývá plochu, platí dQ = a (Ý1) dS'. • lineárni: náboj je rozložen na křivce, platí dQ = r (?') dľ. Je důležité si uvědomit, že hustoty (objemová g, plošná a, lineárni r) závisí na souřadnicích x', y', z'. Dané elementy dV', dS', dľ tyto souřadnice obsahují. Po zintegrování je elektrická intenzita funkcí pouze souřadnic x, y, z, polohy bodu, kde intenzitu studujeme. Př. 2.3. Zadání: Vypočtěte vektor elektrické intenzity ve vzdálenosti r od bodového náboje. Řešení: Je-li zdroj pole bodový, lze hustotu zapsat jako delta-funkci. Uvažujeme-li bodový náboj ležící v počátku souřadnicové soustavy, pak lze hustotu uvažovat ve tvaru g = 6CÝ') Q = ô (x') ô (y') ô (z') Q. Jak jsme uvedli, pro integrál z funkce vynásobený delta-funkcí platí f f (x) ô (x) dx = f (0). Celková elektrická intenzita je _ Q ľ (~Ý - ó (x') ó (y') ó (z') dx'dy'dz' Q ~Ý AlľEQ J \~Ý — ~Ý'f 47T£() |^|3 V případě posunutí bodového náboje z počátku souřadnicové soustavy do obecného bodu obdržíme opět vztah (7). Komentář: Působíme-li divergencí na získaný vektor elektrické intenzity, obdržíme opětovně delta-funkci vynásobenou konstantou (viz komentář příkladu 1.5) Ť$-t = ^4-3 = —(?) = -8 (?) = -• 4tt£0 |^|3 4tt£0 £o £0 Odtud vidíme význam konstanty 4tv v divergenci 3 v příkladu 1.5. 171 Divergencí lze obdobným způsobem působit i na rovnici (9) ^.^(-^) = J_ f ^. tlgf-Ť*) dV' = — í Attó(-Ý-^')e(-t')dV' = i^l. 47T£0 J |^_^'|3ťV ' 47T£o7 V t«\ t £Q Pomocí rovnice (9) můžeme vypočítat elektrickou intenzitu ze zdroje popsaného hustotou náboje g. Rovnice Ťf.t = ± (10) £0 popisuje cestu opačnou, zde známe intenzitu a zjišťujeme hustou. Rovnice (9) a (10) jsou si ekvivalentní. Rovnice (10) je první z Maxwellových rovnic a můžeme ji použít pro jakýkoli elektrostatický zdroj popsaný hustotou g. Tuto rovnici nazýváme Gaussův zákon v diferenciálním tvaru. 19 Př. 2.4. Zadání: Uvažujme homogenně nabitou úsečku o délce 2a ležící na ose x. Střed úsečky leží v počátku souřadnicové soustavy. Vypočtěte elektrickou intenzitu mimo úsečku a) na ose x b) na ose y (viz obrázek 8). Obrázek 8: Intenzita v blízkosti nabité tyče. Řešení: Element náboje rozložený na ose x zapíšeme ve tvaru dQ = rdx', kde r = tq pro x1 G (—a; a) a r = 0 pro x' G (—oo; —a) U (a; oo). Integrál pro výpočet elektrické intenzity pak lze zapsat jako součet tří integrálů s různými mezemi, z nichž jediný nenulový bude ten s mezemi x' G (—a; a). Polohový vektor zdroje nacházejícího se na ose x označíme ~Ý' = (x', 0, 0). a) V případě, že studujeme elektrickou intenzitu na ose x, lze napsat polohový vektor místa, kde studujeme intenzitu ve tvaru ~Ý = (x, 0, 0). Je zřejmé, že je-li zdroj rozložený na ose x, pak intenzita studovaná na ose x bude opět mířit ve směru osy x a zjevně Ey = 0 a Ez = 0. Uvažujme, že bod, kde studujeme elektrickou intenzitu, leží na kladné části osy x, tedy x > x'. Nenulová složka elektrické intenzity vyjde: 1 4tt£0 rT0dx' 70 dx' TO 1 4tt£0 J (x - x') 4tt£0 {x - x') 4tt£0 1 (x + a) TO 2a Q 1 47T£o x2 — a2 47T£o x2 — a2 Pro x >> a výraz přejde do Coulombova vztahu, kdy velikost vektoru elektrické intenzity závisí na převrácené hodnotě druhé mocniny vzdálenosti x. Pro x = a + e, kde £ je malé vůči a (x se blíží k a), je příspěvek od--- = - mnohem větší jako--- =---, proto (x — a) £ (x + a) (£ + 2a) se elektrická intenzita v tomto bodě přibližně rovná Ex T0 1 TO 1 47T£() {x 47T£() £ 20 b) Pro případ studia intenzity na ose y lze polohový vektor zapsat jako ~Ý = (0, y, 0) (zdroj bude opět (x', 0, 0)). Vzhledem k tomu, že z pohledu ze směru osy y je příklad levo-pravě symetrický, pro složky elektrické intenzity na ose y platí Ex = 0 a Ez = 0. Nenulovou složku elektrické intenzity druhého zadání vypočteme takto: En 4tt£0 y (x/2+y2)3/2 TQdx' TO 4tt£0 y^/x'2 +y2 47T£0 yVa2 + y2 yVa2 + y2 TO 2a Q 4tt£0 yVa2 + y2 47T£0 yVa2 + y2 Pro velké vzdálenosti od nabité úsečky y » a přejde výraz opět do Coulombova výrazu. Snadno si představíme, že v obou případech - jak a), tak b), se bude jevit úsečka ve velkých Q vzdálenostech jako bod. Pro y « a bude intenzita rovna Ev = -. Stejný výsledek Aireoya obdržíme, jestliže studujeme elektrickou intenzitu v blízkosti nekonečně dlouhé nabité přímky. V tomto případě nezávisí intenzita na převrácené druhé mocnině vzdálenosti, ale na mocnině první. Na základě experimentů bylo objeveno, že Coulombův zákon platí jak pro sférické zdroje, tak pro bodové zdroje. Tento fakt není bez hlubší úvahy samozřejmý. Můžeme jej však jednoduše dokázat. Př. 2.5. Zadání: Vypočtěte vektor elektrické intenzity ve vzdálenosti r od středu homogenně nabité koule (viz obrázek 9). Uvažujte |~ř^| > R. Řešení: Tento příklad lze vyřešit prostým dosazením do rovnice (9). Výpočty v obecném případě však budou relativně komplikované. Pro zjednodušení uvažujme, že střed koule leží v počátku souřadnicové soustavy a bod, ve kterém chceme intenzitu studovat, leží na ose z. (V případě, kdy se chceme zabývat jiným bodem než na ose z, celou soustavu můžeme natočit díky kulové symetrii.) Pro každou část koule s nenulovým x a y existuje stejná část koule ležící v poloze se zápornými hodnotami x a y. Díky tomu jsou složky Ex a Ey pro pozorovatele na ose z nulové (protilehlé příspěvky se díky principu superpozice vyruší). Jedinou nenulovou složkou zůstane Ez. Dosazením obdržíme -Ý - -Ý' = (-x', -y', z - z') [Ý -^'\2 =x'2+y'2+ (z-z')2 =r'2-2zz' + z2. z—ová složka vektoru elektrické intenzity bude rovna E =J_ ľ (z-z')dQ 47T£0i (r'2 -2zz' + z2)3/2' Uvažujeme-li homogenně nabitou kouli, lze element dQ zapsat jako dQ = gdV, kde g je funkcí x', y', a z'. Pro danou symetrii je výhodné používat sférické souřadnice. Hustota g tak závisí pouze na radiální souřadnici r'. V případě homogenně nabité koule pro r' < R zůstává hustota konstantní g = go, pro r' > R je hustota nulová, g = 0. Určitý integrál z nulové funkce se zase rovná nule. Integrál přes celou oblast lze rozdělit na dvě části v závislosti na tvaru hustoty /=/ + / = /• r' r'>r r'' G (0; 2tt) , 6' G (0; tt) . Při přechodu od kartézských souřadnic ke sférickým potřebujeme transformovat element dV' = dx'dy'dz'. K této transformaci se používá tzv. Jakobián. Například přechodem od souřadnic x, y, z na souřadnice a, b, c Jakobián nabývá tvaru absolutní hodnoty determinantu matice: / dx dx dx \ da db dc j = dy dy dy da db dc dz dz dz V da db dc I Integrál je v nových souřadnicích možno zapsat J f{-?)dV = j f(a,b, c)\J\dadbdc. Přechod z kartézských souřadnic do sférických lze zapsat ve tvaru x' = r' cos (((>') sin {0'). y' = r' sin (0') sin {0'). z' = r' cos (6'), 22 kde Jakobián nabude tvaru \J\ = r'2 sin (O1). z—ovou složku elektrické intenzity lze s těmito úpravami zapsat ve tvaru: 2tt tt r E, Qo 4tT£0 0 0 0 7T r 4tT£0 (z - r' cos (0')) sin (9') dr'd9'd' (r/2_2zr'cOS (0') + ^2)3/2 (z - r' cos (0')) sin (0') ár'á9' o o J2 (r/2 _ 2zr' cos (9') + z2)3/2 0 dř?' 2zr' cos + z = a, 2zr' sin da 4tt£0 (r'+z)2 i? r + aj r dr da 4z2a3/2 27rgQ 4tT£0 (r'-z)2 0 -2 (z2 - , Az2^/2 J2\ + 2a1/2' 4z2 i? 4Z2£0 1/2 1/2 r'dr' r'dr' a=(r'+z)2 a=(r' — z) a=(r'+z)2 a=(r' — z) V tuto chvíli je rozumné se pozastavit a zamyslet nad dosazením do mezí a. Dosadíme-li meze, získame odmocninu z mocniny \J(r' ± z)2 = \r' ± z| . Musíme rozlišovat, zda-li objekt v absolutní hodnotě je kladný, či záporný. Veličiny r' i z jsou dle zadání vždy kladné, tedy i jejich součet r' + z vyjde jako kladné číslo. V případě rozdílu je třeba uvažovat, jestli vyšetřujeme intenzitu uvnitř, či vně koule. Vně platí, že z > r', protože r' dosahuje maximálně hodnoty poloměru koule R < z. Zabýváme-li se intenzitou uvnitř koule, integrál rozdělíme na dvě části z > r' a z < r' (viz komentář). Pro studium intenzity vně koule platí: Qo Az2e0 r' + z (r' + z) + z r dr Qo 4z2e0 J [-4/] r'dr' Qo kde náboj Q koule můžeme vyjádřit Q = QqV 4z2e0 3 qq-ttR*. Q 4tVZ2£q Komentář: Z výsledku vidíme, že pro sférické zdroje elektrického pole platí Coulombův zákon stejně jako pro zdroje bodové. Výsledek lze při posunutí počátku a posunutí bodu, ve kterém měříme intenzitu É, zapsat ve tvaru (7). Výpočtem se dá dokázat, že kdybychom se zabývali intenzitou uvnitř koule R > z, příspěvky nacházející se nad z by ve výsledku byly nulové. Do elektrostatického pole by pak přispíval pouze zdroj nacházející se pod z. 23 y Obrázek 10: Elektrická intenzita v blízkosti nabitého prstence. Příklady k procvičení 2.1. Vypočtěte, jaký je poměr mezi elektrostatickou a gravitační silou působící v atomu vodíku mezi protonem a elektronem. Příklady k procvičení 2.2. Vypočtěte elektrickou intenzitu na ose nabitého tenkého prstence o náboji Q a délkové hustotě náboje r a poloměru R (viz obrázek 10). Příklady k procvičení 2.3. Uvažujte homogenně nabitý (plošná hustota náboje je a) tenký kruh o poloměru R ležící v rovině z = 0. Střed kruhu se nachází v bodě ~Ý = (0, 0, 0). Určete vektor elektrické intenzity na ose kruhu ve vzdálenosti z od středu kruhu. Příklady k procvičení 2.4. Uvažujte tlustou sférickou slupku o vnitřním a vnějším poloměru R\ a i?2- Slupka je homogenně nabitá s hustotou náboje g. Vypočtěte vektor elektrické intenzity v libovolném bodě uvnitř slupky r < R±. Příklady k procvičení 2.5. Uvažujte nabitý čtverec o délkové hustotě r a délce hran 2a. Jaká je elektrická intenzita na ose čtverce? Uvažujte, že střed čtverce leží v bodě ~Ý = (0, 0, 0) a rovina, ve které čtverec leží, je dána z = 0. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 17-27, 31-34, 43-46 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 63-67 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 21-43 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 22, 23 24 3 Skalární potenciál 3.1 Skalární potenciál bodového zdroje ~Ý 1 V příkladu 1.6 jsme uvedli, že výraz „ se rovná mínus gradient 7=57. Jestliže první výraz je I r j I r I úměrný vektoru elektrické intenzity bodového zdroje, pak druhý výraz může být úměrný jiné fyzikální veličině popisující bodový zdroj. Pokud tuto novou veličinu označíme íp, lze zapsat závislost mezi ip a E pomocí následujícího vztahu (ip je funkce souřadnic) ~Ě = -^ip. (11) Z této rovnice vyjádříme novou fyzikální veličinu - skalární potenciál: tp = - J ~É -d~Ý, (12) kde ~1 značí počáteční bod (bod, kde známe hodnotu potenciálu) a bod ~Ý určuje koncový bod (zde chceme zjistit hodnotu potenciálu). Díky identitám víme, že platí ^ x Vip = 0 = 0. Elektrostatická intenzita je pole konzervativní, výsledek integrálu (potenciál) nezávisí na integrační cestě (viz kapitola 1.4). Jednoduchým výpočtem odvodíme potenciál v bodě ~Ý od bodového náboje Q umístěného v bodě ~Ý' ve tvaru

> a. Řešení: Rozložení nábojů, jež bylo uvedeno v zadání, se nazývá elektrický dipól. Elektrickou intenzitu dipólu s polohovými vektory = (a, 0,0) a ~Ý'2 = (—a>0, 0) můžeme zapsat ve tvaru (viz obrázek 13 a)) 4tt£0 (x - a,y,z) (x + a,y,z) [x — a)2 +y2 + z2 3/2 [x + a)2 + y2 + z2 3/2 Siločáry (orientované křivky, ke kterým jsou vektory elektrické intenzity tečné) vblízkosti dipólu znázorňuje obrázek 13 b). Nyní studujme intenzitu na ose x, tedy y = 0, z = 0. Nachází-li se studovaný bod i oba náboje na ose x, pak i intenzita bude mít jedinou nenulovou složku Ex. Pokud se zabýváme intenzitou v bezprostřední blízkosti jednoho náboje, pak je intenzita od tohoto náboje větší 27 Obrázek 13: a) Intenzita v blízkosti elektrického dipólu, b) Siločáry elektrického dipólu v rovině z = 0 (nebo také v y = 0). jak od druhého, kterou lze zanedbat, pro x Q i r. Pokud studujeme 4tt£0 (x - a)2' intenzitu od obou nábojů mnohem dál, než je samotná vzdálenost těchto nábojů, vyjádříme intenzitu ve tvaru Q 47t£0 1 1 (x — a)2 (x + a)2 Q 47t£0 (x + a)2 — (x — a)2 (x — a)2 (x + a)2 Q 4tt£0 Axa (x — a)2 (x + a)2 4aQ Atteqx- 3 • Definujeme-li dipólový moment jako vektor daný rozdílem polohových vektorů jednotlivých nábojů vynásobený velikostí jednoho náboje d = Q(~Ý+ — ~Ý-) , tedy v našem případě 2~d d = Q (2a, 0, 0) , lze elektrickou intenzitu na ose x zapsat ve tvaru E =-^. 47reoxá Pro elektrickou intenzitu v rovině x = 0 platí 3 = -« -a,y,z) (a,y,z) 47t£0 \ [a2 + y2 + z2]3/2 [fl2 + y2 + z2]3/2 Q (-2a, 0,0) _ ~d 47t£0 [a2 +y2 + z2] 213/2 47t£0 [a2 + y2 + £2] 213/2- Potenciál se rovná Q 4tt£0 (x — a)2 A-y2 A- z2 1/2 (x + a)2 A-y2 A- z2 1/2 28 Obrázek 14: Řez ekvipotenciálními plochami elektrického dipólu v rovině z = 0 (nebo také v y = 0). Ekvipotenciální plochy (plochy konstantního potenciálu) zobrazuje obrázek 14 Platí-li y = 0, z = 0 & x » a, pak Q j 1 1 \_ Q 2a ^ \t\ ^ 47T£o \ (x — a) (x + a) / 47T£o x2 — a2 4tveqx2 Platí-li x = 0, pak Q I i___i ^ 47T£0 \ [a2 +y2 + z2] 1/2 [fl2 + y2 + ^2] 1/2 V rovině mezi náboji je potenciál nulový. Komentář: Z výpočtů vidíme, že pro velké vzdálenosti od dipólu klesá intenzita s třetí mocninou vzdálenosti. Elektrická intenzita v rovině x = 0 je kolmá na tuto rovinu. Proto, když se pohybujeme podél této roviny, nekonáme práci, napětí (pohybujeme-li se v této rovině) se rovná nule. Potenciál je stejný ve všech bodech této roviny a to i v nekonečnu, kde je potenciál nulový. Ke zjištění potenciálu na ose x lze použít i integrální rovnici (12) ľ , ľ 4aQ 2aQ

R. Řešení: Pro jednoduchost si počátek souřadnicové soustavy zvolíme ve středu koule. Stejně jako v případě elektrické intenzity, v blízkosti nabité koule si natočíme souřadnicový systém tak, aby polohový vektor byl ve tvaru ~Ý = (0, 0, z), to lze provést díky sférické symetrii zadání. Uvažujeme-li objemové rozložení náboje, lze element náboje napsat ve tvaru dQ = g ("ř^') dV. 30 Stejně jako v případě výpočtu elektrické intenzity zavedeme sférické souřadnice u čárkovaných souřadnic d V = r'2 s'm(9') dr'd9'd(j)'. Uvažujeme-li homogenně nabitou kouli, je rozložení náboje g = go pro r' < R a g = 0 pro r' > R. Interval integrálu rozdělíme na dvě části, z nichž integrál obsahující interval r' G (R; oo) se rovná nule (to plyne z nulovosti hustoty v daném intervalu). Určitý integrál z nuly je opět nula. Potenciál vyjádříme vztahem 2tt tt r 1 4tt£0 2tt£o ooo 7T r g0r'2 sin {&) drdffdtf (r/2 _ 2zr' cos (9') +z2)1/2 r'2 sin (0') dr'd9' + K 47T£0 J J (r o o v r 12 2zr' cos (9') + z 2^/2 + K 47T50 J zk \ ) ) 0 r ŽTTgQ ľ / 47T£0 7 z 0 zde opět uvažujeme z > R dostaneme: (r'2 + 2zr' + z z - r' > 0 2\l/2 „'2 -2zr' + z2)1/2 dr' + K, z — r'. Vrátíme-li se zpět k výpočtům, ')] dr' + K = 2ivgQ f r' 4tt£0 [z — r r 27rg0 [2r12 , 27rg0 2r>3 dr + K 47T£o j z 0 47T£() 3z r 2Tvg0 2R3 + K q 47T£o 3z + K Q Atteqz + K, 4: o kde jsme použili pro výpočet náboje homogenní koule vztah Q = — Qo^R • o Komentář: Natočíme-li výsledek opět do obecného úhlu 9 a , obdržíme jej ve tvaru ip =-^ _k + K, jenž je na studovaném intervalu identický s potenciálem bodového náboje 47r£o | r | nacházejícím se v počátku souřadnicové soustavy. Př. 3.4. Zadání: Určete potenciál v blízkosti nabité nekonečně tenké kružnice o poloměru R, jejíž střed leží v počátku souřadnicového systému. Potenciál vyšetřujte na ose z, která je osou symetrie kružnice. Potenciál v nekonečnu uvažujte jako nulový. Délková hustota kružnice je tq. Řešení: Díky symetrii problému zavedeme válcové souřadnice. Kružnice se nachází na souřadnicích ~Ý' = (i? cos i?sin (/)', 0). Připomeňme, že pro studovaný bod na ose z platí ~Ý = (0,0, z). Pro element náboje platí dQ = rodí = r^Rdcf). Element délky dl kružnice běží 31 od 0 do obvodu kružnice 2-kR. Úhlový element d(f> běží od 0 do 2ir, proto přepočet dl = Rd(f>. Konstanta K bude, stejně jako v předešlých případech, nulová. Potenciál spočteme TQRdcf) 1 f TQRdcf) AttEqJ (x/2+y/2+z2)l/2 AttEqJ íR2 + Z2\v2 2ttRt0 Q 4lT£o(R2 +Z2)1/2 4lT£o(R2 + Z2)1/2' Q Pro z >> R přejde výraz opět do Coulombovského potenciálu ip A-KEqZ 3.3 Ekvipotenciální plochy Uvažujme plochy, na kterých je potenciál konstantní ( R, tak uvnitř koule R > r. Řešení: Myšlená Gaussova plocha musí nabývat stejné symetrie jako rozložení náboje. Je-li rozložení zdroje sférické, nutně musí být Gaussova plocha také sférická. Pro plochu sférické slupky o poloměru r platí S = Aur2. Vně koule se výsledná velikost elektrické intenzity se dle výrazu (17) rovná E = —%—. Tento výsledek je ve shodě s výsledkem v příkladu 2.5. 47TrZ£Q Pro R > r Gaussova plocha leží uvnitř koule. Náboj ležící uvnitř této myšlené plochy však 4 4 již nedosahuje q = -7rR3g, ale pouze Qcauss = t^t^Q- Výsledná velikost elektrické intenzity se pak podle výrazu (17) rovná 4 3 E = QGauss = = gr_ = _Qr_ Seo 47rr2£o 3eo 47ri?3£o Komentář: Z výsledku je zřejmé, že vyšetřujeme-li elektrickou intenzitu uvnitř koule, tak intenzita roste úměrně s radiální vzdáleností. Dosáhneme-li poloměru R, tak pro r > R i R > r je intenzita totožná. Vně koule intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti. 36 Př. 4.2. Zadání: Uvažujte nabitou kouli o hustotě náboje g = Ar uvnitř poloměru R a g = 0 vně poloměru R. Vypočtěte náboj (nacházející se pod poloměrem r), intenzitu a potenciál v závislosti na radiální vzdálenosti r. Řešení: Náboj nacházející se pod poloměrem r < R je r Q (r R) = irAR4. Intenzita uvnitř koule je díky Gaussovu zákonu rovna 0P = ^ = AP_ Se0 47rr2£0 4e0 Analogicky intenzita vně koule je Q irAR4 AR4 E (r > R) Seo 47rr2£o 4r2£o Intenzita vně koule, jak lze očekávat, klesá s druhou mocninou vzdálenosti. Lze ukázat prostým dosazením r = R, že intenzita je na přechodu (vnějšek, vnitřek koule) spojitá funkce. Potenciál získáme integrací intenzity (pirR) = - / -r^dr =--+ C2. J 4r2£0 4r£0 Položíme-li potenciál v nekonečnu rovnu nule, pak C2 = 0. Aby byl potenciál na přechodu r = R spojitý, musí platit íp(r < R) = tp(r > R), tedy AR3 „ AR3 „ AR3 12£0 4£0 3£0 Konečný tvar potenciálu je Ar3 AR3 R) = -:-• 4r£0 Př. 4.3. Zadání: Uvažujte nabitý nekonečně dlouhý plný válec o poloměru R (viz obrázek 18) s konstantní hustotou náboje g. Jaká je elektrická intenzita ve vzdálenosti r od osy válce? Uvažujme obě možnosti, atorfí. Řešení: Myšlená Gaussova plocha má stejnou symetrii jako rozložení náboje, má tvar povrchu nekonečně dlouhého válce. Vliv podstav můžeme zanedbat, protože jsou nekonečně 37 daleko. Uvažujme nejprve r > R. Velikost náboje uvnitř nekonečně dlouhého válce nabývá Q = qIttR2, kde l značí délku nekonečně dlouhého válce. Velikost Gaussovy válcové plochy vypočteme jako S = 2irrl. Intenzita mimo válec vyjde E = ^—^— = ^ . V případě r < R lze vyjádřit náboj uvnitř Gaussovy plochy ve tvaru Q válce íe E = —. J 2e0 2irrÍ£o 2reo glirr2. Elektrická intenzita uvnitř Obrázek 18: Gaussova plocha okolo nabitého válce. Př. 4.4. Zadání: Uvažujme nekonečně dlouhý nabitý drát o délkové hustotě r. Vypočtěte velikost elektrické intenzity ve vzdálenosti r od tohoto drátu. Řešení: Myšlená Gaussova plocha má v tomto případě opět tvar válcové plochy S = 2iľri. Q tI t Elektrická intenzita vychází E = —— £qS Ef)2-Krl Ef)2-Kr Př. 4.5. Zadání: Uvažujme nekonečně velkou a nekonečně tenkou nabitou desku s plošnou hustotu náboje a. Řešení: Gaussova plocha obalující nekonečně velký plošně rozložený náboj se skládá ze dvou nekonečně velkých ploch. Náboj plochy se rovná Q = aba, kde a a b značí šířku a délku plochy. Gaussovu plochu vypočteme jako S = 2ab. Elektrická intenzita vychází E = -—. 2e0 38 Př. 4.6. Zadání: Uvažujme dvě velké a tenké nabité rovnoběžné desky s opačným nábojem o plošné hustotě náboje desek ±a. Určete elektrickou intenzitu mezi deskami a mimo ně. Řešení: Uvažujme bod P nacházející se mezi deskami. Nechť se v blízkosti bodu P nachází nejprve pouze jedna deska. Intenzita od této desky se v bodě P, jak jsme již uvedli, rovná E = -—. Pokud je deska kladně nabitá, horizontálně orientovaná a bod P leží nad ní, intenzita míří směrem nahoru. Pokud je deska záporně nabitá, horizontálně orientovaná a bod P leží pod ní, pak vektor intenzity směřuje opět směrem nahoru. Uvažujeme-li dvě desky, jednu nad bodem P (ta záporná) a druhou pod bodem P (ta kladná), pak díky principu superpozice lze zjistit, že velikost elektrické intenzity v tomto bodě vychází E = —. Intenzita mimo desky £0 vyjde kvůli principu superpozice nulová. Př. 4.7. Zadání: Jaké je napětí mezi dvěma nekonečně dlouhými válcovými plechy o poloměrech Ri a i?2 (Ri < R2) a plošných nábojích o\ a 02? Osy válců leží na stejné přímce. Určete kapacitu takto vytvořeného kondenzátoru. Řešení: Dle Gaussova zákona E = = = ^3: Napětí indukované válcovitě D£o 27rrí£o r£o rozloženým nábojem lze spočítat jako U = j Edr. Informace o náboji na vnějším plechu Ri zjevně není pro zjištění napětí důležitá. Vnější válec uvnitř sebe napětí nezpůsobuje, protože napětí je dáno integrálem z intenzity, která v tomto prostoru závisí na hustotě náboje na vnitřní elektrodě a na jejím poloměru. Napětí vyjde U = Ul^1 f -dr = ^J—L m £0 Rl r £0 Ri Kapacitu kondenzátoru definujeme jako C = —. Tedy C =-£° „ = — U n , n2 R2 aiRi ln — ln — ti\ ti\ Komentář: Tento výsledek není potřeba nutně považovat jako nefyzikální z důvodu, že l —> 00, a tedy C —> 00. Pro l » AR je možné uvažovat s výsledkem C = —f^- jako velmi dobrou aproximací popisující reálný případ konečně dlouhého válcového kondenzátoru o délce l. Př. 4.8. Zadání: Uvažujte tlustou nekonečně dlouhou válcovou slupku o konstantní hustotě náboje g, vnitřním a vnějším poloměr R± a i?2- Vypočtěte velikost elektrické intenzity a potenciál v závislosti na vzdálenosti od osy symetrie r. Tyto závislosti zakreslete do grafu. Řešení: Z Gaussova zákona je zřejmé, že uvnitř slupky je intenzita nulová Fr2 — a2, 2p2 cos p> sin p>, 0) ar (p2 cos 2p> — a2,p2 sin 2p>, 0) 7t£0 (x - a)2 + y2 [x + a)2 + y2 7t£0 (x - a)2 + y2 [x + a)2 + y2 Jestliže uvažujeme, že p » a, pak (x + a) + y2 = x2 + y2 = p2 a výsledná intenzita a její velikost se blíží —± . ar (cos 2ip, sin 2tp, 0) = -5-, -B ar 7t£o/9- ,2 • Komentář: Lze hledat analogii s případem dipólu. V případě monopolů klesají intenzity od jednotlivých pólů s druhou mocninou vzdálenosti. U dipólu však klesá intenzita s mocninou třetí. V tomto případě klesá intenzita od přímky s první mocninou vzdálenosti, u dvou přímek s opačným nábojem již s mocninou druhou. Velikost intenzity klesá se druhou mocninou vzdálenosti podobně jako v případě bodového náboje. 4.2 Vodiče v elektrickém poli Uvažujme, že vložíme vodič do elektrického pole. Elektrony ve vodiči se mohou pohybovat v rámci celého objemu. Pokud ideální vodič leží v elektrickém poli, náboje se pohybují, dokud 41 pole uvnitř vodiče nezmizí. Náboje (v reálném případě elektrony) jsou ve výsledku koncentrovány na povrchu vodiče tak, že uvnitř něj kompenzují vnější pole. Je-li elektrické pole uvnitř vodiče nulové, potenciál ve všech bodech vodiče nabývá konstantní hodnoty, a to bez ohledu na morfologii vodiče. Povrch vodiče s konstantním potenciálem lze považovat za ekvipoten-ciální plochu, viz předešlá kapitola. Jak jsme již zmínili, vektory elektrické intenzity (tedy i elektrické siločáry) svírají s ekvipotenciální plochou pravý úhel. Z výše uvedeného plyne: • vektory elektrické intenzity jsou vždy kolmé na povrch vodiče (viz první obrázek 21). • v dutině uvnitř vodiče nabývá elektrické pole nulové hodnoty (viz druhý obrázek 21), pokud se v ní ovšem nenachází jiný zdroj ~Ě. Obrázek 21: Vodič v elektrickém poli. Uvažujme plošně rozmístěný náboj. Na jedné straně plochy je nulové elektrické pole (vnitřek kovu) a na druhé nikoli (vnějšek kovu). Z Gaussova zákona vyplývá, že elektrickou intenzitu Q v bezprostřední blízkosti plochy lze zjistit pomocí E = ——. V tomto případě však je plocha, kterou prochází vektory elektrické intenzity, totožná s plochou, na které je rozmístěn náboj (nikoli dvojnásobek jak v případě intenzity v blízkosti nabité tenké desky). Dosazením Q = a S obdržíme rovnici E = —. (18) £0 Tento vztah neplatí pouze pro výše uvedený speciální případ, ale můžeme jej zobecnit. Plošná hustota pak již nebude konstantní, ale stane se funkcí souřadnic. Př. 4.10. Zadání: Uvažujme nekonečně velkou vodivou desku. Ve vzdálenosti a od desky se nachází kladný bodový elektrický náboj. Jaké je rozložení náboje na povrchu desky a jaké elektrické pole vzniká v okolí desky a bodového náboje? Řešení: Kladný bodový náboj generuje ve svém okolí elektrické pole i^. Záporné náboje uvnitř vodivé desky se přemístí směrem ke kladnému bodovému náboji a kladné náboje od- 42 tečou do nekonečna. V konečné oblasti desky tak zůstanou pouze záporné náboje „nalepené" na straně přilehlé ke kladnému bodovému náboji 2. Uvažujme, že deska leží v rovině yz (~Ý = (0, y, z)) a náboj leží na ose x v (x-ové) vzdálenosti a od desky (Ý' = (a, 0,0)). x-ová složka elektrické intenzity (generovaná bodovým nábojem) v rovině yz (tedy v (0, y, z)) je: E =_z^Q._ bX 4Tve0(y2 + z2 + a2f/2' Aby uvnitř desky byla intenzita pole nulová, musí být náboj na povrchu (strany ve směru k bodovému náboji) rozložen tak, aby kompenzoval elektrické pole bodového náboje. Jak jsme již zmínili, v celé oblasti nalevo od desky (opačné k té, na niž leží kladný náboj) se intenzita rovná nule. Deska (na levé straně) vytváří elektrické pole, které odpovídá poli bodového náboje o velikosti — Q situovaného do polohy (a, 0, 0), tedy do stejného místa, jako leží původní kladný náboj. Jinými slovy deska vytváří pole, které se jeví jako pole vytvořené původním nábojem, jen s opačným znaménkem. Součet polí dává pole nulové, které pozorujeme nalevo od desky. Pole náboje tvořené povrchem desky je zrcadlově symetrické. Jestliže pozorovatel na levé straně vnímá pole od desky tvořené jakoby bodovým nábojem ze strany pravé, to samé musí vnímat i pozorovatel na straně druhé (pravé). Pozorovatel měřící elektrickou intenzitu na straně desky, kde se nachází náboj, měří jak pole původního bodového náboje Q ležícího v (a, 0, 0), tak pole desky, které odpovídá náboji — Q v poloze (—a, 0, 0). Takové elektrické pole je identické elektrickému poli dipólu, viz obrázek 22. Obrázek 22: Elektrické pole náboje v blízkosti vodivé desky. 2Pro obhájení absence kladných nábojů v desce lze použít i jiný argument. Uvažujme vodivou kouli s kulovou dutinou. Dále uvažujme, že kulová dutina je jen o málo menší jak koule. Do blízkosti této koule vložíme bodový náboj, například kladný. Povrch koule v blízkosti kladného náboje se nabije záporně. Naopak odlehlá část se nabije kladně. Uvnitř dutiny je elektrická intenzita nulová a i plošný náboj na vnitřní stěně dutiny je nulový. Tuto kouli lze zvětšit donekonečna tak, že lze pozorovat jen nekonečně velkou stěnu přilehlou k bodovému náboji obsahující záporný náboj. Za touto stěnou bude intenzita nulová. 43 Z příkladu 3.2 víme, že elektrické pole dipólu v rovině x = 0 je rovno E -2aQ X 47T£0 [a2 +y2 + z2}3/2 ' Plošnou hustotu náboje lze díky rovnici (18) zjistit ve tvaru _ _—aQ_ a~ 2Tv{y2 +z2 +a2f2' Příklady k procvičení 4.1. Vypočtěte potenciál uvnitř a vně homogenně nabité koule o náboji Q a o poloměru R. Zakreslete do grafů velikost elektrické intenzity a potenciál v závislosti na radiální vzdálenosti, ověřte spojitost obou funkcí na rozhraní. Příklady k procvičení 4.2. Vypočtěte potenciál ze zadání příkladu 4.3 a nakreslete si závislost elektrické intenzity a potenciálu na radiální vzdálenosti do grafu a ověřte spojitost funkcí na rozhraní r = R. Uvažujte v bode ip (r = 0) = 0. Příklady k procvičení 4.3. Uvažujte nekonečně velkou vertikálně posazenou nabitou desku o hustotě náboje a. Deska se nachází v tíhovém poli s tíhovým zrychlením g. V blízkosti desky visí nabitá kulička o velikosti náboje Q a hmotnosti m. Délka závěsu je l. Vypočtěte vychýlení závěsu oproti vektoru tíhového pole. Příklady k procvičení 4.4. Jaké elektrické pole vzniká v okolí vodivé kulové tlusté slupky se středem v bodě (0, 0, 0), v jejíž dutině je uložen bodový náboj Q s polohovým vektorem (0, 0, z\)l Náboj neleží uprostřed kulové slupky. Kulová slupka má vnitřní a vnější poloměr R± a i?2- Intenzitu vyjádřete pro libovolné ~Ý, tedy i uvnitř dutiny a uvnitř kulové slupky. Příklady k procvičení 4.5. Určete potenciál v blízkosti a uvnitř nabité koule o poloměru R. Hustota náboje je dána g = kr, kde r je radiální vzdálenost od středu koule. Potenciál v nekonečnu uvažujte jako nulový. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 34-38, 46-50, 52-61, 86-92 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 72-78, 82-95, 109-113 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 43-60, 109-122 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 24 44 5 Kondenzátory 5.1 Kapacita Uvažujme elektrické zařízení, ve kterém chceme skladovat elektrický náboj. Takové zařízení vytváří ve svém okolí elektrické pole. Na jednom místě tohoto zařízení skladujeme kladný náboj a na jiném záporný. V okolí obou míst, kde skladujeme náboj, je elektrický potenciál funkcí polohového vektoru. Rozdíl potenciálů (mezi místy, kde skladujeme náboje) vyjadřuje elektrické napětí. Definujme si kapacitu kondenzátoru C, jež vyjadřuje poměr skladovaného náboje ku napětí C = §. (19) Elektrické zařízení se jmenuje kondenzátor a oblast, ve které se skladuje náboj, označujme elektroda. Př. 5.1. Zadání: Vypočtete kapacitu deskového kondenzátoru o ploše S, vzdálenosti desek d a povrchovém náboji a. Uvažujte, že desky kondenzátoru jsou si velice blízko. U S Obrázek 23: Přibližný nákres deskového kondenzátoru Řešení: Z Gaussovy věty víme, že intenzitu v blízkosti nabité desky o nekonečné velikosti vyjádříme vztahem E = -—. Uvažujeme-li desky dvě (s opačným nábojem, ale stejnou 2e0 velikostí náboje), existuje mezi nimi dvojnásobná intenzita E = —. Pokud jsou si desky dostalo tečně blízko, můžeme zanedbat, že jsou konečné, a uvažovat o nich jako nekonečných. Napětí spočteme jako dráhový integrál z intenzity U = J E d r . Zvolíme-li dráhu ve směru elektrické o intenzity (což může být náš případ), můžeme v integrálu uvedené vektory nahradit velikostmi d U = f Edr. V tomto případě intenzita E na poloze nezáleží, integrál vyjádříme jako U = Ed. o Celkový náboj jedné z elektrod se rovná plošné hustotě náboje a krát plocha S, tedy Q = Sa. Kapacita deskového kondenzátoru se dle definice (19) rovná n - Sa d ' (20) 45 Př. 5.2. Zadání: Vypočtěte kapacitu dvou soustředných kulových slupek. Použijte limitu, kdy vnější kulová slupka je nekonečně velká. Řešení: Z minulých kapitol víme, že pro potenciál v okolí bodového či sférického náboje (uvažujme-li, že střed koule je v počátku souřadnicové soustavy) platí íp = -7—^—. Rozdíl potenciálů v polohách R\ a R2 bude U Qi 1 1 Ř~2 Všimněme si, že vnější slupka Atteq \Rl nepřispívá do pole mezi slupkami (výraz obsahuje pouze náboj Qi). Kapacita takového kon denzátoru se rovná _ Atvcq C~ 'J__± R± i?2, V případě poloměru vnější slupky jdoucí do nekonečna R2 zátoru (či osamocené koule) spočte C = Att£qRi. 00 se kapacita kulového konden- 5.2 Kapacita soustavy kondenzátoru Uvažujme paralelní zapojení kondenzátoru (viz obrázek 24 a)). Na každém kondenzátoru je stejné napětí. Díky rozdílné kapacitě se na jednotlivé kondenzátory přivede různé množství náboje Qí. Celkový náboj pak bude dán součtem jednotlivých nábojů q = Y.Q* = Y.uc* = uY.c* = uc C = EC- Výsledná rovnice vyjadřuje výpočet celkové kapacity soustavy libovolných kondenzátoru zapojených paralelně. a) "1 "2 I u3 u2 u. Obrázek 24: Paralelní a) a sériové b) zapojení kondenzátoru. Uvažujme nyní kondenzátory, které zapojíme za sebou, tedy do série (viz obr 24 b.). Na vodičích mezi jednotlivými deskami kondenzátoru se napětí rovná nule. Kdyby bylo nenulové, protékal by vodiči proud, dokud by se desky kondenzátoru nenabily. Naopak v mezerách mezi elektrodami napětí odpovídá Uí = Q/Ci. Náboj na všech deskách je stejně velký, jen s různými znaménky. Každý pár desek má celkový náboj nula. Představme si, že soustavu takovýchto kondenzátoru zavřeme do krabičky. Měříme-li celkové napětí (celkový rozdíl jednotlivých potenciálů), zjistíme, že se rovná součtu jednotlivých napětí na kondenzátorech U = J2Uí. 46 Dosadíme-li do této rovnice za jednotlivá napětí U i = Q/Ci, za celkové napětí U = Q/C a na obou stranách podělíme nábojem, obdržíme vztah pro kondenzátory zapojené do série -=y- C ^ d1 kde Cí vyjadřuje kapacitu jednotlivých kondenzátoru zapojených do série. Kondenzátor si lze představit jako vodní přehradu. Potenciál si představme jako hladinu vody, napětí jako rozdíl dvou hladin. Kondenzátor udržuje rozdíly hladin. Nad přehradou je hladina všude stejná a pod ní také. Pokud budeme stavět přehrady za sebe (sériově), rozdíl hladiny pod poslední přehradou a nad první je roven součtu jednotlivých rozdílů hladin u jednotlivých přehrad (zde bude fungovat vztah se součtem napětí). Naopak postavíme-li přehrady vedle sebe (paralelně), vody se do nich vejde více. Celková kapacita spojené přehrady (množství vody, jež se vejde do přehrady) se vypočte jako součet jednotlivých kapacit přehrad. Př. 5.3. Zadání: Uvažujme opět deskový kondenzátor zapojený v jednoduchém obvodu se zdrojem napětí. Uvažujme, že zdroj napětí je na počátku vypnutý. Poté jej skokově zapneme na elektromotorické napětí £. Napětí po obvodu postupně přesouvá náboje na desky kondenzátoru. Jakou práci vynaloží zdroj napětí na nabití kondenzátoru nábojem Qc? Řešení: Uvědomme si, že náboj na elektrodách se bude (od okamžiku zapnutí zdroje napětí) s časem zvětšovat, dokud nenastane situace kdy ve všech částech obvodu bude napětí nulové a nenulové bude jen mezi deskami kondenzátoru (případně na zdroji samotném, jenž v kondenzátoru udržuje napětí). Náboj na elektrodách se ustálí na hodnotě Qc = C£. Již dříve (viz tab. 3.1) jsme uvedli, že práci potřebnou k přenesení konstantního náboje Q v konstantním poli U získáme ze vztahu W = QU. Uvažujme, že přenášíme náboj po náboji. Přenesením náboje se pole U změní. Tento vztah již nelze použít. Pro infinitezimálně malou práci platí dW = UdQ. Sečteme-li práci přes všechny náboje, Qc obdržíme W = f UdQ. Kapacita deskového kondenzátoru je konstanta. Napětí na deskách o kondenzátoru v tomto integrálu vyjádříme jako funkci náboje U = ^ a zintegrujeme o Komentář: Rozlišujme mezi: napětí na deskách kondenzátoru U a elektromotorické napětí na zdroji £. Napětí na deskách závisí na nábojích, jež leží na deskách. Elektromotorické napětí na zdroji je vlastností zdroje. Zdroj napětí si můžeme představit jako čerpadlo, jež čerpá vodu z místa pod přehradou do místa nad ní. V našem případě jsme počáteční stav zvolili tak, že hladiny před hrází a za ní byly ve stejné výšce, čerpadlo zprvu nevykonalo příliš velkou práci 3Zdroj vynaloží ve skutečnosti práci větší než je ^C£2. Příčina je v skokovém zapojení £. Zdroj i kondenzátor má v principu L / 0 (viz kap. 11) a R / 0. Takže by obvod konal tlumené kmyty a vyzařoval elektromagnetickou vlnu. 47 na přečerpání vody. Postupem času se hladina za hrází zvyšovala a před ní snižovala, čerpadlo pracovalo stále proti většímu tlaku (výkon čerpadla rostl). Nakonec byl rozdíl hladin tak vysoký, že čerpadlo nebylo schopno přenést sebemenší objem vody (ekvivalentní elementárnímu náboji), výkon byl maximální. Poté rozdíl hladin přesně odpovídal schopnostem čerpadla, tedy U = £ (viz obrázek 25). Z příkladu je vidět, že elektromotorické napětí hladinu (potenciál) zvyšuje, naproti tomu kondenzátor (nebo rezistor) hladinu (potenciál) snižuje. Jinými slovy změna potenciálu na zdroji napětí, vzhledem ke změně potenciálu na rezistoru a kondenzátoru v jednoduchém obvodu, je opačná. Obrázek 25: Práce vykonaná nabíjením kondenzátoru. Př. 5.4. Zadání: Uvažujme nabitý deskový kondenzátor na napětí U. Jakou musíme vykonat práci, abychom desky vzdálili do určité konečné vzdálenosti? Zanedbejte nehomogenity pole na okraji. Řešení: Velikost síly mezi deskami obdržíme ze vztahu F = QE/2. Polovina proto, že do celkové intenzity mezi deskami přispívají obě desky, ale silově na jednu působí jen ta druhá a naopak. Pole, jež vytváří deska kupříkladu kladná, působí přitažlivou silou jen na desku zápornou (nikoli opět na kladnou). Elektrické pole mezi deskami kondenzátoru závisí pouze na plošné hustotě náboje. Zafixujeme-li napětí na kondenzátoru, elektrické pole bude záviset na vzdálenosti desek E = U/d, kde d značí vzdálenost desek (d je proměnná). Kapacitu deskového kondenzátoru vyjádříme C = Seo/d. Dosazením dostaneme p _ 9E- - 9El - S£°u2 ~ ~2d ~ 2d ~ 2d? Práci, kterou musíme vykonat pro oddálení desek kondenzátoru, vypočteme pomocí dráhového integrálu ze síly, kterou na desku působíme (vzhledem k pohybu desek rovnoběžnému s vektorem síly můžeme psát skaláry namísto vektorů ve skalárním součinu) d.2 d,2 j w Ít?m ľS£ou\j SsolPd2 1 2/l 1\ 1 2 ACU2 W = JFdd = J^dd = -^ď- d=2S£oU U"^J = 2(Cl"C2)f/ =--— di di 48 kde Ci a C2 značí počáteční a konečnou kapacitu kondenzátoru. Tím jsme získali množství práce, již musíme vynaložit k oddálení dvou elektrod deskového kondenzátoru. Komentář: Aby zůstalo napětí konstantní (podle vztahu U = Ed), tak se zvětšující se vzdáleností se kondenzátor vybíjí. Při vybíjení získáváme elektrickou energii. Při konstantním napětí se změna energie rovná AE = - J UdQ = -U (Q2 -Qi) = - (C2 - Ci) U2 = -ACU2. Qi Odečteme-li získanou změnu elektrické energie od práce, kterou vykonáme k oddálení desek, obdržíme práci jež vybíjející se kondenzátor vykoná W = — -ACU2. Energie získaná z vybití je větší jak energie vynaložená k oddálení desek a rozdíl je právě uvedený vztah. Výše uvedené závěry očekáváme, uvážíme-li, že při vybití kondenzátoru o kapacitě C\ získáme energii -Cič72. Nenabité desky můžeme poté od sebe vzdálit bez vykonání jakékoli práce. Opětovným nabitím tak, aby vzniklo napětí U, vynaložíme energii -C2U2. Rozdíl obou energií je — ^ACU2. Př. 5.5. Zadání: Uvažujme opět nabité desky kondenzátoru. Na deskách uvažujme tentokráte konstantní náboj. Jakou musíme vykonat práci, abychom desky vzdálili do nějaké vzdálenosti? Okrajové podmínky zanedbejme. Řešení: Práce potřebná k odtrhnutí dvou nabitých desek se rovná Příklady k procvičení 5.1. Vypočtěte kapacitu kondenzátoru tvořeného dvěma kruhovými deskami o poloměru R. Kruhy jsou planparalelní a jejich středy leží na ose z, kladný v bodě —a a záporný v bodě a. Uvažujte, že pro kruhy platí a » R. Dále uvažujte, že plošná hustota náboje a na deskách je konstantní (požadavek konstantního a je v reálném případě obtížně splnitelný). Příklady k procvičení 5.2. Uvažujte homogenně nabitý (plošná hustota náboje je a) tenký kruh o poloměru R. Jaká je kapacita kruhu oproti nekonečnu? Příklady k procvičení 5.3. Vypočtete zapojení kondenzátoru z prvního obrázku 26, kde každý kondenzátor má kapacitu C. 49 Obrázek 26: Zapojení kondenzátoru. Příklady k procvičení 5.4. Uvažujte zapojení z druhého obrázku 26. Jaké má zapojení celkovou kapacitu, je-li kapacita všech kondenzátoru rovna C? Příklady k procvičení 5.5. Uvažujte kondenzátor tvořený dvěma polokruhovými disky o poloměru R. Disky se mohu vůči sobě otáčet kolem osy (osy kruhů, které doplňují polokruhy) - viz obrázek 27. Na desky kondenzátoru je přivedeno konstantní napětí U. Určete velikost momentu síly, pokud disky vychýlíte o úhel a. Uvažujte R << d, kde d je vzdálenost disků. Obrázek 27: Polokruhový kondenzátor. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 98-109 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 114-116, 142-145 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 122-134, 137-138 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 26 (26.1 - 26.5) 50 6 Dielektrika 6.1 Dielektrika v homogenním poli Z pohledu elektrických vlastností je možné látky rozdělit do dvou skupin: vodiče, polovodiče (kterými se zabývat nebudeme) a dielektrika. Vodiče obsahují volné náboje, ty se mohou v objemu látky volně pohybovat. Vložíme-li vodič do vnějšího elektrického pole Eq, náboje se přemístí tak, aby elektrické pole uvnitř látky zcela odstranily. Látky obsahující vázané náboje, které se nemohou volně pohybovat, se nazývají dielektrika. V principu lze rozdělit dielektrika na polární a nepolární. Polární dielektrika obsahují nenulové elektrické dipóly, které existují i bez působení vnějšího pole. Příkladem polárních dielektrik je voda4. V polárním dielektriku bez vnějšího pole jsou směry dipólů náhodné. Jakmile dielektrikum vložíme do vnějšího elektrického pole ~Ěq, například mezi elektrody, kladné části dipólů se natočí ve směru k záporným elektrodám a záporné části směrem ke kladným. Proto se elektrické pole uvnitř dielektrika zeslabí. V nepolárních dielektricích dipóly vznikají až přítomností vnějšího elektrického pole. Uvažujme krystalovou mřížku pro jednoduchost jednoatomové látky. Jednotlivé neutrální atomy se skládají ze záporného obalu (v obrázku 28 modrá koule) a kladného jádra (v obrázku 28 červený bod). V případě přítomnosti vnějšího elektrického pole E q se jádro vzhledem k obalu vychýlí. V látce vzniknou elektrické dipóly, které stíní vnější elektrické pole (viz krychle a. v obrázcích 28). Polární dielektrika mívají zpravidla větší permitivitu (více stíní vnější pole) jak dielektrika nepolární. Na povrchu, kde elektrické siločáry vystupují nebo vstupují do dielektrika, jsou náboje mírně vysunuté (v krychli b. je více záporných nábojů a v krychli c. je více kladných nábojů). Na povrchu dielektrika vzniká plošná hustota náboje, jež přispívá ke stínění vnějšího pole. ľč oooo oooo oooo oooo OOOO oooo oooo oooo F=0 F*0 LAJ E*0 Obrázek 28: Představa atomů nepolárního dielektrika v elektrickém poli. Jestliže na jedné straně dielektrika se indukuje kladný náboj a na druhé straně náboj záporný, má dielektrikum jako celek v elektrickém poli dipólový charakter, který lze experimentálně ověřit. Výsledný dipólový moment (viz příklad 3.2) daného objemu dielektrika je dán objemovým integrálem vektoru elektrické polarizace. dV. (21) 4Voda je tříatomová molekula složená ze dvou atomů vodíku a jednoho atomu kyslíku. Atom kyslíku na sebe váže elektrony silněji než atomy vodíku. Proto jsou v molekule vody atomy vodíku nabité kladně a atomy kyslíku záporně. Díky nesymetrii molekuly vody (spojnice obou vodíků s atomem kyslíku spolu svírají úhel 104°) vzniká elektrický dipól. 51 Tento vztah implicitně definuje vektor polarizace, který lze chápat jako objemovou hustotu dipólového momentu. 6.2 Vektor elektrické indukce Uvažujme elektrické pole, do kterého vložíme dielektrikum. Elektrické pole dielektrikum polarizuje. Tuto polarizaci popisuje vektor i^. Uvažujme uzavřenou plochu a na ní vektorové pole tvořené vektory polarizace. Integrál přes uzavřenou plochu bude roven úbytku náboje uvnitř plochy způsobený polarizací dielektrika. Pro jednoduchost si představme bodový náboj, například záporný, obklopený dielektrikem. Záporný náboj přitáhne k sobě kladné náboje a odpudí záporné. Když kolem náboje vytvoříme uzavřenou plochu (viz obrázek 29), skrze tuto plochu budou vytlačeny záporné náboje a vtáhnuty ty kladné. Míra vtáhnutí či vytlačení pak bude dána vektorem polarizace na této ploše. Celkový přebytek náboje, který se díky dielektrické povaze látky uvnitř plo- Obrázek 29: Nehomogenní polarizace dielektrika. chy objeví, bude dán součtem všech částí plochy vynásobené vektorem polarizace. Použitím infinitezimálního počtu obdržíme AQpoi = - s V tomto výrazu jsme použili označení dŠ = n dS, kde n je vektor kolmý na plochu S. Znaménko mínus zde vystupuje proto, že dovnitř plochy S jsou vtahovány náboje opačného znaménka, než je znaménko náboje, které primární pole vytváří. Uvnitř plochy pak vzniká nenulová hustota náboje, která souvisí s nábojem dle vztahu AQpoi = J QpoidV. Použitím v Gaussovy věty z kapitoly 4.1 obdržíme f Což nám umožňuje spojit oba výrazy pro náboj do rovnice J QVo^V = - J ^ ■ fdV gpol = -^-Ť. (22) v v 52 Oproti Gaussovu zákonu (10) je v rovnici (22) záporné znaménko. To lze interpretovat tím způsobem, že kladný náboj se posouvá ve směru vektoru polarizace (v obrázku 29 směrem k zápornému náboji). Polarizace dielektrika jakoby stíní původní náboj (popsaný g) generující elektrické pole. Výsledné elektrické pole je pak slabší, než kdybychom dielektrikum neuvažovali. Bude třeba upravit Gaussův zákon, ve výše uvedeném tvaru (10), který přestává v dielektriku platit. Divergence elektrické intenzity nyní bude dána jak nábojem generujícím pole, tak i nábojem vzniklým polarizací dielektrika Definujeme-li novou veličinu, vektor elektrické indukce, jako ~Ů = ^dieieo + ^, (23) dostaneme upravený Gaussův zákon (10) ve tvaru ^ -~Ď = q. (24) V případě obecné dielektrické látky přestává být Gaussův zákon vzhledem k elektrické intenzitě lineární diferenciální rovnicí. Tou je ve speciálním případě lineární aproximace, pokud je vektor polarizace úměrný elektrické intenzitě. Lineární aproximaci se často používá v případě slabých polí. Rozdíl mezi elektrickou intenzitou a indukcí lze chápat následovně: Elektrická intenzita je veličina, kterou by mělo být možno měřit fyzikálním přístrojem. Naopak elektrická indukce nám popisuje, jaké by bylo elektrické pole, kdyby se generující náboje nenacházely v prostředí dielektrika. 6.3 Lineární aproximace Uvažujeme-li nepolární dielektrikum ve slabém elektrickém polije vychýlení jádra vůči obalu přímo úměrné elektrické intenzitě uvnitř látky i^diei ~ ~$, kde o = ~Ý+ — ~Ý- značí vychýlení jádra vůči obalu za přítomnosti elektrického pole. Uvažujme látku o objemu V, jež obsahuje ./V neutrálních atomů. Koncentraci atomů vypočteme z podílu n = N/V. Koncentrace celkového počtu kladných (či záporných) nábojů v látce vyjde nq = nq, kde q označuje kladné anebo záporné náboje v atomu účastnící se polarizace. Vektor polarizace v dielektriku vypočteme ~P = nqt. (25) Úměrnost mezi elektrickou intenzitou a vektorem polarizace lze pro slabá pole uvažovat i v případě polárních dielektrik. Zavedeme-li konstantu úměrnosti x£o-> lze vztah mezi vektorem elektrické intenzity a vektorem polarizace zapsat jako P* = x^o^dieb5 kde x Je bezrozměrná konstanta (eo přidáme z rozměrových důvodů) nazývající se susceptibilita. Závislost mezi elektrickou indukcí a intenzitou lze zapsat ve tvaru ~Ď = ~Édieíe0 + ^ = ^diel^O (1 + x) = ^diel£0£r- (26) 6 Vztah mezi vektorem polarizace a elektrickou intenzitou nemusí být nutně lineární. Pokud směr ~P neodpovídá směru i^diei, pak x Je tenzor. 53 Je potřeba zdůraznit, že v případě silnějších polí přestává platit úměrnost mezi výše uvedené rovnici jsme zavedli bezrozměrnou konstantu, relativní permitivitu er = 1+x-Násobek relativní permitivity a permitivity vakua dává takzvanou permitivitu £o£r = s. Nahradíme-li dielektrikum vakuem, musí být i^diei^o = tedy er = 1, e = sq- Relativní permitivita za běžných podmínek nabývá hodnot větších jak jedna. Intenzita uvnitř dielektrika je pak menší jak intenzita vnějšího elektrického pole. diel = --• (27) t. Uvažujme dielektrikum v elektrickém poli. Na povrchu dielektrika se generuje elektrický náboj Q = J~P* -d~É = JŤ ■ TtdS = J P cos adS 6, kde S je plocha uvažovaného povrchu dielektrika, a je úhel, jenž svírá vektor P* s plochou d S = itdS. Uvažujeme-li plošnou hustotu náboje <7poi, platí Q = J UpoidS*. Z těchto vztahů s lze jednoduše odvodit závislost mezi povrchovou hustotou náboje a vektorem polarizace apo\ = P cos a=P>- it. Př. 6.1. Zadání: Uvažujte deskový kondenzátor vytvářející homogenní pole. Desky kondenzátoru leží ve vzdálenosti a. Mezi desky jsme vložili kovový kvádřík se stejnou plochou podstavy, jakou mají desky kondenzátoru. Kvádřík má výšku b - viz obrázek 30 a). Chování pole na rozích kvadriku zanedbejte. Vypočtěte kapacitu tohoto kondenzátoru. _L di b) Obrázek 30: Kovový kvádřík mezi deskami kondenzátoru. Řešení: Uvažujme na deskách kondenzátoru plošnou hustotu náboje a. Kladné náboje v kovovém vodiči se přitáhnou k záporné elektrodě a záporné náboje ke kladné elektrodě. Uvnitř vodiče nakonec bude nulové elektrické pole. Pole bude nenulové pouze v mezerách mezi deskami kondenzátoru a vodičem. Vzniklé uspořádání tak bude připomínat sériové zapojení desek kondenzátoru - viz obrázek 30 b). Z obrázku také vidíme, že součet mezer mezi deskami kondenzátoru se rovná d± + cfe = a — b. Pro sériově zapojené kondenzátory platí 1 _ 1 1 _ Ui U2 _ Edi + Ed2 _ E a {a-b) _ a-b C co S b) 6 V tomto případě bereme náboj vytlačený ve směru vektoru ~P, ten je kladný. 54 Př. 6.2. Zadání: Uvažujme, že mezi desky deskového kondenzátoru vložíme homogenní lineární dielektrikum tak, aby zcela vyplňovalo prostor mezi deskami. Jaká je kapacita kondenzátoru s dielektrikem? Řešení: Jestliže nabijeme desky kondenzátoru povrchovým nábojem a, mezi deskami vznikne elektrická intenzita E$ = u/eq. V případě, že se mezi deskami nachází dielektrikum, budeme pracovat s rovnicí (27), tedy -Ediel = o-/e, kde e = eqet. Intenzita v celém objemu dielektrika zůstává homogenní, napětí je U = dE^e\, kde d označuje vzdálenost mezi deskami kondenzátoru. Velikost náboje na deskách kondenzátoru lze vyjádřit jako Q = aS. Užitím těchto vzorců jednoduše zjistíme Q aS uSe Seqet U dEdiei do d Komentář: Z tohoto výsledku vidíme, že s relativní permitivitou dielektrika zároveň roste 1 kapacita kondenzátoru. To vysvětluje, proč se dielektrika využívají při výrobě kondenzátoru. Př. 6.3. Zadání: Uvažujte kondenzátor s dielektrikem (viz obrázek 31). Oblast 1 má relativní permitivitu er\, oblasti 2 a 3 mají er2 a et3. Uvažujme oblast 1 dvojnásobnou vůči oblastem 2 i 3. Určete kapacitu tohoto kondenzátoru. I Obrázek 31: Kondenzátor se složeným dielektrikem Řešení: Na elektrodách lze uvažovat konstantní napětí. Kondenzátor můžeme rozdělit na levou a pravou část. Celkovou kapacitu pak spočítáme jako kapacitu dvou paralelně zapojených S s s kondenzátoru C = C\ + c23. Kapacita levé části kondenzátoru je C\ =--—. Připomeňme, 2d že jelikož jsme kondenzátor pomyslně rozdělili, za plochu dosadíme S/2. Kapacita c23 lze vypočíst více způsoby. Buď uvažujeme, že část kondenzátoru c23 se skládá ze dvou sériově zapojených kondenzátoru o tloušťce d/2, nebo vypočteme napětí jako integrál z elektrické intenzity v prostředí a použijeme definici pro kapacitu kondenzátoru. Jelikož je první způsob řešení triviální, uvedeme ten druhý. Jak jsme řekli v příkladu 6.2, elektrická intenzita v dielektriku generovaná deskami kondenzátoru se rovná E =-. Napětí je dráhovým integrálem z intenzity. Především si uvědomme, £0£-r že integrujeme přes dvě různé oblasti s různými permitivitami. Vzhledem k tomu, že v obou oblastech intenzita nezávisí na poloze, vyjde napětí v =E2d | E3d = ad í 1 | 1 \ 2 2 2£o \er2 £r3/ 55 Výraz d/2 jsme užili proto, že polovina intervalu integrálu jde přes oblast 2 a polovina přes oblast 3. Náboj na polovině plochy elektrody označme Q23 = crS/2. Kapacita pravé poloviny kondenzátoru je Použitím vztahu pro součet paralelně zapojených kondenzátoru obdržíme celkovou kapacitu _ Sepe-ri__Seo_ dl — + — V£r2 £r3 Jako kontrolu správného řešení můžeme všechny jednotlivé permitivity sri, £r2, £r3 nahradit jedinou sr. Pak obdržíme kapacitu kondenzátoru z předešlého zadání. Př. 6.4. Zadání: Uvažujme deskový kondenzátor o ploše S = ab a mezeře mezi deskami kondenzátoru o velikosti d. Do tohoto kondenzátoru budeme zasouvat dielektrikum stejných parametrů (viz obrázek 32). Jaká síla vtahuje dielektrikum mezi desky kondenzátoru? Pro tento případ uvažujme na deskách kondenzátoru konstantní napětí. Obrázek 32: Kondenzátor s posuvným dielektrikem. Řešení: Jak jsme již uvedli, práce nutná na nabití kondenzátoru se rovná W = CU2/2. Je-li napětí konstantní, jedinou proměnnou veličinou zůstává kapacita kondenzátoru C. Kapacita se mění s hloubkou zasunutí dielektrika v kondenzátoru. Parametr, který popisuje polohu dielektrika v kondenzátoru, označme x. Sílu vypočteme jako derivaci práce podle x, _ lPdC_ x ~ ~2~~dx~~ Z výše uvedených výpočtů vyplývá, že kondenzátor s částečně vsunutým dielektrikem lze brát jako dva kondenzátory zapojené paralelně. Uvažujeme-li plochu prvního (bez dielektrika) jako a {b — x) a plochu druhého (s dielektrikem) jako ax, pak celková kapacita vychází a {b — x) £q t axEQEr C d + d 56 Dosazením do předešlého výrazu obdržíme výsledný vztah pro sílu ae0U2 Fx = —(sr-l). Př. 6.5. Zadání: Uvažujme, že jsme mezi desky deskového kondenzátoru vložili dielektrikum. Desky kondenzátoru leží ve vzájemné vzdálenosti d a dielektrikum má šířku a, kde d > a (dielektrikum nevyplňuje mezeru mezi deskami úplně). Vyjádřete kapacitu kondenzátoru s dielektrikem C jako funkci kapacity bez dielektrika Co- Řešení: Jak jsme si již několikrát uvedli, kapacita deskového kondenzátoru je Co = Seo/d. Z výše uvedeného plyne, že kapacita kondenzátoru (s dielektrikem) se nezmění, ať umístíme dielektrikum mezi desky kamkoli. Elektrická intenzita v oblasti bez dielektrika bude rovna Ebez = o'/sq, intenzita v oblasti s dielektrikem bude -Ediel = c/ (^o^r) • Napětí pak bude dráhovým integrálem těchto intenzit. Vzhledem k tomu, že intenzita zůstává na jednotlivých oblastech konstantní, lze napětí zapsat jako -4 -4 £0 (s-r - 1) 7* P = ^OX^diel = £0 {£-r ~ 1) -^diel = -D- £Q£r 57 Vidíme, že vektor polarizace se rovná vektoru elektrické indukce vynásobenému konstantou. Pokud víme, že v dielektriku platí = 0 (náboj generující pole je pouze v nabité kouli), pak musí platit ^ • P* = 0, tedy dle rovnice (22) gpo\ = 0. Plošná hustota povrchového náboje dielektrika se rovná velikosti vektoru polarizace, takže p (Sr-1) Q er aur2 Pro vnitřní povrch platí r = R a pro vnější r = R + d. Celkový náboj na plochách vyjde Qpol = Q (s-r — 1) /sr- Př. 6.8. Zadání: Uvažujte válcový kondenzátor sestávající ze dvou souosých kovových válcových ploch o poloměrech R± a R2 a dielektrika, jenž vyplňuje mezeru mezi nimi. Určete kapacitu tohoto kondenzátoru. Okrajové vlastnosti zanedbejte. Řešení: Je-li náboj na vnitřním válci roven Q, pak z Gaussova zákona vypočítáme velikost elektrické intenzity v dielektriku jako -Ediel =-t- (yiz příklad 4.3), kde l označuje délku Q ( R2 válce. Napětí je určitý integrál z intenzity (viz příklad 4.7), platí U = ——-ln I — 27TÍ£o£r \Rl Konečně kapacita tohoto kondenzátoru se rovná 27r/eo£r C 6.4 Elektrické pole na rozhraní dvou dielektrik V předchozích podkapitolách jsme si vysvětlili, jak se chová elektrické pole v dielektriku. V této podkapitole popíšeme chování elektrického pole na rozhraní dvou dielektrik. Podobně jako v optice, kdy na rozhraní dvou různých optických prostředí dochází k lomu světla, v tomto případě dochází k lomu siločar elektrické intenzity. Nejdříve odvodíme rovnici pro rotaci elektrostatického pole. V kapitole 1.4 jsme hovořili o konzervativních a nekonzervativních polích. Splňuje-li elektrické pole rovnici ^■ďÝ = 0, (28) c nazývá se konzervativní. Elektrostatické pole je pole konzervativní. Pakliže by nebylo, mohli bychom v takovém poli pohybem nabité částice po uzavřené křivce vykonávat práci. Tento výraz lze upravit podobným způsobem, jako jsme upravili Gaussův zákon. Dráhový integrál přes uzavřenou křivku převedeme na plošný integrál přes plochu, kterou křivka obepíná již .d~Ý=y^x ^-d^, c S kde d^ označuje infinitezimál plochy vynásobený normálou. Tato identita se nazývá Stoke-sova věta. 58 Aby se výše uvedený vztah rovnal nule pro jakoukoli plochu, přes kterou je integrován, musí být roven nule výraz uvnitř závorky. Zapsáním tohoto vztahu získáme neúplnou verzi Fararadayova zákona pro magnetické pole nezávislé na čase 0. (29) Kompletní verzi Faradayova zákona si uvedeme v následujících kapitolách. Vztah (29) říká, že elektrostatické pole je nevírové. Tím jsme však poněkud odběhli od hlavního tématu. Vraťme se opět k rovnici (28). Uvažujme malou smyčku ve tvaru obdélníku o délce stran L a h. Tato smyčka leží na rozhraní dvou dielektrik tak, aby rozhraní procházelo jejím středem (viz první obrázek 33), a současně aby strana L byla rovnoběžná s rozhraním a strana h kolmá na rozhraní. —► í t 2 r 4 4 «— Obrázek 33: Obdélníková smyčka a kvádrová plocha na rozhraní dielektrik. Víme, že integrál z elektrické intenzity přes tuto smyčku se rovná nule. Tento integrál můžeme vyčíslit. Obdélník rozložíme na 6 částí (v obrázku označených šipkami), celkový integrál pak bude součet přes tyto části, které jsou určeny skalárním součinem délky orientovaného úseku s elektrickou intenzitou. Pro dostatečně malou smyčku (kde v každém ze dvou dielektrik můžeme uvažovat pole přibližně homogenní) platí 0 — Ei — + Ei L — Ei — — E2 — — E2 L + E2 h =y- Ei L — Eo L . V této rovnici lze stejné členy s opačným znaménkem jednoduše odečíst a výraz se značně zjednoduší. Pro skalární součin platí ~Ě L = EL cos a, kde a označuje úhel, jenž svírá vektor intenzity s rozhraním dielektrik (neboli s vektorem L). V optice se dopadající úhly popisují od kolmice. V následujícím textu budeme používat stejné značení. Proto musíme v zápisu přejít od a k ~ŮďÉ, (30) v s kde S je orientovaná plocha obalující objem V. Uvažujme malý kvádr, jehož středem prochází rozhraní dvou dielektrik (viz druhý obrázek 33). (Malý ho "chceme"proto, aby indukce zůstala v obou polovinách přibližně konstantní a rozhraní dielektrik přibližně ploché). Stěna ab je orientována tak, aby byla rovnoběžná s rozhraním. Použijeme-li kvádr jako integrální plochu v rovnici (30), můžeme integrál jednoduše rozdělit na 10 částí Stejně jako v předešlém případě je většina členů na protějších stěnách kvádru identická, ale s opačným znaménkem. Po jejich odečtení zůstane pouze S abDl = S ař; -D 2 • Orientaci plochy Sab jsme popsali pomocí normálového vektoru (také kolmého k rozhraní). Užitím vztahu pro skalární součin dvou vektorů, které svírají vektor i D^oscp, Er2>Er1 4 2 ^sincp. £r cotgcp, = £r cotgcp2 Obrázek 34: Lom elektrické intenzity a indukce na rozhraní dvou prostředí. Uvažujme dielektrikum v elektrickém poli. Se zvětšujícím se elektrickým polem roste také polarizace dielektrika. Při dostatečně velké elektrické intenzitě dojde k urychlení volného elektronu obsaženého v dielektriku, který následně narazí do neutrálního atomu. Vlivem srážky se z atomu uvolní další množství elektronů rovněž urychlovaných elektrickým polem. Dochází tak k řetězové reakci, podobně jako při výbuchu atomové bomby. Řetězová reakce je tak silná, že dojde k lokálnímu poškození (proražení) dielektrika. Vznikne kanál, jímž mohou elektrony proudit. Nastane stejná situace, jako by byl dielektrikem provlečen vodič. Děj lze přirovnat k proražení přehrady. Dírou v přehradě také voda odteče. Napětí potřebné k tomuto ději se nazývá průrazně napětí. Proražení lze zabránit dvojím způsobem: můžeme snížit napětí na kondenzátoru pod průrazné napětí, tím ale dojde i ke snížení množství nábojů uložených v kondenzátoru, lze také zvětšit tloušťku dielektrika, sníží se však kapacita kondenzátoru, a současně se zvětší jeho objem. Veličina popisující průrazné napětí vztažené na tloušťku dielektrika se nazývá dielektrická pevnost a její jednotky jsou V/m. Př. 6.9. Zadání: Uvažujme několik dielektrických látek s danou relativní permitivitou a dielektrickou pevností Dp. Dále uvažujme deskové kondenzátory stejného tvaru obsahující různá dielektrika. Vyberte nejvhodnější kondenzátor pro uložení největšího množství náboje. Látka Dp [MVm-1] Papír 16 3,5 Sklo 14 7,6 Voda 16 80 Vzduch 3 1 Křemen 8 12 Polystyren 24 2,6 Tabulka 2: Dielektrická pevnost a relativní permitivita různých látek. Řešení: Náboj uložený v deskovém kondenzátoru se rovná Q = UC = t/^££ = DperSe0. a 61 Náboj je úměrný dielektrické pevnosti násobené relativní permitivitou. Nejvyšší hodnoty dosahuje součin těchto dvou veličin pro vodu (z látek uvedených v tabulce 6.5). Příklady k procvičení 6.1. Uvažujte kondenzátor tvořený dvěma soustřednými kulovými plochami o poloměrech R\ a i?2 nabitými nábojem Q. Mezera mezi kondenzátory je vyplněna dielektrikem. Určete kapacitu takového kondenzátoru. Příklady k procvičení 6.2. Uvažujte deskový kondenzátor (vzdálenost desek d) o tvaru čtverce s délkou hrany a částečně ponořeného do kapaliny o permitivitě er a hustotě g. Kondenzátor je ponořený do kapaliny dle obrázku 35. Určete, jak vysoko vystoupá hladina kapaliny, je-li kondenzátor připojen na zdroj elektromotorického napětí £. Zanedbejte vliv povrchového napětí kapaliny. + £- i-0 O i Obrázek 35: Deskový kondenzátor ponořený v dielektrické kapalině. Příklady k procvičení 6.3. Uvažujte válcový kondenzátor se souosými válci o vnitřním poloměru R\ a vnějším poloměru i?2- Rozdíl poloměrů je mnohem menší jak délka kondenzátoru l. Kondenzátor je svisle ponořen do kapaliny o permitivitě er a hustotě g. Určete, jak vysoko dovnitř kondenzátoru vystoupá hladina kapaliny, je-li napětí na deskách kondenzátoru U. Zanedbejte vliv povrchového napětí kapaliny. Příklady k procvičení 6.4. Uvažujte deskový kondenzátor, který je vyplněn dielektrikem, jehož permitivita se lineárně mění od desky k desce. Na povrchu desek uvažujte permitivitu e\ a £2- Vzdálenost desek je l a plocha S. Jaká je kapacita C kondenzátoru? Příklady k procvičení 6.5. Uvažujte kulový kondenzátor (obě koule jsou soustředné) o vnitřním poloměru R\ a vnějším poloměru R2. Mezi kulovými slupkami je látka s permitivitou e = a/r2, kde r je radiální vzdálenost od středu kuličky a a je konstanta. Určete kapacitu kondenzátoru C. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 84-86, 118-135 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 174-204 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 144-171 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 26 (26.6 - 26.8) 62 Čtvrtsemestrální písemná práce č. 2. 1. Tenkostenná válcová trubka o poloměru R nese plošný náboj a. Určete velikost vektoru elektrické intenzity E vně (r > R) a uvnitř (r < R) trubky v závislosti na vzdálenosti r od osy trubky. Nakreslete graf funkce E v intervalu (0;2R). Určete směr vektoru ~Ě, víte-li, že trubka má kladný náboj. Kolikrát se zvětší/zmenší E v případě 2R oproti li?? 2. Určete kapacitu kondenzátoru, který se skládá ze dvou nabitých sférických ploch o poloměru Ri a R2 se stejnou polohou středu a o plošné hustotě náboje a±, —o2. Velikost celkového náboje každé plochy je stejná, má však opačné znaménko. 3. Vypočtěte obecně celkovou kapacitu kondenzátoru zapojených podle obrázku 1. Určete, čemu bude rovna kapacita zapojení, pokud budou mít všechny kondenzátory stejnou kapacitu C. 4. Uvnitř kondenzátoru se nachází dva různé druhy dielektrik s permitivitou er\ a er2. Určete kapacitu kondenzátoru, znáte-li vzdálenost desek d, plochu desek S, permitivitu vakua eo- Dielektrikum je vloženo do kondenzátoru podle obrázku 2. Oba kusy dielektrik jsou stejně velké. 63 7 Ohmův zákon a Kirchhoffovy zákony 7.1 Elektrický proud Pro vyjádření Ohmová zákona si nejprve správně definujme potřebné elektrické veličiny. Ve výše uvedeném textu jsme si již uvedli, že napětí U je rozdíl potenciálů U = —A(p. Dále jsme zavedli pojem „náboj", veličinu, která je přirozenou vlastností těles a na které závisí elektrostatická přitažlivá síla. Přemisťování elektrického náboje se nazývá elektrický proud. Uvažujme plochu, kterou za daný časový interval Aí projde množství náboje AQ. Proud je úměrný prošlému náboji a nepřímo úměrný času za který náboj plochou projde. Pro průměrný elektrický proud platí I= AQ At ' Limitním přechodem Aí —> 0 získáme okamžitý proud ' = <*> Zde lze uvést analogii s vodou v řece. Průtok vody v řece nazveme vodní proud. Cím je kratší časový interval, za který nějaké množství vody proteče, tím je vodní proud větší. Podobně, čím je vody při protékání více, tím je vodní proud silnější. Ačkoliv elektrický proud definujeme jako velikost prošlého náboje za čas, základní jednotkou SI není coulomb [C = As], ale ampér [A]. Proud je definován v SI jako základní jednotka pomocí silových účinků. Jeden ampér teče ve dvou rovnoběžných, nekonečně dlouhých vodičích o kruhovém průřezu ve vzdálenosti jednoho metru právě tehdy, když na metr délky vodiče působí síla 2 • 1(T7N. Proud nemusí být vždy zcela vhodná veličina popisující uspořádaný pohyb nábojů. Analogie s řekou nám ukazuje, že voda v blízkosti břehu se může pohybovat^pomaleji než uprostřed. Z tohoto důvodu si definujme hustotu elektrického proudu j . Bude-li proudová hustota ve všech bodech vodiče (nosiče proudu - ekvivalent koryta řeky) stejná, pak proud bude i = 7-7, kde S je plocha řezu (ne nutně kolmého) vodičem. Pohybují-li se náboje kolmo na plochu, vztah se zjednoduší na / = jS. Proudová hustota nemusí být nutně konstantní po celé ploše. Pak se proud z proudové hustoty získá pomocí plošného integrálu, platí / = j7-dt. (33) s Uvažujme vodič o průřezu S, kterým protéká proud /. Proud v jednotlivých částech vodiče popisuje proudová hustota j (viz obrázek 36). Uvažujme, že plochou S proběhne za nějaký krátký časový interval dí náboj dQ, tedy platí rovnice (32). Když se na vodič podíváme podrobněji, zjistíme, že ne nutně celou plochou musí procházet stejný náboj. Pomocí definice objemové hustoty náboje můžeme uvažovat, že infinitezimální náboj ddQ za infinitezimálně malý čas dí prošel plochou dS a vzdálil se od ní o dl. Ve výše uvedeném výrazu jsme uvedli před nábojem Q dvakrát dd. Nepřeklepli jsme se, myslíme tím, že náboj prošel jak malou 64 Obrázek 36: Proud / protékající plochou S. plochou d5, tak za malý čas dí^V definici hustoty náboje nahradíme dV = d l ■ d S. Pak lze jednoduše zapsat ddQ = gd l ■ á~Ě, kde l je vektor, v jehož směru a délce se posunuly náboje za krátký čas dí. Jednoho d se jednoduše zbavíme podělením dí, tedy dl = —= q—— • d~É = plŽ • d~É. dí ^ dí " K tomuto výsledku můžeme dojít za předpokladu, že náboj ve vodiči se nikde neakumuluje ani neubývá, je v čase (nikoli v prostoru) konstantní. Ze vztahu (33) získáme dl = j ■ d S. Vektor hustoty proudu a vektor rychlosti náboje míří ve stejném směru, lze napsat j =et. (34) 7.2 Rovnice kontinuity Uvažujme uzavřenou plochu (proto zvolíme integrál přes uzavřenou plochu na rozdíl od předešlých výrazů), uvnitř které se nachází náboje, jež mohou volně unikat mimo tuto plochu. Výše uvedenou situaci popisují rovnice dQ ' dt : j7-dt, Q = JgdV. Do první rovnice jsme vložili znaménko mínus z důvodu, že uvažujeme kladný proud, jenž snižuje náboj uzavřený v ploše S. Dále jsme změnili výraz z totální časové derivace na parciální, která je vhodnější pro operace, jež chceme provést. Kombinací výše uvedených vztahů obdržíme /7- l Převrácená hodnota celkového odporu paralelně zapojených rezistorů se rovná součtu převrácených hodnot jednotlivých odporů. Př. 7.1. Zadání: Uvažujme obvod zakreslený na prvním z obrázků 39. V obvodu zapojíme zdroje elektromotorického napětí a rezistory s následujícími parametry: £\ = 7V, £2 = 3V, R\ = liž, i?2 = 2ÍŽ, i?3 = 3ÍŽ. Jaký je proud protékající jednotlivými rezistory? Řešení: Je výhodné si pro zjednodušení do obvodu zakreslit smyčku (viz obrázek 39) a směry proudů vyznačit šipkami. Šipky znázorňující emn. se zakreslují s opačným směrem 68 Obrázek 39: Elektrický obvod. jak směr kladného proudu, které zdroj napětí vytváří. Průběh napětí (přírůstek na zdrojích, úbytek na rezistorech) v první smyčce z druhého Kirchhoffova zákona vyjadřuje rovnost (začneme u zdroje emn.): £\ — Rih — R3I3 = 0. V druhé smyčce pak: £2 — R2I2 + Rsh = 0. V této rovnici je u třetího odporu opačné znaménko. To proto, že šipka proudu zakreslená v obrázku směřuje proti směru smyčky. Stejným způsobem bychom změnili znaménko, pokud by některé ze zakreslených emn. bylo otočeno na opačnou stranu. Z prvního Kirchhoffova zákona lze odvodit výraz pro proudy I\ = I2 + h ■ Z těchto tří rovnic lze vyjádřit proud £iR2 - £2Ri _ A 3 R1R2 + R1R3 + R3R2 Z rovnice pro první smyčku platí Z druhého Kirchhoffova zákona pak h = h~h = 3A. Př. 7.2. Zadání: Uvažujte obvod zakreslený na druhém z obrázků 39. Sestavte dle prvního a druhého Kirchhoffova zákona příslušné rovnice. Řešení: Dle prvního Kirchhoffova zákona platí h = h + h, h + h + h = 0-Dle druhého Kirchhoffova zákona £\ = R\l\ + R2I2, £2 = R2I2 + R4I4 — Rsh, £3 = -^5-^5 — R4I4. 69 Př. 7.3. Zadání: Uvažujme krychli, v jejíchž hranách se nachází 12 rezistorů o stejných odporech R = líž (viz obrázek 40 a)). V každém rohu se nachází uzel. Jednotlivé uzly očíslujeme od 1 do 8. Soustavu napojíme na zdroj emn. v protilehlých rozích (uzly 1 a 8). Vypočtěte odpor celé soustavy. Obrázek 40: a) Rezistory zapojené do tvaru krychle, b) Zapojení rezistorů se stejným výsledným odporem jako zapojení do krychle. Řešení: Při bližším pohledu na danou soustavu si všimněme, že (díky rovnosti všech odporů) v uzlech 2,3,4, a pak dále v uzlech 5,6,7 je stejný potenciál. Zapojení tak půjde zakreslit v jiném tvaru (viz obrázek 40 b)), jenž má stejný výsledný odpor, daný vztahem ň=« + « + í = 5B. 3 6 3 6 Př. 7.4. Zadání: Uvažujme obvod na obrázku 41. Na jednoduchý obvod s kondenzátorem nejprve napojíme elektromotorické napětí, které nabije kondenzátor. Potom obvod přepneme tak, aby byl zdroj emn. nahrazen rezistorem. Jaká je závislost náboje na deskách kondenzátoru na čase? Obvod s tímto zapojením se nazývá RC obvod. Řešení: Při emn. £ na zdroji se kondenzátor nabije nábojem Qq = C£. Při přepnutí nahradí funkci zdroje napětí sám kondenzátor, kde Q = CU. Ten se snaží vybíjet tak, že tvoří proud, jenž teče skrze rezistor. Čím je kondenzátor vybitější, tím menší proud vyrábí. Velikost proudu získáme z Ohmová zákona U = RI. Víme, že proud je změna náboje v čase. Vzhledem k tomu, že se náboj na kondenzátoru v čase zmenšuje, je i znaménko u časové změny záporné. Veličiny i? a C se chovají v tomto případě jako konstanty nezávislé na čase. Kombinací výše uvedených vztahů získáme dQ Q dQ -dt ~ -R^ = č^^- = ŘČ^Q = Qoe CR-kde Qo označuje náboj na deskách kondenzátoru před odpojením zdroje emn. 70 Obrázek 41: Elektrický obvod. Př. 7.5. Zadání: Uvažujme Gaussův zákon ve tvaru (10) a Ampérův zákon (později probereme podrobně) ve tvaru V X B = fl0 J +fL0£0 — , kde B vyjadřuje vektor magnetické indukce a /xo označuje permeabilitu vakua. Odvoďte z těchto dvou zákonů rovnici kontinuity. Řešení: Divergencí Ampérova zákona získáme ot Divergenci a parciální derivaci podle času lze zaměnit ^= ■ Divergence elektrické intenzity je pak z Gaussova zákona hustota náboje podělená permitivitou vakua. Na levé straně se nachází operátor divergence z rotace. Z předešlého textu víme, že tento člen se rovná nule dg Podělením permeability na obou stranách rovnice získáme rovnici kontinuity. Př. 7.6. Zadání: Na elektrony v kovu při daném napětí působí urychlující síla. Pokud bychom uvažovali pouze sílu danou napětím, brzy by se elektrony pohybovaly rychlostí blízkou rychlosti světla. Navíc by kov neměl elektrický odpor. Elektrony v reálných kovech dosahují maximálních rychlostí o mnoho řádů nižších. To je způsobeno srážkami s atomy, elektrony nebo ionty v kovu. Ty odeberou elektronu hybnost. Kov se srážkami zahřívá a vykazuje elektrický odpor. Určete střední volnou dobu mezi dvěma srážkami r, platí-li vztah pro driftovou rychlost v = ar. Řešení: Dle druhého Newtonova zákona lze vyjádřit zrychlení působící na částici o hmotnosti m (v reálném kovu hmotnost elektronu) v silovém poli F jako a = F/m. Pokud sílu 71 tvoří elektrostatické pole, pak platí F = qE, kde E vyjadřuje velikost vektoru elektrické intenzity a q označuje náboj částice v elektrickém poli. Střední volnou dobu obdržíme ze vztahu r = vm/qE. Dle diferenciálního Ohmová zákona E = jp = vgp (^—hustota nábojů, p—rezistivita) můžeme určit r = m/qgp. Výraz ještě upravíme pomocí g = nq, kde n označuje koncentrace nosičů náboje m qznp Rezistivitu můžeme vyjádřit jako funkci střední volné doby, koncentrace náboje, velikosti náboje nosiče a hmotnosti nosiče m p = ——• qznr Př. 7.7. Zadání: Uvažujte polovodičovou součástku s PN přechodem. Nosiče proudu jsou na rozhraní přechodu jak elektrony, tak kladně nabité díry. Uvažujte, že za At = 16 s se jedním směrem, plochou 5*1 = 1 mm2, přesune Ne = 3, 5-1015 elektronů a směrem opačným = 2, 5-1015 děr. Jaký proud teče průřezem 5*2 = 1 cm2? Řešení: Díry a elektrony se pohybují opačným směrem. Díky rozdílnému znaménku však vytváří proud, jenž je součtem proudu jak od elektronů, tak od děr. Díra má stejně velký (ale opačný) náboj q = 1,6- 10~19 C jak elektron. Proto proud tekoucí plochou 1 cm2 se rovná (Ne + Nd)qS2 SxAt 6 mA. Příklady k procvičení 7.1. Uvažujte vodivou kouli o poloměru R do půlky zahrabanou do země. Koule je udržována na konstantním emn. £ (viz obrázek 42 a)). Určete proud protékající koulí, víte-li, že rezistivita půdy, ve které je koule zahrabána, je konstantní p. Ri Obrázek 42: a) Koule z poloviny zasazená ve vodivém prostředí, b) Vodivý roztok ve válcové nádobě. 72 Příklady k procvičení 7.2. Uvažujte nádobu, která je naplněna vodivým roztokem o rezistivitou p. Nádoba má válcovitý tvar o poloměru R2 a výšce L. Vnitřní povrch válce (nikoli podstava) je vodivá a uzemněná (viz obrázek 42 b)). Středem nádoby prochází vodivý drát o poloměru R\ napojený na konstantní emn. £. Určete proud protékající roztokem. Příklady k procvičení 7.3. Uvažujte sériově zapojenou soustavu - zdroj emn. £, rezistor R a kondenzátor C. Obvod je uzavřen do smyčky (viz první z obrázků 43). Na počátku je kondenzátor vybitý. Vypočtěte náboj na kondenzátoru a proud v obvodu v závislosti na čase. C R R Obrázek 43: Zapojení rezistorů a kondenzátoru. Příklady k procvičení 7.4. Uvažujte zapojení z druhého obrázku 43. Všechny rezistory mají stejný odpor R. Elektromotorické napětí zdroje uvažujte £, kapacitu kondenzátoru uvažujte C. Na počátku je kondenzátor vybitý. Vypočtěte celkový proud v obvodu v závislosti na čase. Příklady k procvičení 7.5. Uvažujte zapojení z obrázku 40 s tím, že rezistory zaměňte s kondenzátory o kapacitě C. Vypočtěte celkovou kapacitu zapojení. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 173-198 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 183-210 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 27, 28 73 8 Magnetostatika a základy elektromagnetismu 8.1 Lorentzova síla V předchozích kapitolách jsme si vysvětlili, že elektrické pole je generováno elektrickým nábojem. Rovnice popisující vztah mezi zdrojem a elektrostatickým polem se nazývá Gaussův zákon (10). Toto pole vytváří sílu = q~É působící na nabité částice. Zkráceně: náboje tvoří elektrické pole a toto pole působí silově na další náboje. Kromě elektrického pole působícího na elektrické náboje však existuje i pole magnetické. Cím je však toto pole generováno? A na co magnetické pole silově působí? V první polovině devatenáctého století si francouzský fyzik a matematik André-Marie Ampére (1775 - 1836) všiml zajímavého jevu, kdy dva vodiče, jimiž protékal elektrický proud, na sebe silově působily. Síla mezi dvěma rovnoběžnými vodiči byla buď přitažlivá (proud ve vodičích tekl ve stejném směru), nebo odpudivá (proud tekl ve směru opačném). Dnes víme, že elektrický proud tvoří pohybující se náboje. Máme situaci, kdy pohybující se náboje ve vodiči vytváří pole magnetické. Toto pole pak silově působí na pohybující se náboje. Což vysvětluje silové působení vodičů. Jednoduchým způsobem můžeme magnetické pole zobrazit pomocí feromagnetických pilin - viz obrázek 45 a). Piliny směřují podél magnetických indukčních čar. Vektory magnetické indukce ~É, které slouží k popisu magnetického pole, jsou k těmto křivkám tečny. Z obrázku 45 a) vidíme, že magnetické indukční čáry obtáčí vodič. Vektory magnetické indukce směřují kolmo na vektor rychlosti nábojů a tedy i na vektor proudové hustoty j . Pokud jsou oba vodiče rovnoběžné, magnetické indukční čáry do druhého vodiče vstupují kolmo a síla působící na vodič svírá pravý úhel jak s vektory rychlostí nábojů ve vodiči, tak se zmiňovaným magnetickým polem, viz obrázek 45 b). Experimenty ukázaly, že změníme-li pravý úhel mezi vektory rychlosti nábojů a magnetické indukce na libovolný úhel, sníží se i výsledná síla, a to jako siná, kde a značí úhel mezi vektory. Z experimentů vyplývá, že výsledná síla působící na nabitou částici uvnitř vodiče je úměrná velikosti náboje této částice q, její rychlosti ~Ů (která je úměrná proudu ve vodiči), magnetické indukci ~É ve kterém se pohybuje (vytvářené druhým vodičem) a sinem úhlu který svírá vektor rychlosti s vektorem magnetické indukce. Dané chování popisuje rovnice Obrázek 44: (Ne)působení magnetického pole. 74 Obrázek 45: a) Působení magnetického pole na železné piliny, b) Zobrazení Ampérova pokusu. Uvažujeme-li nabitou částici nacházející se současně v poli elektrickém i magnetickém, lze výraz zapsat díky principu superpozice ve tvaru ~f = q + it X ~Ě) . (44) Tuto rovnici můžeme bez nadsázky označit za nej důležitější rovnici elektromagnetismu, popisuje silové působení elektromagnetického pole na nabitou částici. Tato síla se nazývá Loren-tzova síla. Je důležité, aby si tuto rovnici zapamatovali studenti jako celek. Často se uvádějí dva důležité podpřípady této síly. Elektrostatický if = lf a ~Ě ^ ~Ý{t), jímž jsme se zabývali v druhé kapitole, a magnetostacionární E = 1? a B ^ ~Ý{t), Uvažujme malý úsek vodiče o délce A L ležící v magnetickém poli. Uvažujme dále, že tímto vodičem protéká proud / = AQ/At, kde Aí označuje čas, za který množství nábojů AQ = Nq proteče úsekem A~Ĺ. Náboje q, jež generují proud, se pohybují rychlostí ~Ů. Proud ve vodiči teče ve směru A L. Pokud se rychlost a proud v čase nemění, můžeme napsat = A L / Aí. Pro magnetickou část Lorentzovy síly s mnoha pohybujícími se náboji ve vodiči lze uvést ~f = NqÚ x ~Ě = ^-A~t x ~Ě. H At Lorentzovu sílu působící na vodič o délce A L s proudem / v magnetickém poli ~É je možné vyjádřit i ve tvaru ~f = IAÍ x ~Ě. (45) Podotkněme ještě jednu důležitou věc vyplývající z Lorentzovy síly. Zrychlení (či síla) působící na částici v magnetickém poli nesměřuje ve směru indukčních čar (jak je tomu v případě pole elektrického). Cáry nemůžeme nazývat siločáry, ale indukční čáry. Př. 8.1. Zadání: Uvažujte elektron o náboji — q a hmotnosti m v homogenním magnetickém poli o velikosti B = (0,0, Bz). Elektron se pohybuje rychlostí = (vx,vy,vz). Vypočtěte trajektorii částice. Zjistěte jak se situace změní ve chvíli, kdy se částice pohybuje kolmo vzhledem k magnetickým indukčním čarám. 75 Řešení: Dle druhého Newtonova zákona a Lorentzovy síly platí m a —^ /dvx dvv dvz\ ^ m ( -JJ)-JJ ) =>< (0,0,^) =-g^ (uj,,-^,0) Z této soustavy rovnic lze vyjádřit tři diferenciální rovnice dvx_ _ _Q^V dv]L_qB±v dvz _ dt m yi dt m Xl dt Třetí rovnice má triviální řešení vz = konst. Řešení prvních dvou rovnic obdržíme derivací první rovnice a dosazení za —z druhé ť dt d2vx f qB ~dW m A cos (ut + ip) =ř vy = A sin (ut + p), qB kde lo = —- je úhlová rychlost a A2 = v2 + v2 je kvadrát velikosti rychlosti v rovině xy. m y Z výše uvedeného řešení vyplývá, že tento kvadrát je v čase konstantní a je určen počáteční rychlostí. Uhel p určují také počáteční podmínky. Částice se bude pohybovat po šroubovici orientovanou ve směru z, podél magnetickým indukčních čar. V případě pohybu kolmém na magnetické indukční čáry vymizí složka rychlosti vz. Částice V TÍIV se bude pohybovat po kružnici jejíž poloměr vyjádříme jako r = — = ——. lo qB Komentář: Pohyb nabitých částic v magnetickém poli znázorňuje obrázek 46. Částice v prostředí ztrácejí rychlost a poloměr jejich dráhy se zmenšuje, proto nejsou znázorněné křivky kružnice (nebo šroubovice), ale spirály. Obrázek 46: Elektrony a pozitrony v magnetickém poli. Př. 8.2. Zadání: Uvažujte kruhovou proudovou smyčku ve vnějším homogenním magnetickém poli. Nechť normála ke smyčce uzavírá s vektory magnetické indukce B úhel 6. Jak velký moment síly působí na smyčku? 76 Obrázek 47: Proudová smyčka v magnetickém poli. Řešení: Uvažujme, že kruhová smyčka leží v rovině xy a vektory magnetické indukce v rovině xz a s osou z svírají úhel 9 - viz obrázek 47. Polohový vektor smyčky je l = {Rcos p, i?sinp, 0) . Element tohoto vektoru se rovná d l = (—Rsimp, Rcosip, 0) dp. Magnetické pole směřuje ve směru ~É = (—Bsin9,0,Bcos9), kde B značí velikost vektoru magnetické indukce. Z Lorentzovy síly (45) jasně vyplývá, že na element vodiče působí element síly df = Id l x ~É. Moment sil pak zapíšeme jako M = f ~Ý x d~P, kde ~Ý = l odpovídá polohovému vektoru kruhu. Dosazením do vzorců získáme M = I l x dl x 2tt / j (Rcosip, Rshnp, 0) x [(—Rsimp, Rcosip, 0) x (—B sin6, 0, B cos9)] dp 2tt IBR2 j (cos tp, sin tp, 0) x (cos tp cos 9, sin p cos 9, cos p sin ř?) dp 2tt IBR2 j (sin cos 6, 8.2 Gaussův zákon pro magnetické pole V druhé kapitole jsme uvedli Gaussův zákon (10) a (16), který dával do souvislosti zdroj elektrického pole, hustotu náboje a samotné elektrické pole. Tyto rovnice si lze představit tak, že uzavřeme-li náboje pod myšlenou plochu, z této plochy budou vycházet vektory elektrické intenzity. Pole podle toho nazýváme rozbíhavé (divergentní). Uvažujme nyní namísto elektrického pole magnetické. Předpokládejme speciální magnetický náboj (takzvaný magnetický monopol), jenž by generoval divergentní magnetické pole. Logicky by musel platit stejný Gaussův zákon i pro pole magnetické. Problém však tkví v tom, že při žádném experimentu se nikdy takový náboj nepodařilo detekovat. Jinými slovy můžeme říci, že pro současnou fyziku je magnetický náboj vždy nulový. Gaussův zákon pro magnetické pole můžeme zapsat v diferenciálním a v integrálním tvaru jako ^•^ = 0, ~Ě-d~É = 0. (46) První rovnice říká, že magnetické pole není divergentní a že magnetické indukční čáry musí být vždy uzavřené křivky. Druhá rovnice zase říká, že máme-li uzavřenou plochu, magnetické indukční čáry vbíhající do této plochy z ní i na jiném místě vybíhají. Na rozdíl od monopolu, magnetický dipól existuje a pozoruje se. Vytváří ho proudová smyčka (nikoliv dva monopoly - N a S podobně jako u elektrického pole). Jako příklad magnetického dipólu uveďme tyčový magnet pozorovaný z velké vzdálenosti. Pokud bychom jej rozpůlili, výsledkem jsou dvě dipólová pole. To funguje až na strukturu elementární. Pozorované elementární částice mají magnetický dipólový moment. 8.3 Ampérův zákon v diferenciálním tvaru Vysvětlili jsme si jak magnetické pole působí, ale doposud jsme neodpověděli na otázku, jak se magnetostacionární pole generuje. Obrázek 45 ukazuje, jak se magnetické pole obtáčí okolo proudu, nebo lépe okolo vektoru hustoty proudu j . Z předchozího textu vyplývá, že rotace magnetického pole bude úměrná vektoru hustoty proudu ^ x ~É = /i07, (47) kde fiQ představuje konstantu úměrnosti, která se nazývá permeabilita vakua (fiQ = 1, 26 • 10~6H • m_1). Vektor hustoty proudu vytváří okolo sebe magnetické pole, jenž jej obtáčí. 78 Pojem magnetostacionární jsme uvedli z důvodu, že byť magnetické pole může být nezávislé na čase, tak jej lze budit pohybujícími se nestatickými náboji. Statické magnetické pole se nazývá pole buzené permanentním magnetem. Zobecněme rovnici (47) nikoli pouze na magnetostacionární podpřípad. Uvažujme časově závislé elektrické pole E. Pro elektrické pole platí Gaussův zákon (10). Dosaďíme-li hustotu náboje v Gaussově zákoně do rovnice kontinuity, obdržíme 0 = ^-7 + 1 = Ť}.7 + eo3.^*7 + eo^ = 3x ?. Funkce 7 Je integrační vektorová funkce, která splňuje ^ • 7 = ®- Srovnáme-li získaný výsledek s Ampérovým zákonem je zřejmé, že vektorová funkce je právě vektor magnetické indukce = po7■ Výsledná rovnice se nazývá Ampérův zákon ^ x ~Š = po7 + ^o^r- (48) Ve skutečnosti se nepodařilo nalézt Ampérovi tento zákon v kompletním tvaru, časovou derivaci elektrické intenzity doplnil později až James Clerk Maxwell (1831 - 1879). Proto bychom měli rovnici (48) nazývat přesně Ampérův zákon s Maxwellovou korekcí, nebo rozšířený Ampérův zákon. Pro stručnost však v dalším textu budeme většinou uvádět pouze "Ampérův zákon". Ampérův zákon (48) a Gaussův zákon (10) společně tvoří první pár Maxwellových zdrojových rovnic. Druhý pár intuitivně označujeme jako bezzdrojový jednoduše proto, že neobsahuje hustotu náboje g ani hustotu proudu j (my jsme zatím uvedli pouze rovnici 8.4 Ampérův zákon v integrálním tvaru Gaussův zákon jsme vyjádřili v diferenciálním (10) i v integrálním (16) tvaru. Stejným způsobem můžeme nalézt v obou zmíněných tvarech i zákon Ampérův. Uvažujme integrál přes orientovanou plochu S , jím upravíme Ampérův zákon (48) do tvaru J^ x t ■ á7 = /ío J7■ d7 + /i0£0 J^-d7. Z předešlého textu víme, že plošný integrálj5 proudové Jiustoty dává elektrický^proud J j • d S = I. Dále použijeme Stokesovu větu § B • d~Ý = j V x B • d S. Integrál j E • d S označíme jako tok elektrické intenzity 0g plochou S. Použitím těchto úprav získáme Ampérův zákon v integrálním tvaru ^ . d~Ý = p0I + p0e0^^-. (49) Totální derivace je v rovnici (49) uvedena namísto parciální z důvodu, že tok elektrické intenzity závisí jak na elektrické intenzitě, tak na ploše kterou prochází. Obě tyto veličiny mohou být v obecném případě funkcemi času. Je důležité, aby student tuto rovnici správně interpretoval. Uveďme si nyní několik podpří-padů, jež rovnicipřekládají z jazyka matematiky do jazyka fyziky. Uvažujme například nulové elektrické pole E (i) = 0 0e(í) = 0. Z Ampérova zákona lze číst, že máme-li nenulovou 79 hustotu proudu a nulové elektrické pole, pak v okolí hustoty proudu vzniká vírové magnetické pole. _^ Uvažujme nyní nulový proud / či proudovou hustotu j . Vírové magnetické pole může existovat i bez proudu nebo proudové hustoty. Mějme opět uzavřenou křivku obepínající plochu S. Podél této křivky existuje nenulové magnetické pole, pokud na ploše dochází k časové změně elektrického toku. Magnetické pole se chová, jako kdyby obklopovalo skutečný elektrický proud. Časová změna toku elektrického pole se také proto často nazývá posuvný proud. Jako hezký příklad toho, kdy lze posuvný proud pozorovat, uveďme nabíjející se kondenzátor. Vezmeme-li uzavřenou křivku obkružující plochu, kterou protíná vodič těsně před nabíjejícím se kondenzátorem (viz obrázek 48), je zřejmé, že díky proudu ve vodiči musí podél této křivky vznikat vírové magnetické pole. O kousek vedle plochu již neprotíná vodič, nachází se mezi deskami kondenzátoru, který tím, jak se nabíjí, vytváří zvětšující se elektrické pole. Zde je zdrojem magnetického pole právě měnící se elektrické pole. Obrázek 48: Uzavřené křivky v blízkosti desek kondenzátoru. Pro třetí podpřípad uvažujme sféricky rozložené náboje, například v balónku. Předpokládejme, že balónek je ze všech stran děravý, takže na povrchu nám budou náboje sféricky unikat. Uvažujme dále část plochy povrchu balónku, z níž budou směřovat vektory elektrické intenzity ven (či dovnitř - v závislosti na znaménku náboje). Jak budou plochou náboje unikat (plochou poteče elektrický proud), v balónku se bude zmenšovat náboj a následně s ním také elektrické pole, a tok elektrické intenzity plochou S. Změna toku vyjde záporná v závislosti na proudu odnášejícím náboj. Samozřejmě v obecném případě bereme v úvahu všechny tři složky Ampérova zákona. Př. 8.3. Zadání: Mějme dva nekonečně dlouhé rovnoběžné vodiče ve vzdálenosti r. Jakou silou se přitahují, protéká-li jimi proud II Řešení: Nejprve uvažujme pouze jeden lineární vodič. Okolo tohoto vodiče předpokládejme myšlenou kružnici, v jejímž středu se vodič nachází (vodič je orientován kolmo vůči rovině, na níž kružnice leží). Díky symetrii a nedivergentnosti magnetického pole musí být vektory magnetické indukce ve všech bodech kružnice stejně velké a ke kružnici tečné. Jsou-li ke kružnici tečné, půjde skalární součin vektorů nahradit ~É ■ á~Ý = Bár. Je-li B po celé kružnici konstantní, lze jej vytknout před integrál. Integrál přes uzavřenou křivku se rovná délce křivky § dr = l = 2ivr, kde l značí délku křivky a r poloměr kružnice. Pokud bude splněna podmínka tečnosti ke křivce a konstantnosti velikosti magnetické indukce, lze Ampérův zákon s nulovým elektrickým polem zapsat ve tvaru Bl = /íqJ. (50) 80 V případě přímého vodiče se magnetické pole v jeho okolí díky rovnici (50) rovná I B = fi0 2irr Ze vztahu pro Lorentzovu sílu víme, že pokud magnetické pole svírá s přímým vodičem o délce L pravý úhel, velikost síly působící na vodič vyjádříme ve tvaru fi0I2L F = ILB 2irr Př. 8.4. Zadání: Mějme dlouhou cívku (solenoid). Určete magnetické pole hluboko uvnitř cívky a na konci cívky, protéká-li cívkou proud L ■B Obrázek 49: Cívka. Řešení: Rez cívkou vykresluje obrázek 49. Oranžový obdélník představuje myšlenou křivku, podél které zkoumáme magnetické pole. Uvažujeme-li solenoid nekonečně dlouhý, můžeme magnetické pole venku oproti poli uvnitř zanedbat. Uvážíme-li libovolnou uzavřenou křivku ležící mimo solenoid, tak skrze tuto křivku poteče nulový proud (zanedbáme-li proud ve směru solenoidu) a magnetické pole mimo solenoid musí být nulové. Uvnitř je magnetické pole orientováno rovnoběžně s cívkou (viz zakreslený vektor magnetické indukce). Uvážíme-li svislé strany obdélníku, skalární součin těchto úseků s vektory magnetické indukce se rovná nule právě kvůli kolmosti vektorů B na tyto úseky. Jediným přispívajícím úsekem zůstane vnitřní horizontální strana o délce a, ta, která je s magnetickým polem rovnoběžná. Pro cívku platí rovnice (50), tedy § BdiÝ = j Bár = B j dr = Ba. Uzavřenou křivkou však probíhá více než o o jeden vodič. Celkem v sobě úsek o délce a uzavírá ./V vodičů. Celkový proud pak odpovídá ./V násobku proudu protékajícího cívkou. Takže platí B = VoIN a Označíme-li si hustotu závitů r\ = N/a, lze magnetické pole uvnitř dlouhé cívky vyjádřit jako B = fiolr,. (51) Toto magnetické pole vytváří všechny závity. Jak ale ukázal předešlý příklad, vzdálenější závity působí mnohem méně než ty blízké. Představme si, že cívku rozřízneme v půli a jednu půlku přesuneme na opačný konec druhé z cívek. Rozřízneme-li cívku na půl a jednu z půlek odejmeme, logicky z toho díky principu superpozice vyplývá, že magnetické pole v bodě řezu je poloviční. Přesuneme-li odříznutou půlku na druhou stranu, bude ona půlka při dostatečné délce solenoidu velmi daleko (od bodu řezu) a její příspěvek budeme moci zanedbat. Na okraji dlouhé cívky působí poloviční magnetické pole než uprostřed. Reálné pole cívky (solenoidu) vykresluje obrázek 50. 81 Obrázek 50: Magnetické pole v blízkosti reálných cívek. Př. 8.5. Zadání: Vyšetřete pole uvnitř a vně toroidu. Obrázek 51: Toroid. Řešení: Nákres toroidu můžete vidět na obrázku 51. Uvažujme kružnici se středem uloženým ve středu toroidu. Případ lze rozdělit na tři možnosti. • Kružnice je menší než vnitřní části toroidu (křivka 1). Pak neobjímá žádné proudy a i magnetické pole na této kružnici bude nulové. • Kružnice je větší než vnější části toroidu (křivka 3). Kružnice objímá vodiče vcházející do roviny kružnice a stejný počet vodičů vycházejících. Součet všech proudů vyjde nulový. Pak je magnetické pole podél kružnice opět nulové. • Kružnice je uvnitř toroidu (křivka 2) a objímá ./V vodičů, kde ./V vyjadřuje počet závitů. Vně toroidu je pole nulové. Uvnitř, dle Ampérova zákona, rovnice (50) platí Bl = fi0NI. 82 Pro délku myšlené kružnice l = 2tvv, kde r označuje poloměr kružnice, se velikost magnetické indukce rovná B = ^l (52) 2nr v 1 Př. 8.6. Zadání: Uvažujme deskový kondenzátor tvaru dvou rovnoběžných kruhů o poloměru R. Vzdálenost desek kondenzátoru předpokládejme mnohem menší než jejich velikost. Kondenzátory se nabíjejí proudem I. Vyšetřete magnetické pole mezi deskami kondenzátoru. Řešení: Mějme myšlenou kružnici o poloměru r << R, která se nachází mezi deskami kondenzátoru, její rovina s nimi leží rovnoběžně a její střed se nachází na spojnici středů kruhových desek kondenzátoru. Je logické, že díky symetrii a nedivergentnosti magnetického pole zůstane na myšlené kružnici velikost vektoru magnetické indukce konstantní a směr magnetické indukce bude ke kružnici tečný. Pod kružnicí vyjde elektrický proud nulový. Rostoucí elektrické pole však vyvolá proud posuvný, platí i • d r = aío£o-t— =^ lB = W^-^-, at ot kde l = 2-kv označuje délku myšlené křivky, S = 7rr2 plochu, kterou křivka uzavírá, a E zase velikost vektoru elektrické intenzity, které míří kolmo na plochu S, proto lze skalární součin vektorů (intenzity a normály k ploše) nahradit součinem dvou skalárů (stejný argument platí pro vektor magnetické indukce). Jak jsme si uvedli, elektrická intenzita pro deskový kondenzátor se rovná E = ® , kde Sk = kR? odpovídá ploše celého kondenzátoru. Změna Sk^o náboje v čase vytváří proud, platí = SjiQdQ_ = fi0r ~ Skl dt ~ 2-kR? ' Se zvětšující se vzdáleností od centra magnetické pole narůstá. Pokud bychom uvažovali ideální kondenzátor (což znamená, že přesně za hranicí r = R by elektrické pole zmizelo), byla by pak na této hranici magnetická indukce B = -——I stejná jak ve vzdálenosti R od vodiče 2ttR nesoucího proud I. S rostoucí vzdáleností by pak magnetické pole klesalo podle B = -^-1. 2irr Magnetická indukce má ve velké vzdálenosti od nabíjejícího se kondenzátoru stejný průběh jako magnetická indukce v blízkosti lineárního vodiče. Příklady k procvičení 8.1. Uvažujte dlouhý vodič válcového tvaru o poloměru R protékaný proudem o velikosti proudové hustoty j = kr, kde r je radiální vzdálenost od osy vodiče. Určete velikost vektoru magnetické indukce uvnitř i mimo vodič. Příklady k procvičení 8.2. Uvažujte nabitou dlouhou tyč válcového tvaru o poloměru R s konstantní hustotou náboje qq. Tyč je roztočena kolem osy symetrie úhlovou rychlostí oj. Určete velikost vektoru magnetické indukce uvnitř tyče v závislosti na radiální vzdálenosti od osy tyče. 83 Příklady k procvičení 8.3. Uvažujte nabitou dlouhou tyč válcového tvaru o poloměru R s hustotou náboje g = k (R — r), kde r je radiální vzdálenost od osy tyče. Tyč je roztočena kolem osy symetrie uhlovou rychlostí oj. Určete velikost vektoru magnetické indukce uvnitř tyče v závislosti na radiální vzdálenosti od osy tyče. Příklady k procvičení 8.4. Uvažujte nekonečně dlouhý vodivý válec o poloměru R\. Do tohoto válce je vyvrtána válcová dutina o poloměru R2 (viz obrázek 52). Osy obou válců jsou rovnoběžné, ale nikoli totožné. Jejich vzdálenost je a, kde a + R2 < Ri- Vypočtěte velikost vektoru magnetické indukce uvnitř dutiny na spojnici obou os ve chvíli, kdy válcem protéká proud s konstantní hustotou proudu j. Radiální vzdálenost od středu vodivého válce (uvažujte na spojnici os) je r. Příklady k procvičení 8.5. Uvažujte v rovině xy nekonečně velkou vodivou tenkou desku, kterou protéká proud ve směru osy x. Délková hustota proudu je i (proud je / = iL, kde L je délka v rovině xy ve směru y). Určete vektor magnetické indukce v závislosti na vzdálenosti od roviny. a Obrázek 52: Vodič s válcovou dutinou. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 198-205, 216-219 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 224-240 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 236-245, 247-255, 266-282 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 29, 30, 32 84 9 Biotův-Savartův zákon. 9.1 Biotův—Savartův zákon a vektorový potenciál. V úvodních kapitolách jsme uvedli Gaussův zákon (10) a nalezli jsme jeho řešení (pro vektor elektrické intenzity E) ve tvaru rovnice (9). Podobným způsobem jsme se seznámili s Poisso-novu rovnicí (15) a s jejím řešením pro potenciál p ve tvaru (14). Pomocí Ampérova zákona (48) (pro statické elektromagnetické pole) nalezneme proudovou hustotu j , známe-li přesný tvar magnetického pole. Jak ale najdeme řešení pro vektor magnetické indukce ~Ě ze znalosti proudové hustoty? Pro nalezení řešení nám bude nápomocný Gaussův zákon pro magnetické pole ^ • ~É = 0. Vzpomeneme-li si na matematickou identitu = 0, pak můžeme nahradit vektor magnetické indukce rotací nového vektoru . Divergence magnetické indukce je pak dÉ nulová identicky. Použitím tohoto nového výrazu změníme Ampérův zákon (pro = 0) do tvaru 3 x 3 x ~A = fio~t ■ Z dřívějších výpočtů víme, že platí 3 x 3 x ~Á = 3 (3 ■ ~A^j -A~l. K nově vytvořené vektorové funkci ~Á smíme přičíst gradient funkce /, aniž by se magnetické pole změnilo: ~É = 3 x 1 = 3 x 1 + 3 x 3 f, protože 3 x 3 f = 0. Funkce / se nazývá kalibrační funkce. Vektorová funkce ~Á je díky kalibrační funkci nejednoznačná. Změnou ~Á o gradient libovolné funkce se , které je fyzikálně měřitelnou veličinou, nezmění. Změní se však divergence vektorového pole na + Af. Protože můžeme / vybrat libovolně, zvolme jej právě tak, aby platilo = 0. Ampérův zákon (47) (v elektrostatickém podpří-padu) se tímto změní do tvaru -AÍ = /xot- (53) Pozorný čtenář si jistě všimne podobnosti mezi touto rovnicí a potenciálem p v Poissonově rovnici (15), jejímž řešením byla rovnice (14). Díky analogii můžeme nalézt řešení rovnice (53) ve tvaru 47T J \ r — r '\ Vektor ~Á nyní z důvodů, jež jsou zřejmé, můžeme nazvat vektorový potenciál. Stejně jako v případě výpočtu elektrické intenzity zdůrazněme, že ~Á (Ý) je funkcí nečárkovaných souřadnic, na rozdíl od j (~ř^')> která je funkčně závislá na čárkovaných souřadnicích, přes které integrujeme. Vektor magnetické indukce pak vypočteme t = ^ x í JdV' 47T J \~Ý - ~Ý' Operátor 3 přesuneme dovnitř integrálu. Připomeňme identitu (viz příklady na doma 1.4) ^ x (~j f^j = f ■ 3 x ~~j + f) x 7 ■> kde f = p^F—^Per^or ^ Je operátorem nečárkovaných souřadnic, takže ^ x j = 0. Z předchozích kapitol víme, že platí rovnost y _ f _y _y V ——= —— „ . Dosazením výše uvedených výrazů a použitím ~čt x b = — b x~čt //i3' 85 obdržíme Po f j x ("^ - "ž*7) dl" 47T 7 |~7^ — "Ť^7 (55) Tato rovnice je řešením Ampérova zákona (48) (s magnetostacionárním polem). Teče-li proud / v tenkém vodiči, je směr elementu vodiče stejný jako směr proudové hustoty d~Ý' || j d~Ý' = ~řtdr', j = itj. Výraz uvnitř integrálu pozměníme na 7 x {Ý — ~Ý') dV' = ~~j x (Ý — ~Ý') (d~Ýr ■ d~É'^j = ~řt x {Ý — ~Ý') (it ■ d~É'^j jdr = = d~Ý' x (~ý - ~Ý') ■ d~Š'^ = d~Ý' x (Ý - ~Ý') dl = -(~Ý - ~Ý') x d~Ý'dI V rovnici (55) žádný jiný člen není funkcí /, a proto lze použít f dl = I. S těmito úpravami lze rovnici (55) změnit do tvaru Po f itf - "ř*') x d~Ý' (56) Air J [Ý - Připomeňme si ještě jednou význam jednotlivých částí v Biotově-Savartově zákonu. Význam veličiny Veličina Proud (pro rozvětvující se vodič závisí na poloze zdroje) Vektor proudové hustoty (závisí na poloze zdroje) 7(^0 Polohový vektor studovaného bodu Polohový vektor zdroje pole Vektorový element zdroje (slouží k integraci přes zdroj) d~Ý' Vzdálenost studovaného bodu od zdroje [Ý - ť\ Tabulka 3: Význam členů v Biotově-Savartově zákonu. Př. 9.1. Zadání: Uvažujte kruhovou smyčku o poloměru R, kterou protéká proud /. Jaká je magnetická indukce podél přímky kolmé na rovinu kružnice, procházející středem kružnice (viz obrázek 53 a))? Řešení: Vzhledem k tomu, že elektrický proud teče pouze skrze tenký vodič ve tvaru kruhové smyčky, použijeme rovnici (56). Proud / uvažujeme podél celé smyčky konstantní. Pro výpočet je potřeba správně zvolit souřadnicovou soustavu. Uvažujme, že proudová smyčka se nachází v rovině xy a přímka, kde magnetické pole studujeme, leží na ose z. Polohový vektor bodu, kde magnetické pole studujeme, vyjádříme ve tvaru ~Ý = (0, 0, z). Polohový vektor zdroje, který leží na kružnici, je ~ý' = (R cos p', R sin ', R sin ip',—z) x (—sin p>', cos ', zRsmíp',R2^díp', 2tt 4tt J zR cos ip', zR sin ip', i?2) d'dp>', j zR sin ' (zR sin tp'l2?, -zR cos tp'ffi, R2ip'\2^) 4tv (R2 + z 2^3/2 0,0,27ri?2 Vol 2{R2 + z 2^3/2 (0,0, i?2 Pokud z = 0, pak ~Ě = ^ (0,0,1). 2R Komentář: Ukažme si, že stejný výsledek obdržíme i v případě, aplikujeme-li k výpočtu rovnici (55). Klíčové při tomto výpočtu bude správně sestavit vektor hustoty proudu. Pakliže se náboje pohybují pouze v tenkém vodiči, použijeme delta-funkce. Vodič ve tvaru kruhu o poloměru R umístěný do roviny xy popíšeme dvěma delta-funkcemi 5 {r' — R), 5 (z') . Jednotkový vektor mající směr proudové hustoty je (— sin ip', cos ip', 0) - viz obrázek 53. Proudovou hustotu vyjádříme ve tvaru j = 15 {r' — R) ó (z') (— sin ip', cos ip', 0) . Objemový element ve válcových souřadnicích nabývá tvaru d V = dx'dy'dz' = r'dr'dtp'dz'. Dosazením do členů v rovnici (55) obdržíme ~~j x (Ý — ~Ý') = 15 (r' — Ŕ) ó (z') [z cos ip', z sin ip', Ŕ) , fiQ f IS (r'— R) S (z') (z cos ip', z sm ip', R) r'dr'ďp'dz' Air Vol 4tt (R2 + z (R2 + z2f'2 . . 5 (r' — i?) ô (z') {z cos ip', z sin ip', i?) r'dr'dip'dz' 2 ^ / 87 Air (R2 + z2f/2 Vol J [z cos 00 se výsledek změní na 2= Afo/ 4a7r (0,0, c) (c2 + a2)1/2 + (0,0, c) 'c2+a2)1/2 Vol 2air (0,0,1) 88 Tento výsledek je shodný s výsledkem magnetického pole v blízkosti nekonečně dlouhého vodiče. Př. 9.3. Zadání: Uvažujte proudovou úsečku umístěnou na ose x G (xi\X2). Určete magnetickou indukci v bodě P ležící opět na ose x. Řešení: Polohový vektor zdroje je ~Ý' = (x', 0,0) =4> d~Ý' = (da/,0,0). Polohový vektor bodu, kde chceme pole měřit, vyjádříme ve tvaru ~Ý = (x, 0, 0). Dle rovnice (56) platí (~Ý - ~Ý') x d~Ý' = (x- x', 0, 0) x (dx', 0, 0) = ~[f =>- ~É = 0. Komentář: Leží-li vodič na přímce (nebo jeho část) a na stejné přímce se nachází bod, ve kterém studujeme magnetické pole, je příspěvek od vodiče (či jeho části) k magnetickému poli nulový. Proudová úsečka uvedená v příkladě 9.2 je v zásadě nefyzikální. Proud musí někudy vtékat a někudy vytékat. Přidáme-li však k úsečce proudové polopřímky, které leží na přímce s bodem P vyjde magnetické pole stejně jako v příkladu 9.2. Příklady k procvičení 9.1. Uvažujte vektorový potenciál ve tvaru ~Á = e~fcr2^, kde r2 = x2 +y2 + z2 a ~Ý = (x, y, z). Vypočtěte hustotu proudu j . Příklady k procvičení 9.2. Uvažujte kruhovou proudovou tenkou smyčku o poloměru R, kterou protéká proud / (proud teče v matematicky kladném směru). Smyčka leží v rovinně xy tak, že její střed se nachází v bodě (0, 0, 0). Vypočtěte vektorový potenciál na ose z. Pro výpočet použijte rovnici (54). Příklady k procvičení 9.3. Uvažujte nekonečně dlouhý lineární vodič protékaný proudem /. Určete vektorový potenciál v jeho blízkosti. Proud směřuje ve směru osy z. Pro výpočet použijte rovnici (54). Příklady k procvičení 9.4. Uvažujte čtvercovou vodivou smyčku o délce hrany a ležící v rovinně xy tak, že její střed se nachází v bodě (0, 0, 0). Vypočtěte vektor magnetické indukce na ose z. Proud teče v matematicky kladném směru. Příklady k procvičení 9.5. Uvažujte kruhový tenký disk o plošné hustotě náboje o ležící v rovinně xy tak, že jeho střed se nachází v bodě (0, 0, 0). Kruh rotuje úhlovou rychlostí uj kolem osy z. Vypočtěte vektor magnetické indukce na ose z. Disk rotuje v matematicky kladném směru. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 205-216, 219-220 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 242-256, 267-269 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 239-253 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: podkapitola 30.1 89 Čtvrtsemestrální písemná práce č. 3. 1. Spočtěte velikost vektoru magnetické indukce v blízkosti proudové úsečky o délce a. Úsečkou protéká konstantní proud I. Magnetické pole vypočtěte v bodě A, jenž je od obou konců úsečky stejně vzdálený a od středu úsečky má vzdálenost zq. Zjistěte, jestli lze toto pole kolem bodu A reálně vytvořit, nakreslete obrázek, jak by musel reálný zdroj vypadat. Nápověda: f(k + x2)~3í2dx = — (k + x2)^1/2. Pro kontrolu můžete položit a oo k a srovnat s polem v okolí nekonečně dlouhého vodiče. 2. Vypočtěte proudy protékající obvodem na obrázku 1.: £\ = 2V, £2 = 7V, R± = liž, R2 = 2řž, i?3 = 3řž. 3. Koaxiálním kabelem (vnitřní částí) protéká proud I = 2A, vnějším obalem protéká opačný proud I = 1A (proud protéká opačným směrem). Vypočtěte velikost magnetické indukce mezi vnitřní a vnější částí a mimo kabel. Uvažujte vnitřní část jako nekonečně tenký a dlouhý vodič umístěný na ose z a vnější obal jako nekonečně tenkou a dlouhou válcovou plochu s poloměrem i? a se středem na ose z. Nakreslete závislost B na vzdálenosti od osy z. Ovlivňování magnetického pole jinými zdroji zanedbejte. 4. Uvažujte dvě dlouhé válcové cívky, jež se na koncích (podstavami) dotýkají. Proud protékající závity označte I a hustotu závitů (počet závitu na jednotku délky cívky) jednotlivých cívek 7]i a r]2- Jaká je velikost magnetické indukce v místě dotyku cívek (myšleno uvnitř válců)? 90 10 Faradayův zákon, Maxwellovy rovnice, potenciály 10.1 Faradayův zákon Když se v roce 1820 zjistilo, že elektrický proud vytváří magnetické pole, a o rok později, že na vodič protékaný proudem v magnetickém poli působí síla, vyskytla se otázka, zda nelze vytvořit magnetickým polem elektrický proud. První pokusy se prováděly magnetostacionárně. Studovalo se, jestli v blízkosti vodičů s vysokými proudy nevznikají v jiných vodičích nové proudy díky přítomnosti magnetického pole. Tyto experimenty však skončily neúspěchem. Až v roce 1840 anglický fyzik Michael Faraday objevil, že se elektrické jevy projevují pouze se změnou magnetického pole, nikoli jen s jeho přítomností. Teče-li v jednom z vodičů střídavý proud, pak i ve vodiči v jeho blízkosti lze naměřit střídavý proud. Podobným způsobem můžeme generovat proud ve vodiči pomocí magnetu, který se pohybuje v jeho okolí. Hovoříme o indukovaných proudech (viz obrázek 55 a)). Uvažujme proudovou smyčku či cívku (několik smyček) připojenou na zdroj střídavého elektromotorického napětí. Smyčka ve svém okolí generuje střídavé magnetické pole —— 7^ 0. ot V blízkosti této smyčky (nebo cívky) se nachází jiná uzavřená smyčka (viz obrázek 55 b)). Experimenty ukázaly, že střídavé magnetické pole v druhé smyčce indukuje elektromotorické napětí. Je dobré si uvědomit, že indukované elektromotorické napětí existuje v uzavřené křivce. Pohybem nábojů podél uzavřené křivky můžeme vykonávat nebo získávat práci. Elektrické pole představuje v tomto případě pole nekonzervativní, platí 7^ 0 (viz první kapitola). Nejde však o perpetuum mobile, energii dodává střídavý zdroj napětí. Je-li smyčka vodivá, pak jí za přítomnosti napětí protéká proud. Tento proud opět vytváří magnetické pole. Ruský fyzik Heinrich Friedrich Emil Lenz zjistil, že indukovaný proud v druhé smyčce má takový směr, že svým magnetickým polem působí proti změně magnetického pole, jež jej Obrázek 55: Faradayovy pokusy. 91 indukovala. Faradayův zákon v diferenciálním tvaru lze zapsat dB* dt V x E. (57) Znaménko mínus se ve vzorci objevuje právě díky Lenzovu zákonu. Stejně jako v případě elektrické intenzity můžeme definovat pod uzavřenou křivkou magnetický indukční tok jako 4>B = J t ■ ďÉ. Integrací Faradayova zákona (57) přes plochu d~É obdržíme d4> B dt Si.. (58) kde £ představuje indukované elektromotorické napětí vzniklé ve smyčce, které získáme díky Stokesově větě £i = j> ~É ■ d~Ý = J x ~É ■ dt. V rovnici (58) uvádíme totální derivaci namísto parciální. Je to z toho důvodu, že magnetický tok může být závislý jak na ploše, tak na magnetickém poli. Obě tyto veličiny mohou být funkcemi času. Př. 10.1. Zadání: Uvažujte dlouhou cívku o ./V závitech, délce l a ploše průřezu 5i, kterou protéká proud Ic = Iq cos ujt. Uvnitř této cívky se nachází homogenní magnetické pole. Do této cívky vložíme kovový kroužek jenž obepíná plochu 5*2 < 5*1 (normála k ploše kroužku je rovnoběžná s vektory magnetické indukce) - viz obrázek 56. Odpor kroužku uvažujte R. Jaký proud teče kroužkem a jakou silou působí cívka na kroužek? Uvažujte pouze výše zmíněné vlivy (zanedbejte vlivy magnetického pole vytvořeného proudem indukovaným v kroužku samotném). Toho lze docílit například zvolením dostatečně velkého R. lc=l0COS(Ji)t Obrázek 56: Cívka s kroužkem. 92 Řešení: Jak jsme uvedli v předchozích kapitolách, uvnitř cívky platí B dB Faradayova zákona £j = — -^j-S2 z Ohmová zákona jako dlc p0NS2 l . Dle dt l dlc poNS2 pqNS2uIq sin ují . Proud protékající smyčkou vypočítáme dt IR IR Nyní uvažujme sílu působící na kroužek. Ze vztahu pro Lorentzovu sílu víme, že platí d~P = Isd l x ^. Předpokládejme, že pro daný okamžik magnetické pole směřuje ve směru z a kovový kroužek leží v rovině xy, tedy B = (0, 0, B), l = (Rk cos p, Rk smp, 0), d l = {—Rk sin p, Rk cos p, 0) dp, kde Rk značí poloměr kroužku. Po dosazení obdržíme 2tt 2tt F* = Is j (—Rk sin p, Rk cos p, 0) x (0, 0, B) dp = IsBRk J (cos p, sin 0. V rovině xy leží čtvercová vodivá smyčka s délkou hran a a s nezanedbatelným odporem R (viz obrázek 58). čtvercovou smyčku vytahujeme konstantní rychlostí lt = (vq, 0, 0) z magnetického pole. Určete výkon potřebný k vytáhnutí smyčky. Řešení: Magnetický tok odpovídá v tomto případě zjednodušenému vztahu 0 = BS. Předpokládáme-li konstantní magnetické pole, pak změna toku může být dána změnou plochy. 93 ® ® ® ® ® ® ® ® (g> (g> ® ® ® ® ® ® ® ® ® -►(g) ® ® ® (g) ® (g) B ® ® ® ® 0®®®®®®® v Obrázek 58: čtvercová vodivá smyčka tažená z homogenního magnetického pole. Uvažujeme-li, že čtvercovou smyčku vytahujeme z magnetického pole, mění se pouze x-ová souřadnice, platí dcf) = BdS = Badx. Indukované emn. ve smyčce se rovná £j = —= dt Badx Bavo ---— = —Bavo. Proud je pak I =---—. Z obrázku 58 jasne vidíme, ze magnetické ot R pole působí na horní část smyčky stejně velkou, ale opačně orientovanou silou jak na spodní část smyčky. Výsledná síla od těchto dvou příspěvků, v případě pevného vodiče, vyjde nulová. Nenulový příspěvek získáme od svislé části smyčky, která je zanořena v magnetickém poli. Síla ve směru osy x bude rovna F = IaB = R Znaménko mínus ukazuje, že síla míří proti směru vytahování. Vykonavatel práce musí působit silou proti této síle . Výkon pak jednoduše vypočteme jako B2a2v2 Komentář: Je evidentní, že výše uvedené skokové magnetické pole není fyzikálně reálné. Přechod od nenulového pole k nulovému musí být hladký, byť může být velmi strmý. 10.2 Maxwellovy rovnice a potenciály Nyní jsme si již uvedli všechny Maxwellovy rovnice. Z historického hlediska byly vytvořeny na základě pozorovaných fyzikálních jevů, nejde o vztahy odvozené z obecnějších principů. Maxwellovy rovnice popisují provázanost elektrického a magnetického pole, které ve skutečnosti nelze uvažovat odděleně. Dochází tak k prvnímu sjednocení fyzikálních interakcí. Dále popisují vztah mezi elektrickým polem, magnetickým polem a zdrojem ve formě proudu a náboje. Tyto rovnice shrnuje tabulka 4. Další důležité rovnice uvedené v tabulce představují rovnice pro potenciály. Kromě Maxwellových rovnic a rovnic pro potenciály je uvedena v tabulce také rovnice kontinuity, kterou lze odvodit právě z Maxwellových rovnic (což dokazuje jejich fyzikální správnost) a vztahu pro Lorentzovu sílu, která popisuje působení obou zmíněných polí na částici o náboji q. Potenciály uvedené v tabulce vypadají trochu jinak, než jsme si doposud uvedli. V předešlých kapitolách jsme definovali vektorový a skalární potenciál jako 94 Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru Zdrojové rovnice Bez-zdrojové rovnice Gaussův zákon ^ = -* £0 Gaussův zákon pro magnetické pole Rozšířený Ampérův zákon V X B =P0J +tlQEQ — *><*-# Faradayův zákon Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru Gaussův zákon £0 § t ■ d~Š = 0 Gaussův zákon pro magnetické pole Rozšířený Ampérův zákon B J dt Faradayův zákon Rovnice pro potenciály Elektrická intenzita Magnetická indukce Další rovnice elektromagnetismu Rovnice kontinuity ~f = q(^É + ^x^ Lorentzova síla Tabulka 4: Maxwellovy rovnice a důležité rovnice elektromagnetismu. Skalární potenciál jsme zavedli v případě elektrostatiky a vektorový v případě magnetosta-tiky. Maxwellovy rovnice jsou dynamické a závisí na čase. Proto podle nich musíme upravit i rovnice pro potenciály. Dosaďme výše uvedené potenciály do Faradayova zákona 3 xE* = 3 x^(p = 0 = = -^r$ X ~A. dt dt Rotace gradientu potenciálu se identicky rovná nule. To by znamenalo, že magnetické pole musí být stacionární (z tohoto předpokladu jsme při zavádění těchto potenciálů vycházeli). Abychom tuto statičnost odstranili, rovnice pro potenciály musíme pozměnit. To, že magnetická indukce vypočtená z vektorového potenciálu je v pořádku, nám ukazuje Gaussova rovnice pro magnetické pole. Takže změnu provedeme u rovnice s elektrickou intenzitou. Přidejme k intenzitě nový člen, například Dosazením do Faradayova zákona obdržíme d —> —> —> d~/l ~ Á =4> C = ——. Jako důkaz správnosti nám jednoduše poslouží opě- V x C dt ■V x dt 95 tovné zderivování a odvození Faradayova zákona. Potenciály tudíž získáme v novém tvaru ^ = _^,_frá ^4x1 (59) Jak jsme ukázali, rovnice pro potenciály (59) mohou sloužit přímo k nahrazení bezzdrojo-vých Maxwellových rovnic. Řešení kompletních Maxwellových rovnic s nulovým zdrojem (g = 0, j = ~[f) popisuje elektromagnetickou vlnu (světlo) ve vakuu, která se pohybuje rychlostí c. Tato rychlost se právě rovná c = y/l/hqeq. Je velmi zajímavé, že v řešení se vyskytuje rychlost jako neměnná konstanta. Selský rozum říká, že pozorovatel, který pozoruje světlo, by měl měřit jinou rychlost než pozorovatel, jenž se vzhledem k prvnímu pozorovateli pohybuje nějakou nenulovou rychlostí. Tyto rozpory zamotaly hlavy nejslavnějším fyzikům devatenáctého století. Podařilo se je rozlousknout až ve století dvacátém slavnému německému fyzikovi Albertu Einsteinovi (1879 - 1955), který postuloval, že pro všechny pozorovatele se světlo pohybuje stejnou rychlostí, nezávisle na vzájemné rychlosti daných pozorovatelů. 10.3 Kalibrační invariance V minulých kapitolách jsme si ukázali, že ani skalární, ani vektorový potenciál není určen jednoznačně. Uvažujme rovnici pro vektorový potenciál . Jak jsme zmínili dříve, k potenciálu můžeme přičíst kalibrační funkci / tak, že výsledné magnetické pole zůstane nezměněno: ^ X (~1 + ^f) = ^x^ + ^x^/ = ^x^ = ^. Elektrická intenzita závisí jak na vektorovém, tak na skalárním potenciálu É = — vip--—. Kalibrační funkce u vektorového potenciálu pozmění i elektrickou intenzitu. K tomu však nesmí dojít, proto kalibrace musí být provedena tak, aby ~Ě a ~É zůstaly nezměněny, poněvadž ~Ě a ~Ě jsou fyzikálně měřitelné veličiny. Díky tomu, že jsme přešli od statického (případně df stacionárního) pole k nestatickému, můžeme uvažovat skalární potenciál ve tvaru p> —> p> — —, kde / představuje stejnou funkci jako v případě vektorového potenciálu. S těmito kalibracemi zůstává E i B invariantní. To lze jednoduše ukázat: Shrneme-li výše uvedené, k potenciálům lze přičíst kalibrační funkci těmito způsoby kde f(t,x,y,z) označuje zcela obecnou funkci. Změnu lze provést, aniž by došlo ke změně fyzikálně měřitelných veličin. Význam kalibrační volnosti převyšuje klasickou elektrodynamiku. Kalibrační volnost například v kvantové mechanice zodpovídá za existenci nosiče elektromagnetismu fotonu nebo za zachování elektrického náboje. 96 Př. 10.3. Zadání: Uvažujte skalární potenciál ve tvaru p = Q/r a vektorový potenciál ve tvaru ~Á = Qt~Ý/r3, kde r2=i2+i/2 + z2a^ = (x, y, z). Zjistěte ~Ě a ~É. Řešení: Využijeme rovnici ^ • — = Ir3. Pro vektorový potenciál platí r Elektrická intenzita se rovná y \ y3 / ^*3 Komentář: Z výsledku je patrné, že při jiné kalibraci bychom mohli zvolit potenciál a vektorový potenciál ve tvaru ^ = 0 a í = 0, a výsledné ~Ě a B by zůstalo nezměněné. Kalibrační funkce / by v tomto případě odpovídala / = —Qt/r. Ze stejného důvodu lze potenciál z bodového zdroje zapsat pomocí pouze vektorového potenciálu jako ~Á = —QťÝ/r3. Př. 10.4. Zadání: Uvažujte potenciály ve tvaru p = 0 a ~Á = (0,0, C ln (g) sin (cot)) , kde g2 = x2 + y2. Zjistěte ~Ě a ~Š. Řešení: E = - Vp - — = -Clo ln (g) cos (wí) (0, 0,1), Čt dy 1 dx 1 J \ g2 ' £2 ' y £2 10.4 Lorenzova kalibrační podmínka Jak jsme uvedli výše, potenciály nejsou zcela jednoznačně určeny. Pro jejich určení se používají kalibrační podmínky. Jednu z kalibračních podmínek jsme využili pro odvození Biotova-Savartova zákona. Tato kalibrační podmínka představuje magnetostacionární podpřípad tzv. Lorenzovy kalibrační podmínky (rozlišujte Lorenz a Lorentz, jde o jiné osoby). Tu lze zapsat ve tvaru + kde c označuje rychlost světla ve vakuu. Ani s touto podmínkou však nemají potenciály jednoznačné určení. Př. 10.5. Zadání: Uvažujte stejné pole jako v předchozím příkladu, p = 0 a ~Á = (0, 0, Cln (g) sin (cot)), kde g2 = x2 + y2. Zjistěte, zda-li splňuje Lorenzovu kalibrační podmínku. Řešení: ^ = o, vM=fo,o,^|=o. dt V dz Kalibrační podmínka je splněna. 97 Př. 10.6. Zadání: Uvažujte ideální nekonečně dlouhou válcovou cívku, ve které se nachází stacionární magnetické pole ~É = (0, 0, Bz), kde Bz zůstává konstantní. Určete vektorový potenciál uvnitř cívky ~A. Předpokládejte ax = 0 a az = 0. Řešení: Nenulová složka magnetické indukce je dána Bz = ——---—. Uvažujeme-li ax ay ax = 0, pak ay = Bzx + f (y, z). Aby se také ypsilonová složka vektoru magnetické indukce d a rovnala nule, musí při splnění podmínky az = 0 platit ~q^~ = 0) tedy ay = Bzx + f (y). Lorenzova kalibrační podmínka = 0 upraví vektorový potenciál na Á = (0, Bzx, 0). 10.5 Maxwellovy rovnice v prostředí Maxwellovy rovnice uvedené v tabulce 4 jsou lineární diferenciální rovnice. Jak jsme však ukázali, v případě dielektrika si látka v elektrickém poli polarizací vytváří vlastní náboje a vlastní pole. Gaussův zákon (24) se tím stává (vzhledem k elektrické intenzitě) nelineární Uvažujme homogenní a stacionární magnetické pole ifo- Do tohoto pole vložíme feromagnetický materiál. Ten je specifický tím, že má vlastní magnetické momenty7, které se při vložení do vnějšího pole uspořádají ve směru vnějšího pole. Magnetické pole zesilují. Pozorovatel v bezprostřední blízkosti feromagnetika měří pole silnější ~É = Bq + po^, kde označuje vektor magnetisace, který je tvořený vlastními magnetickými momenty proudů j mag- Platí X M = j mag- Uvažujme Ampérův zákon v nerozšířeném tvaru x o = Po j • Přidáme-li feromagneti-kum, musíme do vztahu připsat proudovou hustotu, která vlivem vnějšího pole vzniká v látce x ~É = po~f + po i^mag- Zavedením magnetické intenzity p^É = ~Ě — poJŽ lze upravit Ampérův zákon do tvaru ^ x ~Ř = ~t- Berme nyní v úvahu kompletní rozšířený Ampérův zákon V x H = j +£q~^~- Uvažujeme- ot li časově proměnlivé elektrické pole v látce, pak proud nábojů může popisovat jak translační pohyb nábojů, tak malý přesun nábojů způsobující polarizaci. Celkový proud bude rozšířen o j poi. Takže platí ^ -řt V x H = j + j poi +£0^-- -Ŕ ^ Použujeme-li definici D a rovnici pro polarizační proud —— = j poi, obdržíme kompletní ot Ampérův zákon pro látkové prostředí ^í=? + |. (61) 7 Vlastní magnetické momenty látek pochází především ze spinu (kvantově mechanická vlastnost odpovídající rotaci) nabitých částic (elektronů, kvarků) a z pohybů elektronů okolo jádra. 98 Maxwellovy rovnice v prostředí vyjadřuje tabulka 5, kde fi značí konstantu, která v aproximaci vyjadřuje lineární závislost mezi magnetickou intenzitou a magnetickou indukcí pomocí ~É = /IQ (1Ě + Ti!) = fJLQ (1Ě + Xm^) = /iO (1 + Xm) ~É = flÉ, kde Xm je magnetická supceptibilita. Maxwellovy rovnice v prostředí Zdrojové rovnice Bez-zdrojové rovnice Gaussův zákon Gaussův zákon pro magnetické pole Rozšířený Ampérův zákon Faradayův zákon Vztahy indukce a intenzity Elektrická intenzita Magnetická indukce Vztahy indukce a intenzity, lineární aproximace Elektrická intenzita e~Ě = t ~Ě = fiÉ Magnetická indukce Tabulka 5: Maxwellovy rovnice v prostředí. 10.6 Energie elektromagnetického pole 10.6.1 Hustota energie elektromagnetického pole Z minulých kapitol víme, že částice v elektrostatickém poli má potenciální energii. Elektrostatické pole vytvářejí nabité částice a každá částice má vlastní potenciální energii. V případě, že by existoval náboj pouze jednoho znaménka (kupříkladu kladného), tuto energii bychom mohli získat rozdělením náboje na množství malých kousků, které bychom přesunuli do nekonečna. Víme, že elektromagnetické pole je se svými zdroji svázáno pomocí Maxwellových rovnic. Přísluší-li energie zdrojům (hustotě náboje a proudu), pak totéž musí platit i vůči elektromagnetickému poli. Pro následující popis energie příslušející elektromagnetickému poli zavedeme hustotu energie wem, pro kterou platí Eem = / wem^V. v Odvození hustoty energie elektromagnetického pole lze provést za použití Maxwellových rovnic (viz tabulka 4). Po vynásobení Faradayova zákona vektorem magnetické indukce a po vynásobení rozšířeného Ampérova zákona elektrickou intenzitou vyjde t ■ (ý x #) = -t ■ ~ě ■ (ý x #) = fioÉ■ 7+w)£0^ • 99 Tyto rovnice od sebe odečteme a upravíme do tvaru dÉ -> dÉ 1 d / 2 £2 _ + B._=m£j+__ b2+_ E-VxB-B-VxE =hqE j + pqeqE ■ — + B ■ — = fj,0E j + -— ( Sz + — ) . Na levou stranu rovnice použijeme identitu ~Ř - 3 x~Ě — ~É ■ 3 x E* = 3 ■ (^É x , jež zjednoduší rovnici na Uvažujeme-li Lorentzovu sílu (44) vynásobenou vektorem rychlosti, obdržíme výkon P = ~Ů -f* = q~Ů ■ {~Ř + tf x ~S\ = q~rľ ■ ~É. Máme-li náboj spojitý a nikoli bodový, lze výše uvedenou rovnici zapsat pomocí hustoty výkonu P = f pdV. POP = PoQ^ • ^ = Po7 • ^ = ^ • p x #) - ~ (b2 + |L kde q = J gdV a j = lf g. Výkon elektromagnetického pole (vztažený na jednotku objemu) je dán dvěma členy. První odpovídá divergenci Poyntingova vektoru x B. Poyn- Po tingův vektor popisuje šíření elektromagnetické vlny, světla. Tento člen vyjadřuje změnu energie příchodem či odchodem elektromagnetických vln. Druhý člen popisuje časovou změnu elektrického a magnetického pole. Pokud nebudeme uvažovat příchod či odchod elektromag- dE netické vlny, pak výkon vypočítáme jako zápornou změnu energie v čase P = — nebo p =--q^~' Dosazením do předešlých rovnic a odstraněním derivace získáme rovnici ^'=2^(1 +B2)- <62) Energie v daném objemu je dána objemovým integrálem. 10.6.2 Energie elektrostatického pole Uvažujme elektrostatické pole ~É = 0. Dále předpokládejme, že pole popisují veličiny ~Ě = —3(p, g = • ~Ě■ Potenciál zvolme v nekonečnu roven nule. Uvažujeme-li celkovou elektrostatickou energii, musíme započítat celkový prostor (který je nekonečný). Výsledná energie pak vyjde £ = | JE2dV = -E-± J%-tdV. v v Použijeme-li identitu z příkladů na doma 1.4, lze výraz upravit do podoby £ = | j^.tdv-^ j3-( = f BdS = f Bdpdz, kde z G (0; b) a p G (R; R + a). Integrál zjistíme ze vztahu n^qiaa n^01 i& i NVoIb (R + a apaz =-z\n mp\R = -m 2irp ' 2tt iu r'H 2tt \ R 104 Podle vztahu pro tok všemi /V závity N^- = L^- lze odvodit át ot _ N2fiob, fR + a L =-m 2tt V R Př. 11.3. Zadání: Uvažujte obvod s cívkou o indukčnosti C a rezistorem s odporem R. Na počátku je proud cívkou a rezistorem Iq. Vypočtěte časový vývoj proudu a práci magnetického pole cívky, kterou vykoná předtím, než proud klesne na nulu. Řešení: Máme jednoduchý obvod obsahující pouze cívku a rezistor, například ve formě žárovky. Pokud na počátku prochází cívkou proud Iq, pak rezistor způsobuje úbytek napětí U = RI, který snižuje proud. Cívka vytváří indukované emn. £j = —L—, které míří proti změně proudu, a proto proud okamžitě neklesne na nulu. Z výše uvedeného jednoduše zjistíme Rt dl - — U - Ej = 0 RI + L— = 0 I = I0e L . Ot Proud v čase exponenciálně klesá. Žárovka (rezistor) svítí, jestliže jí teče proud. Taková žárovka má jistě výkon a do svého okolí uvolňuje energii. Jak jsme již dříve uvedli, výkon žárovky (lépe příkon) lze vypočítat jako násobek proudu a napětí P = UI. Zdrojem napětí je v tomto případě cívka, tedy P = —LI—. Práci z výkonu obdržíme právě jako jeho časový integrál 0 I0 W = J Pát = - J Ll^dt = -L J lál = L J lál = ^LIq2. /0 o Meze integrálu jsme zvolili tak, aby na začátku byl proud nenulový a na konci nulový. Př. 11.4. Zadání: Uvažujme dlouhý solenoid. Vypočtěte hustotu energie magnetického pole uvnitř tohoto solenoidu. Srovnejte s hustotou energie elektrického pole mezi deskami kondenzátoru. Řešení: Magnetické pole uvnitř dlouhé cívky v úseku o délce l vyjádříme pomocí vztahu B = —y^-, kde ./V značí počet závitů v cívce o délce l. Pole je uvnitř cívky homogenní. Objem uvnitř cívky (nikoli celkový, ale pouze dílčí) získáme ze vztahu V = IS. Pro dlouhou cívku je indukčnost cívky dána rovnicí (65). Hustotu energie cívky, kterou protéká proud, vypočteme IB ° _Em__ 1LP_ _ 1 tipSN2 \Nfi0J _ B^_ wM - — - - ^ / 57 ~ 2JM)- 105 V případě deskového kondenzátoru energii získáme ze vztahu Ee = -CU2. Kapacitu S s deskového kondenzátoru vypočteme C = —— (viz rovnice (20)). Napětí mezi deskami určíme vztahem U = dE. Objem mezi deskami zjistíme ze vztahu V = Sd. Hustotu energie vyjádříme: wE 1 Se0 (dE)2 e0E2 E2 2 d Sd 2fi0c2 Výsledná hustota energie je funkce pouze elektrického a magnetického pole, případně příslušných konstant, pro které platí eoPo = Sečteme-li oba výsledky, obdržíme známý vztah cz z předešlé kapitoly (62) pro hustotu energie elektromagnetického pole wem — 2/io V c2 11.2 Vzájemná indukčnost Uvažujme dvě cívky. Cívka 1 je dlouhý solenoid, kterou ovinuje kratší cívka 2 (viz obrázek 61). Obrázek 61: Dvě cívky vložené do sebe. Nechť cívkou 1 o délce h a počtu závitů N± protéká proud I\. Ten tvoří magnetické pole Ni uvnitř této cívky o velikosti B\ = poh — . Je-li cívka 1 dostatečně dlouhá, je pole mimo ni h malé. Celkový magnetický tok cívkou 2 (tok každým závitem) se pak rovná 02 = S1N2B1, kde N2 určuje počet závitů druhé cívky, S± značí plochu řezu první cívky. Ve vztahu pro tok jsme použili Si, protože magnetické pole B\ je vně cívky 1 zanedbatelné oproti poli uvnitř. Tok cívkou 2 je úměrný počtu závitů. Indukované elektromotorické napětí na druhé cívce se z Faradayova zákona rovná £ d(fe = fipSiNM dh 12 át h dt ' Na cívce 2 se vytváří indukované emn., které závisí na časové změně proudu. Veličiny uvedené před časovou derivací jsou všechny konstanty týkající se obou cívek a dají se vyjádřit souhrnně pomocí veličiny, jež se nazývá vzájemná indukčnost M21, tedy -M21 dh dt ' 106 Pokud cívku 2 napojíme na střídavý zdroj napětí, jenž generuje proud, pak cívkou 1 prochází magnetický tok a následně v ní generuje indukované emn. Vzhledem ke konstrukci dvou cívek z obrázku 61 je následující výpočet obtížnější než v prvním případě, kde můžeme užít řadu aproximací. Uvažujeme-li vzájemnou indukčnost, výsledek se shoduje Sn = "M12^. Ot Pomocí vektorového potenciálu dokážeme, že M\2 = M21. Uvažujme obecně dvě cívky libovolného tvaru, které vytvářejí magnetické pole popsané vektory A a ~Ě, kde . Jak víme z Faradayova zákona, indukované emn. na cívce je záporná derivace magnetického toku. Uvažujme nehomogenní magnetické pole, tok vypočteme integrálem magnetické indukce přes plochu všech závitů Použitím rovnice (54) obdržíme Uvažujeme-li, že smyčka se nerozvětvuje a její tvar se v čase nemění, můžeme proud vytknout dl2 ^11 1 ^ dl2 £ii = -^ffw^^\21 = ~^12- Záměnou 1 <—> 2 obdržíme ot 4tt J J \r 1 — r 21 ot Vidíme, že integrály jsou stejné M2i = M12 = M = — i i 1 ,d^2 • d^i. (66) 4tt J J I r 1 — r 2| Indukované elektromotorické napětí se rovná dh Sn = ~M^- (67) Použitím tohoto vztahu a integrálního tvaru Faradayova zákona (58) lze odvodit rovnici pro tok magnetického pole, které vytváří cívka 1 a prochází cívkou 2, ve tvaru 02i = M/i. (68) Tok 02i je obecně jiný než tok 4>i2-Př. 11.5. Zadání: Uvažujte dlouhý solenoid. Uvnitř solenoidu visí kruhová smyčka, normála k rovině smyčky je natočená o úhel ů oproti ose solenoidu. Zjistěte vzájemnou indukčnost M. Řešení: Magnetické pole uvnitř solenoidu je homogenní. Je-li smyčka natočená o úhel ů, pak smyčkou protéká tok magnetického pole 0 = BS cos ů, kde B značí velikost magnetické indukce uvnitř solenoidu a S označuje plochu kruhové smyčky. Uvažujeme-li délkovou hustotu závitů r], pak magnetickou indukci vyjádříme B = [i§r\I. Indukované emn. na smyčce je dáno Faradayovým zákonem £j = — -jj = — fiQijS cos ů—. Porovnáním s rovnicí (67) jednoduše zjistíme, že indukčnost se rovná M = fi0r]Scosů. 107 Př. 11.6. Zadání: Vypočtěte vzájemnou indukčnost dvou na sebe kolmých soustředných proudových kruhových smyček (viz obrázek 62 a)). Obrázek 62: a) Dvě kolmé soustředné smyčky, b) Čtvercová smyčka a vodič. Řešení: Pro vyřešení tohoto příkladu použijeme rovnici (66). Polohové vektory smyček uvažujme ve tvaru ~Ý\ = {R\ cosi,0) a 1^2 = (0, R2 cos > 1. Toroid obmotáme dvěma vodiči, kterými protékají proudy I\ a I2 8. Obrázek 63: Transformátor. Uvažujme ideální transformátor fir —> oo, který pracuje beze ztrát a bez rozptylu. Počet závitů transformátoru předpokládejme Ni a N2. Dle Ampérova zákona se magnetické pole uvnitř feromagnetického toroidu vypočte z rovnice j>l$-ďt = ii{N1I1 + N2h). Magnetický tok pak vyjádříme vztahem 4> = f ~é ■ d~É. Uvažujme, že první cívka je připojena ke zdroji střídavého elektromotorického napětí e\ a na koncích druhé cívky lze měřit časově závislé napětí £2. Oba obvody lze, dle druhého Kirchhoffova zákona, popsat ve tvaru 0, S2 d(f> N2 = 0. 8V literatuře lze najít označení pro střídavé proudy, které jsou potřebné pro fungování transformátoru, malým písmenem i. 109 Pokud první rovnici vynásobíme N2 a druhou N\ a odečteme je od sebe, obdržíme rovnici S1N2 — £2^1 = 0. Úpravou získáme známý vztah pro transformaci napětí transformátorem Transformátor přeměňuje napětí, a to tak, že primární obvod připojíme na zdroj střídavého napětí a v sekundárním obvodu se vytváří napětí jiné (buď vyšší nebo nižší - podle počtu závitů). Aby nedošlo ke špatnému pochopení, je třeba uvést, že tímto způsobem však rozhodně nelze zvyšovat výkon zdroje, zvyšuje se pouze napětí. Navíc tento princip nefunguje pro transformaci stejnosměrného napětí, ale pouze střídavého. Mějme jednoduchý obvod se střídavým zdrojem napětí a rezistorem. Uvažujeme-li emn. £2 £2 cos2 (ujt) ve tvaru £ = £max cos (ut), pak okamžitý výkon bude P = £1 = — = max -. R R T JPát Časovou střední hodnotu jednoduše vypočteme jako < P >= ^—— = -7777^- Zavedeme- T 2R li efektivní proud 7ef = m^-x a emn. £ef = , pak < P >= = £eflef- V případě v 2 v 2 R transformátoru se průměrný výkon zachovává, platí £lef/lef = ut + *p, nebo ekvivalentně použitím komplexního U. Maximální napětí potom odpovídá velikosti U, tedy U Uvažujme reálné U, jež určuje maximální hodnotu napětí (nezávislé na čase). Pak U = Úe'^+ri = Uéwtév = (úcos

2 + sin p>2 = 1, pak se velikost komplexního čísla rovná A = í l2 + V3 J =2. Dále lze zapsat rovnost r 1 7T a = í + V3 = 2 (cos ip + i sm p>) cos p> =-, srn tp = — tp = —. 2 2 6 Výsledek vyjádříme ve tvaru ä = 2e 6 . Komentář: Polární zápis je vhodný pro násobení komplexních čísel. Uvažujme dvě komplexní čísla äi = Aié^ &a2 = A2é^2. Jejich násobek je äiä2 = A1A2éi^1+l?2'). 112 Př. 12.2. Zadání: Uvažujte dvě komplexní čísla äi = R± + il\ a ä2 = R2 + ih- Najděte jejich podíl —. (Ra I v tomto případě neznačí odpor a proud, ale imaginární a reálnou část komplexního a2 čísla.) Řešení: ži _ Ri + ih _Ri+ ih R2 - ih _ R1R2 + hh + i {I1R2 - hRi) a2~ R2 + ih ~ R2+ ih R2 ~ ih ~ R\ + I2 Komentář: V polárním zápisu se výsledek o poznání zjednoduší d2 A2 Př. 12.3. Zadání: Dokažte, že součin velikostí dvou komplexních čísel se rovná velikosti součinu dvou komplexních čísel. Řešení: Mějme dvě komplexní čísla á± = R\ +il± a d2 = R2+iI2. Složky komplexních čísel můžeme uvažovat jako složky dvojrozměrného vektoru, pro velikosti tudíž platí |a|2 = R2 + I2. Součin dvou komplexních čísel lze zapsat jako did2 = + ih) (R2 + il2) = R1R2 ~ hh + i (Rih + I1R2) ■ Kvadrát velikosti tohoto komplexního čísla je |SiS2|2 = (R\R2 - hh? + (Rih + I1R2? = R\R\ + + R\l\ + l\R\ = |«i|2 |á2|2. Velikosti splňují vztah |OF. 1 řŽ2 | = | Oh\| \ol2 I , což bylo vidět i v komentáři k příkladu 12.1. 12.2 Základní prvky střídavých obvodů Uvažujme jednoduchý obvod obsahující zdroj střídavého elektromotorického napětí a rezistor (viz obrázek 66 a)). Sestavme dle druhého Kirchhoffova zákona rovnici pro tento obvod: £ — RI = 0. Elektromotorické napětí na střídavém zdroji uvažujeme £ = £elwt. Pro splnění rovnice musí i proud záviset na čase jako / = - = éwt- = éwtí. R R Vidíme, že proud nemá vzhledem k emn. žádný fázový posun (odpor je veličina reálná), je ve stejné fázi. Ve střídavých obvodech se odpor rezistoru značí Z r a nazývá se rezistance. 113 £ £ £ R L C Obrázek 66: a) Rezistor b) cívka c) kondenzátor ve střídavém obvodu. Uvažujme jednoduchý obvod obsahující zdroj střídavého elektromotorického napětí a cívku (viz obrázek 66 b)). Sestavme dle druhého Kirchhoffova zákona rovnici pro tento obvod dl £ — L— = 0. Z této rovnice lze jednoduše vyjádřit proud jako kde Zl = iuiL se nazývá induktance. V případě, kdy do obvodu zapojíme cívku, proud v obvodu již zjevně nebude ve stejné fázi jako emn. Pokud napětí má reálnou část cos (cjí) , pak proud má reálnou část sin (cjí) . Obě veličiny jsou od sebe posunuty o tt/2. Elektromotorické napětí tak předchází proud o čtvrt periody. Mějme jednoduchý obvod obsahující zdroj střídavého elektromotorického napětí a kondenzátor (viz obrázek 66 c)). Sestavme dle druhého Kirchhoffova zákona rovnici pro tento obvod £ — Q = 0. Z této rovnice snadno vyjádříme proud jako kde Žc = —— a nazývá se kapacitance. Jestliže reálné napětí je funkcí cos (cjí) , pak proud íujC je zase funkcí — sin (cjí) . Proud předchází elektromotorické napětí o tt/2. 12.3 Zapojení RLC prvku ve střídavém obvodu S veličinami rezistance, induktance a kapacitance se ve střídavém obvodu pracuje obdobným způsobem jako s odporem v klasickém obvodu. Uvažujme sériové zapojení RLC ve střídavém obvodu (viz obrázek 67). V případě tří sériově zapojených rezistorů je výsledný odpor dán prostým součtem jednotlivých odporů. Stejným způsobem budeme postupovat, i když odpory nahradí rezistance, induktance a kapacitance dt C 1 114 <5> f~Y~Y\ Obrázek 67: Sériové RLC ve střídavém obvodu. Veličina Z se nazývá impedance. V případě sériového LCR zapojení pro impedanci platí Z = R + i ( uL--— I . V předešlém příkladu jsme ukázali, že velikost součinu komplexních čísel se rovná součinu velikostí komplexních čísel. Díky této znalosti a použitím maximálního proudu |/| v obvodu a maximálního emn. \£\ získáme \£\ \Z\\I\ \Z\ R2 + [uL 1 uČ Tento výraz lze zobecnit přechodem od elektromotorického napětí ke klasickému napětí na svorkách soustavy. Lze uvažovat pozměněný Ohmův zákon, kdy okamžité napětí a proud vystřídají maximální napětí a proud a kde na místo odporu použijeme velikost impedance. Př. 12.4. Zadání: Vypočtěte obvod, ve kterém je RLC zapojeno paralelně. Řešení: Pro paralelní zapojení platí 1 _ 1 1 1 Z Zr Zl Zc ZrZc + ZlZc + ZrZl ZrZlZc Dosazením za Žr, Žl a Ž c obdržíme Ž C R L Č č+lR[U)L-uč č+lR[U)L-uč Z ZrZlZc ZrZc + ZlZc + ZrZl L Č iR i uL 1 ^ - iR ( uL 1 uČ 4 L — — iR\uL 1 uČ c2 + R? [uL 1 uČ 115 Velikost impedance je R \Z\ L Č c2 + R?[uL 1 1/2- Fázové posunutí určíme z rovnice z rovnice é Příklady k procvičení 12.1. tip Z \Ž\ cos p Rž \ž\} srn ip \ž\ Upravte a vypočtěte velikost komplexních čísel: ä = -H—---1---—, b = - + — ^ i i — 1 i + l i i 1 i + 1 Příklady k procvičení 12.2. Najděte komplexní číslo ä = 2i ve tvaru Aeílŕ. Příklady k procvičení 12.3. Uvažujte střídavý obvod z prvního obrázku 68, kde R je odpor rezistoru, L indukčnost cívky, C kapacita kondenzátoru a u frekvence střídavého zdroje. Vypočtěte reálnou a imaginárni část impedance tohoto zapojení. Obrázek 68: Střídavé obvody. Příklady k procvičení 12.4. Uvažujte střídavý obvod z druhého obrázku 68, kde R je odpor rezistoru, L indukčnost cívky, C kapacita kondenzátoru a u frekvence střídavého zdroje. Vypočtěte reálnou a imaginárni část impedance tohoto zapojení. Příklady k procvičení 12.5. Uvažujte impedance z předchozích dvou příkladů. Vypočtěte proud obvodem, víte-li, že střídavé napětí na zdroji je £ = £n cos ut. Doporučená literatura Elektřina a magnetismus (Sedlák, Štoll), 2002: str. 497-524 Feynmanovy přednášky z fyziky 1, 2000: str. 302-306, 309-317, 339-342 Feynmanovy přednášky z fyziky 2, 2001: str. 300-304, 389-407 Elektromagnetismus (Andrej Tirpák), 1999: str. 422-430 Fyzika (Halliday, Resnick, Walker), 2000: kap. 33 116 Čtvrtsemestrální písemná práce č. 4. 1. Určete elektrické napětí (jako funkci času) indukované na vodivém kroužku o poloměru r = R/2 nalézajícím se uvnitř dlouhé cívky (o ploše průřezu S = ttR2 a počtu závitů ./V a na délce L), kterou protéká elektrický proud I = In sin (ojť). Rovina kroužku je kolmá na magnetické pole v cívce. V oblasti uvnitř cívky uvažujte vakuum. Určete vzájemnou indukčnost. 2. Uvažujte jednoduchý obvod bez rezistoru, který obsahuje pouze cívku a kondenzátor (sériově zapojené). Uvažujte, že v čase t = 0 je na kondenzátoru náboj Q a proud protékající obvodem je roven nule 1 = 0. Jaký bude další časový průběh náboje a proudu v obvodu? Vypočtěte a nakreslete časovou závislost / a Q na t. 3. Uvažujte vektorový potenciál ve tvaru Á = K sin (tot) (0, -r, —~), kde r2 = x2 +y2+z2. ty £t iy £t Vypočtěte vektor magnetické indukce ~É. Veličiny co a K jsou konstanty. 4. Určete vektor elektrické intenzity ~É, víte-li, že skalární potenciál

R = lÍt0 Grafy viz obrázek 70. Q 4.2: y>r<Ä = -g, y>r>Ä = - g ln (£, - ^ i?2 e 1.2: V • F = 0, V x F = (0, 0, 2w). 1.3: Bez komentáře. 1.4: Bez komentáře. 1.5: Závisí na křivce, pole není konzervativní. Pro případ přímky ~Ý = (t, i, i) spojující body (0, 0, 0) a (1,1,1) je integrál roven I = \- Grafy viz obrázek 71. 4.4. ^r>i?2 - 4^ a , ER2>r>Rl - 0 u [x2+y2+z2\2 - o (a:,j/,z-zi) — a:,ty,z--L \x2+y2+{z—z\) 2Ú 2.1 : |g = -2,27-10 39 Ŕ2 x2+y2 + ( z— 4.5. ifri? - 3^ - 2.2: £ = (0,0, Ez), p _ _Qz_ _ ztR 5.1: C 47re0(z2+-R2)í 2e0(z2+R2)Í 13: ~Ě 0,0, uzli 2eo Vz Vz2+-R2 2.4: ^ = (0,0,0). 2.5: ^ = (o, 0, 7r£o{a2+z2T)ZV2a2+z2 j ■ 3-1: a)V=4^ln a+^/a2+j/2 i?+2a-[i?2+(2a)2]1/2' 5.2: C = 2TvRe0. 5.3: Cc = 5.4: a = C. 5.5: M = ^f^ ^ 47T£o ' 47TE0 ln -a+^/a2+j/2 x £ (—oo; —a ,ye^-{0}, 6.1: C = 4^7^=4^^. x—a x+a , x £ (a; oo 3.2: ^ = ^-(7^2^ 6.2: 6.3: h Ä2-Ä1 £0g2(£r-l) 2d2ř>9 • 2£oLr2(er-l) ln(Ä2/.Ri)ŕ?í7(Ä|-.R?)' 3-3: fr>2 r2 2i?3\ ÄiR,2 = (^2 - Rl) • Grafy viz obrázek 69. 3.4: Bez komentáře. 6-4: C = §^. 6-5: C = Ä- 7 J _ 27ri?g 7.2: J pln(Äi/Ä2)' 120 7.3: Q = £c(l ■ e cr t € - — I = j^e cr. 7.4: I = £i (3 + e-äm) . 7.5: Cc = |C. U: BrR=^. 3.2: £r 8.3: Bra = ±fi0ja. 8.5: 7 >;<0 ,>o= 10,-^,0), 0,^,0 9.1: j = 9.2: 7 = (0,0,0). ^e-kr'2 (2kr2 - ô r. 9.3: 7 = ^ln(x2+y2)(0,0,l). 9.4: B = _(()()-]) ■(4z2+a2)V2a2+4z2 [ ' U' j 9.5: B = ^ 10.4: Bezzdrojové Maxwellovy rovnice platí pro libovolně zvolené potenciály. Hledané veličiny jsou: ~Ě = (Aqlo cos {kz — uť) ,0,0), 7 = (0, A0k cos (kz - ut) , 0), g = 0, 7 = ^ (A, (A-2 -£) sin (kz- tot), 0,0). Poznámka: Vektorový potenciál popisuje rovinnou vlnu, pokud k = 10.5: £ 3Q2 207T/?£0 " 11.1: Q = g]n(^ 11.2: M 11.3: Q - -fL Rlfí-2 ' 11.4: 0 = ^I. 11.5: 0 = irR2fiQÍ cos