– 1 –
SYSTÉM LINEÁRNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH
ROVNIC
Systém dvou lineárních rovnic 221112
2
xkxk
dt
dx
−=+ 221112
1
xkxk
dt
dx
+−=+
V maticové formě 











−
−
=





2
1
2112
2112
2
1
x
x
kk
kk
x
x
dt
d
a ve vektorovém tvaru
xK
x
=
dt
d
, kde x je
vektor proměnných xi a K je matice koeficientů.
Matice K může být rozložena do součinu třech matic 1−
UΛU , pak xUΛU
x 1
td
d −
= .
Násobením U-1
z levé strany dává xUΛ
x
U 11
dt
d −−
= .
Protože U-1
je matice konstant, lze psát xUΛ
xU 1
1
dt
d −
−
= .
Substituce proměnných dává yxU =−1
. Pak yΛ
y
=
dt
d
.
Tato rovnice může být rozložena do dílčích rovnic, ii
i
y
dt
yd
λ= ,
které mohou být řešeny za počátečních podmínek, t = 0, y = y0 jako 0i
tλ
i yey i
= .
Systém těchto rovnic lze převést zpět do vektorové formy, 0
Λ
yy t
e= ,
a po re-substituci na 0
Λ
xUxU 1t1
e −−
= .
Násobením U zleva dostáváme vektor x: 0
Λ
xUUx 1t
e −
=
Výraz před x0 lze rozepsat jako 0xUUx )řádektýi)(sloupectýi(e 1
i
ti −λ
−−= ∑ kde součin
)řádektýi)(sloupectýi( 1−
−− UU dává novou matici Ui.
Algoritmus pro výsledné řešení je pak 0xUx ∑ λ
=
i
i
ti
e .
– 2 –
Příklad:. systém dvou lineárních diferenciálních rovnic
1
1
x2
dt
dx
= 21
2
xx
dt
dx
+=
x
x






=
11
02
dt
d xA
x
=
dt
d
Počáteční podmínky: t = 0, x1 = 1 x2 = -1. 





−
=
1
1
0x






−
−


















==





= −
11
02
10
02
1
2
2
0
2
2
U
11
02 1
UΛA
Obecné řešení: 02
t
01
t ii
ee xUxUx λλ
+=
[ ] [ ] 





−
−





+





−
−










=
1
1
11
1
0
e
1
1
02
2
2
2
2
e tt2
x






−
+





−
−
=
2
0
e
1
1
e tt2
x
- ex t2
1 =
e2–- ex tt2
2 =